4 Kondensatoren und Widerstände

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1 4 Kondensatoren und Widerstände 4. Ziel des Versuchs In diesem Praktikumsteil sollen die Wirkungsweise und die Frequenzabhängigkeit von Kondensatoren im Wechselstromkreis untersucht und verstanden werden. Ferner soll der mgang mit dem Oszilloskop vertieft werden. 4.2 Einleitung Elektronische Schaltungen sind heutzutage allgegenwärtig. Fast jedes elektrische Gerät, einschließlich vieler Toaster und Kaffeemaschinen, besitzt eine. Elektronische Schaltungen sind aus einzelnen Bauelementen aufgebaut, die auf einer Trägerplatine sitzen. Verbunden sind die einzelnen Bausteine über Leiterbahnen, die nicht auf eine Ebene beschränkt sein müssen (Stichwort Multilayer). In diesem Versuch soll das Verhalten zweier Grundelemente dieser Schaltungen bei Gleichspannung und bei Wechselspannung näher untersucht werden: Widerstand und Kondensator, wobei die Einflüsse des letzteren genauer betrachtet werden. 4.3 Versuchsdurchführung 4.3. Laden und Entladen eines Kondensators beim Ein- und Ausschalten von Gleichspannungen Theorie Ein Kondensator stellt in einem Gleichstromkreis einen unendlichen Widerstand dar. Nur während des Ein- bzw. Ausschaltvorgangs fließt ein Strom. Beim Einschalten bewirkt dieser Storm die Aufladung des Kondensators bis die angelegte Spannung erreicht ist. Entsprechend fließt beim Ausschalten die Ladung über einen Widerstand wieder ab. Der Spannungsverlauf am Kondensator kann mit einer Exponentialfunktion beschrieben werden. Für die Spannung beim Ausschaltvorgang gilt: t τ (t) = 0 e () mit τ: Zeitkonstante Die Zeitkonstante oder Abklingzeit τ ist die Zeit, in der die Spannung auf den Wert 0 e abgesunken ist. In der Halbwertszeit T ½ sinkt die Spannung auf die Hälfte ab. Nach () gilt: T 2 - τ ) 0 0 e 2 (T = = T ½ = τ ln 2 2 Die Zeitkonstante τ wird durch den Widerstand und die Kapazität bestimmt: τ = Damit gilt für die Halbwertszeit: T ½ = ln 2 (2) 24

2 In entsprechender Weise kann der Spannungsverlauf beim Einschaltvorgang betrachtet werden: (t) = 0 (- e t τ ) Abbildung : Schaltskizze zum Versuch 2.2. Im Experiment wird eine echteckspannung (t) und der Spannungsverlauf am Kondensator mit dem Oszilloskop dargestellt. Die Halbwertszeit T ½ wird über die Zeitablenkung bestimmt Versuchsdurchführung Überprüfen Sie die Gleichung (2) indem Sie zunächst die Abhängigkeit der Halbwertszeit T ½ von der Kapazität T ½ (3) und anschließend vom Widerstand T ½ (4) untersuchen. Abbildung 2: Prinzipieller Aufbau zum Versuch

3 Die echteckspannung des FG wird mit Kanal und der Spannungsabfall am Kondensator mit Kanal 2 gemessen. Darstellungsart auf DAL / HOP, Kopplung auf D, Zeitablenkung auf AL stellen. a) ntersuchen Sie das Auf- und Entladeverhalten eines Kondensators. = kω, = µf FG: echteckspannung mit f = 00 Hz, = 6 V (Darstellung auf dem Oszilloskop: mit einer geraden Anzahl von Kästchen). Bei der Entladung die Zeiten t für die Spannungsabfälle von 6 V auf 3 V und von 3 V auf,5 V messen, bei der Aufladung für die Spannungsanstiege von 0 V auf 3 V und von 3 V auf 4,5 V. b) ntersuchen Sie die Abhängigkeit der Halbwertszeit vom Widerstand ealisieren Sie eine Kapazität von = 0,5 µf Setzen Sie nacheinander verschiedene Widerstände ein (Werte in kω: 0,47 / /,47 / 2,2 / 2,67) Bestimmen Sie jeweils die Zeit t = T ½, in der die Spannung am Kondensator vom Maximum bis zur Hälfte abgesunken ist. c) ntersuchen Sie die Abhängigkeit der Halbwertszeit von der Kapazität Verwenden Sie den Widerstand = 470 Ω und testen Sie verschiedene Kapazitäten aus (Werte in µf: 0,33 / 0,5 / 0,67 / / 2). Bestimmen Sie jeweils die Zeit t = T ½, in der die Spannung am Kondensator vom Maximum bis zur Hälfte abgesunken ist. d) Geben Sie ALLE Messungen in Form von Tabellen an. e) Bestimmen Sie die Proportionalitätskonstante. f) Stellen Sie ALLE Ergebnisse grafisch dar. 26

