Übertragungsglieder mit Sprung- oder Impulserregung

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1 Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald Fachbereich Physik Elektronikpraktikum Protokoll-Nr.: 4 Übertragungsglieder mit Sprung- oder Impulserregung Protokollant: Jens Bernheiden Gruppe: Aufgabe durchgeführt: Protokoll abgegeben: Note:

2 Theoretische Grundlagen Ein lineares Netzwerk kann im Zeitbereich und im Frequenzbereich beschrieben werden. Im Zeitbereich gelten folgende Beziehungen zwischen Strom und Spannung: ohmscher Widerstand: u= i () Induktivität: u= L di () dt Kapazität: u = C idt (3) Im Frequenzbereich (komplexe Frequenz: p= δ + jω) gehen diese Beziehungen über in: ohmscher Widerstand: U = I (4) Induktivität: U = p L I (5) Kapazität: I U = p C (6) Ein Sprungsignal läßt sich beschreiben durch: im Zeitbereich: 0 für t < 0 xt ()= A für t 0 (7) im p - Bereich: A X( p)= p (8) Für einen Deltaimpuls (impulsförmiges Eingangssignal) gilt: 0 für t < 0 im Zeitbereich: xt ()= für t = 0 (9) für t > 0 0 im p - Bereich: X( p)= (0) Die Umrechnung zwischen Zeit- und Frequenzbereich erfolgt mit Hilfe der Laplacetransformation, die für einseitig begrenzte Signale gilt. 0 pt Hintransformation: X( p) = x( t) e dt ücktransformation: δ+ jω xt () = X( p) πj δ j ω pt e dp () () Die ücktransformation kann auch mit Hilfe der esiduenmethode erfolgen. esiduenmethode:. Aus X(p). e pt wird die ν 0 -fache Polstelle p 0µ abgespalten: pt ν 0 ( p) = X( p) e ( p p 0 ). Das esiduum von (p) an der Stelle p = p 0µ wird gebildet: ν 0 d e sp ( ) ( ) ( )! dp p 0µ = ν 0 p p µ = 0µ 3. Summation der esiduen es(p 0µ ) für alle Polstellen p 0µ liefert das Integral (Formel ) für x(t): xt () = e sp ( 0µ ) µ Die Berechnung der Sprung- bzw. Impulsantworten erfolgt nun unter Ausnutzung der esiduenmethode und mit Hilfe der Übertragungsfunktion G(p): U a (p) = G(p). (p) (6) (3) (4) (5)

3 Versuchsdurchführung Erzeugung von Sprüngen und Messung mit dem Der Digitalteil des es bietet die Möglichkeit, einen Kurvenverlauf zu speichern und später auszudrucken. Da wir bei diesen Messungen nur jeweils einen Impuls benötigen, wird der Impuls vom Funktionsgenerator nicht ständig sonder lediglich einmal bereitgestellt. Dies geschieht manuell und wird betrieben im Burst-Mode. Um nur die positive Flanke des Signals zu erhalten, wird die Offsetspannung auf halben den halben Wert der Impulsspannung eingestellt. Als Signalform diente ein echteckimpuls, der mittels Single am Funktionsgenerator ausgelöste werden konnte. Das wurde im Mode: SGL/Sweep betrieben. Als Quellen (Source) konnten wahlweise CH und / oder CH. Coupling stand auf DC. Mittels eset (eady folgt durch LED) wurde das in Bereitschaft gebracht. Da sie Offsetspannung von 0 auf / vergrößert wurde, mußte die Triggerspannung gleichfalls (am besten Erhöhung um den gleichen Betrag) erhöht werden (Sonst könnte es sein, daß die Triggerspannung nicht erreicht wird.). Außerdem mußte das auf Digital umgestellt werden. Die Vortriggerung betrug 5%. Auf Grund der des rechteckförmigen positiven Signals konnte mit DC gearbeitet werden Alle Messungen wurden nach diesem Verfahren durchgeführt. Aufgabe. Meßaufgabe: Messen Sie die Sprungantwort für den C - Tiefpaß!. Versuchsaufbau und Versuchsdurchführung = kω C = 0 nf U a Abbildung : C - Tiefpaß mit Dimensionierung Die Grenzfrequenz dieses C - Tiefpasses beträgt f gr = 5,9 khz. An den Eingang wurde eine Impuls von U = V (Spitze - Spitze), f u = Hz gelegt. Die Impulslänge betrug t = 0,5 s. Zur Kompensierung der negativen Flanke der Eingangsspannung wurde eine Offsettspannung von + 0,5 V eingestellt. Die Triggerung erfolgte bei + 0,5 V. Die theoretische echnung (esiduenmethode) liefert folgende Sprungantwort: C U () t = U! ( e ) a e t (7) Die Zeitkonstante τ errechnet sich zu: τ =. C (8) 3

