Experimentelle und numerische Untersuchung turbulenter radialer Wandstrahlen

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1 Diplomarbeit Experimentelle und numerische Untersuchung turbulenter radialer Wandstrahlen Autor Paul Jonas August 2005 Erstprüfer Prof. Dr.-Ing. H. Herwig Zweitprüfer Prof. Dr.-Ing. J. Hapke Betreuer Dipl.-Ing. T. Winkler Dipl.-Ing. G. Middelberg

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3 Erklärung Ich versichere, diese Arbeit im Rahmen der im Arbeitsbereich üblichen Betreuung selbstständig angefertigt und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt zu haben. Hamburg, August Paul Jonas Willhelmstr Hamburg Diplomarbeit: Paul Jonas

4 Herr cand. Ing. Paul Jonas Matrikelnummer Aufgabenstellung für eine Diplomarbeit Thema: Experimentelle und numerische Untersuchung radialer Wandstrahlen In der Firma Imtech Deutschland GmbH & Co. KG werden grundlegende Untersuchungen in Bezug auf die modelltechnische Nachbildungen der Strömungsverhältnisse innerhalb eines Gebäudes im Brandfall durchgeführt. Ziel hierbei ist es, einen Zusammenhang zwischen brandrauchfreier Schicht und den das Brandszenario bestimmenden Parametern, wie z. B. Brandlast, Brandherddurchmesser, Brandrauch- und Entrauchungsvolumenstrom herzustellen. Oberhalb eines Brandherdes bildet sich in aller Regel ein auftriebsinduzierter Freistrahl aus, der im Deckenbereich des Raumes in eine horizontale Wandstrahlströmung übergeht. Eine wichtige Rolle in den o.g. Untersuchungen besitzt der deckennahe Strömungsbereich innerhalb der Rauchschicht selbst. Unter der Voraussetzung, dass der zu betrachtende Brandherd eine kreisförmige Grundfläche besitzt, formiert sich im Deckenbereich ein radialer Wandstrahl, der wegen der Temperaturverhältnisse innerhalb der Rauchschicht als isotherm angenommen werden kann. Im Rahmen dieser Arbeit sollen isotherme radiale Wandstrahlen experimentell und numerisch untersucht werden. Insbesondere soll geprüft werden in wie weit es möglich ist, mit CFD- Rechnungen das Strömungsfeld eines radialen Wandstrahls abzubilden. Dabei sollen zunächst in einem zu konzipierenden Versuchsaufbau Geschwindigkeitsprofile des Strahls vermessen werden. Anschließend sollen die aus CFD-Rechnungen erlangten Ergebnisse mit den experimentellen Daten verglichen und bewertet werden. Für eine (angestrebte) analytische Beschreibung soll darüber hinaus geprüft werden, ob die untersuchte radiale Wandstrahlströmung angenähert selbstähnlichen Charakter besitzt und welche Strahlkenngrößen ihre Darstellung gestatten. Hamburg-Harburg, den 17. August 2005 Prof. Dr.-Ing. H. Herwig Diplomarbeit: Paul Jonas

5 Symbolverzeichnis Anhand einer allgemeinen Größe a sollen die in der Arbeit verwendeten Kennungen erklärt werden Kennungen Symbol a a a a a + a Bedeutung allgemeine dimensionsbehaftete Größe zeitlich gemittelte Größe Schwankungsgröße vektorielle Größe dimensionslose Grenzschichtgröße normierte Größe Große lateinische Buchstaben Symbol Bedeutung Einheit Kapitel A Fläche m 2 A zi Ringfläche des i-ten Zylinders m 2 F Strahlkonstante m 5 /s 3 I Impuls Ns I Impulsstrom N I Turbulenzintensität % R radialer Längenmaßstab m S Quellterm - V Volumen m 3 V Volumenstrom m 3 /s C Konstante - C r Rauheitskonstante - U B Bezugsgeschwindigkeit m/s Kleine lateinische Buchstaben Symbol Bedeutung Einheit Kapitel a v Einmischkoeffizient m 3 /sm d z Zylinderdurchmesser m g Längenfunktion m f Kraftvektor - f Kraft N Bis Kapitel 2.4 Diplomarbeit: Paul Jonas

6 f dimensionslose Stromfunktion - Kapitel 7 f beliebige Strömungsgröße - Kapitel 2.3 h z Zylinderhöhe m k turbulente kinetische Energie m 2 /s 2 k s Sandrauheit m l m Mischungsweglänge m l t turbulente Länge m m Masse kg m Geschwindigkeitsexponent - Ab Kapitel 3.5 m G Geschwindigkeitsexponent nach - Glauert ṁ Massenstrom kg/s n Anzahl - p Druck Pa r, z Koordinatenrichtungen m r 0 virtueller Ursprung m t Zeit s u i Geschwindigkeit in i-richtung m/s u a Geschwindigkeit am Auslass m/s u c charaktersiche Geschwindigkeit m/s u τ Schubspannungsgeschwindigkeit m/s u r, u ϕ, u z Geschwindigkeit in r, ϕ, z-richtung m/s Griechische Buchstaben Symbol Bedeutung Einheit Kapitel α Winkel δ Grenzschichtdicke m δ c charakteristischen Dicke m δ w Wandschichtdicke m δ l Dicke der viskosen Unterschicht m δ R Dicke bis zum Strahlrand m Differenz - η dimensionslose Ortskoordinate - Γ allgemeiner Austauschkoeffizient - ε Größenordnung - in Kapitel ε Energiedissipation m 2 /s 3 κ von Kàrmàn-Konstante - µ dynamische Viskosität kg/m s µ t dynamische Wirbelviskosität kg/m s Diplomarbeit: Paul Jonas

7 ν kinematische Viskosität m 2 /s ν t kinematische Wirbelviskosität m 2 /s ν B kinematische Bezugsviskosität m 2 /s ϕ ϕ-koordinate rad φ allgemeine - Ψ Stromfunktion m 2 /s ϱ Dichte kg/m 3 ϱ R Referenzdichte kg/m 3 σ i Normalspannung N/m 2 τ ij Schubspannung N/m 2 τ w Wandschubspannung N/m 2 ω turbulente Frequenz 1/s ζ Druckverlustbeiwert - ξ Bruchteil - Indizes Index Bedeutung aus austretenden Größe abs absolut δ die Strahldicke betreffend (Potenzansatz) δ ci ein F S ges die Strahldicke betreffend (Geradengleichung) eintretende Größe Freistrahl gesamt i, j, k Koordinatenrichtungen m mittlere Größe mess gemessene Größe sim Größe für Simulation t turbulente Größe u Geschwindigkeit betreffend (Potenzansatz) v Den Volumenstrom betreffend (Geradengleichung) W S Wandstrahl Weitere Größen Index F O Bedeutung beliebige Funktion Landau-Symbol Diplomarbeit: Paul Jonas

8 α ω, β ω, P r ω, P r k C µ, C ε1, C ε2, σ k, σ ε Konstanten des k-ω-modells Konstanten des k-ε-modells C D, σ k div Konstanten der k-gleichung Nabla-Operator Diverganz Diplomarbeit: Paul Jonas

9 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung Problemstellung und Motivation Lösungsansatz Theoretische Grundlagen Massenerhaltung Impulserhaltung Reynolds-Gleichungen für turbulente Strömungen Grenzschichtgleichungen Prandtlsche Grenzschichtgleichungen Wandgesetze Wandrauheit Turbulenzmodellierung Schließungsproblem Null-Gleichungsmodelle Ein-Gleichungsmodelle Zwei-Gleichungsmodelle Mehr-Gleichungsmodelle Experimentelle Untersuchung turbulenter radialer Wandstrahlen Zielsetzung Messtechnik Volumenstrombestimmung Geschwindigkeitsmessung Temperaturmessung Datenaufzeichung mit Messprogramm Versuchsaufbau Erster Versuchsaufbau Zweiter Versuchsaufbau Versuchsbedingungen Durchführung der Messungen am Versuchsaufbau I Durchführung der Messungen am Versuchsaufbau II Versuchsauswertung Allgemeines Auswertung erster Aufbau Auswertung zweiter Aufbau Untersuchung des Auslassprofils Fehlerquellen Diplomarbeit: Paul Jonas i

10 Inhaltsverzeichnis 4. Numerische Simulation Grundlagen der numerischen Strömungssimulation Diskretisierung der Erhaltungsgleichungen Klassifizierung der Gleichungen Finite Differenzen Methode Finite Volumen Methode Randbedingungen Lösungsalgorithmen Fehlereinflüsse numerischer Simulationen Das Softwarepaket FLUENT Allgemeines Der Pre-Processor Gambit Erstellen der Geometrie Erstellen des Gitters Randbedingungen definieren und Gitterexport Der Solver Fluent Gitterinformationen ausgeben Randbedingungen konkretisieren Auswahl des Mediums Einstellen des Solvers Auswahl des Turbulenzmodells Wandfunktionen Standard Wandfunktionen Enhanced Walltreatment Initialisierung des Strömungsgebietes Der Post-Processor Fluent Visuelle Darstellung der Ergebnisse Exportieren der berechneten Strömungsgrößen Numerische Simulation turbulenter radialer Wandstrahlen Zielsetzung Prüfen und Erstellen der Geometrie Prüfen der Gitterunabhängigkeit Prüfen der Raumgrößenunabhängigkeit Auswahl des Turbulenzmodells Berechnung Berechnung mit einem Blockprofil über die gesamte Austrittshöhe Variation der Austrittshöhe Einfluss der Austrittsturbulenz Rechnung mit Enhanced-Wall-Treatment Diplomarbeit: Paul Jonas ii

11 Inhaltsverzeichnis Einfluss der Wandrauheit Berechnung der Strahlkonstante F Angenäherte selbstähnliche Lösung turbulenter Wandstrahlen Grundvoraussetzungen für selbstähnliche Lösungen Einführen von dimensionslosen Ähnlichkeitsvariablen Die Falkner-Scan-Gleichung Lösung für den Freistrahl Ergebnisse Zusammenfassung Ausblick 119 A. Diagrammanhang 120 A.1. Diagramme zu Aufbau I A.1.1. Diagramme zu Aufbau I in dimensionsbehafteter Darstellung A.1.2. Diagramme zu Aufbau I in dimensionsloser Darstellung A.2. Diagramme zu Aufbau II A.2.1. Diagramme zu Aufbau II in dimensionsbehafteter Darstellung A.2.2. Diagramme zu Aufbau II in dimensionsloser Darstellung A.3. Vergleich von Wand- und Freistrahl B. Abbildungsanhang 131 B.1. Diagramm zur Rohrreibungszahl λ B.2. Informationen zu den benutzten Anemometern C. Mathematischen Anhang 132 C.1. Herleitungen zur selbstähnlichen Lösung des Freistrahls C.1.1. Rechenregeln für die Reynoldsmittelung C.2. Rechenregeln für Mittelwerte C.2.1. Rechenregeln für die FAVRE-Mittelung C.3. Navier Stokes Gleichungen in r, z und ϕ - Koordinaten C.3.1. Die Gleichungen für laminare inkompressible Strömung (ohne Schwerkräfte):136 C.3.2. Umschreiben der Bewegungsgleichung C.3.3. Die Gleichungen für turbulente Strömung (ohne Schwerkräfte): C.4. Mathematische Operatoren Abbildungsverzeichnis 142 Tabellenverzeichnis 143 Literaturverzeichnis 145 Diplomarbeit: Paul Jonas iii

12 1. Einleitung 1. Einleitung 1.1. Problemstellung und Motivation Wandstrahlen sind ein immer wieder auftauchendes Phänomen in strömungsmechanischen Problemstellungen. So spielen Wandströmungen in vielen technischen Bereichen eine wichtige Rolle, wie z. B. bei Umströmung von Tragflächen, Strömungen an Turbinenschaufeln, Trocknungsvorgängen und vielen weiteren Anwendungen. Wandstrahlen bilden sich auch beim Auftreffen von Auftriebsstrahlen an einer Decke. Ein typischer Fall tritt bei Bränden in Gebäuden auf. Dort bilden sich aufgrund eingebrachter Wärme (Brandherd) wegen des Dichteunterschieds Auftriebsstrahlen, welche sich an Decken in radiale Wandstrahlen umwandeln. Da sowohl der der Massenstrom des Auftriebsstrahls als auch des Wandstrahls durch Induktion von Außenluft ständig zunimmt, wäre eine komplette mathematischen Abbildung des Phänomens hilfreich um Absaugvolumenströme sinnvoll vorhersagen zu können. Eine Besonderheit des Wandstrahls ist, dass es sich um eine Scherströmung handelt, die sowohl von einer Wand begrenzt wird, als auch von einer ruhenden Außenströmung. Dadurch ergeben sich im Gegensatz zu Freistrahlen asymmetrische Geschwindigkeitsprofile (siehe Abbildung 1). Auch die Ausbreitungsrate von Wandstrahlen ist im Vergleich zu Freistrahlen kürzer, da durch den Impulsverlust an der Wand der gesamte Impuls im Strahl über die Lauflänge abnimmt. Das hat zur Folge, dass als konstante Strahlgröße anders als beim Freistrahl das Produkt aus Volumenstrom und Strahlimpuls herangezogen werden muss [13]. Dazu sei angemerkt, dass die niedrigere Ausbreitungsrate weniger an der Wandschubspannung liegt, als vielmehr auf die Dämpfung der Reynoldsschen Spannungskomponente normal zu Wand zurückzuführen ist. In dieser Arbeit werden lediglich turbulente Wandstrahlen vermessen und Simuliert. Bei kleinen Re-Zahlen herrscht in den Wandstrahlen laminare Strömung. Bei den meisten Wandstrahl-Phänomenen handelt es sich um dreidimensionale Problemstellungen. In dieser Arbeit werden jedoch nur zweidimensionale Strahlen analytisch, sowie numerisch berechnet, da dies in guter Näherung die Realität widerspiegeln sollte. Eine komplette dreidimensionale numerischen Untersuchung, würde den zeitlichen Aufwand um ein vielfaches erhöhen, da sich die Rechenzeiten stark verlängern würden. Die oben genannten Eigenschaften von Wandstrahlen machen es interessant, das Phänomen numerisch nachzurechnen, da hohe Anforderungen an die Turbulenzmodelle gestellt werden. Besonders der Wandbereich mit den dort steilen Gradienten und der Dämpfung der Reynoldsschen Spannungen ist in der Berechnung nicht trivial. Diplomarbeit: Paul Jonas 1

13 1. Einleitung Abb. 1: Prinzipbild eines radialen Wandstrahls 1.2. Lösungsansatz Um radiale Wandstrahlen untersuchen zu können, muss zunächst ein geeignetes Modell erstellt werden. In der vorliegenden Arbeit wird der Wandstrahl durch Ausblasen von Luft über eine zylindrische Auslassfläche erzeugt (siehe Abbildung 1). Der Wandstrahl soll sowohl auf experimenteller als auch auf numerischer Basis erzeugt und untersucht werden. Anschließend sollen die Ergebnisse verglichen werden, und untersucht werden, mit welchen Anfangswerten und Turbulenzmodellen eine numerische Lösung den experimentellen Ergebnissen möglichst nahe kommt. Um den Rahmen dieser Arbeit nicht zu sprengen, werden nur isotherme Strahlen betrachtet. Daraus folgt unmittelbar, dass sich die verwendeten Gleichungen auf die Kontinuitäts-und die Impulsgleichung beschränken. Die Energiegleichung wird nicht benötigt. Der letzte Teil dieser Arbeit widmet sich der Fragestellung, in wieweit es möglich ist, Wandstrahlen als selbstähnliche Strömungsfelder zu behandeln, und, in welchen Bereichen die Selbstähnlichkeit anwendbar ist. Dazu wird verstärkt auf die Ausführungen vom M. B. Glauert [10] eingegangen, welcher 1956 eine ausführliche mathematische Abhandlung über die Ähnlichkeitslösungen von Wandstrahlen erstellt hat. Diplomarbeit: Paul Jonas 2

14 2. Theoretische Grundlagen 2. Theoretische Grundlagen Um ein Strömungsgebiet eindeutig beschreiben zu können, sind Stoffwerte des Fluids, die Erhaltungsgleichungen sowie Randbedingungen, die sich aus geometrischen und thermodynamischen Gegebenheiten ableiten lassen, notwendig. Die für Strömungsphänomene wichtigen Stoffgrößen sind die Dichte ϱ und die dynamische Viskosität µ. Sollen über die Strömungsgrößen hinaus auch thermische Phänomene berücksichtigt werden, kommen noch die Stoffgrößen der Wärmeleitung λ und Wärmekapazität c p hinzu. In dem vorliegendem Problem handelt es sich jedoch um eine isotherme Strömung, so dass die letztgenannten Größen nicht verwendet werden. Die Dichte, sowie auch die Viskosität sind Funktionen der Temperatur und des Druckes. Die dynamische Viskosität µ ergibt sich aus der Schubspannung τ und dem Geschwindigkeitsgradienten in z-richtung τ = µ d u dz. (2.1) In vielen strömungsmechanischen Gleichungen wird auch die kinematischen Viskosität ν = µ ϱ (2.2) welche als Quotient aus der dynamischen Viskosität und der Dichte definiert ist, verwendet. In der vorliegenden Arbeit werden der Druck und die Temperatur über das gesamte Gebiet als konstant angenommen, so dass auch die Stoffgrößen ϱ und µ, und somit auch ν über das Strömungsgebiet konstant sind. Die Darstellung des Strömungsverhaltens, also das Strömungsfeld, wird mit den in den folgenden Kapiteln näher erläuterten Erhaltungsgleichungen beschrieben. Dabei handelt es sich um die Erhaltung der Masse und des Impulses. Diplomarbeit: Paul Jonas 3

15 2. Theoretische Grundlagen 2.1. Massenerhaltung Die Erhaltungsgleichung der Masse soll folgend an einem Volumenelement verdeutlicht werden. Da es sich um radiale Wandstrahlen handelt, wird die Herleitung in Zylinderkoordinaten (siehe Abbildung 2) durchgeführt. Die Koordinatenrichtungen sind in diesem Fall r, ϕ, z. Abb. 2: Massenbilanz an einem Volumenelement in Zylinderkoordinaten Für ein infinitesimales Volumenelement muss gelten, dass die zeitliche Änderung der Masse in dem Volumenelement gleich der Summe der Differenzen der jeweilig in einer Koordinatenrichtung ein - und austretenden Massenströme ist. d m dt = ṁ i,ein ṁ i,aus, (2.3) mit i = r, ϕ, z. Eine allgemeine Massenbilanz über die i-te Koordinatenrichtung lautet: Diplomarbeit: Paul Jonas 4

16 2. Theoretische Grundlagen dṁ i = ṁ i,ein ṁ i,aus = (ϱ i u i A i ) ein (ϱ i u i A i ) aus ( = (ϱ i u i A i ) ein (ϱ i u i A i ) ein + (ϱua(x ) i)) dx i. (2.4) x i Mit den Teilflächen A i, normal zur jeweilig i-ten Koordinatenrichtung, A r = rdϕdz, A ϕ = drdz, (2.5) A z = rdrdϕ ergeben sich für die r, ϕ und z -Richtungen folgende Bilanzgleichungen: r-richtung: ϕ-richtung: ( dṁ r = ϱu r rdϕdz ϱu r rdϕdz + (ϱu ) rr) drdϕdz r ( dṁ ϕ = ϱu ϕ drdz ϱu ϕ drdz + (ϱu ) ϕ) ϕ dϕdrdz (2.6) (2.7) z-richtung: ( dṁ z = ϱu z rdrdϕ ϱu z rdrdϕ + (ϱu ) z) dzrdrdϕ. (2.8) z Für die sich im Volumenelement ändernde Masse gilt m t = ϱ t dv = ϱ rdrdϕdz, (2.9) t so dass sich Gleichung (2.3) mit (2.6),(2.8) und (2.7) schreiben lässt als: ( ϱ t rdrdϕdz = ϱu rrdϕdz ( + ϱu ϕ drdz ( + ϱu z rdrdϕ Die Kontinuitätsgleichung ergibt sich dann zu ϱu r r + (ϱu ) rr) dr dϕdz r ϱu ϕ + (ϱu ) ϕ) ϕ dϕ drdz (2.10) ϱu z + (ϱu z) dz z ) rdrdϕ. Diplomarbeit: Paul Jonas 5

