Programmieren. Kapitel 3: Wie funktioniert ein moderner Computer? Wintersemester 2008/2009. Prof. Dr. Christian Werner

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1 Institut für Telematik Universität zu Lübeck Programmieren Kapitel 3: Wie funktioniert ein moderner Computer? Wintersemester 8/9 Prof. Dr. Christian Werner

2 3- Überblick Typische Merkmale moderner Computer Beispiel einer modernen Rechnerarchitektur Exkurs: Rechnen mit binären Zahlen Die Central Processing Unit (CPU) ein Überblick

3 3-3 Typische Merkmale moderner Computer Binäre Arithmetik Wortbreite: 3 oder 64 Bit Von Neumann-Architektur Weitreichende Standardisierung der Systemkomponenten (insbesondere der Schnittstellen) Hochintegrierte Schaltungen (z.b. AMD Athlon): 54,3 Millionen Transistoren Bei 3 nm Strukturbreite,7 GHz Taktfrequenz

4 3-4 Beispiel einer modernen Rechnerarchitektur Ein-/ Ausgabewerk CPU mit Rechenwerk und Steuerwerk Speicherwerk Busse

5 3-5 Beispiel einer Modernen Rechnerarchitektur () Was sollte sich ein (Anwendungs-)Programmierer unter den einzelnen Komponenten vorstellen? A B C D Adresse Wert? (Kabelverbindungen) x x x xf xf8 x x3 x4e xffff x4

6 3-6 Exkurs: Rechnen mit binären Zahlen Um die technische Realisierung möglichst einfach zu halten, arbeitet ein moderner Rechner binär, d.h. mit nur zwei Zuständen: und Eine Binärziffer heißt Bit (binary digit) Eine Folge von 8 Bit heißt Byte Genügen diese, um alle denkbaren Rechenaufgaben durchzuführen? Wie wir sehen werden, lassen sich alle Grundrechenarten auch mit dem binären Zahlensystem durchführen.

7 3-7 Beziehung zwischen Dezimal- und Binärsystem Beispiel: 4 Zahlenbasis : Tausender Hunderter Zahlenbasis : Zehner Einer 4

8 3-8 Umrechnung von Binär- nach Dezimalsystem Beispiel: 4 3 = = Beispiel:

9 3-9 Umrechnung von Dezimal- nach Binärsystem Horner-Schema: R = Least significant bit (LSB) = 3R = R = R Most significant bit (MSB) MSB LSB

10 3- Binäre Addition Wiederholung: Addition im Dezimalsystem Selbes Vorgehen im Binärsystem +

11 3- Binäre Subtraktion Wiederholung: Subtraktion im Dezimalsystem 4 Selbes Vorgehen im Binärsystem

12 3- Binäre Multiplikation Wiederholung: Multiplikation im Dezimalsystem Selbes Vorgehen im Binärsystem x 4 x

13 3-3 Binäre Division Wiederholung: Division im Dezimalsystem Selbes Vorgehen im Binärsystem R 7 7 = 3 / 3 = R /

14 3-4 Zwischenergebnis Die bekannten Grundrechenarten funktionieren auch im Binärsystem (und auch in allen anderen Zahlensystemen, insbesondere auch im Hexadezimalsystem) Bisher: Nur positive ganze Zahlen Frage: Wie gehen wir mit vorzeichenbehafteten Zahlen um?

