Komplexität und Komplexitätsklassen

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1 Dr. Sebastian Bab WiSe 12/13 Theoretische Grundlagen der Informatik für TI Termin: VL 21 vom Komplexität und Komplexitätsklassen Die meisten Probleme mit denen wir zu tun haben sind entscheidbar. Daher brauchen wir ein anderes Maÿ um zu beurteilen, ob ein Problem gut handhabbar ist, oder nicht. Übliche Maÿe sind dabei die Zeitkomplexität (wie viele Schritte braucht mein Algorithmus) und die Platzkomplexität (wie viele Bandfelder werden besucht). Es kann weiterhin nach der Art der Problemstellung unterschieden werden: Entscheidung von Sprachen Für eine Eingabe x soll die Zugehörigkeit zu einer vorgegebenen Menge A, auch Sprache genannt, entschieden werden. Ist x A, so wird x akzeptiert; ist hingegen x / A, so wird x verworfen. Funktionsberechnung Eine Funktion f soll berechnet werden. Bei Eingabe x soll die Ausgabe f(x) produziert werden. Konstruktionsprobleme Zur Eingabe x, hier Probleminstanz genannt, soll eine Lösung ausgegeben werden. Die Menge der zulässigen Lösungen zu x besteht nicht notwendigerweise nur aus einem Element. Optimierungsprobleme Optimierungsprobleme sind Konstruktionsprobleme, bei denen Lösungen zusätzlich ein Wert zugeordnet ist. Zu einer Probleminstanz x soll eine Lösung mit optimalem Wert oder zumindest möglichst hohem/niedrigem Wert ausgegeben werden. Beispiele von Problemen: Aussagenlogische Formeln Sat als Entscheidungsproblem Eingabe: Eine aussagenlogische Formel ϕ Frage: Existiert eine erfüllende Belegung für ϕ? 1

2 Sat als Konstruktionsproblem Eingabe: Eine aussagenlogische Formel ϕ Ausgabe: Eine erfüllende Belegung für ϕ oder ϕ ist nicht erfüllbar Ein guter Algorithmus zur Lösung für das Entscheidungsproblem führt hier auch gleich zu einem guten Algorithmus der das Konstruktionsproblem löst. Graphen Path als Entscheidungsproblem Frage: Existiert ein gerichteter Pfad von s nach t? Path als Konstruktionsproblem Ausgabe: Ein gerichteter Pfad von s nach t oder kein Pfad von s nach t Path als Optimierungsproblem Ausgabe: Ein gerichteter Pfad von s nach t Ziel: Der Pfad von s nach t soll möglichst kurz sein. Path ist das Standardproblem der Graphentheorie. Fast alle Algorithmen für Graphen nutzen Path-Algorithmen. Arithmetik/Zahlentheorie Primes (Entscheidungsproblem) Eingabe: Eine natürliche Zahl n (binär kodiert) Frage: Ist n eine Primzahl? Factoring (Konstruktionsproblem) Eingabe: Eine natürliche Zahl n (binär kodiert) Ausgabe: Zwei Zahlen a, b < n mit ab = n oder n ist prim Es existiert ein guter Algorithmus für Primes, allerdings hilft dieser nicht, um das Factoring Problem eektiv zu lösen. Da die heutigen Sicherheitsalgorithmen auf Primzahlfaktorzerlegung basieren, hätte die Lösung von Factoring weitreichende Konsequenzen. Denition 1 (Zeit- und Platzaufwand) Der Zeitaufwand von M bei Eingabe w ist t M (w) := Länge der längsten Berechnung von M bei Eingabe w. Gezählt wird die Anzahl der Schritte. Der Platzaufwand von M bei Eingabe w bei Berechnung b ist die Anzahl der während der Berechnung von den Köpfen auf den Arbeitsbändern besuchten Felder. 2

