Taschenbuch der Wirtschaftsinformatik und Wirtschaftsmathematik

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1 Taschenbuch der Wirtschaftsinformatik und Wirtschaftsmathematik von Wolfgang König, Heinrich Rommelfanger, Dietrich Ohse, Oliver Wendt, Markus Hofmann, Michael Schwind, Klaus Schäfer, Helmut Kuhnle, Andreas Pfeifer 2., überarb. u. erw. Aufl. Taschenbuch der Wirtschaftsinformatik und Wirtschaftsmathematik König / Rommelfanger / Ohse / et al. schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG Thematische Gliederung: Wirtschaftsinformatik Harri Deutsch 2003 Verlag C.H. Beck im Internet: ISBN

2 Nichtlineare Dynamik, Chaostheorie, Fraktale Geometrie transkritischen Bifurkation. Uns interessiert das weitere Verhalten des zweiten Fixpunktes x s 2. Für µ = 3 wird d f (x t;µ ) dx t = 1 und damit x s 2 wieder instabil. Gleichzeitig tritt aber ein stabiler periodischer Attraktor mit einem Zyklus der Periode zwei auf. Um ihn nachzuweisen setzt man x t+2 = x t. Mit x t+2 = f 2 (x t ; µ ) = µ 3 x 4 t + 2 µ 3 x 3 t µ 3 x 3 t µ 2 x 2 t + µ 2 x t ergibt sich daraus x t ( µ 3 x 3 t + 2 µ 3 x 2 t (µ 3 + µ 2 ) x t + µ 2 1 ) = 0 Die Anzahl und die qualitative Struktur der Fixpunkte von f 2 (x t ; µ ), d. h. der Zyklen der Periode 2, ist vom Kontrollparameter µ abhängig. Im uns interessierenden Bereich stellen wir fest, dass es bei µ = 3 zu einer Pitchfork-Bifurkation von f 2 (x t ; µ ) kommt. Der stabile Fixpunkt bei x s 2 = 1 1 wird instabil, µ wobei zwei neue stabile Fixpunkte x s 3,4 = 1 ( ) µ 3 µ + 1 µ ± µ auftreten. Die Stabilität kann anhand der ersten Ableitung von f 2 (x t ; µ ) überprüft werden. Die Fixpunkte sind stabil, wenn d f 2 (x t ;µ ) dx t < 1, was für x s 1 = 0 und x s 2 = 1 1 nicht erfüllt ist, wohl aber für µ xs 3,4. Für f (x t ; µ ) ergibt sich damit eine subharmonischen Bifurkation. Jeder Fixpunkt von f (x t ; µ ) ist auch wieder Fixpunkt von f 2 (x t ; µ ). Stellt man die Werte der Fixpunkte in Abhängigkeit des Kontrollparameters µ dar, so ergibt sich das folgende Bifurkationsdiagramm: x s 1 0,8 0,6 0,4 0, µ Bifurkationsdiagramm der (ersten) subharmonischen Bifurkation von x s 2 in der logistischen Abbildung (Fixpunkte der Periode 1: durchgezogen = stabil, gestrichelt = instabil; Fixpunkte der Periode 2: grau = stabil). Die bei der subharmonischen Bifurkation eintretende Periodenverdopplung ist nicht auf Fixpunkte der Periode eins beschränkt und bildet einen wichtigen Baustein auf dem Weg zum Chaos Deterministisches Chaos und Fraktale Geometrie Deterministisches Chaos, im Zusammenwirken von globalen negativen Rückkopplungen mit lokalen positiven Rückkopplungen bei der Lösung deterministischer nichtlinearer dynamischer Systeme entstehendes, völlig irreguläres und unvorhersehbares Verhalten mit sensitiver Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen. Die geometrische Struktur chaotischer Lösungen kann mithilfe der Fraktalen Geometrie beschrieben werden.

