n 1,,N; (Al) t 1,.,T; (A2)

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1 Anhang 1: Berechnung der periodischen Entnahme bei eigenund fremdfinanzierter Zero-Bond-Anlage mit hinreichend langer Laufzeit im Falle linearer zeitlich konstanter Tarife. 1. Eigenfinanzierte Zero-Bonds Bei der Eigenfinanzierungsstrategie müssen die Auflösungszeitpunkte für Zero-Bonds mit unterschiedlichem Anschaffungsdatum so gewählt werden, daß nach Abzug der fälligen Steuern ein maximaler, periodisch konstanter Rentenbetrag verbleibt. Zur Lösung dieses Problems kann auf Techniken der linearen Optimierung zurückgegriffen werden. Führt man für den Bruchteil der in Periode t erworbenen Zerobonds, der in der n-ten Rentenperiode veräußert oder eingelöst wird, das Symbol btn ein, so erhält man ein lineares Programm mit folgenden Neberloedingungen: I T L t=l b tn f T-t+n n 1,,N; (Al) N L btn n=l 1 t 1,.,T; (A2) t 1, T; n 1, N; (A3) Zu maximieren ist dabei c~, der bei einer ~ensionsdauer von N durch Investition in Zerobonds erzielbare periodische Rentenbetrag je periodisch investierte DM während der T-jährigen Ansparphase. Dieses lineare Programm mit den Entscheidungsvariablen c~ und btn ist mit Hilfe von Standardmethoden ohne weiteres lösbar. Wegen der TN+l Entscheidungsvariablen ist zunächst ein beträchtlicher Rechenaufwand zu erwarten. Das Problem kann jedoch erheblich vereinfacht werden, weil offensichtlich ist, daß die optimale Zero-Bond-Auflösungsstrategie bei konstantem Steuersatz auf jeden Fall dem LIFO-Prinzip genügen

2 - 83- muß. Je weiter nämlich der Erwerbszeitpunkt eines Zerobonds zurückliegt, um so höher ist die latente Steuerlast, an deren weiterer Verzinsung der Steuerpflichtige noch verdienen kann, wenn die veräußerung weiter aufgeschoben wird. Auf Grund dieser Überlegung führt auch ein einfaches Iterationsverfahren zum Ziel. Man beginnt mit zwei "vernünftigen" Schätzwerten für c~ und veräußert in jeder Periode gerade soviel nach dem LIFO-prinzip ausgewählte Zerobonds, daß die vorgegebene Entnahme c~ erreicht wird. Nach Durchrechnen von der ersten bis zur N-ten Rentenperiode verbleibt dann ein Überschuß oder Fehlbetrag, je nachdem ob der Startwert für c~ zu hoch oder zu niedrig angesetzt wurde. Stehen diese Überschüsse bzw. Fehlbeträge für 2 Startwerte von c~ zur Verfügung, so kann durch lineare Inter- oder Extrapolation jener Wert von c~ ermittelt werden, bei dem der inter- oder extrapolierte Überschuß verschwindet. Anschließend wird das Verfahren mit dem neu ermittelten c~ fortgesetzt. Schon der nach dem zweiten Iterationsschritt berechenbare Näherungswert für c~ hat eine für praktische Zwecke mehr als ausreichende Genauigkeit, wenn keine vollkommen absurden Startwerte gewählt werden. 2. Fremdfinanzierte Zerobonds Bei der Fremdfinanzierungsstrategie müssen die Entnahmebeträge einschließlich Tilgung, Schuldzinsen und Steuern durch sukzessive Veräußerung der fremdfinanzierten Zerobonds aufgebracht werden. Dabei ist zunächst zu beachten, daß die Ermittlung der optimalen Strategie bei vorgebener Entnahmestruktur mit. 59) der Suche nach einem optimalen Tilgungsplan beginnen muß Qie Ermittlung des optimalen Tilgungsplans ist jedoch relativ einfach. Einerseits hat der Steuerpflichtige wegen des Steueraufschubvorteils ein Interesse an möglichst später Tilgung 60) 59) Es wird davon ausgegangen, daß sich die Verschuldungsbedingung aus Abschnitt nur auf Neukredite bezieht, Altkredite nach Ausbleiben von Sparbeiträgen aus laufenden Einkünften also nicht sofort getilgt werden müssen. 60) Zu einer hier nicht relevanten Einschränkung vgl. Fußnote42.