4 3. Meßergebnisse und Auswertung Mit dem en wurde folgende Sprungantwort aufgenommen: (t) Tangente U a(t) τ Diagramm : Sprungantwort des C - Tiefpasses (gemessen) Das Diagramm zeigt den theoretisch zu erwartenden Verlauf der Sprungantwort. Ua in V 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, t in µs Ua(t) errechnet Diagramm : Sprungantwort des C - Tiefpasses (errechnet) Aus Diagramm erkennt man, daß der Tangentenschnittpunkt eine Einschwingdauer von τ = 0,5 µs liefert. 4. Diskussion und Fehlerbetrachtung Der Vergleich der Diagramme und zeigt, daß die gemessene Sprungantwort mit der errechneten sehr gut übereinstimmt. Nach Gleichung 8 wurde die Zeitkonstante zu τ = 0 µ berechnet. Dieser Wert stimmt mit dem in Diagramm bestimmten Wert von τ = 0,5 µs gut überein. 4

5 Aufgabe. Meßaufgabe: Messen Sie die Sprungantwort für den C - Hochpaß!. Versuchsaufbau und Versuchsdurchführung C = 0 nf = kω U a Abbildung : C - Hochpaß mit Dimensionierung Die Grenzfrequenz dieses C - Hochpasses beträgt f gr = 5,9 khz. An den Eingang wurde wie in Aufgabe ein Impuls von U = V (Spitze - Spitze), f u = Hz gelegt. Die Impulslänge betrug t = 0,5 s. Zur Kompensierung der negativen Flanke der Eingangsspannung wurde eine Offsettspannung von + 0,5 V eingestellt. Die Triggerung erfolgte bei + 0,5 V. Die theoretische echnung (esiduenmethode) liefert folgende Sprungantwort: U () t = U! e t C a e (9) Die Zeitkonstante τ errechnet sich analog zum C - Tiefpaß nach Gleichung 8. 5

6 3. Meßergebnisse und Auswertung Mit dem en wurde folgende Sprungantwort aufgenommen: (t) U a(t) τ Tangente Diagramm 3: Sprungantwort des C - Hochpasses (gemessen) Das Diagramm 4 zeigt den theoretisch zu erwartenden Verlauf der Sprungantwort. Ua in V 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, t in µs Ua(t) Diagramm 4: Sprungantwort des C - Hochpasses (errechnet) Aus Diagramm 3 erkennt man, daß der Tangentenschnittpunkt eine Einschwingdauer von τ = 0 µs liefert. 4. Diskussion und Fehlerbetrachtung 6

7 Der Vergleich der Diagramme und zeigt, daß die gemessene Sprungantwort mit der errechneten sehr gut übereinstimmt. Nach Gleichung 8 wurde die Zeitkonstante zu τ = 0 µ berechnet. Dieser Wert stimmt mit dem in Diagramm bestimmten Wert von τ = 0 µs genau überein. 7

