Teil IV. Kontextfreie Sprachen, Teil 4: Kellerautomaten

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1 Teil IV Kontextfreie prachen, Teil 4: Kellerautomaten

2 Kellerautomaten (Idee) Ziel Automatenmodell für CFL Kontextfreie prachen Kellerautomaten 1 / 13

3 Kellerautomaten (Idee) Ziel Automatenmodell für CFL Ansatz Endlicher Automat mit unendlichem peicher Kontextfreie prachen Kellerautomaten 1 / 13

4 Kellerautomaten (Idee) Ziel Automatenmodell für CFL Ansatz Endlicher Automat mit unendlichem peicher Eingabe w Kontrolle Kontextfreie prachen Kellerautomaten 1 / 13

5 Kellerautomaten (Idee) Ziel Automatenmodell für CFL Ansatz Endlicher Automat mit unendlichem peicher Eingabe w Kontrolle A β Keller Kontextfreie prachen Kellerautomaten 1 / 13

6 Kellerautomaten (Idee) Ziel Automatenmodell für CFL Ansatz Endlicher Automat mit unendlichem peicher Eingabe w Kontrolle A β Keller Kellerautomat (PDA) ε-nfa mit Keller Keller: unendlich, aber LIFO liest Eingabe und oberstes Kellersymbol Kontextfreie prachen Kellerautomaten 1 / 13

7 Kellerautomaten (formal) Definition Ein Kellerautomat (PDA) A über einem Alphabet Σ wird definiert durch: 1 ein Alphabet Γ von Kellersymbolen 2 eine nicht-leere, endliche Menge Q von Zuständen, 3 eine Funktion δ : (Q (Σ {ε}) Γ) P F (Q Γ ) (Übergangsrelation), 4 einen Zustand Q (tartzustand), 5 einem Kellersymbol K 0 Γ (tartsymbol), 6 eine Menge F Q von akzeptierenden Zuständen Wir schreiben dies als A := (Σ, Γ, Q, δ,, K 0, F ) Kontextfreie prachen Kellerautomaten 2 / 13

8 erechnungen Konfiguration Konfiguration von A: 3-Tupel aus Q Σ Γ Zustand, verbleibende Eingabe, Kellerinhalt tartkonfiguration mit Eingabe w: (, w, K 0 ) Kontextfreie prachen Kellerautomaten 3 / 13

9 erechnungen Konfiguration Konfiguration von A: 3-Tupel aus Q Σ Γ Zustand, verbleibende Eingabe, Kellerinhalt tartkonfiguration mit Eingabe w: (, w, K 0 ) Erreichbarkeitsrelation Für alle q Q, a Σ, w Σ, A Γ, β Γ gilt: 1 (q, aw, Aβ) A (p, w, γβ), wenn (p, γ) δ(q, a, A), und Kontextfreie prachen Kellerautomaten 3 / 13

10 erechnungen Konfiguration Konfiguration von A: 3-Tupel aus Q Σ Γ Zustand, verbleibende Eingabe, Kellerinhalt tartkonfiguration mit Eingabe w: (, w, K 0 ) Erreichbarkeitsrelation Für alle q Q, a Σ, w Σ, A Γ, β Γ gilt: 1 (q, aw, Aβ) A (p, w, γβ), wenn (p, γ) δ(q, a, A), und 2 (q, w, Aβ) A (p, w, γβ), wenn (p, γ) δ(q, ε, A) Kontextfreie prachen Kellerautomaten 3 / 13

11 erechnungen Konfiguration Konfiguration von A: 3-Tupel aus Q Σ Γ Zustand, verbleibende Eingabe, Kellerinhalt tartkonfiguration mit Eingabe w: (, w, K 0 ) Erreichbarkeitsrelation Für alle q Q, a Σ, w Σ, A Γ, β Γ gilt: 1 (q, aw, Aβ) A (p, w, γβ), wenn (p, γ) δ(q, a, A), und 2 (q, w, Aβ) A (p, w, γβ), wenn (p, γ) δ(q, ε, A) prache(n) eines PDA L Z (A) := {w Σ (, w, K 0 ) A (q, ε, γ), q F, γ Γ }, L K (A) := {w Σ (, w, K 0 ) A (q, ε, ε), q Q} Kontextfreie prachen Kellerautomaten 3 / 13

