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1 UberrelativeNormgleichungenin algebraischenzahlkorpern Diplom-Mathematiker ClausFieker vorgelegtvon aushaan zurerlangungdesakademischengradeseines dertechnischenuniversitatberlin DoktorsderNaturwissenschaften VomFachbereich3Mathematik genehmigtedissertation. Berlin1997 D83

2 ii Promotionsausschu Vorsitzender: Berichter: ProfessorDr.M.E.Pohst ProfessorDr.J.Becker TagderwissenschaftlichenAussprache:29.April1997 ProfessorDr.G.M.Ziegler

3 Inhaltsverzeichnis Einleitung KapitelI.Grundlagen 1 1.Bezeichnungen 2.BewertungenundPrimideale 43 KapitelII.Einheiten 3.Matrizen 75 2.EineuntereRegulatorabschatzung 1.StrukturderEinheitengruppeinRelativerweiterungen KonstruktionvonEinheiten KapitelIII.Gitter GitteruberoE 1.GitteruberZ 26 iii 29

4 iv 3.AuszahlalgorithmenfuroE-Gitter 3.1.DualeBasis INHALTSVERZEICHNIS 3.2.Ellipse 37 4.EinReduktionsalgorithmusfuroE-Gitter 3.3.Simplex 3.4.Mischformen KapitelIV.Normgleichungen 44 2.NennervonnichtganzenLosungen 1.Grundlagen 51 3.LosenvonNormgleichungen(inRelativerweiterungen) Reduktion KapitelV.Beispiele 1.1."Schonere\Polynome 1.2.SchnelleresAuszahlen 69 Symbolverzeichnis 2.Normgleichungen 76 Literaturverzeichnis Zusammenfassung 87

5 Einleitung mit EinederaltestenDiophantischenGleichungenistdieNormgleichung;furZahlkorperF=E=QsowieeineZahl2E:=Q()wirdeineZahlx2F:=E() esz.b.inderalgebrentheorie([1,chapter7]und[44,lemmata6.1,6.2]). gesuchtoderdernachweis,daeskeinesolchegibt.anwendungenhiervongibt NF=E(x)= InspeziellenSituationenistschonlangebekannt,daobigesProbleminendlich vielenschrittengelostwerdenkann;z.b.fuhrtdiesfurfreellquadratischuber NennerundalleKoezienteneinerLosungangegebenunddamitgezeigt,dadie Fur(relativ-)Galois'scheErweiterungenF=EhatSiegel[48]Schrankenfurden QaufPell'scheGleichungen,dieschonGaussbehandelthat. Gleichungkonstruktivgelostwerdenkann.SpaterhatBartels[3]dieseErgebnisse aufbeliebigeerweiterungenverallgemeinert.mitanderenmethodenalssiegelhat dreiarbeitenistjedochgemeinsam,dadieschrankenvielzugrosind,umdamit Garbanati[25]fur(absolut)Abel'scheKorperebenfallsSchrankenerhalten.Allen inderpraxislosungenzunden. BeidiesendreiAnsatzenwirdzunachstderNennereinermoglichenLosungbeschrankt.IneinemzweitenSchrittwerdendann(endlichviele)Normgleichungen Ordnungen oderallgemeinerinmoduln zulosen,istjedochauchausanderen indenganzenalgebraischenzahlengelost.derspezialfall,normgleichungenin GrundenvonInteresse:UmThue-Gleichungenzulosen,sindwirandenLosungeninteressiert,dieinderGleichungsordnungoE[]uberderMaximalordnungoE voneliegen[5],genauergesagtaneinerparametrisierungalldieserlosungen. FurHauptidealtests(imFalleE=Q)muxeinElementdeszutestendenIdeals 1

6 2sein[20,(1.7)Lemma].Hieristesausreichend,"bisaufVorzeichen\zulosen NF=E(x)=?istauchzulassig;auchreichteshier,eineLosungzunden. EINLEITUNG WeitereSpezialfalleergebensichausEinschrankungenan,i.allg.wirdganz IndieserArbeitistdervonFinckeimRahmenseinerDissertationentwickelteAlgorithmuszumLosenvonNormgleichungeninOrdnungenabsoluterZahlkorper aquivalentzumbestimmenderrelativ-einheiten. algebraischsein.wenneinetorsionseinheitist,istdaslosendernormgleichung (E=Q,[20])verallgemeinert,wobeidieArbeitvonJurk[31]fortgesetztunderweitertwird.FernerwerdenMethodenvonGarbanati[24]verallgemeinert,umigleichungeninKorpernlost. FallvonrelativGalois'schenKorperneinenAlgorithmuszuerhalten,derNorm- NachdemimerstenKapitelzunachsteinigeNotationenvereinbartwerden,untersuchenwirimzweitenKapiteldieWirkungderNormabbildungaufdieEin- wichtigeinvariante,derrelativeregulator,eingefuhrt. heitengruppe.diehiergewonnenenergebnissewerdeneinerseitsfurdieparame- trisierungderlosungsmengebenotigtundandererseits,umdasproblemaufein endlicheszureduzieren.fernerwirddorteinefurdiekomplexitatdesverfahrens ImdrittenKapitelwirddienotigeGittertheoriefurGitteruberZahlkorperneinziellstellenwireineVerallgemeinerungdesLLL-AlgorithmuszurGitterreduktiogefuhrt,diebenotigtwird,umdasEllipsoidverfahrenentwickelnzukonnen.Spe- unddesfincke-pohst-algorithmuszumauszahlenvonellipsoidenvor. aufrelativerweiterungenzuverallgemeinern.furrelativgalois'scheerweiterungebnissedazubenutzt,dasellipsoid-verfahrenzurlosungvonnormgleichungen ImviertenKapitelwerdendanndieindenletztenbeidenKapitelngewonnenenErgenentwickelnwirdanneinVerfahren,umdieLosbarkeitimKorperzuentscheidenundggf.eineLosungzunden.ZusatzlichgebenwirdorteinVerfahrenan, welchesnichtaufdemauszahlalgorithmusberuht,umnormgleichungenmittels S-Einheitenzulosen. ZumSchlugebenwireinigeBeispielean,diesowohldieMachtigkeitdervorgestelltenVerfahrenalsauchderenGrenzendemonstrieren. AndieserStellemochteichmichbeiHerrnProfessorDr.M.E.Pohstherzlich ProfessorDr.G.M.ZieglerfurdieUbernahmedesKoreferatssowiebeiMartin,KlausundJurgenfurdieDurchsichteinervorlaugenFassungdieserArbeit. Gruppebedanken,ohnederenKooperationeineArbeitwiediesenichtentstehen kann. furdiebetreuungwahrendderarbeitdanken.fernerbedankeichmichbeiherrn SchlielichmochteichmichandieserStelleauchbeiallenMitgliedernderKant-

