SONDERFORSCHUNGSBEREICH 504

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1 SONDERFORSCHUNGSBEREICH 504 Raionaliäskonzepe, Enscheidungsverhalen und ökonomische Modellierung No Random Walk oder Mean Reversion? Eine saisische Analyse des Kurs/Gewinn-Verhälnisses für den deuschen Akienmark Peer Albrech and Cemil Kanar Ocober 2003 Financial suppor from he Deusche Forschungsgemeinschaf, SFB 504, a he Universiy of Mannheim, is graefully acknowledged. Sonderforschungsbereich 504, risk@bwl.uni-mannheim.de Lehrsuhl f ür ABWL, Risikoheorie, Porfolio Managemen und Versicherungswirschaf, kanar@bwl.uni-mannheim,de Universiä Mannheim L 3,5 683 Mannheim

2 Random Walk oder Mean Reversion? Eine saisische Analyse des Kurs/Gewinn-Verhälnisses für den deuschen Akienmark von Peer Albrech und Cemil Kanar, Mannheim

3 I. Einführung Der klassische wahrscheinlichkeisheoreisch-saisische Ansaz zur Modellierung von Akienkursen is der (muliplikaive) Random Walk. Bei Güligkei der Random Walk-These sind die sukzessiven Periodenrendien nich korrelier, die weiere Kursbewegung is rein zufä l- lig. Fama/French (988), Lo/MacKinlay (988) sowie Poerba/Summers (988) waren die ersen Beiräge, in denen Hinweise dokumenier wurden, dass zwar über kurze und milere Fris die Random Walk-Hypohese für die Modellierung von Kursenwicklungen auf Akienmärken angemessen is, über lange Zeihorizone jedoch Mean Reversion-Effeke in Akienkurszeireihen exisieren. Mean Reversion charakerisier dabei die Tendenz von Werenwicklungen, nach einer zeilich begrenzen Abweichung vom Mielwer, langfrisig wieder zu diesem zurückzukehren. Dami werden Akienkurse zumindes langfrisig und bis zu einem gewissen Grad prognosizierbar. Die Ergebnisse dieser frühen Arbeien wurden in jüngerer Zei erhäre durch die Beiräge von Balvers/Wu/Gilliland (2000), Campbell/Viceira (999, 2002) sowie für den deuschen Akienmark akuell von Ebers (2003). Das Ziel der vorliegenden Ausarbeiung is es nun, weiere Erkennnisse über die Exisenz von Mean Reversion- Effeken auf dem Deuschen Akienmark, repräsenier durch den Akienindex DAX, zu gewinnen. Im Unerschied zu der bisherigen Vorgehensweise, bei der die Analysen auf der reinen Kurs- bzw. Rendieebene durchgeführ wurden, seh in der vorliegenden Ausarbeiung jedoch eine Fundamenalanalyse auf der Basis der Enwicklung des Kurs/Gewinn-Verhälnisses im Vordergrund. Eine Analyse auf der KGV-Ebene is aus unserer Sich zu präferieren, denn die Kursbildung auf Akienmärken is nowendigerweise in einem ökonomischen Konex zu sehen. Sie is das Ergebnis einer ökonomischen Bewerung und wird zenral beeinfluss durch die Gewinnenwicklung der jeweils beracheen Unernehmen. Die so gewähle Vorgehensweise knüpf an an die Ergebnisse in Albrech (200), der auf der Basis einer fundamenalen Analyse für den Deuschen Akienmark zu dem Schluss kam, dass die Random Walk-Hypohese über längere Zeiräume nich aufrecherhalen werden kann. Eine ensprechende Unermauerung dieser Erkennnis auf saisisch- Vgl. hierzu ewa Albrech/Maurer (2002, 4.2.2, 4.3.3) sowie Campbell/Lo/MacKinlay (997, 2.).

