Geradlinige Ausbreitung des Lichts im homogenen und isotropen Medium, Reflexionsgesetz, Brechungsgesetz.

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1 O1 Geometrische Optik Stoffgebiet: Abbildung durch Linsen, Abbildungsgleichung, Bildkonstruktion, Linsensysteme, optische Instrumente ( Beleuchtungs- und Abbildungsstrahlengang im Projektionsapparat ) Versuchsziel: Brennweitenbestimmungen über die Linsenformel und mit Hilfe der Besselschen Methode sollen Grundelemente der geometrischen Optik näherbringen. Der Aufbau des Projektionsapparates soll einige Aspekte der technischen Optik aufzeigen. Literatur: Lehrbücher der Physik, z.b. Hering, Martin, Stohrer: Physik für Ingenieure S. 403 ff Dobrinski, Krakau, Vogel: S Zeller-Franke: S. 429 ff, S. 448 ff Walcher: Praktikum der Physik, S. 130 ff 1. Grundlagen Optische Probleme müssen grundsätzlich unter Berücksichtigung der Wellennatur des Lichtes behandelt werden. Wenn jedoch die Wellenlänge des Lichts im Verhältnis zu den aktuellen Abmessungen ( z.b. Objektstruktur, Linsen- und Blendendurchmesser ) als vernachlässigbar klein angenommen werden darf, wird mit Erfolg die mathematisch einfachere geometrische Optik oder Strahlenoptik angewandt. Man spricht von Lichtstrahlen und stützt sich auf folgende drei Elementargesetze: Geradlinige Ausbreitung des Lichts im homogenen und isotropen Medium, Reflexionsgesetz, Brechungsgesetz. Typische Wellenerscheinungen wie Interferenz und Beugung kann die geometrische Optik nicht klären. O1 1/14

2 1.1 Abbildung durch Linsen Ein wichtiges Anwendungsgebiet der geometrischen Optik ist die optische Abbildung durch Linsen. Linsen entstehen durch hintereinander angeordnete brechende Flächen und sind lichtdurchlässige Körper aus einer brechenden Substanz ( Brechzahl n L ), die von gekrümmten Flächen begrenzt sind. Bei den ( technisch am einfachsten herstellbaren ) durch Kugelflächen begrenzten Linsen nennt man die Verbindungslinie der Kugelmittelpunkte optische Achse. Sammel- oder Konvexlinsen ( L + ) sind in der Achse dicker, Zerstreuungs- oder Konkavlinsen ( L - ) sind in der Achse dünner als am Rand. Vereinfacht haben diesen beiden Linsentypen folgende Eigenschaften: Ein parallel zur optischen Achse einfallendes Lichtbündel wird von einer Sammellinse in einem hinter L + liegendem Brennpunkt F vereinigt, von einer Zerstreuungslinse so gebrochen, als ob es von einem vor L - liegendem Brennpunkt herkäme. opt. F Achse F L + L Abbildung durch eine Sammellinse L + Die abbildende Wirkung einer Sammellinse lässt sich vereinfacht beschreiben, wenn man enge, achsennahe ( paraxiale ) Strahlenbündel und einfarbiges ( monochromatisches ) Licht voraussetzt. In der Praxis unvermeidbare Abweichungen davon, führen zu sog. Linsenfehlern ( sphärische und chromatische Fehler ). Der wirkliche Verlauf der Lichtstrahlen innerhalb der Linse wird durch das Brechungsgesetz bestimmt und ist sehr kompliziert. Unter den oben genannten Voraussetzungen ist es möglich, den physikalischen Strahlengang durch einen mathematischen Strahlengang zu ersetzen, der innerhalb der Linse wesentlich einfacher ist und außerhalb mit dem physikalischen zusammenfällt. Der vereinfachte Strahlengang wird durch die Einführung von sog. Hauptebenen und Brennebenen festgelegt. O1 2/14