7 Grundlagen KAPITELI Hierwerdenwirzunachstdie(wichtigsten)indieserArbeitverwendetenBezeichnungenfestlegenundeinigetheoretischeVorbemerkungenmachen. WirwollenNormgleichungeninRelativerweiterungenalgebraischerZahlkorperun- 1.Bezeichnungen tersuchen,dazubetrachtenwirdiefolgendesituation(alleangegebeneneigen- schaftenkonnenz.b.in[10,35,42,46]nachgelesenwerden). F=E()Esseif2Z[t]einnormiertes,irreduziblesPolynomvomGrad E=Q() n mundeinenullstellehiervonineinemgeeignetenerweiterungskorper.danniste:=q()einalgebraischerzahlkorper Qm belvomgradnundeinenullstellevongineinempassenden vomgradmuberq.denringderganzenzahlenvonebezeichnenwirmitoe.fernerseinung2oe[t]normiert,irreduzi- Erweiterungskorper,dannsetzenwirF:=E().BezeichneoF jedochi.allg.nichtmehrfreiuberoe.spaterwerdenwirkriterienangeben,um einoe-modulvonrangn.fallsdieklassenzahlvonoegroerals1ist,istof freierz-modulvomrangm,ofistebenfallsdedekind'schund denringderganzenzahlen,oeistdanneindedekindringund entscheidenzukonnen,oboffreiuberoeist.analogesgiltauchfurdie(gebrochenen)idealevoneundf:idealeavonesindfreivomrangmuberz,ideale bvonfsindi.allg.nichtfreiuberoe.hier,wieauchinderganzenarbeit,sind Idealestetsvonf0gverschieden. 3

8 4NF=EseidieIdealnormbezeichnet.Esgiltdann NF=E:F!E:x7!NF=E(x)seidiegewohnlicheNormabbildung,ebenfallsmit I.GRUNDLAGEN NE=QNF=E. NF=QundNE=QseiendieentsprechendenNormabbildungennachQ,esgiltNF=Q= (NF=E(x)):=NF=E(x)oE=NF=E(xoF)=:NF=E((x)): :::,(r1+r2)=(r1+2r2)2cnrdiekomplexennullstellen(r1,r22n0geeignet). genvonenache(i):=(e)(i)cindiekonjugiertenkorpervone.nunsetzenwir DieFortsetzungenderAbbildungen(:)(i):7!(i)aufElieferndannEinbettun- Seiennun(1);:::;(r1)2RdiereellenNullstellenvonfund(r1+1)=(r1+r2+1), dieabbildungennochaufdenzugehorigenpolynomringe[t]fort,indemwirsie nehmen(si,ti2n0geeignet).wegenf(i)=f(i+r2)konnenwirzusatzlichnoch fur1jsiund(i;j)=(i;j+ti)2cmitn=si+2ti,si<jsi+tian- aufdenkoezientenoperierenlassen.dienullstellenderpolynomeg(i)2e(i)[t] (i;j)=(i+r2;j)furr1<ir1+r2und1jnerreichen.nachjurk[31, seien(i;j)mit1jn.dag(i)2r[t]fur1ir1gilt,konnenwir(i;j)2r Bemerkung3.4]nennenwir(si;ti)1ir1dierelativeSignaturvonF=E. In[49]isteinAlgorithmusangegeben,umeinPolynomgZ2Z[t]mitL:= Q[t]=gZQ[t]=Fzubestimmen,sodawirFauchalseinfacheErweiterungvon QzurVerfugunghaben.FernerliefertdieserAlgorithmusauchEinbettungenvon EnachL,vonFnachLundvonLnachF,sodawirbeideDarstellungen(L Zahlkorpern,algebraischenZahlenundalleindieserArbeitvorgestelltenundbenutztenAlgorithmensindinKANTimplementiertundkonnenuberKASH[32] aufgerufenwerden. DieserAlgorithmus,sowieAlgorithmenfurOperationenmitOrdnungen,Idealen, undf)benutzenkonnen,umbeibedarfdiegeeigneterezuwahlen. SeiVQ=Vn. zujederprimzahlp2pqgibtesgenaueinv=vp2vn. Q_[V1QdiekanonischeMengeexponentiellerBewertungenaufQ,d.h., 2.BewertungenundPrimideale FureinenbeliebigenZahlkorperkseiVn. Q3v6=vpistv(p)=0,undesgiltV1Q=f?logjjg. kdiemengederdiskretenbewertungen Qmitvp(p)=1.Furjedes genaueinv2vn. V1Qfortsetzen.Furjedesv2Vn. aufk,dieeinebewertungausvn. QmitVjQ=v.AnalogseiV1 kdenierenwirdenfolgendenp-adischenbetrag: Qfortsetzen,d.h.,furjedesV2Vn. kdiemengederbewertungen,die k gibtes