4 2 ökonomerischer Basis sand bisher jedoch noch aus und soll nun im Rahmen der vorliege n- den Arbei in Angriff genommen werden. II. Modellbildung Bezeichne man mi V die (diskree) zeiliche Enwicklung der ineressierenden Variablen, gemessen zu den Zeipunken = 0,,2,..., so besiz das Grundmodell 2 eines (arihmeischen) Random Walks mi Drif die Charakerisierung ( =,2,3,... ) V : = V V = m + Z, (a) wobei weierhin gil: E ( ) = 0, Z 2 Var ( Z ) = σ, ( Z, Z ) = 0 Cov. (b) Die absoluen Werveränderungen 3 (Zuwächse) über eine Periode (Mona, Jahr) lassen sich somi durch eine zeilich konsane Komponene, quanifizier durch den sog. Drifparameer m, beschreiben, die durch einen Zufallsprozess { Z } überlager wird. Die Forderung (b) besag, dass diese zufälligen Überlagerungen einen sog. Whie Noise-Prozess darsellen. Die Zufallsgrößen Z ( ) sind unkorrelier und idenisch vereil mi einem Erwarungswer von null und einer in der Zei konsanen Varianz. Insbesondere sind dami auch die Werveränderungen (Rendien 4 ) V = V V des Prozesses für aufeinanderfolgende Perioden nich korrelier. Vergangene und zukünfige Werveränderungen besizen somi keine sysemaischen (linearen) Abhängigkeien. Die üblichen linearen Prognoseechniken auf der Basis von Vergangenheisweren sind somi nich geeigne für Random Walks Vgl. hierzu ewa Albrech/Maurer (2002, S. 40 ff.). Bei der Anwendung dieser Modellbildung auf Akienkurse ensprich dabei V sandardmäßig den logarihmieren Akienkursen bzw. V der zeiseigen Periodenrendie. Äquivalen hierzu is das Modell eines muliplikaiven Random Walks, vgl. ewa Albrech/Maurer (2002, S. 4). Im vorliegenden Fall is dies eine absolue Rendie im Sinne eines absoluen Werzuwachses, gleiches gil aber für die relaive Variane ( V V V. Beim üblichen Übergang zu logarihmieren Kursen ensprich der zeiseigen Rendie ln( V ). V ) / / V

5 3 In explizier Form besiz der Random Walk die Darsellung V = v0 + m + Z Z. (2) Die zufällige Abweichung von dem Grunde nach linearen Trend enseh somi im Zeiablauf durch eine Akkumulaion der einzelnen Fehler (Schocks). Diese mögliche Aufschaukelung der Fehler führ dazu, dass die Abweichungen vom zugrunde liegenden Trend dem Grunde nach beliebig groß werden können. Insofern is die erwaree Enwicklung E( V ) v + m keine zuverlässige Prognose für die sich künfig realisierende Enwicklung. Das Random Walk-Modell beinhale daher im Kern eine Nich-Prognosizierbarkei der künfigen Werveränderungen. Shiller/Perron (985, S. 38) cha rakerisieren diese Random Walk-Eigenschaf folgendermaßen: In he finance conex, he random walk null hypohesis means ha price p can never be described as oo high (i.e., ha i can be expeced o fall in he fuure) or oo low (i.e., ha i can be expeced o rise in he fuure). In alernaiver Form wird dies ausgedrück 5 durch die Angabe der besen (im Sinne des mileren quadraischen Fehlers) Prognose. Es gil beim Random Walk = 0 E( V Z. (3) + s V, V,..., V0 ) = v0 + m( + s) + i= i Jeder vergangene Schock ha dami Auswirkungen auf alle zukünfigen Were. Die Form der zufälligen Überlagerungen der Gesamenwicklung V des Prozesses is beim Random Walk nich saionär, da die Überlagerung Z Z insaionär (in den Parameern) is. Durch Differenzenbildung, d.h. durch den Übergang zu den Zuwächsen gemäß (a) wird der Ra n- dom Walk allerdings saionär. Man bezeichne den Random Walk daher auch als differenzensaionären Prozess bzw. als inegrier von der Ordnung. Kommen wir dami zu möglichen Alernaiven der Random Walk-Hypohese mi dem Ziel der Modellierung von Mean Reversion-Effeken. Das Basismodell sind hier die auoregressiven Prozesse der Ordnung, kurz AR()-Prozesse. 5 Vgl. hierzu Franke e al. (200, S. 7).

6 4 Die Werenwicklung eines AR()-Prozesses besiz dabei die folgende Charakerisierung 6 ( =,2,3,... ; a < ): V m = a( V m) + Z, (4a) wobei der Überlagerungsprozess Z wiederum den Anforderungen gemäß (b) genüg. Uner der Bedingung a < is der AR()-Prozess ein saionärer Prozess. Die Bedingungsgleichung (4a) für den AR()-Prozess implizier, dass der Parameer m das langfrisige Miel des Prozesses darsell und der Werverlauf dieses Prozesses bei emporären Abweichungen auf dieses Langfrismiel hingezogen wird. Je größer der Parameer a, deso särker is die Elasiziä, mi der der Prozess zum Langfrismiel hingezogen wird. Für den Erwarungswer des Prozesses gil: E( V ) = m + a ( v0 m). (5a) In der Anwendung geh man dabei davon aus, dass der beobachee Prozess schon lange läuf bzw. eingeschwungen is und dami wegen lim a = 0 für a < approximaiv die Beziehung E( V ) = m (5b) gerechferig is. 7 Der Parameer a is zudem idenisch mi dem Auokorrelaionskoeffizienen. Ordnung des AR()-Prozesses, d.h. ρ ( V, V a. + ) = Äquivalen zur Darsellung (4a) is die folgende Charakerisierung eines AR()-Prozesses, die ebenfalls häufig in der Lieraur zu finden is 8 : V = c + av + Z. (4b) Dies erkenn man, wenn man (4a) explizi nach V auflös und dann c = m( a) sez. Die Charakerisierung (4b) zeig im Vergleich mi der Darsellung, dass der Random Walk ein Vgl. ewa Buscher (2002, S. 204 f.) oder Gujarai (995, S. 736 f.). Vgl. ewa Buscher (2002, S. 204). Vgl. ewa Franke e al. (200, S. 46 f.) oder Hamilon (994, S. 48).