15 3-5 Negative Binärzahlen mit Vorzeichenbit Beispiel: 3-Bit-Zahlen VZ Bit Bit Dezimal wert Bewertung: Prinzipiell ok Nachteile: Zwei Nullen VZ-Bit muss stets ausgewertet werden Arithmetik für Maschine nicht optimal

16 3-6 Negative Binärzahlen im Einerkomplement negative Zahlen positive Zahlen Vorteile: Vorzeichenumwandlung: invertiere bitweise Einerkomplementzahlen können prinzipiell direkt (d.h. bitweise) addiert werden! Nachteile Round Carry Zwei Nullen

17 3-7 Addition im Einerkomplement: 4+(-) + Übertrag! () +

18 3-8 Negative Binärzahlen im Zweierkomplement Vorzeichen-Umwandlung: invertiere bitweise und addiere Vorteile: Nur noch eine Null Direkte, bitweise Addition möglich

19 3-9 Addition im Zweierkomplement: 4+(-) + Übertrag kann ignoriert werden Schlussfolgerung: Die Zweierkomplementdarstellung ist sehr praktisch! Daher: Moderne Rechner arbeiten typischerweise mit dieser Darstellung

20 3- Darstellung reeller Zahlen Bisher: Nur ganze Zahlen betrachtet. Für viele Aufgaben wünscht man sich jedoch reelle Zahlen. Wie stellt man diese im Computer dar? Antwort: gar nicht Denn: Computer haben nur einen endlichen Speicher und können daher keine potentiell unendlich langen Zifferfolgen darstellen Aber: Man kann auf einige Nachkommastellen genau rechnen!

21 3- Festkommadarstellung Dezimalsystem (Beispiel) Bei drei Dezimalstellen und drei Nachkommastellen sind Zahlen darstellbar, die in jeweils Teilschritte unterteilt sind. Beispiel: 75,38 Hunderter Zehner Einer Zehntel Hundertstel Tausendstel Binärsystem Bei sechzehn Binärstellen und sechzehn binären Nachkommastellen sind Zahlen darstellbar, die in jeweils Teilschritte unterteilt sind. Beispiel:,

22 3- Festkommadarstellung (Umrechnungen) Binärsystem Dezimalsystem (siehe Folie 8) Dezimalsystem Binärsystem Ebenfalls mit Horner-Schema, aber beim Nachkommaanteil wird aus der Division eine Multiplikation! (wegen negativer Exponenten) Beispiel 4, = 3R = R = 7R = R LSB MSB Ergebnis (mit 6+6 Bit):,, =. +, =,4 +,4 =,8 +,8 =,6 +,6 =. +, =,4 +,4 =,8 +,8 =,6 + Erstaunlich: Nachkommateil ist periodisch, d.h. Darstellung mit endlicher Bitanzahl ist nicht exakt!... MSB LSB

23 3-3 Fließkommazahlen Weiteres Problem: Für viele technische und wissenschaftliche Berechnungen sind Wertebereich und Genauigkeit von Festkommazahlen zu gering. Speziell gilt: Große Zahlen: Man wünscht sich einen größeren Wertebereich Kleine Zahlen: Man wünscht sich mehr Nachkommastellen. Idee: Schreibe Binärzahl B als Produkt aus Festkommazahl und Zweierpotenz: B=X* Y (, X und Y sind ebenfalls Binärzahlen!) Kennen Sie aus dem Physikunterricht:,5637 * -6 m/s² Auch im Binärsystem: Der Exponent bewirkt eine Verschiebung des Kommas (daher der Name Fließkommazahl): Beispiel:, * =, Mantisse Exponent Es ist möglich und sinnvoll, die Mantisse mit, beginnen zu lassen. Die Kommaverschiebung vermerkt man im Exponenten. Eine solche Zahl heißt normalisiert.

24 3-4 3-Bit-Fließkommazahlen nach Standard IEEE 754 Alle gängigen Rechner, die mit Fließkommazahlen arbeiten, verwenden die Darstellung nach IEEE Standard Bit-Fließkommazahl: BIT 8 BIT 3 BIT Vorzeichen Exponent Mantisse (gebrochener Teil) Trick: Da im Binärsystem die Mantisse immer mit einer beginnt, wird diese Ziffer weggelassen. Dadurch spart man ein Bit. Der Wert des Exponenten e effektiv ist definiert als (e-) Dadurch gilt: e= Komma wird 6 Stellen nach recht verschoben. e= Komma wird nicht verschoben. e= Komma wird 7 Stellen nach links verschoben.