9 Seip2PQdiejenigePrimzahlmitv(p)6=0,dannsetzenwirjjv:=p?v().Fur v2v1 kseijjv:=exp(?v()),fernerseij0jv:=0furjedesv2vk. 3.MATRIZEN 5 SeinunKeineendlicheErweiterungvonk.AufgrundunsererNormierungbesteht VKausschlielichausFortsetzungenvonElementenausVk.WirschreibenVjvfalls V2VKeineFortsetzungvonv2Vkist.IndiesemFallsei wobeikvwievervollstandigungvonkbzgl.dervonvinduziertentopologieist nvjv:=nv;k:=[kv:kv]=nv;q undkvdievervollstandigungvonkbzgl.v.esgiltderfurdiesearbeitwichtige nv;q; ZusammenhangzwischendenBetragen,ihrenFortsetzungenundderNorm: jnk=k(x)jv=(y V2VK VjvjxjnV;Q V)1=nv;Q=Y oder(additivgeschrieben)v(nk=k(x))=x V2VK VjvjxjnV;k V (1-1) furx2kundv2vk. V2VK VjvnV;kV(x) FernergiltdieProduktformel: v2vkjxjnv;q Y 3.Matrizen v =1: SeiReinRing.FureinebeliebigeMatrixM2Rn0m0istMi;jdasj-teElement AbkurzungenundSchreibweisenvereinbaren. DawirimnachstenAbschnittvielmitMatrizenarbeitenwerden,wollenwireinige deri-tenzeile,esgiltm=(mi;j)1in0 1jm0.Mtr:=(M0i;j)1im0 Eintragegleichrsind,furRunitarbezeichneIn02Rn0n0dieEinheitsmatrix,d.h. FureinRingelementr2RseiRn0n03rn0:=(r)1in0 1jn0dieMatrix,beideralle 1jn0mitM0i;j=Mj;i. bezeichnenwirdiematrixausrn0(m0+m00),derenspaltendurchanhangender (In0)i;j=i;j:=8<:1i=j 0sonst..SeinunN2Rn0m00eineweitereMatrix.Mit(MjN)

10 6SpaltenvonNandievonMentstehen,(MjN)i;j=8<:Mi;j I.GRUNDLAGEN ist Mtr Ntr!=(MjN)tr.FurMatrizenMi2Rnimi(1io)ist Ni;j?m0sonst..Analog jm0 diag(m1;:::;mo):= 0 M Mo 0. 1 CA2RPoi=1niPoi=1mi:

11 EinheiteninRelativerweiterungen KAPITELII ObwohlRelativerweiterungenschonlangeruntersuchtwerden,gibtesbisherkaum Ansatze,diebesondereStrukturdieserKorperbeiderBerechnungderEinheiten dergaloisgruppegibteshierkaumeigenschaften,diesichmitrelativenmethodenuntersuchenlassen.diewesentlicheschwierigkeitliegtdarinbegrundet,da Strukturinformationist,diewirzusatzlichbenutzenwollen. dieeigenschafteinerzahlx2of,eineeinheitzusein,nichtvonderstruktur auszunutzen.imgegensatzzuz.b.derberechnungdermaximalordnungoder vonofalsoe-moduloderz-modulabhangtund,daesimwesentlichendiese FurdieStrukturderEinheitengruppeUkinbeliebigenZahlkorpernkgiltzunachst einmalderdirichlet'scheeinheitensatz: Satz2.1.SeikeinZahlkorper.DanngibtesEinheiteni2ok(1i#V1 1=:r)und2okmit Uk=hih1ihri; k? wobeidasproduktdirektistundhiiunendlichezyklischegruppensind.furdie GruppederTorsionseinheitenTUkvonkgilt:TUk=hi. HierauserhaltenwireineDarstellungvonUF,dievolligunabhangigvonderStrukturvonoFalsoE-Modulist.IndiesemKapitelwerdenwireineandereDarstellung Rollespielen.DieseEinheitensindauchfurdasLosenvonNormgleichungenwichtig. SchonsehrfruhhatsichArtin[2]mitEinheitenderNorm1inrelativ-galoisschen stemimwesentlichendurchdieanwendungdergalois-automorphismenaufeine Zahlkorpernbeschaftigt.Erzeigte,daeinmaximalesunabhangigesEinheitensy- vonufnden,diediezusatzlichestrukturinformationberucksichtigt.speziell dieeinheiten,derennormtorsionseinheitensind,werdendorteineentscheidende 7

12 8kleineMengevonEinheitenausEerhaltenwerdenkann.IndiesemSpezialfall erhaltersoauchdennachfolgendensatz2.5. II.EINHEITEN EsgibtverschiedeneAnsatze,dieEinheitengruppeUk oderwenigstenseine stimmtetypenvonabel'schenzahlkorpernhatz.b.leopoldt[37,38]einmaxi- malessystemunabhangigereinheitenauszyklischenteilkorpernbestimmt.fur dadieeinheitengeeigneterteilkorperentsprechend"geliftet\werden.furbe- UntergruppeUUkvonendlichemIndex(Uk:U) dadurchzuerhalten, ist,hatholzberg[27]gezeigt,daeineuntergruppevonendlichemindeximmer ausdeneinheitenderteilkorpererhaltenwerdenkann.indiesemfallgibtes denfall,dafdiegalois'schehulleeinesnichtabel'schenquartischenkorpers auchabschatzungenfurdenindex. FurCM-Korperistschonlangebekannt,dadieEinheitengruppeeinfachausder EinheitengruppedesmaximalenreellenTeilkorperskonstruiertwerdenkann,da esauchkriterien,umdenindexzubestimmen. dieeinheitenrangeidentischsind.weiteristbekannt,daderindex(imwesentlichen)maximal2ist[52,theorem4.12].imfallvonkreisteilungskorperngibt Hierwerdenwirgenaueruntersuchen,wiedieEinheitengruppevonFvonder deutungfurdaslosenvonnormgleichungeninrelativerweiterungen.ahnliche KonstruktionensindvonKlebel[33]zumLosenvonbestimmtenEinheitengleichungenbenutztworden.Esistzuerwarten,damitHilfedieserErgebnissesich zumindestdietheoriezumlosenvonthue-gleichungenaufdenrelativenfall DernachfolgenddenierterelativeRegulatorunterscheidetsichvonderin[14] gegebenendenitiondadurch,dahierkeineabsoluteninvariantenvonf=qin ubertragenlat. vonebeeinutwird.diehiervorgestelltenergebnissesindvonzentralerbeschlielich"relativeinvarianten\benutzt.in[4]wirdeinevariantevonsatz2.9 derdenitionbenutztwerden.inderhiergegebenendenition2.8werdenaus- alsdenitionverwendet. FurdasLosenvonNormgleichungenistdieKenntnisderEinheitenausF,deren NormenbestimmteEigenschaftenhaben,wichtig.Imfolgendenwerdenwirdaher 1.StrukturderEinheitengruppeinRelativerweiterungen (2-1) dieoperationdernormabbildungaufdereinheitengruppeuntersuchen. FurdasganzeKapitelxierenwireineendlicheMengeV1 SF:=fV2VFj9v2SE:Vjvg: ESEVEundsetzen

