Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download ""

Transkript

1 UberrelativeNormgleichungenin algebraischenzahlkorpern Diplom-Mathematiker ClausFieker vorgelegtvon aushaan zurerlangungdesakademischengradeseines dertechnischenuniversitatberlin DoktorsderNaturwissenschaften VomFachbereich3Mathematik genehmigtedissertation. Berlin1997 D83

2 ii Promotionsausschu Vorsitzender: Berichter: ProfessorDr.M.E.Pohst ProfessorDr.J.Becker TagderwissenschaftlichenAussprache:29.April1997 ProfessorDr.G.M.Ziegler

3 Inhaltsverzeichnis Einleitung KapitelI.Grundlagen 1 1.Bezeichnungen 2.BewertungenundPrimideale 43 KapitelII.Einheiten 3.Matrizen 75 2.EineuntereRegulatorabschatzung 1.StrukturderEinheitengruppeinRelativerweiterungen KonstruktionvonEinheiten KapitelIII.Gitter GitteruberoE 1.GitteruberZ 26 iii 29

4 iv 3.AuszahlalgorithmenfuroE-Gitter 3.1.DualeBasis INHALTSVERZEICHNIS 3.2.Ellipse 37 4.EinReduktionsalgorithmusfuroE-Gitter 3.3.Simplex 3.4.Mischformen KapitelIV.Normgleichungen 44 2.NennervonnichtganzenLosungen 1.Grundlagen 51 3.LosenvonNormgleichungen(inRelativerweiterungen) Reduktion KapitelV.Beispiele 1.1."Schonere\Polynome 1.2.SchnelleresAuszahlen 69 Symbolverzeichnis 2.Normgleichungen 76 Literaturverzeichnis Zusammenfassung 87

5 Einleitung mit EinederaltestenDiophantischenGleichungenistdieNormgleichung;furZahlkorperF=E=QsowieeineZahl2E:=Q()wirdeineZahlx2F:=E() esz.b.inderalgebrentheorie([1,chapter7]und[44,lemmata6.1,6.2]). gesuchtoderdernachweis,daeskeinesolchegibt.anwendungenhiervongibt NF=E(x)= InspeziellenSituationenistschonlangebekannt,daobigesProbleminendlich vielenschrittengelostwerdenkann;z.b.fuhrtdiesfurfreellquadratischuber NennerundalleKoezienteneinerLosungangegebenunddamitgezeigt,dadie Fur(relativ-)Galois'scheErweiterungenF=EhatSiegel[48]Schrankenfurden QaufPell'scheGleichungen,dieschonGaussbehandelthat. Gleichungkonstruktivgelostwerdenkann.SpaterhatBartels[3]dieseErgebnisse aufbeliebigeerweiterungenverallgemeinert.mitanderenmethodenalssiegelhat dreiarbeitenistjedochgemeinsam,dadieschrankenvielzugrosind,umdamit Garbanati[25]fur(absolut)Abel'scheKorperebenfallsSchrankenerhalten.Allen inderpraxislosungenzunden. BeidiesendreiAnsatzenwirdzunachstderNennereinermoglichenLosungbeschrankt.IneinemzweitenSchrittwerdendann(endlichviele)Normgleichungen Ordnungen oderallgemeinerinmoduln zulosen,istjedochauchausanderen indenganzenalgebraischenzahlengelost.derspezialfall,normgleichungenin GrundenvonInteresse:UmThue-Gleichungenzulosen,sindwirandenLosungeninteressiert,dieinderGleichungsordnungoE[]uberderMaximalordnungoE voneliegen[5],genauergesagtaneinerparametrisierungalldieserlosungen. FurHauptidealtests(imFalleE=Q)muxeinElementdeszutestendenIdeals 1