17 2. Theoretische Grundlagen Für inkompressible und stationäre Strömung ( ϱ t ϱ t + 1 (ϱu r r) + (ϱu z) + 1 (ϱu ϕ ) = 0. (2.11) r r z r ϕ = 0 und ϱ = const) vereinfacht sich 2.11 auf: 1 ru r + u z r r z + 1 u ϕ r ϕ = 0. (2.12) 2.2. Impulserhaltung Analog zur Massenerhaltung muss auch der Impuls erhalten bleiben. Der Impuls ist als Produkt aus Masse mal Geschwindigkeit definiert, so dass die für zeitliche Änderung des Impulses in einem Volumenelement gilt: I t = (ϱ v) rdrdϕdz (2.13) t Die gesamte Impulsänderung wird durch folgende Größen bestimmt. mit: I ( t = I ) ( t ein I ) + (τ i,j ) + (σ i,j ) + f i (2.14) t ein ( I ) t : Über die Volumenoberflächen ein - bzw. austretende Impulsströme (τ i,j ) : Auf das Volumenoberflächen wirkende Schubspannungen (σ i,j ) : Auf das Volumenoberflächen wirkende Normalspannungen f i : Volumenkräfte in die jeweilige Koordinatenrichtung, z.b. die Gewichtskraft (2.15) Die analoge Herleitung der Impulsgleichung anhand eines Volumenelementes ist nicht ohne weiteres möglich [7]. Eine weitere Möglichkeit der Herleitung ist die Bilanzierung an einem Volumenelement in kartesischer Koordinaten und die anschließende Transformation in zylindrische. Auf diese Prozedur soll hier jedoch verzichtet werden. Anders als bei der Massenbilanz, wo die ein-und austretenden Ströme Massenströme sind, handelt es sich bei der Impulsbilanz um Impulsströme ϱu i u j, wobei i der Fließrichtung der betrachteten Geschwindigkeit entspricht und j der Flächennormalen der durchflossenen Fläche. Anders Diplomarbeit: Paul Jonas 6

18 2. Theoretische Grundlagen Abb. 3: Impulsbilanz (anhand von ϱu i u j ) an einem Volumenelement in Zylinderkoordinaten Abb. 4: Impulsbilanz (anhand von Schub- und Normalspannungen) an einem Volumenelement in Zylinderkoordinaten als bei der Massenerhaltung, tritt der Impulsstrom in r-richtung nicht nur über die Fläche normal zur r-koordinate ein und aus, sondern auch über alle anderen Flächen (siehe 3). Die Impulsbilanz in r-richtung ergibt sich aus den ein-und austretenden kinematischen Anteilen ϱu i u j und den auf die Flächen wirkenden Spannungen zu: (ϱu r ) t + 1 (rϱu r u r ) + (ϱu ruz) + 1 r r z r = 1 rσ rr + τ zr r r z + 1 τ ϕr r ϕ (ϱu r u ϕ ) ϕ u2 ϕ r τ ϕϕ r + f r + f g,r, (2.16) wobei die Indizes an den Spannungen τ i,j für die Richtung normal zur Wirkfläche, an welcher die Spannung wirkt (i), und Wirkrichtung der Spannung (j) stehen (Siehe Abbildung (4)). Es sollen nun Materialgesetze gefunden werden, welche die Spannungen σ i,i und τ i,j mit den Strömungsgrößen u i, p und µ verbinden. Bei reibungsfreier Strömung entsprechen die Normal- Diplomarbeit: Paul Jonas 7

19 2. Theoretische Grundlagen spannungen σ i,i dem Druck in der Strömung. Damit gilt: p = 1 3 (σ rr + σ ϕϕ + σ zz ). (2.17) Werden nun die Normalspannungen in zwei Anteile aufgespalten, einen Druckterm und einen, welcher die viskosen Spannungen berücksichtigt, so ergeben sich: τ rr = σ rr + p, τ ϕϕ = σ ϕϕ + p, τ zz = σ zz + p. (2.18) Die Schubspannungen τ i,j und die Normalspannungsanteile (für i = j) werden durch das Newtonsche Reibungsgesetz, erweitert mit dem Stokesschen Reibungsgesetz, wie folgt durch µ und u i ausgedrückt: τ rr = 2ν (ϱu r) + 2 µ u (2.19) ( r 3 1 (ϱu ϕ ) τ ϕϕ = 2ν r ϕ + u ) r + 2 µ u (2.20) r 3 τ zz = 2ν (ϱu z) + 2 µ u (2.21) ( z 3 (ϱur ) τ zr = τ rz = ν + (ϱu ) z) (2.22) z r ( τ ϕr = τ rϕ = ν r ( ϱuϕ ) + 1 r r r ( (ϱuϕ ) τ ϕz = τ zϕ = ν + 1 z r ) (ϱu r ) (2.23) ϕ ). (2.24) (ϱu z ) ϕ Zu den Gleichungen (2.19), (2.20) und (2.21) sei angemerkt, dass der letzte Term u, welcher der Divergenz des Geschwindigkeitsvektors entspricht (siehe (C.4), mathematisch equivalent mit der Kontinuitätsgleichung (2.12) ist. Mit der Annahme, dass inkompressible Strömung herrscht ( ϱ t = 0), wird dieser Term somit gleich null. Nähere Informationen zum Newtonsche Reibungsgesetz und Stokesschen Reibungsgesetz findet sich in [20]. Gleichung (2.16) kann nun mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung (2.12) und den oben genannten Definitionsgleichungen für die Schub- und Normalspannungen ((2.19), (2.22) und (2.23)) vereinfacht werden, so dass sich die Navier-Stokes-Gleichung für die r-koordinate wie folgt ergibt: 1 1 Einsetzen Gleichungen ((2.19) (2.22) und (2.23)) für die Schub- und Normalspannungen in die rechte Seite der Gleichung (2.16) ergibt: r ν 1 P + 2ν (ϱur) (ϱur) + + (ϱuz) r r z r z r + 1 r ϕν 1 (ϱu r) r ϕ + (ϱuϕ) r ϱuϕ r {z } τ rr daraus folgt nach ausmultiplizieren: {z } τ rz {z } τ rϕ Diplomarbeit: Paul Jonas 8

20 2. Theoretische Grundlagen u r t + 1 (ϱu r u r r) + 1 r r r p r + ν (ϱu ϕ u r ) ϕ + (ϱu zu r ) z ( 2 (ϱu r ) r (ϱu r ) r 2 ϕ (ϱu r ) z r ϱu2 ϕ = (2.25) r (ϱu r ) 2 (ϱu ϕ ) r r 2 ϕ (ϱu ) r) r 2 + f r Für die z und die ϕ - Richtung ergeben sich die Navier-Stokes-Gleichungen zu: (ϱu ϕ ) t 1 r + 1 (ϱu r u ϕ r) + 1 r r r p ϕ + ν (ϱu ϕ u ϕ ) ϕ + (ϱu zu ϕ ) z ( 2 (ϱu ϕ ) r (ϱu ϕ ) r 2 ϕ (ϱu ϕ ) z r + (ϱu ru ϕ ) = (2.26) r (ϱu ϕ ) + 2 (ϱu r ) r r 2 ϕ ϱu ) ϕ r 2 + f ϕ (ϱu z ) t + 1 (ϱu r u z r) + 1 r r r p z + ν (ϱu ϕ u z ) ϕ + (ϱu zu z ) z ( 2 (ϱu z ) r (ϱu z ) r 2 ϕ (ϱu z ) z r = (2.27) ) + f z (ϱu z ) r 2.3. Reynolds-Gleichungen für turbulente Strömungen In diesem Kapitel soll die bisherige Betrachtungsweise der laminaren Strömung auf die turbulenten Strömungen erweitert werden. In den bisherigen Kapiteln werden die Navier-Stokes-Gleichungen aus der Impulsbilanz hergeleitet. Mit diesen Gleichungen lassen sich prinzipiell alle Strömungsarten beschreiben, sowohl laminare, turbulente, kompressible und inkompressible. Um jedoch turbulente Strömungen mit diesen Gleichungen für technische Probleme numerisch fein genug aufzulösen, bedarf es Rechnern mit hoher Speicherkapazität und Rechenleistung. Diese numerischen Verfahren (DNS - Directnumerical-simulation) sind für große Rechengebiete zu zeitaufwändig, oder gar nicht möglich. In der Regel sind bei technischen Untersuchungen zeitlich und örtlich explizit aufgelöste Vorgänge der Turbulenz nicht von Interesse, sondern die gemittelten Geschwindigkeiten. Die Herleitung der Reynoldsschen Gleichungen verfolgt das Ziel, turbulente Strömungen mit Hilfe von gemittelten Strömungsgrößen einfacher und schneller berechnen zu können. Wirft man einen detaillierten Blick auf turbulente Strömungen, so ist zu erkennen, dass gegenüber laminaren Strömungen, wo sich die Fluidteilchen auf geordneten Bahnen bewegen, die turbulenten P 2 + ν" r r (ϱu z) z (ϱu r) (ϱu r) + (ϱu z) r r 2 r z {z } + 2 (ϱur) (ϱu r) (ϱu ϕ) 1 (ϱu ϕ) z 2 r 2 ϕ 2 r ϕ r r 2 ϕ aus der Kontinuitätsgleichung (2.11) den Term: ϱ 1 (ϱu rr) 1 (ϱu ϕ) einsetzen. t r r r ϕ # Und für Diplomarbeit: Paul Jonas 9

21 2. Theoretische Grundlagen Strömungen von zeitlichen sowie örtlichen Schwankungen überlagert sind (Abbildung 5). Die Schwankungsgrößen finden in allen Koordinatenrichtungen statt. Auch die Größen ϱ und p unterliegen Schwankungen. Der Ansatz nach Reynolds basiert auf der Aufteilung der Geschwindigkeit in die Komponenten der gemittelten Hauptgschwindigkeit und der dazugehörenden Schwankungsgröße (siehe Abbildung 6) Abb. 5: Laminare (a) und turbulente (b) Strömung [20] Bei der Mittelwertbildung der Hauptgeschwindigkeit muss der Charakter der Strömung berücksichtigt werden. So gibt es Strömungen bei denen die Strömungsgrößen nach einem unendlich langen Zeitintervall einen konstanten Mittelwert aufweisen (Abbildung 7, links). Bei diesen Strömungen schwankt die Strömungsgröße f mit den Ausschlägen f um den Mittelwert f. Diese Strömungen nennt man stationär, und für die gemittelten Größen gilt: sowie: f = lim t lim t 1 t 1 t t 0 + t t o+ t t 0 fdt (2.28) t 0 f dt = 0. (2.29) Für statistisch gemittelte instationäre Strömungen (Siehe Abbildung 7 rechts), muss t so gewählt werden, dass weder die Instationarität ( t zu groß), noch die Turbulenz ( t zu klein) den Diplomarbeit: Paul Jonas 10

22 2. Theoretische Grundlagen Abb. 6: Reynoldscher Ansatz zur Beschreibung turbulenter Strömungsgrößen Mittelwert verfälscht. Im folgenden soll die Strömung als stationär ( t = 0) und inkompressibel (ϱ = const) betrachtet werden, so dass die Dichte ϱ aus der Kontinuitäts- sowie Bewegungsgleichung verschwindet. Das bedeutet, dass die alle Strömungsgrößen nur zeitgemittelt werden müssen. Bei inkompressiblen Strömungen ist eine mögliche Form der Massenmittelung die sog. Favre-Mittelung (siehe Anhang C.2.1). Die einzelnen Strömungsgrößen werden nun durch Überlagerung von Mittelwert und Schwankungsgrößen folgendermaßen dargestellt: u r = u r + u r, u ϕ = u ϕ + u ϕ, u z = u z + u z (2.30) Die gemittelten Größen u berechnet sich analog zu (2.28). sowie: 2 u = lim t 1 t t 0 + t t 0 (u)dt (2.31) 2 Erläuterungen zur Herleitung sind in Anhang (C.1.1) nachzuschlagen. Diplomarbeit: Paul Jonas 11

23 2. Theoretische Grundlagen Abb. 7: Statistisch gemittelt stationäre und instationäre turbulente Strömung u = lim t 1 t t 0 + t Diese Art der zeitlichen Mittelung wird Reynolds-Mittelung genannt. t 0 (u )dt = 0. (2.32) Mit diesen Größen können nun die bisherigen Gleichungen (2.12), (2.25), (2.26) und (2.27) zeitlich gemittelt werden. Für die Kontinuitätsgleichung ergibt sich: oder 1 t t 0 + t t 0 ( 1 r (u r r) r + u z z + 1 r ( 1 (u r r) + u z r r z + 1 r ) u ϕ dt = 0 (2.33) ϕ ) u ϕ = 0. (2.34) ϕ In diese Gleichungen werden nun die gemittelten Größen nach (2.30) eingesetzt 1 ((ū r + u r)r) + 1 (ū ϕ + u ϕ) + (ū z + u z) = 0, (2.35) r r r ϕ z und durch ausmultiplizieren und unter Beachtung von (2.32) 3 ergibt sich dann die zeitgemittelte Kontinuitätsgleichung wie folgt: 3 Darüber hinaus werden folgende Rechenregeln beachtet: f r Weitere Informationen dazu im Anhang (C.2.1) = f r sowie: ϱf = 0 und ϱ f = 0 Diplomarbeit: Paul Jonas 12

24 2. Theoretische Grundlagen 1 (ru r ) + 1 u ϕ r r r ϕ + u z z = 0. (2.36) Sie hat sich gegenüber der ursprünglichen Form (Vergleich (2.12)) kaum verändert. Lediglich die Geschwindigkeitskomponenten u r u ϕ und u z wurden durch die gemittelten Größen ersetzt. Die Herleitung für die zeitlich gemittelte Navier Stokes Gleichung erfolgt auf analoge Weise (hier beispielhaft an Hand der r - Koordinate durchgeführt). 1 (ru r u r ) + 1 (u r u ϕ ) + (u ru z ) u2 ϕ r r r ϕ z r = 1 r rσ rr r + 1 r τ ϕr ϕ + τ zr z τ ϕϕ r + f r (2.37) Neben den gemittelten Geschwindigkeiten u i + u i für u i müssen auch gemittelten Spannungen σ ii und τ ij in die obige Gleichung eingesetzt werden. Für die gemittelten Spannungen folgende Beziehungen eingesetzt: τ rr = 2µ u ( r 1 u ϕ, τ ϕϕ = µ r r ϕ + u ) r r ( uz τ rz = τ rr = µ r + r ) z ( τ rϕ = τ ϕr = µ r ( uϕ ) + 1 r r r ( (uϕ ) τ ϕz = τ zϕ = µ + 1 z r u z ϕ, τ zz = 2µ u z z ) u r ϕ ) (2.38) (2.39) (2.40) (2.41) Sie unterscheiden sich lediglich durch die Zeitmittelung und die Eliminierung der Dichte von denen in Gleichungen (2.19) bis (2.24). Unter Beachtung von (2.32) sowie den Rechenregeln in Anhang (C.1.1) ergeben sich die zeitgemittelten Navier Stokes Gleichungen (Reynoldsschen Gleichungen) in Abwesenheit von Volumenkräften folgendermaßen: Diplomarbeit: Paul Jonas 13

25 2. Theoretische Grundlagen r - Koordinate: 1 (ru 2 r) + 1 (u r u ϕ ) + (u ru z ) u2 r r r r ϕ z r } {{ } Konvektiver Impulstransport = p ( 1 r + (rτ rr ) + 1 τ ϕr r r r ϕ + τ zr z τ ) ϕϕ r } {{ } Viskose Spannungen ( ) 1 (ru 2 r ) + 1 (u ru ϕ) + (u ru z) u 2 ϕ r r r ϕ z r } {{ } Turbulente Spannungen (Reynoldsche Spannungen) (2.42) z - Koordinate: = p z + ( 1 r 1 (ru r u z ) r r ( 1 r (ru zu r) r + 1 (u z u ϕ ) + (u2 z) r ϕ z + 1 τ ϕz r ϕ + τ ) zz z ) + 1 (u zu ϕ) + (u 2 z ) r ϕ z (rτ rz ) r (2.43) Bei der turbulenten Impulsgleichung sind neue Terme hinzugekommen, welche aus den Produkten der Schwankungsgrößen bestehen. Diese Terme, z.b u ru z, nennt man Reynoldsche Spannungen. Sie enstehen aufgrund von Turbulenz und transportieren, wie auch die viskosen Spannungen Impuls. Da sich die folgenden Herleitungen nur auf die Navier-Stokes-Gleichung in r und z - Richtung beziehen, wird auf die Herleitungen in ϕ-richtung verzichtet. Die Gleichung befindet sich der Vollständigkeit halber im Anhang (C.3.3)([17] S.746 ff). Betrachtet man das gesamte Gleichungssystem, also die Gleichungen in r, z und ϕ - Richtung, so können sowohl die viskosen, als auch die turbulenten Spannungen in dem sog. Spannungstensor zusammengefasst werden. Das Gleichungssystem lässt sich in symbilischer Schreibweise folgendermaßen ausdrücken: ( u) t + ( u ) u = f p + τ + τ t. (2.44) Wobei τ t für den Spannungstensor der turbulenten, und τ für den der viskosen Spannungen steht. (F) steht für die Divergenz der jeweiligen Vektorfunktion (siehe Anhang (C.4)). Die Spannungstensoren lassen sich wie folgt schreiben: Viskoser Spannungstensor: Diplomarbeit: Paul Jonas 14

26 2. Theoretische Grundlagen τ rr τ zr τ ϕr τ = τ rz τ zz τ ϕz (2.45) τ rϕ τ zϕ τ ϕϕ Turbulenter Spannungstensor: u 2 r u ru z u ru ϕ τ t = u zu r u 2 z u zu ϕ (2.46) u ϕu r u ϕu z u 2 ϕ 2.4. Grenzschichtgleichungen An Wänden (Wandbereich) herrschen grundlegend andere Strömungsverhältnisse als im Kernbereich der turbulenten Strömung. Da an einer Wand die Haftbedingung herrscht, muss dort ũ r = 0, ũ ϕ = 0 und ũ z = 0 gelten. Wegen der Haftbedingung müssen auch die turbulenten Spannungen zur Wand hin gegen null gehen, da die Schwankungsgrößen an der Wand gleich null sein müssen. Direkt an der Wand gibt es eine dünne Schicht, die als viskose Unterschicht bezeichnet wird. In dieser Schicht spielen sowohl die viskosen Spannungen, hervorgerufen durch die molekulare Viskosität, als auch der turbulente Impulstransport eine Rolle. In der viskosen Unterschicht sind die Einflüsse der molaren-, sowie der turbulenten Schubspannung von gleicher Größenordnung [12]. Dort gilt τ = τ m + τ t. Die Wandschicht hat die Dicke δ w, und ist sehr viel dünner als die gesamte Grenzschicht (Siehe Abbildung 8). Es gilt δ w /δ = ε. Die Wandschicht geht in eine Übergangsschicht über, welche ihrerseits in die Außenschicht, auch Defektschicht genannt, übergeht Prandtlsche Grenzschichtgleichungen Absicht der Herleitung der Prandtlschen Grenzschichtgleichungen ist es, die Reynold schen Gleichungen für den Grenzschichtbereich zu vereinfachen. Dazu wird mit Hilfe der Skalierungsmaßstäbe in Abbildung (8) eine Abschätzung vorgenommen. Bevor die eigentlichen Grenzschichtgleichungen hergeleitet werden, werden weitere grundlegende Annahmen gemacht, um die Kontinuitäts- und Impulserhaltungsgleichung weiter zu vereinfachen. Folgenden Annahmen werden gemacht: Die Strömung ist zweidimensional ( ϕ = 0, ũ ϕ = 0, u ϕ = 0) Diplomarbeit: Paul Jonas 15

27 2. Theoretische Grundlagen Abb. 8: Längenmaßstäbe in einer Grenzschicht Die Strömung ist stationär und inkompressibel ( t = 0 ϱ = const) Volumenkräfte werden nicht berücksichtigt. (f i = 0) Damit ergeben sich die Kontinuitäts - sowie die Impulserhaltungsgleichung in r und z - Richtung folgendermaßen: Kontinuitätsgleichung: Impulsgleichung in r-richtung: 1 (u r ) + (u z) = 0 (2.47) r r z 1 (ru 2 r) r r + (u ru z ) z = p r + u2 r r ( 1 (rτ rr ) + τ zr r r z ) ( 1 r ) (ru 2 r ) + (u ru z) r z (2.48) Impulsgleichung in z-richtung: Diplomarbeit: Paul Jonas 16

28 2. Theoretische Grundlagen 1 (ru r u z ) r r = p z + + (u2 z) z ( 1 (rτ rz ) + τ zz r r z ) ( 1 r (ru zu r) r ) + (u 2 z ) z (2.49) Die in den Impulsgleichungen enthaltenen Schubspannungen werden analog wie im vorherigen Kapitel durch die Ausdrücke (2.38) bis (2.41) ersetzt. Anschließend ergeben sich mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung dann die Gleichungen (2.48) und (2.49) zu: 1 (ru 2 r) r r + (u ru z ) z [ 1 r = p r + µ r ( r u ) r + 2 u z r z 2 u ] ( r r 2 1 r ) (ru 2 r ) + (u ru z) r z (2.50) und 1 (ru r u z ) r r + (u2 z) z [ 1 r = p z + µ r ( r u ) ] ( z + 2 u z r z 2 1 r (ru zu r) r ) + (u 2 z ). z (2.51) Diese letzten beiden Gleichungen werden durch Abschätzen der Größenordnungen der einzelnen Terme weiter reduziert. Als erstes wird angenommen, dass δ im Vergleich zu R sehr klein ist (siehe Abbildung (8)), so dass gilt: δ = ε << 1. (2.52) R Im betrachteten Strömungsbereich der Grenzschicht variiert die Koordinate r von 0 bis L und die Koordinate z von 0 bis δ. Setzt man weiter voraus, dass alle Längenabmessungen in Strömungsrichtung die Größenordnung O (1), und jene quer zu Strömungsrichtung die Größenordnung O (δ) haben, so ergibt sich: r = O (R) = O (1) (2.53) z = O (δ) = O (ε). (2.54) Setzt man weiterhin voraus, dass die Maximalgeschwindigkeit in r - Richtung auch die Größenordnung O (1) hat, und linear von u r (z = δ) = u r,max auf u r (z = 0) = 0 abnimmt, so kann der Gradient in z - Richtung folgendermaßen abgeschätzt werden: Diplomarbeit: Paul Jonas 17

