Wie groß muss meine Stichprobe sein, damit sie repräsentativ ist? Wie viele Einheiten müssen befragt werden? Was heißt "Repräsentativität"?

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1 Wi groß muss mi Stichprob si, damit si rprästativ ist? Wi vil Eihit müss bfragt wrd? Was hißt "Rprästativität"? vo Ptr vo dr Lipp (Fbruar 0) Stichwort: Stichprobumfag, Stichprobplaug, Rprästativität, gschichtt Stichprob, Stichprobfhlr, Zufallsauswahl, Atwortausfäll bi Stichprob Ihalt Sit Eiführug. Di Lhrbuchforml für i ifach Stichprob 3. Plaug dr Stichprobumfäg für di Schicht ir gschichtt Stichprob (mit Forml für di ifach Stichprob) 6 a) Auswahlsat idirt proportioal um Schichtumfag 6 b) Gsamtstichprob umso größr j mhr Schicht utrschid wrd 7 c) Gwollt odr ugwollt osqu? 7 d) Di parado rschid Ergbiss sid glichwohl osqut 8 3. Plaug dr Stichprobumfäg für di Schicht mit d Forml für di gschichtt Stichprob 0 a) Übrsicht b) Grudlgd opt ud Zusammhäg bi gschichtt Stichprob c) Gsamtstichprobumfag bi gwüschtr Größ ds Stichprobfhlrs ds 3 Gsamtmittlwrts d) Auftilug ir Stichprob vom ggb Gsamtumfag auf di 8 Schicht ) Vrglich mit dr Stichprobplaug ach Absch. ud 0 4. Dr Bgriff "Rprästativität" 4 a) Struturopt dr Rprästativität (RS) ud dr Stichprobfhlr (SF) 4 b) Das Miiaturopt dr Rprästativität (RM) 7 c) Das Stllvrtrtr (Vi) opt dr Rprästativität (RV) 8 d) "Covrag" odr Arch-oah opt dr Rprästativität (RA) 9 ) Das ichtsltivitätsopt dr Rprästativität (R) 30 f) Zufallsauswahl ud Stichprobfhlr (SF) 3 g) Bdutug ds Auswahlrahms für di Rprästativität 3 5. ichtbatwortug, Fhlr ud Hochrchug 3 a) Fhlrart 3 b) Echt Atwortausfäll (o-rspos) ud Hochrchug 33 Ahag 35. Rlativ Fhlr ud Variatiosoffiit 35. Glich Auswahlsät (proportioal Auftilug ds gsamt Stichprob ) sid optimal w ma glich Varia i all Schicht aimmt 3. Hrlitug ds Schichtugsffts 37 36

2 Ptr vo dr Lipp: Wi groß muss mi Stichprob si, damit si "rprästativ" ist? Wi groß muss mi Stichprob si, damit si rprästativ ist? Wi vil Eihit müss bfragt wrd? Was hißt "Rprästativität? Eiführug vo Prof. Dr. Ptr vo dr Lipp Di im Thma gat Frag ghör u d Frag, di im als Statistir wohl am häufigst gstllt wrd. Glichwohl ist s icht immr bfridigd, was ma dau sag a, odr was ma hiru i Lhrbüchr fid a. Es ist dshalb sichr icht uüt, sich darübr Gda u mach, was ma vtl. dm Pratir rat a, w r i Stichprob plat ud auf wlch Put ma ih aufmrsam mach sollt, di bsodrs u bd sid. Di folgd Darstllug will vrsuch, i dism Si mit i paar pratisch Tipps für di Stichprobplaug witr u hlf. Wir bgi im Absch. mit Forml, di i vil Lhrbüchr sth, ud di dshalb i dr Prais sousag di rst Wahl sid, isbsodr da, w übr di Vrtilug dr rlvat Mrmal (bw. ds bsodrs rlvat Mrmals X) i dr Grudgsamthit (isbsodr übr di Varia ) wig bat ist. Wir ig da abr (Absch. ) iig itrssat ud gradu parado amutd Impliatio dr ifach Forml dr Lhrbüchr, w ma si auf i gschichtt Stichprob awdt, also mit ih d otwdig Stichprobumfag gtrt für jd Schicht abschät möcht. Es igt sich allrdigs, dass solch Impliatio wi.b. di, dass dr Auswahlsat umso größr si sollt, j lir di btrffd Schicht ist, 3 odr dass sich dr Stichprobumfag aum ädrt, w di Schicht, aus dr ma di Stichprob iht.000 odr Eihit thält, durchaus osqut ud iswgs übrraschd sid, w ma i Forml, di uächst ur für d Fall ir ifach (icht gschichtt) Stichprob gdacht ist auf d Fall dr gschichtt Stichprob awdt. Es wär da osqut, u fordr, stattdss di Forml für di gschichtt Stichprob auwd, bi dr Awdug da auch di "parado" Impliatio icht auftrt. Di lhrbuchmäßig Darstllug dr gschichtt Stichprob (di hir i Absch. 3 ur rsümirt wird) ist abr ur bdigt hilfrich; d s igt sich, dass dis Forml i Plaug ds Stichprobumfags ur da vrbssr ö, w ma übr usätlich tiss, bw. plausibl Aahm hisichtlich dr Struug dr Variabl vrfügt (isbsodr auch was di Varia irhalb dr Schicht,,..., btrifft), di Thori dr gschichtt Stichprob i adr Fragstllug bhadlt: s ght hir icht um di Güt dr Schätug dr Mittlwrt µ vo il Schicht (,..., ) als solch (für sich gomm) aufgrud dr Stichprobschätwrt, so- ur wg dr gbot ür vricht ich darauf, di Pratiri usätlich um Pratir u. Ei gschlchtsutral Bichug, twa di "Pratiird" (aalog u d "Studird") schi mir auch icht sodrlich hilfrich u si. Dr Tt ist um groß Til aus ir lägr itr oti für Hrr Dr. Domii Graf vo Stillfrid, dm Litr ds Ztralistituts für di assärtlich Vrsorgug i dr Budsrpubli Dutschlad tstad. 3 ud umghrt sollt dr Auswahlsat li si bi ir groß Schicht.