3 Der Platzaufwand von M bei Eingabe w ist s M (w) := Platzaufwand der platzintensivsten Berechnung von M bei Eingabe w. Der Zeitaufwand T M : N N von M ist deniert durch T M (n) := max {t M (w) w = n}. Der Platzaufwand S M : N N von M ist deniert durch S M (n) := max {s M (w) w = n}. Denition 2 (TIME- und SPACE-Sprachklassen) Es sei A Σ eine Sprache, t: N N eine Zeitschranke und s: N N eine Platzschranke. Es ist A DTIME(t), falls eine DTM M existiert mit L(M) = A und T M O(t). Es ist A DSPACE(s), falls eine oine-dtm M existiert mit L(M) = A und S M O(s). Es ist A NTIME(t), falls eine NTM M existiert mit L(M) = A und T M O(t). Es ist A NSPACE(s), falls eine oine-ntm M existiert mit L(M) = A und S M O(s). Bemerkung: Eine oine-dtm ist eine DTM, die auf ihrem Eingabeband nicht schreibt, also alle weiteren Informationen auf einem Arbeitsband ablegt. Denition 3 (Grundlegende Komplexitätsklassen) P = k N DTIME(n k ) NP = k N NTIME(n k ) PSPACE = k N DSPACE(n k ) NPSPACE = k N NSPACE(n k ) L = DSPACE(log n) NL = NSPACE(log n) E = c N DTIME(2 cn ) NE = c N NTIME(2 cn ) EXP = k N DTIME(2 nk ) NEXP = k N NTIME(2 nk ) 3

4 Denition 4 (TIME- und SPACE-Funktionenklassen) Sei f : Σ Σ eine Funktion, t: N N eine Zeitschranke und s: N N eine Platzschranke. Es ist f FDTIME(t), falls eine DTM M mit Ausgabeband existiert, die f berechnet, und für die T M O(t) gilt. Es ist A FDSPACE(s), falls eine oine-dtm M existiert, die f berechnet, und für die S M O(s) gilt. Die auf dem Ausgabeband beschriebenen Bandfelder werden beim Platzverbrauch nicht mitgerechnet. Von besonderem Interesse sind Funktionen, die sich in polynomieller Zeit oder auf logarithmischem Platz berechnen lassen. Denition 5 (Grundlegende Funktionenklassen) FP = k N FDTIME(n k ) FL = FDSPACE(log n) Zwischen den verschiedenen Klassen existieren leicht zu ndende Inklusionsbeziehungen: Deterministische Maschinen sind spezielle nichtdeterministische Maschinen. Deshalb gilt insbesondere P NP, E NE und EXP NEXP; und auch L NL und PSPACE NPSPACE. Erhöht man den zulässigen Ressourcenverbrauch, so kann die dadurch denierte Klasse nur gröÿer werden. Deshalb gilt insbesondere P E EXP und NP NE NEXP; und auch L PSPACE und NL NPSPACE. Ein Schreib-Lese-Kopf einer Maschine, die höchstens t(n) Schritte macht, kann höchstens t(n) Bandfelder besuchen. Deshalb gilt P PSPACE und NP NPSPACE. Die Klassen der Chomski-Hierarchie sind auch Komplexitätsklassen. REG bezeichne die Menge der regulären Sprachen (Typ 3). CFL bezeichne die Menge der kontextfreien Sprachen (Typ 2). CSL bezeichne die Menge der kontextsensitiven Sprachen (Typ 1). 4

5 REC bezeichne die Menge der entscheidbaren (auch rekursiv genannten) Sprachen. RE bezeichne die Menge der von allgemeinen Grammatiken erzeugbaren (auch rekursiv aufzählbar genannten) Sprachen (Typ 0). Es gilt REG CFL CSL REC RE Satz 6 1. REG DSPACE(const), REG DTIME(n) und REG L. 2. CFL P und L CFL. 3. CSL = NSPACE(n). (Ohne Beweis) 5

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