Übung vom Heute geht es hauptsächlich um den Satz von Gauss und seine Anwendungen. Der Inhalt. Herleitung des SvG. Flächenformel.

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1 Übung vom Heute geht es hauptsächlich um den Satz von Gauss und seine Anwendungen. Der Inhalt 1 Formulierung des Satzes von Gauss (SvG). 2 Erinnerung an die Denition der Divergenz und intuitive Herleitung des SvG. 3 Das äuÿere Normalenfeld und seine Beschreibung. 4 Spezialfälle und Anwendungen: n = 1, Gauss-Green, Flächenformel. 5 Übungsaufgaben und (letztere nur im Ansatz) 6 Weitere Anwendungen: partielle Integration, Kontinuitätsgleichung.

2 Der Satz von Gauÿ Sei V R n ein Kompaktum mit stückweise glattem Rand V (welches wir im folg. auch mit Volumen bezeichnen) und äuÿerem Normalenfeld ν : V R n. Für jedes Vektorfeld X : V R n für welches X,ν auf V und div(x ) im Inneren von V integrierbar ist, gilt div(x ) dv = X,ν d( V ). V V Dabei bezeichnen dv und d( V ) die jeweiligen Volumenintegranten dv = g V dλ n und d( V ) = g V dλ n 1.

3 Erinnerung an die Divergenz X z 0 Ν Für ein Vektorfeld X : R n R n gilt im Punkt z 0 R n : div(x )(z 0 ) = lim r 0 B n r X,ν d( Br n ). vol(br n ) Dabei ist Br n die Vollkugel um z 0 mit Radius r. Das Integral B X,ν d( B n r n ) ist ein Maÿ für r die Dierenz von Abuss ( X,ν > 0) und Zuuss ( X,ν < 0) in Br n.

4 Bezug zum Satz von Gauss Bezeichnen wir diese Dierenz von Abuss und Zuuss als Quellstärke von X in Br n, dann ist B X,ν d( B n r n ) r vol(br n ) die durchschnittliche Quellstärkendichte (=Quellstärke pro Volumen) von X in Br n um z 0. Die Divergenz div(x )(z 0 ) = lim r 0 B X,ν d( B n r n ) r vol(br n ) ist demzufolge die punktuelle Quellstärkendichte in z 0. Integriert man die punktuelle Quellstärkendichte über ein ganzes Volumen V, dann muss sich daraus die Quellstärke von X in ganz V ergeben: div(x ) dv = X,ν d( V ) V V

5 Bezug zum Satz von Gauss Bezeichnen wir diese Dierenz von Abuss und Zuuss als Quellstärke von X in Br n, dann ist B X,ν d( B n r n ) r vol(br n ) die durchschnittliche Quellstärkendichte (=Quellstärke pro Volumen) von X in Br n um z 0. Die Divergenz div(x )(z 0 ) = lim r 0 B X,ν d( B n r n ) r vol(br n ) ist demzufolge die punktuelle Quellstärkendichte in z 0. Integriert man die punktuelle Quellstärkendichte über ein ganzes Volumen V, dann muss sich daraus die Quellstärke von X in ganz V ergeben: div(x ) dv = X,ν d( V ) V V

6 Bezug zum Satz von Gauss Bezeichnen wir diese Dierenz von Abuss und Zuuss als Quellstärke von X in Br n, dann ist B X,ν d( B n r n ) r vol(br n ) die durchschnittliche Quellstärkendichte (=Quellstärke pro Volumen) von X in Br n um z 0. Die Divergenz div(x )(z 0 ) = lim r 0 B X,ν d( B n r n ) r vol(br n ) ist demzufolge die punktuelle Quellstärkendichte in z 0. Integriert man die punktuelle Quellstärkendichte über ein ganzes Volumen V, dann muss sich daraus die Quellstärke von X in ganz V ergeben: div(x ) dv = X,ν d( V ) V V

7 Bekannte Dichte: die Massedichte Besitzt ein homogener Körper die Masse m und ein Volumen V, dann bezeichnet ρ := m dessen Massedichte. V Inhomogene Körper, z.b. Gasgemische, haben eine nichtkonstante Massedichte ρ(x). Für diese gilt m = ρ(x) dv. V

8 Das äuÿere Normalenfeld Nochmal: Sei V R n ein Kompaktum mit stückweise glattem Rand V und äuÿerem Normalenfeld ν : V R n. Für jedes Vektorfeld X : V R n für welches X,ν auf V und div(x ) im Inneren von V integrierbar ist, gilt div(x ) dv = X,ν d( V ). V V Was ist nochmal das äuÿere Normalenfeld?

