Anfänger-Praktikum I WS 11/12. Michael Seidling Timo Raab. Praktikumsbericht: Torsionsoszillator

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1 Anfänger-Praktikum I WS 11/12 Michael Seidling Timo Raab Praktikumsbericht: Torsionsoszillator 1

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis I. Einführung 3 II. Grundlagen 3 1. Torsionsfeder 3 2. Trägheitsmoment 3 3. Wirbelstrombremse 5 4. Schwingungen Harmonische Schwingung Gedämpfte Schwingung Erzwungene Schwingung III. Versuch 9 1. Aufbau 9 2. Versuchsdurchführung Dynamische Bestimmung der Torsionskonstante Fehlerbetrachtung Freie Gedämpfte Schwingung Fehlerbetrachtung Erzwungen Schwingung Fehlerbetrachtung IV. Fragen 22 V. Angang Abbildungs- und Tabellenverzeichnis Quellen 23 2

3 2 TRÄGHEITSMOMENT Teil I. Einführung In diesem Versuch sollen mechanische Schwingungen unter verschiedenen Bedingungen betrachtet werden. Hierfür werden verschieden starke Dämpfungen verwendet. Außerdem wird am Ende noch das Verhalten bei einer erzwungenen Schwingung betrachtet. Teil II. Grundlagen 1. Torsionsfeder Im Allgemeinen ist eine Torsionsfeder eine runde Feder bzw. ein Faden, wobei eine Drehung um deren Drehachse ausgeführt werden kann. Dabei wird die Feder verdrillt und es tritt ein rücktreibendes Drehmoment auf. Ist das rücktreibende Drehmoment proportional zum ausgelenkten Winkel ϕ, so kann man eine Torsionskonstante D einführen, welches die Proportionalitätskonstante in dieser Gleichung ist. Allgemein gilt für das Drehmoment M = D ϕ (1) M = r F für: r F M = r F sin 90 = r F (2) 2. Trägheitsmoment Bei einer Rotation eines starren Körpers besitzt jeder Massepunkt eine eigene Geschwindigkeit in Abhängigkeit zu seinem Abstand zur Drehachse. v i = ω r i (3) v i ist die Geschwindigkeit an dem Massenpunkt m i, r i ist der senkrechte Abstand zur Drehachse, ω ist die Winkelgeschwindigkeit. 3

4 2 TRÄGHEITSMOMENT Für die Rotationsenergie summiert man nun alle Massenpunkte auf E rot = N i=1 3 = m iv 2 i N m i ω 2 ri 2 i=1 = 1 2 Θω2 (4) Θ = N i=1 m i r 2 i ist das Trägheitsmoment eines Körpers und ist im Allgemeinen abhängig von der Position und Lage der Drehachse. Man kann nun das Trägheitsmoment auch in Abhängigkeit zum Drehmoment darstellen. Das Drehmoment ist die zeitliche Ableitung des Drehimpulses L. M = dl dt = i = i 3 = i d dt (r i p i ) d dt (r i m i v i ) d dt (r i m i varphi r i ) = i (r 2 i m i ) ϕ = Θ ϕ (5) Betrachtet man infinitesimal kleine Massen ergibt sich für einen Körper mit konstanter Dichte das Trägheitsmoment Θ = lim iri 2 m i 0 = r 2 dm (6) = ρ r 2 dv (7) In unserem Versuch benötigen wir das Trägheitsmoment eines Hohlzylinders V Θ Hohlzylinder( V iertel) = 1 2 m(r2 i + r 2 a) (8) Wenn die Drehachse nicht durch den Schwerpunkt des Körpers geht, benötigen wir für die Berechnung des Trägheitsmoments den Steinerschen Satz. Θ a = Θ s + m a 2 (9) 4

