Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5

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1 Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 PD Dr. Frank Heyde TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 07. Mai 2015 PD Dr. Frank Heyde Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 1

2 Klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition (Laplace-Modell) Gilt für Zufallsversuche mit vielen möglichen Versuchsergebnissen (n elementare Versuchsausgänge oder Elementarereignisse), die alle sind (keines wird bevorzugt, alle haben dieselbe Chance einzutreten). Beispiele: Würfeln mit einem fairen oder gerechten Würfel, n = 6, Elementarereignisse sind {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}. Zahlenlotto 6 aus 49, n = Anzahl der möglichen Tipps mit 6 aus 49 Zahlen. Aus den Axiomen für Wahrscheinlichkeiten folgt dann die einzige mögliche Definition von Wahrscheinlichkeiten in dieser Situation (die sogenannte klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition). PD Dr. Frank Heyde Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 2

3 Klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition Für jedes der n Elementarereignisse gilt unter obigen Bedingungen: P(Elementarereignis) = Für ein beliebiges Ereignis A gilt unter obigen Bedingungen: P(A) = Anzahl der Elementarereignisse in A n bzw. P(A) = Anzahl der für A Fälle Anzahl aller gleichwahrscheinlichen Fälle. Bei Wahrscheinlichkeitsberechnungen im Zusammenhang mit der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition werden oft kombinatorische Formeln genutzt. PD Dr. Frank Heyde Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 3

4 Kombinatorische Formeln I Geg.: n Objekte, z.b. {1, 2,..., n} Die Anzahl aller möglichen Reihenfolgen beträgt n! = n ( n Fakultät ). Geg.: n Objekte, aber nur k < n verschiedene mit jeweiligen Anzahlen n i, i = 1,..., k (n n k = n) Die Anzahl aller möglichen Reihenfolgen beträgt ( ) n = n 1, n 2,..., n k n! n 1!n 2!... n k! ( Polynomialkoeffizient ). Im Spezialfall k = 2, d.h. gegeben sind n Objekte, jedes gehört zu einer von zwei Sorten (z.b. Erfolg, Misserfolg ), gilt n 1 = m, n 2 = n m und die Anzahl aller möglichen Reihenfolgen beträgt ( ) n m = n! m!(n m)! ( Binomialkoeffizient ). PD Dr. Frank Heyde Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 4

5 Kombinatorische Formeln II Nun seien n Objekte gegeben. Dann ist eine Frage, wie viele Möglichkeiten es gibt, um daraus k Objekte auszuwählen? Die Antwort ist abhängig davon, ob sich in der Auswahl Objekte dürfen (m.w.) oder nicht (o.w.) ob es auf die der Auswahl (oder eine zusätzliche Anordnung) ankommt (m.r.) oder nicht (o.r.). o.r. m.r. ( o.w. ) n ( m.w. ) n + k 1 k k Kombinationen ( ) n k! k n k Variationen Beispiel: n = 4, k = 2. PD Dr. Frank Heyde Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 5

6 Kombinatorische Formeln III Lottomodell Auswahl ohne Wiederholung und ohne Reihenfolge. N Anzahl der tippbaren Zahlen (N = 49), M Anzahl der Gewinnzahlen (M = 6), n Anzahl der Zahlen im Tipp (n = 6), m Anzahl der Gewinnzahlen im Tipp (z.b. m = 4). Anzahl der möglichen Fälle = Anzahl aller möglichen Tipps = Anz. der Möglichkeiten, aus N Zahlen n auszuwählen (o.w.,o.r.) ( ) N =. n Anz. der günstigen Fälle = Anz. der Möglichkeiten, aus den M Gewinnzahlen m auszuwählen (o.w.,o.r.) Anz. der Möglichkeiten, die restlichen n m getippten Zahlen aus den N M Nichtgewinnzahlen auszuwählen ( ) ( ) M N M =. m n m PD Dr. Frank Heyde Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 6

7 Kombinatorische Formeln IV Lottomodell Man erhält die Formel für die Wahrscheinlichkeiten ( M ( P ( m Richtige in einem Tipp ) = m) N M ) n m ( N. n) Dies ist auch ein wichtiges Modell für die Qualitätskontrolle, mit den Werten N Losgröße, M n m gilt Anzahl der Ausschussstücke darunter, Anzahl der zufällig gezogenen Kontrollstücke (Stichprobe), Anzahl der Ausschussstücke in der Stichprobe, ( M ( P ( m Ausschussstücke in der Stichprobe ) = m) N M ) n m ( N. n) PD Dr. Frank Heyde Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 7