13 Furjedesv2VEsei Pv:=fV2VFjVjvg: 1.STRUKTUR 9 FixierenuneinbeliebigesVv2Pv(8v2VE)undsetze Definition2.2.SeienSEundSFwieobengegeben.DannnennenwirdieElementevon SF:=Sv2SE_ Pv. UF;SF:=fx2Fj8V2VFnSF:V(x)=0g UE;SE:=fx2Ej8v2VEnSE:v(x)=0g (2-2) FernerseienrE:=#SE,rF:=#SFund_ Pv:=PvnfVvg;rv:=#Pv: _ diese-einheitenvonebzw.sf-einheitenvonf. Bemerkung2.3. FureineUntergruppeAUE;SEdenierenwirUAF;SF:=NF=E?1(A)\UF;SF. (2)EsgiltderDirichlet'scheEinheitensatz:UE;SE=hih1ihrE?1i[35, UF=UF;SF. V,x1],wobeieinegeeigneteEinheitswurzelist(esgiltTUE=TUE;SE= (1)FurSE=V1 E(undSF=V1F)giltUE=UE;SEund (4)OenbargiltAUAF;SF,daNF=E(A)=Anist. (3)Nach(2-1)und(1-1)geltenNF=E(UF;SF)UE;SEundUE;SEUF;SF. hi)und1;:::;re?1grundeinheitensind(d.h.,siehabenunendlicheordnung,dasproduktistdirektundsieerzeugendieganzegruppe). AlsnachsteswollenwirdieStrukturvonUAF;SFbestimmen.Dazubenotigenwir folgendeslemma: Lemma2.4.FurATUEgilt:UAF;SF=TUFistfreivomRangrF?rE. Beweis.NachBemerkung2.3.(2)sindUF;SF=TUFunddaherauchjedeUntergruppehiervonfrei.EsbleibtdahernochdieDimensionsaussagezuzeigen:Da undausnf=e(x)=xnfurjedesx2e:(bezeichnethierz-modulisomorphien) einmodulhomomorphismusist,folgtausdemisomorphiesatzfurfreiez-moduln ~NF=E:UF;SF=TUF!UE;SE=TUE:xTUF7!NF=E(x)TUE unddaherrgkern~nf=e=rf?re.mittuseafureingeeignetess2nfolgt danndiebehauptung. UE;SE=TUEBild~NF=EUF=TUF=Kern~NF=E;

14 10 Satz2.5.SeiUUAF;SFeineUntergruppevonendlichemIndex.Danngibtes unabhangigeeinheiteni2u(1irf?re+rga=:r)sowieeinetorsionseinheit,soda SeienATUEbeliebig,UUF;SFvonendlichemIndex.DanngibtesEinheiten i2u(1irf?re),~i2u(1ire?1)sowieeinetorsionseinheit,so U=hih1ihri: II.EINHEITEN da und UF;SF\U=(UAF;SF\U)h~1ih~rE?1i UAF;SF\U=hih1ihrF?rEi gelten. FurdenFallE=QundA=f1g=TUQerhaltenwirwiederdenDirichlet'schen EinheitensatzalsSpezialfall. Beweis.DirekteKonsequenzausBemerkung2.3.(4)undLemma2.4. ImweiterenseienATUEbeliebigundUUF;SF,vonendlichemIndexxiert. WirwerdenimfolgendeneinenRegulatorfurUAF;SF\Uerklaren,derdieklassische Denitionerweitert.Diesermoglichtunsdann,AbschatzungenfurdenIndex (UTUE einmafurdiekomplexitatdesspatervorgestelltenalgorithmuszumlosenvon wegenderhohenkorpergradesehraufwendigist[55].fernerwirddieserregulator zubestimmen,wasspeziellimletztenschritt(aufstiegzufundamentaleinheiten) F;SF:(UTUE F;SF\U))anzugeben,umUTUE F;SFauszurechnen,ohnezunachstUF;SF (2-3) Normgleichungendarstellen. Seiennun LF:UF;SF!RSF:7!(nV;EV())V2SF; daheristdannlf(uaf;sf)eingittervomrangrf?re. (2-4) deniert.nach[35,v,x1]istlf(uf;sf)eingittervomrangrf?1imrsf; _LF:UF;SF!R_ SF:7!(nV;EV())V2_ Lemma2.6. (1)SeiB2Rn0n0mitBi;j=a+i;jbi,a;bi2R.Danngilt detb=(n0 Yi=1bi)(an0 Xi=11bi+1):

