Anfragesprachen mit Rekursion Datalog

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1 Beispiel: Frankfurter U-Bahn-Netz Hier vereinfacht: Eine Relation U-Bahn-Netz mit Attributen Linie, Halt, nächsterhalt Statische Analyse 7.3 U-Bahn-Netz Linie Halt nächsterhalt U4 Bockenheimer Warte Festhalle/Messe U4 Festhalle/Messe Hauptbahnhof U4 Hauptbahnhof Willy-Brandt-latz U4 Willy-Brandt-latz Dom/Römer U7 U7 Kirchplatz Leipziger Str. U7 Leipziger Str. Bockenheimer Warte U7 Bockenheimer Warte Westend Anfrage: Gib alle Stationen aus, die von Bockenheimer Warte aus ohne Umsteigen zu erreichen sind. (1) mit max. 1 Zwischenhalt: n x S : x L U-Bahn-Netz(x L, Bockenheimer Warte, x S ) x Z `U-Bahn-Netz(xL, Bockenheimer Warte, x Z ) U-Bahn-Netz(x L, x Z, x S ) o (2) mit max. 2 Zwischenhalten: analog (3) mit beliebig vielen Zwischenhalten??? Am Ende von Kapitel 4 gesehen: Nicht ausdrückbar in Relationaler Algebra NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 1 Erreichbarkeits-Anfrage in SQL Im SQL (ab SQL-99 Standard) kann die Anfrage Gib alle Stationen aus, die von Bockenheimer Warte aus ohne Umsteigen zu erreichen sind folgendermaßen ausgedrückt werden: WITH RECURSIVE Erreichbar(Linie,Start,Ziel) AS ( SELECT Linie, Halt, NaechsterHalt FROM U-Bahn-Netz UNION ALL SELECT Erreichbar.Linie, Erreichbar.Start, U-Bahn-Netz.NaechsterHalt FROM Erreichbar, U-Bahn-Netz WHERE Erreichbar.Linie = U-Bahn-Netz.Linie AND Erreichbar.Ziel = U-Bahn-Netz.Halt ) SELECT Ziel FROM Erreichbar WHERE Start= Bockenheimer Warte NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 2 Erreichbarkeits-Anfrage in Datalog Die Anfrage Gib alle Stationen aus, die von Bockenheimer Warte aus ohne Umsteigen zu erreichen sind kann in Datalog folgendermaßen ausgedrückt werden: Erreichbar(L, S, Z) U-Bahn-Netz(L, S, Z) Erreichbar(L, S, Z) Erreichbar(L, S, Z ), U-Bahn-Netz(L, Z, Z) Ans(Z) Erreichbar(L, Bockenheimer Warte, Z) NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 3 NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 4

2 Datalog: Syntax Definition 7.1 (a) Eine Datalog-Regel ist ein Ausdruck der Form R 0 (u 0 ) R 1 (u 1 ),..., R l (u l ) Statische Analyse 7.3 wobei l 0, R 0, R 1,..., R l relname und u 0, u 1,..., u l freie Tupel der Stelligkeiten arity(r 0 ), arity(r 1 ),..., arity(r l ) sind, so dass jede Variable, die in u 0 vorkommt, auch in mindestens einem der Tupel u 1,..., u l vorkommt. (b) Ein Datalog-rogramm ist eine endliche Menge von Datalog-Regeln. (c) Eine Datalog-Anfrage (, R) besteht aus einem Datalog-rogramm und einem Relations-Namen R, der in vorkommt. NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 5 NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 6 Notation Beispiel Wie üblich bezeichnen wir mit adom() bzw. adom(q) die Menge der Konstanten, die in einem Datalog-rogramm bzw. einer Datalog-Anfrage Q vorkommen. Für eine Datanbank I ist adom(, I) := adom() adom(i) und adom(q, I) := adom(q) adom(i). := 8 >< >: Erreichbar(L, S, Z) U-Bahn-Netz(L, S, Z), Erreichbar(L, S, Z) Erreichbar(L, S, Z ), U-Bahn-Netz(L, Z, Z), Ans(Z) Erreichbar(L, Bockenheimer Warte, Z) 9 >= >; R 0 (u 0 ) heißt Kopf der Regel R 0 (u 0 ) R 1 (u 1 ),..., R l (u l ); R 1 (u 1 ),..., R l (u l ) heißt Rumpf der Regel. edb() bezeichnet die Menge der Relations-Namen, die ausschließlich im Rumpf von Regeln in vorkommen (die sog. extensionalen rädikate von ). idb() bezeichnet die Menge der Relations-Namen, die im Kopf mindestens einer Regel in vorkommen (die sog. intensionalen rädikate von ). sch() := edb() idb() heißt Schema von. ist ein Datalog-rogramm mit edb() = { U-Bahn-Netz } idb() = { Erreichbar, Ans } sch() = { U-Bahn-Netz, Erreichbar, Ans } Q 1 := (, Ans) ist eine Datalog-Anfrage; Q 2 := (, Erreichbar) ist noch eine Datalog-Anfrage. NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 7 NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 8

3 Datalog: Semantik Die Semantik von Datalog lässt sich auf verschiedene Weisen definieren: Fixpunkt-Semantik: Regeln schrittweise anwenden, bis sich nichts mehr ändert Modellbasierte Semantik: kleinste Datenbank über sch(), die alle Regeln wahr macht Beweisbasierte Semantik: Fakten, die sich herleiten lassen, sind im Ergebnis Glücklicherweise kann man zeigen, dass alle drei Ansätze zum gleichen Resultat führen. Wir betrachten im Folgenden hauptsächlich die Fixpunkt-Semantik, die folgendermaßen definiert ist: NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 9 Der immediate consequence -Operator T Definition 7.2 Sei ein Datalog-rogramm. (a) Für jedes R idb() seien Q R,1,.., Q R,kR diejenigen Regeln aus, in deren Kopf das Relationssymbol R steht, und seien Q R,1,.., Q R,k R die Regeln, die aus Q R,1,.., Q R,kR entstehen, indem im Kopf jeweils R durch das Relationssymbol Ans ersetzt wird (mit Ans sch() und arity(ans ) = arity(r)). (b) Der immediate consequence -Operator T : inst(sch()) inst(sch()) ist folgendermaßen definiert: Für jedes I inst(sch()) und jedes R sch() ist ( I(R) falls R edb() T (I)(R) := Q R,1 (I) Q R,k r (I) falls R idb() Beispiel: Ist das Datalog-rogramm aus dem Beispiel der Erreichbarkeits-Anfrage, und besteht I(Erreichbar) aus allen Tupeln, die mit max. i Zwischenhalten ohne Umsteigen zu erreichen sind, so besteht T (I)(Erreichbar) aus allen Tupeln, die mit max. i + 1 Zwischenhalten ohne Umsteigen zu erreichen sind. NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 10 Monotonie von T Fixpunkte Bemerkung: Eine alternative (und äquivalente) Definition von T : T (I)(R) := { unmittelbare R-Konsequenzen von über I }, wobei ein Tupel t eine unmittelbare R-Konsequenz von über I ist, falls R edb() und t I(R) oder R idb() und es eine Regel der Form R(u) R 1 (u 1 ),..., R l (u l ) in und eine Belegung β gibt, so dass β(u) = t und β(u i ) I(R i ), für alle i {1,.., l}. Bemerkung 7.4 (a) Aus der Monotonie von T folgt für jedes I inst(sch()) mit I(R) = f.a. R idb(), dass: I T (I) T `T (I) T i (I) T i+1 (I) wobei T 0 (I) := I und T i+1 (I) := T `T i (I). Lemma 7.3 Für jedes Datalog-rogramm gilt: Der Operator T ist monoton, d.h. für