MEBAK-Methodensammlung Grundlagen der Statistik. 1. Definitionen. 2. Charakterisierung der Verteilung. 2.1 Normalverteilung (Gauß-Verteilung)

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1 . Defiitioe Zufallvariable Eie Zufallvariable it eie Größe, die bei eiem Zufallexperimet auftrete ka, z. B. die Läge der Bredauer eier Glühbire oder da Ergebi eier Petizidbetimmug. Grudgeamtheit Eie Grudgeamtheit it die Mege aller mögliche Werte eier Zufallvariable. Die Größe der Grudgeamtheit ka begrezt oder ubegrezt ei. Beipiel: Ei Batch vo 50'000 abgefüllte Geträkeflache. Stichprobe Die Stichprobe it eie betimmte Azahl vo Elemete au der Grudgeamtheit. Bei eier Zufalltichprobe müe alle Elemete die gleiche Chace habe um augewählt zu werde. Beipiel: Au dem Batch vo 50'000 abgefüllte Flache werde 0 Flache für die Betimmug der Füllmege etomme. Wahrcheilichkeitverteilug Die Wahrcheilichkeitverteilug eier zufällige Variable gibt a, mit welcher Wahrcheilichkeit die Werte der Variable ageomme werde.. Charakteriierug der Verteilug. Normalverteilug (Gauß-Verteilug) Die Normalverteilug (egl.: ormal ditributio) it ei Verteilugmodell für «kotiuierliche Zufallvariable». Sie wurde urprüglich vo Carl Friedrich Gauß ( ) zur Bechreibug vo Mefehler etwickelt: die ogeate Gaußche Fehlerkurve. Die Normalverteilug utertellt eie ymmetriche Verteilugform i Form eier Glocke, bei der ich die Werte der Zufallvariable i der Mitte der Verteilug kozetriere ud mit größerem Abtad zur Mitte immer elteer auftrete. Die Normalverteilug it da wichtigte Verteilugmodell der Statitik ud wird für uterchiedlichte Zwecke verwedet: u.a. al dekriptive Modell zur Bechreibug empiricher Variable, al Stichprobeverteilug de arithmetiche Mittel oder al Näheruglöug für viele adere Verteilugmodelle. Die Ordiate y, die die Höhe der Kurve für jede Pukt der x-skala dartellt, it die Wahrcheilichkeitdichte de jeweil beodere Werte, de die Variable x aimmt. Die Wahrcheilichkeitdichte der Normalverteilug it x µ - y f(x) e σ σ π µ it der Mittelwert, σ die Stadardabweichug der Verteilug. Eigechafte der Normalverteilug: Die geamte Wahrcheilichkeit uter der Stadardormalkurve it Ei. Die Normalverteilug it ymmetrich. Nachfolged it die Wahrcheilichkeitdichte für eie Mittelwert vo 8 ud eie Stadardabweichug vo graphich dargetellt.

2 Eretzt ma (x-µ)/σ durch z, o ergibt ich die Stadardormalverteilug mit Mittelwert Null ud Stadardabweichug Ei, d. h. die Abweichuge vom Mittelwert werde i Eiheite der Stadardabweichug gewählt f(x) - e π z z 0,3989 e Die Verteilugfuktio F(z) z z π e dz tellt die ummierte Wahrcheilichkeit dar, da ei Wert im Bereich vo - bi z liegt. Die tabellierte Werte id im Ahag aufgelitet. Beipiel Wie gro it die Wahrcheilichkeit, da Werte gefude werde, die größer id al Mittelwert +,4 x Stadardabweichug. Der tabellierte Wert für z,4 beträgt 0,998, d. h. 99,8 % aller Ergebie id kleier oder maximal gleich Mittelwert +,4 mal Stadardabweichug. Für höhere Werte bleibt omit eie Wahrcheilichkeit vo 0,8 %. Für die Beurteilug vo Stichprobeergebie wird häufig Bezug geomme auf die Bereiche: Mittelwert ±,96 x Stadardabweichug (z ±,96) mit 95 % Wahrcheilichkeit Mittelwert ±,58 x Stadardabweichug (z ±,58) mit 99 % Wahrcheilichkeit Mittelwert ± 3,9 x Stadardabweichug (z ± 3,9) mit 99,9 % Wahrcheilichkeit oder Mittelwert ± x Stadardabweichug (z ± ) mit 68,7 % Wahrcheilichkeit Mittelwert ± x Stadardabweichug (z ± ) mit 95,45 % Wahrcheilichkeit Seite vo 37

3 Mittelwert ± 3 x Stadardabweichug (z ± 3) mit 99,73 % Wahrcheilichkeit Eie Abweichug vom Mittelwert um mehr al die zweifache Stadardabweichug kommt i weiger al 5 % aller Fälle vor.. Poioverteilug Die Poioverteilug wird für die Löug vo Probleme beutzt, die beim Zähle relativ elteer ud voeiader uabhägiger Ereigie auftrete. Die Verteilugfuktio it gegebe durch P(x!λ) P(x) λ x e λ x! λ Mittelwert x Azahl Ereigie x! x e Bai de atürliche Logarithmu,788 Beipiel I eiem Waer befide ich im Durchchitt 000 mikrobiologiche Keime/m 3 ; wie groß it die Wahrcheilichkeit, i Liter 0,, uw. Keime zu fide. Mittelwert λ Keime/Liter Azahl Treffer (Ereigie) Wahrcheilichkeit P(x!λ) 0 0,3534 0,7067 0, , , , , , , , , ,0000 Grafiche Dartellug: Seite 3 vo 37

4 P(x) Azahl Ereigie Azahl Keime/Liter Um die Wahrcheilichkeit zu erhalte für de Fall, da 0 oder oder Keime gefude werde, ummiert ma die eizele Wahrcheilichkeite für x 0, ud. Für diee Beipiel ergibt ich P(x 0 oder oder ) 0, , ,7067 0, Charakteriierug der Lage Mittelwert ud Stadardabweichug (. 4.) id charakteritiche Werte eier ymmetriche Glockekurve oder Normalverteilug. Sie betimme die Lage oder Lokaliatio de durchchittliche oder mittlere Werte eier Mereihe ud die Schwakug der Eizelwerte um de Mittelwert. 3. Arithmetiche Mittel Da arithmetiche Mittel x it die Summe aller Beobachtuge eier Mereihe, geteilt durch die Azahl dieer Beobachtuge x ( x + x x ) x i i 3. Media (Zetralwert) We der größte Teil der Werte auf der eie Seite de arithmetiche Mittel liegt, währed eie gerige Azahl vo Werte weit aueiaderlieged über die adere Seite verteilt it, o it der Media zu bevorzuge Umfat eie Reihe eie ugerade Azahl vo Werte, o it der Mediawert der «mittlere» der ach Größe geordete Werte; it gerade, da gibt e zwei mittlere Werte ~ x ud ~ x. Der Media wird da al ( ~ ~ ) ~ x x + x berechet. Weetlich it, da der Mediawert im Gegeatz zum arithmetiche Mittel vo Extremwerte ubeeiflut bleibt. Beipiel Seite 4 vo 37

5 Wertereihe, i aufteigeder Reihefolge geordet:,, 3, 3, 3, 5, 6, 7, 9, 9, 0, ~ 5; ~ 6 x x Media ( 5 +6) 5,5 3.3 Geometriche Mittel We die Date eie geometriche Reihe dartelle, d.h. zwei aufeiaderfolgede Werte habe jeweil da gleiche Verhälti, o it e ivoll, da geometriche Mittel x zu bereche G x G x x x 3... x E müe alle Werte poitiv ei. Beipiel: Seoriche Schwellewertbetimmug E werde Dreiecktet durchgeführt, wobei die Kozetratioreihe eier geometriche Reihe etpricht; der Faktor beträgt i dieem Fall,5,0 3,0 4,5 6,75 0, 5,9,78 mg/l Eie Veruchpero löt die Dreiecktet mit de höchte drei Kozetratioe richtig, bei der vierthöchte Kozetratio it der Tet falch. Die Schwellewertkozetratio dieer Pero etpricht dem geometriche Mittel der viert- ud dritthöchte Kozetratio Schwellewert 0, 6,75 8,6 mg/l Streg geomme liegt der Schwellewert zwiche 6,75 ud 0, mg/l. 4. Charakteriierug der Variabilität (Streuug) 4.. Stadardabweichug, Variaz Die Stadardabweichug it i der Praxi da Streuugmaß, da ormalerweie für Präziioagabe verwedet wird. Die Stadardabweichug it ei Maß für die Streuug der Eizelwerte um de Mittelwert. Für eie Stichprobe - wa im Allgemeie der Fall it - beträgt die Stadardabweichug (x x) x ( x) Azahl Meuge x Mittelwert der Stichprobe We der Mittelwert µ der Grudgeamtheit bekat it, wa jedoch elte vorkommt, errechet ich die Stadardabweichug σ Seite 5 vo 37

