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1 zur geometrischen Optik des Auges und optische Instrumente: Lupe - Mikroskop - Fernrohr 426

2 Das Auge n = 1.3 adaptive Linse: Brennweite der Linse durch Muskeln veränderbar hoher dynamischer Nachweisbereich durch Spezialisierung der Sehzellen Stäbchen sind Sensoren für : hell dunkel Zäpfchen sind Sensoren für: rot grün blau 427

3 Spektrale Empfindlichkeit der Detektoren auf der Netzhaut des Auges 428

4 Daten zur Optik des Auges Brechungsindex im Innenbereich: n = 1.3 im Außenbereich: n = 1.0 Brennweite f innen f außen Auge auf adaptiert: f innen = 22 mm f außen = 17 mm Auge auf 10 cm adaptiert: f innen = 19 mm f außen = 14 mm scharfes Bild: Bildebene liegt auf Netzhaut 429

5 Optik im Auge: Einstellung der Sehschärfe Anpassung der Brennweite, damit Bildebene = Ebene der Netzhaut 430

6 das kurzsichtige Auge ohne Brille mit Brille konkav 431

7 das weitsichtige Auge konvex zusätzliche Brechkraft 432

8 433

9 Einstellung der Schärfe bis zum Nahpunkt s o deutliche Sehweite s o = 25 cm entspricht der Entfernung, in der ein Objekt gerade noch durch Adaption (d.h. ohne weitere technische Hilfe, Linsen) scharf auf die Ebene der Netzhaut abgebildet werden kann. 434

10 Strahlengang bei der Lupe f Position des Objektes: in der Brennebene vom Objekt ausgehende Strahlenbündel Verlaufen nach Durchgang durch Linse parallel entspanntes (auf adaptiertes) Auge fokussiert parallele Strahlen auf Netzhaut Vergrößerung des Sehwinkels ε(s o ) ε (Lupe) Vergrößerung des Bildes auf der Netzhaut Vergrößerung (Lupe) definiert als V ε'(lupe) = ε ( s ) 0 435

11 Wahrnehmung der Größe eines Objektes durch Größe des Bildes auf der Netzhaut ε Objekt Bild Sehwinkel : ε Vergrößerung des Sehwinkels durch Lupe Vergrößerung des Bildes auf der Netzhaut Sehwinkel : ε ε Objekt ohne Linse Linse Bild 436

12 Abbildung durch zwei dünne Linsen Konstruktion des Bildes durch Verfolgung charakteristischer Strahlen: Strahlen von Punkt des Objektes ausgehend: Schnittpunkt von zwei Strahlen gibt Bildpunkt Strahl parallel zur Achse geht durch Brennpunkt Strahl durch Mitte der Linse geht geradeaus weiter Strahl durch Brennpunkt verläuft achsenparallel 437

13 Mikroskop kurzbrennweitiges Objektiv Abstand Objekt-Linse g = f + δ Vergrößerung des Zwischenbildes (ZB) durch verfügbare Länge begrenzt für δ 0 wird b ZB und V ZB kurzbrennweitiges Okular (Lupe) Zwischenbild in Brennebene des Okulars Vergrößerung für Beobachter durch Vergrößerung des Sehwinkels von reellem ZB (V begrenzt durch Tubuslänge) 438

14 Aufbau eines Mikroskops (mit Objekt-Beleuchtung bzw. Markierung) Okular Zwischenbild Objektiv Umlenkung durch Totalreflexion Beleuchtung 2 Beleuchtung 1 439

15 Fernrohr Mittelpunkt-Strahl muss gerade durchgehen hier gezeigter Knick ist falsch langbrennweitiges Objektiv Objekt in großer Entfernung Strahlen von einem Punkt sind i.w. parallel Zwischenbild (ZB) in Brennebene, V f Betrachtung des ZB durch: kurzbrennweitiges Okular d Abstand d (Objektiv Okular) = f Objektiv + f Okular räumliche Auflösung von Mikroskop und Fernrohr begrenzt durch Beugungsphänomene f 2 sollen gleich sein 440