25 3-5 3-Bit-Fließkommazahlen nach Standard IEEE 754 () Binärer Wert einer Gleitpunktzahl Für e und M g = ( ) v (, M ) e Problem: Darstellung der (, x immer ungleich ) Daher Sonderfälle: e= und M denomalisiert (,M) e= und M= e= und M NaN (Not a Number) e= und M= Unendlich (Infinity, je nach Vorzeichen +/-) BIT 8 BIT 3 BIT Vorzeichen Exponent Mantisse (gebrochener Teil)

26 3-6 Umrechnung IEEE 754 nach Dezimalzahl Rechne Mantisse und Exponent in Dezimalzahlen um und benutze die folgende Formel: v g dezimal = ( ) (, + M Beispiel: v= e= 7 8 e 7 m= 975 / 3 ) g dezimal = ( ) (, + / 3 ) 8 7 = ( + ) =,5 * =,5

27 3-7 Umrechnung Dezimalzahl nach IEEE 754. Rechne Absolutwert der Dezimalzahl in Festkommabinärzahl um und zwar mit 3 Binärstellen hinter der ersten (siehe Folie ). Verschiebe das Komma um n Stellen nach links bzw. um -n Stellen nach rechts, so dass die Zahl die Form, bekommt. 3. Schreibe das Vorzeichenbit ( falls negativ, sonst) 4. Rechne e=n+7 und schreibe binäre Darstellung von e. 5. Schreibe m (Bitfolge hinter dem Komma aus Schritt ) Beispiel: 4,., (vgl. Folie )., n=3 3. v= =3 e= 5. m= Ergebnis: (Gerundet: )

28 3-8 Rechnen mit Fließkommazahlen Im Prinzip sehr einfach:. Exponenten angleichen (Zahl mit kleinerem Exponenten wird denormalisiert). Mantissen addieren/subtrahieren/multipilieren/dividieren 3. Ergebnis normalisieren 4. Fertig!

29 3-9 Rechnen mit Fließkommazahlen (Beispiel), ,5,75, e = = 3 m = 53,5, e = = 3 m = e < e e anpassen!, +,,, e 3 = 33! 66,5 =

30 3-3 Vor- und Nachteile beim Rechnen mit Fließkommazahlen Vorteile: Fließkommazahlen fühlen sich für den Programmierer prinzipiell wie reelle Zahlen an. Großer Wertebereich, inkl. Werten für +inf. und inf. Nachteile: Sie sind nur endlich genau! Zahlen, die im Dezimalsystem exakt dargestellt werden können, müssen im Binärsystem u.u. gerundet werden. Durch diese Ungenauigkeit kommt es schon bei einfachen Rechnungen zu Rundungsfehlern! Beispiel: = = = aber: = = (Distributivgesetz verletzt!) Konsequenz: Für Rechenaufgaben, die wirklich exakt erledigt werden müssen (z.b. im Bankwesen), ist Fließkommaarithmetik in der Regel ungeeignet. Verwenden Sie möglichst Double-Precision-Fließkommazahlen (64 Bit: Vorzeichenbit, Bit Exponent, 5 Bit Mantisse)

31 3-3 Ergänzung: Das Hexadzimalsystem Neben dem Binärsystem gibt es für den Programmierer noch ein weiteres wichtiges Zahlensystem: das Hexadezimalsystem, kurz: Hex 6 Ziffern:,,,3,4,5,6,7,8,9,a,b,c,d,e,f a bis f stehen für die Zahlen bis 5 Umrechnung zwischen Dezimal und Hex funktioniert völlig analog zum Binärsystem

32 3-3 Beziehung zwischen Dezimal-, Binär- und Hexadezimalsystem Beispiel: 53 Zahlenbasis : Hunderter Zehner 5 Einer 3 Zahlenbasis : Zahlenbasis 6 : 6 f 6 d

33 3-33 Verwendung des Hexdezimalsystems Obwohl moderne Computer ausschließlich binär rechnen, verwenden Programmierer oft die Hex- Schreibweise, um Binärzahlen kompakter schreiben zu können. Eine Hex-Ziffer entspricht immer vier Bit: f 6 d Bytes werden daher typischerweise als Folge von zwei Hex-Ziffern angegeben.