6 σ x ( ) ( x) x x Die Stadardabweichug lät ich auch au eier Serie vo Doppelbetimmuge a verchiedee Probe bereche: d d Azahl Doppelbetimmuge Differeze der Doppelbetimmuge Beipiel E werde vo 6 verchiedee Biere die Stammwürzegehalte im Doppel betimmt Bet. Bet. Differez Differez,5,53 0,0 0,0004,0,07 0,06 0,0036,6,57-0,05 0,005,88,8-0,07 0,0049,36,44 0,08 0,0064,0,05 0,03 0,0009 Summe 0,087 0, ,0395 Die Variaz it da Quadrat der Stadardabweichug (x x) Bemerkug Setzt ich die Streuug au mehrere Faktore zuamme, o addiere ich die Variaze ud icht die Stadardabweichuge. Weit beipielweie die Probevorbereitug die Stadardabweichug P ud die aalytiche Meug die Stadardabweichug M auf, o it die Geamttadardabweichug ge + P M 4. Stadardabweichuge bei Rigaalye Die Wiederholtadardabweichug r tellt eie mittlere (aureißerfreie) laboritere Wiederholtadardabweichug dar. Sie wird jeweil uter Wiederholbediguge, d.h. Aalye a derelbe Probe vo demelbe Bearbeiter mit demelbe Gerät im gleiche Labor ierhalb kurzer Zeit, ermittelt. m r f(i) N m i i N Sämtliche Mewerte eier Probe Seite 6 vo 37

7 m Azahl Labor f(i) Freiheitgrad im Labor i Azahl Betimmuge im Labor i - i Variaz de Labor i Die Wiederholbarkeit r it derjeige Wert, uterhalb dee ma die abolute Differez zwiche zwei eizele Prüfergebie, die ma mit demelbe Verfahre a idetichem Prüfmaterial ud uter deelbe Bediguge (derelbe Bearbeiter, daelbe Gerät, daelbe Labor, kurze Zeitpae) erhalte hat, mit eier vorgegebee Wahrcheilichkeit erwarte darf. We icht adere agegebe it, o it diee Wahrcheilichkeit 95 %. Die Wiederholbarkeit r it r r,8 Die agegebee Formel für r gilt vom tatitiche Stadpukt her ur we die Stadardabweichuge au eier große Azahl Laboratorie ermittelt werde. Die korrekte Formel it r r f Mit de folgede Werte für f Azahl Labor f Azahl Labor f 6 3,64 5,9 8 3,34 30,89 0 3,0 35,87 3, 40,86 4 3,06 45,85 6 3,0 50,84 8,98 55,84 0,96 60,83 Die Vergleichtadardabweichug R tellt die aureißerfreie Stadardabweichug aller Eizelergebie eie Rigveruch vo dere Geamtmittelwert dar. R a [ + (a ) ] Z r m m Z (i)(xi x) m i (i) a N m N i Sofer die Azahl Betimmuge i alle Labor gleich it, vereifacht ich R zu R m N Z N m + N i m Azahl Labor x i Mittelwert de Labor i x Geamtmittelwert (i) Azahl Betimmuge im Labor i N Geamtzahl Eizelaalye Die Vergleichbarkeit R it derjeige Wert, uterhalb dee ma die abolute Differez zwiche zwei eizele Prüfergebie, die ma a idetichem Material, aber uter verchiedee Bediguge (verchiedee Bearbeiter, verchiedee Geräte, verchiedee Labor ud/oder verchiedee Zeite) gewoe hat, mit eier vorgegebee Wahrcheilichkeit erwarte darf. We icht adere agegebe it, o it diee Wahrcheilichkeit 95 %. Die Vergleichbarkeit R it R R f Seite 7 vo 37

8 (. Wiederholbarkeit) Die Wiederholbarkeit r ud die Vergleichbarkeit R id zwei Parameter, welche die Präziio eie gegebee Prüfverfahre bechreibe, da uter zwei verchiedee Umtäde erzielt wird. 4. Vertrauebereich Uter dem Vertrauebereich (cofidece limit) verteht ma ei au Stichprobewerte berechete Itervall, da de wahre aber ubekate Parameter mit eier vorgegebee Wahrcheilichkeit, der Vertrauewahrcheilichkeit, überdeckt. Al Vertrauewahrcheilichkeit wird meite 95 % gewählt. Diee Wahrcheilichkeit bedeutet, da bei häufiger Awedug de Verfahre der berechete Vertrauebereich i 95 % der Fälle de Parameter ethalte. Au eier Zufalltichprobe mit Werte reultiere der Mittelwert x owie die Stadardabweichug. Der Vertrauebereich (VB) berechet ich au VB x ± t t it der Faktor der Studet-Verteilug ud ka au der t-tabelle für die gewählte tatitiche Sicherheit etomme werde (. Ahag ). Au der Formel geht hervor, da der Vertrauebereich durch mehr Meuge verkleiert werde ka, aber ur um de Faktor, d.h. we die Azahl der Meuge um de Faktor 4 vergrößert wird, reduziert ich der Vertrauebereich ur um de Faktor. Beipiel Au eier Abfüllug vo 50 cl Flache werde 00 Flache etomme ud der Füllihalt gemee Azahl Probe, : 00 Freiheitgrad f: 99 Mittelwert: 50,3 ml Stadardabweichug:,75 ml t f99, α0,05 :,984 t,984,75 Vertrauebereich VB x ± 50,3 ± ml 50,3 ± 0,347 ml 0 Mit 95 % Sicherheit liegt der Füllihalt der Flache im Bereich vo 50,95 bi 50,65 ml. 4.3 Praktiche Aweduge der Wiederholbarkeit ud Vergleichbarkeit 4.3. Vergleich vo Mittelwerte uter Wiederholbediguge (gleiche Labor) I eiem Labor werde zwei Aalyeerie uter Wiederholbediguge durchgeführt.. Serie: Mittelwert x, Azahl Meuge. Serie: Mittelwert x, Azahl Meuge Die kritiche Differez d krit. errechet ich wie folgt: d krit. x x r + krit. We i beide Serie gleichviele Meuge gemacht wurde, o vereifacht ich die Formel zu x x krit. r Seite 8 vo 37

9 Im Falle vo Doppelbetimmuge x x krit. r Beipiel: Betimmug de Calciumgehalt i eier Probe Die Wiederholbarkeit r eier Aalyemethode beträgt 4,64 mg/kg. Serie [mg/kg]. Serie [mg/kg] 06,8, 0,5,7 05,7 04,3 04, 05,9 05,7 08,5 06,4 09, x 06,56 mg/kg x 08,30 mg/kg x x,74 mg/kg x x 4,64 + mg/kg krit. 5 7,9 mg/kg Die Differez der Mittelwerte der beide Serie it kleier al die kritiche Differez, d.h. die beide Mittelwerte id tatitich ur zufällig verchiede bzw. e beteht kei igifikater Uterchied der beide Mittelwerte Vergleich vo Mittelwerte uter Vergleichbediguge (verchiedee Labor) I zwei verchiedee Labor wird die gleiche Probe uterucht. Labor : Mittelwert x, Azahl Wiederholmeuge Labor : Mittelwert x, Azahl Wiederholmeuge Die kritiche Differez d krit. errechet ich wie folgt: dkrit. x x krit. R r We die Azahl der Wiederholmeuge i beide Labor gleich it, o ergibt ich dkrit. x x krit. R r ud bei Doppelbetimmuge i beide Labor dkrit. x x krit. r R Seite 9 vo 37

10 Beipiel: Alphaäurebetimmug i Hopfeextrakt mittel HPLC Die Wiederholbarkeit r beträgt 0,96 % lftr., die Vergleichbarkeit R,98 % lftr. Labor [% lftr.] Labor [% lftr.] 39, 4,3 38,9 4,5 40, 40,8 38,7 x 39,3 % lftr. x 4,0 % lftr. x x,975 %lftr. dkrit. x x 8,880 0,9 krit. 4 3,87% lftr. Die Differez der beide Mittelwerte liegt uter der kritiche Differez. Die Mittelwerte id omit icht igifikat verchiede Vergleich de Mittelwerte eie Labor mit eiem vorgegebee Sollwert Bei dieer Problemtellug mu uterchiede werde, ob e um eie eieitige Fragetellug, d. h. Überchreitug eie vorgegebee Höchtwerte bzw. Uterchreitug eie Miimalwerte oder um eie zweieitige Fragetellug, d. h. Eihaltug eie Sollwerte ach ute ud obe, geht. Mittelwert x Azahl Meuge Sollwert m o eieitige Fragetellug x m o krit. 0,84 R r für Doppelbetimmuge x m o krit. 0,84 R r zweieitige Fragetellug x m o krit. R r für Doppelbetimmuge x m o krit. 0,84 R r Seite 0 vo 37