alle I, J inst(sch()) mit I J (d.h. I(R) J(R) f.a. R inst(sch())) gilt: T (I) T (J). Beweis: leicht (Übung). (b) Man sieht leicht, dass adom(t (I)) adom(, I) und adom(t i (I)) adom(, I), f.a. i N. (c) Da adom(, I) nur endlich viele Elemente besitzt, muss es in der Inklusionskette aus (a) ein i 0 N mit T i 0 (I) = T i 0+1 (I) geben. Aus der Monotonie von T folgt dann: T i 0 (I) = T j (I) f.a. j i 0. NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 11 NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 12

4 Notation Fixpunkt-Semantik von Datalog Ein J inst(sch()) heißt Fixpunkt von T, falls T (J) = J. Definition 7.5 (a) Sei ein Datalog-rogramm, R := edb(). Jeder Datenbank I inst(r) ordnen wir die Datenbank Î inst(sch()) mit Ab-Stufe(I) := min{i 0 : T i 0 (I) = T i 0+1 (I)} heißt Abschluss-Stufe von T auf I. Die einzelnen Instanzen T 0 (I), T 1 (I), T 2 (I) etc. werden Stufen des Fixpunktprozesses genannt. Ab-Stufe(, I) gibt also diejenige Stufe an, ab der der Fixpunkt erreicht ist: I = T 0 (I) T 1 (I) T Ab-Stufe(,I) (I) = T Ab-Stufe(,I)+1 (I) = T j (I) T ω (I) := T Ab-Stufe(I) (I). Klar: T ω (I) ist ein Fixpunkt von T. f.a. j Ab-Stufe(, I) Î(R) := zu. Ausgewertet in I liefert die Datenbank ( I(R) falls R edb() falls R idb() (I) := T ω (Î) inst(sch()) (b) Eine Datalog-Anfrage Q = (, R) liefert auf einer Datenbank I inst(edb()) die Relation Q (I) := ` (I) (R). NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 13 Naive Berechnung von (I) NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 14 Fixpunkt-Semantik vs. Modellbasierte Semantik Bemerkung: Ein einfacher Algorithmus, der bei Eingabe von und I das Resultat (I) berechnet, kann folgendermaßen vorgehen: (1) J := Î (2) Berechne J := T (J) (3) Falls J J, so ` J := J, GOTO (2) (4) Gib J aus Datenkomplexität dieses Algorithmus: olynomialzeit. Notation: Für zwei Datenbanken J, J inst(r) bezeichnet J J die Datenbank mit (J J )(R) := J(R) J (R), f.a. R R. Satz 7.6 (Knaster und Tarski) Sei ein Datalog-rogramm und I inst(edb()). Dann gilt: (I) = { J inst(sch()) : T (J) = J und Î J} D.h.: (I) ist die kleinste Erweiterung von Î, die ein Fixpunkt von T ist. Beweis: Siehe Tafel. NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 15 NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 16

5 Ausdrucksstärke von Datalog Beweisbasierte Semantik von Datalog Bemerkung 7.7 Die Ausdrucksstärken von Datalog-Anfragen und von Anfragen des Relationenkalküls sind unvergleichbar: Beispiel für eine Datalog-Anfrage, die nicht im Relationenkalkül formuliert werden kann: Welche Stationen sind von Bockenheimer Warte aus ohne Umsteigen zu erreichen? Sichtweise: Ein Faktum ist ein Ausdruck der Form R(t) mit R relname und t dom arity(r). Eine Datenbank I inst(r) wird mit der folgenden Menge von Fakten identifiziert: Fakten(I) := { R(t) : R R und t I(R) } Beispiel für eine Relationenkalkül-Anfrage, die nicht in Datalog formuliert werden kann: In welchen Kinos läuft kein Film um 17:00 Uhr? Für die beweisbasierte Semantik werden Datalog-Regeln als