7 5 Grenzfall des AR()-Prozesses für a is. Tess der Hypohese H : a gegen 0 = H : a <, sog. Einheiswurzel- oder Uni Roo-Tess, bilden ensprechend ein zenrales Insrumenarium zur Überprüfung der Kernfrage Random Walk oder Mean Reversion? der vorliegenden Ausarbeiung. Zugleich wird deulich, dass die Charakerisierung (4b) als Re g- ressionsgleichung mi der erklären Variablen V sowie der erklärenden Variablen V - inerpreier werden kann. Die Durchführung der ensprechenden Regression führ zu einer Besimmung der Parameer c bzw. a und dien als Ausgangspunk vieler Einheiswurzeless. Die Exisenz des Langfrismiels m, zu dem der AR()-Prozess hingezogen wird, beinhale zugleich den zenralen Unerschied zum Random Walk, bei dem es wie bereis ausgeführ (sysemaisch) zu beliebig großen Abweichungen vom zugrunde liegenden Trend kommen kann. In Termen der besen Prognose (im Sinne des mileren quadraischen Fehlers) gil 9 : s E( V+ s V, V,..., V0 ) = m + a ( V m). (6) Der Einfluss der momenanen Abweichung V m des akuellen Prozessweres vom Langfrismiel nimm somi mi geomerischer Rae ab, und insgesam näher sich die (bese) Prognose immer mehr dem Langfrismiel an. Prozesse mi einer allgemeineren auoregressiven Srukur sind die auoregressiven Prozesse p-er Ordnung, kurz AR(p)-Prozesse. Diese genügen der folgenden Charakerisierung: V + = c + a V a pv p Z. (7) Im Spezialfall p = ergib sich der AR()-Prozess. In der prakischen Anwendung ergib sich daher die Frage, bis zu welchem Lag p Vergangenheiswere noch auf den gegenwärigen Wer V einwirken. Diese Frage werden wir bei der Daenanalyse jeweils mi unersuchen. Schließlich wird in der Lieraur 0 als Alernaive zum Random Walk von Akienkursen noch die Überlagerung eines Random Walks mi einem ( slowly mean revering ) AR()-Prozess berache, um zu modellieren, dass auf kurze und milere Sich ein Random Walk vorlieg, 9 0 Vgl. ewa Hamilon (994, S. 80). Vgl. ewa Fama/French (988), Lo/MacKinlay (988) sowie für den deuschen Mark Löffler (2000).

8 6 auf lange Sich jedoch ein Mean Reversion-Effek wirk. Diesen Ansaz werden wir in dieser Arbei nich verfolgen, da es sich erweisen wird, dass für die saisische Analyse der Enwicklung des Kurs/Gewinn-Verhälnisses bereis die AR()-Variane valide is. III. Die Enwicklung des DAX-KGV: Exploraive Daenanalyse Ausgangspunk unserer Analyse is die in der (kommerziellen) Daenbank Daasream enha l- ene Zeireihe der Kurs/Gewinn-Verhälnisse des DAX auf Monasbasis. Um sowohl zu einem akuellen als auch repräsenaiven Sample zu kommen, legen wir den weieren Analysen ausgehend von dem akuells verfügbaren KGV-Wer des Monas 06/2003 eine 30-jährige Hisorie zugrunde, d.h. die analysiere Daenreihe beseh aus den KGV-Weren von 07/973 06/2003. Dies sind insgesam 360 Were. Sämliche saisische Auswerungen dieses und der weieren Abschnie wurden mi dem Ökonomerieprogramm EViews 4. durchgeführ. Abbildung zeig zunächs die Enwicklung dieser Zeireihe in einer graphischen Darsellung KGV_M Abbildung : Enwicklung des DAX-KGV von 07/73 06/03 auf monalicher Basis (Quelle: Daasream)