8 Aufgabe 3. Meßaufgabe: Messen Sie die Sprungantwort für den Schwingkreis nach Abbildung 4 mit einer esonanzfrequenz von etwa 0 khz! Verwenden Sie für die Induktivität die Spule mit 3800 Windungen ohne Kern! Die Widerstände sollen = kω und V = 00 kω gewählt werden! Stellen Sie mit dem Potentiometer V die Dämpfung verschieden ein, so daß folgende 3 Fälle beobachtet werden können: Fall : 4L > Fall : 4L = Fall 3: 4L <. Versuchsaufbau und Versuchsdurchführung In einem Vorversuch wurde die Induktivität der Spule mit 3800 Windungen bestimmt. Dazu wurde ein Parallelschwingkreis nach Abbildung 3 aufgebaut. V = kω A I a U AB L P C P = 0 nf U L B Abbildung 3: Parallelschwingkreis zur Bestimmung der Induktivität L Die esonanzfrequenz wurde mit f r= 5,7 khz ermittelt (Messung mit Lissajousfiguren: Ellipse geht zur Gerade über). Nach der Formel ω r = errechnete sich die Induktivität zu L P = 77,96 mh. Damit nun der zu messene eihenschwingkreis nach Abbildung 4 eine esonanzfrequenz von f r 0 khz aufweist, wurde die Kapazität zu C = 3,3 nf gewählt. Es ergibt sich damit nach Formel 0 eine esonanzfrequenz von f r = 9,9 khz. (0) V L C U a Abbildung 4: eihenschwingkreis An den Eingang wurde wie in Aufgabe ein Impuls von U = V (Spitze - Spitze), f u = Hz gelegt. Die Impulslänge betrug t = 0,5 s. Zur Kompensierung der negativen Flanke der Eingangsspannung wurde eine Offsettspannung von + 0,5 V eingestellt. Die Triggerung erfolgte bei + 0,5 V. 8

9 9

10 3. Meßergebnisse und Auswertung Mit dem en wurde folgende Sprungantworten aufgenommen: Diagramm 5: Sprungantwort des eihenschwingkreises im Fall Diagramm 6: Sprungantwort des eihenschwingkreises im Fall 0

11 Diagramm 7: Sprungantwort des eihenschwingkreises im Fall 3 Diagramm 5 zeigt den Fall starker Dämpfung, d.h., daß die Schwingungen des Schwingkreises unterdrückt werden. In Diagramm 6 ist der Fall der Anpassung zu sehen, Diagramm 7 zeigt den Fall kleiner Dämpfung. 4. Diskussion und Fehlerbetrachtung Die gemessenen Kurven aus den Diagrammen 5, 6 und 7 stimmen mit den theoretischen Erwartungen überein. Je größer der Vorwiderstand V gewählt wurde, desto größer ist die Dämpfung. Die Übertragungsfunktion in p sieht hier wie folgt aus: Gp ( ) = ( + pc( + ) + p ) V () Bei der esiduenmethode errechnen sich die Polstellen zu p 0 = 0 () p p V + = + L L + V + = L L Als Dämpfungsfaktor wird V V (3) (4) + L V bezeichnet. Ist dieser großer als, so werden die Polstellen p 0 und p 03 reell, d.h., daß keine typischen Schwingungen im Schwingkreis auftreten. Tritt der entgegengesetzte Fall auf, so werden die Polstellen p 0 und p 03 imaginär. Hier ist der Dämpfungsfaktor also klein, die typischen Schwingungen sind zu erkennen. Je größer der v also ist, desto größer ist also auch die Dämpfung. Dies ist auch aus den Diagrammen 5 und 7 ersichtlich. Im Anpassungsfall sind alle Polstellen reell und der Ausdruck unter der Wurzel entfällt. Hier ist also der größte Anstieg der Ausgangsspannung zu erkennen. Schwingungen treten keine auf.