29 2. Theoretische Grundlagen u r z = O ( ur,max δ ) = O ( ) 1 ε. (2.55) Für den Gradienten in r - Richtung kann in ähnlicher Weise angenommen werden, dass u r im Bereich 0 < r < R linear von u r (r = 0) = u r,max auf u r (r = R) = 0 abnimmt. Es ergibt sich dann: u r r = O ( ur,max R ) = O (1) (2.56) Um die Größenordnung von u z zu bestimmen, müssen die Kontinuitätsgleichung und die bisherigen Überlegungen zu u r herangezogen werden. 4 Für u z gilt dann: u z = O (u r ε) = O (ε) (2.57) Berücksichtigt man die bisherigen Überlegungen, so vereinfacht sich die Impulsgleichung für die r - Koordinate (2.48) mit: p [ 1 + µ }{{} r }{{} r O(µ) O(p) ( r u ) r r r } {{ } O(1) + 2 u r } z {{ 2 } O 1 ε 2 u ] r }{{} r 2 O(1) 1 (ru 2 r) + (u ru z ) = } r {{ r } } z {{ } O(1) O(1) ) ( 1 r (ru 2 r ) r } {{ } O(u 2 r ) + (u ru z) } z {{ } O u r u z ε (2.58) auf: 1 (ru 2 r) } r {{ r } O(1) + (u ru z ) z } {{ } O(1) = p r }{{} O(p) + µ 2 u r z 2 } {{ } O µ ε 2 ( 1 r (ru 2 r ) r } {{ } O(u 2 r ) Die beiden Terme im Reibungsterm (µ [...]) mit der Ordnung O (1) + (u ru z) } z {{ } O u r u z ε Ordnung O ( 1/ε 2) bei sehr kleinem ε sehr viel größer als die Ordnung O (1) ist. 4 Die Kontinuitätsgleichung mit konstanter Dichte: 1 r (ru r) r + uz z {z} = 0 ur r O(1) ). (2.59) fallen dabei weg, weil die + {z} ur r O(1) {z} = uz z O( uz ε ) beiden Seiten die Gleichen Größenordnungen stehen, muss u z von der Größenordnung O (ε) sein..damit auf Diplomarbeit: Paul Jonas 18

30 2. Theoretische Grundlagen Um die Größenordnungen der turbulenten Terme zu bestimmen, muss eine geeignete Beziehung für u 2 r und u ru z eingeführt werden. Mit einer charakteristischen Schwankungsgeschwindigkeit u t für die turbulenten Größen gilt: u 2 r u ru z u 2 t. (2.60) Damit können die turbulenten Terme in Gleichung (2.59) mit folgenden Größenordnungen verbunden werden: 1 (ru 2 r) } r {{ r } O(1) + (u ru z ) z } {{ } O(1) = p r }{{} O(p) + µ 2 u r z 2 } {{ } O µ ε 2 ( 1 r (ru 2 r ) r } {{ } O(u 2 t) + (ϱu ru z) } z {{ } O u 2 t ε ). (2.61) Es gilt nun, zu ermitteln, welche Terme welchen Einfluss haben. Bekannt ist nur, dass die linke Seite der Gleichung von O (1) ist. Damit muss auch die rechte Seite der Gleichung von dieser Größenordnung sein. Um die Gleichung so allgemein wie möglich zu halten, muss davon ausgegangen werden, dass alle Terme Einfluss haben. Daraus folgt, dass alle Terme auf der Rechten Seite von der Ordnung O (1) sein müssen. Dies ist erfüllt, wenn für p, µ und u t gilt: p = O (1) µ = O ( ε 2) (2.62) u t = O ( ε ). Damit lassen sich die Impulsgleichungen für die r und z - Richtung wie folgt abschätzen: 1 (ru 2 r) } r {{ r } O(1) 1 (ru r u z ) } r {{ r } O(ε) + (u ru z ) z } {{ } O(1) + (u2 z) z } {{ } O(ε) = p r }{{} O(1) = p z }{{} O( 1 ε) + µ 2 u r z 2 } {{ } O(1) + µ 2 u z } z {{ 2 } O(ε) ( 1 r ( 1 r (ru 2 r ) r } {{ } O(ε) (ru ru z) r } {{ } O(ε) + (u ru ) z) } z {{ } O(1) (2.63) + ) (u 2 z ). (2.64) } z {{ } O(1) Vernachlässigt man in der Impulsgleichung in z - Richtung alle Terme mit einer Größenordnung kleiner O ( 1 ε), so schrumpft diese auf 0 = p z. (2.65) Diplomarbeit: Paul Jonas 19

31 2. Theoretische Grundlagen Aus der Tatsache, dass sich der Druck in der Höhe z nicht ändert, also überall dem Umgebungsdruck entspricht, kann geschlossen werden, dass auch P r Grenzschichtgleichung für die r - Koordinate zu: 0 gilt. Damit ergibt sich die 1 (ru 2 r) + (u ru z ) = µ 2 u r r r z z 2 (u ru z). (2.66) z Der letzte Term, welche die turbulenten Größen enthält, kann nach einem Ansatz von Boussinesq mit einer turbulenten Viskosität, auch Wirbelviskosität oder scheinbare Viskosität genannt ([11] Seite 105, [16] Seite 179), verknüpft werden. Danach gilt 5 : u i u j = µ u i t (2.67) x j Wichtig ist zu vermerken, dass die turbulente Viskosität nicht im Zusammenhang mit der molekularen steht. Die molekulare Viskosität ist ein Stoffwert, wohingegen die turbulente eine Feldgröße der Strömung ist. Es gilt µ t = f(r, ϕ, z, t). Dass heißt, die Problematik der Modellierung von u i wird auf die Modellierung von µ t verschoben. Damit kann Gleichung (2.66) mit (2.67) geschrieben werden als 6 : 1 (ru 2 r) + (u ru z ) r r z = ν 2 u r z 2 + z = z ( u r ν t z ) ( (ν + ν t ) u r z ) (2.68) Wandgesetze In diesem Kapitel soll ausgehend der Prandtlschen Grenzschichtgleichungen der Geschwindigkeitsverlauf direkt in der Grenzschicht genauer betrachtet werden. Messwerte und die folgende Herleitung zeigen, dass es für den Wandbereich ein universelles Wandgesetz gibt. Da es in diesem Gesetz streckenweise einen logarithmischen Verlauf gibt, wird es auch logarithmisches Wandgesetz genannt. Im Folgenden soll das logarithmischen Wandgesetz mit Hilfe der Bewegungsgleichung hergeleitet werden. Die Bewegungsgleichung (??) kann mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung (siehe Anhang C.3.2) und (2.67) in 5 Es gilt u i u j = µt u u j dass uz gegenüber ur 6 r z mit: ν t = µ t ϱ + u j. Mit der Abschätzung uz i r vernachlässigt werden kann ε = O ε = O (1) und u r = O 1 z ε ergibt sich, Diplomarbeit: Paul Jonas 20

32 2. Theoretische Grundlagen u r ϱu r r + ϱu u r z z = z ( (µ + µ t ) u ) r z (2.69) umgeschrieben werden (diese Schreibweise ist hier vorteilhaft, da die linke Seite der Gleichung für u i = 0 wegfällt). Aufgrund der Haftbedingung gilt direkt an der Wand u r = 0 und u z = 0. Daraus folgt unmittelbar, dass auch die Geschwindigkeitsschwankungen u r und u z = 0 sind und somit auch µ t = 0 (µ t = ϱu ru z/( u r / z)). Direkt an der Wand gilt somit: 0 = z Wird diese Gleichung anschließend integriert, ( µ u ) r. (2.70) z 0 dz = ( µ u ) r dz (2.71) z z so ergibt sich die Formel für die Wandschubspannung (vergleiche (??)). Da sie eine Konstante ist, wie auch der Stoffwert µ, muss die Geschwindigkeit in der viskosen Unterschicht einen linearen Verlauf haben. const = τ w = µ u r z. (2.72) (Es sei angemerkt, dass die Schubspannung nur eine Konstante bei einem bestimmten r i ist. Es gilt also: τ w = f(r), aber τ w f(z) bei konstantem r) Um den Verlauf des Geschwindigkeitsprofils in der an die Wandschicht anschließende turbulenten Grenzschicht zu ermitteln, ist es vorteilhaft, die Gleichung (2.69) auf eine dimensionslose Form zu bringen. Setzt man die Größen u r = u r, u z = u z, U B U B r = r, z = z, (2.73) L B L B ν = ν ν B, ε = ε ε B = ε U B L B in Gleichung (2.69) ein, so ergibt sich die dimensionslose Form der Bewegungsgleichung in r - Richtung: u u r r r + u u r z z = (( ) ν u z Re + r ε z ). (2.74) Diplomarbeit: Paul Jonas 21

33 2. Theoretische Grundlagen Die Größen U B und L B sind hierbei für die Strömung charakteristische Bezugsgrößen und für die Re-Zahl gilt Re = U B L B /ν B. Betrachtet man Gleichung (2.74), so ist zu erkennen, dass mit steigender Geschwindigkeit ( steigende Re-Zahl ) der Einfluss der molaren Viskosität gegen Null geht (ν/re 0). Nach wie vor muss an der Wand (z = 0) u r = 0 und u z = 0 gelten, so dass für Re nach Integration analog zu (2.72) gilt: 0 = z ( ) u r µ t z const = µ t u r z. (2.75) Die Konstante in der obigen Gleichung entspricht der Wandschubspannung aus Gleichung (2.72). Da es sich aber jetzt um eine turbulente Grenzschicht handelt, muss ein Modell gefunden werden, welches µ t beschreibt. Da µ t, wie schon erwähnt, keine Stoffgröße ist, muss eine geometrische Beziehung gefunden werden, welchen die Geschwindigkeitsgradienten mit µ t verbindet. Als einfachstes Modell bietet sich der Prandtlsche Mischungswegansatz (Siehe Kap (2.5.2)) an, welcher µ t proportional zu l 2 m setzt. Dabei steht l m für den Prandtlschen Mischungsweg, welcher proportional zu z gesetzt werden kann. Für l m kann l m = κz mit κ = 0, 41 ([24] Seite 13) angenommen werden, mit κ als Karman-Konstante. Setzt man den Ansatz für µ t in (2.75) ein, so ergibt sich: τ w = ϱl 2 m ( ur z ) 2 ( ) 2 τ w = ϱκ 2 z 2 ur (2.76) z Durch Einführen der Schubspannungsgeschwindigkeit u τ = τ w /ϱ, eine für den Wandbereich charakteristischen Größe, kann die obige Gleichung umgeschrieben werden in u τ = κz u r z und nach trennen der Variablen integriert werden (2.77) u r = 1 ln(z) + const. (2.78) u τ κ Um die Konstante zu bestimmen, muss eine neue Größe eingeführt werden. Da die obige Gleichung aufgrund ihrer Herleitung nur für den turbulenten Bereich gültig ist, müssen weitere Informationen aus der viskosen Unterschicht in sie eingehen. Dazu wird die Größe u δl eingeführt, welche der Geschwindigkeit am Rand der viskosen Unterschicht der Dicke δ l entspricht (siehe Abbildung 8). Setzt man u δl und δ l in obige Gleichung ein, so ergibt sich für die Konstante: const = u δ l u τ 1 κ ln(δ l) (2.79) Da die Geschwindigkeitszunahme in der viskosen Unterschicht linear verläuft, kann für τ w = µ ur z = µu δ l /δ l geschrieben werden, so dass sich δ l als δ l = µu δl /τ w schreiben lässt. Mit τ w = u 2 τ ϱ (aus u τ = τ w /ϱ) gilt: δ l = µu δl /u 2 τ ϱ. Diplomarbeit: Paul Jonas 22

34 2. Theoretische Grundlagen Mit diesen Beziehungen kann die Konstante als const = u δ l u τ 1 ( ) κ ln uδl µ ϱ u 2 τ (2.80) geschrieben werden und Gleichung (2.78) nach Umformen u r = 1 ( u τ κ ln uτ z ) ν ( ) uτ + ln u τ u δl } {{ } C + u δ l. (2.81) An Hand von Messungen hat sich gezeigt, dass das Verhältnis u τ /u δl eine von der Wandrauheit abhängende Konstante ist konstant ist, so dass die letzten beiden Terme in der obigen Gleichung zu einer Konstanten C zusammengefasst werden können. Mit den Abkürzungen u + = u r /u τ (dimensionslose Geschwindigkeit) und z + = zu τ /ν (dimensionsloser Wandabstand) ergibt sich das universelle Wandgesetz zu: u + = 1 κ ln(z+ ) + C. (2.82) Für die Konstanten κ (Karman-Konstante) und C ergeben sich Werte mit κ = 0, 41 und C 5, welche aus experimentellen Untersuchungen stammen. Wichtig ist anzumerken, dass die Konstante C eine Funktion der Wandbeschaffenheit, also der Rauheit ist. Dieser Sachverhalt wird im nächsten Kapitel näher erläutert. Die Konstante C gibt an, bei welcher Höhe in Abbildung 9 die Gerade des logarithmischen Verlaufes beginnt. Der Wert C 5 gilt für glatte Wände. Abb. 9: Logarithmisches Wandgesetz 7 7 aus [12] mit leichten Überarbeitungen Diplomarbeit: Paul Jonas 23

35 2. Theoretische Grundlagen Messungen haben für die Grenzen der jeweiligen Abschnitte in einer turbulenten Grenzschicht folgende Werte für z + ergeben [20],[12]: Viskose Unterschicht 0 z + < 5 Übergangsschicht 5 < z + < 70 Überlappungsschicht 70 < z + < 1000 Defektschicht 1000 < z + (2.83) Die in Tabelle 2.83 dargestellten Grenzschichtbereiche sollen im folgenden näher erläutert werden: Viskose Unterschicht: In diesem Bereich der Grenzschicht (z + 0) hat die Turbulenz keinerlei Einfluss auf das Geschwindigkeitsprofil, weshalb er viskose Unterschicht genannt wird. Messergebnisse haben gezeigt, das sich dieser Bereich bis z + < 5 erstreckt. In diesem Bereich gilt: u + = z +. 8 Übergangsschicht: In einem Bereich von 5 < z + < 70 überlagern sich die viskosen und turbulenten Effekte, so dass sich weder ein linearen noch logarithmischer Verlauf ausbildet. Dieser Bereich muss mit Überbrückungsfunktionen an Messwerte angepasst werden. Eine Funktion, welche diesen Bereich beschreibt, lautet: u + (z + ) = 1 Λ mit den Zahlenwerten: [ 1 3 ln Λz (Λz + ) 2 Λz ( arctan 2Λz+ 1 + π ) ] (2.84) κ ln 1 + κbz+4, κ = 0, 41, A = 6, , B = 1, , Λ = (A + B) 1/3 = 0, 127, C = 2π + 3Λ + 1 ln (κb) = 5. 4κ Diese Werte wurden anhand zahlreicher Messungen ermittelt [13]. Logarithmischer Bereich: Der logarithmische Verlauf des Geschwindigkeitsprofils gilt für 70 > z + > Dieser Bereich stellt die Überlappungsschicht zwischen Wandschicht und Defektschicht dar. Der logarithmischen Verlauf basiert auf der obigen Herleitungen, bei der die viskosen Spannungen keinen Einfluss haben. In diesem Bereich gilt Gleichung 8 In diesem Abschnitt der Grenzschicht gilt nur Gleichung (2.72), aus welcher u r = z τ w/µ folgt. Aus der Schubspannungsgeschwindigkeit u τ = p τ w/ϱ ergibt sich τ w = u 2 τ ϱ. Ersetzen von τ w in u r = z τ w/µ ergibt somit für den viskosen Bereich den linearen Verlauf: u r/u τ = z u τ /ν, bzw. u + = z +. Diplomarbeit: Paul Jonas 24

36 2. Theoretische Grundlagen (2.82), wobei die Konstante C eine Funktion der Wandrauheit ist (siehe Kapitel 2.4.3). Für hydraulisch glatte Wände hat sie den Wert C = 5. Bereich der Defektschicht: Dieser vollturbulente Bereich gilt für 1000 < z +. In Abbildung (9) ist zu erkennen, wie die Messwerte über dem logarithmischen Verlauf liegen. Viskose Effekte haben keinerlei Einfluss auf das Strömungsprofil. Die Defektschicht schließt an den logarithmischen Bereich an. [11],[12] Wandrauheit Bei den bisherigen Herleitungen wurde immer davon ausgegangen, dass die Wand, an welcher die Wandschicht angrenzt, glatt ist. Das ist jedoch in vielen technischen Anwendungen nicht der Fall. So kann es z.b. verrostete oder verschmutzte Rohre oder gemauerte Kanäle geben, durch die Medien fließen. Gerade bei turbulenten Strömungen hat die Wandrauheit ab einer bestimmten Größe erheblichen Einfluss auf das Geschwindigkeitsprofil an der Wand, bzw. auf die Dicke der Grenzschicht. Zur Erinnerung sei auf das Rohrreibungsdiagramm (Siehe Anhang (B.1)) hingewiesen, in welchem deutlich der Anstieg von λ R (Rohrreibungszahl) mit steigendem k (Rauheit) zu erkennen ist. Abb. 10: Zur Größe k s der Sandrauheit Da es eine Vielzahl von Oberflächenbeschaffenheiten und somit auch Rauheiten gibt, wurde eine Standard-Rauheit k s eingeführt. Dabei stelle man sich eine Fläche vor, die mit Kugeln dichtester Packung belegt ist, welche den Durchmesser k s haben (Abbildung 10). Da diese Form etwa bei Sandpapier vorliegt, wird diese Rauheit Sandrauheit genannt (nach Blasius und Nikuradse). Die Größe k s wird als Sandrauheitshöhe bezeichnet. Um abzuschätzen, welche Auswirkung die Rauheit auf die Strömung hat, ist ausschlaggebend, wie weit die Sandrauheitshöhe in die viskose Unterschicht hinein ragt. Da, wie schon erwähnt, die viskose Unterschicht ausschlaggebend für den Verlauf des Geschwindigkeitsprofils ist, ist auch deren Zerstörung durch Rauigkeit von großem Einfluss. Eine quantitative Aussage über den Einfluss der Rauheit kann über das Verhältnis aus Sandrauheitshöhe k s und Wandschichtdicke δ w (δ w = ν/u τ ) gemacht werden. Dabei bezeichnet die Wandschichtdicke jenen Bereich an der Diplomarbeit: Paul Jonas 25

37 2. Theoretische Grundlagen Wand, in welchen die viskosen und turbulenten Spannungen von der gleichen Größenordnung sind ([11], Seite 223, [20]). k + s = k s = k su τ δ w ν (2.85) Die Rauheiten lassen sich in drei Bereiche aufteilen. Im ersten Bereich ist die Sandrauheitshöhe k s sehr viel kleiner als die Wandschichtdicke δ w, so dass die Rauheit die viskose Schicht nicht signifikant beeinflusst. Dieser Bereich heißt hydraulisch glatt. An den hydraulisch glatten Bereich schließt ein Übergangsbereich an, in welchem die Rauheit zunehmend an Einfluss gewinnt. Wird k s sehr groß, d.h. gilt k s δ w, so wird die gesamte Wandschicht zerstört. Da die molekulare Viskosität nur in der viskosen Unterschicht, ein Teil der Wandschicht, eine Rolle spielet, ist diese Art der Strömung dann frei von Viskositäteffekten. Dieser Bereich wird als vollrauh bezeichnet. Anhand einer Grenzwertbetrachtung k s + 0 und k s + lässt sich zeigen, dass C für den hydraulisch glatten, sowie für den vollrauhen Bereich, eine Konstante ist. lim C(k k s + s + ) = 5, 0 (hydraulisch glatt) (2.86) 0 Aus (2.82) ergibt sich mit z + = z u τ /ν und k + s = k s u τ /ν: lim z 0 u+ (z) = 1 κ ln z + 1 k s κ ln k+ s + C(k s + ). (2.87) } {{ } C r(k s + ) Da im vollrauhen Bereich (k s + ) die Viskosität keinen Einfluss mehr hat, wird C r (k s + ) eine Konstante. Experimentelle Untersuchungen haben gezeigt, dass im vollrauhen Bereich gilt: [ lim C r (k + k s + s ) = lim C(k k s + s + ) + 1 ] κ ln k+ s = 8, 0 (2.88) Um die real vorliegende technische Rauheit verschiedener Oberflächen vergleichen zu können, wird eine äquivalente Sandrauheit (k s,ae ) eingeführt [20]. Dazu muss in einem Versuch an einer technisch rauhen Wand des Geschwindigkeitsprofil u + (z) in der Überlappungsschicht gemessen werden. Aus folgender Gleichung aus lässt sich dann k s,ae ermitteln [20] : { [ k s,ae = exp κ lim 8, ]} z 0 κ ln y u+ (z) (2.89) Wichtig ist, dass bei dem Versuch die Bedingung k + s,ae = k s,ae u τ /ν > 70 erfüllt ist, da die Funktionen C(k s )und C r (k s ) für die technischen Rauheit einen anderen Verlauf aufweisen. Diplomarbeit: Paul Jonas 26