15 (2)SeienB2Rn0n0,C2Rm0n0beliebig.FurB0:=B 1.STRUKTUR CBgeltendann 11 B0trB0=Btr(In0+CtrC)Bunddet(B0trB0)=det2Bdet(In0+CtrC). Speziellgiltfurm0=1,d.h.C=(c1;:::;cn0): det(in0+ctrc)=1+n0 Xi=1c2i: Beweis.(1):Siehe[46,5.6Exercise1]. (2):Esgilt: (B0trB0)i;j=n0+m0 =(BtrB)i;j+((CB)tr(CB))i;j=(Btr(In0+CtrC)B)i;j Xl=1B0l;iB0l;j=n0 Xl=1Bl;iBl;j+m0 Xl=1(CB)l;i(CB)l;j DaalleMatrizenquadratischsind,folgtdieAussageuberdieDeterminanten. Seinunm0=1undD:=diag(c1;:::;cn0).Wirerhalten: Mit(1)angewendetaufa=1,bi=c?2 In0+CtrC=In0+((1;:::;1)D)tr(1;:::;1)D =D(D?2+1n0)D: det(in0+ctrc)=det2(d)n0 ifolgtdaher: =n0 Xi=1c2i+1: Yi=1c?2 i(n0 Xi=1c2i+1) (1irF?rE),~i2U(1irE?1)und2TUFmit WirxierennuneinmaximalesunabhangigesEinheitensystemi2UTUE U=hih1ihrF?rEih~1ih~rE?1i: F;SF\U NachSatz2.5gibtessolcheEinheiten.Deniere :UTUE F;SF\U!ZrF?rE:=rF?rE Yi=1ni i7!(ni)1irf?re;

16 12 sowiemitfv1;:::;vreg=se,fv1;:::;vrv?1g=_ II.EINHEITEN :SF!N:V7!8<:Pi?1 l=1(rvl?1)+j?1furv=vj2_ PveineAnordnung Damitist(SF)=[1;rF]und(_ rf?re+i SF)=[1;rF?rE].Furx2RSFseiRrF3 furv=vviwiein(2-2): Pvi (x):=(x(i))1irf.mit und L:=(n?1(i);E?1(i)(j))1irF 1jrF?rE2RrF(rF?rE) erhaltenwirdanndiebeidenkommutativendiagramme: L:=(n?1(i);E?1(i)(j))1irF?rE _ 1jrF?rE2R(rF?rE)(rF?rE) UTUE F;SF\U?y???!RSF LF ZrF?rE???!RrF L?y und UTUE F;SF\U?y???!R LF?y SF ZrF?rE???!RrF?rE: Lemma2.7.Sei?:=[0;1]rF?rE.Danngelten: L_ (2)vol(_ (1)volrF?rE(L?)=qQv2SErvvol(_ ziellgewahlteneinheitensystem. L?)istunabhangigvonderAnordnungderBewertungenunddemspe- Beweis.(1):Sei (2-5) z} {?1;:::;?1 rv 1?1 0 z} {?1;:::;?1 rv2?1 :::rvre?1 0 z} { Danngilt:?1;:::;?1 0 1 A: NachLemma2.6.(1)und[23,x5(67)]giltdann: (2-6) det(irf?re+ctrc)=y CtrC=diag(1rv1?1;:::;1rvrE?1): v2serv:

17 Aus(1-1)zusammenmitDenition2.2undBemerkung2.3.(3)folgtfurjedes v2seundjedes2utue F;SF: 1.STRUKTUR 13 (2-7) V2PvnV;EV()=v(NF=E())=0: X AusL= C_ L_ L!,(2-6)undLemma2.6.(2)erhaltenwirdaher Wegenvol2rF?rE(L?)=det(LtrL)[34,AppendixII]undvol2(_ det(ltrl)=det(_ Ltr_ L)Y v2serv: (2):DadieentsprechendenTransformationenunimodularbzw.unitarsind,folgt det2(_ L)istdann(1)bewiesen. L?)=det(_ Ltr_ L)= Definition2.8.WirnennenregF=E(U):=vol(_L?) diebehauptung. Satz2.9.Esgilt: FernerseiregF=E(F):=regF=E(UTUE den(sf-)regulatorvonu(bezuglichf=e). regf=q(u)=(reyi=1nrvi?1 vi;q)regf=e(u)rege=q(nf=e(u)): F;SF). eseins2gl(rf?1;r)mit~l= Beweis.Setze~L:=(LjLF(~1);:::;LF(~rE?1)).Darg_ L0rF?rE L=rF?rEgilt,gibt wobei(wiein(2-7))furjedesv2se B!S; und V2PvnV;EV(i)=v(NF=E(i))=0 X geltenunddahero.b.d.a.bvonfolgenderformist: V2PvnV;EV(~i)=v(NF=E(~i)) X B=(vi(NF=E(~j)))1irE 1jrE?1:

18 14 SeienL0,~L0undB0durchStreichenderletztenZeilevonL,~LundBdeniert. Danngelten: II.EINHEITEN ~L0= Sei 0 D1:=diag(n?1(1);Q n?1(1);e;:::;n?1(rf?1);q n?1(rf?1);e)2rrf?1rf?1 *B01AS: Dannsinddenitionsgema sowie D2:=diag(nv1;Q;:::;nvrE?1;Q)2RrE?1rE?1: und det(d2b0)=rege=q(nf=e(u)) Daherfolgt: regf=q(u)=det(d1)det(~l0) det(d1~l0)=regf=q(u): =det(d1)det(_l)det(b0) =rf?1 det(d2)regf=e(u)rege=q(nf=e(u)) undmitnv;q nv;e=nv;qfurjedesvjvkonnenwirweiterschlieen: Yi=1n?1(i);Q n?1(i);ere?1 Yi=11 nvi;qregf=e(u)rege=q(nf=e(u)); =reyi=1nrvi?1 vi;qnvren?1(rf);e vi;qregf=e(u)rege=q(nf=e(u)): n?1(rf);qregf=e(u)rege=q(nf=e(u)) Bemerkung2.10. DenitiondesRegulators,d.h.,esgilt: (1)FurE=QundSE=V1 reg(u)=regf=q(u): Eerhaltenwirwiederdiealte (2)FurSE=V1 reg(u)=2r2(n?1)regf=e(u)rege=q(nf=e(u)) Egilt=2r2(n?1)regF=E(U)(UE:TUENF=E(U))reg(UE):