3 Ptr vo dr Lipp: Wi groß muss mi Stichprob si, damit si "rprästativ" ist? 3 dr um di Schätug ds Gsamtmittlwrts als Mittl aus all dis Schichtmittlwrt,,...,. 4 I Absch. 3 wrd darübr hiaus abr auch och iig witr itrssat Zusammhäg btrachtt, di für gschichtt Stichprob glt. Adr,.T. rhblich ompliirtr Stichprobdsigs, wi lumpstichprob odr mhrstufig Stichprob wrd i dism rcht lmtar Tt allrdigs icht bhadlt. I Absch. 4 wird auf d Bgriff dr Rprästativität (i Ausdruc dr Alltagssprach, icht dr Statisti) ud im Abschitt 5 abschlißd auf iig Problm im Zusammhag mit Fhlr, Atwortausfäll ud Hochrchug (ur achträglich Apassug dr Strutur dr Stichprob a di Strutur dr Grudgsamthit) iggag. Dr Bgriff "Rprästativität" (i ausgsproch icht-statistischr Sprachgbrauch) ist icht ur ular, sodr r vrführt auch u offsichtlich uhaltbar ud ri gfühlsmäßig Schlüss ach dr Art: "ur 00 Bfragt a icht rprästativ si". Statt vo "Rprästativität" u sprch ist s i dr Fachtrmiologi üblich (ud, wi gigt, auch alli sivoll), das opt ds "Stichprobfhlrs" (SF) bi dr Burtilug ds Stichprobumfags is Spil u brig. Wir bgi dshalb m Absch. mit Forml, i d aus SF abglitt ist. 5 Dabi soll uächst och dr problmatisch Bgriff dr "Rprästativität" (bis Abschitt 4) urücgstllt wrd.. Di Lhrbuchforml für i ifach Stichprob Als Forml für d midsts rfordrlich Stichprobumfag (twa bi ir gplat Bfragug) fidt ma mist 6 (), wori Ausdruc dr Sichrhit, wi.b. 90% odr 95% ist, bw. dr Irrtumswahrschilichit (das Sigifiaivau) darstllt, was da tsprchd 0% odr 5% wär. Dr Btrachtug ligt i dr Rgl di ormalvrtilug ugrud ud di -Wrt sid da (bi dr hir üblich Aahm is symmtrisch wisitig bgrt Itrvalls): Sichrhit 90%, %,96 99%,5758 Di Größ stllt di Varia ds itrssird Mrmals X dar ud (rror) di absolut Gauigit (twa 00, w i Gauigit ds u schätd Mittlwrts µ dr Grudgsamthit i Höh vo ± 00 gwüscht wird). Wil s bi ir Stichprobbfragug i dr Rgl i groß Zahl vo abgfragt Mrmal gibt (di im utrschidlich Maß stru), ud übr di Grudgsamthit aus dr di Stichprob gog wrd soll mist ichts bat ist, stll sich glich wi Frag. Wlchs mir Mrmal soll ich bi u Grud lg? 4 Das war mir bislag icht so bwusst ud rlärt auch dass ma sowohl di parado rschid Ergbiss vo Absch. als auch ga adr Ergbiss mit d Forml dr gschichtt Stichprob glichrmaß als logisch osqu dr btrffd (utrschidlich) Aufgabstllug rhält. 5 Dr rfordrlich Stichprobumfag hägt u.a. vo dr Struug ds itrssird Mrmals i dr Grudgsamthit ab. Im Etrmfall ir Varia vo ull (lautr glich Eihit) richt i Stichprob vo aus. 6 Zu Variat Forml vgl. Ahag.