5 4 SCHWINGUNGEN Θ a ist die das Trägheitsmoment bei der Rotation um die Achse A, Θ s ist das Trägheitsmoment durch den Schwerpunkt. Zur Berechnung von Θ a müssen die Achse A und die Achse durch den Schwerpunkt parallel sein. a ist der Abstand zwischen den beiden Achsen. 3. Wirbelstrombremse Um das System zu dämpfen verwenden wir eine Wirbelstrombremse. Diese besteht hier aus den Permanentmagneten ober- und unterhalb der sich drehenden Scheibe. Durch die Bewegung der Scheibe durch das Magnetfeld wird Spannung induziert. Nach der Lenz schen Regel bremst der entstehende Strom die Scheibe ab, wodurch wir in unserem Versuch eine kontrollierte Dämpfung einbauen können, indem wir die Magneten weiter oder weniger weit hinein schrauben. Diese Dämpfung ist proportional zur Geschwindigkeit der Scheibe. Später verwenden wir die Wirbelstrombremse noch, um bei der erzwungen Schwingung eine Resonanzkatastrophe zu verhindern. 4. Schwingungen Bei einer Schwingung handelt es sich um eine System, welches aus dem Gleichgewicht gebracht wurde und eine rücktreibende Kraft das System wieder in die Ausgangslage zurück zwingt. Dabei findet eine Energieumwandlung statt Harmonische Schwingung Der einfachste Fall einer Schwingung ist die harmonische Schwingung. Hier tritt keine Reibung auf, es handelt sich also um ein idealisiertes System. Für die Drehschwingung lässt sich dann folgende Differentialgleichung aufstellen: M 5 = Θ ϕ 1 = D ϕ 0 = D Θ ϕ + ϕ (10) Diese lässt sich durch eine Sinusfunktion ganz einfach lösen: ϕ = A sin(ωt + γ) (11) ϕ = A ω 2 sin(ωt + γ) (12) Es gilt dann: 0 = D Θ A sin(ωt + γ) A ω2 sin(ωt + γ) D ω = Θ Θ T = 2π D (13) (14) 5

6 4 SCHWINGUNGEN 4.2. Gedämpfte Schwingung Bei einer gedämpften Schwingung tritt ein weiteres Drehmoment auf, welches abhängig von der Winkelgeschwindigkeit und dem Reibungskoeffizienten ist. M R = η ϕ (15) Für die Differentialgleichung bei einer gedämpften lautet dann: mit Θ ϕ = D ϕ η ϕ 0 = ϕ + η D ϕ + Θ Θ ϕ (16) 0 = ω0 2 ϕ + 2β ϕ + ϕ (17) 2β := η Θ, β heißt Dämpfungskonstante (18) ω 2 0 := D Θ, ω 0 ist die Eigenfrequenz des ungedämpften Schwingers (19) Hier gibt es nun verschiedene Lösungen der Gleichung je nach Stärke der Dämpfung. Fall 1: Bei β < ω spricht man von schwacher Dämpfung. Eine Beispiel für eine gedämpfte Schwingung ist z.b. das folgende Bild. Abbildung 1: Gedämpfte Schwingung Hierbei sieht man nun gut, wie die Amplitude stetig kleiner wird. Außerdem sieht man eine einhüllende Kurve, welche eine e-funktion ist. Also ist die Lösung für unsere Differntialgleichung in diesem Fall ϕ g (t) = A e βt cos(ω g t γ) (20) 6

