9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83

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Wilhelmine Jaeger
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1 9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x 0 V mit f(x 0 ) = a, wie sieht für eine kleine Zahl δ > 0 die Menge { } L = x V x x 0 V < δ, f(x) = a aus? Wäre f linear, V, W endlich dimensional, so wüssten wir die Antwort aus der linearen Algebra: Diese Menge wäre der Schnitt eines affinen Unterraums mit der δ-kugel um x 0, wobei die Dimension des Unterraumes von den Dimensionen n von V, m von W und dem Rang von f abhängt. Für die nichtlineare Situation wollen wir fragen, ob und wann es einen Teilmenge Ω W und eine Abbildung von g : Ω V gibt, so dass die Paare (g(y), y) genau diese Menge L bilden. Noch ein Wort zur Notation: Für eine stetig differenzierbare Abbildung f : U W Z, U offen in V, W offen in Y ist für festes y 0 V die Abbildung differenzierbar. Wir setzen h y0 : U Z : x f(x, y 0 ) D x f(x 0, y 0 ) = Dh y0 (x 0 ) und bezeichnen dies als Differential bezüglich der ersten Variablen. Entsprechend lassen sich Differentiale bezüglich der zweiten und eventuell weiterer Variablen bilden. In der Literatur ist es oft gebräuchlich dafür auch D f(x 0,... ) bzw. D j f(x 0,... ) zu schreiben, um auf die Ableitung bezüglich der ersten bzw. j- ten Variablen hinzuweisen. Solange wir die Variablen unterschiedlich bezeichnen, sind die Schreibweisen äquivalent. Wir nennen dies auch partielle Ableitung bzgl. der entsprechenden Variablen. Satz 9.. (Satz über implizite Funktionen, Teil : Existenz) Es seien (X, X ), (Y, Y ), (Z, Z ) Banachräume, U X, V Y und f : U V Z sei stetig differenzierbar. Es sei für x 0 U, y 0 V f(x 0, y 0 ) = a und die Ableitung D x f(x 0, y 0 ) : X Z sei invertierbar und D x f(0, 0) sei stetig. Dann gibt es Umgebungen Ω U von x 0 und Γ V von y 0 und eine Abbildung g : Γ Ω mit der Eigenschaft:. f(g(y), y) = a für alle y Γ.

Wäre f linear, V, W endlich dimensional, so wüssten wir die Antwort aus der linearen Algebra: Diese Menge wäre der Schnitt eines affinen Unterraums mit der δ-kugel um x 0, wobei die Dimension des

2 84 KAPITEL 9. ANWENDUNGEN DER DIFFERENTIALRECHNUNG. Ist (x, y) Γ Ω mit f(x, y) = a, so ist x = g(y). Ferner gilt: g ist stetig. Bemerkung 9..3 (Stetigkeit der inversen Abbildung) Die Forderung, dass D x f(0, 0) stetig ist, ist an sich überflüssig, endlich deimensional ist dies offensichtlich, im Banachräumen folgt dies aus dem sogenannten Satz von der offenen Abbildung, der als einer der wichtigen Sätze von Banach gilt. Dieser wird typischerweise in der Vorlesung Funktionalanalysis bewiesen und ist uns deshalb an dieser Stelle noch nicht bekannt. Beweis. (0) Vorbemerkung. Wir betrachten die Linearisierung D x f(x, y) für (x, y) in der Nähe von (x 0, y 0 ). Diese Abbildung (x, y) D x f(x, y) ist stetig, denn laut Voraussetzung sind alle partiellen Ableitungen stetig. () Konstruktion der Abbildung. Laut Voraussetzung ist die lineare Abbildung D x f(x 0, y 0 ) invertierbar. OBdA setzen wir voraus, dass (x 0, y 0 ) = (0, 0) und a = 0 ist (dies kann erreicht werden durch eine Verschiebung des Problems um den entsprechenden Vektor). Setze dazu f(x, y) = f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0 ). Dann ist f(0, 0) = 0. Definiere T(x, y) = x (D x f(0, 0)) f(x, y). Diese Abbildung ist auf U V stetig, da D x f(0, 0) stetig ist und gleiches fur f gilt. () Konstruktion einer Menge, die in sich abgebildet wird. Zeige: Es gibt δ > 0, δ > 0, so dass für alle y V mit < δ die Abbildung die δ-kugel um 0 in U in sich abbildet, d. h. T (, y) : B δ (0) B δ (0). Beweis dieser Behauptung: T (, y) ist für fest gewähltes y V differenzierbar ist und D x T (0, 0) = l (D x f(0, 0)) D x f(0, 0) = 0. Daher existiert nach unserer Vorbemerkung ein δ > 0, so dass sowohl in X B δ (0) U wie in Y B δ (0) V gilt und für x X < δ, < δ D x T (x, y) L(X) <

sogenannten Satz von der offenen Abbildung, der als einer der wichtigen Sätze von Banach gilt.

