Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14

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1 Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 11. Juli 016 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14 Version: 14. Juli 016 1

2 Statistische Prüfverteilungen Zur Bestimmung von Konfidenzintervallen für Parameter der Normalverteilung und die später zu behandelnden statistischen Tests benötigt man Quantile von bestimmten Verteilungen, die mit der Normalverteilung zusammenhängen und die man statistische Prüfverteilungen nennt. Dies sind die χ -Verteilung (Chi-Quadrat-Verteilung), die t-verteilung (Student-Verteilung) und die F -Verteilung (Fisher-Verteilung). In den nachfolgenden Folien zu den speziellen Prüfverteilungen seien deshalb X 1,..., X n unabhängige normalverteilte Zufallsgrößen mit Erwartungswert µ und Varianz σ jeweils und X = 1 n X i, n i=1 S = 1 n 1 n ( Xi X ). i=1 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14 Version: 14. Juli 016

3 Die χ -Verteilung (Chi-Quadrat-Verteilung) I Parameter: m N ( Anzahl der Freiheitsgrade ). Zufallsgröße Y mit Dichtefunktion f Y bzw. Verteilungsfunktion F Y 0, x 0 ; f Y (x) = x m 1 m Γ( m ) e x, x > 0 ; Es gelten F Y (x) = x f Y (y) dy, x R. EY = m und VarY = m. Es ist für X i N(µ, σ ), u.i.v. (i.i.d.), 1 n σ (X i µ) χ verteilt mit n Freiheitsgraden und 1 σ i=1 n ( Xi X ) i=1 χ verteilt mit n 1 Freiheitsgraden. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14 Version: 14. Juli 016 3

4 Die χ -Verteilung (Chi-Quadrat-Verteilung) II Dichtefunktionen der χ -Verteilung mit m = 1 (rot), m = 5 (grün) und m = 8 (blau) Freiheitsgraden Quantile von χ -Verteilungen können aus Tabellen abgelesen oder mit Hilfe von Rechnerprogrammen berechnet werden. Für größere Werte m lassen sich die Quantile approximieren, z.b. gilt χ 1 α 1 ( m 1 + Φ 1 (α) ) Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14 Version: 14. Juli 016 4

5 Tabelle Quantile χ -Verteilung Quelle Beispiel: G. Bourier; Statistik-Übungen; Gabler Verlag / Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, Wiesbaden; 01 (E-Book Bibliothek TUBAF) Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14 Version: 14. Juli 016 5

6 Die t-verteilung (Student-Verteilung) I Parameter: m N ( Anzahl der Freiheitsgrade ). Zufallsgröße Y mit Dichtefunktion f Y bzw. Verteilungsfunktion F Y f Y (x) = Γ ( ) m+1 ( πm Γ m ) (1 + x ) m+1, x R ; m Es gelten F Y (x) = x f Y (y) dy, x R. EY = 0 (m ) und VarY = m (m 3). m Es ist für X i N(µ, σ ), u.i.v., S = 1 n ( Xi X ) n 1 i=1 n X µ S t verteilt mit n 1 Freiheitsgraden. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14 Version: 14. Juli 016 6

7 Die t-verteilung (Student-Verteilung) II Dichtefunktionen der t-verteilung mit m = 1 (rot), m = 5 (grün) und m = 8 (blau) Freiheitsgraden Quantile von t-verteilungen können aus Tabellen abgelesen oder mit Hilfe von Rechnerprogrammen berechnet werden. Für größere Werte m lässt sich die Verteilung recht gut durch eine Standardnormalverteilung approximieren. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14 Version: 14. Juli 016 7

8 Tabelle Quantile t-verteilung Quelle Beispiel: G. Bourier; Statistik-Übungen; Gabler Verlag / Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, Wiesbaden; 01 (E-Book Bibliothek TUBAF) Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14 Version: 14. Juli 016 8

9 Die F -Verteilung (Fisher-Verteilung) I Parameter: m 1, m N ( Anzahl der Freiheitsgrade ). Zufallsgröße Y mit Dichtefunktion f Y bzw. Verteilungsfunktion F Y 0, x 0 ; f Y (x) = Γ( m 1 +m ( ) ) m1 m1 x m 1 Γ( m 1 )Γ( m ) m 1 ), x > 0 ; m 1 +m F Y (x) = x f Y (y) dy, x R. Es gelten für m > bzw. m > 4 ( 1+ m 1 m x EY = m m und VarY = m (m 1 + m ) m 1 (m ) (m 4). Sind Y i unabhängig und χ -verteilt mit m i Freiheitsgraden (i = 1, ), dann ist Y = m Y 1 m 1 Y F -verteilt mit Freiheitsgraden m 1, m. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14 Version: 14. Juli 016 9

10 Die F -Verteilung (Fisher-Verteilung) II Dichtefunktionen der F -Verteilung mit m 1 = 5, m = 5 (rot), m 1 = 5, m = 50 (grün) und m 1 = 50, m = 50 (blau) Freiheitsgraden Quantile von F -Verteilungen können aus Tabellen abgelesen oder mit Hilfe von Rechnerprogrammen berechnet werden. Bezeichnet f m1,m ;α das Quantil einer F -Verteilung mit m 1, m 1 Freiheitsgraden zum Niveau α, dann gilt f m1,m ;1 α =. f m,m 1 ;α Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14 Version: 14. Juli