3 27.2 Deterministisches Chaos und Fraktale Geometrie Phänomenologie des deterministischen Chaos a) Charakteristische Eigenschaften Deterministisches Chaos entsteht in einer beschränkten, nichtlinearen, deterministischen Dynamik durch das Zusammenwirken von positiven und negativen Rückkopplungen. Positive Rückkopplungen in Form lokaler Instabilitäten führen immer wieder zu einem Auseinanderlaufen benachbarter Werte, global wirkende negative Rückkopplungen haben einen stabilisierenden Effekt. Wenn keine der beiden Rückkopplungen langfristig die Oberhand gewinnt, verbleibt das System in einem ständigen Prozess des Streckens und Faltens. Auf beschränktem Raum entsteht eine endlose, aperiodische Trajektorie mit scheinbar zufälligem Verhalten. Die aperiodische Trajektorie weist eine sensitive Abhängigkeit von infinitesimal kleinen Änderungen der Anfangsbedingungen auf. Kleinste Abweichungen führen u. U. bereits nach kurzer Zeit zu völlig anderem Verhalten. Dennoch gibt es charakteristische Aspekte einer Ordnung im Chaos, die das deterministische Chaos deutlich von zufälligem Verhalten unterscheiden: Einem Modell, das deterministisches Chaos generiert, liegt ein zwar nicht unbedingt bekanntes, aber deterministisches nichtlineares Differenzen- oder Differenzialgleichungssystem zugrunde. Die Bewegung einer Trajektorie im Phasenraum, so irregulär sie auch erscheint, erzeugt eine bestimmte räumliche Struktur, die oftmals selbstähnlich ist (im dissipativen Falle ist dies der so genannte seltsame Attraktor). Daher existiert eine Reihe invarianter Maße, die zur Charakterisierung chaotischer Systeme herangezogen werden können und es lassen sich universelle Gesetzmäßigkeiten finden, die die Entstehung chaotischer Zustände beschreiben. b) Chaotische und seltsame Attraktoren In einem dissipativen System kann Chaos über die Existenz eines chaotischen Attraktors definiert werden. Chaotischer Attraktor A: Es existiert für das n-dim. Differenzengleichungssystem x t+1 = f(x t ; µ ), mit x t R n und µ R eine beschränkte Menge A R n und eine Menge U mit den folgenden Eigenschaften: U ist eine n-dim. Umgebung von A d. h. U = U(A) R n, A wirkt anziehend auf alle x 0 U(A), d. h. wenn x 0 U(A), dann gilt x t U(A) t und jede Trajektorie von x 0 U(A) nähert sich und bleibt beliebig nahe bei A für genügend große t N, die Trajektorien von x 0 U(A) reagieren sensitiv auf Veränderungen der Anfangsbedingungen, A ist topologisch transitiv. Diese Definition gilt analog für ein n-dim. Differenzialgleichungssystem ẋ = f(x(t); µ ) mit x(t) R n und µ R, wenn man x 0 durch x(t 0 ) ersetzt und statt x t und t jeweils x(t 0 + τ ) und τ R schreibt. Weist ein Attraktor neben der dynamischen Eigenschaft des Chaos außerdem die geometrische Eigenschaft einer fraktalen Struktur auf, wird er als seltsamer Attraktor bezeichnet. c) Wege ins Chaos Das Auftreten chaotischer Verhaltensweisen kann anhand bestimmter Bifurkationsszenarien verfolgt werden, die als Wege ins Chaos bezeichnet werden: Periodenverdopplung: Das System gelangt durch fortgesetzte Periodenverdopplung (Pitchfork- bzw. subharmonische Bifurkation) in einen Zustand, in dem es nur noch instabile Lösungen gibt. Die Trajektorie wird von einer instabilen Mannigfaltigkeit zur anderen geworfen und kann dabei (in Bezug auf die Werte einer Variablen) innerhalb einer bestimmten Bandbreite oder auch zwischen verschiedenen Bändern scheinbar wahllos hin und herspringen. Computersimulation des Bifurkationsdiagramms der logistischen Abbildung für 2.9 µ 4:

4 Nichtlineare Dynamik, Chaostheorie, Fraktale Geometrie Intermittenz: Wenn der einzige stabile Fixpunkt oder Zyklus eines Systems instabil wird, ohne dass eine andere stabile Lösung auftritt (Typ I: Tangenten-Bifurkation, Typ II: Hopf-Bifurkation, Typ III: subkritische Bifurkation), kommt es zu u. U. sehr langen Phasen beinahe zyklischen Verhaltens, die durch kurze, heftige Ausbrüche unterbrochen sind. Dreifache Hopf-Bifurkation: Dieser Weg ins Chaos ergibt sich nur bei kontinuierlichen Systemen und ist bspw. charakteristisch für das plötzliche Auftreten von Turbulenzen Komplexere Bifurkationsszenarien spiegeln sich in den so genannten Krisen: Bei der Kollision zwischen chaotischen Attraktoren bzw. chaotischen Attraktoren und instabilen Fixpunkten oder periodischen Orbits verschwindet oder entsteht (je nach Blickrichtung) urplötzlich die chaotische Lösung. d) Instabile periodische Orbits Ein chaotischer Attraktor stellt in gewissem Sinne die stabile Lösung eines chaotischen dynamischen Systems dar. Daneben existiert eine i. d. R. unendlich große Menge instabiler, aber periodischer Lösungen. Diese sind äußerst sensibel gegenüber Ungenauigkeiten bei der Vorgabe eines Anfangswertes. Die Menge aller instabilen periodischen Zyklen stellt ein Gerüst des Attraktors dar und bestimmt somit die Systemdynamik. e) Transientes Chaos Das Systemverhalten wird transient chaotisch genannt, wenn das System für einen gewissen Zeitraum chaotisches Verhalten zeigt, schließlich aber doch gegen einen Attraktor konvergiert oder aber divergiert. Beim Übergang von periodischem zu chaotischem Verhalten durch Variation des Kontrollparameters ist dann kein qualitativer Sprung des Systemverhaltens festzustellen, sondern vielmehr ein stetiger Übergang Fraktale Geometrie des Chaos a) Fraktal Fraktal, von Mandelbrot geprägter Begriff zur Beschreibung von räumlichen Strukturen, die eine nichtganzzahlige Dimension aufweisen. Ein theoretisches Fraktal entsteht aus der unendlich häufigen Anwendung eines bestimmten Rückkopplungsschemas, das ein selbstähnliches, unendlich feines Muster von Mustern erzeugt. Das Fraktal

5 27.2 Deterministisches Chaos und Fraktale Geometrie 859 bildet die Grenzmenge des zugrunde liegenden (diskreten oder kontinuierlichen) dynamischen Prozesses. Zufallsfraktal, entsteht wenn dem Rückkopplungsschema eine Zufallskomponente zugefügt wird. Fraktale Strukturen in natürlichen Systemen (natürliche Fraktale) zeigen die fraktalen Eigenschaften nur lokal und in bestimmten Skalenbereichen. Außerdem spielt hier meist der Zufall eine entscheidende Rolle, indem er die konkrete Ausgestaltung der fraktalen Struktur bestimmt. Cantor-Menge: Die für das Verständnis der Zusammenhänge zwischen Chaostheorie und fraktaler Geometrie wichtigste fraktale Struktur ist die Cantor-Menge. Sie kann als Grundmodell für die allen fraktalen Strukturen zugrunde liegenden Gestaltungsprinzipien gelten und bildet ihre wesentlichen Eigenschaften ab. Die Cantor-Menge C entsteht, indem aus einer gegebenen Strecke das mittlere Drittel entfernt und diese Vorgehensweise ad infinitum fortgesetzt wird. Jede Strecke wird in jeder Iteration k auf n = 2 Teile reduziert, deren Länge je r = 1 der ursprünglichen 3 Strecke beträgt. Es entsteht eine unendliche, nichtabzählbare Menge nichtzusammenhängender Punkte. Das (Längen-)Maß dieser Punktmenge ist offensichtlich gleich null, was sich auch anhand ihrer Komplementärmenge C zeigen lässt, denn es gilt: lim k k i=1 2 i 1 3 i = = 1. b) Selbstähnlichkeit Exakte Selbstähnlichkeit theoretischer fraktaler Mengen (wie z. B. der