19 2.EINEUNTEREREGULATORABSCHATZUNG 15 (3)Beiderin[14]gegebenenDenitionentfalltderFaktor2r2(n?1).Diedort gegebenedenitionunterscheidetsichvonunsererindernormierungder FunktionLF(2-3);dortwirdstattmitnV;EmitnV;Qmultipliziert.Ferner wirddortnurderfallse=v1 Ebetrachtet. 2.EineuntereRegulatorabschatzung IndiesemAbschnittseienA:=TUEundSE:=V1 E.Wirwolleneineuntere AbschatzungfurregF=E(F)herleiten,dieesunsermoglicht,mitdenin[55]dargestelltenMethoden,ausgehendvoneinerUntergruppevonendlichemIndex,zuder volleneinheitengruppe"aufzusteigen\.imgegensatzzuunterenschrankenwie z.b.in[22,14]werdenwirkeinea-priori-schrankenerhalten;dafurwirdunsere i.allg.groer,d.h.scharfer,sein. Lemma2.11.DieAbbildung: q:utue F!R0:7!mXi=1nXj=1jlog(j(i;j)j)j2 isteinepositivdenitequadratischeformmitdeterminante dq=2r2(n?1)?pr1 i=1tinr1+r2reg2f=e(f): Beweis.Sei1;:::;rF?rEeinunabhangigesErzeugendensystemfurUTUE F.Dann giltfurx2utue F mitx=0qrf?re i=1i i: q(x)=q(rf?re Yl=1l l) =mxi=1nxj=1(rf?re Xl=1llogj(i;j) lj)2 =rf?re X k;l=1kl(mxi=1nxj=1logj(i;j) kjlogj(i;j) lj) =(l)tr 1lrF?rE(logj(i;j) kj)tr 1im;1jn 1krF?rE (logj(i;j) kj)1im;1jn 1krF?rE (l)1lrf?re =:(l)tr 1lrF?rEB0trB0(l)1lrF?rE:

20 16 Daq(x)alsSummenichtnegativerZahlennichtnegativist,habenwirqalspositivsemidenitnachgewiesen.Daq(x)=0aquivalentzux2TUFist,istdererste II.EINHEITEN TeilderAussagegezeigt. gilt,mussenwirnundetb0trb0berechnen.umdielemmata2.6.(1)und2.6.(2) Weildenitionsgema betrachtenwirdiefolgendenmatrizen: anwendenzukonnen,benotigenwirzunachsteinigehilfsmatrizen:fur1ir1 det(b0trb0)=dq B0i:= 0 logj(i;si+ti) (i;1) 1j j :::logj(i;1) :::logj(i;si+ti) logj(i;si+2ti) logj(i;si+ti+1) j:::logj(i;si+2ti). j:::logj(i;si+ti+1) rf?rej logj(i;si+2ti?1) 1 j:::logj(i;si+2ti?1). rf?re j 1 jca =:0 logj(i;si+ti) Bi logj(i;si+2ti) logj(i;si+ti+1) j j :::logj(i;si+ti) :::logj(i;si+2ti). j:::logj(i;si+ti+1) rf?rej logj(i;si+2ti?1) 1 j:::logj(i;si+2ti?1). rf?re j 1 jca und Ci:= 8 >< > : 0 z?1=2:::?1=2 } { z ti?1 } { 0?1 Iti?1 :::?11CAti>0 Furr1<ir1+r2denierenwiranalog:?1:::?1 n?1 {z } ti=0 1j:::logj(i;1) :. logj(i;n) 1j:::logj(i;n). und rf?rej logj(i;n) 1j:::logj(i;n) Bi rf?rej1a Damitgiltfur1ir1+r2: Ci:=z?1:::?1: n?1 } { B0i=Bi CiBi

21 und 2.EINEUNTEREREGULATORABSCHATZUNG 17 B0=S0 0 B0r1+r2 B 01 B0r1+r2 B0r CA=S 0 Br1+r2 B1 1CA Cr1+r2Br1+r2 Br1+1 C1B1 Cr1+1Br1+1 Br1+r2. Cr1+r2Br1+r2 ; wobeis0,sdienotwendigenzeilenvertauschungendarstellenunddeswegenunitar sind.schlielichseiennoch Br1+r2. 1 CAundC:= 0 C10 :::0 C20... Cr1+10 ::: ::: :::00 1CA :::0 ::: In? Cr1+r2 :::0 :::0 ::: Cr :::... 0In?1 0Cr1+r2 :::0 Damitfolgt : habenwir NachLemma2.6.(2)giltdet(B0trB0)=det2(B)det(I+CtrC).Oensichtlich B0=SB r1yi=12max(0;ti?1)det(b)=regf=e(f) CB: und(mit[23,x5(67)]) det(i+ctrc)=r1yi=1(isi+t1?1+ctr ici)r1+r2 i=r1+1(in?1+2ctr Y ici+in?1):

22 18 bestimmen.fur1r1;ti=0folgtauslemma2.6.(2): Esverbleibtalsonurnochdet(Isi+ti?1+Ctr II.EINHEITEN det(isi+ti?1+ctr ici)=n?1 Xl=1(ci)2l+1=n: ici)bzw.det(2in?1+2ctr ici)zu MirLemma2.6.(1)folgt: Schlielichsei1ir1undti>0.Mit det(2i+2ctr ici)=2n?1(n?1 Xl=11+1)=2n?1n: D:=diag( z} { 12;:::;12;ti?1 si und 1;:::;1) z} { folgtdanndet(isi+ti?1+ctr~ci= 0?1:::?1 Iti?1! ic)=det2(d)det(d?2+~ctr =14si4si2ti?1(2si Xl=114+2si+ti?1 i~ci) =2ti(si 4+ti?1 l=si+112+1) X aus =2tin ) Insgesamtgilt ~Ctr i~ci=diag( 0;:::;0;ti?1 z} { si z} { 1;:::;1)+2si+ti?1: dq=r1yi=14?max(0;ti?1)reg2f=e(f)r1yi=1 =2?Pr1 ti=0nr1yi=1 ti>02ti?2nr1+r2 i=1tinr12(n?1)r2nr2reg2f=e(f) i=r1+12n?1n Y unddiebehauptungfolgt. =2r2(n?1)?Pr1 i=1tinr1+r2reg2f=e(f)