11 Beipiel für die eieitige Fragetellug, Doppelbetimmuge E oll etchiede werde, ob die vorgegebee 40 % lftr. für de Alphaäuregehalt i eiem Hopfeextrakt uterchritte id oder icht; die Aalye wird im Doppel augeführt (Agabe i % lftr.). Die Wiederholbarkeit r beträgt 0,96, die Vergleichbarkeit R,98 Sollwert m o : 40,00 Betimmug : 38, Betimmug : 38,0 Mittelwert x: 38, 0,84 0,96 x mo,98 krit.,7 x mo 38, 40,00,88 Die Differez zwiche Sollwert ud gemeeem Wert it größer al die kritiche Differez. Die Probe ka omit beatadet werde. 5. Charakteriierug der Abhägigkeit 5. Regreio Die Regreio uterucht die Abhägigkeit zweier beobachteter quatitativer Merkmale. Ert we ma weiß, da zwei oder mehrere Merkmale miteiader zuammehäge, ka da eie Merkmal zur Vorherage de adere eigeetzt werde. 5.. Lieare Regreio Bei der lieare Regreio wird verucht, die Abhägigkeit durch eie Gerade, die Regreiogerade, zu bechreibe. Zuächt tellt ma die Date beider Merkmale al Puktwolke i eiem x-y- Koordiateytem dar. Die Regreiogerade it diejeige Gerade, die ach dem vo C. F. Gauß formulierte «Kriterium der kleite Quadrate» dem Geamttred aller Pukte am ehete etpricht. Der Regreiokoeffiziet it die Steigug dieer Gerade. Der beim x-wert 0 reultierede y-wert it der Acheabchitt. Beide lae ich mit achteheder Formel au de Date der Stichprobe bereche ( Azahl Datepukte): Steigug b yx xy x y x ( x) Acheabchitt a yx y b yx x Regreiogeradegleichug: y a yx + b yx. x Die Berechug der lieare Regreio it u. a. auch im Fuktioagebot vo Excel oder auch i Tacherecher ethalte. Seite vo 37

12 Beipiel HPLC-Kalibrierug mit Flächeauwertug x Kozetratio i mg/l y Fläche Reultate: x y Fläche Kozetratio [mg/l] Regreiogeradegleichug: Fläche 59,0 + 03,64. Kozetratio 5.. Quadratiche Regreio I gewie Fälle ka eie Beziehug zwiche eier uabhägige ud eier abhägige Variable icht durch eie Gerade bechriebe werde. Oftmal etpricht eie Gleichug zweite Grade aureiched geau de tatächliche Verhältie. Die allgemeie Gleichug für eie olche Beziehug lautet y a + bx + cx Für die Berechug werde zuert die folgede Hilffuktioe berechet: ( ) xi ( xi) ( x y ) (( x ) ( y )/) Qxx / Qxy i i i Q x 3 3 i ( xi) ( xi )/ ) 4 ( x i i ) / ( x y ) ( y ) ( x )/ ) x Q x Q x 4 x y i i i i i Regreiokoeffiziete: Qxy Qx c 3 ( Q 3 ) Q Q 4 x xx Qxy c Q 3 x b Qxx a Q x y Qxx ( y b x c x )/ i i x i Seite vo 37

13 Die Berechug eier Regreiokurve zweite Grade it bereit recht aufwädig. Excel beipielweie bietet i de Diagramme die Möglichkeit, Regreioe zweite ud auch höhere Grade reche zu lae Korrelatio Der Korrelatiokoeffiziet it ei Maß für de Grad der lieare Abhägigkeit zweier Merkmale. Je äher der Korrelatiokoeffiziet betragmäßig bei liegt, deto eger chmiegt ich die Puktwolke a die Regreiogerade. Je äher er bei 0 liegt, deto bauchiger it ie. r hat da gleiche Vorzeiche wie der Regreiokoeffiziet, d.h. au dem Vorzeiche vo r ka ma ablee, ob die Regreiogerade teigt oder fällt. We r 0 it, verläuft die Gerade parallel zur x-ache. I dieem Fall et ma die beide Merkmale ukorreliert. Achaulich bedeutet da, gleichgültig welche Wert ma ich auf der x-ache auwählt, der zugehörige y-wert der Regreiogerade it immer der Gleiche. Mit der Iterpretatio de Korrelatiokoeffiziete mu ma ehr vorichtig ei. Um Irrtümer zu vermeide, mu ma die Puktwolke wirklich zeiche. Da ka ma erkee, ob eie Korrelatio z.b. durch zwei getret liegede, für ich ukorrelierte Gruppe oder durch eie eizele Aureißer vorgetäucht wird, oder ob vielleicht eie ichtlieare Abhägigkeit vorliegt. Die Berechug vo r erfolgt ach folgeder Formel r xy x ( x)( y) ( x) y ( y) Azahl Datepukte Da Quadrat de Korrelatiokoeffiziete ( r ) et ma Betimmtheitmaß. E gibt i erter Näherug a, wieviel % der Variaz durch die uteruchte Beziehug erklärt werde. Beipiel: Bei r 0,3 bzw. 0,8 werde 9 % bzw. 64 % der geamte auftretede Variaz im Hiblick auf eie tatitiche Zuammehag erklärt. Zur Beurteilug der Sigifikaz iehe Tabelle i Ahag 3 (Freiheitgrad f Azahl Datepukte ). Beipiel 5 Wertepaare mit de i der Tabelle aufgeführte x- ud y-date: x y xy x y 4 3,5 7 4,5 3 6,5 9,5 9 4,5 4 8, , ,5, ,75 x y xy x y 5 r,5 5 30, ,75 30, ,9937 Beurteilug: Der Tabellewert für f 3 beträgt für eie Statitiche Sicherheit vo 99,9 % 0,99. Die Korrelatio für da agegebee Beipiel it hoch igifikat. Seite 3 vo 37

14 6. Statitiche Tet 6. Ermittlug vo Aureißer bei Rigaalye I der Norm ISO id für die Ermittlug vo Aureißer bei Rigaalye verchiedee tatitiche Tet bechriebe. Zur Beurteilug de Wiederholfehler der eizele Teilehmer teht ei graficher Tet, die Madel k-statitik owie ei umeriche Verfahre, der Cochra-Tet, zur Verfügug. Bezüglich Vergleichbarkeit it die grafiche Variate die Madel h-statitik ud die umeriche Berechug erfolgt ach dem Grubb-Tet. Die grafiche Methode werde i der ISO-Norm 575 al grafiche Vereibarkeitprüfuge bezeichet. Die Bezeichug «grafich» it vielleicht dehalb etwa irreführed, weil bei diee Tet ebefall Prüfgröße berechet werde, die ich mit etprechede Tabellewerte vergleiche lae. Die folgede vier Tet id im übrige i der Methode Aalytica EBC 4. bechriebe. 6.. Prüfug der Wiederholtadardabweichug ach der Madel k-statitik Die Prüfgröße k i für jede Labor i wird ach folgedem Schema berechet:. Berechug der Wiederholtadardabweichug i für jede Labor (midete Doppelbetimmug voraugeetzt). Berechug der kombiierte Stadardabweichug komb ( Azahl Labor) 3. Berechug der eizele k i für jede Labor i / komb i i i Die k i - Werte werde grafich al Balkediagramme dargetellt. Zur Beurteilug diet die Madel k- Tabelle mit de Idikatore für die Vereibarkeitprüfug auf dem 5 %- ud %-Niveau. Diee id abhägig vo der Azahl Wiederholbetimmuge. Die Tabelle id i der ISO , auzugweie im Ahag 4a zu fide. Beipiel Die achfolgede Tabelle ethält die Rigaalyeergebie der Alphaäurebetimmuge i Hopfepellet; Doppelbetimmuge, 9 Teilehmer, Agabe i % lftr. Aalyereultate: Probe: Pellet Probe: Pellet Labor Bet. Bet. Labor Bet. Bet. 0,69 0,64 3,8 3,8 0,78 0,65 3,5 3,65 3 0,43 0,70 3 3,48 3,3 4 0,77 0,87 4 3,69 3,6 5 0,7 0,83 5 3,7 3,75 6 0,35 0,4 6 3,48 3,48 7 0,70 0,50 7 3,60 3,70 8 0,04 9,86 8 3,40 3,55 9 0,35 0,49 9 3,45 3,50 0 0,87 0,87 0 3,70 3,69 0,5 0,4 3,7 3,75 0,07 0,3 3,38 3,7 3 0,69 0,9 3 3,69 3,8 4 0,43 0,58 4 3,77 3,56 Seite 4 vo 37

