Lösungen: zu 1. a.) b.) c.)

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1 Lösungen: zu 1. a.) b.) c.) vorzeichenlose Zahl: 15 vorzeichenlose Zahl: 18 vorzeichenlose Zahl: 13 Zweierkomplement: - 1 Zweierkomplement: - 14 Zweierkomplement: - 3 Vorzeichen u. Wert: - 7 Vorzeichen u. Wert: - 2 Vorzeichen u. Wert: - 5 zu 2. (bei 4-Bit-Darstellung nicht darstellbar) a.) in einer Darstellung mit Vorzeichen und Wert b.) in Zweierkomplementdarstellung c.) in Einerkomplementdarstellung zu 3. a.) b.) c.) d.) e.) bei n = 8 im Zweierkomplement nicht darstellbar, da 2 n 1 = zu 4. 2 n 1 bis 2 n 1 1 bei n = Netzker /01

2 Die Darstellung von Dezimalzahlen Festkommadarstellung von Dezimalzahlen Beispiel: 3, , /2 1/4 1/ ,5 0,25 0, , = Wandeln Sie die Dezimalzahl 13,75 10 in ihre duale Entsprechung um. Lösung: Bei der Festkommadarstellung von Dezimalzahlen in binärer (dualer) Form ergeben sich Probleme bei der rechnerinternen Abbildung von sehr großen bzw. sehr kleinen Zahlen. Beispiele: Loschmidt sche Zahl 6, erfordert 3,32 23 Stellen Elementarladung 1, erfordert 3,32 19 Stellen Sonnenmasse 2, kg erfordert 3,32 30 Stellen Hier gibt es wenig gültige (signifikante) Stellen, der Rest sind Nullen Verschwendung von Speicherplatz bei der Festkommadarstellung Gleitkommadarstellung (floating point) Beispiel: 123,45 10 in normierter Darstellung: 1, Exponent Mantisse Vorzeichen Vorzeichen Bei n = 8 ist beispielsweise folgende Darstellung möglich: 3 Bit Exponent 5 Bit Mantisse Exponent Mantisse Ein Problem bei dieser Darstellung stellt die Erfassung der eventuell vorhandenen Vorzeichen von Mantisse und Exponent dar. Eine mögliche Lösung wäre die Schaffung zweier Vorzeichenbits. Häufig erfolgt die Normierung auch in der Darstellung 0, Vorteil: die Null muss nicht gespeichert werden. Netzker /01

3 Addition und Subtraktion von Gleitkommazahlen 1. dezimale Arithmetik Beispiel: Gegeben seinen die Zahlen 0, und 0, Gesucht sei deren Summe. Vorgehensweise: 1. ggf. Normalisierung 2. Exponentenangleichung 3. kleineren Exponenten suchen 4. Mantisse durch Differenzfaktor (im Bsp. = 2) teilen, d. h., Mantisse um n Stellen nach rechts verschieben 5. Addition bzw. Subtraktion durchführen 6. ggf. Post-Normalisierung 0, , , Bei einer 5-stelligen Mantisse ergibt sich das Problem, dass das Ergebnis nicht mehr vollständig gespeichert werden kann (89). Also: Abschneiden (0,12912) oder Runden (0,12913). Beides ist gängig. geg.: a = 561, b = 0, Mantisse: 5-stellig ges.: 1.) normalisierte Darstellung 2.) Exponentenangleichung 3.) a b als Gleitkommasubtraktion 4.) ggf. Post-Normalisierung Lösung: Exponent: 6 Bit Mantisse: 10 Bit n = binäre Arithmetik Beispiel: Gegeben seien die Dezimalzahlen 10, und 32,1 10. Gesucht sei deren Summe (42, ) in binärer Darstellung. Vorgehensweise: 1. Umwandlung der Dezimalzahlen in Dualzahlen: 10, , Runden zu Erläuterung auf S. 26 Netzker /01

4 2. Normalisierung: Exponentenangleichung Umwandlung des Exponenten in Binärzahl 6 10 = Addition (bzw. Subtraktion) (Achtung: Exponent bleibt erhalten!) ggf. Post-Normalisierung (hier nicht notwendig) 7. Umwandlung der Dualzahl in eine Dezimalzahl abschneiden = 42,25 10 (Die Abweichung ergibt sich durch den Rundungsfehler! Erinnern Sie sich? Wir hatten die Dezimalzahl 32,1 10 umgewandelt ergibt ,1 10 wird immer mit 2 multipliziert. Steht dabei vor dem Komma eine 0, wird eine 0 geschrieben und weiter mit 2 multipliziert. Steht vor dem Komma eine 1, wird eine 1 geschrieben und mit der übrig gebliebenen Nachkommastelle weiter multipliziert.) 0,1 2 = 0,2 0,2 2 = 0,4 0,4 2 = 0,8 0,8 2 = 1,6 0,6 2 = 1,2 0,2 2 = 0,4... 0, Gegeben seien die reellen Zahlen 157,3 10 und 12,6 10. Ermitteln Sie nach dem obigen Verfahren die Differenz der beiden Zahlen (157, ,6 10 = 144,7 10 ). n = 16, wobei Exponent = 6 Bit, Matisse = 10 Bit. Netzker /01

5 Lösung: 1. Umwandlung der Dezimalzahlen in Dualzahlen 157, , Normalisierung Exponentenangleichung Umwandlung des Exponenten in Binärzahl 8 10 = Subtraktion Post-Normalisierung (hier nicht notwendig) 7. Umwandlung der Dualzahl in eine Dezimalzahl = 144,75 10 Aufgaben: 1. Berechnen Sie nach dezimaler Arithmetik folgende Gleichungen mit Gleitkommazahlen (die Mantisse sei 5-stellig angenommen): 1.) 0, , = 2.) 0, , = 3.) 2, , = 4.) 0, , = 5.) 0, , = 6.) 1, , = 2. Berechnen Sie nach binärer Arithmetik folgende Gleichungen mit Gleitkommazahlen (der Exponent sei 6-stellig, die Mantisse 10-stellig angenommen): 7). 23,4 + 31,8 = 8.) 112,2 + 8,9 = 9.) 37,9 22,3 = 10.) 123,6 14,7 = Netzker /01