12 eispiel (Akzeptanz mit akzeptierenden Zuständen) a, a, b, ε q 1 q 2 ε, ε, ε, Kontextfreie prachen Kellerautomaten 4 / 13

13 eispiel (Akzeptanz mit akzeptierenden Zuständen) a, a, b, ε q 1 q 2 ε, ε, ε, Kontextfreie prachen Kellerautomaten 4 / 13

14 eispiel (Akzeptanz mit akzeptierenden Zuständen) a, a, b, ε q 1 q 2 ε, ε, ε, a Kontextfreie prachen Kellerautomaten 4 / 13

15 eispiel (Akzeptanz mit akzeptierenden Zuständen) a, a, b, ε q 1 q 2 ε, ε, ε, a a Kontextfreie prachen Kellerautomaten 4 / 13

16 eispiel (Akzeptanz mit akzeptierenden Zuständen) a, a, b, ε q 1 q 2 ε, ε, ε, i a a a i Kontextfreie prachen Kellerautomaten 4 / 13

17 eispiel (Akzeptanz mit akzeptierenden Zuständen) a, a, b, ε q 1 q 2 ε, ε, ε, i a a a ε q 1 i Kontextfreie prachen Kellerautomaten 4 / 13

18 eispiel (Akzeptanz mit akzeptierenden Zuständen) a, a, b, ε q 1 q 2 ε, ε, ε, i a a a ε q 1 b q 1 i Kontextfreie prachen Kellerautomaten 4 / 13

19 eispiel (Akzeptanz mit akzeptierenden Zuständen) a, a, b, ε q 1 q 2 ε, ε, ε, i a a a ε q 1 b q 1 b q 1 i Kontextfreie prachen Kellerautomaten 4 / 13

20 eispiel (Akzeptanz mit akzeptierenden Zuständen) a, a, b, ε q 1 q 2 ε, ε, ε, i a a a ε q 1 b q 1 b q 1 b q 1 i i Kontextfreie prachen Kellerautomaten 4 / 13

21 eispiel (Akzeptanz mit akzeptierenden Zuständen) a, a, b, ε q 1 q 2 ε, ε, ε, i a a a ε q 1 b q 1 b q 1 b q 1 ε q 2 i Kontextfreie prachen Kellerautomaten 4 / 13 i

22 eispiel (Akzeptanz mit leerem Keller) a, a, b, ε Kontextfreie prachen Kellerautomaten 5 / 13

23 eispiel (Akzeptanz mit leerem Keller) a, a, b, ε Kontextfreie prachen Kellerautomaten 5 / 13

24 eispiel (Akzeptanz mit leerem Keller) a, a, b, ε a Kontextfreie prachen Kellerautomaten 5 / 13

25 eispiel (Akzeptanz mit leerem Keller) a, a, b, ε i 1 a a i 1 Kontextfreie prachen Kellerautomaten 5 / 13

26 eispiel (Akzeptanz mit leerem Keller) a, a, b, ε i 1 a a a i 1 Kontextfreie prachen Kellerautomaten 5 / 13

27 eispiel (Akzeptanz mit leerem Keller) a, a, b, ε i 1 a a a b i 1 Kontextfreie prachen Kellerautomaten 5 / 13

28 eispiel (Akzeptanz mit leerem Keller) a, a, b, ε i 1 a a a b b i 1 i 1 Kontextfreie prachen Kellerautomaten 5 / 13

29 eispiel (Akzeptanz mit leerem Keller) a, a, b, ε i 1 a a a b b b i 1 i 1 Kontextfreie prachen Kellerautomaten 5 / 13