3 Gegenstandsraum (ungestrichene Größen) Bildraum ( gestrichene Größen) n n A (1) B D C y S F O O F S H H (2) (-)y A (-)z (..)f f z (-)a a Abb. 1: Abbildung durch eine Sammellinse ( Die Punkte S, S nennt man Linsenscheitel; die Schnittpunkte der Haupt- bzw. Brennebenen mit der optischen Achse sind die Hauptbzw. Brennpunkte. ) Ein vom Gegenstandspunkt A in Richtung B verlaufender und zur opt. Achse paralleler Strahl (1) wird auf der vorderen Linsenfläche zum Einfallslot hin gebrochen. Beim Austritt wird er vom Lot weg gebrochen und geht durch den bildseitigen Brennpunkt F. Der Schnittpunkt D der Geraden durch AB und F C legt die bildseitige Hauptebene H fest. Durch Einführung der Hauptebene H wird somit die zweimalige Brechung in B und C auf eine gedachte einmalige Brechung in D zurückgeführt. Analog gelangt man zur gegenstandsseitigen Hauptebene H, wenn man den Lichtweg (2) verfolgt ( Brennstrahl Parallelstrahl ). Die Abstände von Hauptebene zu Brennebene nennt man Brennweite f bzw. f ` und von Hauptebene zu Gegenstand bzw. Bild, Gegenstandsweite a bzw. Bildweite a`. Wenn Gegenstandsraum a und Bildraum a` im gleichen Medium sind, ergibt sich f = - f ( n = n`). O1 3/14

4 Vorzeichenkonvention nach DIN 1335 für technische Strahlenoptik Zum Rechnen mit Abständen in Gegenstands- und Bildraum ist die Festlegung der Vorzeichen folgendermaßen vereinbart: Im Gegenstandsraum wird ein Koordinatensystem mit Ursprung in H, im Bildraum ein solches mit Ursprung in H verwendet. Gegenstandsraum Bildraum y y` F F a a` H H Abb. 2 Koordinatensystem K h, K h Danach wird die Brennweite f und Gegenstandsweite a bei L + negativ (K h ), Brennweite f ` und Bildweite a` dagegen positiv ( K h ) bewertet. Die eingeklammerten Vorzeichen in Abb. 1 sollen an diese Regelung erinnern ( in älterer Literatur noch nicht üblich! ). Anmerkung: Nach DIN 1335 können auch Koordinatensysteme mit Ursprung in F bzw. F verwendet werden. Mit den besonders ausgezeichneten Parallel- und Brennstrahlen kann bei bekannter Lage der Haupt- und Brennebenen die eindeutige Konstruktion der optischen Abbildung erfolgen. Ausgehend vom Gegenstand OA = y kann das Bild O`A` = y` konstruiert werden. Der sog. Hauptstrahl AH hat zusätzlich die Eigenschaft, dass er im Bildraum unter dem gleichen Winkel zur opt. Achse verläuft wie im Gegenstandsraum ( parallel versetzt ) Dünne Linsen Bei dicken Linsen oder Linsensystemen ist die Einführung der beiden Hauptebenen meist zwingend erforderlich. Diese können außerhalb des Linsensystems liegen oder eng benachbart auf einer Seite des Systems. Für die Bildkonstruktion ist neben der Angabe der Brennweite auch die Lage der Hauptebenen, von denen ab die Brennweite gemessen wird, anzugeben. Nur bei dünnen Linsen liegen die Hauptebenen H und H in vernachlässigbarem Abstand etwa in der Mitte zwischen den Linsenscheiteln S und S` und nur hier kann die Brennweite ab der Mitte gerechnet werden ( Ursprünge von K h und K h fallen zusammen ). Bei der Abbildungskonstruktion wird aus dem parallel versetzten Hauptstrahl der durchgezogene Mittelstrahl. O1 4/14