11 Konfidenzintervall für µ falls X N(µ, σ ), σ unbekannt Es ist für X i N(µ, σ ), u.i.v., S = n X µ S Mit dem Quantil t n 1;1 α n 1 Freiheitsgraden gilt dann P 1 n 1 n i=1 ( Xi X ) t verteilt mit n 1 Freiheitsgraden. zum Niveau 1 α ( t n 1;1 α n X µ S P t n 1;1 α ( X S t n 1;1 α µ X + S t n n 1;1 α n der t-verteilung mit ) = 1 α, ) = 1 α. Damit erhält man die Formel für das (zweiseitige) Konfidenzintervall I für den Erwartungswert µ der Normalverteilung bei unbekannter Varianz σ zum Konfidenzniveau 1 α [ I µ = X S t n 1;1 α ; X + S ] t n n 1;1 α. n Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14 Version: 14. Juli

12 Beispielaufgabe Aufgabe: In einem Betrieb werden unter anderem grüne Bohnen in Dosen abgefüllt. Bei einer Stichprobe von 5 Dosen wurden folgende Abfüllgewichte in g ermittelt: 173, 176, 17, 176, 175, 174, 17, 173, 173, 178, 176, 177, 175, 176, 173, 17, 175, 174, 17, 174, 173, 177, 176, 174, 174. Es wird angenommen, dass es sich bei den Werten um Realisierungen einer normalverteilten Zufallsgröße handelt. 1. Bestimmen Sie einen Schätzer für das mittlere Abfüllgewicht µ!. Geben Sie ein Konfidenzintervall zum Niveau 0.95 für das Durchschnittsgewicht an! Größen zur Lösung: x = 174.4, s = 1.756, s = 3.083, n = 5, 1 α = 0.975, t 4;0.975 =.064. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14 Version: 14. Juli 016 1

13 Konfidenzintervall für σ falls X N(µ, σ ), µ bekannt Es ist für X i N(µ, σ ), u.i.v., S = 1 n ns σ = 1 σ n (X i µ), i=1 n (X i µ) χ verteilt mit n Freiheitsgraden. i=1 Mit den Quantilen χ n; α bzw. χ n;1 α zu den Niveaus α bzw. 1 α der χ -Verteilung mit n Freiheitsgraden gilt dann ( P ( P χ n; α ns χ n;1 α ) σ χ n;1 α = 1 α, ) σ ns χ = 1 α. n; α ns Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14 Version: 14. Juli

14 Konfidenzintervall für σ falls X N(µ, σ ), µ bekannt Damit erhält man die Formel für das (zweiseitige) Konfidenzintervall I für die Varianz σ der Normalverteilung bei bekanntem Erwartungswert µ zum Konfidenzniveau 1 α [ ] ns I σ = χ ; ns n;1 α χ. n; α Das (zweiseitige) Konfidenzintervall I für die Standardabweichung σ der Normalverteilung bei bekanntem Erwartungswert µ zum Konfidenzniveau 1 α erhält man daraus durch Berechnung der Quadratwurzeln: [ ] ns ns I σ = ;. χ n;1 α χ n; α Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14 Version: 14. Juli

15 Konfidenzintervall für σ falls X N(µ, σ ), µ unbekannt Es ist für X i N(µ, σ ), u.i.v., S = 1 n 1 n 1 ( Xi X ), i=1 (n 1)S σ = 1 σ n (X i X ) χ verteilt mit n 1 i=1 Freiheitsgraden. Mit den Quantilen χ n 1; α bzw. χ n 1;1 α zu den Niveaus α bzw. 1 α der χ -Verteilung mit n 1 Freiheitsgraden gilt dann ( P χ n 1; α P ) (n 1)S σ χ n 1;1 α = 1 α, ( ) (n 1)S χ σ (n 1)S n 1;1 α χ = 1 α. n 1; α Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14 Version: 14. Juli

16 Konfidenzintervall für σ falls X N(µ, σ ), µ unbekannt Damit erhält man die Formel für das (zweiseitige) Konfidenzintervall I für die Varianz σ der Normalverteilung bei unbekanntem Erwartungswert µ zum Konfidenzniveau 1 α I σ = [ (n 1)S χ ; n 1;1 α (n 1)S χ n 1; α Das (zweiseitige) Konfidenzintervall I für die Standardabweichung σ der Normalverteilung bei unbekanntem Erwartungswert µ zum Konfidenzniveau 1 α erhält man daraus durch Berechnung der Quadratwurzeln: [ ] (n 1)S (n 1)S I σ = ;. χ n 1;1 α χ n 1; α ]. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14 Version: 14. Juli