30 Noch ein eispiel a, A a, A AA a, A b, b, A A b, a, A ε b, ε q 1 q 2 ε, ε, ε ε, A A ε, Kontextfreie prachen Kellerautomaten 6 / 13

31 Vergleich der Akzeptanzverhalten atz ei A ein PDA Dann existieren PDAs A K und A Z mit: L Z (A) = L K (A K ), und L K (A) = L Z (A Z ) Kontextfreie prachen Kellerautomaten 7 / 13

32 Vergleich der Akzeptanzverhalten atz ei A ein PDA Dann existieren PDAs A K und A Z mit: L Z (A) = L K (A K ), und L K (A) = L Z (A Z ) Von Z zu K verbinde akzeptierende Zustände mit Leer-Räum-Zustand Kontextfreie prachen Kellerautomaten 7 / 13

33 Vergleich der Akzeptanzverhalten atz ei A ein PDA Dann existieren PDAs A K und A Z mit: L Z (A) = L K (A K ), und L K (A) = L Z (A Z ) Von Z zu K verbinde akzeptierende Zustände mit Leer-Räum-Zustand Von K zu Z lege neues ymbol K L unter K 0 wenn K L zu sehen: wechsle in akzeptierenden Zustand Kontextfreie prachen Kellerautomaten 7 / 13

34 Kellerautomaten und kontextfreie prachen atz L ist kontextfrei genau dann, wenn ein PDA A existiert mit L(A) = L Kontextfreie prachen PDAs und CFL 8 / 13

35 Kellerautomaten und kontextfreie prachen atz L ist kontextfrei genau dann, wenn ein PDA A existiert mit L(A) = L eweisidee konstruiere PDA direkt aus CFG in CNF Kontextfreie prachen PDAs und CFL 8 / 13

36 Kellerautomaten und kontextfreie prachen atz L ist kontextfrei genau dann, wenn ein PDA A existiert mit L(A) = L eweisidee konstruiere PDA direkt aus CFG in CNF eweisidee simuliere PDA in CFG: Tripelkonstruktion Kontextfreie prachen PDAs und CFL 8 / 13

37 Kellerautomaten und kontextfreie prachen atz L ist kontextfrei genau dann, wenn ein PDA A existiert mit L(A) = L eweisidee konstruiere PDA direkt aus CFG in CNF eweisidee simuliere PDA in CFG: Tripelkonstruktion Gemeinsame Idee chritte des PDA entsprechen Linksableitungsschritten der Grammatik Kontextfreie prachen PDAs und CFL 8 / 13

38 PDA aus CFG G = (Σ, V, P, ) in CNF A := (Σ, Γ, Q, δ, q,, ) (Akzeptanz durch Keller) Γ := V, Q := {q} Kontextfreie prachen PDAs und CFL 9 / 13

39 PDA aus CFG G = (Σ, V, P, ) in CNF A := (Σ, Γ, Q, δ, q,, ) (Akzeptanz durch Keller) Γ := V, Q := {q} Definition von δ Für alle a Σ, A Γ: δ(q, a, A) := {(q, ε) A a P } Kontextfreie prachen PDAs und CFL 9 / 13

40 PDA aus CFG G = (Σ, V, P, ) in CNF A := (Σ, Γ, Q, δ, q,, ) (Akzeptanz durch Keller) Γ := V, Q := {q} Definition von δ Für alle a Σ, A Γ: δ(q, a, A) := {(q, ε) A a P } Für alle A Γ ist δ(q, ε, A) := {C A C P } Ggf noch (q, ε) δ(q, ε, ) Hauptteil des eweises Kontextfreie prachen PDAs und CFL 9 / 13

41 PDA aus CFG G = (Σ, V, P, ) in CNF A := (Σ, Γ, Q, δ, q,, ) (Akzeptanz durch Keller) Γ := V, Q := {q} Definition von δ Für alle a Σ, A Γ: δ(q, a, A) := {(q, ε) A a P } Für alle A Γ ist δ(q, ε, A) := {C A C P } Ggf noch (q, ε) δ(q, ε, ) Hauptteil des eweises Für alle w Σ +, alle A Γ und alle n N >0 gilt (q, w, A) n A (q, ε, ε) genau dann, wenn A n G w Kontextfreie prachen PDAs und CFL 9 / 13

