1 Worum es geht Es werden n-dimensionale Hypercubi oder Hyperwürfel in isometrischer Projektion vorgestellt.

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Katarina Lichtenberg
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1 Hans Walser, [ a] Hypercubus 1 Worum es geht Es werden n-dimensionale Hypercubi oder Hyperwürfel in isometrischer Projektion vorgestellt. 2 Hintergrund Wir schreiben die Zahlen 0 bis 2 n 1 in n-stelliger binärer Form. Für n = 3 zum Beispiel heißt das: Dezimal Binär Die Ziffern der binären Form interpretieren wir als kartesische Koordinaten im n- dimensionalen Raum. Für n = 3 ergeben sich die Eckpunkt des dreidimensionalen Würfels.

Für n = 3 zum Beispiel heißt das: Dezimal Binär 0 000 1 001 2 010 3 011 4 100 5 101 6 110 7 111 Die Ziffern der binären

2 Hans Walser: Hypercubus 2/35 x 3 ( 0, 0,1) ( 1, 0,1) ( 0,1,1) ( 1, 1,1) ( 0, 0,0) x 1 ( 1, 0,0) ( 1, 1, 0 ) ( 0,1,0 ) x 2 Würfel Zwei Punkte, deren Koordinaten sich in genau einer Stelle unterscheiden (Hamming- Dinstanz 1) sind durch eine Kante verbunden. Zwei Punkte, deren Koordinaten sich in genau zwei Stellen unterscheiden (Hamming-Distanz 2), können durch eine Seitenflächendiagonale verbunden werden, und zwei Punkte, deren Koordinaten sich in allen drei Stellen unterscheiden (Hamming-Distanz 3), sind diametral und können durch eine Raumdiagonale verbunden werden. Eine besonders symmetrische Darstellung erhalten wir bei Normalprojektion längs einer Raumdiagonalen.

Zwei Punkte, deren Koordinaten sich in genau zwei Stellen unterscheiden (Hamming-Distanz 2), können durch eine Seitenflächendiagonale verbunden werden, und zwei Punkte,

3 Hans Walser: Hypercubus 3/35 x 3 ( 0, 0,1) ( 1, 0,1) ( 0,1,1) ( 0, 0,0) ( 1, 1,1) ( 1, 0,0) ( 0,1,0 ) x 1 x 2 ( 1, 1, 0 ) Isometrische Darstellung Hier sind alle Kanten gleichermaßen verkürzt, wir sprechen daher von einer isometrischen Projektion. Die Winkel zwischen den Kantenprojektionen sind Vielfache von n. Andere Strecken, wie zum Beispiel die Seitenflächendiagonalen oder die Körperdiagonalen, werden allerdings unterschiedlich verkürzt. 3 Liste Im Folgenden einige n-dimensionale Hyperwürfel in isometrischer Projektion dargestellt. Zunächst werden nur die Eckpunkte gezeichnet, anschließend nur die Kanten (Hamming-Distanz 1), dann nur die Seitenflächendiagonalen (Hamming-Distanz 2) und so weiter bis zu den Verbindungen diametraler Punkte (Hamming-Distanz n).

Andere Strecken, wie zum Beispiel die Seitenflächendiagonalen oder die Körperdiagonalen, werden allerdings unterschiedlich verkürzt.