9 7 Wie die graphische Darsellung deulich mach, beweg sich das KGV auf Monasbasis wei überwiegend in einer Range von Werden diese Were uner- oder überschrien, wird früher oder späer eine Gegenreakion ausgelös, die die KGV-Were zurück in diese Range reib. Langfrisige Unerschreiungen eines KGV-Weres von 0 können ebenso wie längere Überschreiungen der Marke von 20 als Marküberreibungen gewere werden. Kurzfrisige Unerschreiungen der Marke von 0 sind in den Monaen 0/8, 09/0 und 03/03 zu konsaieren, eine längere Unerschreiungsphase is von 0/79 bis 05/8 zu verzeichnen. Der realisiere Tiefswer is 8.50 (dies geschah in den Monaen 0/8 und 02/8). Eher kurzfrisige Überschreiungen der 20er Marke sind zu konsaieren in den Monaen 04/93, 08/93 2/93, 06/ /97, 2/97, 02/98 07/98, 0/99, 06/0 + 07/0 sowie /0 + 2/0. Nur in der lezen Boomphase der Akienmärke is eine länger anhalende Überschreiung der Marke von 20 zu verzeichnen, konkre war dies die Periode 04/99 0/0. Der realisiere Maximalwer war dabei Schon eine erse Inspekion der empirischen Daenlage sprich dami durchaus für die Mean Reversion-These, denn es offenbar sich ein ypisches Rückkehrverhalen in die KGV-Zone Eine beliebige KGV-Seigerung bzw. beliebige KGV-Verminderung, wie sie bei einem Random Walk möglich wäre, is nich zu verzeichnen. Abbildung 2 enhäl die Häufigkeisvereilung der KGV-Were auf Monasbasis, dargesell in einem Balkendiagramm Series: KGV_ M Sample 973 : :06 O bservaions 360 Mean Median Maximum Minimum Sd. Dev Skewness Kurosis Jarque-Bera Probabiliy Abbildung 2: Balkendiagramm der Häufigkei der DAX-KGV-Were auf Monasbasis

10 8 Das Balkendiagramm und die dami verbundene Auswerung in EViews offenbaren einen mileren KGV-Wer auf Monasbasis in Höhe von 4.86 sowie einen Median von 4.5. Das opische Erscheinungsbild und die Höhe der Schiefe deuen darauf hin, dass keine Normalve r- eilung vorlieg, sondern eine rechsschiefe Vereilung. Formal wird dies besäig durch den Jarque-Bera Tes auf Vorliegen einer Normalvereilung. Der p-wer, d.h. die Wahrscheinlichkei für die Richigkei der Nullhypohese (hier: Normalvereilung) is null. Das Balkendiagramm zeig aber auch, dass eine Ausreißersiuaion in den Daen vorhanden is. Der KGV-Wer von im Mona 2/99 lieg um 4.30 Einheien über dem zweigrößen 2 KGV-Wer von im Mona /99. Diese Einschäzung wird besäig, wenn man die empirischen Quanile zusammen mi den ensprechenden Sandardfehlern berache. Dies is in Abbildung 3 fesgehalen. 32 Empirical Quaniles of KGV_M Abbildung 3: Empirische Quanile (inklusive Sandardfehler) der DAX-KGV-Reihe 07/73 06/03 2 Vgl. ewa Albrech/Maurer (2002, S. 6) oder Poddig e al. (2000, S. 38 ff.). Der Wer 24.9 selbs kann nich auch als Ausreißer angesehen werden, da auch KGV-Were von 24, 24.6 und 24.7 in der Daenreihe enhalen sind.

11 9 Aufgrund dieser Daensiuaion is es angezeig, den Ausreißer des Monas 2/99 zu bereinigen. Wir un dies im Wege der Suzung (runcaion), indem wir den KGV-Wer des Monas 2/99 auf den zweigrößen Wer der KGV-Reihe, d.h. 24.9, reduzieren. Die nachfolgende Tabelle enhäl nunmehr für die bereinige KGV-Reihe die Angaben über den Mielwer sowie ausgewähle Quanile. Mielwer Median 99%-Quanil 95%-Quanil 90%-Quanil 0%-Quanil 5%-Quanil %-Quanil Tabelle : Mielwer und Quanile der bereinigen DAX-KGV-Reihe 07/73 06/03 Nimm man das 0%-Quanil bzw. das 90%-Quanil als Maßsab für eine normale KGV- Range, so deck sich dies weigehend mi der bereis gegebenen visuellen Einschäzung, dass dies die Zone zwischen 0 und 20 is. Bei Verwendung des 5%- bzw. 95%-Quanils als Maßsab für eine normale KGV-Range wird diese Zone noch ewas ausgedehn. Kommen wir dami zu weiergehenden Elemenen einer exploraiven Daenanalyse, der Analyse des Korrelogramms. Das Korrelogramm enhäl die Auokorrelaionen des Prozesses, d.h. die Korrelaionen zwischen den zeilich versezen Gliedern der Zeireihe. Abbildung 4 enhäl das in EViews 4. erselle Korrelogramm.