38 2. Theoretische Grundlagen Die oben erwähnten drei Bereiche der Rauheit lassen sich wie folgt in Abhängigkeit der Größe k s einteilen: Hydraulisch glatt 0 k + s 5 C 5 Übergangsbereich 5 < k + s < 70 C = f(k + s )5 Hydraulisch glatt 70 k + s C r 8 (2.90) Für die Konstante C r gilt: C(k s + ) + 1/k ln(k s + ) Es sei angemerkt, dass es keine Möglichkeit gibt, einer beliebigen rauen Oberfläche eine genaue Rauigkeit ohne vorherige Vergleichsmessungen zuzuordnen. Es wurden jedoch diverse Versuche durchgeführt (Colobrook und Moody), bei denen die äquivalente Sandrauheit k s,ae für verschiedenste Oberflächen vermessen wurden. Um Rauheiten von Oberflächen näherungsweise zu ermitteln gibt eine Vielzahl an Tabellen, in denen übliche Materialien mit äquivalenten k s - Werten aufgeführt sind ([8], Seite 422, [11], Seite 239, [20], Seite 573) Turbulenzmodellierung Schließungsproblem In Kapitel 2.3 wurde in die Kontinuitätsgleichung und die Navier-Stokes-Gleichung ein statistischer Ansatz eingeführt, um den turbulenten Charakter einer Strömung mit vertretbarem Aufwand beschreiben zu können. Für laminare Strömungen bilden die vier Gleichungen (2.11), (2.25), (2.26) und (2.27) ein geschlossenes Gleichungssystem, mit welchem die vier Größen u r, u ϕ, u z und p ermittelt werden können. Bei turbulenten Strömungen treten zu diesen Größen noch die Größen des Reynolds schen Spannungstensors, also u i u j, als weitere Unbekannte auf. Es stehen jedoch keine zusätzlichen analytischen Gleichungen zu deren Beschreibung zu Verfügung. Dieser Sachverhalt wird als Schließungsproblem der Strömungsmechanik bezeichnet. Aufgabe der Turbulenzmodellierung ist es nun, diese unbekannten Größen mit bekannten in Verbindung zu bringen, also z.b. Proportionalitäten zu Geschwindigkeiten oder Weglängen herzustellen. Dabei gibt es unterschiedliche Ansätze, wie in den Turbulenzmodellen die Austauschgrößen bestimmt werden. So gibt es, je nach Strömungsform, vergleichsweise einfache Modelle, bei denen die Austauschgrößen durch algebraische Gleichungen ermittelt werden, und auch solche, bei denen mehrere zusätzliche Differentialgleichungen gelöst werden müssen. Je nach Anzahl der zusätzlich zu lösenden Differentialgleichungen nennt man diese Modelle Null- Ein - Zwei - oder Mehr - Gleichungsmodelle. Eine weitere Unterteilung der Turbulenzmodellierung kann nach dem Ansatz der Wirbelviskosität gemacht werden, also ob das Modell auf der Boussinesq - Annahme (2.67) basiert oder nicht. Die meisten der im folgenden dargestellten Turbulenzmodelle basieren auf der Boussinesq - Diplomarbeit: Paul Jonas 27

39 2. Theoretische Grundlagen Annahme und setzten somit isotrope Turbulenz voraus Null-Gleichungsmodelle Eines der bekanntesten und einfachsten Turbulenzmodelle ist der Prandtl sche Mischungswegansatz [22]. Dabei handelt es sich um einen algebraischen Ansatz, welcher µ t mit einer charakteristischen Lange l m verknüpft. Erklärt werden soll der Ansatz anhand einer zweidimensionalen Scherströmung (siehe Abbildung 11) Abb. 11: Zur Erklärung der Mischungsweglänge l m nach Prandtl Der Reynolds sche Ansatz zur Darstellung turbulenter Strömungsgrößen lautet: u r = u r + u r (2.91) Dabei gilt für die Schwankungsgröße der Geschwindigkeit u r in Abbildung 11 u r = u r (z 0 + l m ) u r (z 0 ). Setzt man eine Taylorreihenentwicklung um den Punkt z 0 an und vernachlässigt die Glieder ab der zweiten Ordnung, so ergibt sich folgender Zusammenhang: u r (z 0 ) u r (z 0 + l m ) = l m d u r dz (2.92) z0 Diese Geschwindigkeit entspricht der Geschwindigkeitsschwankung im Niveau z 0 + l m. u r(z 0 + l m ) = l m d u r dz (2.93) z0 Aus Kontinuitästsgründen folgt, dass u r und u z betragsmäßig gleich groß sind, so dass sich für µ t mit Gleichung (2.67) folgender Zusammenhang schreiben lässt: Diplomarbeit: Paul Jonas 28

40 2. Theoretische Grundlagen τ t = ϱu ru z = µ t d u r dz = ϱl2 d u r m dz d u r dz (2.94) Wie an der obigen Gleichung zu sehen ist, hängt die scheinbare Schubspannung τ t quadratisch vom Geschwindigkeitsgradienten du r /dz ab. Im laminaren Fall dagegen (τ = µdu r /dz) besteht dagegen eine lineare Abhängigkeit. Für µ t gilt: µ t = ϱ l 2 d u r m dz } {{ } ν t (2.95) Dabei ist die Mischungsweglänge l m in (2.95) der Weg, den ein Strömungselement zurücklegt, bis es sich vollständig aufgelöst hat. Experimentelle Untersuchungen haben ergeben, dass für den wandnahen Bereich l m = κz, mit κ = 0, 41 gilt. Der Nachteil des obigen Ansatzes ist die Annahme, dass im gesamten Strömungsgebiet die gleiche Menge turbulenter Energie produziert sowie dissipiert wird. Es gibt keine gegenseitige Beeinflussung der Turbulenzproduktion an verschiedenen Punkten, so dass auch keine Gedächtniseffekte berücksichtigt werden. Eine weitere Schwäche dieses Modells ist die fehlende Berechnung der turbulenten kinetischen Energie k, welche ein wichtiges Maß für die Intensität der turbulenten Schwankungsgrößen ist Ein-Gleichungsmodelle Bei den Ein-Gleichungsmodellen wird in der Regel eine geeignete zusätzliche Transportgleichung für den Geschwindigkeitsmaßstab eingeführt. Die meisten Ein-Gleichungsmodelle beinhalten eine zusätzlich Differentialgleichung für die turbulente kinetischen Energie k. Diese ist die einfachste Methode, die in den Null - Gleichungsmodellen unberücksichtigten Gedächtniseffekte zu berücksichtigen. Die Turbulenzenergie k ist wie folgt definiert: k = 1 2 ( ) u 2 r + u 2 ϕ + u 2 z (2.96) Die turbulente kinetische Energie stellt, wie schon oben erwähnt, ein Maß für die Turbulenzintensität dar. Sie wird im Prandtl schen Ein-Gleichungsmodell benutzt, um die Wirbelviskosität wie folgt zu berechnen: µ t = C µ ϱl m k, mit Cµ = 0, 09 (2.97) Diplomarbeit: Paul Jonas 29

41 2. Theoretische Grundlagen Für den Transport der turbulenten kinetischen Energie kann mit Hilfe der Reynolds-Gleichungen eine Differentialgleichung hergeleitet werden. Dazu wird die i-te Komponente der Reynolds- Gleichung mit u i multipliziert. Anschließend werden alle Terme ausmultipliziert und zeitgemittelt. Dadurch fallen unter Beachtung der Rechenregeln in (Anhang C.2.1) einige Terme weg. Die verbleibenden Terme der Gleichung werden aufsummiert und umgeformt. Die k-gleichung kann dann wie folgt geschrieben werden: ϱ k t + ϱu k j = u i ϱu i x j x u j j } {{ } Produktion + ( µ k 1 ) x j x j 2 ϱu i u i u j p u j µ u i u i x j x j } {{ } } {{ } Diffusion Dissipation ε (2.98) Die beiden ersten Terme stellen die lokale zeitliche Änderung, sowie den konvektiven Transport von k von k dar. Die drei Einzelterme in den Klammern des Diffusionsterms stellen die molekulare-, die turbulente- und die Druckdiffusion dar. Die Terme in obiger Gleichung, welche unbekannte Größen enthalten, müssen modelliert werden. Für den Produktionsterm bietet es sich an, den Term ϱu i u j mit Hilfe der Wirbelviskosität nach Gleichung (2.67) zu modellieren. Damit gilt für den Produktionsterm: u i ϱu i x u j = µ u i t j x j ( ui + u ) j x j x i (2.99) Die Diffusion wird als Gradiententransport proportional zur Wirbelviskosität dargestellt. Dies bedeutet, dass Unterschiede in der Turbulenzintensität, also Gradienten in k abgeschwächt werden. Der Diffusionsterm lässt sich dann wie folgt schreiben: 1 2 ϱu i u i u j p u j = µ t σ k k x j (2.100) Die neue Größe σ k stellt das Verhältnis aus Wirbelviskosität und turbulenten Diffusionskoeffizienten analog zur turbulenten Prandtl-Zahl dar. Die Druckdiffusion wird nicht einzeln modelliert sondern zum Modell der turbulenten Diffusion hinzugenommen. Um ε, also den Dissipationsterm, zu modellieren muss auf experimentelle Ergebnisse zurückgegriffen werden. Betrachtet man z.b. eine Parallelströmung hinter einem Gitter, so nimmt die Turbulenz aufgrund innerer Reibung mit wachsender Entfernung ab. Es hat sich gezeigt, dass sich die Dissipation proportional k 3/2 verhält. Für die Dissipation kann also µ u i x j u i x j = C D ϱ k2/3 l m, mit C D = 0, 09 (2.101) Diplomarbeit: Paul Jonas 30

42 2. Theoretische Grundlagen geschrieben werden. Mit den Modellierungsansätzen für den Produktions-, Diffusions- und Dissipationsterm kann die k-gleichung nun wie folgt geschrieben werden: ϱ k t + ϱu k j = x j µ t u i x j ( ui x j + u j x i ) + ( µ k + µ ) t k C D ϱ k2/3 (2.102) x j x j σ k x j l m Mit dieser Gleichung ist es nun möglich den Einfluss der Turbulenz stromauf und stromab mit zu berücksichtigen, allerdings ist sie immer noch abhängig von einer örtlichen algebraischen Gleichung. Besonders an Wänden ist es problematisch mit diesem Modell zu rechnen, da dort die turbulente kinetische Energie verschwindet. Das hat zur Folge, dass die Gleichung nicht bis zur Wand hin integriert werden kann. Es muss dort also entweder mit speziellen Low- Reynoldsnumber Modellen oder Wandfunktionen gearbeitet werden ([15], Seite 55, [22], Seite 29) Zwei-Gleichungsmodelle Wie im vorherigen Abschnitt erwähnt, ist eine Schwäche der Ein-Gleichungsmodelle, dass die Wirbelviskosität µ t durch eine algebraischen Gleichung mit dem Ort verknüpft ist (siehe Gleichung (2.97)). Da jedoch der charakteristische Längenmaßstab genau wie die turbulente kinetischen Energie Gedächtniseffekten unterworfen ist, ist es sinnvoll eine zusätzliche Transportgleichung für ε zu entwickeln. Es ist allerdings nicht zwingend notwendig als zusätzliche Variable der Transportgleichung einen Längenmaßstab zu benutzten. Es kann auch eine Kombination aus Längen- und Geschwindigkeitsmaßstab benutzt werden. In der Regel wird ein Potenzansatz der Form k m l n gewählt. Das am meisten genutzte Modell, das k-ε-modell, hat die Kombination m = 3/2 und n = 1. ε k3/2 l (2.103) Eine andere Kombination für m und n ist m = 1 und n = 1, wie sie beim k-ω-modell eingesetzt wird. Im Gegensatz zu dem k-ε-modell kann mit diesem Modell bis zur Wand gerechnet werden. Die Wirbelviskosität wird über k und ε berechnet k 2 µ t = ϱc µ ε, mit, C µ = 0, 09, (2.104) so dass die Problematik, eine passende charakteristische Länge festlegen zu müssen nicht mehr besteht. Für die Dissipation Diplomarbeit: Paul Jonas 31

43 2. Theoretische Grundlagen ε = ν u i x k u i x k (2.105) kann ähnlich wie für die k-gleichung eine Transportgleichung aus den Reynolds-Gleichungen abgeleitet werden. Das Gleichungssystem für des k-ε-modells lautet: ϱ k t + ϱu k j = (2.106) x j ( u j ui µ t + u ) j + ( µ k + µ ) t k ϱε x j x j x i x j x j σ k x j ϱ ε t + ϱu ε j = (2.107) x j ( ε C ε1 k µ u i ui t + u ) j + ( µ ε µ ) t ε C ε2 ϱ ε2 x j x j x i x j x j σ ε x j k Für die empirischen Konstanten gilt: C ε1 = 1, 44, C ε2 = 1, 92, σ k = 1 und σ ε = 1, 3. Die Konstanten σ ε und σ k entsprechen dabei der turbulenten Pr-Zahl. Ein alternative Zwei-Gleichungsmodell stellt das Standard k-ω-modell von D. C. Wilcox dar [22]. Dieses Modell kann ähnlich wie das k-ε-modell hergeleitet werden. Die Wirbelviskosität hängt bei diesem Modell von k und ω ab, wobei ω eine turbulente Frequenz darstellt (ω = C µ ε/k). Das Gleichungssystem für des k-ω-modells lautet: ϱ k t + u k j = (2.108) x j ( µ k + µ ) t k + µ u ( ) i ui C µ ϱω x j x j P r k x j x j x j ϱ ω t + ϱu ω j = (2.109) x j ( µ k + µ ) t k + α ( ) ωω u i ui β ω ϱω 2 x j x j P r ω x j k x j x j Für die Konstanten ergeben sich folgende Werte: C µ = 0, 09, α ω = 5/9, β ω = 3/40, P r k = 2 und P r ω = 2 Darüber hinaus gibt es noch weitere Zwei-Gleichungsmodelle. Aufzuführen sind z. B. das RNG Diplomarbeit: Paul Jonas 32

44 2. Theoretische Grundlagen k-ɛ-modell, das Realizable k-ɛ-modell und das Standard und SST k-ω-modell. (Ausführliche Informationen findet man unter: [15], [22], [3]) Mehr-Gleichungsmodelle Bei den im vorherigen Kapitel beschriebenen Zwei-Gleichungsmodellen wird davon ausgegangen, dass isotrope Turbulenz vorliegt, das heißt, alle Reynoldschen Schubspannungen sind gleich groß (u 2 r = u 2 z = u 2 ϕ ). Es wird also angenommen, dass sie Schwankungsgrößen richtungsunabhängig sind. Bei einfachen Scherströmungen können mit diesen Annahmen gute Ergebnisse erzielt werden. Es gibt jedoch Strömungsarten, bei denen diese Annahmen nicht mehr gerechtfertigt sind. So treten z. B. bei Strömungen in quadratischen Kanälen Sekundärströmungen auf, die nicht mehr allein über den Wirbelviskositätsansatz beschrieben werden können. Auch für Strömungen, in denen die Stromlinien einer Krümmung unterworfen sind, sind Zwei-Gleichungsmodelle teilweise nicht geeignet. Eine Möglichkeit diese nichtisotrope Turbulenz zu modellieren, ist die Berechnung der einzelnen Reynolds-Spannungen. Da der in Kap 2.3 eingeführte Spannungstensor (2.46) symmetrisch zu Hauptdiagonale ist, müssen sechs zusätzliche Größen modelliert werden. Bei den Reynolds- Spannungsmodellen gibt es sowohl algebraische, bei denen die Spannungen als Funktionen der Geometrie modelliert werden, als auch solche, die für jede Reynolds-Spannung eine eigene Transportgleichung (Differentialgleichung) lösen. Die Reynolds-Spannungsmodelle werden aus den Navier-Stokesschen Gleichungen abgeleitet. Dazu werden Schwankungsgrößen in die Navier- Stokesschen Gleichungen eingeführt, und mit u j multipliziert. Anschließend wird die entstandene Gleichung zeitgemittelt. Nach einigen Umformungen und Addition der Gleichungen sowie der Annahme von konstanter Dichte ergibt sich die Transportgleichung für Reynolds-Spannungen zu: (u i u j ) } t {{ } I 1 ϱ (u i + u u j ) k x } {{ k } II ( (p u i ) } {{ } V u j + u u i j u k + u i x u k k x } {{ k } III + (u i u j u k ) x k } {{ } + (p u j ) ) ( + 1 p x j x i ϱ u i + p ) x u j j x i } {{ } VI Die Terme sollen im folgenden kurz erläutert werden[19]: IV = (2.110) + ν 2 (u i u j ) ( u i x 2 2ν k } {{ } VII ) u j x k x k } {{ } VIII I.) Lokale Änderung, d.h., Änderung an einem festen Ort über der Zeit. II.) Konvektive Änderung, durch u k verursacht. Die beiden ersten Terme werden oft zu der Diplomarbeit: Paul Jonas 33

45 2. Theoretische Grundlagen substantiellen Änderung D(u i u j )/Dt zusammengefasst. D(u i u j Dt = (u i u j ) t + u k (u i u j ) x k. III.) Produktionsterme, welche der Hauptströmungsrichtung kinetische Energie zugunsten der Schwankungsgrößen entziehen, und sie der Turbulenz zuführen. Diese Terme spielen vor allem an der Wand eine wichtige Rolle. Die Produktion kann ohne Modellierung exakt wiedergegeben werden P ij = u u i j u k + u u j i x u k. k x k IV.) Tripelkorrelation, die eine Umverteilung der Turbulenz durch Diffusion beschreibt. Sie kann z. B. wie folgt nach Daly und Harlow modelliert werden d ij = (u i u j u k ) [ ( )] = k c s u u x k x l ε k u k u l l. x k V.) Druckdiffusionsglieder, welche durch die Terme p u i ausgedrückt werden. Die Druckschwankungen bewirken zusätzliche Vermischung. Diese Terme werden in Reynolds- Modellen oft vernachlässigt oder im Term IV mit berücksichtigt. VI.) Druck-Scher-Korrelation bewirken die Wandlung anisotroper Fluktuationen in isotrope Verteilungen. Die Druck- und Scherdiffusion wird gemeinsam modelliert. Nach Rotta wird ihre Wirkung durch mehrere Terme wiedergegeben. Das Druck-Scher-Korrelationsmodell ist von großer Bedeutung für die Eigenschaften des Gesamtmodells. ( ε φ ij1 = c 1 u i k u j 2 ) 3 δ ij k ; Return-To-Isotropy-Term ( φ ij2 = c 2 P ij 1 ) 3 δ ij P kk ; Rapid-Term φ ijw = c 1w ε k (u k u mn k n m δ ij 23 u k u i n kn j 23 u k u j n kn i ) f l + c 2w ( φ km n k n m δ ij 2 3 φ ki2n k n j 2 3 φ ki2n k n i ) f l ; Wall-Reflection-Term VII.) Viskoser Diffusionsterm, welcher durch die molekulare Viskosität verursacht wird. Bei großen Re-Zahlen hat dieser Term praktisch keine Bedeutung mehr, da die turbulenten Spannungen wesentlich größer als die viskosen sind. VIII.) Dissipationsterm, welcher die kinetische in innere Energie umwandelt (große Wirbel werden in kleinere und schließlich in Wärme umgewandelt). Die Dissipation ε wird als skalare Größe modelliert (siehe auch Kapitel??) Diplomarbeit: Paul Jonas 34

46 3. Experimentelle Untersuchung turbulenter radialer Wandstrahlen 3. Experimentelle Untersuchung turbulenter radialer Wandstrahlen 3.1. Zielsetzung Zielsetzung der Versuche ist es, experimentelle Daten für den Vergleich mit simulierten Werten sowie der analytischen Lösung des Wandstrahls zu erhalten. Für die Nachbildung des Wandstrahls werden einige Annahmen getroffen: Es wird davon ausgegangen, dass es sich um einen isothermen Strahl handelt. Es wird also ein Strahl erzeugt, welcher Umgebungstemperatur aufweist. Dies hat zur Folge, dass aufgrund nicht vorhandener Dichteunterschiede keine Auftriebskräfte herrschen. Weiterhin wird davon ausgegangen, dass alle radialen Wandstrahlen sich ein drei Bereich aufteilen lassen (siehe Abbildung 12). Im ersten Bereich muss der Strahl erzeugt werden. Dies kann sowohl anhand eines Prallstrahls, als auch über einen zylindrischen Luftauslass realisiert werden. In dieser Arbeit wird die Variante des zylindrischen Auslasses gewählt. Nach dem Bereich der Erzeugung des Strahls folgt der Formierungsbereich. In diesem Bereich bilden sich die aus den anfangs nicht ähnlichen Geschwindigkeitsprofilen nach und nach selbstähnliche. An den Formierungsbereich (oder Übergangsbereich) schließt das Fernfeld, auch selbstähnlicher Bereich genannt, an. Dieser Bereich besteht ausschließlich aus selbstähnlichen Geschwindigkeitsprofilen. Abb. 12: Die unterschiedlichen Bereich eines Wandstrahls 3.2. Messtechnik Volumenstrombestimmung Der Volumenstrom wird mit Hilfe einer Differenzdruckmessblende der Firma Trox ermittelt (Abbildung 13). Es kommen Blenden mit Nennweiten von 100 mm und 160 mm zum Einsatz Diplomarbeit: Paul Jonas 35