7 4 SCHWINGUNGEN mit A := Amplitude am Anfang (21) ω g := ω0 2 β 2 (22) γ := Phasenverschiebung der Schwingung (23) Fall 2: Bei β = ω spricht man vom aperiodischen Grenzfall. Hierbei findet keine Schwingung mehr statt, allerdings ist ein Nulldurchgang möglich. Dieser Fall ist in der Praxis sehr wichtig, da hierbei ein Schwinger am schnellsten in seine Ruhelage zurückkehrt. Dadurch kann man eine Schwingung sehr schnell beenden. In unserem Versuch spielt der Fall allerdings keine Rolle, weswegen die Lösungen der Differentialgleichung in diesem Fall nicht behandelt werden. Fall 3: Bei β > ω spricht man von starker Dämpfung. Hierbei findet wie in Fall 2 ebenfalls keine Schwingung mehr statt und der Körper kehrt nur zur Ruhelage zurück. Allerdings geschieht dies nicht so schnell wie in Fall 2. In unserem Versuch spielt der Fall allerdings keine Rolle, weswegen die Lösungen der Differentialgleichung in diesem Fall nicht behandelt werden. Bei Gedämpften Schwingungen lässt sich noch eine weitere Größe einführen, das logarithmische Dekrement. Es ist definiert als das logarithmische Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Perioden. Daher gilt: Λ = ln 4.3. Erzwungene Schwingung ˆϕ n ˆϕ n+1 = β T (24) Bei einer erzwungenen Schwingung wirkt periodisch eine Kraft oder ein veränderliches Drehmoment. In unserem Fall ist es ein Drehmoment der Form M cos(ωt). Dadurch wird aus unserer homogenen DGL 16 eine inhomogene DGL. Θ ϕ(t) + η ϕ(t) + Dϕ(t) = M cos(ωt) (25) ϕ(t) + 2β ϕ(t) + ω 2 0ϕ(t) = M Θ cos(ωt) (26) Die Lösung dieser inhomogenen DGL ist die Summe aus der homogenen Lösung von der DGL 16 und einer Lösung der inhomogenen Gleichung. Für den zweiten Teil der Lösung nehmen wir an, dass dieser der anregenden Frequenz folgt. Also gilt für unsere Gesamtlösung der Gleichung ϕ in (t) = C cos(ωt + α) (27) ϕ er (t) = ϕ g (t) + ϕ in (t) (28) 7

8 4 SCHWINGUNGEN Da ϕ g (t) gegen Null geht, ist nach einem Einschwingvorgang nur noch ϕ in (t) in der Gleichung enthalten. Für C und α gilt dann: C = M Θ (ω 2 0 ω 2 ) β 2 + ω 2 (29) α = 2 β ω ω 2 0 ω 2 (30) Die Amplitude wird maximal, wenn ω = ω 0, da der Nenner bei der Berechnung der Amplitude minimal wird. Die Phasenverschiebung der anregenden Frequenz und der Frequenz der Schwingung geht hier gegen π. Diese Frequenz nennt man Resonanzfrequenz. 2 Wenn die Dämpfung nun gegen Null strebt, wird die Amplitude unendlich groß. Dabei spricht man dann von einer Resonanzkatastrophe, wobei das System zerstört werden kann. 8

9 Teil III. Versuch 1. Aufbau Abbildung 2: Versuchsaufbau Der Aufbau besteht aus einem Torsionsoszillator, einem Oszilloskop und einem Sinunsgenerator. Außerdem haben wir noch acht Hohlzylinderviertel zur Verfügung. Den Torsionsoszillator kann man mit Permamentmagneten ober- und unterhalb der schwingenden Kupferscheibe dämpfen. 2. Versuchsdurchführung Der Versuch besteht aus 3 Teilen Dynamische Bestimmung der Torsionskonstante Hierfür maßen wir die Periodendauer bei Schwingungen ohne Dämpfung mit verschiedenen Gewichten. Nach Gleichung 14 können wir daraus die Torsionskonstante berechnen. Unsere Massestücke hatten folgende Massen: 9