4 Ptr vo dr Lipp: Wi groß muss mi Stichprob si, damit si "rprästativ" ist? 4. Wlch Zahlwrt a ma für ast, wo ma doch d wahr Wrt i dr Grudgsamthit icht t? Zu gibt s wohl i brauchbar Atwort. Ma öt argumtir, s soll i bsodrs "wichtigs" Mrmal si, odr s soll, um sichr u gh, di Varia dsjig Mrmals si, das bsodrs star strut. Was Frag btrifft, so wird gr Zuflucht gomm u ir och u bsprchd Forml (Glichug ud 5) mit dr ma ur Sichrhit i mist vil u groß Wrt für rhält. Bssr ist s, w ma i dr aghm Situatio ist, i wit odr dritt Bfragug dr glich Art (also i Palbfragug) durchführ u ö, dass ma da (vrsuchswis) d Wrt dr rst odr wit (also jwils dr ltt) Bfragugs-"Wll" hm a. Vrfügt ma icht übr solch Dat a s wi im Ahag gigt wird vtl. bssr si, mit Aahm übr d rlativ statt dm absolut Fhlr () ud übr d Variatiosoffiit statt übr (wi i Gl. ) u oprir. I jdm Fall wird ma statt dr wahr Varia i gschätt, agomm odr aufgrud frührr Erhbug u vrmutd Varia ˆ ist. Di Aussag vo Gl. ist ituitiv vrstädlich. Daach hägt di Größ ab vo. dr quadrirt Gauigit, dfiirt aufgrud ds absolut Fhlrs 7 (groß Gauigit hißt lir Fhlr, so dass di Gauigit quasi / ist),. dr Sichrhit, dr jwils i bstimmtr Wrt ugordt ist ud 3. dr Homogität dr Grudgsamthit. Mit dm "Fhlr" ist hir di halb Brit ds ofiditrvalls gmit. Dr Bgriff ist jdoch icht idutig. Utr dm "Stichprobfhlr" (SF) wird üblichrwis (ud so auch im Folgd) di Stadardabwichug, bw. di (aufgrud dr Stichprob) gschätt Stadardabwichug ˆ dr Stichprobvrtilug (Vrtilug allr möglich Stichprob vom Umfag, di ma aus ir Grudgsamthit vom Umfag ih a) vo vrstad ud ist da das Produt. Das ofiditrvall für d mit gschätt Mittlwrt µ dr Grudgsamthit hat batlich bi ir vo dr Irrtumswahrschilichit ( Sigifiaivau) α abhägig Sigifiaschra α di Gr 8 ± α ˆ ± ud dr Stichprobfhlr (SF) ist ggb mit (a) ˆ ˆ bw. bi ˆ ˆ (b) ˆ, was wi Gl. darauf bruht, dass ˆ ach aufglöst wurd. Es ist umittlbar isichtig, dass umso lir si a, j homogr di Grudgsamthit ist. Sid dort all Elmt büglich ds Mrmals X glich, da ist 0 ud s richt, wi brits gsagt, i Stichprob vo u ih, um di Grudgsamthit ompltt ud mit Sichrhit (Wahrschilichit ) u. Gl. () igt, dass dirt proportioal u ud ist. Ei größr Sichrhit ud i wigr homog Grudg- 7 ist di halb Läg ds (symmtrisch wisitig) Schwaugsitrvalls (bi Vrwdug vo ), bw. ofiditrvalls w für dr tsprchd Schätwrt aufgrud dr Stichprob vrwdt wird. Di tsprchd Forml () bis (4) bruh all auf ir ifach Umformug dr Glichug für. 8 Im Folgd, wi auch i Gl. schrib wir dr Eifachhit halbr ur statt α. Dr (absolut) Stichprobfhlr SF bstimmt icht ur di Brit ds ofiditrvalls sodr auch di Tsttschidug bi Hypoths übr µ.

5 Ptr vo dr Lipp: Wi groß muss mi Stichprob si, damit si "rprästativ" ist? 5 samthit vrlag i größr Stichprob. Etsprchd ist proportioal u / (also idirt proportioal u ), d.h. mhr Gauigit (lirs, größrs /) bdutt größrr Stichprobumfag. Das Problm, das mit () vrbud ist, ist dass ma i.d.r. i tiss übr di Größordug vo hat (außr > 0), w X i Mrmal ist, das "quatitativ" ist (d.h. mtrisch salirt ist ud blibig vil Abstufug hat). 9 Aghmr ist i disr Hisicht i "qualitativs" Mrmal mit Mrmalsausprägug, für di mist icht i Ordug istirt (.B. bim Familistad ist "ldig" icht mhr odr "bssr" als "vrhiratt") ud bi d ma sich für di Wahrschilichit π ds Auftrts ir bstimmt disr Ausprägug itrssirt. I dism Fall tritt π(-π) a di Stll vo ud wil für di Wahrschilichit π gilt 0 π ist di Varia hir (im Utrschid u ) ach ob bgrt π(-π) ¼. Ma a da abschät wil jtt durch π(-π) u rst ist () ( - π) π ud π ( π) 4 Di mist Bfragug thalt b "quatitativ" Mrmal auch "qualitativ", so dass ma sich mit /4 (/) auf dr sichr Sit fühl a (vgl. abr auch Ahag ). Variat vo () ud () sid di Edlichit dr Grudgsamthit brücsichtigd 0 (3) mit + * (4) mit * π(-π) * + Dr Eifluss vo π auf d Stichprobumfag ach Gl. 4 ist rhblich ,0 π (odr - π) π (- π) 0,05 0,95 0,0475 8,65 0, 0,9 0,09 34,75 0, 0,8 0,6 60,5 0,3 0,7 0, 77,49 0,4 0,6 0,5 87,59 0,03 0,05 0,07 0,09 0, 0,3 0,5 0,7 0,9 0, 0,3 0,5 0,7 0,9 0,3 0,33 0,35 0,37 0,39 0,4 0,43 0,45 0,47 0,49. I dr bsthd Tabll (ud dr Graphi darutr) ist mit 000, 0, ud grcht word. Wi ma siht, ist dr Zusammhag icht liar ud dr Stichprobumfag a rhblich lir si, w sich di rlvat Atil um 0, (0,9) odr 0, (0,8) bwg statt um 0,5. Es ist auch offsichtlich, dass daach dr Stichprobumfag ach Maßgab dr Varia π (- π) uimmt, gauso wi dis auch gm. () bi uhmdr Varia dr Fall ist. Er dürft bi disr Art dr Abschätug vo (ach Gl. ) übrhaupt twas u groß si (vgl. auch Ahag ). 9 Ma spricht i dism Fall auch vo "htrograd" ud bi "qualitativ" (odr "atgorial") Mrmal vo "homograd". 0 Es sid di Fäll vo Zih oh (statt mit) Zurüclg (ZoZ statt ZmZ), j achdm ob i Edlichitsorrtur icht rfordrlich ist (ZmZ) odr rfordrlich ist (ZoZ). Mit strbt (3) gg (), (4) gg ().