5 1.2 Abbildungsgleichungen Für die Sammellinse lässt sich aus Abb.1 folgende Beziehung ablesen ( Ähnlichkeit von Dreiecken ) : y f z = = y z f Daraus ergibt sich die sog. Newton`sche Abbildungsgleichung: zz=ff y F F ` H H ` (-)y ` (-)z (-)f f ` z ` Abb. 3: Ähnliche Dreiecke im Strahlengang einer Sammellinse Bei Einführung der Gegenstandsweite a = f + z und der Bildweite a` = f ` + z `, sowie unter Berücksichtigung von f = - f ` ( n = n`) erhält man die Linsenformel : In den meisten Fällen sind bei der Berechnung nur die Beträge von a, a`, f und f ` von Bedeutung: = = f f a a = = + f f a a Aus Abb. 1 oder Abb. 3 lässt sich weiterhin die Beziehung y a = =ß y a gewinnen Man nennt ß die Lateral- (Seiten-) -Vergrößerung oder den Abbildungs- masstab. Die Größe ß ist vorzeichenbehaftet; negatives ß bedeutet Bildumkehrung. O1 5/14

6 1.3 Bildkonstruktion Nach DIN 1335 wird als Lichtrichtung die Richtung von links nach rechts gewählt und die opt. Achse strichpunktiert gezeichnet. Bei bekannter Lage der Brenn- und Hauptebenen kann nun das Bild y` des Gegenstandes y konstruiert werden, wenn man zwei der ausgezeichneten Strahlen ( Parallel-, Haupt- und Brennstrahl ) benutzt. Dabei gelten folgende Regeln: Brennstrahl b Parallelstrahl p` Parallelstrahl p Brennstrahl b` Der Hauptstrahl verläuft unter gleichem Winkel zur opt. Achse parallel versetzt. 4` F H H ` F ` 1` 2` 3` Abb. 4 Bildkonstruktion mit Haupt-, Parallel- und Brennstrahl Es ergeben sich folgende für Sammellinsen typische Eigenschaften (Vorzeichenregelung beachten!) : a= a=f Parallelstrahlen werden in f ` gesammelt (1) a>2f f <a<2f verkleinertes Bild ( 0 > ß > -1 ) (2) a=2f a=2f Bild und Gegenstand gleich groß ( ß = -1 ) (3) 2f>a>f a>2 f vergrößertes Bild ( ß < -1 ) a=f a= Bild rückt ins Unendliche (ß = - ) (4) a<f a<0 virtuelles und aufrechtes Bild ( ß > 0 ); im Bildraum divergente Bündel. O1 6/14

7 Anmerkung: Bei Zerstreuungslinsen L - erhält man genau dieselben Abbildungsgleichungen wie bei Sammellinsen, wenn man berücksichtigt, dass die Lage der Brennebenen F und F ` vertauscht ist. Nach der Vorzeichenregelung ist daher bei L - f `negativ und f positiv. Auch die Bildkonstruktion verläuft analog. Für Konkavlinsen ist typisch: Man erhält nur virtuelle und keine reellen Bilder. 1.4 Linsensysteme Für ein aus zwei beliebigen Einzellinsen L 1 und L 2 zusammengesetztes System bei dem der Abstand der Hauptpunkte H 1`H 2 = t ist ( t > 0 ), gilt für die Berechnung der resultierenden Brennweite f ` des Linsensystems aus den Brennweiten f 1` und f 2` der Einzellinsen: t = + f f f f f oder ϕ = ϕ + ϕ t ϕ ϕ ( Die reziproke Brennweite 1 f = ϕ hat den besonderen Namen Brechkraft; ihre Einheit ist die Dioptrie ( dpt ); 1 1dpt =1m. ) Obige Formel kann zur Berechnung der Brennweite von Zerstreuungslinsen L verwendet werden; die Zerstreuungslinse liefert nämlich nur virtuelle Bilder und ist somit einer direkten Brennweitenbestimmung durch Messung von Gegenstands- und Bildweite nicht zugänglich. Man kombiniert L - mit einer Sammellinse L + bekannter Brennweite f +` zu einem System, das noch sammelnd wirkt und die Gesamt - brennweite f ` hat. Bei dünnen Sammel- und Zerstreuungslinsen, die sich in geringem Abstand befinden ( t ) << f f+ ergibt sich für dir Brennweite f ` von L _ : = f f f + oder ϕ = ϕ ϕ + Daraus ergibt sich nach Bestimmung von f + und f ( Messung von Bild- und Gegenstandsweite und Anwendung der Linsenformel ) die gesuchte Brennweite f _ der Zerstreuungslinse. O1 7/14