4 4.3.2 Bestimmung des Kapazitiven Widersandes eines Kondensators im Wechselstromkreis Theorie Im Gegensatz zum Gleichstromkreis fließt in einem Wechselstromkreis mit Kondensator ein Strom. Der im Wechselstromkreis fließende Strom I wird durch den kapazitiven Widerstand (Wechselstromwiderstand X des Kondensators) und der Spannung bestimmt: I = X bzw. X = I Bei einer sinusförmigen Spannung ergibt sich eine Phasendifferenz zwischen Spannung und Strom. Die Spannung ist im Maximum, wenn der Strom null ist bzw. bei maximalem Strom ist die Spannung null, d.h. der Strom eilt der Spannung um 90 (π/2) voraus. Auf Grund des Leistungsfaktors cos ϕ wird am Kondensator also keine Leistung (P = I cosϕ) umgesetzt bzw. Energie umgewandelt. Deswegen wird ein kapazitiver Widerstand im Gegensatz zum ohmschen Widerstand auch als Blindwiderstand bezeichnet. Abbildung 3: Schaltskizze zum Versuch Im Experiment wird die Stromstärke I durch Messen des Spannungsabfalls am Widersand bestimmt und die Spannung am Kondensator direkt gemessen. Dazu werden mit dem Oszilloskop jeweils die Spitzenspannungen bestimmt. Für die Stromstärke gilt dann: I =. Damit wird der kapazitive Widerstand X = I berechnet. 27

5 Versuchsdurchführung Zum Aufstellen der Gleichung X = wird zunächst die Abhängigkeit des kapazitiven 2 π f Widerstandes von der Kapazität X und anschließend von der Frequenz X f untersucht. Abbildung 4: Prinzipieller Aufbau zum Versuch Der Spannungsabfall am Widerstand wird mit Kanal und der Spannungsabfall am Kondensator mit Kanal 2 gemessen. Darstellungsart auf DAL / HOP, Kopplung auf A, Y- und Zeitachse auf AL. Zur phasenrichtigen Darstellung der beiden Kurven Kanal 2 invertieren. a) ntersuchung der Phasenverschiebung. FG: Sinusspannung mit f = 5 khz, = 6 V, = 0 Ω Beide Kurven am Oszilloskop so einstellen, dass eine möglichst große Auslenkung und einige Schwingungen sichtbar sind. Vergleichen Sie die Lage der Maxima bzw. Minima des Spannungsverlaufs am Kondensator mit der Lage der Nulldurchgänge des Spannungsverlaufs am Widerstand. b) ntersuchen Sie die Abhängigkeit des kapazitiven Widerstandes von der Kapazität Frequenz f = 5000 Hz des FG durch Ablesen der Schwingungsdauer (welche?) am Oszilloskop genau einstellen. = Ω nterschiedliche Kapazitäten durch Parallel- bzw. eihenschaltung der Kondensatoren realisieren. Jeweils Spannungsabfälle (Spitzenspannungen) am Widerstand und Kondensator mit dem Oszilloskop bestimmen. 28