6 Ptr vo dr Lipp: Wi groß muss mi Stichprob si, damit si "rprästativ" ist? 6 Mit rhält ma / bw. */ also () bw. (). Ei blibt ud shr osrvativ Abschätug vo ist mit π(-π) < ¼ di Forml (5) ma bw. och ifachr bi ir Sichrhit vo twa 95%, also 4 + (5a). + Wir woll im Folgd ig, was s bdutt, dis blibt Forml bi dr Plaug dr Stichprobumfäg für di il Schicht ir gschichtt Stichprob u but.. Plaug dr Stichprobumfäg für di Schicht ir gschichtt Stichprob (mit Forml für di ifach Stichprob) Wdt ma für dis Aufgab Gl. 5a a, so ght ma impliit davo aus, dass ma übr di Varia bw. π (-π ) irhalb dr il Schicht (.B. Brach, Brufsgrupp, Rgio),..., i tiss bsitt ud dshalb ur Sichrhit jwils dr maimal möglich Wrt vo ¼ (sowi ) agomm wrd öt bw. sollt. Es gibt da jdoch iig sodrbar osqu. a) Auswahlsat idirt proportioal um Schichtumfag Dividirt ma i Gl. (5a) durch (bw. durch d Schichtumfag ) so rhält ma (6). + Tabll igt, was das impliirt, w ma (für i Sichrhit vo 95%), π (-π ) ¼ ud i absolut Fhlr vo 0,08 (ud damit 0,0064) aimmt, also mit (6a) + 0,0064 rcht. Ma rhält i hyprbolisch falld urv, d.h. mit wachsdm strbt dr Auswahlsat gg 0. Bi ir li Schicht ist dr Auswahlsat groß ud bi großm ist dr Auswahlsat li. Dr Umfag dr Til-Stichprob strbt mit wachsdm gm. Gl. wg gg / /0, ,5. Auswahlsat / i % (ud Stichprobumfag ) i Abhägigit vo / i % (bw. ) / i % (bw. ) , ( 45) ( 38) ,95 ( 48,5) 00 60,9 ( 6) ,03 ( 5,5) 00 43,8 ( 87,7) 0.000,54 ( 54) , ( 0,7) ,775 ( 55) 400 8, (,4) ,58 ( 55,4) 500 3,8 ( 9) ,389 ( 55,64) 000 3,5 ( 35) ,3 ( 55,76) Auftilug dr Grudgsamthit i Schicht mit d Umfäg (Summatio jwils übr,..., ) so dass Σ Etsprchd wird dr Umfag dr Gsamt-Stichprob auf Stichprob wi folgt aufgtilt Σ

7 Ptr vo dr Lipp: Wi groß muss mi Stichprob si, damit si "rprästativ" ist? 7 Ab im vo twa vo 3000 (da twa 50) immt dr absolut Stichprobumfag ur wig u. Ist dr Schichtumfag statt 000, so stigt ur vo 35 auf 54. Mit bw. rhält ma di Forml () ud () als Grfäll vo (3) ud (4). Mit 0,08, ud π (-π ) ¼ rhält ma mit (), wi gsagt d Wrt vo 56,5. Siht ma vo dr im r vo (6a) ab was jdoch ur vrtrtbar ist bi im rlativ groß, 3 so a ma sag, dass dr Auswahlsat / umghrt ( "idirt") proportioal ur Schichtgröß dr Schicht i dr Grudgsamthit ist; d s gilt da (6b). 0,0064 Im Zusammhag mit gschichtt Stichprob ist s shr vil üblichr, glich Auswahlsät vorush (vgl. spätr Gl. ), also c (c ist i ostat) ud dbar wär auch c, also i dirt Proportioalität, d.h. lir (großr) Auswahlsat bi ir li (groß) Schicht. Stichprobplaug ach (5a) führt gau um Ggtil, ämlich idirtr Proportioalität, also (6b). Es spricht im allgmi vil für di Vrmutug, dass li Schicht hr homog sid ud groß Schicht hr htrog sid, so dass idirt Proportioalität, also i lir (großr) Auswahlsat bi ir groß (li) Schicht wig plausibl u si schit. b) Gsamtstichprob umso größr j mhr Schicht utrschid wrd Ei adr osqu dr Awdug vo (6a) ist, dass dr Umfag dr Stichprob isgsamt davo abhägig ist, wi star di Grudgsamthit hisichtlich dr Aahl dr Schicht diffrirt ist. Das a ma mit d Zahl dr obig Tabll licht dmostrir: immt ma i udiffrirt Grudgsamthit vo a, so sid ach dr Tabll twa 03 Eihit u bfrag, diffrirt ma si abr i 00 ud 00 so sid tsprchd Eihit u bfrag. Mit uhmdr Diffrirug wird dr Utrschid immr rassr, wil ja bi lim i großr Auswahlsat u hm ist. Ebfalls mit d Wrt dr Tabll achuvollih ist: 000 si als Summ aus 00, 00, 300 ud 400 usammgstt. Zu bfrag wär da oh Diffrirug 35 ud mit Diffrirug statt 35 Eihit (also i fast,7-fachs Bfragugsvolum). Das dürft schwr u rchtfrtig si. c) Gwollt odr ugwollt osqu? Ma öt u sag, di Abhägigit ds Umfags dr Gsamtstichprob vo dr Diffrirug ach Schicht (.B. Brufsgrupp, Brach tc.) si ja grad gwollt, d ma hab ja grad dshalb auch i gschichtt Stichprob gog, um di Utrschid wisch d il Grupp (Schicht) saubr hrausuarbit. So gsh ist i größrs bi stärrr Diffrirug (größr Aahl dr Schicht), bw. i lirs bi grigrm icht uplausibl. Ei solch Zilstug würd s ah lg, für il Schicht utrschidlich groß Fhlr u postulir, abr di Stichprobplaug mit (5a) siht gau das ja grad icht vor. Auch auffalld ist: vrdopplt ma vo auf ud da widr auf ud da rhöht sich dr Stichprobumfag grad mal um 3, Eihit odr um och icht imal i Eihit. 3 Ab.406 utrschidt sich dr Auswahlsat ach (6a) vo dm ach (6b) ur och um maimal %.

