TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

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1 Prof. Dr. D. Castrigiao Dr. M. Prähofer Zetralübug TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik Mathematik 3 für Physik (Aalysis 2) Charakterisierug vo Cauchy-Folge Sommersemester 2010 Lösugsblatt 4 ( ) Sei (M, d) ei metrischer Raum ud (a ) eie Folge i M. Die folgede Aussage sid äquivalet: (i) (a ) ist Cauchy-Folge, (ii) lim diam{a k : k } = 0, (iii) lim d(a, a k ) = 0. sup k (i) (ii) Da (a ) Cauchy-Folge ist, gibt es zu ɛ > 0 ei N N, so dass für alle, m N gilt: d(a, a m ) < ɛ. Somit ist diam{a k : k N} = sup{d(a, a m ) :, m N} < ɛ. Da diam{a k : k N} offebar mooto falled i N ist, folgt diam{a k : k N} 0 für N. (ii) (iii) Folgt aus sup d(a, a k ) sup{d(a k, a l ) : k, l } = diam{a k : k }. k (iii) (i) Sei ɛ > 0. Nach (iii) gibt es ei N N mit sup d(a, a k ) < ɛ für alle N. k Somit ist d(a k, a ) < ɛ für alle k, N, d.h., (a ) ist Cauchy-Folge.

2 24. Der Graph eier stetige Fuktio ist abgeschlosse (a) Seie (M, d), (N, d ) metrische Räume, Ist f : M N stetig, so ist der Graph vo f, G f = {(x, f(x)) : x M} M N, abgeschlosse bezüglich der Produktmetrik auf M N. (b) Die Umkehrug gilt im Allgemeie icht. (a) Sei (x, y ) eie Folge i G f mit (x, y ) (x, y) M N. Zu zeige ist, dass (x, y) G f. Aus (x, y ) G f folgt y = f(x ). Somit ist lim (x, y ) = ( lim x, lim f(x )) f stetig = lim (x, f(x)), woraus wege der Eideutigkeit des Grezwertes y = f(x), mithi (x, y) G f folgt. (b) f : R R, f(x) = 1 x für x 0, f(0) = 0 ist icht stetig, aber f ± := f R ± ist jeweils stetig, d.h. G f± ist jeweils abgeschlosse ud G f = G f+ {0} G f.

3 25. l 2 (N) ist vollstädig Für a B(N) sei a 2 := a 2 ud l 2 (N) = {a B(N) : a 2 < }. Ma zeige: (a) (l 2 (N), 2 ) ist ei ormierter Raum. (b) (l 2 (N), 2 ) ist ei Baachraum. (a) l 2 (N) ist ei Utervektorraum vo R N, da mit a, b l 2 (N), α C auch αa 2 = α a 2 < ud a + b 2 a 2 + b 2 <. Letzteres gilt, da für alle N a k + b k 2 a k 2 + b k 2 k=1 k=1 wege der Dreiecksugleichug i (C, 2 ). Die rechte Seite existiert im Limes, somit auch die like. Damit ist auch scho die Dreiecksugleichug a + b 2 a 2 + b 2 i l 2 (N) gezeigt. Die Homogeität αa 2 = α a 2 wurde obe scho erwäht, 0 2 = 0 ist auch offesichtlich. Bleibt die positive Defiitheit zu zeige. Sei a l 2 (N) mit a 2 = 0. Gäbe es ei N mit a > 0, so wäre a 2 2 = a = 0. (b) Sei (a (k) ) k N eie Cauchy-Folge i (l 2 (N), 2 ). k=1 (i) (Puktweiser Limes) Sei N fest. Da ist wege a (l) a (k) a (l) a (k) 2 2, a 2 a 2 > 0. Also folgt auch (a (k) ) k N eie Cauchy-Folge i R, also existiert lim k a(k) =: a R. Die Folge a := (a ) N ist also der puktweise Limes vo (a (k) ) k N. (ii) (der Kadidat ist l 2 ) Es ist (a ) l 2 (N), de für jedes N N gilt N a 2 = lim N k a (k) 2 sup a (k) 2 2 cost <, da Cauchy-Folge beschräkt sid. Somit ist auch a 2 2 C. (iii) (Kovergez i l 2 ) Zu zeige ist, dass a (k) a 2 0. Sei ɛ > 0. Es gibt K N, so dass für alle k, l K gilt: a (k) a (l) 2 < ɛ, bzw., k N Für jedes N N gilt also a (k) a (l) 2 < ɛ 2 Somit ist auch ɛ 2 lim N l a (k) a (l) 2 = N a (k) a 2. a (k) a 2 ɛ 2, was gleichbedeuted mit a (k) a 2 ɛ ist. Es gilt also a (k) a i der 2 -Norm. Die Cauchy-Folge (a (k) ) k N besitzt also eie Grezwert i l 2 (N), ämlich a. Somit ist (l 2 (N), 2 ) ei vollstädiger ormierter Raum, d.i., ei Baachraum.