9 Das äuÿere Normalenfeld Das äuÿere Normalenfeld ν eines Volumen V R n : Ist (ortho)normal zu V, d.h. es steht senkrecht auf V, d.h. ν(x) steht ν(x) T x V und besitzt stets die Länge ν(x) = 1. Es zeigt nach auÿen, d.h. es existiert eine Kurve γ : ( ε,0] V mit γ(0) = x und γ(0) = ν(x). Wie kann man das bestimmen?

10 Das äuÿere Normalenfeld Bestimmung eines (nicht notwendigerweise äuÿeren) Normalenvektors n(x) im Punkt x V. 1 Ist V die Nullstellenmenge einer C 1 -Funktion F, dann ist grad F x orthonormal zu V und damit n(x) := grad F x grad F x. 2 Ist V R 3 und γ : Ω R 2 V eine Parametrisierung von V, dann ist n(x) := γ x 1 γ x 2 γ x 1 γ x 2. 3 Ist V R 2 und γ : I V eine Parametrisierung von V, dann ist n(t) = M π 2 γ(t) γ(t) M π 2 = ( ).

11 Das äuÿere Normalenfeld Bestimmung eines (nicht notwendigerweise äuÿeren) Normalenvektors n(x) im Punkt x V. 1 Ist V die Nullstellenmenge einer C 1 -Funktion F, dann ist grad F x orthonormal zu V und damit n(x) := grad F x grad F x. 2 Ist V R 3 und γ : Ω R 2 V eine Parametrisierung von V, dann ist n(x) := γ x 1 γ x 2 γ x 1 γ x 2. 3 Ist V R 2 und γ : I V eine Parametrisierung von V, dann ist n(t) = M π 2 γ(t) γ(t) M π 2 = ( ).

12 Das äuÿere Normalenfeld Bestimmung eines (nicht notwendigerweise äuÿeren) Normalenvektors n(x) im Punkt x V. 1 Ist V die Nullstellenmenge einer C 1 -Funktion F, dann ist grad F x orthonormal zu V und damit n(x) := grad F x grad F x. 2 Ist V R 3 und γ : Ω R 2 V eine Parametrisierung von V, dann ist n(x) := γ x 1 γ x 2 γ x 1 γ x 2. 3 Ist V R 2 und γ : I V eine Parametrisierung von V, dann ist n(t) = M π 2 γ(t) γ(t) M π 2 = ( ).

13 Beweis von 1. und 2. Es gilt T x V = { γ(0) γ : I oen R V st.dib., γ(0) = x}. 1 Sei v T x V und γ(0) = x sowie γ(0) = v. Nach Voraussetzung ist F (γ(t)) 0 und damit 0 = d dt t=0 F (γ(t)) = DF x ( γ(0)) = grad F x, v. 2 Dies folgt daraus, dass γ steht. x 1 γ x 2 senkrecht auf γ x 1 und γ x 2

14 Beweis von 1. und 2. Es gilt T x V = { γ(0) γ : I oen R V st.dib., γ(0) = x}. 1 Sei v T x V und γ(0) = x sowie γ(0) = v. Nach Voraussetzung ist F (γ(t)) 0 und damit 0 = d dt t=0 F (γ(t)) = DF x ( γ(0)) = grad F x, v. 2 Dies folgt daraus, dass γ steht. x 1 γ x 2 senkrecht auf γ x 1 und γ x 2

15 Satz von Gauss in R 1 Sei V = [a, b] R ein Volumen und X : V R ein Vektorfeld. Dann gilt 1 div(x ) = X x = X, 2 V = {a, b} und ν(a) = 1 sowie ν(b) = 1. 3 Insgesamt entspricht dann der Satz von Gauss dem Hauptsatz der Dierential und Integralrechnung: X dv = 1 X (a) + X (b) [a,b]