8 Ptr vo dr Lipp: Wi groß muss mi Stichprob si, damit si "rprästativ" ist? 8 Etsprchd öt ma argumtir, i pratisch umghrt (idirt) Proportioalität wisch Auswahlsat ud Schichtgröß si icht problmatisch, d s öt ja si, dass di größr Schicht i sich homogr si als di lir, so dass π (-π ) bi im groß lir ist als bi ir lir Schicht (lis ). Ob das i im ort Fall tatsächlich stimmt, also dr li (groß) Auswahlsat bi ir groß (li) Schicht richtig odr umidst uschädlich ist, hägt vo d Dat ab ud a ach Zihug dr Stichprob utrsucht wrd. Fst stht abr, dass di Bstimmug dr Stichprobumfäg für di Schicht mit ir Forml (5a) rfolgt, bi dr grad davo ausggag wurd, dass π (-π ) für all,, Schicht glich groß ist (ud war maimal mit dm Wrt vo ¼), also i Zusammhag wisch Schichtgröß ud Homogität bstht.. Bvor wir ig, wlch Forml di Thori dr gschichtt Stichprob für di Bstimmug dr rfordrlich Stichprobumfäg,,..., ud ds Gsamtstichprobumfags (dr da vtl. rhblich lir si a als bi ir ifach Stichprob) "aubit" hat (Absch. 3) ig wir, dass di Ergbiss dr Abschitt a ud b war sodrbar rschi mög, abr shr osqut aus d für i ugschichtt Stichprob gltd Zusammhäg folg d) Di parado rschid Ergbiss sid glichwohl osqut Di Ergbiss dr Abschitt a (shr utrschidlich Auswahlsät trot glichr Struug) ud b (Gsamtstichprobumfag hägt vo ab) wir parado. Isbsodr das Ergbis, dass ach Gl. 6, bw. 6a mit uhmdm Umfag dr Tilgsamthit dr Auswahlsat immr lir wrd soll ud gg ull strbt ist übrraschd. 4 Das gilt bsodrs w ma icht immr lar wisch Auswahlsat / ud dm absolut Stichprobumfag utrschidt, d strbt icht gg ull ur /. ormalrwis würd ma rwart, dass i lir Auswahlsat vo twa / 0,03 (also 3%) sivoll ist bi ir homog Grupp (lis ) ud i großr Auswahlsat twa / 0,76 bi ir tsprchd htrog Grupp (großs ). 5 Dis Btrachtug gilt abr ur bi absolut twa glich groß Grupp. odr abr im Fall "mit Zurüclg" (ZmZ), d.h. w i Edlichitsorrtur voruhm ist ( bw. ), d da gilt ach () bi glichm ud (also ud ) (7), bw. ach (3) bi glichm, also + (8) F. + Zur Illustratio hm ma a 0 ud 0, also Schicht hat i dopplt so groß Stadardabwichug wi Schicht, bw. Stichprob. Aus (7) folgt das bat Rsultat, dass bi doppltr Stadardabwichug 4 ist, also i virfachr Stichprobumfag rfordrlich ist. Bi rhält ma tsprchd 4 ach (8), was.b. bi ur d Wrt /,54 ud bi 4000 dagg abr 3,43. rgibt 6 ud 4 Aus (6a) rgibt sich, dass ab 99/ 99/0, dr Auswahlsat % odr lir ist. 5 Bi ir groß Grupp i lir ud bi ir li Grupp i großr Auswahlsat wirt shr sodrbar, umal für bid Grupp i glich groß Struug π (-π ) ¼ agomm wurd. 6 Dr Fator F strbt mit wachsdm gg.

9 Ptr vo dr Lipp: Wi groß muss mi Stichprob si, damit si "rprästativ" ist? 9 folglich (bi agommm glich ) auch i,5- bw. 3,4-fach Auswahlsat bdutt. So gsh rschit s richlich parado, w ma gm. Absch. a j ach Schichtgröß shr utrschidlich Auswahlsät (di och dau gg ull strb) rhält. Das shr sodrbar rschid Ergbis ur 3% bi 5000 abr 76% bi 50 trot glichr (maimalr) Struug ist abr glichwohl osqut aus dr Sicht dr Thori dr ifach (icht gschichtt) Stichprob. Btrachtt ma ämlich di Gl. 3 ugrudligd Forml für d absolut Fhlr ds Mittlwrts so rhält ma durch Umformug vo (3) di Glichug ˆ (9) ˆ. Stt ma so rhält ma hiraus als Bdigug für (9a) Glichst vo d Auswahlsat (9b) ˆ ˆ ˆ. ˆ ud f f f f ˆ ˆ bi Gltug vo ˆ ˆ πˆ ( πˆ ), lifrt mit f / für was sich licht vrifiir lässt mit d widrholt gat Zahl 50, 5000 sowi f 0, ud f 0, Ma rhält da auf dr li ud rcht Sit vo (9b) d Wrt 0,3. Damit folgt dr Umstad, dass dr Auswahlsat f pratisch idirt proportioal ur Schichtgröß ist ifach daraus, dass di Stichprobfhlr gstt word sid. ˆ glich Dass dis Plaug ds Stichprobumfags mit Gl. (5) ud (6) darauf hiausläuft, dass ma für vrschid Stichprob i glich groß Fhlr postulirt, a ma auch wi folgt ig: Es ist licht u sh, dass ma für Φ i Gl. (9) d Wrt rhält, w ma di Größ / ud gm. Gl. (6) ud (5a) bstimmt, d da ist Φ + +. Es gilt also Φ ud tsprchd. Di Glichhit vo ud ach (9) führt also udm gat Zusammhag für di Auswahlsät f / ud f /. 8 Das parado rschid Ergbis ist also ichts adrs als i osqu dr Aahm glichr Varia irhalb dr Schicht..., di hir i Utis bssrr 7 Ma bacht, dass ob i dr Tabll mit 76% ud 3,03% ur grudt Wrt aggb wurd. Di ob aggb gaur Zahl rhält ma aus Gl. 6a, idm ma für 50 bw istt. 8 Ma rhält i dism ort Fall di Glichug, di bi Hrlitug vo (5) ud (6) davo ausggag wurd, dass ud (/4) / 0,5 ist, so dass gilt.