Schlussregel-Muster in Beweisen betrachtet. Bzw. jede andere Relationenkalkül-Anfrage, die nicht monoton ist. Denn aus Lemma 7.3 folgt leicht, dass jede Datalog-Anfrage monoton ist. NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 17 NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 18 Beweisbäume Definition 7.8 Sei ein Datalog-rogramm und I inst(edb()). Ein Beweisbaum für ein Faktum R(t) bzgl. I und ist ein gerichteter Baum mit den folgenden Eigenschaften: (1) Jeder Knoten ist mit einem Faktum markiert. (2) Die Wurzel enthält das Faktum R(t). (3) Die Fakten an den Blättern sind Elemente aus Fakten(I) (4) Für jeden inneren Knoten v mit Kindern v 1,.., v l gibt es eine Regel R 0 (u 0 ) R 1 (u 1 ),..., R l (u l ) in und eine Belegung β : Var() dom so dass gilt: der Knoten v enthält das Faktum R 0 (β(u 0 )) das Kind v i von v enthält das Faktum R i (β(u i )) (für alle i {1,.., l}). Beispiel: Beweisbäume für Ans( Frankfurt Süd ) bzgl. dem Frankfurter U-Bahn-Netz und dem folgenden Datalog-rogramm: (siehe Tafel) E(L, S, Z) U-Bahn-Netz(L, S, Z) Ans(Z) E(L, Hauptwache, Z) NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 19 NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 20

6 Statische Analyse Fixpunkt-Semantik vs. Beweisbasierte Semantik Satz 7.9 Für jedes Datalog-rogramm, alle I inst(edb()) und alle Fakten R(t) mit R sch() und t dom arity(r) gilt: t ` (I) (R) es gibt einen Beweisbaum für R(t) bzgl. I und Statische Analyse 7.3 Beweis: Übung. NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 21 NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 22 Statische Analyse Statische Analyse Erfüllbarkeit Query Containment Zwei Varianten: (1) Uniformes Containment: Theorem 7.10 Das ERFÜLLBARKEITSROBLEM FÜR DATALOG-ANFRAGEN Eingabe: Datalog-Anfrage Q = (, R) Frage: Gibt es ein I inst(edb()) so dass Q (I)? ist entscheidbar. Beweis: Übung (siehe [AHV]-Buch, Kapitel 12.5) UNIFORMES CONTAINMENT ROBLEM FÜR DATALOG-ROGRAMME Eingabe: Zwei Datalog-rogramme 1 und 2 mit edb( 1 ) = edb( 2 ) und idb( 1 ) = idb( 2 ) Frage: Gilt 1 (I) 2 (I) für alle I inst(edb( 1 ))? (2) Herkömmliches Query Containment: QUERY CONTAINMENT ROBLEM FÜR DATALOG-ANFRAGEN Eingabe: Zwei Datalog-Anfragen ( 1, R) und ( 2, R) mit edb( 1 ) = edb( 2 ) und R idb( 1 ) idb( 2 ) Frage: Gilt ( 1, R) (I) ( 2, R) (I) für alle I inst(edb( 1 ))? Theorem 7.11 (hier ohne Beweis) (a) Das uniforme Containment roblem für Datalog-rogramme ist entscheidbar. (b) Das Query Containment roblem für Datalog-Anfragen ist unentscheidbar. NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 23 NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 24