8 2.2 Zufallsgrößen Zufallsgrößen und deren Verteilung Beispiel. Aus der Menge der Vorlesungsteilnehmer wird zufällig eine Person ausgewählt Zufallsexperiment mit Ω = Menge der Vorlesungsteilnehmer = {Kai, Maria, Stefan,...} ausgewählte Person selbst interessiert aber eigentlich nicht, sondern sie wird z.b. nach ihrer Größe X oder Schuhgröße Y gefragt jedem möglichen Ergebnis ω Ω wird durch X und Y jeweils eine Zahl X (ω) bzw. Y (ω) zugeordnet. Definition. Eine Abbildung X : Ω IR vom Ergebnisraum in die reellen Zahlen nennt man Zufallsgröße. PD Dr. Frank Heyde Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 8

9 Abbildung selbst ist nicht zufällig, sondern entspricht einem (wenn man die Ergebnismenge mit einer Grundgesamtheit von Untersuchungseinheiten identifiziert). Allerdings ergibt sich die realisierte Merkmalsausprägung als Ergebnis eines zufälligen Versuchs. weitere Beispiele. Zufällige Anzahl X (von Schäden, Konkursen,... ) mit möglichen Werten {0, 1, 2,...}. Zufällige Zeit X (Lebensdauer, Ausfallzeiten,... ) mit möglichen Werten {x IR : x 0}. Messergebnis X (Geldmenge, Temperatur,... ) mit entsprechenden Zahlenwerten (ohne Maßeinheit) als möglichen Werten. Augenzahl X beim Würfeln mit möglichen Werten {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Bei nominal oder ordinal skalierten Versuchsergebnissen ist die Zuordnung der Versuchsergebnisse zu Zahlen zwar willkürlich, oft aber sinnfällig, z.b. Ausschuss X = 1, kein Ausschuss X = 0. PD Dr. Frank Heyde Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 9

10 Für Zufallsgrößen interessieren vor allem Wahrscheinlichkeiten der Art P(X b), P(a < X < b) oder P(a X b) (diese bilden die Verteilung der Zufallsgröße) und abgeleitete Kenngrößen, wie Erwartungswerte, Varianzen usw. Es gibt zwei wichtige Grundtypen von Zufallsgrößen, die sich zum Teil mit unterschiedlichen mathematischen Hilfsmitteln untersuchen lassen: Zufallsgrößen mit diskreter Verteilung ( diskrete Zufallsgrößen ) und Zufallsgrößen mit (absolut) stetiger Verteilung ( stetige Zufallsgrößen ). Diskrete Zufallsgrößen Definition. Eine Zufallsgröße X heißt diskret, wenn sie nur endlich oder abzählbar unendlich viele Werte x 1, x 2,... annehmen kann. Die Zuordnung p i := P(X = x i ), i = 1, 2,... heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten Zufallsgröße. Sie wird meistens durch eine Verteilungstabelle gegeben: PD Dr. Frank Heyde Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 10

11 Werte x i x 1 x 2 x 3... Wahrscheinlichkeiten p i p 1 p 2 p 3... Beispiel. Gerechtes Würfeln x i p i Für die Wahrscheinlichkeiten p i gelten: 0 p i 1, i p i = 1. Für beliebige Mengen I IR gilt P(X I ) = xi I p i. Die Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten p i efolgt durch Berechnung aus Grundannahmen (typische Verteilungen) oder experimentell mittels statistischer Methoden. PD Dr. Frank Heyde Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 11

12 Stetige Zufallsgrößen Definition. Eine Zufallsgröße X heißt stetig, wenn es eine integrierbare reelle Funktion f X (x) gibt, so dass P(a X b) = für beliebige Zahlen a b gilt. b a f X (x) dx Die Funktion f X heißt Dichtefunktion (oder Verteilungsdichte) der Zufallsgröße X und besitzt die Eigenschaften: 1. f X (x) 0 für alle x IR; 2. f X (x) dx = 1. Sie gibt die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse auf der reellen Achse an. PD Dr. Frank Heyde Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 12

13 Beispiel einer stetigen Zufallsgröße Beispiel. Rein zufällige Auswahl eines Punktes (Wertes) X aus dem Intervall [0, 1] auf dem Intervall [0, 1] oder gleichmäßig verteilte Zufallsgröße. Für 0 a < b 1 gilt P(a X b) = b a. { 1, 0 x 1, Die Dichtefunktion ist f X (x) = 0, sonst. PD Dr. Frank Heyde Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 13

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