10 Ptr vo dr Lipp: Wi groß muss mi Stichprob si, damit si "rprästativ" ist? 0 Ertiss ud aus Vorsichtsgrüd mit dm maimalm Wrt ¼ agstt wurd. Dis führt dau, dass da auch di Stichprobfhlr (ud damit di Brit dr ofiditrvall) dr Schätwrt 9,,..., (htrograd) bw. 0 ˆπ, ˆπ,... (homograd ) absolut glich groß sid. Das spricht a sich dafür, dass i Stichprobplaug ach Art diss Abschitts ga vrüftig u si schit, agsichts a) dr Ausgagssituatio (i tiss übr utrschidlich Varia ud übr di Größordug dr Varia übrhaupt) ud b) ds Ergbisss, dass di Stichprob, jwils (jd für sich) i glich groß absolut Fhlr (ud damit i glich brits ofiditrvall) für π hab. 3 Glichwohl ist i Stichprobplaug, di davo ausght, dass ma für jd Tilstichprob vom Umfag aus ir Schicht ifach di Forml für d Abschätug ds Stichprobumfags ir "ifach" (d.h. ugschichtt) Stichprob übrimmt icht voll bfridigd. Di Impliatio disr Vorghswis, wi si i Absch. a ud b dargstllt sid, rschi gradu otraituitiv, obglich si - wi grad gigt - i gwissr Wis durchaus "richtig" sid. Im Folgd wird gigt, dass ma u ga adr Ergbiss glagt, w ma Forml dr Thori dr gschichtt (statt dr "ifach", also ugschichtt) Stichprob awdt. Isbsodr vrmidt ma damit grad di otraituitiv Ergbiss (trot glichr Varia utrschidlich Stichprobumfäg ud Auswahlsät) dr Vorghswis diss Abschitts. Mit d spill Lhrbuch-Forml für gschichtt Stichprob, di im folgd Abschitt bhadlt wrd, rhält ma isbsodr das Ergbis, dass ma, w ma i tiss übr di Varia rlvatr Mrmal i d Schicht hat mit glich Auswahlsät oprir sollt, statt bi li Schicht groß Auswahlsät ud bi groß Schicht li Auswahlsät vorush. 3. Plaug dr Stichprobumfäg für di Schicht mit d Forml für di gschichtt Stichprob Disr Abschitt stllt i d Til a bis d witghd bats Lhrbuchwiss dar (tomm aus mim Lhrbuch im Oldbourg Vrlag). I Absch. vrglich wir di Bstimmug dr Stichprobumfäg,,, ud auch ach d Forml für gschichtt Stichprob mit d ir Stichprobplaug ach Art vo Abschitt. Zwi Zahlbispil mög hlf, usr Aussag u vraschaulich. 9 Für di Mittlwrt µ, µ,..., µ dr Schicht (i dr Grudgsamthit). 0 Für di Atil (Wahrschilichit) π, π,..., π. wi i dr Vorghswis ach Gl. (6). Di Bstimmug dr Stichprobumfäg bw. Auswahlsät gm. (5) ud (6) ght also i dr Tat vo dr Aahm glichr ud (für d homograd Fall) maimalr, wil ubatr Varia aus. Dm stht atürlich icht tgg, dass ma bi tis dr utrschidlich Größ vo Varia irhalb dr Schicht u bssr Ergbiss glag a. 3 Ma a auch als i Art, d Stichprobumfäg,,... u bstimm (altrativ ur Auflösug ach dr Forml für d Stichprobfhlr dr i Variabl ), vo folgdr Aufgabstllug ausgh: Stichprobumfäg so pla, dass i vorggb (mist glich groß) Gauigit i bstimmt Tilgsamthit (.B. Budslädr) ighalt wrd a (das ist v.a. i dr amtlich Statisti i wichtigs ritrium ur Bstimmug vo Stichprobumfäg). Wi ma siht, bdutt das obig Ergbis, dass (quasi als bprodut) auch diss ritrium rfüllt wird. Auch bi solch amtlich Erhbug wird ja i größrr Auswahlsat für i Budslad, wi Brm ud i lirr Auswahlsat für ordrhi Wstfal gplat.