8 2. Versuchsdurchführung Versuche mit optischen Elementen werden meist auf einer sog. optischen Bank durchgeführt. Linsen, Lichtquellen usw. werden von Reitern getragen, die an ihrem Fuß eine Ablesemarke tragen und auf einer Schiene mit Millimetereinteilung verschiebbar angeordnet sind. Die Ablesemarke liegt meist nicht in einer für die auf dem Reiter befindlichen Elemente optisch relevanten Ebene. Deshalb muss in einem Vorversuch die relative Lage von Ablesemarke zu Linsenmitte bzw. Objekt- oder Bildebene ermittelt werden ( siehe dazu Abschnitt 2.4 ). 2.1 Bestimmung der Brennweite einer dünnen Sammellinse mit Hilfe der Linsenformel Man beleuchtet dazu einen Gegenstand G ( Glasträger mit Millimeterskala ) durch eine Lichtquelle L und bildet G scharf auf einem Schirm S ab. Da die Scharfstellung nur unsicher beurteilt werden kann, werden mehrere Messungen mit unterschiedlicher Gegenstandsweite vorgenommen. Man erhält so a` als Funktion von a. Zur Auswertung verwendet man die Linsenformel umgeformt in: y=x+ ϕ mit 1 y= a, 1 x= a und 1 ϕ = f Dies ist die Gleichung einer Geraden mit einer Steigung 1 und einem Achsenabschnitt ϕ. Man trägt also x gegen y in einem rechtwinkligen Koordinatensystem gegeneinander auf und legt entweder graphisch oder numerisch eine Ausgleichsgerade durch die Messpunkte. Aus dem Achsenabschnitt kann dann die reziproke Brennweite ϕ entnommen werden ( s. Abb. 5 ). 1 f 1 a 1 a Bei der Messung ist darauf zu achten, daß die Messpunkte über den ganzen Messbereich verteilt sind, d.h. es sollten stark vergrößernde und vor allem auch stark verkleinernde Abbildungen berücksichtigt werden. Nur so ist der Fehler des Achsenabschnitts möglichst klein. Abb. 5 Ausgleichsgerade bei Brennweitenbestimmung mit Hilfe der Linsenformel O1 8/14

9 2.2 Bestimmung der Brennweite einer dünnen Sammellinse mit der Besselschen Methode Die Methode von Bessel geht davon aus, dass bei einem festen Abstand e zwischen Gegenstand G und Schirm S ( dabei ist e > 4f ` ) zwei Linsenstellungen existieren, die jeweils ein scharfes Bild liefern. Aus der Linsenformel folgt nämlich mit e = a` - a = const. : 2 a ae+ef =0 Dies ist eine quadratische Gleichung für a` mit den Lösungen a`1 = -a 2 und a`2 = -a 1. Die Lösungen verhalten sich so, als ob die Positionen von Bild und Gegenstand vertauscht wären. 1 2 G S F `2 F `1 Bild 1 d Bild 2 Abb. 6: Brennweitenbestimmung mit dem Besselverfahren Wenn man den Abstand d der beiden Linsenstellungen einführt, erhält man für die Brennweite f ` der Linse 2 1 d f = e 4 e Ein Vorteil des Besselverfahrens ist darin zu sehen, dass bei fest eingestelltem Abstand e zwischen G und S nur die relative Verschiebung d der beiden Linsenstellungen gemessen wird. O1 9/14