15 5 0,94 0,76 5 4,37 4,9 6,7,03 6 3,88 3,94 7 0,73 0,8 7 3,69 3,69 8,30,9 8 4,58 4,4 9,54,36 9 3,76 3,79 0 0,70 0,56 0 3,9 3,79 9,96 9,78 3,64 3,39 0,96 0,4 3,8 3,83 3 0, 0, 3 3,85 3,6 4 0,48 0,5 4 3,5 3,53 5 0,78 0,93 5 3,86 3,75 6 9,89 9,83 6 3, 3,05 7 0,70 0,67 7 3,57 3,6 8 0,54 0,65 8 3,78 3,74 9 0, 0,3 9 3,7 3,78 Berechugbeipiel für die erte Probe, Pellet Labor Bet. Bet. k / komb 0,69 0,64 0,0354 0,003 0,7 0,78 0,65 0,099 0,0085 0,70 3 0,43 0,70 0,909 0,0365,46 4 0,77 0,87 0,0707 0,0050 0,54 5 0,7 0,83 0,0849 0,007 0,65 6 0,35 0,4 0,0495 0,004 0,38 7 0,70 0,50 0,44 0,000,08 8 0,04 9,86 0,73 0,06 0,97 9 0,35 0,49 0,0990 0,0098 0,76 0 0,87 0,87 0,0000 0,0000 0,00 0,5 0,4 0,0707 0,0050 0,54 0,07 0,3 0,3 0,08 0,86 3 0,69 0,9 0,66 0,064,4 4 0,43 0,58 0,06 0,03 0,8 5 0,94 0,76 0,73 0,06 0,97 6,7,03 0,0990 0,0098 0,76 7 0,73 0,8 0,0566 0,003 0,43 8,30,9 0,687 0,07,05 9,54,36 0,73 0,06 0,97 0 0,70 0,56 0,0990 0,0098 0,76 9,96 9,78 0,40 0,054 0,95 0,96 0,4 0,3889 0,53,97 3 0, 0, 0,0000 0,0000 0,00 4 0,48 0,5 0,0 0,0004 0,6 5 0,78 0,93 0,06 0,0 0,8 6 9,89 9,83 0,044 0,008 0,3 7 0,70 0,67 0,0 0,0005 0,6 8 0,54 0,65 0,0778 0,006 0,59 9 0, 0,3 0,44 0,000,08 Summe i 0, komb 0,308 Seite 5 vo 37

16 Grafiche Dartellug Probe : Pellet /Alphaäure, Pellet Alphaäure Madel k-wert Labor Die düe augezogee Liie etpricht dem kritiche k-wert auf dem Sigifikaziveau vo 5 %, die dickere demjeige auf dem Sigifikaziveau vo %. Beurteilug: Bei Labor 8 it die erte Probe ei Fataureißer, die Date werde icht elimiiert; für Labor 8 Probe ud Labor Probe liege die Werte für die Wiederholbarkeit über dem kritiche k-wert ud köe al Aureißer elimiiert werde. 6.. Prüfug der Wiederholtadardabweichug mittel Cochra-Tet Bei dieem Tet prüft ma die größte Stadardabweichug aller Labor, max. Die Prüfgröße C ach Cochra it C max i i Stadardabweichug vo Labor i Der Prüfwert wird mit de kritiche Werte i der Cochra-Tabelle vergliche (auzugweie im Ahag 5 zu dieem Kapitel). Beurteilug: - We die Prüfgröße kleier oder höchte gleich dem kritiche Wert für da 5 %-Sigifikaziveau it, o id alle Date bezüglich Wiederholfehler i Ordug. - We die Prüfgröße größer al der kritiche Wert für da 5 %-Sigifikaziveau aber kleier oder höchte gleich dem kritiche Wert für da %-Sigifikaziveau it, da wird die Eiheit (d. h. die Werte de Labor mit dem max ) al «Fataureißer», eglich «truggler» bezeichet; der Dateatz ka mit eiem Eizelter gekezeichet werde. Fataureißer behält ma im Normalfall für die weitere tatitiche Berechuge bei. - We die Prüfgröße größer al der kritiche Wert für da %-Sigifikaziveau it, da wird die Eiheit al «tatiticher Aureißer», eglich «outlier» bezeichet; der Dateatz ka mit eiem Doppelter gekezeichet werde. Statitiche Aureißer werde i Normalfall vor de weitere Berechuge elimiiert. Seite 6 vo 37

17 Beipiel I eier Rigaalye zur Betimmug de Koduktometerwerte i Hopfeextrakt reultierte vo 0 Labor folgede Date au Doppelbetimmuge: Labor Bet. Bet. 30,68 30,93 0,7678 0,035 30,5 30,70 0,78 0, ,77 3,96 0,3435 0, ,4 30, 0,44 0, ,8 34,3 0,67 0, ,35 7,03 0, ,30 7 6,9 7,74,0960,05 8 3,48 3,4 0,0443 0, ,65 30,47 0,78 0, ,35 30,4 0,0443 0,0080 3,44 3,40 0,088 0, ,5 3,8 0, , ,56 3,73 0,0 0, ,56 3,84 0,9799 0, ,73 30,70 0,0 0, ,9 30,04 0,099 0, ,57 30,00 0, , ,88 33,57 0,90 0, ,80 9,9 0, , ,6 3,0 0,088 0,00080 i max,5845,05 C max,05,5845 i 0,557 Der kritiche C-Wert für eie tatitiche Sicherheit vo 99 % bei 0 Labor beträgt 0,480; da Wertepaar vo Labor 7 ka omit für die weitere Berechuge elimiiert werde Prüfug der Labormittelwerte mittel Madel h-statitik Die Vereibarkeit-Prüfgröße h zwiche de Labor it wie folgt zu bereche: h i y y i (yi y) ( ) i y i Mittelwert vo Labor i y Geamtmittelwert Azahl Labor Seite 7 vo 37

18 Im Gegeatz zur Vereibarkeitprüfug mit der Madel k-statitik, wo die k-werte immer poitiv id, köe h-werte poitiv ud egativ aufalle. Die Tabelle mit de Idikatore für die Vereibarkeitprüfug it im Ahag 4b ethalte. Beipiel Al Beipiel werde ochmal die gleiche Rohdate wie uter 6.. verwedet. Berechug für die. Probe (Pellet ) Labor Bet. Bet. y i y i -y (y-y i ) h i 0,69 0,64 0,6650 0,045 0,008 0,094 0,78 0,65 0,750 0,095 0,0086 0,04 3 0,43 0,70 0,5650-0,0575 0,0033-0,7 4 0,77 0,87 0,800 0,975 0,0390 0, ,7 0,83 0,7700 0,475 0,08 0,35 6 0,35 0,4 0,3850-0,375 0,0564-0,54 7 0,70 0,50 0,6000-0,05 0,0005-0, ,04 9,86 9,9500-0,675 0,453 -, ,35 0,49 0,400-0,05 0,040-0, ,87 0,87 0,8700 0,475 0,063 0,546 0,5 0,4 0,4600-0,65 0,064-0,359 0,07 0,3 0,500-0,475 0,33 -,04 3 0,69 0,9 0,8050 0,85 0,0333 0, ,43 0,58 0,5050-0,75 0,038-0,59 5 0,94 0,76 0,8500 0,75 0,058 0,50 6,7,03,000 0,4775 0,80, ,73 0,8 0,7700 0,475 0,08 0,35 8,30,9,00,4875,6 3,8 9,54,36,4500 0,875 0,6847,86 0 0,70 0,56 0,6300 0,0075 0,000 0,07 9,96 9,78 9,8677-0,7549 0,5698 -,665 0,96 0,4 0,6850 0,065 0,0039 0,38 3 0, 0, 0,00-0,45 0,70-0,90 4 0,48 0,5 0,4950-0,75 0,063-0,8 5 0,78 0,93 0,8550 0,35 0,054 0,53 6 9,89 9,83 9,8600-0,765 0,584 -,68 7 0,70 0,67 0,6850 0,065 0,0039 0,38 8 0,54 0,65 0,5950-0,075 0,0008-0,06 9 0, 0,3 0,00-0,45 0,70-0,90 Geamtmittelwert y 0,6 Azahl 9,0000 Summe S 5,750 S/(-) 0,054 m Wurzel(S/(-) 0,453 Seite 8 vo 37