6 2sein[20,(1.7)Lemma].Hieristesausreichend,"bisaufVorzeichen\zulosen NF=E(x)=?istauchzulassig;auchreichteshier,eineLosungzunden. EINLEITUNG WeitereSpezialfalleergebensichausEinschrankungenan,i.allg.wirdganz IndieserArbeitistdervonFinckeimRahmenseinerDissertationentwickelteAlgorithmuszumLosenvonNormgleichungeninOrdnungenabsoluterZahlkorper aquivalentzumbestimmenderrelativ-einheiten. algebraischsein.wenneinetorsionseinheitist,istdaslosendernormgleichung (E=Q,[20])verallgemeinert,wobeidieArbeitvonJurk[31]fortgesetztunderweitertwird.FernerwerdenMethodenvonGarbanati[24]verallgemeinert,umigleichungeninKorpernlost. FallvonrelativGalois'schenKorperneinenAlgorithmuszuerhalten,derNorm- NachdemimerstenKapitelzunachsteinigeNotationenvereinbartwerden,untersuchenwirimzweitenKapiteldieWirkungderNormabbildungaufdieEin- wichtigeinvariante,derrelativeregulator,eingefuhrt. heitengruppe.diehiergewonnenenergebnissewerdeneinerseitsfurdieparame- trisierungderlosungsmengebenotigtundandererseits,umdasproblemaufein endlicheszureduzieren.fernerwirddorteinefurdiekomplexitatdesverfahrens ImdrittenKapitelwirddienotigeGittertheoriefurGitteruberZahlkorperneinziellstellenwireineVerallgemeinerungdesLLL-AlgorithmuszurGitterreduktiogefuhrt,diebenotigtwird,umdasEllipsoidverfahrenentwickelnzukonnen.Spe- unddesfincke-pohst-algorithmuszumauszahlenvonellipsoidenvor. aufrelativerweiterungenzuverallgemeinern.furrelativgalois'scheerweiterungebnissedazubenutzt,dasellipsoid-verfahrenzurlosungvonnormgleichungen ImviertenKapitelwerdendanndieindenletztenbeidenKapitelngewonnenenErgenentwickelnwirdanneinVerfahren,umdieLosbarkeitimKorperzuentscheidenundggf.eineLosungzunden.ZusatzlichgebenwirdorteinVerfahrenan, welchesnichtaufdemauszahlalgorithmusberuht,umnormgleichungenmittels S-Einheitenzulosen. ZumSchlugebenwireinigeBeispielean,diesowohldieMachtigkeitdervorgestelltenVerfahrenalsauchderenGrenzendemonstrieren. AndieserStellemochteichmichbeiHerrnProfessorDr.M.E.Pohstherzlich ProfessorDr.G.M.ZieglerfurdieUbernahmedesKoreferatssowiebeiMartin,KlausundJurgenfurdieDurchsichteinervorlaugenFassungdieserArbeit. Gruppebedanken,ohnederenKooperationeineArbeitwiediesenichtentstehen kann. furdiebetreuungwahrendderarbeitdanken.fernerbedankeichmichbeiherrn SchlielichmochteichmichandieserStelleauchbeiallenMitgliedernderKant-

7 Grundlagen KAPITELI Hierwerdenwirzunachstdie(wichtigsten)indieserArbeitverwendetenBezeichnungenfestlegenundeinigetheoretischeVorbemerkungenmachen. WirwollenNormgleichungeninRelativerweiterungenalgebraischerZahlkorperun- 1.Bezeichnungen tersuchen,dazubetrachtenwirdiefolgendesituation(alleangegebeneneigen- schaftenkonnenz.b.in[10,35,42,46]nachgelesenwerden). F=E()Esseif2Z[t]einnormiertes,irreduziblesPolynomvomGrad E=Q() n mundeinenullstellehiervonineinemgeeignetenerweiterungskorper.danniste:=q()einalgebraischerzahlkorper Qm belvomgradnundeinenullstellevongineinempassenden vomgradmuberq.denringderganzenzahlenvonebezeichnenwirmitoe.fernerseinung2oe[t]normiert,irreduzi- Erweiterungskorper,dannsetzenwirF:=E().BezeichneoF jedochi.allg.nichtmehrfreiuberoe.spaterwerdenwirkriterienangeben,um einoe-modulvonrangn.fallsdieklassenzahlvonoegroerals1ist,istof freierz-modulvomrangm,ofistebenfallsdedekind'schund denringderganzenzahlen,oeistdanneindedekindringund entscheidenzukonnen,oboffreiuberoeist.analogesgiltauchfurdie(gebrochenen)idealevoneundf:idealeavonesindfreivomrangmuberz,ideale bvonfsindi.allg.nichtfreiuberoe.hier,wieauchinderganzenarbeit,sind Idealestetsvonf0gverschieden. 3