3 - 84- andererseits ist Tilgung immer dann vorteilhaft, wenn Schuldzinsen steuerlich nicht abzugsfähig sind 61}. Gewährleistet ist die Abzugsfähigkeit nur flir den Teil des anfänglich aufgenommenen Kredits, der dem Anteil der noch nicht veräußerten Zerobonds entspricht; ein etwa darliber hinausgehender Kreditbestand ist nicht mehr mit dem Erwerb von Zerobonds in Verbindung zu bringen, sondern dient der Finanzierung von Konsum. Da insoweit die steuerliche Abzugsfähigkeit der Schuldzinsen zu versagen ist, ist jene Tilgungsstrategie optimal, bei der der Kreditbestand in dem Maße verringert wird, welches dem Anteil der veräußerten Zero-Bonds an der Anfangsinvestition entspricht. Werden nun Zero-Bonds nach Ablauf einer T-jährigen Ansparphase im n-ten Jahr der Desinvestitionsphase zum Marktwert von x n verkauft, so betrug ihr ursprlinglicher Anschaffungswert x (l+i)-t-n. Da bei Fremdfinanzierung die zurechenn bare Kreditsumme genau den Anschaffungskosten entspricht, bezeichnet dieser Ausdruck den gesuchten Kreditanteil und damit auch die optimale Tilgung in Periode n. Nach Ermittlung der Tilgungsbeträge können die in Periode n zu erflillenden Zinszahlungsverpflichtungen Zn aus der_differenz zwischen der ursprlinglichen Kreditsumme K und den bereits erfolgten Tilgungen ermittelt werden: n-l r(k - I x.q-t-p) p=l P (A4) Dabei ergibt sich die Kreditsumme K aus Gl.(9). Nunmehr kann die Steuerbemessungsgrundlage Mn ermittelt werden. Sie entspricht dem Marktwert der veräußerten Zerobonds abzliglieh ihrer Anschaffungskosten und der Zinsen: (A5) Die mit Hilfe der Fremdfinanzierungsstrategie erzielbare Konsumentnahme c~z soll während der gesamten N Jahre umfassenden 61) Vgl. s. 5.

4 Pensionsphase konstant bleiben. Sie muß deshalb in jeder der mit n indizierten Perioden mit der jeweils ermittelten Differenz aus dem Marktwert der veräußerten Zerobonds einerseits und den Zins-, Steuer- und Tilgungsbeträgen andererseits übereinstimmen: (A6) Berücksichtigt man die Gleichungen (A4) und (A5) für Zn und ~, so enthält das aus N Gleichungen bestehende System (A6) die N+l unbekannten c~z, x l,x2 xn Zu seiner Auflösung wird deshalb eine weitere Bedingung benötigt, die sich aus der Tatsache ergibt, daß die Summe der abdiskontierten Veräußerungserlöse xn mit dem Anschaffungswert der Zerobonds übereinstimmen muß. Da sich dieser mit der Kreditsumme deckt, muß gelten: K (A7) Zur Auflösung des Systems (A6), (A7) sei lediglich bemerkt, daß sie sich rechentechnisch sehr einfach gestaltet, weil die erste der Gl.(A6) nur c~z und xl enthält und in jeder weiteren Gleichung jeweils nur das nächsthöhere x hinzukommt. Deshalb können alle Variablen durch sukzessives Einsetzen von c~z als lineare Funktion dieser einen Unbekannten ausgedrückt werden, die dann ihrerseits aus GI.(A7) bestimmt werden kann. Auf diese Weise erhält man eine Gleichung, die c~z in Abhängigkeit von K, s, r, i und N angibt. Sie enthält zahlreiche, relativ komplizierte Terme, deren formelmäßige Darstellung keine zusätzlichen Einsichten vermitteln würde; aus diesem Grund erscheint es zweckmäßig, sich mit einer numerischen Auswertung zu begnügen. Die Ergebnisse für die Zahlenbeispiele aus den Abschnitten und sind in den Tabellen 5 und 12 enthalten. Auch ohne formelmäßige Darstellung des Endergebnisses ist aus den GI.(A4) - (A7) zu entnehmen, daß die untersuchte Ver-

