8.5 Uneigentliche Integrale Integrale über unbeschränkte Bereiche. f(x) dx. Integrale über unbeschränkte Funktionen mit Singularitäten am Rand

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1 8.5 Uneigenliche Inegrle Inegrle über unbeschränke Bereiche,, Inegrle über unbeschränke Funkionen mi Singulriäen m Rnd, f : (, b] R seig, f : [, b) R seig Lokle Inegrierbrkei: Definiion: Eine Funkion f : D R mi D R heiß lokl inegrierbr, flls sie über jedem kompken Inervll [, b] D inegrierbr is. Is f(x) lokl inegrierbr, so knn mn folgende Grenzwere berchen: b 2 Definiion: Bemerkung: Is eine Funkion lokl inegrierbr, so definier mn := lim x := lim x := x + Der Cuchysche Hupwer is definier ls CHW := lim x x und im Allgemeinen nich idenisch mi obigem Inegrl! 3

2 Definiion: Die Funkion f(x) sei lokl inegrierbr über (, b] bzw. [, b) oder (, b). Dnn definier mn Bemerkung: CHW := lim x + x := lim x b := c + c Der Cuchysche Hupwer is definier ls := c ε lim ε + + c+ε 4 ) Wegen x α dx = konvergier ds uneigenliche Inegrl für α > und divergier für α =. α x α + C : α > ln x + C : α = x α dx 2) Folgendes uneigenliche Inegrl besiz den Wer : x e x2 dx 5

3 Sz: (Konvergenzkrierien) Sei f : [, ) R lokl inegrierbr. ) Ds uneigenliche Inegrl ε > : C > : z, z 2 > C : exisier genu dnn, wenn gil z 2 < ε z 2) Is ds uneigenliche Inegrl bsolu konvergen, d.h. ds uneigenliche Inegrl f(x) dx konvergier, so konvergier uch. 6 Sz: (Konvergenzkrierien) 3) Mjornenkrierium x : f(x) g(x) g(x) dx konvergen bsolu konvergen 4) Weier gil folgende Umkehrung: x : g(x) f(x) g(x) dx divergen divergen 7

4 Beispiele: ) Ds sogennne Dirichle Inegrl is konvergen: I = sin d z 2 sin z d = cos z 2 und dmi z 2 sin d + + z z z 2 z 2 z Ds Dirichle Inegrl besiz den Wer π/2. z 2 cos z 2 d z 2 d = 2 z (z ) 8 Beispiele: 2) Ds Exponenilinegrl Ei(x) := e d (x < ) is für lle x < bsolu konvergen. 3) Die Gmm Funkion Γ : (, ) R wird definier durch Γ(x) := e x d Die Gmm Funkion erfüll die Funkionlgleichung Γ(x + ) = xγ(x) x > und es gil Γ(n) = (n )! n N 9

5 8.6 Prmeerbhängige Inegrle Die Gmm Funkion von der lezen Folie Γ(x) := f(x, ) d = e x d Zunächs: Prmeerbhängige eigenliche Inegrle Sei f : I [, b] R, I R, sodss f für feses x I ls Funkion von y inegrierbr über [, b] is: Frgen: F (x) := ) Is die Funkion F (x) seig, wenn f(x, y) seig is? 2) Is die Funkion F (x) differenzierbr, wenn f(x, y) nch der Vriblen x differenzierbr is? 2 Sz: (Seigkei prmeerbhängiger Inegrle) Is f(x, y) seig uf I [, b], so exisier ds Inegrl F (x) := für lle x I, und F (x) is seig uf I. Sz: (Differenzierbrkei prmeerbhängiger Inegrle) Is f(x, y) seig und nch x seig (priell) differenzierbr, so is uch F (x) uf dem Inervll seig differenzierbr (mi evenuell einseiigen Ableiungen n den Rändern von I), und es gil: F (x) = f (x, y) dy x 2

6 ) F (x) = 2) Die Bessel Funkion: J n (x) := π sin(x) d F (x) = J n(x) = π cos(x) d cos(x sin n) d (n Z) sin sin(x sin n) d Die Bessel Funkion J n (x) erfüll die Differenilgleichung x 2 y (x) + xy (x) + (x 2 n 2 )y(x) = 22 Prmeerbhängige uneigenliche Inegrle: Definiion: Ds Inegrl F (x) := Die Gmm Funkion von oben Γ(x) := e x d, x I heiß gleichmäßig konvergen, flls es zu ε > eine Konsne C > gib, sodss gil: y 2 x I : y, y 2 C : f(x, y) y dy < ε 23

7 Bemerkung: Mjornenkrierium: x I : f(x, y) g(y) Ds uneigenliche Inegrl g(y) dy konvergen, x I gleichmäßig konvergen. konvergier gleichmäßig (und bsolu), flls f(x, y) eine gleichmäßige Mjorne besiz. 24 Sz: Is f(x, y) seig, nch x seig (priell) differenzierbr und sind die Inegrle f und (x, y) dy x uf kompken Teilmengen von I gleichmäßg konvergen, so is uch F (x) seig differenzierbr, und die Ableiung läß sich durch Differeniion uner dem Inegrlzeichen gewinnen: Γ(x) := F (x) = f (x, y) dy x e x d Γ (x) := e x ln d 25