10 m 1 = 214, 47g m 2 = 214, 70g m 3 = 212, 74g m 4 = 214, 99g m 5 = 214, 37g m 6 = 214, 30g m 7 = 214, 42g m 8 = 215, 00g m mittel = 214, 37g In der folgenden Tabelle sind die gemessenen Periodendauern mit verschieden vielen Massenstücken aufgeführt. Die tiefgestellte Zahl gibt hierbei die Anzahl der Massestücke an. Messung T 0 (s) T 1 (s) T 2 (s) T 3 (s) T 4 (s) T 5 (s) T 6 (s) T 7 (s) T 8 (s) 1. 1,160 1,220 1,300 1,360 1,440 1,500 1,560 1,630 1, ,140 1,240 1,310 1,380 1,430 1,500 1,570 1,640 1, ,160 1,230 1,300 1,390 1,450 1,520 1,560 1,640 1, , T Mittel 1,155 1,230 1,303 1,377 1,440 1,507 1,563 1,637 1,677 Tabelle 1: Periodendauer in Abhängigkeit von der Anzahl der Massen Für die Durchmesser der Zylinder, die sich aus den Vierteln ergeben, gilt: Außendurchmesser: 9, 5cm ± 2mm Innendurchmesser: 4, 3cm ± 2mm Weiter entnehmen wir aus der Versuchsbeschreibung 1. die Maße der Kupferscheibe a) äußerer Durchmesser: 12,57 cm b) innerer Durchmesser: 2,59 cm c) Masse: 962 ± 2 g 10

11 2. die Maße der Welle a) äußerer Durchmesser: 2,57 cm b) innerer Durchmesser: 0,97 cm c) Masse: 283 g Die Schwungscheibe ist ein Hohlzylinder, deswegen gilt nach Gleichung 8 für das Trägheitsmoment: Θ S = 1 2 m (r2 i + r 2 a) = kg (( m)2 + ( m) 2 ) = kg m 2 Für das Trägheitsmoment der Welle gilt: Für Θ 0 gilt dann: Θ W = 1 2 m (r2 i + r 2 a) = 1 2 0, 283 kg (( m)2 + ( m) 2 ) = 2, kg m 2 Θ 0 = Θ S + Θ W = 0, (31) Für das Trägheitsmoment eines Hohlzylinderviertels gilt: Θ 8 HZV = 1 2 m (r2 i + ra) 2 = 1 2 0, 21437kg((0, 0475m)2 + (0, 0215m) 2 ) = 2, kgm 2 Für das Gesamtträgheitsmoment gilt: Θ Ges = Θ 0 + n Θ HZV (32) 11

12 Anzahl Massen T(s) ω 2 (s 2 ) Θ Ges (kgm 2 ) 0 1,155 0, , ,230 0, , ,303 0, , ,377 0, , ,440 0, , ,507 0, , ,563 0, , ,637 0, , ,677 0, ,00434 Abbildung 3: Zusammenhang zwischen der Anzahl der Massen und ω 2 Die Grafik wurde mit QtiPlot erstellt und gefittet. Als Funktion gibt QtiPlot aus: ω 2 = (4, ± 5, ) n + 3, ± 2,

13 Für die Torsionskonstante gilt: D = 4π2 T Θ 2 Ges (33) = ω 2 Θ Ges (34) ω 2 = Θ 0 D + n ΘHZV D (35) (36) Es gilt also für die Torsionskonstante: Für Θ 0 gilt dann: 4, = Θ HZV D Θ HZV D = 4, = 0, 0611 kgm2 s 2 3, = Θ 0 D Θ 0 = 3, D = 0, kgm 2 (37) 13

14 Fehlerbetrachtung Für den Fehler bei dem Mittelwert der Massen benutzen wir die empirische Standartabweichung: σ = 1 N (x i x) N 1 2 i=1 = ±0, 7136g = ±7, Für die Fehler der Hohlzylinder gilt allgemein: δθ HZ = δθ HZ δm δm + δθ HZ δr i δr i + δθ HZ δr a δr a = 1 2 (r2 i + ra) 2 δm + m r i δr i + m r a δr a (38) Die Fehler der Welle und der Schwungscheibe lassen sich leider nicht berechnen, das hier bei der Aufgabenstellung keine Fehler angegeben waren und wir diese auch nicht messen konnten. Für den Fehler der Hohlzylinderviertel gilt dann aber: δθ HZV 38 = 1, kgm 2 Dieser Fehler setzt sich dann bei den weiteren Berechnungen wie folgt fort: Für den Fehler bei der Torsionskonstanten gilt: ( ) δ D δθhzv 5, = + 4, D (39) 3 Für den Fehler von Θ 0 gilt dann: δθ 0 = Θ HZV ( δ D ) 2, Θ D 3, (40) 14