16 Brechung und Dispersion an kugelförmigen Objekten Regenbogen

17 442

18 443

19 Beugung und Interferenz am Einzelspalt einfallende ebene Welle Beugung Beugung durchgehende Ebene Welle Beugung: Strahlenbündel durch begrenzende Öffnung oder auf Hindernis Abweichung von Propagation gemäß geometrischer Optik Interferenz: Vereinigung von (mindestens) zwei Strahlen in einem Punkt, Betrachtung der Entwicklung der Phase längs des Strahlweges 444

20 Interferenz: Überlagerung kohärenter Wellen Betrachtung der relativen Phase längs unterschiedlicher Strahl-Wege einfallende ebene Welle auslaufende Kugelwellen Spaltbreite d < λ P kohärente (phasenstarre) Aussendung von Kugelwellen Weglänge S i in Einheiten von λ bestimmt Phase ϕ i der Welle i im Punkt P Ergebnis der Überlagerung hängt ab von Phasendifferenz ϕ ik (P) = ϕ i (P) - ϕ k (P) 445

21 Kohärenz Grundlegendes aus Wellengleichung 2 1 E E = 2 2 c t wenn E 1 (r,t) und E 2 (r,t) Lösung, dann ist auch E(r,t) = a 1 E 1 (r,t) + a 2 E 2 (r,t) Lösung (Superposition, lineare Optik) allgemein: E(r,t) = A m (r,t) e iϕm(r,t) E(r,t) bestimmt durch Amplituden A m (r,t) und Phasen ϕ m (r,t) zeitliche und räumliche Variation ϕ m (r,t) Kohärenz-Eigenschaften Variation von ϕ m (r,t) durch Variation der Frequenz Variation der geometrischen Weglänge (z.b.: Wackeln von Spiegel) Variation der optischen Weglänge (z.b.: Variation des Brechungsindexes) 446

22 Überlagerung von Wellen aus verschiedenen Quellen E m (Q, t) = E m,o (Q, t) e i (ωt + ϕ m ) E m (P, t) = E m,o (P, t) e i (ωt + ϕ m + ϕ m (sm)) ϕ 1 ϕ 2 s 1 s 2 ϕ 1 + P ϕ 2 + Phase (P) bestimmt durch Anfangsphase ϕ sowie durch die längs Weg s i (Quelle bis Nachweispunkt) akkumulierte Phase wenn Q = Spalt, beleuchtet via ebene Welle (wie ϕ 1,2 = gezeigt): ϕ 1 = ϕ 2 ϕ 1,2 = 0 (wichtig: 0 ) t sm s' m sm = nm+ε m = + s' m = nmλ λ λ λ 0 < ε m < 1 ϕ m (s m ) = (n m + ε m ) 2π = n m 2π + ε m 2π ϕ k (s k ) = (n k + ε k ) 2π = n k 2π + ε k 2π wesentlich: sm,k ϕ m,k ( sm,k ) = ( εm εk ) 2π = 2π λ 447

23 Überlagerung von Wellen betrachtet: fester Ort P, Beitrag der Wellen E(t) aus verschiedener Quelle Q 1 448

24 Addition der Amplitude von (zwei) Wellen I 1 (P) = c ε o E 1 2 ϕ 1 ϕ 2 s 1 s 2 ϕ 1 + ϕ 1 (s 1 ) P ϕ 2 + ϕ 2 (s 2 ) I = c ε o (E 1 + E 2 ) 2 I 2 (P) = c ε o E 2 2 vektorielle Addition Im E i E Σ E Σ der Amplituden der E 2 E 2 Felder E m E 1 φ 1,2 Re E i π für ϕ 1,2 = E 2 2 Σ = E E 2 I Σ = I 1 + I 2 449

25 Interferenz Intensitätsvariation, I = c ε o E 2 feste Phasenbeziehung zwischen den Teilwellen 2 I 1 (P) = c ε o E 1 ϕ 1 ϕ 2 s 1 s 2 ϕ 1 + ϕ 1 (s 1 ) P ϕ 2 + ϕ 2 (s 2 ) I = c ε o (E 1 + E 2 ) 2 I 2 (P) = c ε o E 2 2 hier angenommen: I 1 = I 2 I (ϕ m,k = 0) = c ε o (E 1 + E 2 ) 2 = c ε o (2 E 1 ) 2 = 4 I 1 I (ϕ m,k = π/2) = c ε o (E E 2 2 ) = c ε o 2 E 1 2 = 2 I 1 I (ϕ m,k = π) = c ε o (E 1 - E 2 ) 2 = 0 I (ϕ m,k = 3π/2) = I (ϕ m,k = π/2) 0 I 4I 1 I (ϕ m,k = 2 π) = I (ϕ m,k = 0) falls Phase ϕ m (t) und/oder ϕ k (t) fluktuiert, derart dass 0 < ϕ m,k < n 2π da <E 1 E 2 > = 0 I = c ε o <E 1 + E 2 > 2 = c ε o (<E 1 > 2 + <E 2 > 2 ) = 2 I 1 450