5 schuldungs-und Tilgungsstrategie zwei bedeutsame Eigenschaften aufweist. Um die erste zu erkennen, genügt es, wenn man die Gl.(A4) und (A5) in das System (A6) einsetzt. Dividiert man das so erhaltene Gleichungssystem durch (l-s), so ergibt sich n-l xn(l-q -T-n ) - r [r K- -T-P] L p=l x P q,. n=l... N (A8) Vergleicht man mit (A5), wenn dort Zn aus (A4) eingesetzt wird, so erkennt man sofort, daß die rechten Seiten des Systems (A8) nichts anderes sind als die Steuerbemessungsgrundlagen in den einzelnen Perioden. Da aber die linken Seiten des Systems (A8) nicht von n abhängen, gilt dies auch für die Steuerbemessungsgrundlagen M ; damit erhält man das verblüffend einn FZ fache Ergebnis, daß der konstante Entnahmebetrag C N dem (l-s )-fachen der im Zeitablauf ebenfalls konstanten Steuerbemessungsgrundlage entspricht. Ganz allgemein folgt aus den vorstehenden Überlegungen, daß die zeitliche Struktur der Entnahmen und der Steuerbemessungsgrundlagen übereinstimmt, wenn ein linearer, zeitlich konstanter Tarif zur Anwendung kommt; unter dieser Voraussetzung gilt also selbst im Falle einer zeitlich variablen Entnahme c~z (n) stets die Gleichung (l-s) M. n (A9 ) Bei zeitlich konstantem, aber nichtlinearem Tarif wird Gl.(A9) naturgemäß hinfällig. Die Konstanz der Steuerbemessungsgrundlage im Falle einer konstanten Entnahme ist jedoch auch bei progressivem Tarif gewährleistet; unter den angegebenen Bedingungen können nämlich die zuvor angestellten Überlegungen in eine Marginalbetrachtung bei zeitlich konstantem Grenzsteuersatz umgedeutet werden. Die zweite bemerkenswerte Eigenschaft der hier untersuchten Strategie besteht darin, daß das Niveau der Entnahme bei linearem, zeitlich konstantem Tarif proportional zu (l-s). K ist.

6 Dies gilt für beliebige Entnahmestrukturen und ergibt sich unmittelbar aus der Tatsache, daß die Gl.(A7) und (A8) bezüglich der Größen xn ' K und C~Z/(l-s) linear homogen sind. Ist die Entnahme aber proportional zu (l-s)k, so erhält man wie im Fall der Einmalentnahme 62) das Resultat, daß die Höhe des Steuersatzes bei gegebenem Sparverhalten die Konsummöglichkeiten in der Desinvestitionsphase nicht beeinflußt. Eine Veränderung des Steuersatzes wirkt sich gemäß Gl.(9) auf den Kreditbetrag so aus, daß der Proportionalitätsfaktor (l-s) gerade neutralisiert wird; die Besteuerung der Zero-Bonds-Verkäufe wird durch den Schuldzinsenabzug in der Investitionsphase exakt kompensiert 63) 62) 63) Vgl. S. 13. Unterscheiden sich die Steuersätze si und s, die während der Investitions- bzw. Desinvestitionsphase gelter, so ist der bei Steuerfreiheit erzielbare Entnahmebetrag offensichtlich mit (1-s )/(1-s ) zu multiplizieren. D I