12 0 Abbildung 4: Korrelogramm der bereinigen DAX-KGV-Zeireihe 07/73 06/03 Hinsichlich des Verlaufs der Auokorrelaionen in Abhängigkei von der zeilichen Ordnung zeig sich das ypische 3 monoon abklingende Verhalen eines AR()-Prozesses mi einem posiiven Parameer a. Die Auokorrelaionen sind dabei signifikan, wie aus den Weren des Ljung/Box-Tess 4 (Q-Saisisk, Pormaneau-Tes) ersichlich. Die ensprechenden p-were, d.h. Wahrscheinlichkeien für eine Ablehnung der Nullhypohese (hier: signifikane Auokorrelaionen für alle Ordnungen bis 36) sind sämlich null. Auch die Tasache, dass nur die parielle Auokorrelaion erser Ordnung signifikan is, deue klar auf einen AR()-Prozess hin. Kommen wir nun zum Korrelogramm der ersen Differenzen der KGV-Reihe, d.h. dem Korrelogramm des Prozesses V V }. Abbildung 5 enhäl die ensprechenden Were. { 3 4 Vgl. hierzu ewa die Illusraion in Buscher (2002, S. 56) oder Hamilon (994, S. 50). Zum Ljung/Box-Tes vgl. ewa Buscher (2002, S. 50 f.) oder Campbell e al. (997, S. 47).

13 Abbildung 5: Korrelogramm der ersen Differenzen der KGV-Zeireihe 07/73 06/03 Es zeig sich, dass die einzelnen Auokorrelaionen zwar nich signifikan (uner dem von E- Views verwendeen Sandard-Signifikanzniveau von 5%) sind. Zieh man aber die besehenden Korrelaionen in ihrer Gesamhei in Berach, so lieg eine Signifikanz vor. Dies offenbar der Ljung/Box-Tes (Q-Saisik). Die ensprechenden p-were zeigen, dass die Nullhypohese H 0 : Alle Auokorrelaionen bis einschließlich der Ordnung n sind null, für alle Ordnungen bis n = 36 sowohl zum %- als auch zum 5%-Signifikanzniveau abgelehn wird. Nur zum 0%-Signifikanzniveau gib es einzelne Ordnungen, die nich zur Verwerfung der Nullhypohese führen. Nimm man das 5%-Signifikanzniveau als sandardmäßigen Maßsab, so sprich dieses Ergebnis eindeuig gegen das Vorliegen eines Random Walks, denn für diesen sell die Zeireihe der ersen Differenzen gemäß (a) einen Whie Noise- Prozess dar. Dies beinhale, dass sämliche Auokorrelaionen gleich null sein müssen.

14 2 IV. Spezifikaion und Analyse der Basis-Regressionsgleichung Die Regressionsgleichung (4b) is die Basisgleichung zur Spezifikaion eines AR()- Prozesses. Die Durchführung dieser Regression in EViews 4. führ zu den in Tabelle 2 enhalenen Ergebnissen. Regressionsgleichung: V + Z = c + av Variable Koeffizien Sd. Fehler -Wer p-wer c a R-Quadra Durbin Wason-Sa R-Quadra adjusier p-wer (F-Saisik) Tabelle 2: Spezifikaion der AR()-Regressionsgleichung für die DAX-KGV-Reihe 07/73 06/03 Zunächs ergib sich, dass die idenifiziere Regressionsgleichung die Form V 0 + Z (8a) = V besiz. Die Parameer c = und a = sind beide eindeuig signifikan. Der p-wer gib an, dass die Nullhypohese (hier: Parameerwere ungleich null) selbs auf einem Konfidenzniveau von 0.5% verworfen werden muss. Der R 2 -Wer für die Güe der Anpassung lieg sowohl unmodifizier als auch modifizier über 90%, d.h. die Regression erklär über 90% der empirischen Gesezmäßigkei. Auch die Durbin/Wason-Saisik 5 lieg sehr in der Nähe ihres Idealweres von 2. Dies bedeue, dass die Residuen nich korrelier und die ausgewiesenen Schäzwere somi valide sind. Auch die F-Saisik, die ese, ob die Regressionskoeffizienen simulan gleich null sind, führ zu einer Verwerfung dieser Annahme, der ensprechende p-wer is null. Zur Erklärung der Hypohese, dass die Residuen nich auokorrelier und dami die gewonnenen Schäzwere valide sind, führen wir nochmals zusäzlich den Lagrange Muliplier-Tes von Breusch/Godfrey 6 auf Auokorrelaion durch. Die ensprechend in EViews 4. gewonnenen Ergebnisse sind in Tabelle 3 enhalen. Erfass werden dabei Auokorrelaionen bis zur Ordnung Zur Durbin/Wason-Saisik und ihrer Inerpreaion vgl. ewa Poddig e al. (2000, S. 297 ff.). Zum Breusch/Godfrey-Tes vgl. ewa Kähler (2002, S. 04 ff.).