12 Aufgabe 4. Meßaufgabe: Messen Sie die Sprungantwort für den Schwingkreis nach Abbildung 5 mit einer esonanzfrequenz von etwa 0 khz! Verwenden Sie für die Induktivität die Spule mit 3800 Windungen ohne Kern! Die Widerstände sollen = kω und V = 00 kω gewählt werden! Stellen Sie mit dem Potentiometer V die Dämpfung verschieden ein, so daß folgende 3 Fälle beobachtet werden können: Fall : 4L > Fall : 4L. Versuchsaufbau und Versuchsdurchführung = Fall 3: 4L < Damit nun der zu messene Parallelschwingkreis nach Abbildung 5 eine esonanzfrequenz von f r 0 khz aufweist, wurde auch hier die Kapazität zu C = 3,3 nf gewählt. Es ergibt sich damit nach Formel 0 eine esonanzfrequenz von f r = 9,9 khz. V L C U a Abbildung 5: Parallelschwingkreis An den Eingang wurde wie in Aufgabe ein Impuls von U = V (Spitze - Spitze), f u = Hz gelegt. Die Impulslänge betrug t = 0,5 s. Zur Kompensierung der negativen Flanke der Eingangsspannung wurde eine Offsettspannung von + 0,5 V eingestellt. Die Triggerung erfolgte bei + 0,5 V. 3. Meßergebnisse und Auswertung Mit dem en wurde folgende Sprungantworten aufgenommen: Diagramm 8: Sprungantwort des Parallelschwingkreises im Fall

13 Diagramm 9: Sprungantwort des Parallelschwingkreises im Fall Diagramm 0: Sprungantwort des eihenschwingkreises im Fall 3 Diagramm 8 zeigt den Fall starker Dämpfung, d.h., daß die Schwingungen des Schwingkreises unterdrückt werden. In Diagramm 9 ist der Fall der Anpassung zu sehen, Diagramm 0 zeigt den Fall kleiner Dämpfung. 3

14 4. Diskussion und Fehlerbetrachtung Die gemessenen Kurven aus den Diagrammen 8, 9 und 0 stimmen mit den theoretischen Erwartungen überein. Je größer der Vorwiderstand V gewählt wurde, desto größer ist die Dämpfung. Die Übertragungsfunktion in p sieht hier wie folgt aus: pl Gp ( ) = ( + pcl)( + V ) + pl) + V L Als Dämpfungsfaktor wird (5) bezeichnet. Ist dieser großer als, so werden keine typischen Schwingungen im Schwingkreis auftreten. Tritt der entgegengesetzte Fall auf, so werden die die typischen Schwingungen zu erkennen sein. Je größer der v also ist, desto größer ist also auch die Dämpfung. Dies ist auch aus den Diagrammen 8 und 0 erkennen. Im Anpassungsfall ist der größte Abfall der Ausgangsspannung zu erkennen. Außerdem wird die Eingangsspannung theoretisch erreicht. Schwingungen treten keine auf. Man sieht im Diagramm 9, daß der Anpassungsfall noch nicht ganz erreicht wurde, da eine kleine Schwingung noch zu erkennen ist. Besser zu erreichen wäre dieser Zustand, wenn man ein anderes Potentiometer einsetzen würde. 4

15 Zusammenfassung Es wurden im ahmen dieses Versuches die Sprungantworten für einen C - Tiefpaß, einen C - Hochpaß, einen eihenschwingkreis und einen Parallelschwingkreis gemessen. Die gemessenen Zeitfunktionen stimmen mit dem theoretisch zu erwartenden Verlauf gut überein. Die Zeitfunktionen für die Schwingkreise wurden für drei Fälle in Abhängigkeit von dem Dämpfungsfaktor bestimmt. Die einzelnen Verläufe von starker Dämpfung über Anpassung und kleiner Dämpfung sind aus den Diagrammen deutlich ersichtlich. Beim C - Tiefpaß und beim C - Hochpaß wurde jeweils die Einschwingdauer mittels Tangentenschnittpunkt bestimmt und mit der Zeitkonstanten verglichen. In beiden Fällen stimmt die Einschwingdauer mit der Zeitkonstante sehr gut überein. 5

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