47 3. Experimentelle Untersuchung turbulenter radialer Wandstrahlen. Anhand einer Düsenkonstante, der Luftdichte und einer Referenzdichte (ϱ R ) 9 kann über die gemessene Druckdifferenz ein Volumenstrom ermittelt werden. Dazu wird folgende Beziehung verwendet: V = C B,i p ϱ R ϱ [ ] m 3 h (3.1) Abb. 13: Prinzipskizze zur Volumenstrombestimmung Die Druckdifferenz wird mit einem Differenzdruckmanometer (siehe unten) gemessen. Die Konstante C B,i ist die Blendenkonstante, die für die jeweilige Blende gültig ist. Für die Blende mit 160 mm Durchmesser gilt C B,160 = 54, für die Düse mit 100 mm gilt C B,100 = 22. Die Auswahl der Blenden richtet sich nach dem zu bestimmenden Volumenstrom, wobei darauf zu achten ist, dass zu messende Wirkdruckdifferenz innerhalb des Manometermessbereiches liegt. Die Druckdifferenz wird mit einem Differenzdruckmanometer der Firma dpm Typ TT470S gemessen. An dem Messgerät befinden sich zwei Anschlüsse, an welche die Schläuche, an denen die Druckdifferenz anliegt, angeschlossen werden können. Die Messergebnisse werden über ein digitales Display ausgegeben, können zusätzlich aber auch über ein elektrisches Signal in Form einer Spannung an einen Messrechner ausgegeben werden. Das Messgerät hat drei Druckmessbereiche. Folgende Messbereiche können ausgewählt werden: 0 Pa-199,9 Pa, 200 Pa-1999 Pa, 2 kpa-7 kpa. In dieser Arbeit werden nur Druckdifferenzen im Bereich von 0-199,9 Pa gemessen. Die druckproportionale Spannung wird von 0-2 V ausgegeben, so dass 1 Pa gleich 100 mv entsprechen [1]. In dem angewendeten Messbereich ergibt sich bis 10 Pa ein maximaler Fehler von ±0,2 Pa und über 10 Pa ±(1 %+0,2 )Pa [1]. 9 Die Referenzdichte ϱ R ist vom Hersteller der Blenden auf dem Berechnungsblatt für die Volumenströme mit ϱ R = 1, 2 kg /m 3 angegeben. Diplomarbeit: Paul Jonas 36

48 3. Experimentelle Untersuchung turbulenter radialer Wandstrahlen Geschwindigkeitsmessung Die Geschwindigkeitsmessung wird mit Hitzkugelanemometern der Firma Dantec, Typ 54T21 (Abbildung 14), durchgeführt. Die Funktionsweise der Sonden basiert auf der Messung der Leistung, die benötigt wird, um die Kugel an der Spitze der Sonde auf konstanter Temperatur zu halten. Die Kugel besteht aus Quarz und ist mit einem dünnen Nickelfilm überzogen, welcher wiederum durch eine Quarzschicht geschützt ist. Die Kugeln sind an einem ca. 300 mm langen Metallrohr befestigt, welches am anderen Ende an einem Messwertwandler befestigt ist. Dieser benötigt eine 9 V Spannung für die Erwärmung der Kugel sowie für die Messelektronik. In dem Messwertwandler werden die Signale so umgeformt, dass alle Temperatursensoren das gleiche Ausganssignal ausgeben. Sie lassen sich anhand eines Polynoms 5-ten Grades in Geschwindigkeiten umrechnen (das Polynom ist für alle Sonden identisch). Abb. 14: Hitzkugelanemometer Typ 54T21 der Firma Dantec Der Fehler der Messsonden ist eine Funktion von der Geschwindigkeit sowie der Ausrichtung der Sonden. Für die Geschwindigkeitsabhängigkeit liegt die maximale Abweichung bei einer Geschwindigkeit von 1 m/s bei 0,04 m/s (Abbildung 89 im Anhang??). In einer weiteren Abbildung 90 im Anhang?? kann der Einfluss der Ausrichtung der Sonde auf die Messergebnisse abgelesen werden. In dem Diagramm sind zwei Winkel angegeben, der yaw-angle und der roll-angle. Der roll-angle ist die Drehung des Sensors um die eigene Achse, welcher einen geringen Einfluss auf die gemessene Geschwindigkeit hat (siehe Abbildung 90, 54T21 Roll-sens). Die andere Drehung entspricht dem Gierwinkel, welcher einen signifikanten Einfluss hat (siehe Abbildung 90, 54T21 Yaw-sens.) Die eingesetzten Dantec-Sonden messen omnidirektional (richtungsunabhängig). Die gemessenen Werte der Geschwindigkeiten entsprechen den Absolutbeträgen, und nehmen somit immer positive Werte an. Wenn vorrausgesetzt wird, dass die Geschwindigkeitskomponente in ϕ-richtung Null ist, so setzt sich der Geschwindigkeitsbetrag u abs vektoriell aus der Radialgeschwindigkeit u r sowie der axialen Geschwindigkeit u z zusammen (u abs = u 2 r + u 2 z). Daraus folgt sowohl, dass immer u abs > u r gilt, als auch, dass jegliche richtungsbehafteten Größen nicht anhand der Messwerte ausgewertet werden können. Negative radiale Geschwindigkeiten oberhalb des Strahlrandes können ebenso wenig ermittelt werden, wie die axiale Komponente. Diplomarbeit: Paul Jonas 37

49 3. Experimentelle Untersuchung turbulenter radialer Wandstrahlen Da die Dantec-Sonden für Raumströmungsmessungen ausgelegt sind, können lediglich niedrige Geschwindigkeiten gemessen werden. Die obere Grenze des Messbereiches liegt bei 1 m/s. Dazu sei angemerkt, dass bei sehr niedrigen Geschwindigkeiten die Ergebnisse nicht mehr vertrauenswürdig sind, da Einflüsse freier Konvektion die Ergebnisse verfälschen. Dies ist auf der Abbildung 89 im Anhang?? zu sehen, welches daher nicht bei u = 0 m/s beginnt. Zur Geschwindigkeitsmessung wird darüber hinaus auch eine Prandtl-Sonde eingesetzt. Vorteil der Prandtl-Sonde ist der erweiterte Messbereich. Die Geschwindigkeit lässt sich aus der an der Prandtl-Sonde gemessenen Druckdifferenz über die Bernoulli-Gleichung berechnen. p ϱu2 1 + ϱgz 1 = p ϱu2 2 + ϱgz 2 (3.2) Index 1 bedeutet den Zustand in der Strömung vor der Sonde, Index 2 direkt an der Sonde. Damit gilt: wu 2 = 0 und p 2 > p 1. Weiterhin gilt für horizontale Strömung z 1 = z 2. Die Geschwindigkeit lässt sich somit wie folgt bestimmen: u 1 = 2 p ϱ (3.3) Temperaturmessung Die Temperaturmessung wird zur Bestimmung der Dichte mit einem Platin-Chip-Sensor PT100 der Forma Jumo nach DIN EN durchgeführt. Diese Sensoren geben die Temperatur proportional zu ihrem Widerstand aus. Die Temperatur ist also eine lineare Funktion der Form T = a R + b Datenaufzeichung mit Messprogramm Die Messsignale der Druck-, Temperatur- und Geschwindigkeitssensoren werden mit Hilfe eines Messrechners aufgezeichnet. Dort können die Messzeiten sowie die Messfrequenz eingestellt werden. Weiterhin werden nach einer Messung die Mittelwerte der gemessenen Größen berechnet. In einer speziellen Software müssen für die einzelnen Sensoren die funktionalen Zusammenhänge zwischen Spannung bzw. Widerstand und den jeweiligen Messgrößen eingegeben werden. Die Messdaten werden in eine Text-Datei geschrieben, welche in anderen Programmen weiterverarbeitet werden kann Versuchsaufbau Die experimentellen Untersuchungen erfolgen an zwei Versuchsaufbauten. Dieser Umstand beruht auf organisatorischen Gründen. Diplomarbeit: Paul Jonas 38

50 3. Experimentelle Untersuchung turbulenter radialer Wandstrahlen Erster Versuchsaufbau Der erste Versuchsaufbau wird in einem ca. 4x5m großen Raum aufgebaut. Dort wird auf einem 3x3 Meter großen Tisch ein zylindrischer Luftauslass angebracht (siehe Abbildung 15). Der Zylinder hat einen Durchmesser (d z1 ) von 0,2 m und eine Höhe (h z1 ) von 0,07 m und wird von unten mit einem regelbaren Luftvolumenstrom beaufschlagt. Die Regelung des Volumenstroms wird über einen Ventilator mit einstellbarem Transformator realisiert. Abb. 15: Luftauslass des ersten Versuchsaufbaus Die Luft tritt über die Umfangsfläche (A z1 = π d z1 h z1 ) über ein Lochblech aus, welches an der Oberkante durch einen abschließenden Deckel begrenzt wird. Um ein möglichst gleichmäßiges Austrittsprofil zu erhalten, muss ein möglichst hoher Druckverlust an der zylindrischen Austrittsfläche realisiert werden. Dies geschieht anhand von zwei hintereinander geschalteten Lochblechen, zwischen denen sich zusätzlich Vlies und eine Gleichrichterwabe 10 befindet, welche die Strömung in r-richtung normalisieren soll (siehe Abbildung 16). Die Lochbleche haben eine freie Querschnittsfläche von 22 % (A Loch /A ges = 0, 22), und laut Hersteller eine Druckverlustbeiwert von ζ 30. Das innere Lochblech schließt direkt an das Zulaufrohr an, welches einen Durchmesser von 116 mm hat. In der Mitte des den Zylinder abschließenden Deckels ist darüber hinaus ein Lochblechkegel angebracht, welcher die am inneren Lochblech ankommende Strömung zusätzlich vergleichmäßigen soll. Der Luftvolumenstrom wird mit Hilfe der oben beschriebenen TROX -Messblende ermittelt. Um das Geschwindigkeitsfeld vermessen zu können, muss eine Messeinrichtung erstellt werden, welche sich sowohl in radialer (r-koordinate) als auch in vertikaler (z-koordinate) Richtung einstellen lässt. Dazu werden zwei rohrförmige Stative auf den Messtisch aufgestellt, an welche eine Traverse befestigt wird. Die Traverse lässt sich an den Stativen in der vertikalen Richtung verschieben. An der Traverse befindet sich ein weiteres Rohr, an welchem die Anemometer 10 Eine Gleichrichterwabe ist eine aus nebeneinander angeordneten Röhrchen bestehende Matte, ähnlich einer Bienenwabenstruktur. Diplomarbeit: Paul Jonas 39

51 3. Experimentelle Untersuchung turbulenter radialer Wandstrahlen Abb. 16: Schnitt des ersten Versuchsaufbaus. 1 Deckel, 2 Gleichrichterwabe, 3 Inneres und äußeres Lochblech, 4 Vlies, 5 Grundplatte, 6 Rohr, 7 Lochlechkegel variabel in r-richtung angebracht werden (siehe Abbildung 17). Die Höhenjustierung der Anemometer erfolgt über die Verschiebung der gesamten Traverse in vertikaler Richtung. Hierzu werden im Bereich der beiden Stative paarweise Distanzstücke mit unterschiedlichen Dicken angeordnet. Um eine senkrechte Ausrichtung des Stativs auf dem Zylinder zu gewährleisten, sind dort drei Gewindestangen angebracht, anhand derer die Ausrichtung des Stativs vorgenommen werden kann (siehe Abbildung 15) Zweiter Versuchsaufbau Aufgrund einer anderen Belegung des ersten Testraumes, musste der zweite Versuchsaufbau an einem anderen Ort aufgebaut werden. Für den zweiten Versuchsaufbau werden einige Modifikationen durchgeführt, welche aus Erfahrungen des ersten herrühren. Ziel ist es, anhand einer neuen Messeinrichtung die Messintervalle in z-richtung feiner abfahren zu können, sowie zu untersuchen, ob am Luftaustritt wirklich ein Rechteckprofil der Geschwindigkeit vorliegt. Für den zweiten Versuchsaufbau werden folgende Neuerungen vorgenommen: Geometrie: Um nicht einen vollkommen neuen Aufbau zu erstellen, wird der vorhandene Auslass weiter verwendet. Da sich jedoch nach einigen Messungen an diesem Luftauslass gezeigt hat, dass das Geschwindigkeitsprofil nicht gleichmäßig ist, soll durch zusätzliche Druckverlusterhöhung das Profil weiter vergleichmäßigt werden. Dazu wird ein zusätzlicher Auslassring mit dem Durchmesser d z2 =0,4 m hinzugefügt und in den entstandenen Zwischenraum weiteres Vlies platziert. Auch der neue Auslassring besteht aus einem Lochblech mit 22 %-iger freier Querschnittsfläche. Um die neue Geometrie nach oben hin zu Diplomarbeit: Paul Jonas 40

52 3. Experimentelle Untersuchung turbulenter radialer Wandstrahlen Abb. 17: Messeinrichtung des ersten Aufbaus. schließen, wird ein du senfo rmiger Deckel angebracht. Dadurch soll die Stro mung zusa tzlich in r-richtung gelenkt werden (siehe Abbildung 18, 19). Die Auslassho he betra gt im zweiten Aufbau hz2 =0,06 m. Messeinrichtung: Auch die Messeinrichtung wird im zweiten Aufbau grundlegend verfeinert. Da die erste Lo sung mit den Distanzstu cken nur eine recht grobe Auflo sung des Messbereiches in z-richtung zuließ, wird beim zweiten Aufbau eine Lo sung mit Spindeln fu r die Vertikalverstellung realisiert. Dadurch ist es mo glich, die z-koordinate beliebig fein abzufahren. Es werden zwei Spindeln mit Trapezgewinde verwendet, welche an ihren oberen Enden gelagert sind. Am unteren Ende der Spindeln befindet sich jeweils ein Getriebe, in welches u ber Kegelra dern die Richtung der Antriebsachse um 90 umgelenkt wird. An die horizontal verlaufenden Austrittsachse des Getriebes, wird eine Verla ngerung angebracht an deren Ende ein Kurbel befestigt wird. So ist es mo glich die Ho heneinstellung anhand der Kurbel durchzufu hren. Eine Umdrehung der Kurbel entspricht 1 mm Ho hendifferenz. Zusa tzliche Geschwindigkeitsmessung: Da sich heraus stellte, dass das Geschwindigkeitsprofil am Auslass nicht wie anfangs angenommen ein Rechteckprofil darstellt, (siehe Auswertung 3.5), wird es explizit direkt am Auslass gemessen. Dazu wird eine PrandtlSonde benutzt, da sie ho here Geschwindigkeiten messen kann als die zur Verfu gung stechenden Anemometer. Diplomarbeit: Paul Jonas 41

53 3. Experimentelle Untersuchung turbulenter radialer Wandstrahlen Abb. 18: Vera nderter Luftauslass des zweiten Aufbaus 2 1 Du senfo rmiger Deckel, Abb. 19: Vera nderter Luftauslass des zweiten Aufbaus. 3 Zusa tzliches Lochblech Zusa tzlicher Vlies, Des Weiteren werden zusa tzliche Anemometer an die Traverse angebracht, um auch in r-richtung ein feineres Messgitter zu erlangen. Neue Messblende mit DN100: Zur Volumenstrommessung am zweiten Aufbau wird eine Trox-Blende DN100 (siehe Kapitel 3.2.1) verwendet. Die 100 mm Blende ist fu r den zu messenden Bereich besser geeignet Versuchsbedingungen Durchführung der Messungen am Versuchsaufbau I Im folgenden werden die Bedingungen, unter welchen die Versuche durchgefu hrt werden dargestellt. Am Aufbau I werden nach anfa nglichen Testmessungen vier Versuchsreihen aufgezeichnet. Diplomarbeit: Paul Jonas 42

54 3. Experimentelle Untersuchung turbulenter radialer Wandstrahlen Abb. 20: Verbesserte Messeinrichtung des zweiten Aufbaus. Die Ho heneinstellung durch die Spindeln ermo glicht ein feineres Messgitter Dabei wird in erster Linie der Volumenstrom vera ndert. Die verschiedenen Versuchsparameter sind in folgender Tabelle 7 zusammengefasst. Messreihe Nr. Pollrate Anzahl der Messpunkte Messzeit V aus Messho he z Sondenzahl 3 mm mm - - ms - min m / , / /h Tab. 7: Versuchsbedingungen der Messungen am ersten Aufbaus Dabei bedeutet die Pollrate in ms die Abtastzeit. Bei einer Pollrate von 1000 ergibt sich ein Messwert pro Sekunde, was bedeutet, dass die Messzeit (in Sekunden) der Anzahl der Messwerte entspricht. Die Messho he in der Tabelle 7 gibt den Bereich in z-richtung an, in dem gemessen wurde. Wegen der Empfindlichkeit der Anemometer wird der erste Messpunkt bei 5 mm relativ weit von der Platte entfernt gewa hlt. Grund hierfu r ist die Tatsache, dass der Versuchsaufbau weitestgehend aus Holz gefertigt ist, was dazu fu hrt, dass die Traverse beim Vera ndern der Ho henposition, sowie beim Vera ndern der Sonden schwingt. Die Schwingung kann dazu fu hren, Diplomarbeit: Paul Jonas 43

55 3. Experimentelle Untersuchung turbulenter radialer Wandstrahlen dass die Geschwindigkeitssensoren unten auf die Platte stoßen. z ist die Höhe des Messintervalls, welche bei allen Versuchen 8 mm beträgt. Dieser Abstand resultiert aus der Dicke der Distanzstücke. In den Versuchsreihen 1 und 2 wird die Messhöhe jeweils zweimal abgefahren, da nur drei Geschwindigkeitssonden zur Verfügung stehen. Es wurde einmal mit drei Sonden gemessen (r=0,7 m 1,2 m, 1,7 m) und beim zweiten Durchgang mit zwei Sonden in den jeweiligen Zwischenräumen (r=0,95 m und 1,45 m). Für die anderen Messreihen werden die Sonden an den selben Radien positioniert. Der Koordinatenursprung liegt in der Mitte des zylindrischen Auslasses. Die Raumtemperatur entspricht bei allen vier Versuchsreihen 24 C, woraus sich eine Dichte von 1,188 kg/m 311 ergibt. Damit können die bei den jeweiligen Versuchsreihen vorliegenden Volumenströme nach Gleichung (3.1) berechnet werden. Die letzte Versuchsreihe wird mit einem besonders niedrigen Volumenstrom durchgeführt, um die Grenzschicht möglichst dick werden zu lassen Kap Durchführung der Messungen am Versuchsaufbau II Am zweiten Aufbau wird zunächst das Austrittsprofil am Luftauslass untersucht (siehe 3.3.2). Dazu wird das Geschwindigkeitsprofil mit einer Prandtl-Sonde direkt am Auslass gemessen. Die weiteren Versuchsbedingungen sind in Tabelle 8 aufgeführt. Messreihe Anzahl der Nr. Pollrate Messpunkte Messzeit Vaus Messhöhe z Sondenzahl - ms - min m 3 /h mm mm (3/53)(10/96)(20/266) (3/65)(10/128)(20/268) (3/62)(6/112)(20/292) (3/75)(5/100)(10/200) (3/80)(5/100)(10/200) (3/75)(5/100)(10/150) 6 Tab. 8: Versuchsbedingungen der Messungen am zweiten Aufbaus Die erste Messreihe wird mit dem aus Aufbau I stammenden Luftauslass durchgeführt. Das Hauptaugenmerk liegt dabei auf dem Auslassprofil, welches mit der Prandtl-Sonde vermessen wird. Es wird lediglich die Prandtl-Sonde und ein Hitzkugelanemometer an die Traverse angebracht und eine Höhe von 80 mm vermessen. Für Messreihe 2 werden zusätzliche Hitzkugelane- 11 Die Dichte ϱ (T, p) wird hier nach dem Idealen Gasgesetz ϱ = p, mit R=287,06 RT J /kgk berechnet [5]. Der Druck wurde nicht gemessen. und p= Pa Diplomarbeit: Paul Jonas 44