15 2.2. Freie Gedämpfte Schwingung Hier möchten wir das logarithmische Dekrement bei verschiedenen Dämpfungen bestimmen. Dafür messen wir die Frequenzen bei den Schwingungen und die maximalen Amplituden der Schwinungen. Abbildung 4: Beispiel für gedämpfte Schwingung Für die Auswertung muss beachtet werden, dass bei der schwachen Dämpfung eine Verschiebung der Nulllinie um -10 mv stattfand. Dies wird sofort berücktsichtigt. Desweiteren werden die Schwingungen geplottet, allerdings findet hierbei eine falsche Umwandlung der Daten statt, wodurch beim Plot alle Daten im negativen Bereich liegen. Daher wird bei der Auswertung die geplotteten Dateien nicht verwendet. Das logarithmische Dekrement wird nach Gleichung 24 berechnet. 1. Schwache Dämpfung Abbildung 5: NewFile12 15

16 Abbildung 6: NewFile13 Messwert Versuchsreihe 1.1 Versuchsreihe 1.2 Versuchsreihe 2.1 Versuchsreihe 2.2 U(mV) Λ U(mV) Λ U(mV) Λ U(mV) Λ , , , ,290 0,186 0, , , ,313 0,138 0, , , ,203 0,098 0, , , ,255 0,290 0,280 0,265 0,312 Tabelle 2: Berechnung des logarithmischen Dekrements 16

17 2. Mittlere Dämpfung Abbildung 7: NewFile15 Hier fand keine Messung der Frequenz durch das Oszilloskop statt. Deswegen haben wir werte notiert, wodurch wir die Frequenz berechnen können. Messwert t(s) f(hz) x 1-0,8600 x 2 0,3000 0,862 x 3 1,480 0,847 x 4 2,580 0,909 Durchschnitt 0,873 Tabelle 3: Berechnung der Frequenz Abbildung 8: NewFile16 Hier werden die Daten der wmf-datei nicht ausgelesen, was zur Folge hat, dass keine Daten fürs Plotten vorhanden sind. Außerdem wurde hierbei wiederum die Frequenz nicht gemessen. 17

18 Messwert t(s) f(hz) x 1-0,7200 x 2 0,4400 0,862 x 3 1,560 0,893 x 4 2,780 0,820 Durchschnitt 0,858 Tabelle 4: Berechnung der Frequenz Messwert Versuchsreihe 1 Versuchsreihe 2 U(mV) Λ U(mV) Λ , , , , ,0 0, ,693 0,576 0,611 Tabelle 5: Berechnung des logarithmischen Dekrements 3. Starke Dämpfung Abbildung 9: NewFile17 Messwert Versuchsreihe 1 U(mV) Λ , , ,619 0,589 18

19 4. Sehr starke Dämpfung Abbildung 10: NewFile18 Die sehr starke Dämpfung steht hier nur für ein Beispiel. Hier werden allerdings keine Berechnungen ausgeführt, weshalb auf das plotten verzichtet wurde. Für das logarithmische Dekrement gilt nach Gleichung 24: Λ = β f g = = ω0 ω g f g (2π) 2 (f 2 0 f 2 g ) f g = (2π) f 2 0 f 2 g f g (41) Abbildung 11: Zusammenhang zwischen logarithmischen Dekrement und Frequenz QtiPlot verweigert hier einen Fit. Dies liegt an den schlechten Messwerten. Darauf wird im folgenden eingegangen. 19

