Versuch 96 C-V-Methode

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1 : Tag der Versuchdurchführung: Klaus Reitberger Cornelia Spee Versuch 96 C-V-Methode 1. Einleitung Ein p-n-übergang weist auf Grund von Rekombination der freien Ladungsträgern an der Grenzschicht eine Raumladungszone und infolgedessen eine Kapazität auf. Diese variiert mit der von außen angelegten Spannung. Ziel dieses Versuchs war es nun mittels einer C-V-Messung (Capacitance-Voltage) das Dotierungsprofil eines p-n-übergangs zu bestimmen. Des Weiteren lernte man den Lock-In- Verstärker und den Wavetek kennen. Im ersten Teil des Versuches wurde das Signal des Wavetek am Oszilloskop beobachtet. Im zweiten Teil ermittelten wir den Frequenzgang des Lock-In-Verstärkers. Die untere Grenzfrequenz beträgt hierbei 1,8 Hz ± 0,1 Hz und die obere Grenzfrequenz Hz ± 1000 Hz. Des Weiteren ergab sich aus dem Vergleich mit dem Oszilloskop, dass der angezeigte Wert des Lock-In-Verstärkers dem Effektivwert der Spannung entspricht. Im dritten Teil wurden für zwei verschiedene Frequenzen die Substratdotierung und die Diffusionsspannung ermittelt. Es zeigte sich, dass die bei den unterschiedlichen Frequenzen ermittelten Werte innerhalb des Fehlers, wie erwartet, übereinstimmen. Der Mittelwert der Diffusionsspannung ergab sich zu 0,9 V ± 0,2 V. Für den Mittelwert der Substratdotierung erhielten wir einen Wert von 5, /cm 3 ± 0, /cm 3. Dies stimmt größenordnungsmäßig gut mit den typischen Werten überein. 2. Theorie P-Typ-Halbleiter entstehen durch das Dotieren mit Akzeptoratomen (z. Bsp.: dreiwertige Elemente bei vierwertigen Halbleitern wie Silizium). Das Akzeptorniveau liegt knapp über dem Valenzband. Bei Zimmertemperatur sind die Akzeptoratome daher fast vollständig ionisiert. Man findet frei bewegliche positive Ladungen und ortfeste negative Ladungen. Beim n-leiter wird mit Donatoratomen dotiert (z. Bsp.: fünfwertige Elemente für Silizium). Das Donatorniveau befindet sich knapp unterhalb des Valenzbandes. In einem n-leiter sind daher die positiven Ladungen ortsfest, die negativen frei beweglich. Werden nun ein n-leiter und ein p-leiter in Kontakt gebracht so, diffundieren die Elektronen in den p-leiter und die Löcher in den n-leiter. Die Donator- und Akzeptorionen bleiben unkompensiert zurück und bilden eine Raumladungszone. Dadurch baut sich ein elektrisches Feld auf. Ist dieses groß genug, so kommt der Diffusionsprozess zum Erliegen. Seite 1