7 Anhang 2: Berechnung der periodischen Entnahme bei eigenfinanzierter zero-bond-anlage mit 15-jähriger Laufzeit im Falle linearer, zeitlich konstanter Tarife Im Falle einer Rentendauer von N < 15 kann die 15-jährige Maximallaufzeit bei jenen Zero-Bonds nicht abgewartet werden, die später als im Jahre 15 + N der Investitionsphase erworben werden. Diese Investitionen sind analog zur Vorgehensweise in Anhang 1 in der Weise zu liquidieren, daß sich eine konstante, Z 15 h' k d h A Z 15. bt "h d zu CIS 1nzu ommen e Zusatzentna me u N erg1 Da wa ren der zweiten Hälfte der Investitionsphase immer ein Sparbetrag von I und ein Rückfluß aus einer 15-jährigen Zerobond-Investition in Höhe von I.flS angelegt werden können, ist beispielsweise das System (Al), (A2), (A3) wie folgt zu modifizieren: (l+f ). I ls 30 L t=15+n+l b f =AZlS,l N tn 30-t-n u N n=,.., (Ala) N L btn n=l 1 t=ls+n+l,..., 30 (A2a) b tn ~ 0, t=15+n+l,.,30: n=l,,n (A3a) Zu maximieren ist dabei die Zusatzrente 6,ZlS = CZlS _ CZIS N N ls Für N=14 entfällt die Maximierung, weil es nur eine zulässige Lösung gibt. Aus (Ala) und (A2a) erhält man unmittelbar Dieses Ergebnis folgt auch aus Gl.(19), wenn der dortige Investitionsbetrag durch I(l+f ls ) ersetzt wird.

8 Anhang 3: Gesamt-, Durchschnitts- und Grenzsteuerbelastung nach dem Einkommensteuertarif 1988 Nach 32a Abs. 1 EStG errechnet sich die Einkommensteuer für Veranlagungszeiträume ab 1988 nach folgenden Tarifformeln 64): 1. für zu versteuernde Einkommen bis Deutsche Mark (Grundfreibetrag): 0; 2. für zu versteuernde Einkommen von Deutsche Mark bis Deutsche Mark: 0,22x - 998; 3. für zu versteuernde Einkommen von Deutsche Mark bis Deutsche Mark: ([(0,79y - 30,82)y + 452]y )y ; 4. für zu versteuernde Einkommen von Deutsche Mark bis Deutsche Mark: (60z + 5 OOO)z ; 5. für zu versteuernde Einkommen von Deutsche Mark an: 0,56x "x" ist das abgerundete zu versteuernde Einkommen. "y" ist ein Zehntausendstel des Deutsche Mark übersteigenden Teils des abgerundeten zu versteuernden Einkommens. "z" ist ein Zehntausendstel des Deutsche Mark übersteigenden Teils des abgerundeten zu versteuernden Einkommens. Zur Berechnung der Steuerschuld ist das Einkommen auf den nächsten durch 54 teilbaren Deutsche-Mark-Betrag abzurunden. Das abgerundete Einkommen ist in vorstehende Tarifformeln einzusetzen; die Steuerschuld erhält man durch Abrundung des Rechenergebnisses auf volle Deutsche Mark 65) 64) BStBl. 1985, Teil I, S ) 32a Abs. 2 und 3 EStG.

9 Die nachfolgende Tabelle enthält die nach diesen Vorschriften ermittelte Steuerschuld für alle durch 500 teilbaren Einkommensbeträge im Intervall zwischen und Darüber hinaus sind die Durchschnitts- und die Grenzsteuerbelastung angegeben. Die Durchschnittsbelastung entspricht dem Quotienten aus den tabellierten Werten für Steuerschuld und Einkommensbetrag. Die Grenzsteuerbelastung wurde aus der 1. Ableitung der Tarifformeln berechnet; dabei wurden nicht die abgerundeten, sondern die tabellierten Einkommensbeträge zugrunde gelegt. Alle Angaben beziehen sich auf ledige Steuerpflichtige; bei Ehegatten erhält man die Steuerschuld durch Verdoppelung jenes Steuerbetrags, der sich für die Hälfte des gemeinsam zu versteuernden Einkommens ergibt 66); Durchschnitts- und Grenzbelastung bestimmen sich ebenfalls nach der Hälfte des gemeinsamen Einkommens. 66) Zu den Voraussetzungen vgl. 32a Abs. 5 EStG.