19 Grafiche Dartellug Probe : Pellet /Alphaäure, Pellet /Alphaäure Madel h-wert Labor Beurteilug: Bei Labor 5 ud 6 it die. Probe ei Fataureißer; die Ergebie beider Probe vo Labor 8 telle Aureißer dar ud köe für die weitere Auwertug elimiiert werde Prüfug der Labormittelwerte mittel Grubb-Tet Prüfug auf eizele Aureißer Die Mittelwerte werde i aufteigeder bzw. abteigeder Reihefolge ortiert ud der höchte bzw. iedrigte Wert mit dem Tet geprüft. Prüfug Maximalwert: G max xmax x x x i (x i x) i i x max Maximalwert Azahl Werte Prüfug Miimalwert: x xmi Gmi x mi Miimalwert Tabellewerte. Ahag 6a Beurteilug: - We die Prüfgröße G mi bzw. G max eie Wert hat, der kleier oder höchte gleich dem Tabellewert für da Sigifikaziveau vo 5 % it, ka der geprüfte Wert al korrekt ageehe werde. - We die Prüfgröße eie Wert hat, der größer al der Tabellewert für da Sigifikaziveau vo 5 % it, aber kleier oder höchte gleich dem Tabellewert für da Sigifikaziveau vo %, wird der geprüfte Wert al «Fataureißer» (eglich «truggler») bezeichet ud ormalerweie i die weitere tatitiche Berechuge eibezoge. - We die Prüfgröße eie Wert hat, der größer al der Tabellewert für da Sigifikaziveau vo % it, wird der geprüfte Wert al «tatiticher Aureißer» (eglich «outlier») bezeichet ud ormalerweie icht mehr i die weitere tatitiche Berechuge eibezoge. Seite 9 vo 37

20 Beipiel I eier Rigaalye zur io-alphaäurebetimmug i Bier ahme Labor teil. i der utetehede Tabelle id die Mittelwerte der Doppelbetimmuge i aufteigeder Reihefolge ortiert. Labor Mittel [mg/l] 3,0 5,03 3 5,0 4 5,3 5 5,34 6 5,45 7 5,60 8 5,87 9 5,9 0 6,39 7,0 Verdächtig it der iedrigte Wert vo 3,0 mg/l. Die Prüfug ergibt x 5,46 0,98 5,46 3,0 Gmi 0,98,40 Grubb-Tabellewert für Labor 5 % Sigifikaziveau,355 % Sigifikaziveau,564 Beurteilug: G mi it größer al der Tabellewert für da 5 %-Sigifikaziveau, aber kleier al der Wert für da % Sigifikaziveau. Der Wert vo 3,0 mg/l it ei Fataureißer ud darf icht elimiiert werde Prüfug auf die zwei höchte/zwei iedrigte Werte Prüfug auf die zwei höchte Werte Die Mittelwerte werde aufteiged ortiert; x p it der höchte, x p- der zweithöchte Wert uw. G p,p 0 p p 0 (xi x) p p,p (xi xp,p ) xp,p xi p i i i Beurteilug: Prüfwert G kriticher Tabellewert für da Sigifikaziveau vo 5 %: Die geprüfte Werte id al korrekt azuehe. Prüfwert G < kriticher Tabellewert für da Sigifikaziveau vo 5 % aber kriticher Tabellewert für da Sigifikaziveau vo %: Die geprüfte Werte id Fataureißer. Prüfwert G < kriticher Tabellewert für da Sigifikaziveau vo %: Die geprüfte Werte id Aureißer. Seite 0 vo 37

21 Prüfug auf die zwei iedrigte Werte Die Mittelwerte werde aufteiged ortiert; x it der iedrigte, x der zweitiedrigte Wert uw. G, 0 p 0 (xi x) i p, (xi x,) i 3 p x, p x i i 3 Beurteilug: Prüfwert G kriticher Tabellewert für da Sigifikaziveau vo 5 %: Die geprüfte Werte id al korrekt azuehe. Prüfwert G < kriticher Tabellewert für da Sigifikaziveau vo 5 % aber kriticher Tabellewert für da Sigifikaziveau vo %: Die geprüfte Werte id Fataureißer. Prüfwert G < kriticher Tabellewert für da Sigifikaziveau vo %: Die geprüfte Werte id Aureißer. Die kritiche Tabellewerte für die Prüfug der beide höchte ud iedrigte Werte id im Ahag i Tabelle 6b aufgelitet. Beipiel Au eier Rigaalye zur Betimmug vo Hopfebittertoffe id i der achfolgede Tabelle die Mittelwerte x i au Doppelbetimmuge vo 0 Labor i aufteigeder Reihefolge ortiert. Labor i x i x i x (xi x) xi x p, p (xi xp,p ),39 -,60 6,7730 -, 4,878 3,5 -,74 3,0363 -,35, ,30 -,69,8646 -,30, ,76 -,3,59-0,84 0, ,98 -,0,05-0,6 0, ,8-0,8 0,660-0,4 0,74 7 4,40-0,59 0,35-0,0 0, ,47-0,5 0,730-0,3 0,06 9 4,49-0,50 0,55-0, 0,05 0 4,7-0,7 0,0743 0, 0,05 4,76-0,3 0,054 0,6 0,065 4,9-0,08 0,0068 0,3 0, ,95-0,04 0,008 0,35 0,45 4 5,07 0,08 0,0060 0,47 0,35 5 5,78 0,79 0,60,8, ,90 0,9 0,836,30, ,07,08,60,47,69 8 6,37,38,8975,77 3,47 9 8,53 3,54, ,57 3,58, x p,p 4,597 (x i x) 46,74 (x i x) 8,5876 i i x 4,993 Seite vo 37

22 x xp,p Mittelwert vo alle 0 Teilehmer Mittelwert volabor bi8 G p,p 0 8 (xi x) i 0 (xi xp,p ) i 8, ,74 0,3979 kritiche Tabellewerte für 0 Labor Sigifikaziveau 5 %: 0,439 Sigifikaziveau %: 0,3585 Beurteilug: Der Prüfwert G it kleier al der kritiche Tabellewert für da Sigifikaziveau vo 5 % aber größer al der kritiche Tabellewert vo %. Die beide höchte Labormittelwerte id omit Fataureißer ud werde icht au dem Dateatz elimiiert. 6. Ermittlug vo Aureißer bei Kalibrieruge Kalibrierdate müe grudätzlich aureißerfrei ei. Für de Nachwei vo Aureißer tehe verchiedee Tet zur Verfügug. Hier wird die Methode mit der Reidualaalye ud F-Tet (. auch uter 6.3.3) bechriebe. Vorauetzug für diee Verfahre it eie lieare Kalibrierfuktio. Dazu wird zuert au de Wertepaare der Kalibrierug die Regreiogerade mit der Rettadardabweichug berechet. Potetielle Aureißerpaare gehe etweder aufgrud ehr großer Reidue (Differez zwiche gemeeem ud au der Regreiogerade berechete y-wert) oder durch eie graphiche Dartellug hervor. Daach wird da aureißerverdächtige Wertepaar elimiiert ud die eue Regreiogerade mit Rettadardabweichug berechet. Berechugchema: Rettadardabweichug mit alle Wertepaare y A ) (yi yi) A Rettadardabweichug ohe Aureißerpaar y A ) (yi yi) A ) y i au Regreiogerade berecheter Wert der Probe i y i gemeeer Wert der Probe i A A Azahl Wertepaare mit aureißerverdächtigem Wertepaar Azahl Wertepaare ohe aureißerverdächtige Wertepaar Seite vo 37

23 Prüfgröße PG (A ) ( y A ) A y y A A PG wird mit dem F Wert F(f,f A,P 99 %) vergliche Beurteilug: We die Prüfgröße PG > F - Wert, da wird da aureißerverdächtige Paar elimiiert. Beipiel: Bei eier Kalibrierug für eie fotometriche Betimmug reultierte folgede Ergebie: Koz[mg/l] Extiktio 00 0, , ,950 45,063 60,48 75,64 90,35 05,360* 0,546 35,66 Regreiogerade: Extiktio 0,08 + 0,0065. Kozetratio A 0 y A 0,034 aureißerverdächtiger Wert:,360 Regreiogerade ohe aureißerverdächtige Paar: Extiktio 0, ,0067. Kozetratio A 9 A y 0,0083 PG (0 ) 0,0343 (9 ) 0,0083 0,0083,5 Beurteilug: Die Prüfgröe it viel höher al der Tabellewert F(; 7; 99 %),5. Der Wert vo,360 it dehalb zu elimiiere. 6.3 t-tet 6.3. t-tet für uabhägige Stichprobe Der Mittelwert t-tet wird zur Prüfug eie tatitiche Uterchied zwiche zwei Mittelwerte au zwei voeiader uabhägige Aalyeerie heragezoge, wobei Normalverteilug ud gleiche Variaze der beide Serie ageomme wird. Prüfgröße für de Tet it der t-wert: Seite 3 vo 37