56 3. Experimentelle Untersuchung turbulenter radialer Wandstrahlen mometer angebracht und die Messhöhe auf 266 mm ausgedehnt. Dabei wird über die Messhöhe das Messintervall z variiert. Die Angaben in der siebten Spalte von Tabelle 8 stehen jeweils für die Intervallgröße und deren Obergrenze in Messrichtung z ( z /Obergrenze). Der Abstand z der Messpunkte kann mit wachsender z-koordinate größer gewählt werden, weil die Geschwindigkeitsgradienten im Strahl mit zunehmenden Abstand zu Wand kleiner werden. Ab Versuchsreihe 3 ist der zusätzliche Lochblechring platziert. In Versuchsreihe 3 und 4 ist dabei das Vlies direkt vor dem äußeren Lochblech platziert. Anschließend wird der Fließ außen vor den inneren Lochblechring platziert. Dadurch soll sich die Strömung bis zum Auftreffen auf das äußere Lochblech weiter vergleichmäßigen. In den Versuchsreihen von 1 bis 5 ist die Prandtl-Sonde bei r = 0,22 m und die Dantec-Sonden bei r = 0,7 m, 0,95 m, 1,2 m, 1,45 m und 1,7 m angeordnet. In den Versuchsreihen 6, 7 und 8 werden lediglich die Geschwindigkeitsprofile mit den Dantec- Sonden gemessen. Des Weiteren werden im Strahl vertikale in Strömungsrichtung ausgerichtete Bleche angebracht um 21 und 20). Für diese Versuchsreihen werden sechs Dantec-Sonden verwendet, welche auf folgenden Positionen positioniert sind: Abb. 21: Skizze zur Abschirmung der Strömung gegenüber der Raumströmung Nr. Sondenposition (m) 6 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 7 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 8 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Tab. 9: Positionierung der Sondenpositionen in r-richtung am Aufbau II Diplomarbeit: Paul Jonas 45

57 3. Experimentelle Untersuchung turbulenter radialer Wandstrahlen 3.5. Versuchsauswertung Allgemeines Bevor auf die detaillierte Beschreibung und Charakterisierung der Wandstrahlströmung eingegangen wird, sollen anhand einiger Messergebnisse die grundlegenden Phänomene der Strömung erläutert werden. Wie in den Abbildungen 22 und 23 zu erkennen ist, nimmt die Geschwindigkeit mit laufender z-richtung bis zu einem Maximalwert zu und fällt anschließend wieder ab. Darüber hinaus ist zu erkennen, dass die Maximalwerte mit wachsendem Abstand von Luftauslass kleiner werden. Hingegen nimmt die Strahlbreite stetig zu. Abb. 22: Geschwindigkeitsprofile des radialen Wandstrahls, Aufbau I, Versuchsreihe 4 Um die Strömung eines Wandstrahls quantitativ beschreiben zu können, ist es sinnvoll einige charakteristische Größen einzuführen. Diese Größen sollen im folgenden erläutert werden: Strahlausbreitungswinkel α: Der Winkel α ist ein Maß für die Dicke δ R des Strahls (R für Rand). Dabei ist es wichtig, die Größe δ R sinnvoll zu definieren. Da die Radialgeschwindigkeit mit steigendem Wandabstand asymptotischen gegen Null geht, ist es messtechnisch problematisch, einen absoluten Außenrand des Strahls zu ermitteln. Hinzu kommt die Tatsachen, dass die Geschwindigkeitssonden, wie oben erläutert, nicht die Radial- sondern die Absolutgeschwindigkeit messen, was zu Folge hat, dass die radiale Geschwindigkeitskomponente mit steigendem Wandabstand von der axialen überlagert wird. Dieser Effekt nimmt mit sich verringerndem Abstand r zum Luftauslass zu. Unter Beachtung der oben beschriebenen Effekte, ist es sinnvoll, den Rand des Wandstrahls anhand einer definierten Abnahme der Maximalgeschwindigkeit zu beschreiben, z. B. δ R = Diplomarbeit: Paul Jonas 46

58 3. Experimentelle Untersuchung turbulenter radialer Wandstrahlen Abb. 23: Geschwindigkeitsprofile des radialen Wandstrahls, Aufbau II, Versuchsreihe 7 δ(u r = 0, 2u max ). Diese Linie beschreibt nicht den wirklichen Rand des Strahls. Um jedoch Messwerte untereinander, oder mit simulierten Ergebnissen zu vergleichen, ist die Definition zulässig. Aus der Eigenschaft des Ausbreitungswinkels folgt unmittelbar, dass die Dicke δ R sowie alle anderen Dicken δ ci bei beliebigen Bruchteilen der Maximalgeschwindigkeit (u ci = ξ i u max ) lineare Funktionen von r sind (siehe Abbildung 24). Abb. 24: Darstellung der charakteristischen Größen zu Beschreibung radialer Wandstrahlen Charakteristische Dicke δ c : Die Dicken δ ci beschreiben diejenige Linie, welche durch alle charakteristischen Geschwindigkeiten u ci in r-richtung verläuft (siehe Abbildung 24). Das Diplomarbeit: Paul Jonas 47

59 3. Experimentelle Untersuchung turbulenter radialer Wandstrahlen heißt für die betrachteten Höhen z i gilt: z i = δ ci = z(u ci ), mit u ci = ξ i u max und ξ als einen beliebigen Bruchteil von u max. Da die Verläufe aller charakteristischen Geschwindigkeiten als Funktionen von r einen linearen Zusammenhang aufweisen, können sie durch einen für den jeweilige ξ-wert typischen Ausbreitungswinkel beschrieben werden, welcher als Vergleichsmerkmal für andere Messungen oder Simulationen herangezogen werden kann. Die Abhängigkeit δ ci (r) lautet also: δ ci (r) = a δci r + b δci In der Literatur wird für δ c oft δ 0,5 verwendet, welches der Dicke des Strahls an der Stelle entspricht, wo die Maximalgeschwindigkeit auf die Hälfte abgenommen hat. Diese Stelle wird gewählt, weil dort u/ z 0 gilt, und somit der Wert δ 0,5 gut ermittelt werden kann. Würde man δ c an der Stelle u max wählen (δ), so wäre ein eindeutiger Wert für δ nur ungenau bestimmbar. Volumenstromzunahme (Entrainment-Effekt): Die oben beschriebene Aufweitung des Wandstrahls hängt mit der Volumenstromzunahme über die Lauflänge des Strahls zusammen. Dieser Effekt ist zurückzuführen auf die im Fluid herrschenden Spannungen am Außenrand des Strahls. Dort herrschen, abhängig von r und z verschieden hohe Geschwindigkeitsgradienten. Je höher die Gradienten, desto stärker ist die turbulente Reibung und somit der Einmischeffekt. Die Induktion ruhender Außenluft in den Strahl hängt also mit den Geschwindigkeitsgradienten und einem Transportkoeffizienten zusammen. Bei laminarer Strömung ist dieser Koeffizient die molare Viskosität µ, bei turbulenter die turbulente Viskosität µ t. Dieser Effekt wird in der Literatur oft als Entrainment-Effekt (engl.:entrain: mitreißen) bezeichnet. Um Missverständnisse zu vermeiden sei angemerkt, dass die turbulente Reibung im gesamten Strahl (nicht nur am Rand!) herrscht, und sein Aussehen beeinflusst. Für die Induktion am Außenrand sind jedoch nur die am Außenrand herrschenden Spannungen verantwortlich. Es zeigt sich, dass sich die Volumenstromzunahme über eine Geradengleichung der Form V (r) = a v r + b v beschreiben lässt, bei welcher die Steigung der Zuname über r entspricht (a v (m 3 /sm)). Virtueller Ursprung r 0 : Die Verbindungslinien aller charakteristischen Geschwindigkeiten enden in einem Punkt, welcher nahe dem Luftauslass liegt. Dieser Punkt beschreibt den Strahlursprung (siehe Abbildung 24) und liegt im Abstand r 0 vom Ursprung (r = 0) entfernt. Er kann, je nach Versuchsbedingungen, positive oder negative Werte annehmen. Der Strahlparameter r 0 hängt im wesentlichen von der Auslassgeometrie, der Auslassturbulenz und der Auslassgeschwindigkeit ab. Auf die Größe r 0 wird in Kapitel 7 näher eingegangen. Strahlkonstante F: Anders als bei einem Freistrahl, also einem Strahl ohne Wandbindung, bleibt beim Wandstrahl der Strahlimpuls über r nicht konstant. In einer Arbeit von Diplomarbeit: Paul Jonas 48

60 3. Experimentelle Untersuchung turbulenter radialer Wandstrahlen M. B. Glauert [10] wird als Strahlkonstante für den radialen Wandstrahl folgende Größe hergeleitet: F = ru 0 z ru 2 dz dz = const (3.4) Diese Konstante entspricht bis auf einen Zahlenfaktor, welcher sich aus der Auslassgeometrie bestimmen lässt, dem Produkt aus Impulsstrom und Volumenstrom [13]. Da der Volumenstrom mit wachsendem Radius ansteigt, muss der Impulsstrom sinken, wenn F konstant sein soll. Dies ist beim Wandstrahl deshalb der Fall, weil in der Grenzschicht durch die Wandreibung Impuls verloren geht. In dieser Arbeit wird die Strahlkonstante exemplarisch an anhand von simulierten Werten errechnet, da die Integration z über die Messwerte wie oben erwähnt problematisch ist. Geschwindigkeitsabnahme über r: Die Abnahme einer charakteristischen Geschwindigkeit im Strahl über r ist ein weiteres Merkmal, welches für Vergleiche von Strahlen herangezogen werden kann. Die Geschwindigkeitsabnahme wird in der Regel über einen Potenzansatz (siehe Kapitel 7) der Form u = a u r m ausgedrückt. Auch die oben eingeführte Größe δ c kann über ein Potenzansatz der Form δ c = a δ r n ausgedrückt werden. Es ist wichtig anzumerken, dass die Faktoren a δci und a δ nicht identisch sind. Bei a δci handelt es sich um die Steigung einer Geraden, wohingegen der Faktor a δ ein Vorfaktor für den Potenzansatz ist. Weiterführende Erklärungen zu den Potenzansätzen sind in Kapitel 7 beschrieben. Der Exponent m und der Vorfaktor a u lässt sich folgendermaßen ermitteln. Eine charakteristische Geschwindigkeit u c wird logarithmisch über ln(r) aufgetragen. Der Exponent n entspricht der Steigung der Graden, die Größe a u wird aus dem Schnittpunkt der Geraden mit der ln(u c )-Achse ermittelt (a u =exp(ln(u c )) bei ln(u c ) = 0) Auswertung erster Aufbau Im Folgenden sollen die Versuchsreihen, die am ersten Versuchsaufbau durchgeführt wurden, ausgewertet werden. Die Versuchsbedingungen sind in Tabelle 7 dargestellt. Es sollen zuerst die Ausbreitungswinkel einiger charakteristischer Geschwindigkeiten sowie die sich daraus ergebenden r 0 aus den Messdaten des ersten Aufbaus berechnet werden. Die Ausbreitungswinkel α i sind Funktionen der Anteile ξ der Maximalgeschwindigkeit, und erhöhen sich mit sinkendem ξ. Aus den Messwerten die effektive Strahlausbreitung, also die Höhe z, bei welcher die Geschwindigkeit stark abgenommen hat, zu ermitteln, erweist sich aus folgenden Tatsachen als problematisch: Zum einen streuen die Werte am Rand teilweise stark, so dass keine eindeutige Bestimmung von u c = ξ u max für kleine ξ möglich ist. Eine weitere Problematik tritt dadurch Diplomarbeit: Paul Jonas 49

61 3. Experimentelle Untersuchung turbulenter radialer Wandstrahlen auf, dass die bei wachsenden Radien r i ohnehin schon recht niedrigen Maximalgeschwindigkeiten durch ξ weiter verringert werden, und somit teilweise gar nicht mehr in den Messwerten auftauchen. Lediglich bei Versuchsreihe 3 am Aufbau I ist es möglich bei Werten für ξ bis ca. 0,2 sinnvolle Ergebnisse zu erlangen. Die anderen Versuchsreihen am Aufbau I lassen nur Werte für ξ > 0, 5 zu. In Tabelle 10 sind die oben eingeführten Größen α und r 0 als Funktionen von r aufgeführt. Versuch 1 Versuch 2 Versuch 3 Versuch 4 α r 0 α r 0 α r 0 α r 0 ξ ( ) (m) ( ) (m) ( ) (m) ( ) (m) 1 1,283 0,405 1,283 0,191 0,917-0,213 1,283-0,237 0,7 3,505-0,019 4,027 0,136 3,787 0,088 4,481 0,139 0,6 2,969-0,191 4,516 0,090 4,691 0,118 5,387 0,162 0,5 4,536-0,074 5,342 0,095 5,546 0,131 4,657 0,145 0, ,920 0, Tab. 10: Auswertung der Öffnungswinkel und r 0i aus den Messwerten des ersten Aufbaus An den Werten ist zu erkennen, dass bei niedrigeren charakteristischen Geschwindigkeiten die Öffnungswinkel steigen, da sie weiter am äußeren Rand des Strahls liegen. Es ist zu erkennen, dass die jeweiligen α i in den verschiedenen Versuchsreihen ähnliche Werte annehmen. In Kapitel 7 wird gezeigt, dass der Öffnungswinkel aller Wandstrahlen wegen des angenähert selbstähnlichen Charakters immer annähernd gleich sein muss. Die über alle Versuche des ersten Aufbaus gemittelten α 1 sind in Tabelle 11 wiedergegeben. Die r 0i werden anhand der Geradengleichungen bestimmt, welche die Linien durch die jeweils i-te charakteristische Geschwindigkeit beschreiben (siehe Abbildung 25 und 26). Aus δ ci = a αi r +b αi ergibt sich durch die Bedingung δ ci (r 0 ) = 0, dass r 0 = b α /a α gilt. Die Parameter a α und b α werden aus Regressionsgeraden der jeweiligen δ ci ermittelt. Die errechneten r 0i sind ebenfalls in Tabelle 10 aufgeführt. Prinzipiell sollte der r 0 -Wert für alle charakteristischen Geschwindigkeiten einer Messreihe den selben Wert haben, da der Strahlursprung in einem Punkt liegen muss. In den Abbildungen 25 und 26 sowie in Tabelle 10 ist jedoch deutlich zu erkennen, dass die Werte für r 0 (u = u max ) stark von den anderen mit r 0 (u = ξ i u max ) abweichen. Bei den r 0i ist es schwer eine eindeutige Tendenz zu erkennen, außer, dass sie bei höherem Volumenstrom kleinere Werte annehmen (Vergleiche Tabelle 7 und 10). Die Versuchsreihen 2 und 3, die bei annähernd gleichem Volumenströmen durchgeführt wurden ( V 2 =115,23 m 3 /h, V 3 =119 m 3 /h), weisen im Mittel auch ähnliche r 0i auf. Um jedoch den Einfluss auf r 0 zu untersuchen, müssten zusätzlichen Versuchsreihen durchgeführt werden (siehe Kapitel 9). Die über die vier Versuchsreihen gemittelten α i in Abhängigkeit von ξ i und die über die unterschiedlichen ξ i gemittelten r 0i für jede Versuchsreihe sind in Tabelle 11 dargestellt. Diplomarbeit: Paul Jonas 50

62 3. Experimentelle Untersuchung turbulenter radialer Wandstrahlen Abb. 25: Darstellung ausgewerteter α i, Aufbau 1 Versuchsreihe 3 Abb. 26: Darstellung ausgewerteter r 0i, Aufbau 1 Versuchsreihe 3 Bei der Mittelwertbildung der r 0i wurde r 0i (u max ) aufgrund der staken Abweichungen nicht berücksichtigt. Im Folgenden sollen die Koeffizienten a v, welche die Einmischung der Außenluft in den Strahl be- Diplomarbeit: Paul Jonas 51

63 3. Experimentelle Untersuchung turbulenter radialer Wandstrahlen α m Standardabweichung Versuch r 0i Standardabweichung ξ ( ) ± Nr m ± 1 1,192 0, ,095 0,072 0,7 3,950 0, ,107 0,020 0,6 4,391 0, ,109 0,018 0,5 5,020 0, ,149 0,010 0,2 8,920 - Tab. 11: Gemittelte Öffnungswinkel und r 0i aus den Messwerten des ersten Aufbaus schreiben ausgewertet werden. Dazu werden an den verschiedenen Radien die dort herrschenden Volumenströme berechnet, wobei gilt: V = z R 2πru(z) r dz. (3.5) 0 (3.6) Die Integration erfolgt aus den Messwerten näherungsweise unter Anwendung der Trapezregel V j = n ( ) uri + u ri+1 πrj (z i z i+1 ) (3.7) i=1 wobei der Index j für die Radien in r-richtung und n für die Anzahl der Messwerte steht. Bei der Integration ergibt sich die Problematik, dass nicht bis z, sondern bis z = z R integriert werden soll, wobei die Größe z R, mit Index R für Rand, wie oben erwähnt, schwer zu bestimmen ist. Sollen die Messwerte lediglich untereinander oder mit simulierten Werten Verglichen werden, kann für z R z. B. δ 0,5 verwendet werden. Die Integrationsgrenze wird dann zu einer Funktion von r, welche einer Geradengleichung entspricht (siehe oben). Das heißt, die Messwerte werden nicht weiter berücksichtigt, wenn gilt: z R > a α r + b α. Ist jedoch der wirklich transportierte Volumenstrom von Interesse, so muss das Flächenverhältnis unter dem Graphen in Abbildung 27 ermittelt werden. (Das Verhältnis kann anhand von simulierten Werten näherungsweise bestimmt werden. Dabei wird bis zur Höhe z integriert, bei der u r = 0 gilt. Anhand von simulierten Werten ist dies im Gegensatz zur Messung möglich, da die Simulation u r und u z explizit ausrechnet. Daraus ergibt sich, das bis zu Höhe δ 0,5 ca. 75 % des gesamten Volumenstroms transportiert werden.) Die Integration zur Bestimmung der Volumenströme hat ergeben, dass, je nachdem, ob die Integrationsgrenze variabel oder fest gewählt wird, sich signifikante Unterschiede einstellen. Dabei Diplomarbeit: Paul Jonas 52

64 3. Experimentelle Untersuchung turbulenter radialer Wandstrahlen Abb. 27: Anteile des berechneten Volumenstroms bedeutet die variable Integrationsgrenze, das jeweils bis zur Bedingung z R > a α r + b α integriert wird. Bei der festen Integrationsgrenze wird von z = 0 bis zur jeweilig vermessenen Höhe integriert. Die Unterschiede der berechneten Volumenströme nehmen mit r ab, da die Anzahl der unberücksichtigten Messwerte abnimmt. Dass heißt, die Steigung der Geraden (a v ), welche der Einmischung pro Meter entspricht, nimmt zu. In Abbildung 28 ist exemplarisch anhand Versuch 2 an Aufbau I die Abweichung der unterschiedlichen Integrationsmethoden dargestellt. Die Abweichungen der auf die verschiedenen Weisen berechneten Volumenströme betragen bei kleinen r, hier r = 0,7 m, 57 % und nehmen bei r = 1,7 m auf ca. 7 % ab. Diese Werte schwanken in den verschiedenen Versuchsreihen und sollen nur die Auswirkung der Wahl des Strahlrandes, bis zu dem integriert wird, verdeutlichen. Im Folgenden werden die Volumenströme, wenn nichts anderes vermerkt ist, bis zu einer Höhe z integriert, welche δ 0,5 entspricht. Die Volumenstromzunahme und die jeweiligen Einmischkoeffizienten sind in Tabelle 12 aufgeführt. Aus Tabelle 12 ist ersichtlich, dass zumindest in den ersten drei Versuchsreihen der Einmischkoeffizient a v die gleiche Größenordnung besitzt. Weiterhin ist tendenziell zu erkennen, das bei höherer Austrittsgeschwindigkeit, d.h. höheren Austrittsvolumenströmen auch die im Strahl transportierten Volumenströme höher sind. Da sich in den Versuchsreihen 2 und 3 die Volumen- Diplomarbeit: Paul Jonas 53

65 3. Experimentelle Untersuchung turbulenter radialer Wandstrahlen Abb. 28: Unterschied der errechneten Volumenströme anhand unterschiedlicher Integrationsgrenzen (Aufbau I Versuch 2) Volumenstrom an Messposition r (m 3 /s) Einmischkoeffizien Versuch r = 0,7 m r = 0,95 m r = 1,2 m r = 1,45 m r = 1,7 m a v (m 3 /sm) 1 0,180 0,248 0,270 0,331 0,380 0, ,114 0,160 0,193 0,244 0,305 0, ,110 0,150 0,203 0,262 0,303 0, ,097 0,129 0,164 0,211 0,245 0,152 Tab. 12: Auswertung der Volumenstromzunahme aus den Messwerten des ersten Aufbaus ströme lediglich um 3 % unterscheiden, ist dort die Tendenz aufgrund von Messungenauigkeiten nicht zu erkennen. Betrachtet man die Volumenströme, die am Luftauslass austreten, so stellt man fest, das sie ca. 1/4-1/6 den pro Meter induzierten Luftvolumenströmen entsprechen. Das hat zur Folge, dass der Volumenstrom bis r = 1,7 m auf ca. das acht- bis neunfache seines ursprünglichen Wertes ansteigt. Die Auswertung der Geschwindigkeitsabnahme über r ergibt die in Kapitel erklärten Größen m und a u.die Exponenten m und Vorfaktoren a u aus den Messwerten am ersten Versuchsaufbau sind in Tabelle 13 aufgeführt. Sie werden mit dem von Bakke und Glauert ermittelten Exponenten verglichen. In der letzten Zeile von Tabelle 13 ist der gemittelte Exponent und dessen Abweichung zu jenem vom Glauert aufgeführt. Diplomarbeit: Paul Jonas 54

