Angewandte Strömungssimulation

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1 Angewandte Strömungssimulation 2. Vorlesung Stefan Hickel

2 Numerische Strömungsberechnung CFD vereinfacht das Design: einfache aber langwierige Experimente können ersetzt werden es können Lösungen zu Problemen berechnet werden, für die Experimente gefährlich sind, oder für die Messwerte experimentell nicht zu bekommen sind Parameterstudien (auch unphysikalische) sind sehr einfach und schnell realisierbar ABER: Stets kritische Betrachtung der Resultate bei numerischen Simulationen! Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 2

3 Numerische Strömungsberechnung Physikalische Modellierung Mathematische Modellierung Numerische Modellierung Lösung Auswertung Modellierung bedeutet Vernachlässigung! Zu komplexe oder unbekannte Vorgänge werden durch einfachere (mit hoffentlich ähnlicher Wirkung) ersetzt. Der gewählte Abstraktionsgrad beruht häufig auf sehr groben Abschätzungen und viel Erfahrung. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 3

4 Numerische Strömungsberechnung Physikalische Modellierung Mathematische Modellierung Numerische Modellierung Lösung Auswertung Parameter und Kennzahlen Gleichungssystem Turbulenzmodell Randbedingungen Diskrete Operatoren Lösungsalgorithmen Rechengitter Programmierung Berechnung Visualisierung Validierung Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 4

5 Numerische Strömungsberechnung Eine Simulation besteht immer aus drei Schritten: 1. Preprocessing (CFX-Pre und ICEM CFD) - Definition des Problems - Auswahl der Modelle Definition File in CFX-Pre erstellen - Rechengitter erstellen (ICEM) 2. Solution (CFX-Solver) - Berechnen der Lösung Konvergenz beobachten 3. Postprocessing (CFX-Post, oder Tecplot, Paraview, ) - Ergebnisse Visualisieren - Physikalische Auswertung - Unsicherheiten Bewerten Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 5

6 Numerische Strömungsberechnung Physikalische Modellierung Mathematische Modellierung Numerische Modellierung Lösung Auswertung Parameter und Kennzahlen Gleichungssystem Turbulenzmodell Randbedingungen Diskrete Operatoren Lösungsalgorithmen Rechengitter Programmierung Berechnung Visualisierung Validierung CFX Pre -> Parameterdatei ICEM CFD -> Gitter CFX Solver -> Ergebnisdatei CFX Post -> Bilder und Erkenntnis Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 6

7 Grundgleichungen

8 Numerische Strömungsberechnung Physikalische Modellierung Mathematische Modellierung Numerische Modellierung Lösung Auswertung Parameter und Kennzahlen Gleichungssystem Turbulenzmodell Randbedingungen Diskrete Operatoren Lösungsalgorithmen Rechengitter Programmierung Berechnung Visualisierung Validierung CFX Pre -> Parameterdatei ICEM CFD -> Gitter CFX Solver -> Ergebnisdatei CFX Post -> Bilder und Erkenntnis Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 8

9 Eigenschaften der Fluide Fluide sind Stoffe, die sich unter dem Einfluss von Scherkräften unbegrenzt verformen: Die Scherkräfte gehen gegen null, wenn die Verformungsgeschwindigkeit gegen null geht Im Gegensatz gehen beim Festkörper die Scherkräfte gegen null, wenn die Verformung selbst gegen null geht Festkörper: τ α Fluid: τ α t Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 9

10 Eigenschaften der Fluide In der Regel wird eine sehr große Anzahl von Molekülen betrachtet Direkte Integration der Bewegungsgleichungen für einzelne Moleküle ist rechentechnisch viel zu aufwendig Das Fluid wird daher als Kontinuum betrachtet, d.h. als dichte Packung von einzelnen Fluidelementen Makroskopische Eigenschaften durch Mittelung über ein Ensemble von Molekülen (mikroskopisch) Die mathematische Beschreibung erfolgt durch Feldgrößen wie: Druck, Dichte, Temperatur, Geschwindigkeit Knudsen-Zahl Kn = λ/l (λ - freie Weglänge) Kn << 1 -> Kontinuum Kn > 10 -> freie Molekülbewegung Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 10