Cantor-Menge), entsteht aus der Rekursivität der verwendeten Abbildungsvorschrift. Die geometrische Struktur der chaotischen Lösung eines nichtlinearen dissipativen Systems weist i. d. R. eine statistische Selbstähnlichkeit auf, wenn sie durch einen unendlichen Prozess des Streckens und Faltens entstanden ist. Die fraktale Struktur einer chaotischen Lösung wird damit über die Bestimmung gewisser charakteristischer Maßzahlen (wie z. B. der Dimension) beschreibbar. Tatsächlich werden heutzutage nicht unerhebliche Anstrengungen unternommen, ökonomische Zeitreihen (z. B. Börsenindizes) auf Selbstähnlichkeit zu untersuchen. Die Resultate sind bisher aber eher ernüchternd. c) Seltsamer Attraktor Fraktaler Attraktor, Attraktor, der aus einer unendlichen Punktmenge besteht und nicht stückweise differenzierbar ist. In Zusammenfassung der dynamischen und geometrischen Eigenschaften der Lösung eines dissipativen Systems spricht man von einem seltsamen Attraktor, wenn dieser chaotisch und fraktal ist. d) Fraktale Attraktionsbereiche Chaos zeigt sich besonders deutlich in der fraktalen Struktur der Attraktionsbereiche eines Systems. Komplexere Systeme haben oftmals mehrere koexistierende Attraktoren, deren fraktale Attraktionsbereiche ineinander verwoben sind. Nicht nur der Verlauf auf einem seltsamen Attraktor sondern auch, gegen welchen Attraktor das System läuft, ist sensitiv abhängig vom Startwert. Auch sehr lange Transienten zeigen fraktale Struktur. Ihre chaotischen Bahnen verlaufen dabei lange Zeit auf den Grenzen des (bzw. der) Attraktionsbereiche(s) des Systems.

6 Nichtlineare Dynamik, Chaostheorie, Fraktale Geometrie Konzepte zur Charakterisierung chaotischer Dynamik und fraktaler Struktur a) Poincaré-Schnitt und Poincaré-Abbildung Poincaré-Schnitt, (n 1)-dimensionale Hyperebene P, die die Phasenraumtrajektorien eines kontinuierlichen n-dimensionalen dynamischen Systems überall transversal schneidet. Die diskrete Dynamik der Wiederkehrsequenz der Trajektorie auf der Schnittebene ergibt die Poincaré- Abbildung f P. Die Poincaré-Abbildung reduziert den n-dimensionalen Fluss eines Differenzialgleichungssystems auf eine (n 1)-dimensionale diskrete Abbildung. Das Zeitintervall zwischen zwei aufeinander folgenden Durchschneidungen ist endlich, die einzelnen Intervalle müssen aber nicht zwangsläufig gleich lang sein. Die Poincaré-Abbildung ergibt insofern eine diskrete Dynamik in den Schnitten k, nicht in der Zeit t, also z. B. x i+1 = f P (x i ) wobei i den i = 1...k-ten Schnitt der Trajektorie durch P bezeichnet. Nur bei expliziter Betrachtung periodischer Orbits ergibt sich eine zeitgetreue diskrete Abbildung der kontinuierlichen Dynamik in der Form x t+n = f P (x t ), wobei n die Periode des betrachteten Orbits ist. Die Transversalität des Poincaré-Schnittes P stellt sicher, dass eine Poincaré-Abbildung f P alle strukturellen Informationen über den Fluss des ursprünglichen Systems bewahrt: p p x i+1 x i q q (a) p (b) p q (c) (d) Visualisierung der Trajektorien im Phasenraum durch eine Poincaré-Abbildung (schematisch). Betrachtet wird die Folge der Punkte x = (q,p), in denen die Trajektorie die p,q-ebene von oben nach unten senkrecht durchstößt: (a) Poincaré-Abb. x i+1 = f P (x i ). (b) Periodischer Zyklus. (c) Quasiperiodische Lösung. Die Durchstoßungspunkte liegen auf einer invarianten Kurve. (d) Chaotische Lösung. Die Durchstoßungspunkte sind irregulär in der Ebene verteilt. q