4 26. Kostruktive Vervollstädigug eies metrische Raums Sei (M, d) ei metrischer Raum, CM die Mege der Cauchy-Folge i M. (a) (a ) (b ) : d(a, b ) 0 für ist eie Äquivalezrelatio auf CM mit Äquivalezklasse [(a )], (a ) CM. (b) Die Abbildug i : M a [(a) N ] CM/ =: ˆM ist ijektiv. Ist M vollstädig, so ist sie sogar bijektiv. (c) d c ((a ), (b )) := lim d(a, b ) ist auf CM CM wohldefiiert. (d) Der Quotiet ˆM := CM/ ist mit ˆd([(a )], [(b )]) := d c ((a ), (b )) eie Vervollstädigug vo (M, d). (a) ist reflexiv, d(a, a ) = 0, symmetrisch, da d symmetrisch ist, ud trasitiv, d(a, c ) d(a, b ) + d(b, c ) 0, we (a ) (b ud (b ) (c ), also eie Äquivalezrelatio auf CM. (b) Seie a, b M, mit [(a) N ] = [(b) N ]. Wege a = lim a = lim b = b folgt die Ijektivität. Sei u M vollstädig ud [(a )] ˆM. Da ist (a ) Cauchy-Folge ud es gibt ei a M mit lim 0 a = a. Offebar ist i(a) = [(a )]. (c) Sid (a ), (b ) Cauchy-Folge i M, so ist auch d(a, b ) eie Cauchy-Folge i R + 0, hat also eie Limes, da R + 0 vollstädig ist. Sei ɛ > 0. Da gibt es ei N N so dass für alle, m N sowohl d(a, a m ) < ɛ 2 als auch d(b, b m ) < ɛ 2. Somit ist (d) d(a, b ) d(a m, b m ) d(a, a m ) + d(a m, b m ) + d(b m, b ) d(a m, b m ) < ɛ. Aalog erhält ma d(a m, b m ) d(a, b ) < ɛ, isgesamt also d(a, b ) d(a m, b m ) < ɛ, also Cauchy-Folge. ˆd ist wohldefiiert. Seie (a ) (a ), (b ) (b ). Da ist d c ((a ), (b )) d c ((a ), (b )) = lim d(a, b ) d(a, b ) = 0, da d(a, b ) d(a, b ) d(a, a ) + d(b, b ) 0. Somit ist uabhägig vo de Represetate ˆd([(a )], [(b )]) := d c ((a ), (b )). ˆd ist Metrik, de ˆd([(a )], [(a )]) = 0, aus ˆd([(a )], [(b )]) = 0 folgt d(a, b ) 0, also (a ) (b ), bzw., [(a )] = [(b )]. Die Symmetrie ist offesichtlich, die Dreiecksugleichug folgt aus ˆd([(a )], [(c )]) = lim d(a, c ) lim (d(a, b ) + d(b, c )) = lim d(a, b ) + lim d(b, c )) = ˆd([(a )], [(b )]) + ˆd([(b )], [(c )]). Sei u (A k ) k N = ([(a (k) )]) k N eie Cauchy-Folge i ˆM bezüglich ˆd. Wir kostruiere daraus eie Cauchy-Folge i M: Zu k N wähle N k > N k 1, so dass diam{a (k) ud alle m max{n k, N l } gilt: : N k } < 1 k ud setze b k := a (k) N k. (b k ) ist Cauchy-Folge, da für l k d(b k, b l ) d(a (k) N k, a (k) m ) + d(a (k) m, a (l) m ) + d(a (l) m, a (l) N l ). Im Limes m also d(b k, b l ) 1 k + ˆd(A k, A l ) + 1 l 2 k + ˆd(A k, A l ). Das Supremum über alle l k ergibt rechts ud damit auch liks eie Nullfolge i k. Somit ist b = (b ) CM.