26 (konstruktive) Interferenz und Wellenfronten gibt es eine Wellenfront? (gleiche Phase längs Linie) (nur) wenn die Phase längs der gestrichelten Linie für alle Strahlen ( zu ) gleich ist, ϕ m = ϕ*, bildet sich eine Wellenfront aus Gangunterschied von Elementar-Quelle bis (-----) muss gleich sein (modulo λ) bzw. Phasen ϕ m müssen gleich sein (modulo 2π) 451

27 Beobachtung der Interferenz-Struktur mit Einsatz einer Linse (Schirm in Brennebene der Linse Beobachtung der Interferenzstruktur in der Brennebene der Linse... oder auf einem sehr weit entfernten Schirm) Beobachtung auf einem (sehr) weit entfernten Schirm Bedingung für (konstruktive) Interferenz (nahezu) identisch wie bei Abbildung mit Linse 452

28 zum Einsatz von Linsen bei der Sichtbarmachung einer Interferenzstruktur ebene Wellenfront parallele Strahlen im Brennpunkt einer Linse überlagert keine Änderung der relativen Phasenlage durch Abbildung (gleiche optische Wegstrecke s/λ für alle Strahlwege: siehe Fermat-Prinzip) 453

29 Beugung an einem Spalt (qualitative Betrachtung) Maximum nullter Ordnung ϕ m,k = 0 für alle m und k Ausbildung der Wellenfront in geradeaus Richtung : nullte Beugungsordnung (konstruktive Interferenz) 454

30 Beugung an einem Spalt (qualitative Betrachtung) erstes Minimum b λ Θ sin Θ Min,1 = λ/b Bündel von Strahlen gedanklich aufgeteilt in oberes Bündel (ob) und unteres Bündel (ub) zu jedem Strahl im ob gibt es einen Strahl im ub mit ϕ ob, ub = π Beitrag zur Intensität = 0 (destruktive Interferenz) 455

31 Beugung an einem Spalt (qualitative Betrachtung) erstes Maximum b 3 (½ λ) Θ sin Θ max,1 = 3λ/2b Bündel von Strahlen gedanklich aufgeteilt in drei Bündel: oberes, mittleres und unteres in benachbarten Bündeln lässt sich jeweils ein Paar von Strahlen finden, für die gilt: ϕ B1, B2 = π Beitrag zur Intensität = 0, aber: keine vollständige Auslöschung, da Beitrag von 1/3 der Strahlen keinen Partner für vollständig destruktive Interferenz findet Intensität 0, aber geringer als für nulltes Maximum 456

32 Beugung an einem Spalt (qualitative Betrachtung) zweites Minimum b sin Θ min,2 = 2λ/b λ/2 Θ Bündel von Strahlen gedanklich aufgeteilt in vier Bündel: in benachbarten Bündeln lässt sich jeweils ein Paar von Strahlen finden, für die gilt: ϕ B1, B2 = π Beitrag zur Intensität = 0, vollständige Auslöschung,... usw. für weitere Maxima und Minima 457

33 Beugung an einem Spalt (qualitative Betrachtung) erstes Minimum - Abhängigkeit von Spaltbreite b b sin Θ min,1 = λ/b s Θ Θ min,1 steigt mit sinkendem b wenn b = λ Θ min,1 = π/2 ( Minimum auf Schirm nicht mehr beobachtbar) wenn b << λ punktförmige Quelle Kugelwelle (bei Gitter: viele Spalte mit b << λ) 458

34 Fresnelscher Spiegelversuch Spalt: Anregung durch Beleuchtung mit Ebener Welle Fresnelscher Spiegelversuch: zwei (virtuelle) kohärente Strahlungsquellen Kontrolle der Überlagerung der beiden Teilwellen durch Kontrolle des Kippwinkels ε 459

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