7 Beschränktheit (Boundedness) Statische Analyse Wir haben gesehen: (I) kann berechnet werden, indem man nach und nach berechnet. Î, T (Î), T (T (Î)),..., T Ab-Stufe(,I) Ab-Stufe(,I)+1 (Î), T (Î) Anzahl der Iterationen, die dafür nötig sind: Ab-Stufe(, I) + 1 Frage: Wie groß kann Ab-Stufe(, I) werden? Klar: in jeder Iteration kommt mindestens ein Faktum dazu; adom( (I)) adom(, I) Daher: Ab-Stufe(, I) X adom(, I) arity(r) R idb() Besonders schön sind solche Datalog-rogramme, bei denen Ab-Stufe(, I) gar nicht von I abhängt. Solche rogramme heißen beschränkt (engl.: bounded). räzise: Ein Datalog-rogramm heißt beschränkt, falls eine Zahl d N gibt, so dass für alle I inst(edb()) gilt: Ab-Stufe(, I) d. Den kleinsten solchen Wert d nennen maximale Rekursionstiefe von. Wenn man weiß, dass ein rogramm bschränkt ist und maximale Rekursionstiefe d hat, so kann man leicht eine zu äquivalente SCU-Anfrage konstruieren. NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 25 Beispiel Das Datalog-rogramm ist nicht beschränkt. Das Datalog-rogramm Statische Analyse E(L, S, Z) U-Bahn-Netz(L, S, Z) Ans(Z) E(L, Bockenheimer Warte, Z) Kauft(x, y) Mag(x, y) Kauft(x, y) erson(x), Trendsetter(z), Kauft(z, y) ist beschränkt mit maximaler Rekursionstiefe 2 und äquivalent zum nicht-rekursiven rogramm bzw. zur SCU-Anfrage Kauft(x, y) Mag(x, y) Kauft(x, y) erson(x), Trendsetter(z), Mag(z, y) Mag erson π 3`σ1=1 (Trendsetter Mag) NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 26 Beschränktheit (Boundedness) Statische Analyse Theorem 7.12 Das (hier ohne Beweis) BOUNDEDNESS ROBLEM FÜR DATALOG-ROGRAMME Eingabe: Datalog-rogramm Frage: Ist beschränkt, d.h. gibt es ein d N so dass Ab-Stufe(, I) d für alle I inst(edb())? Statische Analyse 7.3 ist unentscheidbar. NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 27 NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 28

8 Nicht-Rekursives Datalog Beispiel Nicht-Rekursives Datalog räzise Beispiel 7.13 (a) Das Datalog-rogramm ist nicht-rekursiv. Kauft(x, y) Mag(x, y) Kauft(x, y) erson(x), Trendsetter(z), Mag(z, y) Definition 7.14 Sei ein Datalog-rogramm. (a) Der Abhängigkeitsgraph G von ist der gerichtete Graph mit Knotenmenge V := sch() und Kantenmenge j ff es gibt eine Regel in, in deren Kopf R und in E := (S, R) : deren Rumpf S vorkommt (b) Äquivalent dazu, aber NICHT nicht-rekursiv ist Kauft(x, y) Mag(x, y) Kauft(x, y) erson(x), Trendsetter(z), Kauft(z, y) (b) Die Klasse nr-datalog aller nicht-rekursiven Datalog-rogramme besteht aus allen Datalog-rogrammen, deren Abhängigkeitsgraph G azyklisch ist. Beispiele für Abhängigkeitsgraphen: siehe Tafel NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 29 Nicht-rekursiv vs. beschränkt ( bounded ) roposition 7.15 (a) Jedes nr-datalog-rogramm ist beschränkt. (b) Jedes beschränkte Datalog-rogramm ist äquivalent zu einem nr-datalog-rogramm. Beweis: Einfache Übung. NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 31 NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 30 Ausdrucksstärke von nr-datalog Satz 7.16 Die folgenden Anfragesprachen können genau dieselben Anfragefunktionen beschreiben: (a) SCU bzw. SJRU (b) nr-datalog-anfragen (c) bereichsunabhängiger positiver existentieller Kalkül E-CALC di Bemerkung: Die Übersetzung von nr-datalog in eine der anderen Sprachen kann mehr als polynomiell viel Zeit beanspruchen, da nr-datalog-rogramme u.u. viel kürzer sind als äquivalente Anfragen