15 3 Variable Koeffizien Sd.-Fehler -Wer p-wer c a RESID(-) RESID(-2) RESID(-3) RESID(-4) F-Saisik p-wer (F-Saisik) Tabelle 3: Breusch/Godfrey-Tes auf Auokorrelaion in den Residuen Auch der Breusch/Godfrey-Tes besäig nochmals die Validiä der vorgenommenen Spezifikaion der Regressionsgleichung (4b). Sämliche p-were befinden sich oberhalb von 0.0, d.h. zu den Konfidenzniveaus von 0% und daruner muss die Nullhypohese (hier: Auokorrelaion in den Residuen) verworfen werden. Der Wer des Regressionskoeffizienen a in Höhe von lieg unerhalb des kriischen Weres von a =, der im Falle eines Random Walk vorlieg, allerdings nich sehr deulich. Inwiewei der Wer a = saisisch signifikan unerschrien wird, wird im Rahmen der sog. Einheiswurzel- bzw. Saionariäsess unersuch. Dies geschieh im nächsen Abschni. Bringen wir nun die spezifiziere Regressionsgleichung in die äquivalene Form eines AR()- Prozesses gemäß (4a). Aufgrund von c = m( a) ergib sich die folgende Repräsenaion: V 4.80 = ( V 4.80) + Z. (8b) Der langfrisige Gleichgewichswer des AR()-Prozesses is dami ein KGV-Wer von m =4.80, auf den die empirischen KGV-Were im Zeiablauf hingezogen werden. Der langfrisige Gleichgewichswer lieg somi sark in der Nähe des Mielwers der KGV-Reihe in Höhe von Über die bisherigen Analysen, die mehr einen exploraiven Charaker aufweisen, soll nun im folgenden Abschni eine weiergehende saisische Subsaniierung des Vorliegens eines AR()-Prozesses vorgenommen werden. Das saisische Insrumenarium hierfür bilden die sog. Einheiswurzeless (Uni Roo Tess).

16 4 V. Einheiswurzeless Die Sandardvorgehensweise zur Überprüfung der Hypohese H : V + Z (Random Walk) 0 = c + V gegen die Hypohese (9a) H + : V = c + av Z a < bzw. kurz H : a gegen H : a (9b) 0 = < sind die sog. Einheiswurzeless. 7 Die erse Generaion von Einheiswurzeless wurde von Dickey/Fuller (979) enwickel. In allgemeiner Spezifikaion 8 (Augmened Dickey/Fuller (ADF)-Tes) wird der Prozess p = c + + a V + ( ) i= V V µ a V + Z (0) i i berache, d.h. es werden ein Trenderm µ sowie p verzögere Differenzerme der rechen Seie der Regressionsgleichung hinzugefüg. Dami wird das Vorliegen eines differenzensaionären AR(p-)-Prozesses gegen die Alernaive eines rendsaionären AR(p)-Prozesses ü- berprüf. Im vorliegenden Fall kann das Aufreen eines Trenderms aus ökonomischen Gründen a priori ausgeschlossen werden, denn dies würde bedeuen, dass das KGV im Miel sysemaisch über einen längeren Zeiraum seigen oder fallen würde. Die saisisch relevane Anzahl an verzögeren Termen is Teil der saisischen Idenifikaion. Im Falle, dass dabei ein saisisch signifikanes Lag der Länge null idenifizier wird, reduzier sich (0) auf den Basisfall (9a). Die Anwendung von Uni Roo-Tess zur Überprüfung der Random Walk-Hypohese unerlieg der Kriik. 9 Zum einen umfass die Nullhypohese weiere Prozesse als den reinen Ran Vgl. hierzu ewa Hamilon (994, Kapiel 7) sowie Kugler (2002, S. 264 ff.). Vgl. Kugler (2002, S. 268). Vgl. ewa Campbell e al. (997, S 64 f.) sowie Hamilon (994, S. 444 ff.).