11 Euler sche und Lagrange sche Beschreibung Beobachter befindet sich an einem festen Ort Feldbeschreibungsweise Beobachter bewegt sich mit Fluidelement mit Materielle Beschreibungsweise selten in der Strömungsmechanik da Verformungen unbegrenzt Ausnahme: Partikelmethoden Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 11

12 Reynolds sches Transporttheorem Erhaltungsgesetze sind oftmals als zeitlichen Änderung von materiellen Volumenintegralen formuliert (z.b. Masseerhaltung) V (t) dm dt = 0 d dt V! ρ(x,t) dv = 0 Mit dem Reynolds schen Transporttheorem kann die zeitliche Änderung des materiellen Volumenintegrals auf die zeitliche Änderung einer Größe, integriert über den festen Bereich V und dem Fluß der Größe durch die begrenzende Oberfläche S V zurückgeführt werden: d dt φ dv =!V (t) Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 12 V φ t dv + φu i S V n i ds

13 Erhaltung der Masse Physikalische Aussage: Die Masse eines Fluidteilchens ist konstant Mathematische Formulierung: dm dt = 0 und Unter Anwendung des Reynolds schen Transporttheorems folgt die Massenerhaltung für ein festes Volumen (Kontrollvolumen): Mit Hilfe des Gauß schen Integralsatzes kann man die Kontinuitätsgleichung in differentieller Form (Vektorschreibweise) darstellen als: Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 13 d dt V! ρ V t dv + ρu n ds = 0 S V ρ t + ρu = 0. ρ(x,t) dv = 0

14 Erhaltung der Masse Versuch einer anschaulichen Interpretation der Konti Gleichung Aus folgt ρ V t dv + ρu n ds = 0 S V V ρ dv = t t t m V = S V ρ dv = t m V V ρu n ds Die zeitliche Änderung der Masse m V im Kontrollvolumen V ist gleich der Differenz der pro Zeiteinheit durch die Oberfläche S V des Kontrollvolumens ein- und ausfließenden Massen. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 14

15 Erhaltung des Impulses Physikalische Aussage: Die zeitliche Änderung des Impulses eines (materiellen) Fluidelements ist gleich der Summe der auf dieses Fluidelement wirkenden Kräfte. Mathematische Formulierung: Feldgröße Impuls P =!V (t) ρudv Impulserhaltung dp dt = d dt ρudv = F n!v (t) n Differentielle Form nach Einsetzen der Konti Gleichung Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation u j t + u i u j x i = 1 ρ F n, j n

16 Erhaltung des Impulses Angreifende Kräfte F = SV T n ds Oberflächenkräfte (Druck, Reibung, Oberflächenspannung) Körperkräfte Volumenkräfte (Schwerkraft) Für ein Newton sches Fluid ist der Spannungstensor ( T) gleich: µ : dynamische Zähigkeit (Viskosität) I : Einheitstensor p : statischer Druck Der Deformationstensor ( T = (p + 2 µ u)i + 2µs 3 = pi + τ s ) lautet: s = 1 " $ 2 # u + ( u) T Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 16 % ' &

17 Erhaltung des Impulses Differentielle Form der Impulsgleichung für ein Newton sches Fluid in kartesischen Koordinaten: u j t + u i u j x i τ ij = 1 p + 1 ρ x j ρ x i + f j Alternative Schreibweisen in Erhaltungsform als Divergenz ( ρu ) j t + ( ρu u ) i j x i und in integraler Form t = p x j + τ ij x i + ρ f j ρu dv + ρuu n ds = p ds + τ n ds + ρf V dv V S V S V S V V Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation

18 Vereinfachungen der Grundgleichungen Reibungsfreie Strömungen: µ = 0 Euler Gleichungen. - Werden oft für hohe Machzahlen verwendet. Inkompressible Strömungen: Entkopplung von Dichte und Druck - Volumenerhaltung mit der Kontinuitätsgleichung - die Energiegleichung ist identisch der Impulsgleichung u = 0 Barotrope Strömungen: Feste Kopplung von Druck und Dichte - Energiegleichung wird nicht benötigt Potentialströmungen: reibungsfrei und rotationsfrei - Geschwindigkeitsfeld als Gradient eines Potentials u = Φ - Inkompressible Potentialgleichung ΔΦ = 0 Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 18