7 27.2 Deterministisches Chaos und Fraktale Geometrie 861 b) Rekonstruktion des Phasenraums durch Bildung von m-histories Rekonstruktion des Phasenraums aus einer Reihe von Beobachtungswerten: Wir betrachten einen diskreten deterministischen Prozess y t+1 = g(y t ), mit g : R n R n und 1 t T, wobei y die (unbekannten) Variablen bezeichnet und n die unbekannte Dimension des Prozesses ist. Der Prozess selbst ist nicht direkt beobachtbar, jedoch stehen gewisse Zeitreihendaten x t = f (y t ) zur Verfügung, wobei f : R n R einem (unbekannten) Aggregationsschema entspricht. Die Zeitreihendaten x t können als Projektion einer Lösungstrajektorie des Attraktors der unbekannten Dimension n auf eine Dimension verstanden werden. Wenn eine genügend große Anzahl von Beobachtungen vorliegt, bildet man eine Menge m-dimensionaler Vektoren aufeinander folgender Beobachtungen = (x t,x t+1,...,x t+(m 1) ) mit 1 t (T m+1), die in einen m-dim. Raum R m R n eingebettet werden können. Es lassen sich M = T m + 1 solcher, sich überlappender Vektoren bilden, die man als m-histories des Prozesses bezeichnet. x (m) t Nach dem Theorem von Takens können aus ihrer Betrachtung entscheidende Rückschlüsse auf den originären Prozess gezogen werden, sofern die so genannte Einbettungsdimension m die Bedingung m > 2n+1 erfüllt, wobei n die Dimension des originären Prozesses und damit gleich der tatsächlichen Dimension des Attraktors ist. Diese Einbettung besitzt die generisch gleichen Eigenschaften wie die ursprüngliche Zeitreihe y t. Insbesondere bleibt der maximale Lyapunov-Exponent des originären Prozesses auch in dieser Konstruktion erhalten. c) Lyapunov-Exponenten Eindimensionale Lyapunov-Exponenten λ j (abgekürzt LE), j = 1...n, wichtigstes Kriterium zur Identifikation und Systematisierung chaotischer Systeme. Sie messen die mittlere Divergenz (λ j > 0) oder Konvergenz (λ j < 0) benachbarter Trajektorien in n unabhängigen Raumrichtungen des R n. Die LE charakterisieren damit die sensitive Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen. Da die analytische Bestimmung der LE i. d. R. nicht möglich ist, wurde eine Reihe von numerischen Verfahren entwickelt. Dabei sind Verfahren zur Schätzung des größten LE (einstufiger Wolf-Algorithmus, Verfahren von Kurths/Herzel) von denen zur Schätzung des gesamten Spektrums der eindimensionalen LE (mehrstufiger Wolf-Algorithmus, Verfahren von Benettin u. a., Algoritmus von Eckmann/Ruelle u. a., Briggs- Algorithmus) zu unterscheiden. Da ein dissipatives System durch eine gewisse Volumenkontraktion gekennzeichnet ist, muss die Summe der LE stets kleiner null sein. Ein dynamisches System weist sensitive Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen auf, wenn wenigstens ein Lyapunov-Exponent größer null ist. Ein dissipatives System besitzt dann einen chaotischen Attraktor. Die Zahl der positiven LE λ + gibt an, in wie vielen Raumrichtungen das System divergiert. Ist λ + > 1, so bezeichnet man das System als hyperchaotisch. Die absolute Größe der LE ist von geringerer Bedeutung, zumal die numerische Ermittlung der LE mit erheblichen Ungenauigkeiten behaftet ist. Lyapunov-Spektrum, erlaubt die Klassifikation des dynamischen Verhaltens eines dissipativen Systems:

8 Nichtlineare Dynamik, Chaostheorie, Fraktale Geometrie Diskrete Systeme: Lyapunov-Spektrum Verhaltens- Attraktortyp λ + λ 0 λ klassifikation 0 0 n n 1 asympt. stabil stabiler Fixpunkt 0 1 n n 1 asympt. stabil Grenzzyklus 0 k n k n > 1, asymptotisch stabiler k-torus 1 k < n 1 quasiperiodisch m k n (m + k) 1 m n, chaotisch (m = 1) bzw. chaotischer Kontinuierliche Systeme: 0 k n 2 hyperchaotisch (m > 1) Attraktor Lyapunov-Spektrum Verhaltens- Attraktortyp λ + λ 0 λ klassifikation 0 0 n n 1 asympt. stabil stabiler Fixpunkt 0 0 n 1 n 2 asympt. stabil Grenzzyklus 0 k n k n 3, asymptotisch stabiler k-torus 2 k < n 1 quasiperiodisch m k n (m + k) n 3 chaotisch (m = 1) bzw. chaotischer d) Effektive Lyapunov-Exponenten 1 m n 2, hyperchaotisch (m > 1) Attraktor 1 k n 2 Effektive Lyapunov-Exponenten λj eff (x(t 0 ),T ), quantifizieren bei hinreichender Kenntnis der Systemdynamik die Vorhersagbarkeit einer konkreten Entwicklung. Sie messen die Separation, die die Trajektorien aus der ɛ 0 -Umgebung U ɛ0 (x(t 0 )) eines Punktes x(t 0 ) während des Zeitintervalls t 0 t T durch die kontinuierliche Systemdynamik erfahren. Die effektiven LE sind definiert als die Quotienten der Logarithmen der Länge a j (T ) der Halbachsen des entstehenden Ellipsoids und der Zeit T λ ef f j (x(t 0 ),T ) = 1 T ln a j(t ). a2( t) a2( T) x( t0) ε 0 a t 1( ) a T 1( ) xt () xt ( ) Veränderung der kugelförmigen ɛ 0 -Umgebung von x(t 0 ) unter dem Fluss F(x(t),T ) zum ellipsoiden Phasenraumvolumen V T mit den Halbachsen a 1 (T ) und a 2 (T ). Die Länge a j (T ) der Halbachsen wird numerisch ermittelt. Die effektiven LE geben Auskunft über das konkrete Verhalten des Systems im Intervall t 0 t T, ausgehend von einem bestimmten Anfangspunkt x(t 0 ). Sie können zur Quantifizierung des Informationsverlustes über den Zustand des Systems

9 27.2 Deterministisches Chaos und Fraktale Geometrie 863 in diesem Zeitraum herangezogen werden. Damit lassen sich auch quantitative Aussagen über die zu erwartende Güte möglicher Voraussagen in diesem Intervall ableiten. Von besonderer Bedeutung sind die effektiven Lyapunov-Exponenten bei der Identifizierung und Analyse von Intermittenz und transientem Chaos. Beides hinterlässt deutlich Spuren in der Entwicklung der effektiven Lyapunov-Exponenten. Die Intermittenz spiegelt sich in einem deutlich schwankenden, positiven Verlauf der effektiven LE wider: Beispiel der logistischen Abbildung für µ = 3,828 und µ = 3,8283: 0,3 λ eff 0,25 0,2 0,15 0,1 µ 3,82 3,828 3,8283 0, ,82847 t Entwicklung der effektiven LE λ eff im Zeitablauf für einen chaotischen (µ = 3,82), zwei intermittente (µ = 3,828 bzw. µ = 3,8283) und einen zyklischen Wert (µ = 3,82847) des Kontrollparameters, wobei der effektive LE eff im letzten Falle deutlich transientes Chaos für ca. 150 Perioden zeigt. Im ersten Fall zu Beginn herrscht eine turbulente Phase vor, während im zweiten zunächst eine laminare Phase den Verlauf bestimmt. Im Gegensatz dazu zeigt sich für den chaotischen Parameterwert µ = 3,82 ein deutlich stabilerer Verlauf. Jedes Ansteigen der Kurve deutet auf eine besonders instabile, jedes Fallen auf eine stabile Phase. Bei transientem Chaos werden daher während des z. T. sehr lange dauernden irregulären Verlaufs deutlich positive effektive LE registriert, bevor die Konvergenz gegen einen stabilen Zyklus oder Fixpunkt bzw. die Divergenz einsetzt (vgl. die Entwicklung von µ = 3,82847). e) Korrelationsdimension Das bedeutenste Verfahren zur Abschätzung der Dimension eines rekonstruierten Attraktors ist die Bestimmung der Korrelationsdimension d C nach Grassberger/Procaccia. Während die m-histories bei einem stochastischen Prozess stets dem Raum ausfüllen und daher d C (m) m ist, sollte bei einem deterministischen Prozess (mit endlicher Dimension k) d C (m) mit wachsendem m gegen einen festen Wert d C konvergieren. Das Verfahren funktioniert im Allgemeinen recht gut bei langen Zeitreihen guter Qualität, aber es gibt irreführende Ergebnisse für kurze Zeitreihen. Mit der Zahl der in ökonomischen Zeitreihen zur Verfügung stehenden Daten lässt sich allein aus formalen Gründen allenfalls niedrigdimensionales Chaos nachweisen. f) Shuffle-diagnostic Shuffle-diagnostic (shuffle: durcheinanderschütteln), einfaches Verfahren zur Ergänzung des vorherigen Ansatzes. Werden die Werte der Zeitreihe zufällig durcheinander gemischt, dann sollte die ggf. zugrunde