10 2.3 Aufbau eines Projektionsapparates Die wesentlichen Elemente eines Projektionsapparates sind Lichtquelle L, Kondensor K, Diapositiv D, Objektiv O und Bildschirm S. Das Diapositiv wird durch das Objektiv scharf auf dem Schirm abgebildet. Die Wirkungsweise des Kondensors, der aus einer kurzbrennweitigen Sammellinse mit großem Durchmesser besteht, lässt sich am besten anhand einer Skizze erklären: L (1) D O (3) (2) L` S (3) (2) Bild (1) der Lichtquelle a) ohne Kondensor S O L K D L` (3) (2) (2) (3) b) mit Kondensor Bild der Lichtquelle Abb. 7 Projektionsapparat mit und ohne Kondensor Zum besseren Verständnis der Darstellung in Abb. 7 ist die bei optischen Instrumenten häufig benutzte Unterscheidung von Beleuchtungs- und Abblildungsstrahlengang erforderlich, je nachdem die Abbildung der Lichtquelle oder des Objekts (hier des Dias) durch die Linsen des Instruments in Frage steht. Dabei werden nur selten die bei der Bildkonstruktion wichtigen ausgezeichneten Strahlen ( Brenn-, Parallelstrahlen ) benutzt. O1 10/14

11 (3) Beleuchtungsstrahlengang: Strahlen des Strahlenpaares (3) schneiden sich am Ort von L und L`. (2) Abbildungsstrahlengang: Strahlen des Strahlenpaares (2) schneiden sich am Ort von D und S. Das Strahlenpaar (1) in Abb. 7a zeigt die begrenzende Wirkung der Objektivfassung auf den abgebildeten Bereich des Dias. Der Kondensor bildet L in O ab und vergrößert so den abgebildeten Bereich des Dias. ( Unbeeinflusst bleibt daneben der Abbildungsmaßstab bei der Abbildung des Dias durch das Objektiv auf den Bildschirm. ) Um die Baulänge des Projektors kurz zu halten, wählt man für die Abbildung der Lichtquelle L in der Regel ß = -1 ( symmetrische Abbildung ). Ein zweiter Vorteil des Kondensors ist die Erhöhung der Lichtausbeute. 2.4 Messungen und Auswertungen Die Brennweite einer Sammellinse L + soll nach Abschnitt 2.1 bestimmt werden. ( Es soll sich nur die Sammellinse im Linsenhalter befinden ) Dazu ist der funktionale Zusammenhang zwischen Gegenstandsweite a und Bildweite a` für 10 bis 15 geeignet gewählte Einstellungen zu messen. Für die Messung bei stark verkleinernder Abbildung ist die Spannung U der Lampe zu reduzieren, da sonst wegen der zu großen Helligkeit des Bildes keine Einzelheiten erkannt werden können. Die Brennweite f + ist aus einem Diagramm analog Abb. 5 zu entnehmen. Durch Variation der graphisch ermittelten Ausgleichsgeraden soll der maximale Fehler von f + abgeschätzt werden. 1 Δ f = Δ f f ( ) Die bisher verwendete Sammellinse L + wird mit einer Zerstreuungslinse L - kombiniert ( L K = L + L - ). Die Linsenkombination L K kann im vorliegenden Fall als dünne Sammellinse betrachtet werden. Es ist die Brennweite von L K ( f K ) mit dem Besselverfahren nach Abschnitt 2.2 zu bestimmen. Dazu sollen bei einem fest gewähltem Abstand (e = 1000 mm) 10 unabhängige Messungen der Linsenverschiebung d vorgenommen werden. Mittelwert und mittlerer Fehler von d sind zu berechnen ( s. Abschnitt 2.2 in Anleitung zur Fehlerrechnung ). O1 11/14

