Formelsammlung zur Kreisgleichung

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1 zur Kreisgleichung Julia Wolters 6. Oktober 2008 Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeine Kreisgleichung Berechnung des Mittelpunktes und Radius am Beispiel Kreis und Gerade Sekanten, Tangenten, Passanten Berechnung von Schnittpunkt Beispiel Kürzeste Entfernung zwischen Gerade und Kreis Bestimmen der Tangentengleichung Zwei Kreise 10 4 Zusammenfassung Allgemeine Kreisgleichung Kreis und Gerade Bestimmung von Gerade und Lot Tangentengleichung

2 1 Allgemeine Kreisgleichung 2008/ Allgemeine Kreisgleichung Die Gleichung nennt man die allgemeine Kreisgleichung. (x x M ) 2 + (y y M ) 2 = r 2 (1) Die Koordinaten (x M y M ) sind die Koordinaten des Mittelpunktes. Die Variable r ist der Radius des Kreises. Setzt man nun einen Punkt P (x y) ein, überprüft man, ob der Punkt auf dem Kreis liegt. Dabei gilt > r 2,liegt außerhalb des Kreises (x x M ) 2 + (y y M ) 2 = r 2,liegt genau auf dem Kreis (2) < r 2,liegt innerhalb des Kreises Julia Wolters 2

3 1 Allgemeine Kreisgleichung 2008/ Berechnung des Mittelpunktes und Radius am Beispiel Gegeben sei die Gleichung x 2 + y 2 + 4x + 8y = 5 Zunächst bringen wir die Gleichung in die Form der allgemeinen Kreisgleichung. Wir sortieren zunächst die Formel nach den einzelnen Variablen. Des Weiteren wissen wir, dass sich die allgemeine Kreisgleichung als Summe zwei Binomischer Formeln zweiter Art zusammen setzt. Diese erhalten wir durch die Quadratische Ergänzung. x 2 + y 2 + 4x + 8y = 5 sortieren x 2 + 4x + y 2 + 8y = 5 Quadratische Ergänzung: x 2 + 4x + y 2 + 8y = sortieren ( x 2 + 4x + 4 ) + ( y 2 + 8y + 16 ) = 25 Binomische Formel anweden (x + 2) 2 + (y + 4) 2 = 25 fertig Aus dieser Gleichung lässt sich nun der Mittelpunkt und der Radius des Kreises ablesen: M( 2 4), r = 5 Julia Wolters 3

4 2 Kreis und Gerade 2008/ Kreis und Gerade 2.1 Sekanten, Tangenten, Passanten Gegeben sei ein Kreis und eine Gerade. Nun ist die Frage, wie diese zueinander liegen. Dies hängt davon ab, welchen Abstand die Gerade zum Kreismittelpunkt hat. Ist der Abstand < r, dann gibt es 2 Schnittpunkte, somit ider Gerade eine Sekante = r, dann gibt es genau einen Schnittpunkt und die Gerade heißt Tangente > r, dann gibt es keinen Schnittpunkt. Diese Gerade nennt man Passante Um den Abstand zu berechnen, nimmt man den Schnittpunkt vom der Geraden und einer Geraden, die durch den Mittpunkt geht und senkrecht zur Geraden ist. Julia Wolters 4

5 2 Kreis und Gerade 2008/ Berechnung von Schnittpunkt Gegeben sei ein Kreis k 1 und eine Gerade g 1. Es wird der Schnittpunkt von der Geraden mit dem Kreis gesucht. Diesen erhält man durchs Einsetzten. Es kann passieren, dass einer oberen drei Fälle eintritt. So ist es also auch möglich, dass die Gerade und der Kreis keine gemeinsammen Schnittpunkte haben und somit die Gerade eine Passante ist Beispiel Gegeben seien ein Kreis k 1 und eine Gerade g 1 k 1 : (x + 2) 2 + (y + 4) 2 = 25 g 1 : y = 3x 3 Durch das Einsetzten von g 1 in k 1, berechnet man den Schnittpunkt: (x + 2) 2 + (3x 3 + 4) 2 = 25 vereinfachen (x + 2) 2 + (3x + 1) 2 = 25 ausmultiplizieren x 2 + 4x x 2 + 6x + 1 = 25 zusammenfassen, 25 10x x = x 2 + x 2 = 0 pq-formel 1 2 ± (1 2) 2 ( 2) = x 1,2 1 2 ± = x 1,2 1 2 ± 9 2 = x 1,2 1 2 ± 3 2 = x 1,2 x 1 = 1 x 2 = 2 Julia Wolters 5