17 5 dom Walk, zum anderen gib es zu jedem Uni Roo-Prozess eine saionäre Variane, die auf der Basis einer endlichen Sichprobe nich saisisch unerscheidbar is. Schließlich weis die erse Generaion von Uni Roo-Tess eine geringe Mach 20 (Wahrscheinlichkei für die Verwerfung von H 0, wenn H korrek is) auf. Unser Ziel is aber nich die generelle Falsifikaion des Random Walk. Für unsere Zwecke genüg es, wenn das Alernaivmodell AR()-Prozess die Daen saisisch signifikan besser repräsenier. Der Kriikpunk der geringen Mach is zudem nich mehr relevan für moderne Varianen der Einheiswurzeless, wie sie ewa von Ellio/Rohenberg/Sock (996) und Ng/Perron (200) enwickel worden sind und die sandardmäßig uner EViews 4. zur Verfügung sehen. Kommen wir dami zu einem ersen Tes von (9), einer modifizieren Variane 2 des (Augmened) Dickey/Fuller-Tess nach Ellio/Rohenberg/Sock (ERS). Die Ergebnisse der Durchführung dieses Tess in EViews 4. sind in Tabelle 4 enhalen. Exogene Variable: Konsane Lag-Länge: 0 (SIC, MAXLAG = 6) DF-GLS Saisik Kriische Were: % Niveau % Niveau % Niveau Tabelle 4: Augmened Dickey/Fuller-GLS-Tes Zunächs is feszuhalen, dass, wie schon beim ADF-Tes, die Were der Tessaisik die kriischen Were unerschreien müssen, dami die Nullhypohese verworfen werden kann. Dies is vorliegend der Fall, der Wer der Tessaisik (einer Variane der -Saisik) lieg jeweils (deulich) unerhalb der kriischen Were (nach MacKinnon) zum 0%-, 5%- und %- Konfidenzniveau. Zum zweien is feszuhalen, dass die Wahl der adäquaen Lag-Länge nach dem Schwarz-Informaion Crierion 22 (SIC) zu einer Lag-Länge von null führ. Das saisisch präferiere Alernaivmodell is somi wie erhoff der AR()-Prozess Vgl. ewa Ebers (2002, S. 56). Die Grundidee beseh dabei darin, den ADF-Tes auf die ensprechend miels eines Generalized Leas Squares (GLS)-Ansazes rendbereinigen Daen anzuwenden, deswegen räg der Tes in EViews 4. die Bezeichnung GF-GLS Tes. Das Schwarz-Informaion Crierion is bei EViews sandardmäßig voreingesell. Aber auch die Wahl eines alernaiven Krieriums (Akaike, Hannan-Quinn, Modified Akaike, Modified Schwarz, Modified Hannan-Quinn) führ zu demselben Resula.

18 6 Als zweien Tes berachen wir den ebenfalls von ERS enwickelen ERS Poin-Opimal Uni Roo-Tes. 23 Das Resula is in Tabelle 5 enhalen. Exogene Variable: Konsane Lag-Länge: 0 (Specral OLS AR based on SIC, MAXLAG = 6) Ellio-Rohenberg-Sock Saisik.589 Kriische Were: % Niveau % Niveau % Niveau Tabelle 5: ERS Poin-Opimal Uni Roo-Tes Wiederum muss die Tesgröße einen Wer unerhalb der kriischen Were annehmen, dami die Nullhypohese (Random Walk) verworfen wird. Dies is vorliegend der Fall, ebenso is die saisisch adäquae Lag-Länge gleich null. Die saisisch präferiere Alernaive is somi wiederum der AR()-Prozess. Ng/Perron (200) enwickelen schließlich eine ganze Baerie von (insgesam vier) Tess, Varianen des M-Tess von Perron/Ng (996), zur Überprüfung der Einheiswurzelhypohese mi erhöher Mach. 24 Die Resulae uner EViews 4. sind in Tabelle 6 enhalen. Exogene Variable: Konsane Lag-Länge: 0 (Specral GLS -derended AR based on SIC, MAXLAG = 6) MZa MZ MSB MPT Ng-Perron Saisiken Asymp. kriische Were: % Niveau % Niveau % Niveau Tabelle 6: Ng/Perron Modified M-Tes Das Resula besäig eindrucksvoll die bisherigen Ergebnisse. Bis auf Tes Nr. 3 (MSB), bei dem die Nullhypohese zum %-Konfidenzniveau allerdings exrem knapp nich verwo r- fen werden kann, wird in allen anderen Fällen die Nullhypohese verworfen. Die saisisch adäquae Lag-Länge is wiederum null. Insgesam is feszuhalen, dass bei allen der durchgeführen Einheiswurzeless eindeuig der AR()-Prozess aus saisischer Sich die Daen besser repräsenier als der Random Walk Für die Deails müssen wir an dieser Selle auf Ellio e al. (996) verweisen. Für Deails muss an dieser Selle wieder auf Ng/Perron (200) verwiesen werden.