11 Ptr vo dr Lipp: Wi groß muss mi Stichprob si, damit si "rprästativ" ist? a) Übrsicht Di utrschidlich Aussag übr rfordrlich Stichprobumfäg i d Abschitt ud 3 rgb sich daraus, dass d bid Abschitt utrschidlich Fragstllug ugrud lig. Mit dr folgd Übrsicht wird vrsucht, di Aufgabstllug (ud damit auch di Glidrug) ds Abschitts 3 übrsichtlich darustll: Plaug ds Stichprobumfags bi ir gschichtt Stichprob im Hiblic auf i gwüscht Stichprobfhlr ds Gsamtmittlwrts adr ritri,.b. gwüschtr Stichprobfhlr ds Schichtmittlwrt Gsamtstichprobumfag Auftilug vo auf di Stichprobumfäg,,..., für di Schicht Abschitt 3c Abschitt 3d Abschitt 3 Ei dr im Abschitt vrfolgt Aufgabstllug tsprchd Frag wird rst im Absch. 3 bhadlt. Darübr hiaus wrd iig allgmi Bihug wisch ir ifach ud ir gschichtt Stichprob (.B. di Frag, utr wlch Vorausstug ma mit lttrr i "Schichtugsgwi" ril a) im Ahag bhadl. b) Grudlgd opt ud Zusammhäg bi gschichtt Stichprob Mit d Dfiitio dr Größ ud (vgl. Fußot ) rhält ma für d Gsamtmittlwrt dr Grudgsamthit 4 (0) µ µ µ µ ud d Gsamtmittlwrt dr Stichprob (r dit dr Schätug vo µ, ma öt also auch µˆ statt schrib) () Disr Schätr ist vor Zihug ir Stichprob i Zufallsvariabl (agdutt durch groß Buchstab X ), odr Stichprobfutio, 5 daach i Ralisatio disr Zufallsvariabl, bw. i ortr Futioswrt (li Buchstab ) ud rwartugstru, d ( X) E( X ) µ E, d.h. i orts ist icht (odr allfalls ri ufällig) glich dm wahr Wrt µ, wohl abr ist "im Mittl" glich µ, ud das scho bi li Stichprob, also icht rst bi wi bi asymptotischr Erwartugstru. Di Futio () ist u utrschid vo (a) * Di Summatio rfolgt im Folgd, sofr ichts adrs aggb ist, stts übr di Schicht. 5 Syoym: Schätfutio odr Schätr.

12 Ptr vo dr Lipp: Wi groß muss mi Stichprob si, damit si "rprästativ" ist? Bi glich Auswahlsät () c... odr (glichbdutd) für all,,..., (was ma proportioal Auftilug [vo i,,..., ] t, d für di Stichprob glt di glich Proportio : :,: wi für di Grudgsamthit : : : ), ud ur da gilt *. I dr Rgl sid di bid Schätr für µ abr utrschidlich ud * ist im Utrschid u icht rwartugstru. Itrssatr für di Burtilug dr Güt (quasi "Rprästativität") ir Stichprob als dr Erwartugswrt ist di Varia is Schätrs wi X. Ma rhält für di Varia, also dr im Folgd primär itrssird Größ (3) (4) ud, j achdm, ob Zih oh (4) odr Zih mit (3) Zurüclg vorligt, 6 also di Edlichitsorrtur 7 ( - )/( - ) - / u brücsichtig sid odr icht. 8 Aus (3) folgt auch, dass dr Stadardfhlr um so lir ist ud damit di Schätug um so bssr ist, j homogr di Schicht (j lir di Varia ) sid. Da ma di wahr Varia irhalb dr Schicht i dr Grudgsamthit icht t sid di gschätt Varia ˆ iust ud ma rhält für di gschätt Varia ˆ auch utr Brücsichtigug dr Dfiitio dr gschätt Stichprobfhlr ˆ ˆ für di il Schichtmittlwrt (5) ˆ ˆ ω ˆ mit d Schichtatil < ω ud ˆ (5a) ˆ 0 < ˆ astll vo (4). Mit ˆ astll vo ( ) statt ) ( ). ( ω ˆ (i ) astll vo (3) ud i i Gl. (4) laut di fiit multiplirs Ma bacht, dass dr quadrirt Stichprobfhlr (SF) ds Gsamtmittls ˆ icht ifach i gwogs Mittl dr quadrirt SF dr Schichtmittlwrt ist, wil sich di Summ dr Gwicht u wigr als 00% addirt, d 6 Für d Erwartugswrt (im Utrschid ur Varia) ds arithmtisch Mittls spilt das i Roll. 7 fiit multiplirs 8 Wi ma licht siht strb di fiit multiplirs mit gg.

13 Ptr vo dr Lipp: Wi groß muss mi Stichprob si, damit si "rprästativ" ist? 3 ( ω ) ω + ωωj, so dass ω <. j Etsprchd ist auch als Maß für di Gauigit (igtlich, wi gsagt, abr dr quadrirt Fhlr) bi im Sigifiaivau vo icht ifach i Mittl aus d -Wrt dr Schichtstichprob ˆ. Ma a (5) bw. (5a) auch schrib als (6) ˆ ω, was i Glichug ist, auf di Aussag um Gsamtstichprobumfag gstütt wrd ö (vgl. hiru d folgd Abschitt ). Im homograd Fall rhält ma di aalog Forml mit π ( π ) π ˆ ( π ) Es gilt da ˆ bw. ˆ (3a) π ˆ π( π ) (4a) (4b) ˆ π ˆ π( π ), bw. πˆ ( πˆ ) π ˆ. 9 Für di Varia vo πˆ gilt das für X Gsagt aalog, also ( ) π um osqut u si auch Πˆ statt πˆ schrib). E πˆ (igtlich müsst ma c) Gsamtstichprobumfag bi gwüschtr Größ ds Stichprobfhlrs ds Gsamtmittlwrts bw. πˆ Durch Auflös dr Glichug für bw. πˆ ˆ ˆ rhält ma auch hir Forml für d midsts otwdig Stichprobumfag um µ bw. π u schät. Wir btracht uächst d htrograd Fall. Mit (6) rhält ma i Vrbidug mit (3) (7) ˆ. ˆ ˆ Hiri ist ˆ di gschätt Varia dr Variabl irhalb dr -t Schicht. Ei Mittlwrt disr Varia ist bat als "itr" Varia V it. Für di gschätt V it gilt also (7a) Vˆ it ˆ. Für di witr Btrachtug sid wi Dig u bacht. Da i disr Glichug i vorommt müss Aahm übr di Auftilug ds Stichprobumfags gtroff wrd ud für ˆ sid di tsprchd Wrt iust, j achdm ob ma mit odr oh dr Edlichitsorrtur rcht. b dr mit () brits igführt proportioal Auftilug ist als wichtigst ichtproportioal Auftilug di optimal Auftilug u. Für si gilt 9 Ma bacht, dass hir di fiit multiplir twas adrs aussh.