24 t + x x ( ) + ( ) + x Mittelwert der erte Serie x Mittelwert der zweite Serie Azahl Mewerte i der erte Serie Azahl Mewerte i der zweite Serie Variaz der erte Serie Variaz der zweite Serie Der Freiheitgrad f it + Au der t-tabelle ka die tatitiche Sigifikaz de Prüfwerte etomme werde. Beipiel E werde Lagerbierorte vo Brauerei A ud B bezüglich Stammwürzegehalt vergliche. E oll beurteilt werde, ob eie der beide Biere tärker al da adere it oder ob beide gleich id. E wurde vo Brauerei A 8 Biere, vo Brauerei B 0 Biere mit folgede Werte gemee: Brauerei A Brauerei B,,4,,5,3,8,4,3,8,30,0,6,8,,3,0,4,9 Au obiger Formel errecheter Prüfwert (t-wert): 3,368 Azahl Freiheitgrade: t-wert au Tabelle für 6 Freiheitgrade: -Ster-Sigifikaz (tatitiche Sicherheit 95 %) :,0 -Ster-Sigifikaz (tatitiche Sicherheit 99 %) :,9 3-Ster-Sigifikaz (tatitiche Sicherheit 99,9 %) : 4,05 Beurteilug: Bier B it mit eier tatitiche Sicherheit vo 99 % bezüglich Stammwürze tärker al Bier A t-tet für abhägige (verbudee) Stichprobe Uterucht ma eie Serie vo Probe mit eier eue ud der alte Methode, o erhält ma gepaarte, d.h. zwei verbudee Mereihe. Mit dieem Tet lät ich etcheide, ob die Äderug i der Aalytik zu gleiche oder uterchiedliche Reultate führt. Die Prüfgröße t ergibt ich au achteheder Formel: t d d ( di )/ di ( di ) / ( ) Seite 4 vo 37

25 Azahl Mewerte pro Serie d Mittelwert der Differeze d Stadardabweichug der Differeze Freiheitgrad f Beipiel E wird eie modifizierte mit eier biher agewadte Methode für die Alphaäurebetimmug i Hopfe vergliche. Al Probematerial diee 8 verchiedee Hopfeextrakte uterchiedliche Alphaäuregehalt. Alphaäuregehalte i de 8 Probe (Agabe i % lftr.) alte Methode eue Methode Differez (alt eu) 38, 38,56 0,44 46,88 45,9-0,97 45,0 45,4 0, 30,33 3,03 0,70 4, 4,5 0,3 50,56 5, 0,65 5,34 5,3-0,03 40,4 40, -0,30 Mittelwert alte Methode 43,0 Mittelwert eue Methode 43,9 Mittelwert der 8 Differeze 0,09 Stadardabweichug der Differeze 0,94 Azahl Meuge pro Serie 8 Freiheitgrad ( ) 7 t-wert au Tabelle für 7 Freiheitgrade: -Ster-Sigifikaz (tatitiche Sicherheit 95 %) :,365 -Ster-Sigifikaz (tatitiche Sicherheit 99 %) : 3,499 3-Ster-Sigifikaz (tatitiche Sicherheit 99,9 %) : 5,408 t d d 0,09 0,94 0,474 Der Prüfwert liegt deutlich uter dem Tabellewert für die tatitiche Sicherheit vo 95 %; omit ka ma davo augehe, da die eue Methode vergleichbare Ergebie wie die biherige liefert, d.h. die Uterchiede der Reultate au beide Methode id zufällig F-Tet Der F-Tet wird zur Prüfug der Gleichheit oder Ugleichheit zweier Variaze (, ), ermittelt au zwei uabhägige Mereihe heragezoge; ageomme wird auch bei dieem Tet eie Normalverteilug der Date. Al Prüfgröße wird da Verhälti der beide Stichprobevariaze gebildet: F Mit de Freiheitgrade ud f f Seite 5 vo 37

26 Die Stichprobe werde o ummeriert, da die größere Variaz im Zähler teht, damit die Prüfgröße tet größer al it. Die Prüfgröße F wird mit dem Tabellewert F( f ; f ; P %) vergliche (F- Tabelle). Beipiel Mit Methode A werde 6, mit Methode B 8 Meuge a der gleiche Probe durchgeführt. Methode A ergibt eie Variaz vo 0,43, Methode B eie olche vo 0,368. 0,368 0,43 F,573 f 8 7 f 5 5 F(7; 5; 95 %) 4,88 F(7; 5; 99 %) 0,46 F(7; 5; 99,9 %) 8,6 Beurteilug: Die Uterchiede i de Variaze der Reultate au Methode A ud B id zufällig. Awedug de F-Tet für die Prüfug bei der Kalibrierug auf lieare oder quadratiche Fuktio Bei der Kalibrierug it u. U. eie quadratiche Regreiofuktio eie beere Apaug a die Kalibrierdate al eie lieare. Die recheriche Überprüfug ka mit dem Apaugtet ach Madel durchgeführt werde. Rettadardabweichug lieare Fuktio: y ( yi y ) i ) mit ) y i a + bxi Rettadardabweichug quadratiche Fuktio: y ( y y ) ) i i 3 mit ) yi a + bxi + cx i Berechug der Differez der Variaze DS ( ) y ( 3) y mit dem Freiheitgrad f Berechug der Prüfgröße mit F-Tet PG DS y Vergleich der Prüfgröße mit dem tabellierte F-Wert (; 3; 99 %) Seite 6 vo 37

27 Beurteilug: - We PG F-Wert, o wird durch die Regreiokurve. Grade keie igifikat beere Apaug erreicht; die Eichfuktio it liear. - We PG > F-Wert, o tellt die Regreiogleichug. Grade eie beere Apaug dar; die Eichfuktio it igifikat uliear. Beipiel Die gachromatografiche Kalibrierug eier Subtaz mit eiem Elektroeeifagdetektor (ECD) ergibt für die Kozetratioreihe folgede Fläche: Kozetratio [µg/l] Peakfläche Grafik Lieare Regreio (. 5..) Peakfläche 00,3 + 44,957. Koz. Rettadardabweichug ( y y ) i i y ) 59,0344 Quadratiche Regreio (. 5..) Peakfläche 0,5 + 50,944. Koz. - 0,0599. Koz. Rettadardabweichug ( y y ) i i y ) 3 8,78 Berechug der Prüfgröße DS ( ) y ( 3) y 9 59, , PG DS y ,8 403,7 F(; 3; 99 %) F(; 8; 99 %) 5,4 Seite 7 vo 37

28 Beurteilug: Die Prüfgröße it viel höher al der F-Wert au der Tabelle für eie 3-Ster-Sigifikaz. Durch die quadratiche Regreio wird eie igifikat beere Apaug der Datepukte erreicht. Die Kalibrierug it icht liear. Seite 8 vo 37

29 Ahag z-tabelle Fläche uter der Stadardormalverteilugkurve vo - bi z für die Werte 0 z 4,09 z \ * ,0* 0, , , ,597 0,5595 0,5994 0,539 0,5790 0,5388 0, ,* 0, , , ,557 0, ,5596 0, , ,574 0, ,* 0,5796 0,5837 0, , , ,5987 0,6057 0,6064 0,606 0,6409 0,3* 0,679 0,67 0,655 0,6930 0, , , ,6443 0, ,6573 0,4* 0,6554 0,6590 0,6676 0, , , ,6774 0,6808 0, , ,5* 0,6946 0, , ,7094 0, , ,76 0,7566 0,7904 0,740 0,6* 0,7575 0,7907 0,7337 0, ,7389 0,745 0, , ,7575 0, ,7* 0, ,765 0,7644 0, , , , , ,7830 0,7854 0,8* 0,7884 0,7903 0, , , ,8034 0,805 0, ,8057 0,837 0,9* 0,8594 0,8859 0,8 0,838 0,8639 0,8894 0,8347 0, , ,8389,0* 0,8434 0, ,8464 0, , ,8534 0, , , ,864,* 0, , , , ,8786 0, , , ,8800 0,8898,* 0, , , , ,895 0, ,8967 0, , ,9047,3* 0,9030 0, , ,9084 0, ,949 0,9309 0,9466 0,96 0,9774,4* 0,994 0,9073 0,90 0,9364 0,9507 0,9647 0,9785 0,99 0, ,9389,5* 0,9339 0, , , ,938 0, ,9406 0,9479 0,9495 0,94408,6* 0,9450 0, , , , , ,9554 0,9554 0,9535 0,95449,7* 0, , ,9578 0,9588 0, , , ,9664 0,9646 0,9637,8* 0, , ,9656 0, ,967 0, , ,9696 0, ,9706,9* 0,978 0,9793 0,9757 0,9730 0,9738 0,9744 0, , ,9765 0,97670,0* 0,9775 0, ,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0, , ,984 0,9869,* 0,984 0,9857 0, ,9834 0,9838 0,984 0,9846 0, , ,98574,* 0,9860 0, , ,9873 0, , , , , ,98899,3* 0,9898 0, , ,9900 0, ,9906 0, ,99 0,9934 0,9958,4* 0,9980 0,990 0,994 0,9945 0,9966 0,9986 0, ,9934 0, ,9936,5* 0, , ,9943 0, , ,9946 0, ,9949 0, ,9950,6* 0, , , , , , , ,996 0,9963 0,99643,7* 0, , , , , ,9970 0,997 0,9970 0,9978 0,99736,8* 0, ,9975 0, , , ,9978 0, , ,9980 0,99807,9* 0,9983 0,9989 0,9985 0,9983 0, ,9984 0, ,9985 0, ,9986 3,0* 0, , , , ,9988 0, , , , , ,* 0, , ,9990 0,9993 0,9996 0,9998 0,999 0,9994 0,9996 0,9999 3,* 0,9993 0, , , , ,9994 0, , , , ,3* 0,9995 0, , , , , ,9996 0,9996 0, , ,4* 0, , , , ,9997 0,9997 0, , , , ,5* 0, , , , , ,9998 0,9998 0,9998 0, , ,6* 0, , , , , , , , , , ,7* 0, , , , ,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,8* 0, , , , , , , , , , ,9* 0, , , , , , , , , , ,0* 0, , , , , , , , , ,99998 Seite 9 vo 37