66 3. Experimentelle Untersuchung turbulenter radialer Wandstrahlen Versuch Exponent m Abweichung zu m G (%) a u (m/s) 1-1,094 4,02 0, ,057 7,24 0, ,949 16,80 0, ,993 12,87 0,163 m m -1,023 10,23 Tab. 13: Auswertung der Exponenten m aus den Messwerten des ersten Aufbaus In der Literatur sind Werte n der Größenordnung m = 1 angegeben. Experimenten von Bakke [6], welche der der Arbeit von Glauert [10] zugrunde liegen, ergeben einen Exponenten m G = 1, 14. Eine weitere Quelle, ERCOFTAC (European Research Community On Flow, Turbulence And Combustion) [4], hat Werte, die an radialen Prallstrahl gemessen wurden, veröffentlicht. Aus diesen Werten können Exponenten m ermittelt werden. Geht man davon aus, dass im Fernfeld des Strahls, die Gleichen physikalischen Zusammenhänge herrschen, so können diese Exponenten zum Vergleich herangezogen werden. Der Exponent ergibt sich zu m = 1, Auswertung zweiter Aufbau Die Versuchsauswertung für die Versuchsreihen am zweiten Versuchsaufbau werden auf analoge Weise, wie im vorherigen Kapitel durchgeführt. Es werden nur aus den Versuchsreihen 4, 5, 6, 7 und 8 die charakteristischen Größen bestimmt, da in den vorherigen Messungen in erster Linie das Geschwindigkeitsprofil am Luftauslass aufgenommen wurden (siehe Kapitel 3.5.4). Die Bedingungen sind in Tabelle 8 beschrieben. Die Ergebnisse für α i sowie r 0i sind in Tabelle 14 und 15 hinterlegt. Versuch 4 Versuch 5 Versuch 6 Versuch 7 Versuch 8 α r 0 α r 0 α r 0 α r 0 α r 0 ξ ( ) (m) ( ) (m) ( ) (m) ( ) (m) ( ) (m) 1 1,512 0,352 1,031 0,006 1,538 0,330 1,326 0,310 1,031 0,050 0,7 2,474-0,223 4,166 0,314 3,279 0,136 2,635 0,047 3,190 0,022 0,6 2,973-0,200 3,711 0,036 3,629 0,108 3,586 0,133 3,216-0,060 0,5 4,303 0,029 4,341 0,070 4,504 0,159 4,660 0,196 3,243-0,166 0,2 8,288 0, ,257 0,189 7,786 0,110 Tab. 14: Auswertung der Öffnungswinkel und r 0i aus den Messwerten des zweiten Aufbaus Prinzipiell sollten sich unabhängig von der Auslassgeometrie bei den jeweils gleichen charakte- Diplomarbeit: Paul Jonas 55

67 3. Experimentelle Untersuchung turbulenter radialer Wandstrahlen α m Standardabweichung Versuch r 0i Standardabweichung ξ ( ) ± Nr m ± 1 1,288 0, ,067 0,148 0,7 3,157 0, ,140 0,124 0,6 3,423 0, ,134 0,021 0,5 4,210 0, ,141 0,060 0,2 7,777 0, ,024 0,102 Tab. 15: Gemittelte Öffnungswinkel und r 0i aus den Messwerten des zweiten Aufbaus ristischen Höhen δ ci für alle Versuchsreihen die gleichen Öffnungswinkel α i ergeben. Vergleicht man jedoch die Tabellen 11 und 15, so ist zu erkennen, dass alle Winkel α i, bis auf α(δ), also den Öffnungswinkel der Maximalgeschwindigkeiten, aus Messungen am ersten Aufbau größer sind als der jeweilige aus Messwerten am Aufbau II. Diese Tendenz erweckt den Eindruck, als sei der Öffnungswinkel von der Versuchsgeometrie abhängig. Die Ursache ist jedoch eher in den der Ungenauigkeit der Messwerte zu suchen. Die Öffnungswinkel werden über eine Regressionsgerade ermittelt, was bedeutet, dass die Messwerte nur annähernd auf der Geraden liegen. Teilweise Schwanken die Winkel recht stark, so wie z. B. bei ξ = 0, 7: α min = 2, 47, α max = 4, 16 Aus den Werten für r 0i ist keine Tendenz zu erkennen. Auch hier ist die Ursache in der Ungenauigkeit der Messwerte zu suchen. Da die r 0i über die Regressionsgeraden, welche durch u c δ ci verlaufen, bestimmt werden, haben kleine Abweichungen der Messwerte signifikanten Einfluss. Eine geringe Änderung der Steigung a α kann den Punkt r 0 stark auf der r-achse verschieben (Vergleiche Abbildung 26). Als nächstes wird analog zur Tabelle 12 der Volumenstrom und der Einmischeffekt für den zweiten Aufbau ermittelt. Auch hier wurde bis zu einer Höhe z = δ 0,5 integriert. In Tabelle 16 ist, wie auch in Tabelle 12 die Tendenz zu erkennen, dass sich die transportierten Volumenströme mit steigender Auslassgeschwindigkeit erhöhen. In den Versuchsreihen 4 und 5, sowie 6 und 7 des zweiten Aufbaus sind die gewählten Austrittsvolumenströme zu ähnlich, so dass die oben beschriebene Tendenz hier nicht eindeutig zu erkennen ist. Generell kann beobachtet werden, dass die Einmischung bei allen Messreihen am Aufbau II geringer ist als am Aufbau I. Das hat zur Folge, dass der Volumenstrom bei r = 1,7 m nicht wie oben auf das acht- bis neunfache, sondern lediglich auf das vier- bis fünffache ansteigt. Die Exponenten m aus den Versuchsreihen am Aufbau II, und ihre Abweichungen zum Exponenten m G von Glauert, sind in Tabelle 17 dargestellt. In Tabelle 17 ist, anders als in Tabelle 13, zu erkennen, dass die Werte größer sind als die von Glauert. Dass heißt, dass die Geschwindigkeiten am ersten Aufbau langsamer mit r abnehmen als im Aufbau II. Weiterhin ist zu erkennen, dass die Abweichungen von Glauertschen Exponenten Diplomarbeit: Paul Jonas 56

68 3. Experimentelle Untersuchung turbulenter radialer Wandstrahlen Volumenstrom an Messposition r Einmischkoeffizien Versuch (m 3 /s) a v (m 3 /sm) 0,7 m 0,95 m 1,2 m 1,45 m 1,7 m ,156 0,197 0,230 0,254 0,294-0, ,156 0,197 0,216 0,250 0,284-0,123 0,6 m 0,8 m 1,0 m 1,2 m 1,4 m 1,6 m - 6 0,107 0,143 0,171 0,187 0,211 0,239 0,126 0,6 m 0,7 m 0,8 m 0,9 m 1,0 m 1,1 m - 7 0,099 0,120 0,127 0,134 0,145 0,162 0,114 0,3 m 0,4 m 0,5 m 0,6 m 0,7 m 0,8 m - 8 0,041 0,061 0,068 0,073 0,084 0,092 0,095 Tab. 16: Auswertung der Volumenstromzunahme aus den Messwerten des zweiten Aufbaus Versuch Exponent m Abweichung zu m G (%) a u (m/s) 4-1,213 6,40 0, ,335 17,07 0, ,400 22,83 0, ,532 34,35 0, ,289 13,08 0,153 m m -1,354 18,74 Tab. 17: Auswertung der Exponenten m aus den Messwerten des zweiten Aufbaus m G am zweiten Versuchsaufbau größer sind als am ersten Untersuchung des Auslassprofils Der zweite Aufbau wurde in erster Linie erstellt, um die Gegebenheiten am Luftauslass näher zu untersuchen. Genauere Messungen am Austritt zeigen, dass das dort vorliegende Geschwindigkeitsprofile keinem Blockprofil entspricht. Auf den Abbildungen 29 und 30 sind exemplarisch zwei Auslassprofile dargestellt. Aus Kontinuitätsgründen müsste eine geringere Geschwindigkeit herrschen (u a = V /A a ). In Versuchsreihe 2 beim Aufbau II strömt ein Volumenstrom von 119 m 3 /h. Daraus lässt sich bei konstanter Dichte eine Austrittsgeschwindigkeit von u a =0,75 m/s berechnen (u a = V /(3600 π d z2 h z2 )). Vergleicht man diese Geschwindigkeit mit der gemessenen auf Abbildung 29, so ist deutlich zu erkennen, dass sie erheblich höher ist. Die Ursache für die starke Abweichung Diplomarbeit: Paul Jonas 57

69 3. Experimentelle Untersuchung turbulenter radialer Wandstrahlen Abb. 29: Geschwindigkeitsprofile: Aufbau II Versuchsreihe 2 am Auslass von der mittleren Austrittsgeschwindigkeit ist eventuell in der nicht homogenen Geschwindigkeitsverteilung am Auslass über die ϕ-komponente zu suchen. Diplomarbeit: Paul Jonas 58

70 3. Experimentelle Untersuchung turbulenter radialer Wandstrahlen Abb. 30: Geschwindigkeitsprofile: Aufbau II Versuchsreihe 3 am Auslass 3.6. Fehlerquellen In diesem Kapitel sollen Fehlereinflüsse diskutiert werden, welche die Ergebnisse verfälschen. Einfluss von Querströmungen im Raum: Wie Videoaufnahmen und Messungen zeigen, liegen im zweiten Testraum signifikante Raumströmungen vor. Dieser Umstand musste im Rahmen der Arbeit hingenommen werden, da der einzige Raum, wo die Versuche zu dieser Zeit durchgeführt werden konnten, eben diese Raumströmungen aufwies. Die Raumströmung ist auf Abbildung 31 zu erkennen. Die dort aufgezeichneten Messwerte sind ohne eingeschalteten Ventilator des Messaufbaus entstanden. Bei den Peaks handelt es sich vermutlich um eine Tür die geöffnet wird, oder eine Person, welche in der Nähe des Versuchsaufbaus vorbei geht. Im Mittel sind die Ausschläge nicht größer als 6 cm/s-6 cm/s. Es gibt jedoch Peaks, die bis 12 cm/s bzw. sogar 18 cm/s reichen. Auch wenn der Ventilator eingeschaltet ist, sind Einflüsse der Umgebung in den Messwerten zu erkennen. In Diagramm (32) ist zu erkennen, wie die Geschwindigkeitsprofile mit steigendem Radius gegenüber Störungen aus der Umgebung anfälliger werden. Das Geschwindigkeitsprofil bei r = 0,7 m hat gegenüber denen bei größeren Radien einen stetigeren Verlauf. Im ersten Testraum war die vorhandenen Raumströmung wesentlich moderater. Es hat sich jedoch gezeigt, dass die Größe des Testraumes Einfluss auf das Strömungsbild hat. Um das Strömungsbild sichtbar zu machen, wurde der Wandstrahl mit Hilfe mit Nebel dotiert. Im Diplomarbeit: Paul Jonas 59

71 3. Experimentelle Untersuchung turbulenter radialer Wandstrahlen Abb. 31: Raumströmung im Testraum von Aufbau II Vergleich zur Größe des Einflussgebietes des Wandstrahls ist der Testraum relativ klein. Das hat zur folge, dass der Strahl nicht rotationssymmetrisch ist, da die an den Wänden des Raumes reflektierte Strömung von außen auf das Randgebiet des Strahls rückwirkt. Da der Luftauslass nicht genau in der Mitte das Raumes platziert ist, ist es möglich, dass der Strahl an verschiedenen ϕ-positionen, bei gleichen r-positionen, unterschiedliche Geschwindigkeiten u r aufweist. Auslassprofil über z und ϕ nicht homogen: Messwerte des Geschwindigkeitsprofils am Auslass zeigen, dass das Geschwindigkeitsprofil über z keinem Blockprofil entspricht. Auch liegt die Vermutung nahe, dass es auch über ϕ nicht homogen verläuft. Die Abhängigkeit des Geschwindigkeitsprofils in z-richtung ist auf Abbildung 29 und 30 in Kapitel 3.5 dargestellt, sowie im Diagram 81 im Anhang??. Ursachen für die Inhomogenitäten sind unter anderem in der Beschaffenheit des Vlieses zu suchen, welchen, je nachdem wie stark er zusammengedrückt wird, verschiedene Druckverluste verursacht. In z-richtung sind die bei z = 0 cm und z = 6 cm, also an den Rändern des Auslasses, auftretenden niedrigen Geschwindigkeiten eventuell auf eine sich vor dem Lochblech ausgebildete Grenzschicht zurückzuführen. Dieser Geschwindigkeitsgradient setzt sich über den angebrachten Druckverlust fort. Messung mit der Prandtl-Sonde: Das vermessene Austrittsprofil wurde mit einer Prandtl-Sonde Vermessen. Aufgrund der niedrigen Geschwindigkeiten traten dort nur sehr Diplomarbeit: Paul Jonas 60

72 3. Experimentelle Untersuchung turbulenter radialer Wandstrahlen Abb. 32: Einfluss der vorhandenen Raumströmung auf das Geschwindigkeitsprofil (Aufbau II, Versuch 5) geringen Differenzdrücke auf, so dass das Differenzdruckmanometer im untersten Bereich gemessen hat. Des weiteren ist nicht garantiert dass an den Orten, wo die Prandtl-Sonde eingesetzt wurde, eine gerichtet Strömung vorlag. Es kann also sein, dass Differenzdrücke gemessen wurden, die nicht die dort Herrschenden Geschwindigkeiten korrekt wiedergeben (Queranströmung der Prandtl-Sonde). Niedrige Geschwindigkeiten: Bessere Ergebnisse hätten sich sicherlich ergeben, wenn die Auslassgeschwindigkeiten höher gewählt worden wären. Dann wäre das gesamten Strömungsfeld unempfindlicher gegenüber Querströmungen gewesen. Die Benutzten Geschwindigkeitssonden ließen jedoch nur maximale Geschwindigkeit von 1 m/s zu. Diplomarbeit: Paul Jonas 61

73 4. Numerische Simulation 4. Numerische Simulation 4.1. Grundlagen der numerischen Strömungssimulation Der Einsatz numerischer Strömungssimulationen hat in den letzten Jahren aufgrund der sich stetig leistungsfähigeren Rechner ständig zugenommen. Dieser Trend wird sich auch in der Zukunft weiter fortsetzen. Die numerische Strömungssimulation wird in der Regel dort eingesetzt, wo umfangreiche Modellstudien zu aufwändig sind, oder sich als schier unmöglich erweisen. Ist eine Anlage von großen Ausmaßen, oder von komplexer Geometrie, ist das erstellen von experimentellen Aufbauten oft ökonomisch nicht sinnvoll. Andere Beispiele sind z. B. Gasturbinen, in denen sich Messungen als äußerst schwierig erweisen. Durch die Verfeinerung der Rechengitter können Ergebnisse produziert werden, welche messtechnisch nicht zu ermitteln sind. Wenn z. B. sehr hohe Drücke oder Temperaturen herrschen oder die Modellmaßstäbe sehr groß sind, wird eine Simulation durchgeführt. Ein großes Einsatzgebiet ist auch die Flugzeugindustrie. Dort werden nach verschiedensten Simulationen Modelle gefertigt, an denen dann die Simulationsdaten im Windkanal verifiziert werden. Der Ablauf von numerischen Simulationen kann grob in vier Abschnitte unterteilt werden. Definition der Problemstellung Mathematische Formulierung (physikalische, chemische Modelle) System vom Differentialgleichungen Diskretisierung (Finite Volumen, Finite Elemente, Finite Differenzen, Spektralmethoden) System vom algebraischen Gleichungen Numerischen Lösung (iterative und direkte Methoden) Im ersten Schritt ist zu allererst die Problemstellung klar zu definieren. Dazu gehört z. B. die geometrische Beschreibung des Problems. Anhand der geometrischen Gegebenheiten muss dann entschieden werden, ob das Problem dreidimensional berechnet werden muss, oder ob es reicht, Diplomarbeit: Paul Jonas 62

74 4. Numerische Simulation ein zweidimensionales Modell zu erstellen. Zweidimensionale Rechnungen benötigen konsequenterweise weniger Rechenaufwand, da sich die Zahl der zu berechnenden Gitterpunkte erheblich reduziert. Des Weiteren muss anhand der Geometrie entschieden werden, welches Koordinatensystem verwendet werden soll. Bei achsensymmetrischen Strömungen bietet sich die Verwendung zylindrischer Koordinaten an. In die Problembeschreibung gehen auch physikalische Gegebenheiten ein. Es muss festgelegt werden, ob z. B. Reibung, Wärmeübergang oder Stofftransport, um einige wichtige Phänomene zu nennen, ein Rolle spielen. Ziel der Problembeschreibung ist es, ein dem Problem angepasstes Modell der zu kreieren, welches die gewünschten Größen in akzeptablen Fehlertoleranzen berechnet Diskretisierung der Erhaltungsgleichungen Klassifizierung der Gleichungen Bevor die Transportgleichungen diskretisiert werden, soll auf die Klassifikation der Gleichungen eingegangen werden, welche Auswirkung auf das Lösungsverfahren hat. Allgemein kann eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung folgendermaßen geschrieben werden: a 2 φ x 2 + b 2 φ x y + φ c 2 y 2 + d φ x + e φ + fφ + g = 0 (4.1) y Analog dazu kann eine Kurve zweiter Ordnung wie folgt angegeben werden: ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + h = 0 (4.2) Je nach Wahl der Koeffizienten a, b und c nimmt die Kurve verschiedenen Formen an: Parabel, Ellipse und Hyperbel. Aus der Analogie zwischen der allgemeinen Form der Kurve zweiter Ordnung und der allgemeinen Form der partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung, wurden folgende Bezeichnungsweisen abgeleitet: b 2 4ac = 0: Die Differentialgleichung ist vom parabolischen Typ. Dazu gehören z. B. die Grenzschichtgleichungen. b 2 4ac > 0: Die Differentialgleichung ist vom hyperbolischen Typ. Dazu gehören z. B. die eindimensionale Wellenausbreitung einer kleinen Störung mit ( 2 ϕ/ t 2 ) a 2 ( 2 ϕ/ r 2 ) Dabei ist a die Schallgeschwindigkeit und ϕ(r, t) ein Potential mit ϕ/ r = v und ϕ/ t = (a 2 /κ)(p p 0)/p o. Dabei v ist die Geschwindigkeit in r-richtung [14]. Diplomarbeit: Paul Jonas 63

75 4. Numerische Simulation b 2 4ac < 0: Die Differentialgleichung ist vom elliptischen Typ. Dazu gehört z. B. die zweidimensionale Wärmeleitung. Ausgehend von diesen Definitionen ([14],[9]) wird von parabolischen, hyperbolischen und elliptischen Strömungen gesprochen. Um eine Strömung klassifizieren zu können, muss nicht zwingend die zu ihr gehörende Differentialgleichung bekannt sein. Oft ist eine Klassifizierung anhand des Charakters der Strömung möglich. So gilt z. B. für elliptische Strömungen, dass jeder Punkt im Strömungsgebiet von den Zuständen aller anderen Punkte abhängig ist. Eine Störung (z. B. Druckstörung) an einem beliebigen Punkt hat Einfluss auf das gesamte betrachtete Gebiet (z. B. eine Störung auf einer ruhenden Wasseroberfläche). Beeinflusst eine Änderung des Strömungszustandes nur Gebiete, die sich entlang einer Koordinate erstrecken (z. B. stromab ), so handelt es sich um eine parabolischen Strömung. Dazu zählen instationäre Strömungen. Der Zeitpunkt t n+1 kann den vorherigen t n nicht beeinflussen. Auch die Grenzschichtströmung werden den parabolischen Strömungen zugeordnet, da bei aufgeprägtem fest vorgegebenem axialen Druckverlauf der Einfluss stromauf gegenüber dem Einfluss stromab vernachlässigt werden kann. Zwischen den parabolischen und elliptischen Strömungen werden die hyperbolischen angesiedelt. Dort hat eine Störung im Strömungsgebiet Einfluss auf ein durch charakteristische Kurven begrenztes Gebiet. Die Kurven nennt man deshalb Charakteristiken. Ein Beispiel wäre der Mach sche Kegel, welcher durch zwei Graden (die Charakteristiken) begrenzt wird. Um die für ein Strömungsgebiet gültigen Transportgleichungen lösen zu können, müssen die in der Regel aus nichtlinearen gekoppelten Differentialgleichungen bestehenden Systeme in algebraische Gleichungen umgewandelt werden. Diese Gleichungen müssen numerisch gelöst werden, da es in der Regel keine analytischen Lösungen dieser Systeme gibt. Die allgemeine Form einer Transportgleichung für die Größe φ (vergleiche (2.11), (2.25)) lautet unter Berücksichtigung der Einsteinschen Summenkonvention in Tensornotation (siehe Anhang C.4). (ϱφ) + (ϱu jφ) } t {{ } x j } {{ } lok. zeitl. Änderung Konvektion = ( Γ φ ) x j x j } {{ } Diffusion + Q φ }{{} Quellterm (4.3) Dabei ist φ die interessierende Strömungsgröße und Γ ein Diffusionskoeffizient. Das Umschreiben obiger Differentialgleichung in eine Differenzengleichung geschieht durch ersetzen aller Differentiale φ/ x durch Ausdrücke, die Differenzen φ / x enthalten (siehe nächstes Kapitel 4.2.2). Die Diskretisierung kann auf unterschiedliche Weise vollzogen werden, und soll in den folgenden Kapiteln beschrieben werden. Voraussetzung für alle Verfahren ist eine geeignete Diskretisierung des Rechengebietes, also das Vorhandensein eines geeigneten Rechengitters (engl.:mesh). Diplomarbeit: Paul Jonas 64