14 Ptr vo dr Lipp: Wi groß muss mi Stichprob si, damit si "rprästativ" ist? 4 (8). Auf di Hrlitug disr Forml ud di ihr ugrudligd Übrlgug soll rst im ächst Abschitt d) iggag wrd. c) Htrograd, proportioal Auftilug Wir btracht uächst di proportioal Auftilug für all u utrschidd Fäll (3) ud (4) im htrograd ud (3a) ud (4a) im homograd Fall ud rst daach di tsprchd Forml für di optimal Auftilug. Stt ma () i (7) i, so rhält ma utr Bachtug vo (3) bw. (5) Vˆ (9) prop ˆ ˆ ˆ it ˆ Vˆ it, was ach aufglöst rgibt. Das ist i Stichprobumfag, dr i.d.r. icht urhblich lir ist als dr tsprchd Stichprobumfag bi ir ifach Stichprob, i dr di Gsamtvaria i dr Grudgsamthit (als Summ dr itr ud tr Varia) rschit; d ach () gilt ˆ ( Vˆ t + Vˆ it ) (0) if, wobi hir wi i (9) für di Gsamtvaria bw. di itr Varia Schätwrt, aus frühr Erhbug gwo Wrt odr vrmutt Wrt iust sid. Für di Variarlgug gilt folgdr dfiitorischr Zusammhag () ( µ µ ) + V t + V it, was aalog für di tsprchd Schätwrt ˆ usw. gilt. Es gilt also (9a) prop im Vrglich u (0); BZW: (0a) ( V + V ) + ( µ µ ) if it t Ma bacht, dass di Mittlwrt µ,, µ i Roll spil für prop, wohl abr di Stadardabwichug,,. Das Problm dr Abschätug vo prop ud if ist i dr Prais allrdigs mist, dass ma di Varia icht t. Es dürft i jdm Fall ütlich si, di tsprchd Größ mit Stichprobwrt u schät also mit ˆ, µ ˆ ud µ ˆ. Ma a prop < if (odr auch, damit usammhägd ud äquivalt (prop) < (if) ) 30 als Schichtugsgwi bich. Bvor wir vrsuch mit im Zahlbispil di Größrlatio prop < if u dmostrir soll och auf (4) bw. (5a) iggag wrd. Ma rhält jtt (auch wg / /) i wg dr Größ S lir otwdig Stichprobumfag als i (9), ämlich 30 vgl. Ahag 3.

15 Ptr vo dr Lipp: Wi groß muss mi Stichprob si, damit si "rprästativ" ist? 5 (9b) * prop ˆ Vˆ ˆ it prop S. Hiru i lis Zahlbispil (Bispil ) 300 µ µ () Vt 0,3(80 64) + 0,7(00 64) 304 Da di tr Varia rhblich größr ist als di itr Varia a ma durch i gschichtt Stichprob rhblich gwi. Bi ud 0 (tspricht im rlativ Fhlr vo twa 6%, wil im Brich vo 60 u rwart ist) rhält ma mit (9) prop 30 (bi prop Auftilug würd das bdut 9 ud ) ud (0) if 50,96 5 (Auftilug 45 : 06) wil di Gsamtvaria mit gut füfmal so groß ist wi di für prop maßgblich itr Varia. 3 Ei Brücsichtigug dr Edlichitsorrtur ach (9b) ädrt wg ds grig Stichprobumfags vo twa % wg / / 0,0 fast ichts. Ma rhält für di Größ S i (9b) ur d Wrt 0,9, also och icht imal i Eihit, di wigr u bfrag wär. c) Homograd, proportioal Auftilug Im homograd Fall rhält ma di tsprchd Forml w ma (4b) i (7) istt ud mit statt - rcht prop, π ˆ π a di Stll vo * () ( π ˆ ( π ˆ )) so dass igtlich ur ( ) ˆ ˆ tritt. Bi proportioalr Auftilug t- dr ostat - / fällt im Fall ZmZ (oh Edlichitsorrtur) dr Fator Θ ist. Stt ma für jd Schicht π (-π ) π (-π) a (also glich Varia irhalb dr Schicht) so gwit ma ichts ggübr Gl. () bw. mit dm Fator Θ (-)/ ichts ggübr (4). Das ist ituitiv vrstädlich, d bi lautr glich Schicht, a ma mit ir Schichtug ichts gwi. Ist π π für all, da gibt s auch i tr Varia. Auch hir rgibt sich, wi im htrograd Fall, dass s tschidd darauf aommt, dass di Varia irhalb dr Schicht utrschidlich sid. π gilt π Wg ( ) mit Zurüclg (ZmZ) ( ) oh Zurüclg (ZoZ) *) vgl. (3a) Midststichprobumfag für di Gsamtstichprob ifach Zufallsauswahl π π ' ' π π ' + **) vgl. (3) mit ( ) (0) µ 0, , (7a) V it 0, , gschichtt Stichprob (prop. Auftilug) ( ) ω π π mit ω *) * mit * ( ) * ω π π *) + 3 wi ma siht ist auch dr Stichprobumfag twa füfmal so groß, was sich auch ach im Vrglich vo (0) mit (9) so rgibt.

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