Versuch MC01 - Digitale Signale. Abgabedatum: 28. Februar 2008

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1 Versuch MC01 - Digitale Signale Sven E Tobias F Abgabedatum: 28. Februar 2008

2 Inhaltsverzeichnis 1 Thema des Versuchs 3 2 Zahlen und Aussagenlogik Binäre Zahlen Zahlensysteme Darstellungsformen binärer Zahlen Arithmetik Logische Verknüpfungen Header 5 4 Logische Verknüpfungen 6 5 Codeschloss 7 6 Zeitgeber 8 7 Leuchtturm 8 8 Zeitmessung 9 9 Impulszähler 9 2

3 1 Thema des Versuchs In diesem Versuch werden elementare Programme in Basic verfasst. Um die Abläufe besser zu verstehen, wird im folgenden auf Zahlensysteme, Darstellung und Arithmetik binärer Zahlen und schließlich elementare logische Verknüpfungen eingegangen. 2 Zahlen und Aussagenlogik 2.1 Binäre Zahlen Zahlensysteme In der Datenverarbeitung sind bisweilen unterschiedliche Zahlensysteme günstig. Die Zahlensysteme, mit denen heute wissenschaftlich gearbeitet wird, haben meistens genau eine Basis. Besonders beliebt sind das Binärsystem mit der Basis 2, das Dezimalsystem mit der Basis 10 und das Hexadezimalsystem mit der Basis 16. Um eine Zahl darzustellen, muss man die Stellen der Darstellung kennen. Diese entstehen, indem man die betreffende Zahl als Summe von Vielfachen der natürlichen Basispotenzen und 1 darstellt. Dabei darf jedes Vielfache höchstens n 1-fach sein, wenn n Basis des Systems ist. In der Übertragung und Verarbeitung von Daten und Signalen ist das Binärsystem sehr populär. Von Vorteil ist, dass durch die Existenz von nur zwei Niveaus, die jeweils 1 oder 0 entsprechen, die Zahlen mit einfachen Mitteln darstellbar sind. Der augenscheinlichste Nachteil ist, dass Zahlen, die im Binärsystem dargestellt werden, mitunter lange Zeichenketten sind. Somit sind hohe Frequenzen bei der Datenübertragung umso notwendiger Darstellungsformen binärer Zahlen Wenn man häufig zwischen Zahlensystemen wechseln will, darf man den Überblick nicht verlieren. Darum gibt es für diesen Fall einige gebräuchliche Darstellungsformen. Die Zahl 11 (dezimal) ist binär zum Beispiel folgendermaßen zu kennzeichnen: [11] 10 = [1101] 2 (1) = (2) 11 (10) = 1101 (2) (3) 11D = 1101B (4) Darüberhinaus werden als Ziffern in der Elektrotechnik bisweilen Buchstaben wie etwa H und L benutzt, hier für high und low Arithmetik Die Grundrechenoperationen sind mit Binärzahlen analog zum Dezimalsystem durchführbar. Sogar das schriftliche Rechnen ist gut umsetzbar. Wie man in Abb. 1 auf der nächsten Seite sieht, treten bei Addition/Subtraktion zweier 3

4 Abb. 1: Die schriftlichen Grundrechenoperationen im Binärsystem [W07] Binärzahlen immer wieder die vier Basisrechnungen (siehe jew. linke Spalte) auf, die unterschiedlichen Kombinationen von 0 und 1. Überträge werden wie im Dezimalsystem gehandhabt. Addiert man allerdings viele Zahlen, kommt manchmal ein mehrstelliger Übertrag zu Stande. Somit besteht in diesen Fällen der Übertrag aus mehreren Zeilen, da sich die einzelnen Überträge überschneiden und eventuell selbst wieder weitere Übertragszeilen notwendig machen. Die schriftliche Multiplikation hat die angenehme Eigenschaft, dass nur die Produkte aus Einsen einen Betrag ergeben. Jedes Elementarprodukt, in dem eine Null vorkommt, ist automatisch Null. Auch Division ist nicht eben komplizierter: Beim gängigen schriftlichen Verfahren überprüfe man, ob der Divisor sich in den vorderen Stellen des Dividenden als Summand findet. Ist das der Fall, zieht man ihn ab und schreibt an die entsprechende Stelle des Quotienten eine Eins. Für Stellen, in denen der Divisor nicht steckt, entsteht im Ergebnis eine Null. Auch mit negativen Zahlen lässt sich arbeiten, wenn man das Zweierkomplement einführt. Die einzige Voraussetzung ist, dass man auf einem beschränkten Zahlengebirt rechnet. Hat man nun eine negative Zahl darzustellen, so geschieht das, indem man ihren binär ausgedrückten Betrag nimmt, vorne eine Null hinzufügt und diese Ziffernfolge dann invertiert, d.h. jede Eins durch eine Null ersetzt und umgekehrt. Nun lassen sich die Rechenoperationen so durchführen, als ob man mit positiven Zahlen rechnet, die Subtraktion wird also mit der Addition negativer Zahlen redundant. Erhält man ein Endergebnis, das an vorderster Stelle eine Eins hat, so muss man das Ergebnis zurückinvertieren und das negative Vorzeichen beachten (natürlich nur, wenn es wirklich die Vorzeichenstelle des gewählten beschränkten Bereichs ist). 4