10 Zu versteuerndes Steuer- Ourchschnitts- Grenzbe- Einkommen schuld belastung in % lastung in %

11 Zu versteuerndes Steuer- Ourchschnitts- Grenzbe- Einkommen schuld belastung in % lastung in %

12 Zu versteuerndes Steuer- Ourchschnitts- Grenzbe- Einkommen schuld belastung in % lastung in % ~ "

13 Zu versteuerndes Steuer- Durchschnitts- Grenzbe- Einkommen schuld belastung in % lastung in %

14 Zu versteuerndes Steuer- Durchschnitts- Grenzbe- Einkommen schuld belastung in % lastung in %

15 Symbol verzeichnis A ~Z,L N frühester Veräußerungszeitpunkt für Zero-Bonds im Fremdfinanzierungsfall Anschaffungspreis der in n veräußerten Zero-Bonds Annuitätenfaktor bei einer Renzahlungsdauer von N Basiseinkommen der Periode t Bruchteil der in t erworbenen Zero-Bonds, der in der n-ten Rentenperiode veräußert wird periodischer Konsumbetrag bei Investition in fremdfinanzierte Zero-Bonds mit hinreichend langer Laufzeit und Rentenzahlungsdauer N periodischer Konsumbetrag bei Investition in fremdfinanzierte Zero-Bonds mit einer Maximallaufzeit von L und Rentenzahlungsdauer N zeitlich variabler Konsumbetrag bei Investition in fremdfinanzierte Zero-Bonds mit hinreichend langer Laufzeit und Rentenzahlungsdauer N periodischer Konsumbetrag bei Investition in Kupon Anleihen und Rentenzahlungsdauer N periodischer Konsumbetrag bei Investition in eigenfinanzierte Zero-Bonds mit hinreichend langer Laufzeit und Rentenzahlungsdauer N periodischer Konsumbetrag bei Investition in eigenfinanzierte Zero-Bonds mit einer Maximallaufzeit von L und Rentenzahlungsdauer N periodische Zusatzentnahme bei Investition in eigenfinanzierte Zero-Bonds mit einer Maximallaufzeit von L und Rentenzahlungsdauer N Endwert in T bei Investition in fremdfinanzierte Zero-Bonds mit hinreichend langer Laufzeit Endwert in T bei Investition in fremdfinanzierte Zero-Bonds mit einer Maximallaufzeit von L Endwert in T bei Investition in Kupon-Anleihen

16 Endwert in T bei Investition in eigenfinanzierte Zero-Bonds mit hinreichend langer Laufzeit = Endwert in T bei Investition in eigenfinanzierte Zero-Bonds mit einer Maximallaufzeit von L Nettoaufzinsungsfaktor für Zero-Bonds bei einer Anlagedauer von t Nettoaufzinsungsfaktor für Zero-Bonds als Funktion des Steuersatzes G(ti(n,Sn)) = optimaler Grenzsteuerpfad, der durch den Punkt (n,sn) verläuft G(ti(n,Sn)) = ~(ti(n,sn)) + r;i = transformierter Optimalpfad I + K k L M N n R r S optimaler Grenzsteuerpfad, der den Grenzsteuerpfad des Basiseinkornrnens bei ganzzahligem n schneidet periodischer Investitionsbetrag Habenzins vor Steuern Habenzins nach Steuern Kreditsurnrne (KloooKtoooKT) = periodenabhängiger Kreditbestand Laufindex für zeitabhängige Größen Maximallaufzeit erhältlicher Zero-Bonds Periode, in der der Grenzsteuerpfad den transformierten Pfad G von unten her kreuzt Steuerbemessungsgrundlage in Periode t Laufindex für zeitabhängige Größen Rentenzahlungsdauer Laufindex für zeitabhängige Größen Zeitpunkt des Eintritts in das Rentenalter Laufindex für zeitabhängige Größen Aufzinsungsfaktor vor Steuern bei einer Anlagedauer von t Aufzinsungsfaktor nach Steuern bei einer Anlagedauer von t Tilgungszeitpunkt Sollzins vor Steuern Steuerschuld