19 Inkompressible Navier-Stokes Gleichungen u t + (uu)+ 1 p (ν u) = 0 ρ u = 0 inkompressible Fluide }mit konstanter Dichte können mit beliebigem Verfahren diskretisiert werden: Finite Differenzen Punktwerte Finite Elemente Ansatzfunktionen Finite Volumen räumliche Mittelwerte in CFX wird ein Finite Volumen - Verfahren eingesetzt Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 19

20 Dimensionsanalyse Dimensionsbehaftete Referenzgrößen Geschwindigkeit Länge Dichte Temperatur Zähigkeit Druck Zeit Wärmeleitkoeffizient U 0 L ρ 0 T 0 µ 0 2 p 0 = ρ 0 U 0 τ 0 = L U 0 κ 0 Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 20

21 Dimensionsanalyse Reynolds zahl Mach zahl Strouhal zahl Froude zahl Rayleigh zahl Prandtl zahl Re = ρ 0 U 0 L µ 0 St = f t 0 = f L U 0 Fr =U 0 Lg Ra = ρ 2 0 gβ ΔT L c ( p µ 0 k ) 0 Pr = c p µ 0 κ 0 Trägheitskraft Zähigkeitskraft (Reibung) Ma =U 0 c 0 =U 0 γ RT 0 Strömungsgeschwindigkeit Schallgeschwindigkeit inst. Trägheitskräfte stat. Trägheitskräfte Trägheitskraft Schwerkraft Konvektionskraft (Auftrieb) Zähigkeitskraft Zähigkeit Wärmeleitfähigkeit weitere Kennzahlen: Grashof-, Nusselt-, Schmidt-, Damköhler-, Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 21

22 Reynoldszahl Reynolds zahl Re = ρ U L µ Trägheitskraft Zähigkeitskraft (Reibung) Navier-Stokes-Gleichungen in dimensionsloser Form u t + (uu)+ 1 ρ p 1 Re u = 0 u = 0 } inkompressibles Fluid mit konstanter Dichte und konstanter Viskosität Re << 1: kriechende Strömung Reibungskräfte sind dominant. Die lineare Stokes-Gleichung ist gültig für Strömungen in porösen Medien, Beschichtungstechnik, Mikro-Elemente etc. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 22

23 Reynoldszahl Reynolds zahl Re = ρ U L µ Trägheitskraft Zähigkeitskraft (Reibung) Navier-Stokes-Gleichungen in dimensionsloser Form u t + (uu)+ 1 ρ p 1 Re u = 0 u = 0 } inkompressibles Fluid mit konstanter Dichte und konstanter Viskosität Re = O(1): laminare Strömung Re >> 1: turbulente Strömung Trägheitskräfte sind dominant. Die Euler-Gleichungen werden oft für hohe Machzahlen verwendet. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 23

24 Reynoldszahl Reynolds zahl Re = ρ U L µ Trägheitskraft Zähigkeitskraft (Reibung) Navier-Stokes-Gleichungen in dimensionsloser Form u t + (uu)+ 1 ρ p 1 Re u = 0 u = 0 } inkompressibles Fluid mit konstanter Dichte und konstanter Viskosität Kriechende Strömung Laminare Strömung Turbulente Strömung - Re << 1: Reibungskräfte dominieren - Re = O(1) - Re >> 1: Trägheitskräfte dominieren Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 24

25 Reynoldszahl Reynolds zahl Re = ρ U L µ Trägheitskraft Zähigkeitskraft (Reibung) Astrophysik Re Maschinenbau Meteorologie 1 Chemie / Verfahrenstechnik Ozeanologie Biologie Geologie L Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 25

26 Turbulenz

27 Numerische Strömungsberechnung Physikalische Modellierung Mathematische Modellierung Numerische Modellierung Lösung Auswertung Parameter und Kennzahlen Gleichungssystem Turbulenzmodell Randbedingungen Diskrete Operatoren Lösungsalgorithmen Rechengitter Programmierung Berechnung Visualisierung Validierung CFX Pre -> Parameterdatei ICEM CFD -> Gitter CFX Solver -> Ergebnisdatei CFX Post -> Bilder und Erkenntnis Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 27