23 Lemma2.12.Fur2.EINEUNTEREREGULATORABSCHATZUNG h1:r0!r:x7!cosh(px)?1; 19 x,y2r0,1gelten: (1)h1(x+y)h1(x)+h1(y), Beweis.(1):Esgiltcosh(x)=P1k=0x2k (2)h1(x)h1(x), (3)h1iststrengmonotonwachsend. h1(x+y)=1xk=11 (2k)!unddaher: 1Xk=11 (2k)!(x+y)k =h1(x)+h1(y): (2k)!(xk+yk) (2):Dakgilt,folgtdieBehauptungwiein(1). Lemma2.13.Seienn02N,n0K2Rund sageunmittelbar. (3):Dasowohlcosh()alsauchpstrengmonotonwachsendsind,folgtdieAus- gegeben.furdasminimummvonh2unterdennebenbedingungen h2:rn0!r:x=(x1;:::;xn0)7!n0 Xi=1x2i (1)Pn0 gilt: (2)Pn0 i=1e?2xik i=1e2xik, Beweis.DurchAdditionderBedingungen(1)und(2)erhaltenwir(cosh(x)= 12(ex+e?x)): M14arcosh2(K?n0+1): (3)Pn0 i=1cosh(2xi)k.

24 20 Lemma2.12.(1)gilt: NachLemma2.12.(3)reichtes,dasMinimumvoncosh(p4h2)abzuschatzen.Mit II.EINHEITEN coshq4h2(x)?1=cosh(vutn0 n0 Xi=1(cosh(j2xij)?1) Xi=1(2xi)2)?1 worausdiebehauptungdannunmittelbarfolgt. =n0 Xi=1(cosh(2xi)?1)K?n0; Lemma2.14.SeiUUFeineUntergruppevonendlichemIndexmitUE<U. Danngilt: Beweis.UnmittelbareFolgeausNF=E(UE)=UnEunddemSatzvonLagrange[40, (UE:TUENF=E(UF))j(UE:TUENF=E(U))jnr1+r2: untereschrankefurregf=e(f):seienr:=pr1 Analog[55,Kapitel2]erhaltenwirnunausLemma2.11undLemma2.13eine Satz1.7.7.]. sukzessivenminimavonqundrdier-tehermiteschekonstante.danngilt: vut2pr1 i=1ti?r2(n?1)qri=1mii=1(si+ti)+r2n?1,m1;:::;mrdie (2-8) eineuntereregulatorschrankebestimmen.dortwerden mittelsdesauszahl- NunkonnenwirmitHilfeeinermodiziertenVersionvon[55,Algorithmus2.7] nr1+r2r regf=e(f): untereschrankefurdiefehlendenminimaermittelt.alternativhierzukonnenwir auchdenungeandertenalgorithmusverwenden,umeineschrankefurregf(f) Algorithmus3.6 diesukzessivenminimateilweisebestimmtundgleichzeitigeine zuerhalten.nachdemwirdien-maximaleobergruppe(d.h.p-maximalfurjedes p2pqmitpjn)vonueinufbestimmthaben,konnenwirmithilfevonsatz2.9 eineuntereschrankeerhalten. InderPraxissolltenbeideSchrankenparallelberechnetwerden,waseinfachzu implementierenist,dadiehauptarbeitimauszahlenundtesteneinergroen MengevonalgebraischenZahlenliegt.

25 Bemerkung2.15.In[45]wirddasMinimumvonRn03x7!Pn0 zudeninlemma2.13gegebenennebenbedingungennochunter 3.KONSTRUKTIONVONEINHEITEN i=1x2izusatzlich 21 abgeschatzt.diedortangegebeneuntereschrankeerforderti.allg.nochdaslosen Xi=1xi=0 n0 mehrereralgebraischergleichungssysteme.furdenfalln0=5istdieschranke Wegenarcosh0(x)!0furx!1gilt explizit,esgilt h212arcosh2(k?5+2 arcosh2(k?n+2 2) 2 ): ImGegensatzzuderin[45]istunsereSchrankejedochexplizitgegeben. d.h.,unsereregulatorschrankeistfurgroeketwahalbsogrowiediein[45]. arcosh2(k?n+1)!1; Hierwollenwirkurzdaraufeingehen,wiedieindenletztenAbschnittenvorgestelltenErgebnissefurpraktischeBerechnungengenutztwerdenkonnen.Zunachst 3.KonstruktionvonEinheiten benotigenwirjedochnochein Lemma2.16. (2)Seienc>0undMc:=fx2oFj8v2V1x (1)Furjedesx2oFgilt:NF=E(x) E:v(NF=E(x))cg: 2oF. Beweis.(1):Konsequenzaus(1-1). DannenthaltMcnurendlichvielebezuglichU1FnichtassoziierteElemente. (2):Analog[46,5(2.3)]:Setze Dannistoensichtlich#~Mc<1,undesreichtzuzeigen,dafurjedes2~Mc diemengen:=fx2ofj8v2v1 ~Mc:=fx2oEj8v2V1 E:NF=E(x)=gnurendlichvielenicht E:v(x)cg: zeigennun,da=2u1fausmodfolgt.seiendazumod assoziierteelementeenthalt.wirxierenein2~mcundsetzet:=of=().wir beliebigausngegebenund2ofmit?=.danngilt:=1+2of