4 Hans Walser: Hypercubus 4/ Punkt Am Anfang war der Punkt

5 Hans Walser: Hypercubus 5/ Strecke Endpunkte einer Strecke

6 Hans Walser: Hypercubus 6/35 Strecke

7 Hans Walser: Hypercubus 7/ Quadrat Eckpunkte des Quadrates

8 Hans Walser: Hypercubus 8/35 Quadrat

9 Hans Walser: Hypercubus 9/35 Quadratdiagonalen

10 Hans Walser: Hypercubus 10/ Würfel Würfelecken

11 Hans Walser: Hypercubus 11/35 Würfel

12 Hans Walser: Hypercubus 12/35 Seitenflächendiagonalen des Würfels

13 Hans Walser: Hypercubus 13/35 Raumdiagonalen des Würfels

14 Hans Walser: Hypercubus 14/ dimensionaler Hyperwürfel Dimension = 4, Hamming-Distanz = 0

15 Hans Walser: Hypercubus 15/35 Dimension = 4, Hamming-Distanz = 1

16 Hans Walser: Hypercubus 16/35 Dimension = 4, Hamming-Distanz = 2

17 Hans Walser: Hypercubus 17/35 Dimension = 4, Hamming-Distanz = 3

18 Hans Walser: Hypercubus 18/35 Dimension = 4, Hamming-Distanz = 4

19 Hans Walser: Hypercubus 19/ dimensionaler Hyperwürfel Dimension = 5, Hamming-Distanz = 0

20 Hans Walser: Hypercubus 20/35 Dimension = 5, Hamming-Distanz = 1

21 Hans Walser: Hypercubus 21/35 Dimension = 5, Hamming-Distanz = 2

22 Hans Walser: Hypercubus 22/35 Dimension = 5, Hamming-Distanz = 3

23 Hans Walser: Hypercubus 23/35 Dimension = 5, Hamming-Distanz = 4

24 Hans Walser: Hypercubus 24/35 Dimension = 5, Hamming-Distanz = 5

25 Hans Walser: Hypercubus 25/ dimensionaler Hyperwürfel Dimension = 6, Hamming-Distanz = 0

26 Hans Walser: Hypercubus 26/35 Dimension = 6, Hamming-Distanz = 1

27 Hans Walser: Hypercubus 27/35 Dimension = 6, Hamming-Distanz = 2

28 Hans Walser: Hypercubus 28/35 Dimension = 6, Hamming-Distanz = 3

29 Hans Walser: Hypercubus 29/35 Dimension = 6, Hamming-Distanz = 4

30 Hans Walser: Hypercubus 30/35 Dimension = 6, Hamming-Distanz = 5

31 Hans Walser: Hypercubus 31/35 Dimension = 6, Hamming-Distanz = 6

32 Hans Walser: Hypercubus 32/ dimensionaler Hyperwürfel Dimension = 7, Hamming-Distanz = 0

33 Hans Walser: Hypercubus 33/35 Dimension = 7, Hamming-Distanz = 1

34 Hans Walser: Hypercubus 34/35 Dimension = 7, Hamming-Distanz = 2 Und so weiter und so fort.

35 Hans Walser: Hypercubus 35/35 4 MuPAD-Programm Im Folgenden exemplarisch das Programm für den vierdimensionalen Würfel mit Kanten ( n = 4, Hamming-Distanz = 1): n:=4: N:=2^n-1: Hamming:=1: for k from 0 to N do for j from 1 to n do K[k,j]:=round(frac(k*(1/2)^(n-j+1))): end_for: end_for: for k1 from 0 to N do for k2 from k1 to N do H[k1,k2]:=0: for j from 1 to n do H[k1,k2]:=H[k1,k2]+( (K[k1,j]+K[k2,j]) mod 2): end_for: end_for: end_for: for k from 0 to N do x[k]:=0: y[k]:=0: for j from 1 to n do x[k]:=x[k]+round(frac(k*(1/2)^(n-j+1)))*cos(j*pi/n): y[k]:=y[k]+round(frac(k*(1/2)^(n-j+1)))*sin(j*pi/n): end_for: end_for: for k from 0 to N do P[k]:=[x[k],y[k]]: end_for: Punkt:=k->plot::Point2d(P[k], PointSize=2, PointColor=[1,0,0], Visible=FALSE): Kante:=(k1,k2)->plot::Polygon2d([P[k1],P[k2]]): Kanten:=proc(k1,k2) begin if H[k1,k2]=Hamming then Kante(k1,k2): else Punkt(k1): end_if: end_proc: plot((kanten(k1,k2)$k2=k1..n)$k1=0..n, Scaling=Constrained, Axes=None, Width=150, Height=150):

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