20 Fehlerbetrachtung Was besonders auffällt, ist das immer wieder Werte sehr stark von anderen in einer Versuchsreihe abweichen. Für dieses Phänomen haben wir allerdings nur die Erklärung, dass sich der Fehler des Oszilloskops sehr negativ auf unsere Messungen auswirkt. Man hätte hier zum Teil längere Schwingungen benötigt, um einen besseren Mittelwert zu erhalten und damit solche Ausreißer sich nicht so stark auf die Messung auswirken. Außerdem standen wir noch vor dem Problem, dass der Fit unserer Daten keine vernünftigen Kurven zustande brachte, wodurch die Berechnung des logarithmischen Dekrements für uns nicht über die Frequenz und die Dämpfungskonstante möglich war Erzwungen Schwingung Hierbei wird der Torsionsoszillator durch einen Sinusgenerator in Schwingung versetzt. Dabei wird die Amplitude und die Phasenverschiebung bei verschiedenen Frequenzen gemessen. Unsere gemessene Resonanzfrequenz liegt bei ca. 849 mhz. Abbildung 12: Zusammenhang zwischen Frequenz und Phasenverschiebung Hierbei sieht man, dass bei der Resonanzfrequenz eine Phasenverschiebung um ca. 1/4 20

21 der Periode stattfindet. Dies entspricht einer Verschiebung um 90. Bei einer Veränderung der Frequenz, entfernt sich die Phasenverschiebung von diesen 90. Abbildung 13: Zusammenhang zwischen Frequenz und Auslenkung Hier sieht man, dass bei der Resonanzfrequenz ein Maximum entsteht. Um es herum fällt die Funktion schnell ab. Bei der Resonanzfrequenz fällt auf, dass sie nahe an der Eigenfrequenz liegt, das heißt, die beste Energieübertragung findet bei ähnlichen Eigen- und anregenden Frequenzen statt Fehlerbetrachtung Fehler in den Ergebnissen finden hier wieder durch die Messungenauigkeiten des Oszilloskop statts, aber auch durch Messungenauigkeiten beim Messen der Phasendifferenz. 21

22 Teil IV. Fragen Von Welchen Materialeigenschaften hängt die Torsionskonstante ab? Sie hängt von der Elastizität eines Stoffes ab, da diese die Rückstellkraft bestimmt. Was geschieht bei sehr starker Dämpfung? Wie heißt hierzu der Fachbegriff? Diesen Fall nennt man den Kriechfall. Hierbei findet keine Schwingung statt, sondern das System kehrt nur in seine Ruhelage zurück. Welche andere Möglichkeit gibt es, ein schwingendes System zu dämpfen? Jede Form von Reibung wäre dafür möglich. Warum kann man Resonanz genau bei einer Phasenverschiebung von 90 beobachten? Wenn die anregende Schwingung im Nulldurchgang ist, ist die angeregte Schwingung genau im Umkehrpunkt. Dadurch wird das angeregte System maximal durch die anregende Schwingung beschleunigt. Wieso ist die Berechnung von Θ genauer als die von Θ 0? Im Experimentellen Teil berechnen wir Θ 0 aus Θ. Aufgrund der Fehlerfortpflanzung kann es so nicht genauer sein. Bei der mathematischen Berechnung von Θ 0 haben wir keine Messungenauigkeiten zur Verfügung, was uns nicht die Möglichkeit gibt, hier einen Fehler zu berechnen. 22

23 2 QUELLEN Teil V. Angang 1. Abbildungs- und Tabellenverzeichnis Abbildung 1: Abbildung 2: Anfängerpraktikum Tobias Lohse, Abbildung 3-13: Selbst erstellt Tabellen 1-5: Selbst erstellt 2. Quellen Skriptum - Vorlesung zum Integrierten Kurs, Prof. Dr. Wokfgang Belzig & Prof. Dr. Thomas Dekorsy, November 2006 Vorlesungsmitschrift vom WS 2011/12, Prof. Dr. Ulrich Nowak & Prof. Dr. Thomas Dekorsy eigenes AP-Protokoll Trägheitsmoment Fehlerrechnung des Anfänger Praktikums 23