3 9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 85 gilt. Dann ist für solche x X < δ, < δ T (x, y) X T (x, y) T (0, y) X + T (0, y) T (0, 0) X. } Den ersten Term können wir durch δ sup { D x T (ξ, y) L(X) ξ S(0, x) δ abschätzen (unter Verwendung des Allgemeinen Mittelwertsatzes 8.7.). Der zweite Teil folgt aus der Steigkeit von T auf {0} B δ (0). Daher existiert ein 0 < δ δ, so dass insgesamt δ impliziert T (0, y) T (0, 0) X < δ. Dann ist T (x, y) X δ, falls x X < δ und < δ. Daher bildet T : B δ (0) B δ (0) B δ (0) ab (nach Satz 4..6 Teil 3). (3) Nachweis der Kontraktionseigenschaft. T ist für alle y B δ (0) eine Kontraktion auf B δ (0). Sind x, x B δ (0), so ist für < δ T (x, y) T (x, y) X x x X, denn die Ableitung genügt der Bedingung D x T (, y) L(X;Y ) und die Abschätzung folgt wieder aus Satz Die Kontraktionsrate ist unabhängig von y B δ (0) und damit existiert nach dem Banachschen Fixpunktsatz 9.. ein eindeutiger Fixpunkt von T (x y, y) = x y und nach Satz 9..3 ist die Abbildung y x y stetig. Wir setzen g : B δ (0) B δ (0) : g(y) = x y und erhalten T (g(y), y) = g(y). Nach der Eindeutigkeitsaussage im Banachschen Fixpunktsatz gibt es keine weiteren Fixpunkte. (4) Auflösungseigenschaft. Wir wollen noch sehen, dass Da folgt und damit f(g(y), y) = 0. g(y) = T (g(y), y) = g(y) (D x f(0, 0)) f(g(y), y) (D x f(0, 0)) f(g(y), y) = 0 f(g(y), y) = 0. (5) Ausschluss weiterer Lösungen. Ist f(x, y) = 0, so ist T (x, y) = x (D x f(0, 0)) 0 und damit ist x Fixpunkt von T (, y), also x = g(y).

Daher existiert ein 0 < δ δ, so dass insgesamt δ impliziert T (0, y) T (0, 0) X < δ. Dann ist T (x, y) X δ, falls x X < δ und < δ. Daher bildet T : B δ (0) B δ (0) B δ (0) ab (nach Satz 4..6 Teil 3).

4 86 KAPITEL 9. ANWENDUNGEN DER DIFFERENTIALRECHNUNG Satz 9..4 (Satz über implizite Funktionen, Teil : Differenzierbarkeit) Es seien U X, V Y offen und f : U V Z stetig differenzierbar. Es sei für x 0 U, y 0 V f(x 0, y 0 ) = 0 und die Ableitung D x f(x 0, y 0 ) : X Z sei invertierbar mit stetiger Inverse. Gibt es Umgebungen Ω U von x 0 und Γ V von y 0 und eine stetige Abbildung g : Γ Ω mit der Eigenschaft so ist g differenzierbar im Punkt y 0. f(g(y), y) = 0 für alle y Ω, Beweis. Wiederum ist es keine Beschränkung der Allgemeinheit anzunehmen, dass der Punkt (x 0, y 0 ) = (0, 0) ist. Auf X Y schreiben wir (x, y) X Y = x X + y Y für die übliche Norm. Wir prüfen die Differenzierbarkeit von g nach, indem wir g in der Form schreiben und zeigen, dass g(y) = (D x f(0, 0)) D y f(0, 0)y + ψ(y) lim y 0 ψ(y) = 0 ist. Damit haben wir dann die Linearisierung im Nullpunkt bestimmt. Wir beginnen mit einer Darstellung von f in der Form f(x, y) = D x f(0, 0)x + D y f(0, 0)y + R(x, y) (9.) mit Für y Ω gilt nun lim (x,y) 0 R(x, y) Z (x, y) X Y = 0. (9.) 0 = f(g(y), y) = D x f(0, 0)g(y) + D y f(0, 0)y + R(g(y), y). Damit erhalten wir eine Darstellung von g in der Form g(y) = D x f(0, 0) (D y f(0, 0)y + R(g(y), y)).