5 2.2 Logische Verknüpfungen Abb. 2: Exemplarische logische Verknüpfungen und ihre Werte [W07] Es gibt vier Möglichkeiten, zwei binäre Ziffern unterschiedlich zu kombinieren. Wenn man nun jeder dieser Möglichkeiten eine weitere binäre Ziffer zuordnet, kann man so eine Zuordnung als zweiwertige logische Verknüpfung betrachten. Über zwei Ziffern gibt es lediglich 2 4 = 16 unterschiedliche solcher Verknüpfungen, und einige davon werden besonders oft verwendet, weil sie in der booleschen Aussagenlogik äquivalent zu elementaren Aussagen sind. Einzige nichttriviale einwertige Verknüpfung ist die Negation, die eine Ziffer einfach invertiert. In der booleschen Logik werden statt Nullen und Einsen als Symbole zweckmäßig w für wahr oder f für falsch gewählt. Exemplarisch sind in Abbildung 2 und in der Tabelle unten vier häufig benutzte zweiwertige Verknüpfungen und ihre Namen sowie Wertetabellen angegeben. Man kann einige Verknüpfungen recht unaufwändig aus elektrischen Elementen konstruieren; anfänglich kannte man besonders NAND-Elemente (AND negiert). Aus diesen Elementen lassen sich durch geschicktes Hintereinanderschalten sogar alle anderen zweiwertigen Verknüpfungen äquivalent darstellen. Man nennt dieses System mit der Basismenge NAND darum ein funktional vollständiges System. Ein weiteres solches System bildet die NOR-Verknüpfung. 3 Header Bevor man die eigentlichen Programme schreiben kann, müssen zunächst die Variablen und Konstanten festgelegt werden. Über die folgenden Befehle werden die verschiedenen Ausgangs-LEDs und Eingabe-Schalter festgelegt. Ausgabe-LEDs: define abit0 port[9] define abit1 port[10] define abit2 port[11] define abit3 port[12] define abit4 port[13] define abit5 port[14] 5

6 define abit6 port[15] define abit7 port[16] define abyte byteport[2] Eingabe-Schalter: define ebit0 port[1] define ebit1 port[2] define ebit2 port[3] define ebit3 port[4] define ebit4 port[5] define ebit5 port[6] define ebit6 port[7] define ebit7 port[8] define ebyte byteport[1] Nun werden noch einige benötigte Variablen zugeordnet - die Zahl in eckigen Klammern gibt dabei an, wo das belegte Byte bzw. Bit sich im Speicher befindet. define i byte[1] define j byte[2] define a bit[180] define b bit[181] define c bit[182] define d bit[183] 4 Logische Verknüpfungen A B A AND B A OR B A NAND B A NOR B A XOR B Tab. 1: Wertetabelle der grundlegenden logischen Verknüpfungen Als erstes galt es die logischen Verknüpfungen AND, OR, NAND, NOR und XOR (siehe Tab. 1) über die Ausgabe-LEDs darzustellen. Hierzu wurden fünf Unterprogramme geschrieben, welche die jeweiligen Verknüpfungen beinhalten. Über die beiden Schalter ebit0 und ebit1 werden die beiden Variablen geschaltet. Ergibt die Verknüpfung ein wahres Ergebnis, dann leuchtet die erste Lampe abit0. Um zwischen den jeweiligen Verknüpfungen umzuschalten wurde nun eine Schleife programmiert, welche die einzelnen Verknüpfungen auf die Schalter ebit2 bis ebit6 legt. Für die ausreichende Zeit zum Umschalten sorgt eine Pause von einer Sekunde. FOR i=0 TO 255 abit1=1 "Blinker" zur Anzeige der Programmaktivität 6