6 2 Kreis und Gerade 2008/2009 x 1,2 in g 1 oder k 1 einsetzten: x 1 in g 1 : y =3 1 3 =3 3 =0 x 2 in g 1 : y =3 ( 2) 3 = 6 3 = 9 Die Gerade hat zwei Schnittpunkte im Kreis. Diese heißen S 1 (1 0) und S 2 ( 2 9) 2.2 Kürzeste Entfernung zwischen Gerade und Kreis Wieder ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt M(x M y M ) und Radius r und eine Gerade g gegeben. Die kürzste Entfernung zwischen einem Kreis und einer Geraden erhält man, indem man den Berühpunkt berechnet. Zunächst überprüft man, ob die Gerade eine Tangenten, Passante oder Sekante ist. Bei der Tangente ist der Fall klar. Die kürzste Entfernung zwischen dem Kreis und der Geraden liegt im Schnittpunkt. Erhält man jedoch eine Passante oder Sekante, so muss man den Schnittpunkt von der Geraden und dem Lot von der Geraden und dem Kreismittelpunkt bestimmen. Dieser Punkt hat dann die kürzeste Entfernung. Gegeben sind: g : y = m g x + n g k : r 2 = (x x M ) 2 + (y y M ) 2 Nun bestimmen wir das Lot l (= orthogonal zur Geraden und verläuft durch den Punkt M(x M y M )). Durch die Gerade g erhalten wir die Steigung des Lots. m l = 1 m g Julia Wolters 6

7 2 Kreis und Gerade 2008/2009 Mit Hilfe der Punkt-Steigungs-Form ( zur Geradengleichung) bestimmt man nun die Gleichung des Lots l. l : y = m l x + (y M m l x M ) } {{ } =n l (3) Durch das Gleichsetzten der beiden Geraden g und l erhält man den Schnittpunkt und somit den Punkt der kürzesten Entfernung zwischen Kreis und Geraden g. m g x + n g = m l x + n l m k x n g m g x m l x = n l n g ausklammern 1 (m g m l ) x = n l n g (4) n l n g x = Durch das Einsetzten von x in g oder l berechnet man die y-koordinate des Schnittpunktes. y = m l = m l n l m l n g n l n g + n l auf einen Nenner bringen + n l ml m g = m l n l m l n g + n l m l n l m g 2m l n l m l n g m g n l = Somit erhält man den Schnittpunkt ( ) nl n g S 2m l n l m l n g m g n l (5) (6) Julia Wolters 7

8 2 Kreis und Gerade 2008/ Bestimmen der Tangentengleichung Ein Kreis k und ein Berührpunkt B(x B y B ) sind geben. Es soll die Tangente t bestimmt werden, die den Kreis k im Punkt B berührt. Wir wissen, dass eine Gerade g, die durch den Berührpunkt B und den Kreismittelpunkt M(x M y M ) läuft, orthogonal zur Tangente t läuft. Deswegen bestimmen wir zunächst die Steigung der Geraden g. m g = y B y M x B x B Mit dieser Steiung können wir nun die Steigung der Tangente bestimmen. m g m t = 1 1 m t = 1 1 m g m g m t = 1 m g m g einsetzten m t = 1 y B y M x B x B m t = x B x M y B y B Nun haben wir die Steigung der Tangente t bestimmt. Des Weiteren wissen wir, dass die Tangente durch den Berührpunkt B verläuft. Also können wir mit Hilfe der Punkt-Steigungs-Form können wir nun die Tangentengleichung bestimmen. y =m t x + (y B m t x B ) = x ( B x M x + y B y B y B = x B x M y B y B x + ( x ) B x M y B y B ) ( y B + x B x M y B y B x B x B ) m t einsetzten Julia Wolters 8

9 3 Zwei Kreise 2008/ Zwei Kreise Gegeben seien zwei Kreise. Auch hier ist wieder die Frage, wie diese beiden zueinander stehen. Wieder ist der Abstand zwischen den Kreismittelpunkten gefragt. k 1 : M 1 (x M1 y M1 ) r 1 k 2 : M 2 (x M2 y M2 ) r 2 d > r 1 + r 2 kein Schnittpunkt d = r 1 + r 2 einen Schnittpunkt d < r 1 + r 2 zwei Schnitpunkte, bzw. die Kreise liegen ineinander Den Schnittpunkt berechnet man, indem man die eine Kreisgleichung von der anderen abzieht: k 1 k 2 = r 2 1 r 2 2 (7) Julia Wolters 9

10 4 Zusammenfassung 2008/ Zusammenfassung 4.1 Allgemeine Kreisgleichung 4.2 Kreis und Gerade (x x M ) 2 + (y y M ) 2 = r Bestimmung von Gerade und Lot Gesucht wird der Punkt S mit der kürzesten Entfernung zwischen Gerade g und Kreismittelpunkt M: Lot: l : y = 1 ) x + (y M + 1mg x M m g Schnittpunkt zwischen Gerade und Lot: ( ) nl n g S 2m l n l m l n g m g n l Tangentengleichung Gegeben ist ein Kreis K mit Mittelpunkt M und ein Berührpunkt B. Gesucht wird die Tangengleichung t: y = x ( B x M x + y B + x ) B x M x B y B y B y B y B Julia Wolters 10

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