5 Zu zeige bleibt ˆd(A k, [b]) 0. Aus d(a (k) folgt im Limes m, b ) d(a (k), a (k) m ) + d(a (k) m, a () m ) + d(a () m, a () d(a (k), b ) sup d(a (k), a (k) m ) + ˆd(A k, A ) + 1 m. Der Limes existiert beidseitig ud ergibt ˆd(A k, [b]) = lim d(a(k) N ), b ) sup ˆd(A k, A ) 0 für k. k Zu jeder Cauchy-Folge (A k ) i ˆM gibt es also eie Cauchy-Folge b i M mit A k [b] ˆM, ˆM ist also vollstädig.

6 Hausaufgabe 27. Mege die offe ud zugleich abgeschlosse sid (a) I [0, 1] mit der vo R iduzierte Metrik ist jede offee ud zugleich abgeschlossee ichtleere Teilmege gleich [0, 1]. (b) Sei M = U 1 ( 2, 0) U 1 (2, 0) R 2. Gebe Sie vier Teilmege vo M a, die bezüglich der iduzierte euklidische Metrik auf M offe ud zugleich abgeschlosse sid. (c) Zeige Sie, dass es keie stetige Fuktio f : [0, 1] M gibt mit f(0) = ( 2, 0) ud f(1) = (2, 0). (a) Sei N [0, 1], N offe ud abgeschlosse i [0, 1]. Aahme: Es gibt ei x N. Sei x = if{y [0, x] : [y, x] N = }. Ist x N, so ist N icht offe, ist x > 0 N, so ist N icht abgeschlosse. Ist x = 0 so betrachtet ma x + = sup{y [x, 1] : [x, y] N = }. Ist x + N, so ist N icht offe, ist x + < 1 N, so ist N icht abgeschlosse. x + = 1 ist icht möglich, sost wäre N =. Elegatere Alterative: Sei N wie obe, x N. Aahme: Es gibt ei y N. Ohe Eischräkug sei x < y. Ist z := sup N [x, y] i N ethalte, da ist N icht offe, ist z N, da ist N icht abgeschlosse. Widerspruch. (b), U 1 ( 2, 0), U 1 (2, 0), M sid offebar sowohl offe als auch abgeschlosse. Weiter solche Mege gibt es icht. Dies werde wir erst später zeige. (c) Aahme: f : [0, 1] M mit f(0) = ( 2, 0), f(1) = (2, 0) ist stetig. Da ist I = f 1 (U 1 ( 2, 0)) offe, abgeschlosse ud ichtleer, ach (a) also I = [0, 1]. Also ist f(1) U 1 ( 2, 0) im Widerspruch zu f(1) = (2, 0) U 1 (2, 0).

7 28. (C[0, 2π], 2 ) ist kei Baachraum Wir betrachte die Fuktioefolge (f ) i C [0,2π] mit f (x) = mi{, x 1 3 }. (a) (f ) N ist eie Cauchy-Folge i (C[0, 2π], 2 ). (b) Es gibt kei f C[0, 2π] mit f f 2 0, somit ist (C[0, 2π], 2 ) icht vollstädig. (a) f : [0, 2π] R ist beschräkt, f s =, ud stetig, da für x 0 = 3 gilt lim f (x) = = lim f (x), somit gilt f R[0, 2π]. x x 0 x x 0 + (f ) ist Cauchy-Folge bezüglich 2, da für alle l k gilt f l f k 2 2 = 2π 0 f l (x) f k (x) 2 dx (l k) 2 l 3 + l 1 + 3(k 1 l 1 ) 5k 1 k 0. k 3 l 3 x 2 (l k) 2 3 dx = l 3 + [ ] 3x 1 k 3 3 l 3 (b) Sei f R[0, 2π]. f ist beschräkt, z.b. durch C N. Da ist aber für alle > C f f 2 2 C 3 3 C 3 f (x) f(x) 2 dx (x 1 3 C) 2 dx 3 Damit ist gezeigt, dass f f 2 0. C 3 (C+1) 3 (x 1 3 C) 2 dx = cost > 0.