42 eispiel für PDA aus CFG ( ) G := (Σ, V, P, ), V := {, A,, C}, P := { A C, A C a, CA b, C A a} Kontextfreie prachen PDAs und CFL 10 / 13

43 eispiel für PDA aus CFG ( ) G := (Σ, V, P, ), V := {, A,, C}, P := { A C, A C a, CA b, C A a} ε, A ε, C ε, A C a, A ε ε, CA b, ε ε, C A a, C ε Kontextfreie prachen PDAs und CFL 10 / 13

44 Tripelkonstruktion ( ) A = (Σ, Γ, Q, δ,, K 0, ) G := (Σ, V, P, ) V := {} {[p, K, q] p, q Q, K Γ} Kontextfreie prachen PDAs und CFL 11 / 13

45 Tripelkonstruktion ( ) A = (Σ, Γ, Q, δ,, K 0, ) G := (Σ, V, P, ) V := {} {[p, K, q] p, q Q, K Γ} Idee [p, K, q] G w genau dann, wenn (p, w, K) A (q, ε, ε) Kontextfreie prachen PDAs und CFL 11 / 13

46 Tripelkonstruktion ( ) A = (Σ, Γ, Q, δ,, K 0, ) G := (Σ, V, P, ) V := {} {[p, K, q] p, q Q, K Γ} Idee [p, K, q] G w genau dann, wenn (p, w, K) A (q, ε, ε) Regeln 1 [, K 0, p] für alle p Q Kontextfreie prachen PDAs und CFL 11 / 13

47 Tripelkonstruktion ( ) A = (Σ, Γ, Q, δ,, K 0, ) G := (Σ, V, P, ) V := {} {[p, K, q] p, q Q, K Γ} Idee [p, K, q] G w genau dann, wenn (p, w, K) A (q, ε, ε) Regeln 1 [, K 0, p] für alle p Q 2 Für alle p, q Q, a (Σ {ε}), K Γ und jedes (p 1, K 1 K n ) δ(p, a, K) erzeugen wir die Regeln [p, K, q] a[p 1, K 1, p 2 ][p 2, K 2, p 3 ] [p n K n p n+1 ] mit p 2,, p n+1 Q und p n+1 = q Kontextfreie prachen PDAs und CFL 11 / 13

48 eispiel Tripelkonstruktion q 1 a, K 0 b, K 0 A a, A ε b, ε a, b, A AA Kontextfreie prachen PDAs und CFL 12 / 13

49 Eine Anwendung Lemma Die Klasse CFL ist abgeschlossen unter inversem Homomorphismus Kontextfreie prachen PDAs und CFL 13 / 13

50 Eine Anwendung Idee gegeben: PDA A, Hom h Lemma Die Klasse CFL ist abgeschlossen unter inversem Homomorphismus konstruiere PDA A I A I simuliert A bei Eingabe von h(a) Kontextfreie prachen PDAs und CFL 13 / 13

51 Eine Anwendung Lemma Die Klasse CFL ist abgeschlossen unter inversem Homomorphismus Idee gegeben: PDA A, Hom h konstruiere PDA A I A I simuliert A bei Eingabe von h(a) Problem A I kann pro chritt nur ein Kellersymbol entfernen Kontextfreie prachen PDAs und CFL 13 / 13

52 Eine Anwendung Lemma Die Klasse CFL ist abgeschlossen unter inversem Homomorphismus Idee gegeben: PDA A, Hom h konstruiere PDA A I A I simuliert A bei Eingabe von h(a) Problem A I kann pro chritt nur ein Kellersymbol entfernen Lösung A I benutzt Zustände als Zwischenspeicher Produktkonstruktion Zustände [q, x], q Q, x suffix(h(a)) Kontextfreie prachen PDAs und CFL 13 / 13