19 7 VI. KPSS-Tes auf Saionariä Im Unerschied zu den Einheiswurzeless überprüf der Tes von Kwiakowski/Phillips/Schmid/Shin 25 (992) die Nullhypohese der (Trend-)Saionariä und verausch dami die Hypohesen. Die Ergebnisse der Durchführung des KPSS-Tess in EViews 4. sind in Tabelle 7 enhalen. Exogene Variable: Konsane, linearer Trend Bandweie: 4 (Newey-Wes using Barle kernel) KPSS-Saisik Asymp. kriische Were: % Niveau % Niveau % Niveau Variable Koeffizien Sd.-Fehler -Wer p-wer Konsane Trend Tabelle 7: KPSS-Tess auf (Trend-)Saionariä Das Ergebnis des KPSS-Tess führ zu einer Nich-Verwerfung der Nullhypohese, da die KPSS-Saisik die kriischen Were nich überseig. Der Random Walk-Fall kann somi ve r- worfen werden. Der KPSS-Tes idenifizier zwar noch einen (minimalen) Trend, dies kann aber wie bereis ausgeführ aus ökonomischen Gründen a priori ausgeschlossen werden. VII. Anwendung: Eine DAX-Projekion In diesem Abschni sollen nunmehr noch die Implikaionen des Vorliegens eines AR()- Prozesses auf KGV-Ebene für die Prognose der weieren DAX-Enwicklung aufgezeig werden. Ansazpunk hierfür is zunächs die in Abschni 4 idenifiziere Regressionsgleichung (8b) und der dami verbundene langfrisige Gleichgewichswer des AR()-Prozesses in Höhe des KGV-Weres von Als weierer Ausgangspunk dienen die empirischen Verhälnisse per Ulimo Zu diesem Zeipunk is ein DAX-Sand von zu verzeichnen, das zugehörige DAX-KGV weis einen Wer von 0.90 auf. Gemessen am 0%-Quanil in Höhe von 0.8 der KGV-Reihe, vgl. Tabelle, war dami der DAX prakisch an der Grenze zu einer sysemaischen Unerbewerung. Gegeben diese Ausgangssiuaion beräg die rechnerische 25 Vgl. auch ewa Franke e al. (200, S. 75 f.) oder Kugler (2002, S. 275 f.).

20 8 Gewinngröße pro DAX-KGV-Punk Uner Anwendung des langfrisigen Gleichgewichsweres für die DAX-KGV-Reihe in Höhe von m =4. 80, ergib sich daraus ein ensprechender DAX-Sand von Dies beinhale zunächs eine DAX-Prognose bei Anwendung des Gleichgewichs-KGVs und bei unveränderer Gewinnsiuaion. Eine DAX- Projekion uner Berücksichigung des künfigen Gewinnwachsums erhäl man des Weieren auf die folgende Weise. Bezeichne man mi K den DAX-Kurs zum Zeipunk und Gewinn zum Zeipunk, so ergib sich das Kurs/Gewinn-Verhälnis zu G den (akkumulieren) DAX- KGV zum Zeipunk KGV = K / G. Für die relaive Kursveränderung zweier aufeinander folgender Perioden gil dann K+ KGV+ G+ K = (a) KGV G und dami K KGV G = K (b) KGV G Der projiziere DAX-Sand häng somi ab vom KGV-Wachsum, vom Gewinnwachsum und vom angenommenen Sarwer des DAX. Ausgangskurs K und Ausgangs-KGV KGV sind bekann. Als KGV zum Zeipunk + wäre das Gleichgewichs-KGV in Höhe von 4.80 zu wählen. Offen is dami nur noch die Subsaniierung der Gewinnwachsumsrae. Diese kann man auf Basis der Beziehung G = K / KGV aus den ensprechenden Weren der Daasream- Daenbank für die Enwicklung des DAX sowie des DAX-KGVs berechnen. Für die Jahre ergib sich dabei ein durchschnilicher (geomerisches Miel) Wer von 6.46%. Uner Ansaz dieses mileren Weres sowie der sonsigen bereis spezifizieren Annahmen ergib sich auf der Basis der Beziehung (b) ein prognosizierer DAX-Sand von Diese Vorgehensweise nimm eine einjährige Sichweise ein, d.h. unersell, dass das milere DAX-Wachsum für eine Projekionsperiode von einem Jahr wirksam is. Ensprechend kann man vorgehen, wenn man einen mehrjährigen Projekionszeiraum ansez und unersell, dass das angenommene milere DAX-Gewinnwachsum in Höhe von 6.46% über den gesamen Projekionszeiraum gülig is. Die Wahl eines mehrperiodigen Projekionszeiraums is