der anderen Sprachen. Beweis: (c) (a): Bringe die gegebene E-CALC di -Anfrage zunächst in Normalform, also als Diskunktion von bereichsunabhängigen Anfragen des konjunktiven Kalküls. Aus Kapitel 2 wissen wir, dass jede Anfrage des konj. Kalküls äquivalent zu einer SC-Anfrage ist. Disjunktionen von Anfragen des konj. Kalküls sind dann äquivalent zu einer SCU-Anfrage. (a) (b): Einfache Induktion nach dem Aufbau von SCU-Anfragen. (b) (c): siehe Tafel. NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 32

9 Datalog mit Negation Ziel: Auch Negationszeichen in Datalog-Regeln zulassen. Definition 7.17 (a) Ein Literal ist ein Relationsatom R(u) oder ein negiertes Relationsatom R(u). Ein Literal der Form R(u) heißt positiv; ein Literal der Form R(u) heißt negativ bzw. negiert. (b) Eine Datalog -Regel ist ein Ausdruck der Form R 0 (u 0 ) L 1 (u 1 ),..., L l (u l ) wobei l 0, R 0 relname, u 0 ein freies Tupel der Stelligkeit arity(r 0 ) und L 1 (u 1 ),..., L l (u l ) Literale, so dass jede Variable, die in u 0 vorkommt, auch in mindestens einem positiven Literal L i (u i ) vorkommt. (c) Ein Datalog -rogramm ist eine endliche Menge von Datalog -Regeln. (d) Eine Datalog -Anfrage (, R) besteht aus einem Datalog -rogramm und einem Relations-Namen R, der in vorkommt. Frage: Was soll die Semantik von Datalog sein? Beispiel 7.18 Anfrage: Gib alle Stationen aus, die von Bockenheimer Warte aus nicht ohne Umsteigen zu erreichen sind. Als Datalog -Anfrage: E(L, S, Z) U-Bahn-Netz(L, S, Z) Erreichbar_BW(Z) E(L, Bockenheimer Warte, Z) Hier: Semantik intuitiv klar. Station(S) U-Bahn-Netz(L, S, Z) Station(Z) U-Bahn-Netz(L, S, Z) Ans(Z) Station(Z), Erreichbar_BW(Z) NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 33 NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 34 robleme mit der Semantik von Datalog Beispiel 7.19 Inflationäre Fixpunkte (a) (b) R(x) A(x), R(x) Ausgewertet über einer DB I inst({a}) gilt: j T (Î)(R) i = falls i gerade adom(i) falls i ungerade Somit: Die Folge T (Î) i i 0 hat keinen Fixpunkt. Außerdem: T ( ) hat überhaupt keinen Fixpunkt. R(x) A(x), S(x) S(x) A(x), R(x) Hier hat T ( ) zwei verschiedene minimale Fixpunkte (minimal bzgl. ): F 1 mit F 1 (R) = und F 1 (S) = adom(i) F 2 mit F 2 (R) = adom(i) und F 2 (S) = Um eine Semantik für Datalog festzulegen, könnte man einfach per Definition erzwingen, dass die einzelnen Stufen des Fixpunktprozesses ineinander enthalten sind: An Stelle von T ( ) betrachte den Operator Γ ( ) mit Dann gilt: Γ (J) := J T (J) Î Γ (Î) Γ i `Γ (Î) Γ(Î) Γi+1 (Î) Da adom(, I) endlich ist, wird irgendwann ein (eindeutig definierter) Fixpunkt von Γ ( ) erreicht. Dieser heißt inflationärer Fixpunkt von auf I. NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 35 NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 36