2 Das elektrische Feld lässt sich aus der Poisson-Gleichung ermitteln. Aus diesem erhält man durch Integration (E = - grad U) die Potentialschwelle entlang des p-n-übergangs. Da kein Nettostrom fließt, muss diese gleich der Diffusionsspannung sein. Des Weiteren erhält man aus der Bedingung, dass der p-n-übergang insgesamt neutral sein muss folgende Beziehung: N A *x p = N D *x n N A und N D geben die Konzentrationen der Donator- und Akzeptorionen an, x p und x n die Ausdehnung der Raumladungszone im n- bzw. p-leiter. Mit Hilfe dieses Zusammenhangs, sowie dem Gleichsetzen von Diffusionsspannung und elektrostatischer Potentialschwelle lässt sich so die Breiter der Raumladungszone bestimmen. Daraus lässt sich mit Hilfe der Formel für die Kapazität eines Plattenkondensators (C = ε*ε 0 *A/d, A Fläche der Platten, d Abstand der Platten) die Kapazität des p-n- Übergangs bestimmen. Legt man an eine Diode eine Spannung U R in Sperrrichtung (Minuspol an p-leiter und Pluspol an n-leiter), so vergrößert sich die Raumladungszone, da die Löcher zum Minuspol und die Elektronen zum Pluspol strömen. Für einen abrupten p-n-übergang ergibt sich nach den hier angeführten Überlegungen die Kapazität zu: C = A/2*(ε*ε 0 * 2*e*N A *N D /[(U D -U R )*(N A +N D )]) 1/2 Besteht nun ein sehr großer Unterschied in der Dotierung (niedrig dotiertes Substrat wird hoch gegendotiert), so ergibt sich durch Näherung folgende Formel für die Kapazität: C = A/2*(2*ε*ε 0 *e*n Substrat /(U D -U R )) 1/2 Für einen beliebigen p-n-übergang (N ~ x n ) gilt: C ~ (U D -U R ) -1/(n+2) Man erkennt hier, dass sich so über Messung der Kapazität in Abhängigkeit von der angelegten Gegenspannung der Exponent n, die Diffusionsspannung und für einen abrupten p-n-übergang die Substratdotierung feststellen lassen. Kapazitäten lassen sich z. Bsp. im Falle eines Plattenkondensators durch die Bestimmung der Zeitkonstante bei Lade- oder Entladevorgängen bestimmen. Dies ist in unserem Fall nicht möglich, da die Kapazität des p-n-übergangs mit der von außen angelegten Spannung variiert. Des Weiteren lässt sich die Kapazität in diesem Fall auch nicht über R C = U/I ermitteln, da der fließende Strom dafür zu klein ist. Daher wird der Strom indirekt über die Spannung, die an einem in die Schaltung eingebauten Widerstand abfällt, ermittelt (Aufbau der Schaltung: siehe Kapitel 3). Der Lock-In-Verstärker (LIA) ist ein Messinstrument der Korrelationsmesstechnik. Er ermöglicht es nicht nur die Amplitude eines Wechselspannungssignals zu messen, sondern auch dessen Phase. Er findet seine Anwendung unter anderem als Vektorvoltmeter und als Fourieranalysator. Der Lock-In-Verstärker multipliziert das Messsignal S 1 (t) mit einem normierten Referenzsignal S 2 (t-τ), dessen Phase verstellbar ist, und mittelt das so entstandene Signal über die Zeit. Man erhält daher als Ergebnis der Messung die Kreuzkorrelationsfunktion: Seite 2

3 Sind Messsignal und Referenzsignal von der Form S(t) = s*sin(ωt+ψ), so erhält man für die Kreuzkorrelationsfunktion bei gleichen Frequenzen 1/2*s 1 *s 2 *cos(ψ 1 -ψ 2 ), bei unterschiedlichen Frequenzen 0. Statistische Prozesse (Rauschen) tragen zum Kreuzkorrelationssignal nichts bei. Daher wird der Lock-In-Verstärker hauptsächlich dazu verwendet kleine, periodische, verrauschte Signale zu messen. In der Praxis wird für die Integration ein Tiefpass mit einstellbarer Zeitkonstante verwendet. 3. Versuchsaufbau Für den ersten Teil des Versuchs wurde der Wavetek (WT) mit dem Oszilloskop verbunden, sodass wir dessen Signal beobachten konnten. Dieses Gerät stellte uns die benötigte Gleichund Wechselspannung, sowie das Referenzsignal für den Lock-In-Verstärker zur Verfügung. Es konnten sowohl die Frequenz, als auch die Amplitude der Wechselspannung variiert werden. Des Weiteren konnte die Amplitude der Gleichspannung verändert werden und es gab 3 Abschwächknöpfe (10 db, 20 db, 40 db). Diese bewirkten sowohl ein Abschwächung der Gleichspannung U R, als auch der Wechselspannung U 0 ~. Auch die Form des Signals (Dreiecks-, Rechtecks- und Sinussignal) war veränderbar. Wir wählten im gesamten Versuch das sinusförmige Signal, da dieses nur einen Fourierkoeffizienten (bei der eingestellten Frequenz) ungleich 0 aufweist, und somit der Lock-In-Verstärker ein Signal proportional zur Amplitude ausgibt (siehe Kapitel 2: Theorie). Im zweiten Teil des Versuchs (Frequenzgang) wurde folgende Schaltung verwendet: Es wäre hier auch ausreichend gewesen nur den Wavetek mit dem Lock-In-Verstärker zu verbinden. Da dies jedoch nichts an der Form der Kurve ändert, wurden die Werte, die durch die oben gezeigt Schaltung ermittelt wurden, zur Auswertung herangezogen. Folgende Schaltung wurde für den dritten Teil des Versuchs verwendet: Als Diode wurde ein Leistungstransistor verwendet, bei dem die Anschlüsse für Emitter und Basis verwendet wurden. Die Diode ist hier in Sperrrichtung zu schalten. Beim Aufbau der Schaltungen war generell darauf zu achten, dass diese nur einmal zu erden sind! Seite 3