16 Satz von Gauss in R 1 Sei V = [a, b] R ein Volumen und X : V R ein Vektorfeld. Dann gilt 1 div(x ) = X x = X, 2 V = {a, b} und ν(a) = 1 sowie ν(b) = 1. 3 Insgesamt entspricht dann der Satz von Gauss dem Hauptsatz der Dierential und Integralrechnung: X dv = 1 X (a) + X (b) [a,b]

17 Satz von Gauss in R 1 Sei V = [a, b] R ein Volumen und X : V R ein Vektorfeld. Dann gilt 1 div(x ) = X x = X, 2 V = {a, b} und ν(a) = 1 sowie ν(b) = 1. 3 Insgesamt entspricht dann der Satz von Gauss dem Hauptsatz der Dierential und Integralrechnung: X dv = 1 X (a) + X (b) [a,b]

18 Satz von Gauss-Green Sei ObdA X (x, y) = (v(x, y), u(x, y)) auf einem Volumen V R 2 und γ : I V eine positiv orientierte Parametrisierung von V (also positiv otientierte Randkurve). Dann gilt 1 div(x ) = v x u y, 2 ν(γ(t)) = M π γ(t) 2 γ(t) = ( γ 2(t), γ 1 (t)) γ(t) und X,ν = v γ 2+u γ 1 γ(t) d( V ) = γ, γ dt = γ(t) dt. 3 Insgesamt entspricht dann der Satz von Gauss der Gauss-Green-Formel v V x u y I dv = v(γ(t)) γ 2 + u(γ(t)) γ 1 dt = (v(γ(t)) dy( γ) + u(γ(t)) dx( γ)) dt I =: v dy + u dx. V =γ sowie

19 Satz von Gauss-Green Sei ObdA X (x, y) = (v(x, y), u(x, y)) auf einem Volumen V R 2 und γ : I V eine positiv orientierte Parametrisierung von V (also positiv otientierte Randkurve). Dann gilt 1 div(x ) = v x u y, 2 ν(γ(t)) = M π γ(t) 2 γ(t) = ( γ 2(t), γ 1 (t)) γ(t) und X,ν = v γ 2+u γ 1 γ(t) d( V ) = γ, γ dt = γ(t) dt. 3 Insgesamt entspricht dann der Satz von Gauss der Gauss-Green-Formel v V x u y I dv = v(γ(t)) γ 2 + u(γ(t)) γ 1 dt = (v(γ(t)) dy( γ) + u(γ(t)) dx( γ)) dt I =: v dy + u dx. V =γ sowie

20 Satz von Gauss-Green Sei ObdA X (x, y) = (v(x, y), u(x, y)) auf einem Volumen V R 2 und γ : I V eine positiv orientierte Parametrisierung von V (also positiv otientierte Randkurve). Dann gilt 1 div(x ) = v x u y, 2 ν(γ(t)) = M π γ(t) 2 γ(t) = ( γ 2(t), γ 1 (t)) γ(t) und X,ν = v γ 2+u γ 1 γ(t) d( V ) = γ, γ dt = γ(t) dt. 3 Insgesamt entspricht dann der Satz von Gauss der Gauss-Green-Formel v V x u y I dv = v(γ(t)) γ 2 + u(γ(t)) γ 1 dt = (v(γ(t)) dy( γ) + u(γ(t)) dx( γ)) dt I =: v dy + u dx. V =γ sowie

21 Bemerkung dx und dy sind hier die Dierenziale der Koordinatenfunktionen x und y, d.h. x(γ) = γ 1 und y(γ) = γ 2, sodass z.b. gilt: γ 1 = d x(γ(t)) = dx( γ). dt

22 Anwendung: Flächenformel Ist v x u = 1 so folgt y vol(v ) = dv = v dy + u dx. V V =γ Dies gilt z.b. für (u, v) = 1 2 ( y,x).