10 roblem mit der inflationären Fixpunkt-Semantik von Datalog Diese Semantik ist für viele rogramme unnatürlich. Beispiel 7.20 E(L, S, Z) U-Bahn-Netz(L, S, Z) Erreichbar_BW(Z) E(L, Bockenheimer Warte, Z) Station(S) U-Bahn-Netz(L, S, Z) Station(Z) U-Bahn-Netz(L, S, Z) Ans(Z) Station(Z), Erreichbar_BW(Z) Intuitive Semantik : Alle Stationen, die von Bockenheimer Warte aus nicht ohne Umsteigen zu erreichen sind. Inflationäre Fixpunkt-Semantik: Alle Stationen. Frage: Was soll die Semantik von Datalog sein? robleme: Inflationäre Fixpunkt-Semantik: unnatürlich (siehe Beispiel 7.20) Fixpunkt-Semantik via T ω (Î): für manche Datalog -rogramme undefiniert (siehe Beispiel 7.19) Semantik via kleinster Fixpunkt von T ( ): ist für manche Datalog -rogramme nicht eindeutig (siehe Beispiel 7.19) Beweisbasierte Semantik für Datalog :??? Aber für rogramme wie in Beispiel 7.20 ist die Semantik intuitiv klar. Betrachte im Folgenden nur Datalog -rogramme von eingeschränkter Form: Semipositives Datalog nr-datalog Stratifiziertes Datalog NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 37 NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 38 Semipositives Datalog Stratifiziertes Datalog Beispiel Negation ist nur bei edb-rädikaten erlaubt. Man kann leicht zeigen, dass für jedes semipositive Datalog -rogramm und alle I inst(edb()) gilt: T ( ) hat einen eindeutig bestimmten kleinsten Fixpunkt J mit J edb() = I. Dieser wird von der Sequenz 2 3 Î, T (Î), T(Î), T(Î),... erreicht. Notation für diesen Fixpunkt: T ω (Î). Definition der Semantik von semipositiven Datalog -rogrammen : Für alle I inst(edb()) setze (I) := T ω (Î) E(L, S, Z) U-Bahn-Netz(L, S, Z) Erreichbar_BW(Z) E(L, Bockenheimer Warte, Z) Station(S) U-Bahn-Netz(L, S, Z) Station(Z) U-Bahn-Netz(L, S, Z) Ans(Z) Station(Z), Erreichbar_BW(Z) Die Negation ist hier nicht mit der Rekursion verschränkt. Sie kann angewendet werden, nachdem Erreichbar_BW( ) vollständig berechnet ist. Grundidee für stratifiziertes Datalog. NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 39 NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 40

11 Stratifiziertes Datalog räzise Definition 7.21 Sei ein Datalog -rogramm. Eine Stratifizierung von ist eine Folge 1,..., m von Datalog -rogrammen, so dass m 1 ist und es eine Abbildung σ : idb() {1,.., m} gibt, so dass gilt: (1) 1,..., m ist eine artition von (d.h. = 1 m ), (2) für jedes idb-rädikat R von gilt: alle Regeln, in deren Kopf R vorkommt, gehören zu σ(r), (3) kommt ein S idb() im Rumpf einer Regel mit Kopf R vor, so ist σ(s) σ(r), und (4) kommt ein S idb() negiert im Rumpf einer Regel mit Kopf R vor, so ist σ(s) < σ(r). Stratifiziertes Datalog Beispiele 1 := E(L, S, Z) BVG(L, S, Z) Erreichbar_BW(Z) E(L, Bockenheimer Warte, Z) Station(S) U-Bahn-Netz(L, S, Z) Station(Z) U-Bahn-Netz(L, S, Z) 2 := Ans(Z) Station(Z), Erreichbar_BW(Z) ist eine Stratifizierung des Datalog -rogramms aus Beispiel Notation: i heißt i-tes Stratum bzw. i-te Schicht der Stratifizierung 1,..., m σ heißt Stratifizierungs-Abbildung ( Stratum : lat. für Schicht ; lural: Strata) Ein Datalog -rogramm heißt stratifizierbar, falls es eine Stratifizierung von gibt. Stratifiziertes Datalog bezeichnet die Menge aller stratifizierbaren Datalog -rogramme. NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 