76 4. Numerische Simulation Finite Differenzen Methode Bei der Finiten Differenzen Methode werden die Ableitungen der Transportgleichungen durch Taylorapproximationen ersetzt. Bei Rechengittern mit konstanten Abständen (siehe Abbildung 33), lässt sich die Größe φ an den Gitterpunkten wie folgt beschreiben: Abb. 33: Erläuterung zur Differenzenbildung φ i = φ i+1 x φ i+2 = φ i+1 + x ( ) φ + 1 ( 2 ) φ x i+1 2 x2 x 2... (4.4) i+1 ) ) ( φ x i x2 ( 2 φ x 2 i (4.5) Durch auflösen der Gleichungen (4.4) und (4.5) nach den Differentialen ( φ/ x) und Vernachlässigung der Terme höherer Ordnung können die differentiellen Terme der Differentialgleichungen angenähert werden. Aus Gleichung (4.4) kann die Rückwärtsdifferenz der Ordnung O ( x) gebildet werden: ( φ x ) i+1 = φ i+1 φ i + O ( x 2) (4.6) x Aus der Summe, bzw. der Differenz der Gleichungen (4.4) und (4.5) ergeben sich die sogenannten Zentraldifferenzen: Wobei O ( x n ) ( φ x ) i+1 = φ i+2 φ i + O ( x 2) 2 x (4.7) ( 2 φ x 2 ) i+1 = φ i + φ i+2 2φ i 2 x 2 + O ( x 2) (4.8) in den obigen Gleichungen bedeutet, dass der Approximationsfehler mit der n-ten Ordnung des Abstandes x zwischen den benachbarten Rechenpunkten wächst. Der Approximationsfehler beschreibt dabei den Unterschied der Ergebnisse eines Gitters mit endlicher Auflösung, gegenüber der exakten Lösung, welche einem Gitter mit unendlich vielen Zellen entspräche. Dieser Fehler kann durch die Feinheit des Gitters, sowie durch die Berücksichtigung Terme höherer Ordnung in den Taylorapproximation verringert werden. Diplomarbeit: Paul Jonas 65

77 4. Numerische Simulation Finite Volumen Methode Wie bei dem Verfahren der Finiten Differenzen muss auch für das Verfahren der Finiten Volumen das Rechengebiet in Zellen aufgeteilt sein. Die Überführung der differentiellen in algebraische Gleichungen wird durch Integration über die Rechenzellen bzw. der Volumen durchgeführt. Das heißt, anders als bei den Finiten Differenzen ist nicht die differentielle sondern die integrale Form Ausgangspunkt für die Diskretisierung. Die allgemeine Transportgleichung (4.3) kann anders formuliert auch folgendermaßen geschrieben werden: div (ϱ uφ) = div (Γ φ gradφ) + S φ (4.9) Die Integrale Form ergibt sich zu: V div (ϱ uφ)dv = V div (Γ φ gradφ)dv + S φ dv (4.10) V Mit dem Satz von Gauss können Volumenintegrale in Oberflächenintegrale umgewandelt. Dass heißt es wird nicht mehr über das Volumen sondern über die das Volumen umhüllende Oberfläche integriert. Der Satz von Gauss: V div (ϱ uφ)dv = A (ϱφ) u u da (4.11) Damit lässt sich Gleichung (4.10) schreiben als: A (ϱφ) u da = A (Γ φ gradφ)da + S φ dv (4.12) V Unter der Annahme, dass an den Oberflächen des Kontrollvolumens die Größen ϱ, Γ, u, φ homogen vorliegen, ergibt sich folgender Ausdruck: n z j n z [(ϱφ) j (u j A j )] = j [Γ φ,j ((gradφ) j A j )] + S φ dv (4.13) V Der Index j steht für die Einzelflächen der Gesamtoberfläche eines Volumenelementes. Im dreidimensionalen Fall in einem Hexaedergitter wäre j = 6, wobei u j für die jeweilige Geschwindigkeitskomponente senkrecht zur j-ten Fläche A j steht. Zur Verdeutlichung soll anhand einer zweidimensionalen Strömung die Diskretisierung der Kontinuitätsgleichung vorgenommen werden. Die Strömung sei kompressibel und stationär. Des Weiteren werden die Ein- und Austrittsflächen des betrachteten Gebietes nach der Kompassnotation (n = north = y aus, s = south = y ein sowie e, w für east und west) benannt. Diplomarbeit: Paul Jonas 66

78 4. Numerische Simulation (ϱu x ) x + (ϱu y) y = 0 div(ϱ u) = 0 Nach Integration über das Volumen und Umwandeln des Integrals nach Gauss in ein Oberflächenintegral, ergibt sich: A (ϱ u)da = (ϱu e )da e (ϱu w )da w A e A } {{ w } Bilanz in y-richtung + (ϱu n )da n + (ϱu s )da s A n A } {{ s } Bilanz in y-richtung (ϱua) e (ϱua) w + (ϱua) n (ϱua) s = 0 Und für eindimensionale Strömungen: (ϱu) e (ϱu) w = 0 Die oben vorgestellte Diskretisierung bezog sich lediglich auf den Ort. Um instationäre Strömung zu berechnen, muss die Strömung zusätzlich zeitlich diskretisiert werde Randbedingungen Das für die Berechnung einer Strömung zu lösende Differentialgleichungssystem stellt ein Anfangs- oder Randwertproblem dar. Nur bei der Angabe von Anfangs- bzw. Randbedingungen kann es eine eindeutige Lösung für das System geben. Je nach Strömungsart müssen verschiedene Randwerte vorgeben werden. Bei elliptischen Strömungen müssen an allen Berandungen für alle interessierenden Variablen Randbedingungen vorgegeben werden. Die Randbedingungen lassen sich in die folgenden drei Kategorien einordnen. Dirichlet-Randbedingung: An den Rändern werden die abhängigen Variablen vorgegeben. Neumann-Randbedingung: Der zu den Berandungen normale Fluss der abhängigen Variablen wird vorgegeben. Das heißt, es wird der Gradient am Rand vorgegeben. zyklische oder parabolische Randbedingungen: Randbedingungen, die in einem Strömungsgebiet periodisch wiederkehren. (Würde man z. B. einen verdrallten Wandstrahl dreidimensional berechnen wollen, so wäre es sinnvoll, nur einen Ausschnitt ( Tortenstück ) zu berechnen, und die Ränder ϕ 1 und ϕ 2 mit periodischen Randbedingungen zu belegen.) Eine typische Dirichlet-Randbedingung ist die Haftbedingung an einer Wand. Dort wird die Geschwindigkeit in allen Richtungen an allen Punkten Null gesetzt. Sind aus Versuchen Diplomarbeit: Paul Jonas 67

79 4. Numerische Simulation Geschwindigkeits-, Druck- oder Temperaturprofile bekannt, können auch solche Verläufe als Randbedingung gesetzt werden. Das Verwenden von Neumann-Randbedingungen bietet sich an, wenn an Rechenfeldgrenzen Symmetrie herrscht. Die periodischen Randbedingungen bieten sich an, wenn, wie oben schon erwähnt, in einer Geometrie ebenen oder Linien mit paarweise gleicher Verteilung der Variablen auftauchen (z. B. radiale Drallströmungen, Strömungen durch Schaufelgitter von Verdichtern und Turbinen) Lösungsalgorithmen Wie in den vorherigen Abschnitten und beschrieben, ist für eine numerischen Simulation ein Rechengitter notwendig. Bei der Finiten Volumen Methode wird jedem Rechenpunkt ein Volumen zugeordnet, über welches die Transportgleichungen integriert werden. Für jedes Volumen muss eine Differenzengleichung gelöst werden. Die Differenzengleichungen aller Volumenelemente bilden das Gleichungssystem. Da diese Systeme in der Regel nicht linear sind, müssen numerischen Verfahren angewendet werden. Diese Verfahren könne in direkte und iterative Verfahren eingeteilt werden. Merkmal der direkten Methoden ist, dass sie gegenüber den iterativen, welche mehrere Rechenschritte benötigen, das Ergebnis in einem Schritt berechnen. Bei den direkten Verfahren handelt es sich um Verfahren wie Gauss-Elimination oder L-R-Zerlegung. Diese Verfahren haben jedoch folgende Nachteile: Da bei dem Gauss-Verfahren jedem Matrixeintrag ein Speicherplatz zugewiesen werden muss, haben diese Verfahren einen hohen Speicherbedarf. Auch Null-Einträge in Matrizen brauchen Speicherplatz. Ein weitere entscheidender Nachteil solcher Systeme ist die Unfähigkeit, nichtlineare Systeme lösen zu können. Da strömungstechnische Probleme aus nichtlinearen Gleichungssystemen bestehen, bieten sich iterative Verfahren an. Diese Verfahren benötigen mehrere Rechenschritte, und nähern sich sukzessive der Lösung an. Iterative Verfahren müssen mit Startwerten für den Lösungsvektor initialisiert werden. Anschließend wird solange iteriert, bis für die zu berechnenden Größen des Lösungsvektors bestimmte Kriterien erfüllt sind. Die allgemeine Iterationsvorschrift lautet: x (m+1) = G x (m) + d (4.14) Dabei steht m für den m-ten Iterationsschritt und G für die Iterationsmatrix. Der obige Ansatz kommt aus dem ursprünglichen Gleichungssystem Ax = b, in welches für A = Q(E G) eingesetzt wird. E entspricht dabei der Einheitsmatrix und für d ergibt sich d = Q 1 b. Die verschiedenen iterativen Lösungsverfahren hängen von der Wahl von Q ab. Die Beschreibung einzelner Verfahren soll in dieser Arbeit nicht vorgenommen werden. Eine Ausführliche Beschreibung einiger iterativer Verfahren kann in [14] und [15] nachgeschlagen werden. Diplomarbeit: Paul Jonas 68

80 4. Numerische Simulation 4.5. Fehlereinflüsse numerischer Simulationen Alle numerischen Verfahren haben Fehler. Diese rühren von der Diskretisierung des Rechengebietes her, welches immer aus einer endlichen Anzahl an Zellen bzw. Volumen besteht. Die Fehler in numerischen Simulationen nennt man auch numerischen Diffusion. Die numerische Diffusion ist unter anderem eine Funktion von der Art des Gitters. Das Rechengitter kann verschiedene Formen haben. Zweidimensionale Gebiete können in quadratische oder dreieckige Flächen unterteilt werden. Analog gibt es für dreidimensionale Gebiete Hexaeder-, Tetraeder-, Pyramidenoder prismenförmige Gitter. Diese Gitterformen können in strukturierte und unstrukturierte Gitter eingeteilt werden. Dabei handelt es sich bei den rechtwinkligen Gittern strukturierten, die anderer Form zählt man zu den unstrukturierten. Die strukturierten haben, wenn die Hauptgeschwindigkeiten in Richtung der Gitterlinien liegen, eine geringere numerische Diffusion als die unstrukturierten. Nachteil der Strukturierten Gitter ist, dass es teilweise nur mit hohem zeitlichen Aufwand möglich ist, komplexe Geometrien mit einem Gitter zu belegen. Die Untersuchung des Einflusses der Gitterfeinheit ist jedoch bei den strukturierten Gitter leichter nachzuvollziehen, da an jedem Punkt im Rechengebiet die Zellen- bzw. die Volumengröße explizit bekannt ist. Bei einem Tetraedergitter ist dies aufgrund des inhomogenen (unstrukturierten) Charakters nicht möglich. Abb. 34: Unterschiedliche Gitterformen [3] Ein weiter wichtiger Aspekt ist die Stabilität der Verfahren. Dass heißt, ob und wie schnell ein Algorithmus die gewünschten Ergebnisse in welcher Qualität liefert. Dabei spielt auch die Dämpfung der Fehler eine Rolle, was bedeutet, dass kleine Rundungsfehler nicht zu divergierenden oder oszilierenden Ergebnissen führen. Diplomarbeit: Paul Jonas 69

81 5. Das Softwarepaket Fluent 5. Das Softwarepaket FLUENT 5.1. Allgemeines Das Softwarepaket Fluent ist eine vielseitig einsetzbare Simulationssoftware. Neben Strömungsmechanischen Problemstellungen können sowohl Wärmeübergangs- und Leitungsproblematiken, sowie Stofftransport berechnet werden. Weiterhin ist es möglich, chemische Reaktionen in Reaktoren sowie zwei-phasen-strömung zu simulieren. Aufgrund verschiedener verfügbarer Gitterformen, ist es möglich komplexe Geometrien, wie Ventile, Zyklone, Motorblöcke etc. zu simulieren. Auch beweglichen Geometrien, wie z. B. Zylinder in Motoren, oder Pumpen, können mit sich bewegenden Gittern ( sliding mesh ) berechnet werden. Neben Fluent gibt es weitere Anbieter kommerzieller Simulationssoftware laufen in der Regel nach dem gleichen Schema ab. Der Ablauf kann wie folgt in drei Schritte zusammengefasst werden: Der Pre-Processor Gambit (Erstellen oder importieren der Geometrie, Generieren des Rechengitters) Der Solver Fluent (Setzen der Randbedingungen, Initialisieren des Rechenfeldes) Der Post-Processor Fluent (Auswerten des Ergebnisse) 5.2. Der Pre-Processor GAMBIT Erstellen der Geometrie Die Modellgeometrie wird für diese Arbeit mit dem in Fluent implementierten Pre-Processor Gambit erstellt. Damit ist es möglich, aus verschiedenen geometrischen Grundelementen, wie Punkten, Linien, Kreisen, Flächen, Zylinder etc. Modelle zu kreieren. Eine Möglichkeit in Gambit ein Modell zu erstellen, ist die modulare, d.h., es wird mit der Definition von Punkten begonnen, welchen dann zu Linien verbunden werden. Aus den Linien werden dann Flächen und schließlich Volumen generiert. Es können auch Punkte, Linien etc. verschoben, kopiert, verbunden und getrennt werden. Für alle Operationen muss das jeweilige Objekt aus einer Liste ausgewählt werden. Es ist darüber hinaus möglich, geometrische Daten aus anderen Formaten wie Auto CAD und andere CAD-Programme zu importieren. Diplomarbeit: Paul Jonas 70

82 5. Das Softwarepaket Fluent Erstellen des Gitters Um das 2D-Rechengebiet mit einem Gitter zu überziehen, müssen alle Linien zu Flächen vereint worden sein. Die Gitter können auf unterschiedliche Weise den Flächen zugeordnet werden. Wenn ein Gitter in allen Richtungen die gleiche Auflösung haben soll (= äquidistantes Gitter ) wird eine Gitterlänge angegeben, die für das ganze Gitter gelten soll. In der Regel werden Gitter jedoch örtlich mit verschiedenen Auflösungen versehen. Andernfalls würde das Gitter an einigen Stellen unnötig fein werden, was die Rechenzeit unnötig erhöht. Es ist sinnvoll bei der Gittergenerierung darauf zu achten, Stellen mit hohen Gradienten fein aufzulösen. In Gebieten, in denen keine Gradienten zu erwarten sind, kann das Gitter grob gestaltet werden. Was die Begriffe fein und grob genau aussagen, muss prinzipiell für jedes zu untersuchende Modell neu ermittelt werden. Dazu wird eine Gitteranalyse durchgeführt (Siehe Kapitel??). Eine Abbildung von einem in Gambit erstellten Gitter ist in Abbildung 35 dargestellt. Abb. 35: Strukturiertes Grenzschicht-Gitter in Gambit Hier wurde der Grenzschichtbereich aufgrund der dort herrschenden Gradienten feiner Aufgelöst. Es handelt sich um ein strukturiertes Gitter, bei dem die Gitterlinien parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Wenn Gitter an verschiedenen Bereichen verschiedene Zellengrößen aufweisen sollen, müssen die Abstände an den die Flächen begrenzenden Linien vorgegeben werden. In Gambit kann sowohl der Abstand in einer Längeneinheit (interval size) als auch die Teilung der Strecke (interval count) vorgegeben werden. Diplomarbeit: Paul Jonas 71

83 5. Das Softwarepaket Fluent Oft erweist es sich als hilfreich, ein Strömungsgebiet in kleinere Untergebiete aufzuteilen, welche dann mit verschieden feinen Gittern vergittert werden. Bei den Rechteck-Gittern muss bei einer Verfeinerung in einer Koordinatenrichtung immer auf das neu entstehenden Seitenverhältnis geachtet werden. Optimalerweise sollte das Verhältnis x / y = 1 haben. Der Vorteil der Dreieck- oder Tetraedergitter gegenüber den orthogonalen ist, dass sie quasi übergangslos ihre Zellengröße in x- und y-richtung verändern können. Nachteilig ist bei einer Gitterverfeinerung oder Vergröberung, zwecks Gitteranalyse, die schlechte Vergleichbarkeit aufgrund des unstrukturierten Charakters (siehe Abbildung 36). Abb. 36: Unstrukturiertes Gitter in Gambit Gambit hat, um die Beschaffenheit des Gitters zu prüfen, ein Werkzeug, welches alle im Gitter enthaltenen Zellen auf deren Abmessungen hin untersucht. Anhand einer farbigen Darstellung können auf diese Weise kritischen Stellen im Gitter identifiziert und neu gestaltet werden Randbedingungen definieren und Gitterexport Nachdem die Geometrie und das Gitter fertiggestellt sind, müssen den unterschiedlichen Zonen (Linien oder Flächen) Randbedingungen zugeordnet werden. Einige Randbedingungen sind z. B. Wände, Ein-und Auslässe sowie Symmetrieachsen. Später in Fluent können den Auslässen Geschwindigkeitsprofile aufgeprägt werden, oder Wänden z. B. Wärmeströme zugeordnet werden. Alle Ränder einer Geometrie müssen prinzipiell mit Randbedingungen belegt sein. Andernfalls ist es Gambit nicht möglich ein Gitter zu exportieren. Bevor das Gitter exportiert wird, muss wei- Diplomarbeit: Paul Jonas 72

84 5. Das Softwarepaket Fluent Abb. 37: Festlegen der Randbedingungen einzelner Zonen in Gambit terhin festgelegt werden, für welchen Solver (Fluent 4, Fluent 5/6 etc.) das Gitter bestimmt ist, sowie, ob es sich um ein zwei- oder dreidimensionales Gitter handelt Der Solver FLUENT Gitterinformationen ausgeben Um die vergitterte Geometrie in Fluent zu berechnen, muss das Gitter in Fluentgeladen werden. Das Gitter kann in Fluent noch einmal überprüft werden, um eventuelle Fehler zu ermitteln. Es kann z. B. zu Versionskonflikten kommen, wenn ein Gitter mit einer Fluent- Version geladen werden soll, welches mit einer neueren Gambit-Version erstellt wurde. Unter dem Menue-Punkt Grid check gibt es die Option, dass Gitter auf Fehler zu überprüfen. Weitere Informationen über das Gitter können undter Grid info size bzw. Grid info Memoriy-Usage ausgegeben werden. Unter dem ersten Punkt können Informationen über die Anzahl und Größe der Zellen bzw. Volumen erhalten werden. Der Punkt Memory-Usage gibt Auskunft über den benötigten Speicherbedarf (siehe Abbildung 38). Unter dem Punkt Grid Reorder Domain können in Fluent die für die Rechnung hinterlegten Matrizen umgeordnet werden, was die Rechnung beschleunigen kann. Die Umordnung der Matrizen wird vollzogen, um die dünnbesetzen Matrizen effektiver zu berechnen. Fluent verwendet dabei einen Algorithmus nach Cuthill und McKee [3]. Diplomarbeit: Paul Jonas 73

85 5. Das Softwarepaket Fluent Abb. 38: Gitterinformationen in Fluent Randbedingungen konkretisieren Die in Gambit gesetzten Randbedingungen müssen in Fluent mit Anfangswerten eindeutig festgelegt werden. Alle Berandungen an einem Rechengebiet müssen mit Anfangswerten belegt werden. Die Randbedingung eines velocity-inlets also einer Einlass-Geometrie muss mit Druck, Geschwindigkeit, k und ε initiiert werden. Um k und ε zu bestimmen gibt es die folgenden Möglichkeiten: k und ε werden explizit durch Zahlenwerte vorgegeben. Die Zahlenwerte lassen sich nach folgenden Formeln abschätzen: k = 2 3 (ūi)2 (5.1) Dabei steht I für die Intensität der Turbulenz in Prozent, und ū für die mittlere Geschwindigkeit. ε berechnet sich über: I u ū = 0, 16(Re D h ) 1/8 (5.2) ε = Cµ 3/4 k 3/2 (5.3) l t Diplomarbeit: Paul Jonas 74

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