17 Einseitige Konfidenzintervalle Einseitige Konfidenzintervalle, d.h. nur obere bzw. nur untere Konfidenzgrenzen, erhält man, indem man bei den zweiseitigen Konfidenzintervallen die entsprechende Grenze wählt und bei den Quantilen α durch α ersetzt. Die andere Grenze wird dann entsprechend der möglichen Werte des Parameters gewählt, also z.b. als untere Grenze für den Erwartungswert µ oder 0 als untere Grenze für die Varianz σ oder die Standardabweichung σ. Oft verwendet werden einseitige Konfidenzintervalle mit oberer Konfidenzgrenze zur Intervallschätzung der Varianz σ einer Normalverteilung; ist der Erwartungswert µ unbekannt, lautet das entsprechende Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau 1 α: I σ = [ 0 ; (n 1)S χ n 1;α ]. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14 Version: 14. Juli

18 Beispiel Konfidenzintervall für σ Im Wägebeispiel aus der vorigen Vorlesung waren: n = 10, x = 10.1, s = = , die Werte werden als normalverteilt mit unbekanntem Erwartungswert µ und unbekannter Varianz σ angenommen. Dann sind mit den Quantilen χ 9;0.05 =.70, χ 9;0.05 = 3.33, χ 9;0.975 = 19.0 die Konfidenzintervalle zum[ Konfidenzniveau 1 α = 0.95 : zweiseitig für σ : I σ = ; ] = [0.063 ; ] ; [ ] zweiseitig für σ : I σ = ; = [0.16 ; ] ; [ einseitig (oben) für σ : I σ = 0 ; ] = [0 ; ] ; [ 3.33 einseitig (oben) für σ : I σ = 0 ; ] = [0 ; ]. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14 Version: 14. Juli

19 Asymptotische Konfidenzintervalle Die Konfidenzintervalle für den Erwartungswert bzw. die Varianz können als asymptotische Konfidenzintervalle auch für nicht-normalverteilte Merkmale (mit endlicher Varianz) genutzt werden, wenn der Stichprobenumfang n groß genug ist. Dabei genügt bei symmetrischen Verteilungen oft schon eine Anzahl von n 15 Stichprobenwerten, während bei schiefen Verteilungen oft n 30 noch nicht ausreicht. Auch eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p kann mit Hilfe eines solchen asymptotischen Konfidenzintervalls geschätzt werden. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14 Version: 14. Juli

20 Konfidenzintervall für eine Wahrscheinlichkeit p Aufgabe: Intervallschätzung der Wahrscheinlichkeit p eines Ereignisses A, also p = P(A). { 1, A tritt bei Beobachtung i ein, X i = (i = 1,..., n). 0, A tritt bei Beobachtung i nicht ein, Die Schätzgröße für p ist die relative Häufigkeit ˆp = X, dabei ist die absolute Häufigkeit X = nx binomialverteilt mit Parametern n und p. Mit Hilfe des Grenzwertsatzes von Moivre-Laplace kann man ein asymptotisches Konfidenzintervall I = [G u ; G o ] zum Konfidenzniveau 1 α konstruieren. Dieses kann für große Stichprobenumfänge n genutzt werden, als Faustregel gelten n ˆp > 5 und n(1 ˆp) > 5. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14 Version: 14. Juli 016 0

21 Konfidenzintervall für eine Wahrscheinlichkeit p Mit dem Quantil z 1 α 1 α erhält man [ 1 G u = n + z1 X + 1 α z 1 α [ 1 G o = n + z1 X + 1 α z 1 α der Standardnormalverteilung zum Niveau z 1 α + z 1 α ] X (n X ) + 1 n 4 z 1 α, ] X (n X ) + 1 n 4 z 1 α. Eine einseitige untere Konfidenzgrenze wäre dann z.b. gegeben durch [ 1 G u = n + z1 α X + 1 ] X (n X ) z 1 α z 1 α + 1 n 4 z 1 α. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14 Version: 14. Juli 016 1

22 Beispiel: Konfidenzintervall für p Aufgabe: Zur Schätzung des Ausschussanteils eines umfangreichen Lieferpostens werde diesem eine Stichprobe von 00 Teilen entnommen. Dabei wurden 190 einwandfreie Teile festgestellt. 1. Geben Sie eine Schätzung für den Ausschussanteil an.. Berechnen Sie ein Konfidenzintervall für den Ausschussanteil zum Konfidenzniveau 1 α = Größen zur Lösung: n = 00, x = = 0.05, absolute Häufigkeit x = 10, 1 α = 0.975, z = Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14 Version: 14. Juli 016

23 Klausur Statistik I für Betriebswirte Termin: Montag, 1. August 016, 7:30-9:30 Uhr. Es muss selbstständig gearbeitet werden. Als Hilfsmittel für die Prüfung ist außer Notebook und Handy alles zugelassen. Raumaufteilung: Alte Mensa AME 1001 Studiengang Betriebswirtschaftslehre mit Matrikelnummer größer gleich und Studiengang Betriebswirtschaftslehre für die Ressourcenwirtschaft; Audimax AUD 1001 Studiengang Business und Law ; DBI DBI-TZ Studiengang Betriebswirtschaftslehre mit Matrikelnummer kleiner und Studiengang Wirtschaftsingenieurswesen. Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 14 Version: 14. Juli 016 3

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