28 hohe Reynolds-Zahl kleine Mach-Zahl komplexe Geometrie Transition, Turbulenz, Strömungsablösung Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 28

29 Rohrströmung Experiment von Reynolds (1883) zur Rohrströmung: laminare Strömung schlägt oberhalb einer kritischen Grenze in eine turbulente Strömung um kritische Grenze wird bestimmt durch die Reynoldszahl Re = u md ν Trägheitskraft Reibungskraft D = Rohrdurchmesser u m = mittlere Geschwindigkeit Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 29

30 Turbulenz und Wandreibung Turbulenz verbessert Mischung Turbulenz erhöht Wandreibung und Druckverlust C f turbulent laminar Re t LES einer ebenen Grenzschicht: Wandreibungskoeffizient über der mit der Laufzeit gebildeten Reynoldszahl. Turbulenz verzögert Strömungsablösung -> Golfball Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 30

31 Turbulenzentstehung bereits Reynolds vermutete: Turbulenz -> Stabilitätsproblem Tollmien (1929) erste erfolgreiche Stabilitätsrechnung für eine Plattengrenzschicht Philipp Schlatter Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 31

32 Turbulenzentstehung Scherschichten werden gegenüber kleinen Störungen instabil wenn die mit ihrer Dicke gebildete Reynoldszahl einen kritischen Wert erreicht. Die kritische Reynoldszahl hängt von Wellenlänge der Störung ab. Die Kelvin-Helmholtz-Instabilität tritt auf, wenn Fluid-Schichten sich relativer zueinander bewegen. In der Scherschicht bilden sich Wellen. Diese rollen sich zu Wirbeln auf welche letztendlich selbst instabil werden und in immer kleinere Strukturen zerfallen. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 32

33 Energiekaskade Turbulenzenergie wird durch große Strukturen eingetragen und in kleinskaligen Wirbeln dissipiert. Eine turbulente Strömung wird durch den Prozess der Energiekaskade aufrecht erhalten. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 33

34 Energiekaskade Man unterscheidet zwischen: Große Skalen : die großen Wirbelstrukturen sind abhängig von der Geometrie und den Randbedingungen des Problems Kleine Skalen : sind unmittelbar abhängig von den großen Skalen sind nur indirekt von Geometrie und Randbedingungen abhängig kleine Skalen sind universeller und können evtl. modelliert werden diese Skalentrennung ist ausgeprägt bei hohen Reynoldszahlen Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 34

35 Energiekaskade Taylor-Green Wirbel Laminarer Wirbel erzeugt über Energiekaskade feinskalige quasiturbulente Strukturen Gezeigt ist die Null-Isofläche des Q-Kriteriums. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 35

36 Energiekaskade Taylor-Green Wirbel Laminarer Wirbel erzeugt über Energiekaskade feinskalige quasiturbulente Strukturen Gezeigt ist die Null-Isofläche des Q-Kriteriums. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 36

37 Turbulenz Beobachtungen zu turbulenten Strömungen: instationär rotationsbehaftet reibungsbehaftet Brechung von Symmetrien -> stets dreidimensional chaotisch (deterministisch) großer Bereich an Längen- und Zeitskalen enthalten kohärente Strukturen Kohärente Wirbelstrukturen Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 37

38 Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 38

39 Wie klein sind die kleinsten Wirbel? Im Dissipationsbereich nimmt der Energiegehalt exponentiell mit der Skalengröße ab (bei isotroper Turbulenz). Die bestimmenden Größen im Dissipationsbereich sind die kinematische Viskosität ν [m 2 /s] und die Energiedissipationsrate ε [m 2 /s 3 ] Ein Maß für die kleinsten Wirbelelemente ist daher die aus dimensionsanalytischen Betrachtungen gewonnene Kolmogorov-Länge η K 3 ν = ε 1 4 Analog folgt die Kolmogorov-Zeit τ = K ν ε Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 39