4 4. Versuchsdurchführung Ziel des ersten Teils des Versuchs war es den Wavetek kennen zu lernen. Es wurde das Signal am Oszilloskopbildschirm beobachtet, während man Frequenz und DC-Offset verändert. Hierbei ist darauf zu achten, dass am Oszilloskop die Einstellung DC verwendet wird. Eine Frequenzänderung beim Wavetek bewirkt auch eine sichtbare Änderung der Frequenz am Oszilloskopbildschirm und eine Änderung der Gleichspannung verschiebt die Kurve nach oben bzw. nach unten. Des Weiteren konnte bei Verwendung der Dämpfung das Rauschen beobachtet werden. Folgendes Bild zeigt das Wechselspannungssignal (sinusförmig) mit überlagerter Gleichspannung und das Referenzsignal : Im zweiten Teil wurden Gleich- und Wechselspannungsamplitude fix gewählt und die Frequenz wurde variiert. Das entsprechende Spannungssignal U wurde am LIA abgelesen. Um Verfälschungen durch Änderungen der Phase zwischen dem Mess- und Referenzsignal zu vermeiden und somit einen der Amplitude proportionalen Spannungswert zu erhalten wurde für jede Einzelmessung zunächst ein Phasenverschiebung von ± 90 eingestellt (der LIA zeigt 0 V an) und dann die Phase um 90 gedreht. Des Weiteren war darauf zu achten, dass die beiden roten Warnlampen nicht leuchten. Eine Warnlampe wies darauf hin, dass die Integration noch nicht abgeschlossen ist und somit mit dem Ablesen des Wertes noch zu warten ist (kann bei längerem Leuchten auf eine ungünstige Wahl der Zeitkonstante hinweisen). Die andere zeigte an, dass der eingestellte Wertebereich zu klein ist. Schwankungen des Spannungswertes weisen darauf hin, dass die Zeitkonstante zu klein gewählt wurde. Seite 4

5 Die Spannung wurde in Abhängigkeit von der Frequenz in einem Diagramm dargestellt: Die Frequenzachse wurde logarithmisch skaliert. Sehr niedrige Frequenzen (annähernd Gleichspannung, kein periodisches Signal) werden vom LIA auf Grund seines Funktionsprinzips nicht detektiert. Auch für sehr hohe Frequenzen erhält man keine zuverlässigen Werte. Es ist daher für den dritten Teil des Versuchs nur sinnvoll im Bereich des Plateaus zu messen. Die Grenzfrequenzen entsprechen jenen Frequenzen, bei denen die Kurve um 10 % ihres Plateauwertes abgefallen ist. Die untere Grenzfrequenz entspricht daher 1,8 Hz ± 0,1 Hz und die obere Grenzfrequenz Hz ± 1000 Hz. Des Weiteren ist es von Bedeutung zu wissen, welchen Wert (Effektivwert, galvanometrischen Mittelwert, Amplitude, Scheitel-Scheitelwert) uns der Lock-In-Verstärker angibt. Dazu wurde der Lock-In-Verstärker und der Wavetek verbunden und das Signal bei 1 khz am LIA mit dem Signal des Oszilloskops und einem Voltmeter verglichen. Die Spannung am LIA betrug 39 mv ± 1 mv. Am Oszilloskop konnte ein Scheitel-Scheitelwert von 110 mv ± 2 mv abgelesen werden. Dies entspricht einem Effektivwert (U eff = U/(2) 1/2 ) von 39 mv ± 1 mv. Der am Voltmeter abgelesen Wert betrug 38,5 mv ± 0,1 mv. Daraus zeigt sich, dass der am LIA ablesbare Wert dem Effektivwert der Spannung entspricht. Im dritten Teil wurde für 20 Hz ± 2 Hz und 4000 Hz ± 200 Hz eine CV-Messung durchgeführt. Aus dem Diagramm lassen sich dann die Substratdotierung und die Diffusionsspannung bestimmen. Es wurde die im Abschnitt 3 dargestellte Schaltung verwendet. Beim Ablesen am Log-In- Verstärker wurde wie in Teil 2 vorgegangen. U 0 ~ wurde ebenfalls mit dem Lock-In- Verstärker (2. Eingang) gemessen. Der Widerstand wurde mit Hilfe des Multimeters gemessen. Wir wählten einen Widerstand mit R = 10,76 kω ± 0,1 kω. Zur Messung von U R wurde abwechselnd zur angegebenen Schaltung ein Voltmeter an den Wavetek angeschlossen und an diesem die Gleichspannung abgelesen. Seite 5