41 Test auf Stratifizierbarkeit Abhängigkeitsgraph für Datalog -rogramme Definition 7.22 Sei ein Datalog -rogramm. Der Abhängigkeitsgraph G = (V, E +, E ) ist der gerichtete Graph mit Knotenmenge V := sch() Kantenmengen j := (S, R) : E + E := j (S, R) : Beispiel: Siehe Tafel: es gibt eine Regel in, in deren Kopf R vorkommt und in deren Rumpf S positiv vorkommt es gibt eine Regel in, in deren Kopf R vorkommt und in deren Rumpf S negativ vorkommt Abhängigkeitsgraph für E(L, S, Z) U-Bahn-Netz(L, S, Z) Erreichbar_BW(Z) E(L, Bockenheimer Warte, Z) Station(S) U-Bahn-Netz(L, S, Z) Station(Z) U-Bahn-Netz(L, S, Z) Ans(Z) Station(Z), Erreichbar_BW(Z) NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 43 ff ff Das Datalog -rogramm R(x) A(x), R(x) ist nicht stratifizierbar. Das Datalog -rogramm auch nicht. R(x) A(x), S(x) S(x) A(x), R(x) NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 42 Test auf Stratifizierbarkeit roposition 7.23 Für jedes Datalog -rogramm gilt: Beweis: ist stratifizierbar Im Abhängigkeitsgraph G gibt es keinen Kreis, in dem eine Kante aus E vorkommt. = : Sei σ eine Stratifizierungs-Abbildung von. Angenommen, es gibt einen Kreis von R nach R, auf dem mindestens eine Kante aus E vorkommt. Dann gilt: σ(r) > σ(r). Widerspruch! = : Idee: Nutze eine topologische Sortierung der starken Zusammenhangskomponenten von (E + E ), um die einzelnen Schichten zu definieren. Details: Übung. NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 44

12 Stratifiziertes Datalog Semantik Sei 1,..., m eine Stratifizierung eines Datalog -rogramms. Betrachte jede Schicht i als ein semipositives Datalog -rogramm mit edb( i ) edb() idb( 1 ) idb( i 1 ) Sei I edb(). Die Semantik (I) von auf I ist folgendermaßen definiert: (I) := I m, wobei I 1 := 1 (I) I 2 := 2 (I 1 )... I m := m (I m 1 ) Man kann leicht zeigen, dass folgendes gilt: (a) Obige Definition hängt nicht von der konkreten Wahl der Stratifizierung von ab. D.h. für je zwei verschiedene Stratifizierungen 1,..., m und Q 1,..., Q n von gilt: m (I m 1 ) = Q n (I n 1 ). (b) (I) ist der (eindeutig definierte) kleinste Fixpunkt J von T ( ) mit J edb() = I. NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 45 Spezialfall: nr-datalog nr-datalog = nr-datalog mit Negation Satz 7.24 = stratifiziertes Datalog, eingeschränkt auf rogramme, in deren Abhängigkeitsgraph es keinen gerichteten Kreis (über (E + E )) gibt. Die folgenden Anfragesprachen können genau dieselben Anfragefunktionen beschreiben: (a) Relationale Algebra (b) Relationenkalkül (bereichsunabhängig bzw. safe-range) (c) nr-datalog -Anfragen. Bemerkung: Die Übersetzung von nr-datalog in eine der anderen Sprachen kann mehr als polynomiell viel Zeit beanspruchen, da nr-datalog -rogramme u.u. viel kürzer sind als äquivalente Anfragen der anderen Sprachen. Beweis: Einfache Induktion nach dem Aufbau von nr-datalog bzw. nach dem Aufbau der relationalen Algebra. NICOLE SCHWEIKARDT GOETHE-UNIVERSITÄT FRANKFURT VORLESUNG LOGIK UND DATENBANKEN KAITEL 7, SEITE 46