Gibt es Umgebungen Ω U von x 0 und Γ V von y 0 und eine stetige Abbildung g : Γ Ω mit der Eigenschaft so ist g differenzierbar im Punkt y 0. f(g(y), y) = 0 für alle y Ω, Beweis.

5 9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 87 Mit der oben angegebenen Linearisierung hat nun ψ(y) die Gestalt ψ(y) = D x f(0, 0) R(g(y), y). Will man dies nun abschätzen, so reicht es nicht aus, dass g(0) = 0 ist und g stetig ist, sondern man benötigt noch, dass für y 0 beschränkt ist. g(y) Dazu zeigen wir, dass g einer Abschätzung der Form g(y) X K (9.3) genügt mit einer geeigneten Konstanten K > 0. Dafür ist der Ausgangspunkt die oben angegebene Formel für g. Wir beginnen mit einer Abschätzung für R. Wegen (9.) gibt es ein δ > 0, so dass x X, < δ impliziert R(x, y) Z (x, y) X Y (D xf(0, 0) L(Z;X), also R(x, y) Z D xf(0, 0) L(Z;X) (x, y) X Y (9.4) D xf(0, 0) L(Z;X) ( x X + ). (9.5) Die Stetigkeit von g impliziert, dass ein 0 < δ < δ existiert mit g(y) X < δ für < δ. Dann ist für < δ R(g(y), y) Z D xf(0, 0) L(Z;X) ( g(y) X + ). Nun bekommen wir aus der obigen Gleichung (9.), dass also 0 = f(g(y), y) = D x f(0, 0)g(y) + D y f(0, 0)y + R(g(y), y), g(y) = (D x f(0, 0)) D y f(0, 0)y (D x f(0, 0)) R(g(y), y). Damit erhalten wir aus (9.4) g(y) X (D x f(0, 0)) D y f(0, 0) L(Y ;Z) + ( g(y) Y + ).

g(y) Dazu zeigen wir, dass g einer Abschätzung der Form g(y) X K (9.3) genügt mit einer geeigneten Konstanten K > 0. Dafür ist der Ausgangspunkt die oben angegebene Formel für g.

6 88 KAPITEL 9. ANWENDUNGEN DER DIFFERENTIALRECHNUNG Durch Umschreiben erhalten wir g(y) X ( (D x f(0, 0)) D y f(0, 0) L(Y ;X) + ). Damit ist die Zwischenbehauptung (9.3) gezeigt. Nun ist ψ aufgrund der obigen Gleichung gegeben durch ψ(y) = (D x f(0, 0)) R(g(y), y). Damit lässt sich der Quotient abschätzen durch ψ(y) X D x f(0, 0)) L(Z;X) R(g(y), y) Z D x f(0, 0) L(Z;X) R(g(y), y) Z g(y) X + y Y g(y) X + y Y. Da D x f(0, 0)) g(y) L(Z;X) eine Konstante ist, X + y Y beschränkt ist und der verbleibende Teil gegen 0 konvergiert, erhalten wir die behauptete Konvergenzaussage und die Differenzierbarkeit von g. Das Differential von g ist aufgrund der gleichen Rechnung gegeben durch Dg(0) = D x f(0, 0)) D y f(0, 0). Lemma 9..5 (Differenzierbarkeit der Inversen) Es sei U X ein Gebiet in einem Banachraum (X, X ) und A : U L(X) sei eine k-fach stetig differenzierbare Abbildung, für ein x 0 U sei A(x 0 ) stetig invertierbar. Dann gibt es ein δ > 0 so dass die Abbildung eine C k -Abbildung ist. A : B δ (x 0 ) L(X) : x A(x) Beweis. Wir zeigen in den ubungen, dass für ein hinreichend kleines δ > 0 A(x) für x B δ (x 0 ) durch eine absolut konvergierende Reihe dargestellt werden kann. Setzt man dort eine C k -Funktion ein, so ergibt sich eine C k -Funktion. Korollar 9..6 (Satz über implizite Funktionen, Teil 3: Glattheit) Unter den Voraussetzungen der Sätze 9.., 9..4 und unter der Annahme f C k (U V ; Z) ist die Funktion g auch k-fach stetig differenzierbar.

Damit lässt sich der Quotient abschätzen durch ψ(y) X D x f(0, 0)) L(Z;X) R(g(y), y) Z D x f(0, 0) L(Z;X) R(g(y), y) Z g(y) X + y Y g(y) X + y Y.

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