7 PAUSE 10 abit1=0 IF ebit2 THEN GOSUB testand ELSE IF ebit3 THEN GOSUB testor ELSE IF ebit4 THEN GOSUB testnand ELSE IF ebit5 THEN GOSUB testnor ELSE IF ebit6 THEN GOSUB testxor ELSE abit0=0 nur der erste aktive Schalter wird berücksichtigt, sofern vorhanden Pause 50 NEXT #testand abit0=ebit0 AND ebit1 return #testor abit0=ebit0 OR ebit1 return #testnand abit0=ebit0 NAND ebit1 return #testnor abit0=ebit0 NOR ebit1 return #testxor abit0=ebit0 XOR ebit1 return END 5 Codeschloss In diesem Abschnitt war die Aufgabe ein Codeschloss zu entwickeln. Ist der Schalter ebit7 eingeschaltet, so wird über die vier Schalter ebit0 bisebit3 wird eine binäre Kombination eingegeben (Eingabemodus). Nun wird der Schalter ebit7 ausgeschaltet, die Kombination wird gespeichert und das Schloss ist scharf. Wird nun die richtige Kombination eingegeben, dann wird das Schloss geknackt und die Lampe abit0 leuchtet auf. FOR i=0 TO 255 IF ebit7 THEN a=ebit0 IF ebit7 THEN b=ebit1 IF ebit7 THEN c=ebit2 IF ebit7 THEN d=ebit3 IF ebit7=0 THEN IF (ebit0=a AND ebit1=b AND ebit2=c AND ebit3=d) Then abit0=1 ELSE abit0=0 7

8 Pause 50 NEXT END Auf jegliche Sicherungsmethoden wurde verzichtet; bei einem Vier-Bit-Passwort ist der Glücksfaktor nicht wirksam zu minimieren. 6 Zeitgeber Aufgabe ist es, ein Programm zu schreiben, sodass man über die Schalter von ebyte eine binäre Zahl eingibt und das Programm über die LEDs abyte bis zu dieser Zahl hochzählt. Zuerst werden alle LEDs ausgeschaltet Alle LEDs gleich 0 abyte=0 Nun wird über die Schalter ebyte die Variable j festgelegt. Über die Schleife wird dann automatisch bis zu dem eingegebenen Wert hochgezählt. j=ebyte for i=0 to j abyte=i pause 10 next End 7 Leuchtturm Es gilt ein Programm zu schreiben, dass alle 5 Sekunden ein 100 Millisekunden langes Leuchtsignal ausgibt. Hierzu wurde eine Schleife geschrieben, die alle Lampen 100 ms leuchten lässt und dann für 4,9 s pausiert. For i=0 to 255 abyte=255 Pause 5 abyte=0 Pause 245 Next End Im Vergleich mit dem Leuchtturm eines anderen Teams wurde über einige Minuten die Frequenz verglichen. Unser Leuchtturm war etwas langsamer. Das andere Team hat für die Berechnung der Algorithmen 20 ms eingeräumt, also die Pause auf 244 verkürzt. 8

9 8 Zeitmessung Diesmal war die Aufgabe, die Laufgeschwindigkeit einer möglichst kurzen Schleife zu ermitteln. Dies ist dank des TIMER-Befehls des Programms recht simpel. Dieser legt zu Beginn einen Startwert einer Variablen fest. Nach Durchlauf einer einfachen Schleife (alle Leuchten an - alle Leuchten aus) wird erneut mit dem TIMER- Befehl eine Variable mit dem aktuellen Zeitwert belegt. Subtrahiert man diese von einander, erhält man die Anzahl der Takte, die das Programm für dessen Ausführung braucht. Da ein Takt 20 ms beträgt lässt sich hierraus der Absolutwert berechnen. w=timer For i=0 to 255 abyte=255 abyte=0 Next abyte=timer-w End So ergab sich für einen Takt ein Wert von 4, s. 9 Impulszähler In diesem Fall sollte ein Programm entworfen werden, welches jegliche Veränderung an der Eingabe ebyte registriert und die Anzahl der Änderungen als binäre Zahl über die Ausgabe-LEDs abyte ausgibt. Zuerst wird eine Variable j über den jeweils aktuellen Zustand der Eingabe ebyte festgelegt. Das eigentliche Programm wird über eine Schleife realisiert, welche über IF j<>ebyte THEN abyte=abyte+1 den vorangegangen Zustand von ebyte mit dem aktuellen vergleicht. Sind diese unterschiedlich, dann wird bei der Ausgabe abyte ein Zähler dazuaddiert. Somit zählt die Ausgabe bei jeglicher Veränderung hoch. abyte=0 For i=0 to 255 j=ebyte Pause 5 0,1 Sekunden Entprellung IF j<>ebyte THEN abyte=abyte+1 Next End 9

10 Tabellenverzeichnis 1 Wertetabelle Verknüpfungen Abbildungsverzeichnis 1 Arithmetik Logische Verknüpfungen Quellenverzeichnis PPB07 Versuchsskript W07 Wikipedia 10