10 Nichtlineare Dynamik, Chaostheorie, Fraktale Geometrie liegende Struktur zerstört werden. Bestimmt man nun erneut die Korrelationsdimension, ist in dieser vermischten Zeitreihe eine höhere Dimension zu erwarten, sofern sie nicht zuvor schon stochastisch war. g) Residuen-Test Residuen-Test, kann sowohl zur Kontrolle der Lyapunov-Exponenten als auch der Korrelationsdimension verwendet werden. Wenn ein dynamischer Prozess von niedrigdimensionalem deterministischen Chaos geprägt ist, kann der Erklärungsbeitrag eines linearen (oder auch nichtlinearen und nicht chaotischen) Schätzmodelles nicht sehr groß sein. Wird die Zeitreihe daher durch ein entprechendes (plausibles) Modell geschätzt, so sollten die verbleibenden Residuen dieselben Charakteristika wie die ursprüngliche Zeitreihe zeigen. Insbesondere für kurze Zeitreihen erscheint es unverzichtbar, die mit erheblichen Unsicherheiten behaftete Kalkulation von Dimension und LE mithilfe des Residuen-Tests zu bestätigen. h) BDS-Statistik BDS-Statistik, belegt eine gewisse Strukturbildung in einer Zeitreihe. Diese kann aber durch deterministische oder stochastische lineare Abhängigkeiten, Nichtstationarität (d. h. fehlende Strukturkonstanz), Chaos oder nichtlineare stochastische Zusammenhänge (wie z. B. in NMA-, TAR- oder (G)ARCH bzw. EGARCH- Modellen) hervorgerufen sein. Ihr Potenzial entfaltet die BDS-Statistik damit erst, wenn sie auf die Residuen eines Schätzmodells angewandt wird, um dessen Güte zu beurteilen. Filtert man zuerst mögliche lineare Abhängigkeiten heraus, indem man die BDS-Statistik auf die Residuen eines linearen Schätzmodelles (i. d. R. ein AR(n)-Modell) anwendet, so kann man bei Ablehnung der Nullhypothese auf das Vorliegen eines nichtlinearen Zusammenhanges schließen. Die Anwendung der BDS-Statistik auf die Residuen nichtlinearer Schätzmodelle ist allerdings mit einigen Schwierigkeiten verbunden, sodass i. d. R. keine klare Unterscheidung stochastischer und deterministischer Nichtlinearitäten möglich ist Chaos in den Wirtschaftswissenschaften Insbesondere aufgrund der sehr kurzen Datenreihen dürfte es praktisch unmöglich sein, deterministisches Chaos in einem ökonomischen System exakt nachzuweisen. Auch die soziale Interaktion der Elemente und das Vorhandensein exogener Störeinflüsse werden als Argumente gegen eine Übertragung chaostheoretischer Ansätze auf ökonomische Systeme vorgebracht. Versteht man soziale Systeme als dissipative Strukturen, dann lassen sich ordnende Prozesse identifizieren, die eine Formulierung niedrigdimensionaler dynamischer Modelle gestatten. Angesichts der fehlenden Strukturkonstanz ist dabei weniger der finale Systemzustand von Interesse, als vielmehr die Struktur der momentanen Bewegung. Die ökonomische Bedeutung der Nichtlinearen Dynamik geht daher u. U. weit über den Fall des tatsächlichen Vorliegens determinsitischen Chaos hinaus. Gerade transientes Chaos und die zusätzliche Einbeziehung externer Störungen im Falle des so genannten gestörten Chaos sind unter diesem Gesichtspunkt von erheblicher ökonomischer Bedeutung.

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