40 Und wie groß sind die Großen? Das integrale Längenmaß L der größten Wirbelstrukturen lässt sich meist aus den bekannten Randbedingungen abschätzen. Es kann jedoch auch aus der Zweipunkt-Korrelationsfunktion R( x,r) = u! u! 2 ( x,t) u! ( x + r,t) ( x,t) u! 2 ( x + r,t) berechnet werden. Räumlich benachbarte Turbulenzgrößen sind nicht voneinander unabhängig. Die Korrelationsfunktion R ist ein quantitatives Maß für die zeitgemittelte Korrelation von zwei Schwankungsgrößen, die um den Radius r räumlich auseinander liegen Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 40

41 Und wie groß sind die Großen? Aus der Verteilung von R kann das integrale Längenmaß L definiert werden: R L = 0 R(x,r)dr λ L r L charakterisiert den Abstand, bei dem die Geschwindigkeitsschwankungen unkorreliert werden. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 41

42 DNS Eine Direkte Numerische Simulation (DNS) erfaßt alle turbulenten Längen- und Zeitskalen (η K bzw. τ K ) in der Simulation ohne Modellannahmen direkt und löst derem räumliche und zeitliche Entwicklung voll auf. Die Navier-Stokes-Gleichungen sind für laminare und turbulente Fluide ohne zusätzliche Modellannahmen gültig u t + (uu)+ 1 ρ p 1 Re u = 0 u = 0 } inkompressibles Fluid mit konstanter Dichte und konstanter Viskosität Im Prinzip ist somit die exakte Lösung des Strömungsproblems möglich. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 42

43 DNS Aufwand einer DNS? Gitterpunkte N L pro integraler Längenskale L, um die dissipativen Skalen zu erfassen: erweitert auf 3 Raumdimensionen: N L 3 N L L ~ η K ~ Re 3 4 ~ Re 9 4 Aus der Stabilitätsbedingungung für eine explizite Zeitintegration folgt für die Anzahl N T der Zeitschritte N T ~ N L Gesamtaufwand einer DNS N 3 L N T ~ Re 3 Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 43

44 DNS Direkte Numerische Simulation der Strömung um ein Flugzeug - Spannweite: 50 m - Fluggeschwindigkeit: 250 m/s - Flughöhe: 10000m zur Auflösung aller Skalen werden ca Gitterpunkte benötigt für 1s Flugzeit werden ca. 1,3 Jahre bei einer Rechenleistung von 1 Peta FLOPS benötigt Der SuperMUC des LRZ hat eine theoretische Maximal- Rechenleistung von 3 Peta FLOPS Fazit: Die Direkte Numerische Simulation bleibt auf absehbare Zeit auf Strömungen mit kleiner Reynoldszahl beschränkt! Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 44

45 DNS Die DNS hat eine große Bedeutung in der Grundlagenforschung: - Verstehen der Mechanismen von Turbulenzproduktion, Energietransfer und Dissipation in turbulenten Strömungen - Verstehen des Einflusses von Kompressibilität auf die Turbulenz - Verstehen der Interaktion Turbulenz und Thermodynamik - Verbrennung, usw. Für die tägliche Arbeit eines Ingenieurs ist DNS nicht geeignet. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 45

46 CFD für Ingenieure CFD für praktische Anwendungen basiert auf dem Weglassen überflüssiger Detailfülle. Weglassen bedeutet Modellierung! Idee: aus den Grundgleichungen für turbulente Strömungen Gleichungen ableiten, deren Lösung unmittelbar die relevanten Strömungsgrößen ergeben. Die gebräuchlichsten Ansätze sind: Lösung der Gleichungen für die zeitlichen Mittelwerte -> RANS Lösung der Gleichungen ausschließlich für die räumlich großen Skalen -> LES Eine Erweiterung von RANS ist die Lösung der Gleichungen für die langsamen Skalen -> URANS Zusätzlich gibt es zonale / hybride Verfahren, z.b DES, Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 46

47 CFD für Ingenieure DNS Alle Strukturen der turbulenten Strömung werden yeitlich und räumlich voll abgebildet sehr feines Rechengitter RANS Alle Strukturen bzw Gradienten die in der mittleren Strömung sichtbar sind müssen aufgelöst werden. LES Die Gradienten der mittleren Strömung und die energiereichsten (d.h. im allgemeinen: die großen) turbulenten Strukturen müssen aufgelöst werden. Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 47

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