34 3-34 Die Central Processing Unit (CPU) Grundlagen Durch das Binärsystem ist es Rechnern möglich, mit nur zwei unterscheidbaren Zuständen alle möglichen Berechnungen durchzuführen. Wie funktioniert das konkret? Auf einer CPU sind etliche Transistoren so verschaltet, dass damit gerechnet werden kann. Beispiel: NAND-Gatter:

35 3-35 Die Central Processing Unit (CPU) Grundlagen ()

36 3-36 Befehlszyklus einer CPU Auf ähnliche Weise kann man Schaltungen für andere Rechenoperationen konstruieren. Insbesondere auch zur Verarbeitung von Fließkommazahlen. Woher weiß die CPU aber, welche Rechenoperationen sie ausführen muss und welche Schaltung gerade verwendet werden soll? Die Central Processing Unit (CPU) heutiger Rechner arbeitet in vier Schritten:. Fetch: Befehl und Daten aus dem Speicher holen. Decode: Befehl decodieren und Steuersignal an das Rechenwerk (ALU) anlegen 3. Execute: Berechnung ausführen 4. Store: Ergebnis in den Speicher zurück schreiben

37 3-37 Die Central Processing Unit (CPU) Speicherwerk Adresse x x x3 x4 xffff Wert xf xf8 x x4e x4 Machinenprogramm mit Befehlen und Daten Busse Adresse Wert Programmzähler CPU Steuerwerk (Befehls-)Registerspeicher Befehlsdekoder Rechenwerk (Rechen-)Registerspeicher Rechenschaltungen steuert Ein-/Ausgabewerk ist nicht dargestellt. Dieses wird jedoch ebenfalls über Busse an die CPU angebunden

38 3-38 Die Central Processing Unit (CPU) Maschinencode-Beispiel x86 : EA 5 C 7 B4 CD 6 C 3 C : C B4 E BB 7 B D CD B CD CD : B D CD 88 C8 3C 3 7 DB 3C 3A 7 C 3C 45 3: 73 D3 B 3 CD 88 C8 C A CD EB C7 Sprungbefehl: Lade Programmzähler mit Adresse 7C:5 Datenregister mit Konstante Laden: Schreibe in das Register ah Ein-/Ausgabewerk benutzen: Signal 6 bedeutet bei ah=: Lese einen Tastendruck ein. Ergebnis (ASCII-Wert) wird in das Register al geschrieben Addiere: Rechne Wert in al + Wert in al und schreibe Ergebnis nach al. Und so weiter Subtrahiere Konstante: Subtrahiere 3 vom Wert in al und schreibe Ergebnis nach al

39 3-39 Zusammenfassung Computer sind weniger magisch als Sie vielleicht dachten. Wenn Sie sich für die genaue Bedeutung der Maschinenbefehle interessieren, schauen Sie doch einfach nach. Z.B. hier: Als (Anwendungs-)Programmierer müssen sie aber nicht die Machinensprache beherrschen das erledigen Entwicklerwerkzeuge (sog. Compiler) für sie. Was Sie aber mindestens wissen sollten: Wie stellt der Computer Zahlen dar? - Ganze Zahlen - Ganze Zahlen mit Vorzeichen (Einer- und Zweierkomplement) - Fließkommadarstellung Wo liegen die Grenzen dieser Darstellungen (Wertebereich, Genauigkeit)? Wie rechnet man mit diesen Darstellungen? Wie kann man Bitfolgen kompakt im Hexadezimalsystem darstellen?

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