30 Ahag Freiheitgrade t-tabelle Sigifikazchrake der Studet-Verteilug Sigifikaziveau (bei zweieitiger Fragetellug) 0,5 0,5 0, 0,05 0,05 0,0 0,0 0,00 0,00,000,44 6,34,706 5,45 3,8 63,656 38,89 636,578 0,86,604,90 4,303 6,05 6,965 9,95,38 3, ,765,43,353 3,8 4,77 4,54 5,84 0,4,94 4 0,74,344,3,776 3,495 3,747 4,604 7,73 8,60 5 0,77,30,05,57 3,63 3,365 4,03 5,894 6, ,78,73,943,447,969 3,43 3,707 5,08 5, ,7,54,895,365,84,998 3,499 4,785 5, ,706,40,860,306,75,896 3,355 4,50 5,04 9 0,703,30,833,6,685,8 3,50 4,97 4,78 0 0,700,,8,8,634,764 3,69 4,44 4,587 0,697,4,796,0,593,78 3,06 4,05 4,437 0,695,09,78,79,560,68 3,055 3,930 4,38 3 0,694,04,77,60,533,650 3,0 3,85 4, 4 0,69,00,76,45,50,64,977 3,787 4,40 5 0,69,97,753,3,490,60,947 3,733 4, ,690,94,746,0,473,583,9 3,686 4,05 7 0,689,9,740,0,458,567,898 3,646 3, ,688,89,734,0,445,55,878 3,60 3,9 9 0,688,87,79,093,433,539,86 3,579 3, ,687,85,75,086,43,58,845 3,55 3,850 0,686,83,7,080,44,58,83 3,57 3,89 0,686,8,77,074,405,508,89 3,505 3,79 3 0,685,80,74,069,398,500,807 3,485 3, ,685,79,7,064,39,49,797 3,467 3, ,684,78,708,060,385,485,787 3,450 3,75 6 0,684,77,706,056,379,479,779 3,435 3, ,684,76,703,05,373,473,77 3,4 3, ,683,75,70,048,368,467,763 3,408 3, ,683,74,699,045,364,46,756 3,396 3, ,683,73,697,04,360,457,750 3,385 3, ,68,7,696,040,356,453,744 3,375 3, ,68,7,694,037,35,449,738 3,365 3,6 33 0,68,7,69,035,348,445,733 3,356 3,6 34 0,68,70,69,03,345,44,78 3,348 3, ,68,70,690,030,34,438,74 3,340 3, ,68,69,688,08,339,434,79 3,333 3, ,68,69,687,06,336,43,75 3,36 3, ,68,68,686,04,334,49,7 3,39 3, ,68,68,685,03,33,46,708 3,33 3, ,68,67,684,0,39,43,704 3,307 3, ,679,64,676,009,3,403,678 3,6 3, ,679,6,67,000,99,390,660 3,3 3, ,678,60,667,994,9,38,648 3, 3, ,678,59,664,990,84,374,639 3,95 3, ,677,58,66,987,80,368,63 3,83 3, ,677,57,660,984,76,364,66 3,74 3, ,676,55,655,976,64,35,609 3,45 3, ,676,54,653,97,58,345,60 3,3 3, ,675,53,650,968,53,339,59 3,8 3,33 0,5 0,5 0,05 0,05 0,05 0,0 0,005 0,00 0,00 Sigifikaziveau (bei eieitiger Fragetellug) Seite 30 vo 37

31 Ahag 3 Freiheitgrade r-tabelle Prüfug de Korrelatiokoeffiziete r auf Sigifikaz gege 0 (Freiheitgrade Azahl Wertepaare ) bei zweieitige Tet Sigifikaziveau 0,05 0,0 0,00 0,997,000,000 0,950 0,990 0, ,878 0,959 0,99 4 0,8 0,97 0, ,755 0,875 0,95 6 0,707 0,834 0,95 7 0,666 0,798 0, ,63 0,765 0,87 9 0,60 0,735 0, ,576 0,708 0,83 0,553 0,684 0,80 0,53 0,66 0, ,54 0,64 0, ,497 0,63 0,74 5 0,48 0,606 0,75 6 0,468 0,590 0, ,456 0,575 0, ,444 0,56 0, ,433 0,549 0, ,43 0,457 0,65 5 0,38 0,487 0, ,349 0,449 0, ,35 0,48 0, ,304 0,393 0, ,88 0,37 0, ,73 0,354 0, ,50 0,35 0, ,3 0,30 0, ,7 0,83 0, ,05 0,67 0, ,95 0,54 0,3 Seite 3 vo 37

32 Ahag 4a Idikatore für die Madel Vereibarkeit-Prüfgröe k (auzugweie) Sigifikaziveau 0,05 0,0 Azahl Betimmuge 3 3 Azahl Teilehmer 3,65,53,7,64 4,76,59,9,77 5,8,6,05,85 6,85,64,4,90 7,87,66,0,94 8,88,67,5,97 9,90,68,9,99 0,90,68,3,00,9,69,34,0,9,69,36,0 3,9,69,38,03 4,9,70,39,04 5,93,70,4,05 6,93,70,4,05 7,93,70,44,06 8,93,7,44,06 9,93,7,44,07 0,94,7,45,07 Ahag 4b Idikatore für die Madel Vereibarkeit-Prüfgröe h (auzugweie) Azahl Teilehmer Sigifikaziveau 0,05 0,0 3,5,5 4,4,49 5,57,7 6,66,87 7,7,98 8,75,06 9,78,3 0,80,8,8,,83,5 3,84,7 4,85,30 5,86,3 6,86,33 7,87,35 8,88,36 9,88,37 0,89,39 Seite 3 vo 37

33 Ahag 5 Kritiche Werte für de Cochra-Tet (auzugweie) Sigifikaziveau 0,05 0,0 Azahl Betimmuge 3 3 Azahl Teilehmer 3 0,9669 0,8709 0,9933 0, ,9065 0,7679 0,9676 0, ,84 0,6838 0,979 0, ,7808 0,66 0,888 0,78 7 0,77 0,56 0,8376 0, ,6798 0,557 0,7945 0,65 9 0,6385 0,4775 0,7544 0, ,60 0,445 0,775 0,5358 0,54 0,394 0,658 0, ,4709 0,3346 0,5747 0, ,3894 0,705 0,4799 0,397 Ahag 6a Kritiche Werte für de Grubb-Tet für de größte bzw. kleite Wert (auzugweie) Azahl Teilehmer Sigifikaziveau 0,05 0,0 3,55,55 4,48,496 5,75,764 6,887,973 7,00,39 8,6,74 9,5,387 0,90,48,355,564,4,636 3,46,699 4,507,755 5,549,806 6,585,85 7,60,894 8,65,93 9,68,968 0,709 3,00 Seite 33 vo 37

34 Ahag 6b Kritiche Werte für de Grubb-Tet für die zwei größte bzw. zwei kleite Werte (auzugweie) Azahl Teilehmer Sigifikaziveau 0,05 0, ,000 0, ,0090 0, ,0349 0,06 7 0,0708 0, ,0 0, ,49 0, ,864 0,50 0,3 0,448 0,537 0, ,836 0,06 4 0,3 0,80 5 0,3367 0, ,3603 0, ,38 0, ,405 0, ,44 0, ,439 0,3585 Seite 34 vo 37