26 22 nach(1).analogfolgt2of.wegennf=e()=nf=e()folgtdann2u1f, mit#t=nf=q()=ne=q()n<1wasdiebehauptungimpliziert. II.EINHEITEN MitHilfediesesLemmasistesmoglich,diein[55,Kapitel3]vorgestelltenMethoden unterzuhilfenahmederimnachstenkapitelvorgestelltenideen auch inrelativerweiterungenzubenutzen.jedochsinddiese"relativenmethoden\viel aufwendigeralsdieentsprechenden"absoluten\.daherlohnensiesichnur,wenn Index)indementsprechendenabsolutenZahlkorperauszurechnen. dierelativestruktureinewesentlicherollespielt.esscheintsinnvollzusein,zuersteinmaximalesunabhangigeseinheitensystem(d.h.uufmitendlichem Erzeugendensystem1;:::;rE?1unddeniereneinenZ-Modulisomorphismus rangvoneundrf?1dervonf.wirxiereninue=tueeinunabhangiges SeinunUUFmitendlichemIndexgegeben,fernerseirE?1derEinheiten- E:UE=TUE!ZrE?1:=rE?1 Yi=1ni i7!(ni)re?1 abhangigenerzeugernvonu=tuf.fernersein2zre?1rf?1=hom(zrf?1;zre?1) AnalogdenierenwirF:U=TUF!ZrF?1fureinbeliebigesfestesSystemvonun- i=1: sogewahlt,dadasfolgendediagrammkommutativist: U=TUFNF=E F?y???!UE=TUE WennwirnundiespaltenreduzierteHermite-NormalformHNF(N)ausrechnen,???!ZrE?1: N?yE erhaltenwireinebasisvonzrf?1undeinsystemvoneinheitenwieinsatz2.5. DieMatrixNkanndadurcherhaltenwerden,dawirdieNormenderErzeuger vonualspotenzproduktderi(1ire?1)darstellen.diesemethodelat zudenfundamentaleinheitenbzw.dernachweis,da(uf:u)=1gilt.o.b.d.a. sichnaturlichauchanwenden,wennsev1 AlsletzterSchrittinderBerechnungderEinheitengruppebleibtnochderAufstieg Egilt. nehmenwirvonnunueuan(ggf.mussenwiruentsprechenderweitern). Mit[55,Algorithmus4.10]vergroernwirnunUso,daUp-maximalfurpjn wird.mitobigemalgorithmusberechnenwirutue erklart,konnenwirnunutue denerforderlichenwurzeltests[55,algorithmus4.20]nichtalleerzeugervonu berucksichtigtwerdenmussen,sondern"nur\dievonutue F bestimmen.einvorteildiesermethodeist,dabei F\U.WieimletztenAbschnitt F \U.

27 WennwirstattUTUE beidesmit[55,algorithmus4.22]erhalten.f\ointeressiertsind,sokonnenwir oderaneinemvertretersystemfurutue F,UTUE 3.KONSTRUKTIONVONEINHEITEN F\ofureinebeliebigeOrdnungooFbestimmenwollen F=UTUE 23

28 24 II.EINHEITEN

29 GitteruberZahlkorpern KAPITELIII FurdasLosenvonNormgleichungen(wieauchfurdiealgorithmischeBehandlung abbildung[46,6(2.6)] additiveuntergruppendesrn,vongroerbedeutung.vermogederminkowski- zahlreicherandererzahlentheoretischerprobleme)sindz-gitter,d.h.diskrete ':E!R m:x7! 0 p2re(x(r1+1)) x(r1) x(1) 1CA p2re(x(r1+r2)) p2im(x(r1+1)) wirdderz-moduloeisomorphzueinemgitterimrmvomrangm. p2im(x(r1+r2)). AufEbetrachtenwirdievon induziertemetrikundauf:='(oe)dievondemskalarproduktdesrminduzierte euklidische.vermogedieserabbildung'kanndievonminkowskibegrundete T2:E!R0:x7!mXi=1jx(i)j2 Methodengibt,umallex2mitxtrxc(0<c2R)zubestimmen[20,(2.15) SpeziellfurdasLosenvonNormgleichungenisteswichtig,daessehreziente "GeometriederZahlen\[41]aufZahlkorperangewendetwerden. Algorithmus]. 25

30 26 ImfolgendenwerdenwirnundieGitterdenitionsoverallgemeinern,daauch RelativordnungenkanonischmitGitternidentiziertwerdenkonnen.Obwohles III.GITTER verschiedenetheoretischeansatzeinderliteraturgibt,gitteruberanderenstrukturenalszzubetrachten[8,11,17,29,39,47,54]undgeometrischemethoden aufrelativerweiterungenzuubertragen[6],gibtesbisherkaumalgorithmische Betrachtungen.Jurk[31]hatinseinerDissertationeineersteVariantefureinen rithmenentwickeln.teiledieseskapitelssindbereitsindenants-iiproceedings AuszahlalgorithmusfurGitteruberZahlkorperngegeben. [19]erschienen. FurdieseneuenGitterwerdenwirdanngeeigneteAuszahl-undReduktionsalgo- WirgebenhiereinenkurzenUberblickuberspaterverwendeteEigenschaftenund AlgorithmenfurGitteruberZ. 1.GitteruberZ Definition3.1.EinZ-GitteristeinediskreteadditiveUntergruppedesRn0. Imweiterenwerdenwirnochzusatzlich[]R=Rn0fordern,d.h.,Z-Gittersollen Satz3.2.SeieinZ-Gitter.Danngibtesi2(1in0)so,da= vollenranghaben.danngiltderfolgende SeinunBeinSkalarproduktaufdemRn0,Q(x):=B(x;x)diezugehorigequadratischeForm.WennwirnuneineGitterbasis1;:::;n0xieren,gibteseine i=1zigilt.dieelemente1;:::;n0bildeneinegitterbasisfur. Pn0 vonderwahlderspeziellenbasisab. (1in0).dZ():=qdet(G)istdieGitterdiskriminantevon,siehangtnicht positivdenitematrixg2rn0n0mitb(x;y)=(x1;:::;xn0)trg(y1;:::;yn0) (x=pn0 i=1xii,y=pn0 i=1yii),gheitdiegram-matrixzudergitterbasisi Seien1;:::;n02linearunabhangig,danngilt Definition3.3.DieZahlenYi=1Q(i)d2Z(): n0 (1in0)heiendiesukzessivenMinimavon. FurdieMinimavongiltderfolgende Mi:=inff2R>0j9x1;:::;xi2Z-lin.unabh.mitQ(xj)(1ji)g

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