17 s s w Steuerschuld in Periode t als Funktion der Bemessungsgrundlage konstanter Grenzsteuersatz zeitlich gemittelter Grenzsteuersatz Grenzsteuersatz der Desinvestitionsphase Grenzsteuersatz der Investitionsphase Grenzsteuersatz der Periode t Gesamtinvestitionsdauer Laufindex für zeitabhängige Größen frühester Veräußerungszeitpunkt für Zero-Bonds im Eigenfinanzierungsfall wertpapier bestand Marktwert eines Zero-Bonds nach n Jahren Zinszahlung der Periode n

18 Stichwort verzeichnis Annuitätenfaktor 19 Arbi trage-bedingung 29 Aufzinsungsfaktor 11 Basiseinkommen 28, 30 ff., 56, 71, 76 f. Bruttoaufzinsungsfaktor 12 Desinvesti tionsphase 6, 10 Eigenf inanz ierung 28 ff., 59 ff. Einmalentnahme 6, 10 Emissionskurs 1 f., 5 Endwert 11 ff., 15 ff., 49 Entnahmebetrag + Konsumbetrag Freibeträge 51 ff., 55 f., 70, 74 Fremdf inanzierung 12 ff., 17 f., 22 f. Grenzsteuerbarwert 30 Grenzsteuerpfad 28 ff., 59 ff., 76, streng eigenfinanzierungs-regulärer 31 ff., 61 transformierter 38 ff., 45 f., 64, 69 Habenzins 5 f. Inflationsrisiko + Kaufkraftrisiko Investi tionsdauer 15 f. Investi tionskette 10, 15 ff., 23, 73 Investitionsphase 6, 10 Kaufkraftrisi.ko 9, 19, 72 Konsumbetrag, periodischer 6, 10, 19 ff., 53 ff., 82 ff. Kreditsumme 12 f., 40, 43 f., 47, 52, 64, 70 f., 74, 78 Kredittilgung 13 Kupon-Anleihen 5, 7 f., 11, 15 f. Laufzeiten von Zero-Bonds 5 ff., 10, 14 ff., 18 f., 22 f., 70, 72 f., 80 Lifo-Prinzip 20, 23 f., 33, 82 f.

19 Nettoaufzinsungsfaktor 11 ff., 17, 29 f., 52 Nett0kalkulationszinsfuß 11, 30, 78 Pensionsphase 6, 10, 19 ff., 53 Pensionsstrategie 10, 19 ff. Progression + Tarifprogression Progressionsausgleichseffekt 7, 9, 72 Regularitätsbedingung 28, 30 f., 35 f., 58 -, für Eigenfinanzierung 31, 35, 40 f., 58 f., 61 f. -, für Fremdfinanzierung 40 ff., 45 f., 48, 62 f. Rentenendwertfaktor 11 Rentensteigerungsfaktor 54 f. Schuldzinsenabzug 3 ff., 13, 21, 42, 71, 74, 78, 84 Soll zins 5 f. -, kritischer 14, 25 f. Sparerfreibetrag 52 f., 70 Spekulationsgewinne 2 Standardverschuldungsstrategie 40, 42 ff., 62 ff., 74, 78 Steueraufschubvorteil 2 ff., 7, 14, 16, 18, 69, 72, 83 Steuerbemessungsgrundlage 5 f., 20, 42, 55, 84 ff. Tarifänderungen 36 f., 51, 56 Tariffunktion 30 Tarifprogression 6 f., 27, 29, 34 f., 37, 44 f., 56, 69, 72 ff., 86 Tilgungsstrategie 20 f., 40, 42 ff., 83 ff. Veräußerung -, in der Pensionsphase 4, 20, 23 ff., 33 -, vorzeitige 2, 24, 29, 57 veräußerungsstrategie 33, 36 f., 42 ff., 64 f., 75, 83 ff. verschuldungsbedingung 14, 25 f., 37 f., 40 ff., 74 Währungsrisiko 8, 19, 72 Werbungskostenpauschale 52 f. Zinsänderungsrisiko 3, 8, 14, 79 Zinsspanne 4 f., 7, 13 f., 26 f., 41, 55 Zusatzverschuldung 42, 64 ff.