35 Ahag 7a F-Tabelle Obere Sigifikazchrake der F-Verteilug für ei Sigifikaziveau vo 0,05 Freiheitgrad Freiheitgrad 6,45 99,50 5,7 4,58 30,6 33,99 36,77 38,88 40,54 4,88 8,5 9,00 9,6 9,5 9,30 9,33 9,35 9,37 9,38 9,40 3 0,3 9,55 9,8 9, 9,0 8,94 8,89 8,85 8,8 8,79 4 7,7 6,94 6,59 6,39 6,6 6,6 6,09 6,04 6,00 5,96 5 6,6 5,79 5,4 5,9 5,05 4,95 4,88 4,8 4,77 4,74 6 5,99 5,4 4,76 4,53 4,39 4,8 4, 4,5 4,0 4,06 7 5,59 4,74 4,35 4, 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 8 5,3 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 9 5, 4,6 3,86 3,63 3,48 3,37 3,9 3,3 3,8 3,4 0 4,96 4,0 3,7 3,48 3,33 3, 3,4 3,07 3,0,98 4,84 3,98 3,59 3,36 3,0 3,09 3,0,95,90,85 4,75 3,89 3,49 3,6 3, 3,00,9,85,80,75 3 4,67 3,8 3,4 3,8 3,03,9,83,77,7,67 4 4,60 3,74 3,34 3,,96,85,76,70,65,60 5 4,54 3,68 3,9 3,06,90,79,7,64,59,54 6 4,49 3,63 3,4 3,0,85,74,66,59,54,49 7 4,45 3,59 3,0,96,8,70,6,55,49,45 8 4,4 3,55 3,6,93,77,66,58,5,46,4 9 4,38 3,5 3,3,90,74,63,54,48,4,38 0 4,35 3,49 3,0,87,7,60,5,45,39,35 4,3 3,47 3,07,84,68,57,49,4,37,3 4,30 3,44 3,05,8,66,55,46,40,34,30 3 4,8 3,4 3,03,80,64,53,44,37,3,7 4 4,6 3,40 3,0,78,6,5,4,36,30,5 5 4,4 3,39,99,76,60,49,40,34,8,4 6 4,3 3,37,98,74,59,47,39,3,7, 7 4, 3,35,96,73,57,46,37,3,5,0 8 4,0 3,34,95,7,56,45,36,9,4,9 9 4,8 3,33,93,70,55,43,35,8,,8 30 4,7 3,3,9,69,53,4,33,7,,6 40 4,08 3,3,84,6,45,34,5,8,, ,00 3,5,76,53,37,5,7,0,04,99 0 3,9 3,07,68,45,9,8,09,0,96,9 3,84 3,00,60,37,,0,0,94,88,83 Seite 35 vo 37

36 Ahag 7b F-Tabelle Obere Sigifikazchrake der F-Verteilug für ei Sigifikaziveau vo 0,0 Freiheitgrad Freiheitgrad 405,8 4999, ,35 564, , ,99 598,36 598,07 60, ,85 98,50 99,00 99,7 99,5 99,30 99,33 99,36 99,37 99,39 99, , 30,8 9,46 8,7 8,4 7,9 7,67 7,49 7,35 7,3 4,0 8,00 6,69 5,98 5,5 5, 4,98 4,80 4,66 4,55 5 6,6 3,7,06,39 0,97 0,67 0,46 0,9 0,6 0,05 6 3,75 0,93 9,78 9,5 8,75 8,47 8,6 8,0 7,98 7,87 7,5 9,55 8,45 7,85 7,46 7,9 6,99 6,84 6,7 6,6 8,6 8,65 7,59 7,0 6,63 6,37 6,8 6,03 5,9 5,8 9 0,56 8,0 6,99 6,4 6,06 5,80 5,6 5,47 5,35 5,6 0 0,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,0 5,06 4,94 4,85 9,65 7, 6, 5,67 5,3 5,07 4,89 4,74 4,63 4,54 9,33 6,93 5,95 5,4 5,06 4,8 4,64 4,50 4,39 4,30 3 9,07 6,70 5,74 5, 4,86 4,6 4,44 4,30 4,9 4,0 4 8,86 6,5 5,56 5,04 4,70 4,46 4,8 4,4 4,03 3,94 5 8,68 6,36 5,4 4,89 4,56 4,3 4,4 4,00 3,90 3,8 6 8,53 6,3 5,9 4,77 4,44 4,0 4,03 3,89 3,78 3,69 7 8,40 6, 5,9 4,67 4,34 4,0 3,93 3,79 3,68 3,59 8 8,9 6,0 5,09 4,58 4,5 4,0 3,84 3,7 3,60 3,5 9 8,9 5,93 5,0 4,50 4,7 3,94 3,77 3,63 3,5 3,43 0 8,0 5,85 4,94 4,43 4,0 3,87 3,70 3,56 3,46 3,37 8,0 5,78 4,87 4,37 4,04 3,8 3,64 3,5 3,40 3,3 7,95 5,7 4,8 4,3 3,99 3,76 3,59 3,45 3,35 3,6 3 7,88 5,66 4,77 4,6 3,94 3,7 3,54 3,4 3,30 3, 4 7,8 5,6 4,7 4, 3,90 3,67 3,50 3,36 3,6 3,7 5 7,77 5,57 4,68 4,8 3,86 3,63 3,46 3,3 3, 3,3 6 7,7 5,53 4,64 4,4 3,8 3,59 3,4 3,9 3,8 3,09 7 7,68 5,49 4,60 4, 3,79 3,56 3,39 3,6 3,5 3,06 8 7,64 5,45 4,57 4,07 3,75 3,53 3,36 3,3 3, 3,03 9 7,60 5,4 4,54 4,05 3,73 3,50 3,33 3,0 3,09 3,0 30 7,56 5,39 4,5 4,0 3,70 3,47 3,30 3,7 3,07, ,3 5,8 4,3 3,83 3,5 3,9 3,,99,89, ,08 4,98 4,3 3,65 3,34 3,,95,8,7,63 0 6,85 4,79 3,95 3,48 3,7,96,79,66,56,47 6,64 4,6 3,78 3,3 3,0,80,64,5,4,3 Seite 36 vo 37

37 Ahag 7c F-Tabelle Obere Sigifikazchrake der F-Verteilug für ei Sigifikaziveau vo 0,00 Freiheitgrad Freiheitgrad 3 67,03 48,50 4, 37,0 34,58 3,85 3,59 30,6 9,86 9,5 4 74,4 6,5 56,8 53,44 5,7 50,53 49,66 49,00 48,48 48, ,8 37, 33,0 3,09 9,75 8,84 8,6 7,65 7,5 6,9 6 35,5 7,00 3,70,9 0,80 0,03 9,46 9,03 8,69 8,4 7 9,5,69 8,77 7,0 6, 5,5 5,0 4,63 4,33 4,08 8 5,4 8,49 5,83 4,39 3,49,86,40,05,77,54 9,86 6,39 3,90,56,7,3 0,70 0,37 0, 9,89 0,04 4,9,55,8 0,48 9,93 9,5 9,0 8,96 8,75 9,69 3,8,56 0,35 9,58 9,05 8,66 8,36 8, 7,9 8,64,97 0,80 9,63 8,89 8,38 8,00 7,7 7,48 7,9 3 7,8,3 0, 9,07 8,35 7,86 7,49 7, 6,98 6,80 4 7,4,78 9,73 8,6 7,9 7,44 7,08 6,80 6,58 6,40 5 6,59,34 9,34 8,5 7,57 7,09 6,74 6,47 6,6 6,08 6 6, 0,97 9,0 7,94 7,7 6,8 6,46 6,0 5,98 5,8 7 5,7 0,66 8,73 7,68 7,0 6,56 6, 5,96 5,75 5,58 8 5,38 0,39 8,49 7,46 6,8 6,36 6,0 5,76 5,56 5,39 9 5,08 0,6 8,8 7,7 6,6 6,8 5,85 5,59 5,39 5, 0 4,8 9,95 8,0 7,0 6,46 6,0 5,69 5,44 5,4 5,08 4,38 9,6 7,80 6,8 6,9 5,76 5,44 5,9 4,99 4,83 4 4,03 9,34 7,55 6,59 5,98 5,55 5,4 4,99 4,80 4,64 6 3,74 9, 7,36 6,4 5,80 5,38 5,07 4,83 4,64 4,48 8 3,50 8,93 7,9 6,5 5,66 5,4 4,93 4,70 4,5 4, ,9 8,77 7,05 6,3 5,53 5, 4,8 4,58 4,39 4,4 35,90 8,47 6,79 5,88 5,30 4,89 4,60 4,36 4,8 4,03 40,6 8,5 6,60 5,70 5,3 4,73 4,44 4, 4,0 3,87 45,39 8,09 6,45 5,56 5,00 4,6 4,3 4,09 3,9 3,76 50, 7,96 6,34 5,46 4,90 4,5 4, 4,00 3,8 3,67 60,97 7,77 6,7 5,3 4,76 4,37 4,09 3,87 3,69 3,54 70,80 7,64 6,06 5,0 4,66 4,8 3,99 3,77 3,60 3,45 80,67 7,54 5,97 5, 4,58 4,0 3,9 3,7 3,53 3,39 00,50 7,4 5,86 5,0 4,48 4, 3,83 3,6 3,44 3,30 00,6 7,5 5,63 4,8 4,9 3,9 3,65 3,43 3,6 3, 500 0,96 7,00 5,5 4,69 4,8 3,8 3,54 3,33 3,6 3, ,89 6,96 5,46 4,66 4,4 3,78 3,5 3,30 3,3,99 0,83 6,9 5,4 4,6 4,0 3,74 3,47 3,7 3,0,96 Seite 37 vo 37

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