23 Übungsaufgabe Sei B der durch x 2 1 y x x 3 und x 1 denierte Bereich der (x, y)ebene und γ ein positiv orientierter stückweise dierenzierbarer Randweg. Berechnen Sie das Wegintegral y 2 dx + (2xy + x)dy γ den Inhalt von B. Begründen Sie mit dem Gauÿschen Integralsatz, warum die Übereinstimmung der Werte nicht zufällig ist

24 Lösung Das Volumen kann man nach Cavalieri berechnen: Sei { /0 x / [0,1] B x = {y (x, y) B} = [x 2 1, x x 3 ] sonst der x-schnitt von B, dann gilt 1 vol(b) = = µ(b x ) dx = x dx = x x 3 x dx 1 [ 1 3 x 3 + x ] 1 1 = 4 3.

25 Lösung Andererseits ist die Verknüpfung γ der Wege α(t) = (t, t 2 1) für t [ 1,1] und β(t) = ( t, t + t 3 ) für t [ 1,1] eine positiv orientierte Parametrisierung von B. Damit gilt y 2 dx +(2xy +x)dy = y 2 dx +(2xy +x)dy + y 2 dx +(2xy +x)dy. γ α Aus α(t) = (1,2t) und β(t) = ( 1,3t 2 1) folgt durch Einsetzen 1 y 2 dx + (2xy + x)dy = (t 2 1) 2 + ( 2 t(t 2 1) + ) t 2t dt 1 α β = t 2 + 5t 4 dt = = ( t + t 3 ) 2 + (3t 2 1) ( 2 t(t t 3 ) ) t dt 1 = 1 1 t 3t 2 3t t 4 7t 6 dt = 0. Die Übereinstimmung der Integrale folgt aus der obigen y 2 (2xy x) β

26 Übungsaufgabe Sei G = { (x, y,z) x, y,z 0, x 2 + y 2 + z 2 1 } ein Gebiet im R 3. Berechnen Sie (xy + yz + zx) dλ 3 G a) direkt und b) mittels des Integralsatzes von Gauÿ.

27 Lösung Wir machen nur den Ansatz von b). D.h. wir suchen ein Vektorfeld X mit div(x ) = xy + yz + zx. Dazu setzen wir xy = X z z, yz = X x x zx = X y y. integrieren wir den ersten Summenden nach z, den zweiten nach y und den dritten nach z und erhalten X = xyz (1,1,1). Das äuÿere Normalenfeld ist oenbar ν x,y (0,0, 1), ν y,z ( 1,0,0), ν z,x (0, 1,0) und ν S 2(x, y,z) = (x, y,z).

28 Partielle Integration Aus der Produktregel für Funktionen f, g : R R folgt b a f g dx = [f g] b a b a f g dx. Insbesondere ist b a f g dx = b a f g dx falls f (a) = f (b) = 0. Aus div(f X ) = f div(x ) + grad f, X folgt nach Gauss V f div(x ) dv = f X,ν d( V ) grad f, X dv. V V }{{} DF X Insbesondere ist hier V f div(x ) dv = V DF X dv, falls f V 0 gilt.

29 Kontinuitätsgleichung 1 Wir betrachten ein elektrisch geladenes Volumen V mit der Ladungsdichte ρ, d.h. Q V = ρ dv V ist die Gesamtladung von V. 2 Sei zudem das Vektorfeld J die Stromdichte des elektrischen Flusses, d.h. I V = J,ν d( V ) V ieÿt bzw. quillt durch die Oberäche V (vgl. Quellstärke). 3 Weil Strom als Ladungsänderung deniert ist, d.h. I = d dt Q, folgt aus dem Satz von Gauss die Kontinuitätsgleichung Warum? d ρ div(j) 0. dt

30 Erklärung Mit dem Satz von Gauss gilt zunächst I V = V div(j) dv bzw. d V ρ div(j) dv = 0. dt Es bleibt: V fdv = 0 für alle V Rn f = 0 zu zeigen. Angenommen f (x 0 ) > ε 0. Wegen der Stetigkeit gibt es eine Umgebung U von x 0 mit f (x) > ε 0 für alle x U. Sei Sei zudem Bδ n(x 0) U, dann folgt insgesamt U f du > ε 0 U du > ε 0vol(Bδ n ) > 0 - ein Widerspruch.