6 c) ntersuchen Sie die Abhängigkeit des kapazitiven Widerstandes von der Frequenz Aufbau mit = µf, = 0 Ω Variieren Sie die Frequenz am FG. Bestimmen Sie diese genau mit Hilfe des Oszilloskops. Bestimmen Sie jeweils die Spannungsabfälle (Spitzenspannungen) am Widerstand und Kondensator mit dem Oszilloskop. d) Geben Sie ALLE Messungen in Form von Tabellen an. e) Bestimmen Sie die Proportionalitätskonstante k in der Gleichung f) Stellen Sie ALLE Ergebnisse grafisch dar. X = k. f Bestimmung des Wechselstromwiderstandes in Stromkreisen mit Kondensatoren und ohmschen Widerständen Theorie Liegt an einem Kondensator mit der Kapazität eine Wechselspannung = 0 cos(ωt) mit ω = 2π f () an, so fließt ein Strom I = 0 ω cos(ωt + 2 ) (2) durch den Kondensator. Man weist daher dem Kondensator einen kapazitiven Wechselstromwiderstand X = (3) Zu. Der Strom ist gegenüber der Spannung um 90 phasenverschoben (s.o.) eihenschaltung Ist der Kondensator in eihe mit einem ohmschen Widerstand geschaltet, so fließt durch beide der gleiche Strom. Dieser lässt sich in der Form I = I 0 cos(ωt+ϕ S ) (4) Darstellen, wobei ϕ S zunächst noch unbekannt ist. Am ohmschen Widerstand fällt demnach eine Spannung = I 0 cos(ωt+ϕ S ) (5) nd am Kondensator die Spannung = X I 0 cos(ωt + ϕ S - 2 ) (6) ab. 29

7 Die Summe dieser beiden Spannungen ist S = X I 0 cos(ωt) (7) wenn ϕ S die Bedingung X tan ϕ S = (8) erfüllt. S stimmt mit der angelegten Spannung überein, folglich ist 0 = X I 0 (9) d.h. der eihenschaltung aus ohmschem Widerstand und Kondensator lässt sich der Wechselstromwiderstand Z S = X (0) zuweisen. Der Strom ist in dieser Anordnung um ϕ S gegenüber der Spannung phasenverschoben Parallelschaltung Ist der Kondensator parallel zum ohmschen Widerstand geschaltet, liegt an beiden die gleiche Spannung. Sie hat z.b. die in () angegebene Form. Durch den ohmschen Widerstand fließt jetzt der Strom 0 I = cos( t) () nd durch den Kondensator der Strom 0 I = cost + (2) X 2 Die Summe der beiden Ströme ist I P = cos(ωt+ϕ P ) (3) X mit tan ϕ P = X (4) Sie entspricht dem gesamten der Spannungsquelle entnommenen Strom. Also lässt sich der Parallelschaltung aus ohmschem Widerstand und Kondensator ein Wechselstromwiderstand Z P zuweisen, für den die Beziehung Z P = + (5) 2 2 X gilt. Der Strom ist in dieser Anordnung um ϕ P gegenüber der Spannung phasenverschoben. 30

8 Versuchsdurchführung Im Versuch werden der Strom I(t) und die Spannung (t) in einem Wechselstromkreis als zeitabhängige Größen gemessen. Aus den gemessenen Größen wird der Betrag des Gesamtwiderstandes Z und die Phasenverschiebung ϕ zwischen Strom und Spannung bestimmt. FG auf Sinus, Kanal mit FG verbinden, an Kanal 2 wird der Spannungsabfall am Messwiderstand m = Ω gemessen, Darstellung DAL, Trigger und Kopplung auf A a) eihenschaltung Abbildung 5: Prinzipieller Aufbau zum Versuch 2.2.3, eihenschaltung = 0 µf in eihe zu = 00 Ω Am FG 2 khz einstellen, Amplitude auf 5 V An Kanal 2 Amplitude des Signals ablesen und als Strom I 0 = m in die Tabelle Ω eintragen. Zeitabstand t der Nulldurchgänge der beiden Signale ablesen. Messung jeweils für F = µf und F= 0, µf wiederholen. Messungen für f = khz, 500 Hz, 200 Hz, 00 Hz und 50 Hz wiederholen. 3

9 b) Parallelschaltung Abbildung 6: Prinzipieller Aufbau zum Versuch 2.2.3, Parallelschaltung = 0 µf parallel zu = 00 Ω Messung a) wiederholen Messung jeweils für F = µf und F= 0, µf wiederholen. Messungen für f = khz, 500 Hz, 200 Hz, 00 Hz und 50 Hz wiederholen. c) Geben Sie ALLE Messungen in Form von Tabellen an. d) Berechnen Sie aus den Messdaten den jeweiligen Gesamtwiderstand und Phasenverschiebung. e) Geben Sie Ihre Ergebnisse in einer Übersichtstabelle an. f) Stellen Sie die Ergebnisse als Funktion des kapazitiven Wechselstromwiderstandes X grafisch dar. 32

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