12 Mit Hilfe des totalen Differentials lässt sich der Fehler von f K aus der Formel 1 d f K = e 1 4 e 2 berechnen. f e f d K K Δf K = Δe + Δd wobei Einsetzen ergibt den absoluten Fehler: fk 1 d = 1+ e 4 e fk 1 d = d 2 e d 1 d Δ f K = 1+ Δe+ Δd 4 e 2 e Division durch f K führt auf den relativen Fehler Δ fk 1+z Δ e 2 z Δd = + f 1 z e 1 z d K mit d z= e 2 Mit f K und f + soll nach Abschnitt 1.4 ( Linsensysteme ) die Brennweite f - der Zerstreuungslinse und deren relativen Fehler ermittelt werden: = f f f K + Für die Fehlerabschätzung von f - wird die Formel nach f - aufgelöst: f f f = f f K + + K Die Regeln für die Fehlerfortpflanzung ergeben: Δ f Δ f Δ f Δ f + Δf = + + f f f f f K + + K K + + K O1 12/14

13 Anmerkung zu und Vor der Messung ist jeweils die relative Lage von Ablesemarke zu Linsenmitte, Objektebene und Schirmebene zu bestimmen, damit die abgelesenen Werte korrigiert werden können. Dazu wird am besten folgendermaßen verfahren: Man bildet das Objekt so scharf ab, dass die Abbildung gut reproduzierbar ist ( z.b. starke Vergrößerung bei der Eichung von O - und L- Reiter ). Anschließend wird eine Reiterkante ( nicht Ablesemarke ) z.b. links abgelesen. Der Reiter wird umgedreht und bei unveränderter Lage aller übrigen Reiter nochmals scharfgestellt. Die gleiche Kante ( jetzt rechts ) wird abgelesen. Der Mittelwert beider Ablesungen ergibt die Lage der Linsenmitte bzw. des Objekts. (1) (2) Mittelwert aus (1) und (2) ergibt die Lage der Linsenmitte Aufbau eines Projektionsapparates ( Modell ) mit und ohne Kondensor Mit einem Objektiv ( f 0 = 85 mm, 28 mm ) und einer Sammellinse als Kondensor ( f K = 60 mm, 45 mm ) soll ein Projektionsapparat aufgebaut werden. Die Lichtquelle ist eine Glühlampe ( vorher die auf die Lampenfassung aufgesteckte Linse entfernen, so dass die Glühlampe( -wendel) sichtbar wird! ). Sie wird mit der Kondensorlinse in das Objektiv abgebildet ( ß = -1 ). Für die Abbildung des Dias soll möglichst genau die Vergrößerung ß = -10 eingestellt werden ( Maßstab abbilden! ). Machen Sie am Modell die Vergrößerung des abgebildeten Bereichs des Dias deutlich ( Kondensorwirkung )! O1 13/14

14 3. Fragen (1) a) Für eine Sammellinse mit f ` = - f = 32 mm und HH` = 16 mm ist die Abbildungskonstruktion für einen Gegenstand mit y = 20 mm und - a = 98, 64, 48, 20 mm durchzuführen. b) Was ändert sich, wenn HH` = 0 ist ( dünne Linse )? c) Führen Sie die Abbildungskonstruktion an einer Zerstreuungslinse durch mit f = - f ` = 32 mm, HH` = 16 mm, y = 20 mm und a = - 30 mm! (2) Wie kann man möglichst einfach feststellen, ob eine Sammellinse als dünne Linse behandelt werden kann ( Hinweis: zusätzliche Messung von ß )? (3) Warum soll die Kondensorlinse beim Projektor kleine Brennweite und großen Durchmesser haben ( Hinweis: Betrachten Sie den Zusammenhang mit Baulänge, Lichtausbeute und Diagröße! )? (4) Vollziehen Sie die Fehlerrechnung in Abschnitt nach und ergänzen Sie die fehlenden Schritte! O1 14/14

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