8 29. Äquipotezialfläche als Graphe stetiger Fuktioe N = {(x, y, z) R 3 : E(x, y, z) = E 0 } ist die Äquipotezialfläche eier stetige Eergiefuktio E : R 3 R, E 0 R. Zeige Sie: (a) N ist abgeschlosse i R 3. (b) Sei Q = [a, b] [c, d] [e, f] ei beliebiger Quader. Ist N Q der Graph eier Fuktio f : [a, b] [c, d] [e, f], so ist f stetig. (a) {E 0, } R ist abgeschlosse, also ist auch N = E 1 ({E 0 }) abgeschlosse, da E stetig ist. (b) N Q ist abgeschlosse. Sei (x, y ) N Folge i [a, b] [c, d], mit (x, y ) (x, y) [a, b] [c, d]. Da ist (x, y, f(x, y )) N Q. Da f(x, y ) [e, f] beschräkt ist, besitzt die Folge Häufugspukte i [e, f]. Sei z ei solcher Häufugspukt. Es gibt also eie Teilfolge k, für die f(x k, y k ) z [e, f] kovergiert. Somit gilt (x k, y k, f(x k, y k )) (x, y, z) G f, also ist z = f(x, y). Es gibt also ur eie Häufugspukt. Damit ist gezeigt lim f(x, y ) = f(x, y).

9 30. Vervollstädiguge eies metrische Raums Seie (M, d), ( ˆM, ˆd) metrische Räume. i : M ˆM heißt Isometrie, we ˆd(i(x), i(y)) = d(x, y) für alle x, y M. Ist i eie Bijektio, so heiße M ud ˆM isometrisch isomorph. Ist ˆM vollstädig ud i(m) dicht i ˆM, so heißt ˆM eie Vervollstädigug vo M. (a) Isometrie sid ijektiv ud stetig. (b) Sid ˆM 1 ud ˆM 2 Vervollstädiguge vo M, so sid sie isometrisch isomorph. (c) (R, d) ist mit d(x, y) = tah x tah y ei icht vollstädiger metrischer Raum. (d) ([ 1, 1], ) ist eie Vervollstädigug vo (R, d). (e) Wie ist d auf R = R {± } fortzusetze, damit (R, d) isometrisch isomorph zu ([ 1, 1], ) ist? (a) Aus i(x) = i(y) folgt 0 = ˆd(i(x), i(y)) = d(x, y), also x = y, d.h. i ist ijektiv. x x i M bedeutet d(x, x) 0, also auch ˆd(i(x ), i(x)) 0, woraus i(x ) i(x) folgt. Also ist i stetig. (b) Kostruktio der Bijektio: Zu x ˆM 1 gibt es eie Folge (x ) i M mit i 1 (x ) x, da i 1 (M) = ˆM 1. Da (x ) eie Cauchy-Folge ist, ist auch (i 2 (x )) eie Cauchy-Folge i ˆM 2, mit Grezwert x ˆM 2, da ˆM 2 vollstädig ist. x ist uabhägig vo der gewählte Folge (eie Folge die zwei Cauchyfolge als gerade ud ugerade Teilfolge ethält, ist immeroch Cauchy-Folge). Jedem x ˆM 1 wird so also geau ei x = φ(x) ˆM 2 zugeordet. φ : ˆM1 ˆM 2 ist also bijektiv. φ ist auch eie Isometrie. Seie x, y ˆM 1, (x ), (y ) Folge i M mit i 1 (x ) x, i 1 (y ) y ud ach Kostruktio vo φ auch i 2 (x ) φ(x), i 2 (y ) φ(y). Es ist ˆd 2 (φ(x), φ(y)) = ˆd ( ) 2 lim i 2(x ), lim i 2(y ) φ ist also eie Isometrie. = lim d(x, y ) = ˆd 1 (x, y), (c) d(x, y) = 0 tah x = tah y x = y. d(x, y) = d(y, x) ist klar ud d(x, z) = tah x tah z tah x tah y + tah y tah z = d(x, y) + d(y, z). d ist also Metrik. Die Folge x = ist Cauchy-Folge, da tah x mooto wächst ud für x gege 1 kovergiert: Für m ist d(x, x m ) = tah m tah 2(1 tah ) 0. (x ) besitzt jedoch keie Grezwert x R, da d(x, x) = tah tah x 1 tah x > 0. (d) i : R [ 1, 1], i(x) = tah x ist offebar Isometrie, [ 1, 1] ist als abgeschlossee Teilmege vo R vollstädig i der iduzierte Metrik, i(r) =] 1, 1[ liegt dicht i [ 1, 1], also ist ([ 1, 1], ) eie Vervollstädigug vo (R, d). (e) Ma setze d(+, x) = 1 tah x, d(, x) = 1 + tah x, d(, + ) = 2.