6 Die Kapazität lässt sich aus folgendem Zusammenhang (Ohmsches Gesetz, Strom durch Widerstand entspricht Gesamtstrom;) berechnen: Damit ergibt sich für die Kapazität: bzw. mit der Näherung 1/(ω*C) >> R: U ~ /U 0 ~ = R/(R 2 +(1/ω*C) 2 ) 1/2 C = 1/(ω*R*((U 0 ~ /U ~ ) 2-1) 1/2 ) C U ~ /(ω*u 0 ~ *R) Wie bereits im Abschnitt 2 dargestellt gilt für N ~ x n : C ~ (U D -U R ) -1/(n+2) Bei der Auswertung wurde daher folgendermaßen vorgegangen. Es wurde mit Hilfe der oben angeführten Formeln die Kapazität berechnet, wobei für 20 Hz die genäherte Form und für 4000 Hz die exakte Form verwendet wurde. Diese wurde in Abhängigkeit von - U R in einem Diagramm dargestellt. Mit Hilfe von Origin wurde die Funktion y = a*(x + b) -1/(n+2) gefittet. Der Fitparameter b entspricht somit der Diffusionsspannung und der Fitparameter a ist gemäß Abschnitt 2 (Theorie) für einen abrupten p-n-übergang A/2*(ε*ε 0 *2*e*N Substrat ) 1/2 (wobei bei Angabe von U R in mv noch ein Faktor von 10 3/2 zu ergänzen ist). Für die Diagramme wurden nur jene Werte, bei denen die Diode in Sperrrichtung geschaltet war, verwendet. Es wurde beim Fitten als Randbedingung n 0 verwendet, woraufhin Origin bei der Messung für 20 Hz für n 6,5*10-15 ausgab und vorschlug diesen Parameter fix zu wählen. Auf Grund der sehr kleinen Werte für n wurde daher n gleich 0 gewählt. Dies entspricht einem abrupten p-n-übergang. Für 20 Hz ergab sich folgendes Diagramm: Seite 6

7 Die Diffusionsspannung entspricht daher 1,0 V ± 0,3 V. Typische Werte für U D sind im Bereich von 0,5 V (abhängig von der Dotierung). Dies stimmt größenordnungsmäßig mit dem von uns ermittelten Wert überein. Die Substratdotierung lässt sich aus a berechnen. A = 1 mm 2 e = 1,602177*10-19 C ε = 11,9 (Silizium) ε 0 = 8, *10-12 F/m N Substrat = (2*a/A) 2 *1/(2*ε*ε 0 *e*10 3 ) Somit erhält man eine Substratdotierung von 5,9* /cm 3 ± 1,4* /cm 3. Dies passt sehr gut mit den typischen Werten von bis /cm 3 zusammen. Auch für 4000 Volt wurde ein C-V-Diagramm erstellt. Es wurde beim Fit n ebenfalls 0 gesetzt. Man erhält eine Diffusionsspannung von 0,8 V ± 0,3 V. Dies stimmt innerhalb des Fehlers mit dem bei 20 Hz ermittelten Wert überein. Die Substratdotierung ergibt sich zu 5, /cm 3 ± 1, /cm 3. Auch dieser Wert stimmt innerhalb des Fehlers mit dem Wert für 20 Hz überein. Größenordnungsmäßig passen diese Werte ebenfalls sehr gut zu den typischen Werten. Wie erwartet hängen die Diffusionsspannung und die Substratdotierung nicht von der für die Messung gewählten Frequenz ab. Um diese noch genauer angeben zu können, wurden die Mittelwerte gebildet. Für die Diffusionsspannung ergibt sich somit ein Wert von 0,9 V ± 0,2 V. Der Mittelwert der Substratdotierung entspricht 5, /cm 3 ± 0, /cm 3. Seite 7

8 5. Fehlerbetrachtungen Für die Frequenzen, die Spannungswerte und den Widerstand wurde für den Fehler ein Drittel der letzten ablesbaren Stelle verwendet. Wenn Schwankungen auftraten, wurde der Fehler entsprechend größer gewählt. Beim Ablesen des Spannungswertes am Oszilloskop wurde der Fehler mit Hilfe der Cursor abgeschätzt. Bei der Verwendung der genäherten Formel für die Ermittlung von C ergibt sich der Fehler aus: C = C*(( U ~ /U ~ ) 2 +( R/R) 2 +( ω/ω) 2 +( U 0 ~ /U 0 ~ ) 2 ) 1/2 Auch bei Verwendung der exakten Formel ergibt sich der Fehler für die Kapazität gemäß Fehlerfortpflanzung. Der Fehler für die Fitparameter a und b (=U D )wurde von Origin ermittelt. Für die Substratdotierung erhält man den Fehler erneut aus der Fehlerfortpflanzung. Für die Elementarladung und die Dielektrizitätkonstante im Vakuum wurde kein Fehler angenommen, da diese sehr genau angegeben wurden. Für die Fläche sowie die Dielektrizitätskonstante von Silizium wurden ebenfalls keine Fehler angenommen, da diese für uns nicht abschätzbar sind. N Substrat = 2* a/a*n Substrat Der Fehler für die Mittelwerte ergibt sich aus der Standardabweichung. 6. Zusammenfassung In diesem Versuch wurde die Kapazität in Abhängigkeit von der angelegten Spannung ermittelt und über den Zusammenhang zwischen diesen beiden Größen das Dotierungsprofil und die Diffusionsspannung bestimmt. Des Weiteren lernte man den Lock-In-Verstärker kennen. Im ersten Teil des Versuchs wurde das Signal des Wavetek am Oszilloskopbildschirm beobachtet. Im zweiten Teil wurde der Frequenzgang des Lock-In-Verstärkers ermittelt. Es zeigte sich, dass dieser in einem Bereich von 1,8 Hz ± 0,1 Hz bis Hz ± 1000 Hz zuverlässig misst. Im dritten Teil des Versuchs wurde schließlich das Dotierungsprofil bestimmt. Es wurde jeweils eine Messung für 20 Hz ± 2 Hz und für 4000 Hz ± 200 Hz durchgeführt. Die im Versuch verwendete Diode wies einen abrupten p-n-übergang auf. Die von uns ermittelten Werte für die Diffusionsspannung und die Dotierungsdichte stimmen für die unterschiedlichen Frequenzen innerhalb des Fehlers überein. Der Mittelwert der Diffusionsspannung ergab sich zu 0,9 V ± 0,2 V. Der Mittelwert der Substratdotierung beträgt 5, /cm 3 ± 0, /cm 3. Die Diffusionsspannungen und die Substratdotierung stimmen größenordnungsmäßig gut mit den typischen Werten von 0,5 V und bis /cm 3 überein. Obwohl die verwendete Schaltung relativ einfach ist, zeigte sich, dass dennoch einige Überlegung notwendig ist um diese korrekt aufzubauen. Besonders lehrreich war es zu erfahren, dass sämtliche Massen an einem Punkt der Schaltung zusammengeführt werden müssen. Seite 8

9 7. Literatur Skriptum Versuch 96 Bestimmung des Dotierungsprofils von p-n-übergängen mit der C-V-Methode (e-campus) W. Demtröder: Experimentalphysik 3 (Springer-Lehrbuch, 3. Auflage, 2005) E. Hochmair: Elektronik, Skriptum WS 2007/08 Seite 9