8 4NF=EseidieIdealnormbezeichnet.Esgiltdann NF=E:F!E:x7!NF=E(x)seidiegewohnlicheNormabbildung,ebenfallsmit I.GRUNDLAGEN NE=QNF=E. NF=QundNE=QseiendieentsprechendenNormabbildungennachQ,esgiltNF=Q= (NF=E(x)):=NF=E(x)oE=NF=E(xoF)=:NF=E((x)): :::,(r1+r2)=(r1+2r2)2cnrdiekomplexennullstellen(r1,r22n0geeignet). genvonenache(i):=(e)(i)cindiekonjugiertenkorpervone.nunsetzenwir DieFortsetzungenderAbbildungen(:)(i):7!(i)aufElieferndannEinbettun- Seiennun(1);:::;(r1)2RdiereellenNullstellenvonfund(r1+1)=(r1+r2+1), dieabbildungennochaufdenzugehorigenpolynomringe[t]fort,indemwirsie nehmen(si,ti2n0geeignet).wegenf(i)=f(i+r2)konnenwirzusatzlichnoch fur1jsiund(i;j)=(i;j+ti)2cmitn=si+2ti,si<jsi+tian- aufdenkoezientenoperierenlassen.dienullstellenderpolynomeg(i)2e(i)[t] (i;j)=(i+r2;j)furr1<ir1+r2und1jnerreichen.nachjurk[31, seien(i;j)mit1jn.dag(i)2r[t]fur1ir1gilt,konnenwir(i;j)2r Bemerkung3.4]nennenwir(si;ti)1ir1dierelativeSignaturvonF=E. In[49]isteinAlgorithmusangegeben,umeinPolynomgZ2Z[t]mitL:= Q[t]=gZQ[t]=Fzubestimmen,sodawirFauchalseinfacheErweiterungvon QzurVerfugunghaben.FernerliefertdieserAlgorithmusauchEinbettungenvon EnachL,vonFnachLundvonLnachF,sodawirbeideDarstellungen(L Zahlkorpern,algebraischenZahlenundalleindieserArbeitvorgestelltenundbenutztenAlgorithmensindinKANTimplementiertundkonnenuberKASH[32] aufgerufenwerden. DieserAlgorithmus,sowieAlgorithmenfurOperationenmitOrdnungen,Idealen, undf)benutzenkonnen,umbeibedarfdiegeeigneterezuwahlen. SeiVQ=Vn. zujederprimzahlp2pqgibtesgenaueinv=vp2vn. Q_[V1QdiekanonischeMengeexponentiellerBewertungenaufQ,d.h., 2.BewertungenundPrimideale FureinenbeliebigenZahlkorperkseiVn. Q3v6=vpistv(p)=0,undesgiltV1Q=f?logjjg. kdiemengederdiskretenbewertungen Qmitvp(p)=1.Furjedes genaueinv2vn. V1Qfortsetzen.Furjedesv2Vn. aufk,dieeinebewertungausvn. QmitVjQ=v.AnalogseiV1 kdenierenwirdenfolgendenp-adischenbetrag: Qfortsetzen,d.h.,furjedesV2Vn. kdiemengederbewertungen,die k gibtes

9 Seip2PQdiejenigePrimzahlmitv(p)6=0,dannsetzenwirjjv:=p?v().Fur v2v1 kseijjv:=exp(?v()),fernerseij0jv:=0furjedesv2vk. 3.MATRIZEN 5 SeinunKeineendlicheErweiterungvonk.AufgrundunsererNormierungbesteht VKausschlielichausFortsetzungenvonElementenausVk.WirschreibenVjvfalls V2VKeineFortsetzungvonv2Vkist.IndiesemFallsei wobeikvwievervollstandigungvonkbzgl.dervonvinduziertentopologieist nvjv:=nv;k:=[kv:kv]=nv;q undkvdievervollstandigungvonkbzgl.v.esgiltderfurdiesearbeitwichtige nv;q; ZusammenhangzwischendenBetragen,ihrenFortsetzungenundderNorm: jnk=k(x)jv=(y V2VK VjvjxjnV;Q V)1=nv;Q=Y oder(additivgeschrieben)v(nk=k(x))=x V2VK VjvjxjnV;k V (1-1) furx2kundv2vk. V2VK VjvnV;kV(x) FernergiltdieProduktformel: v2vkjxjnv;q Y 3.Matrizen v =1: SeiReinRing.FureinebeliebigeMatrixM2Rn0m0istMi;jdasj-teElement AbkurzungenundSchreibweisenvereinbaren. DawirimnachstenAbschnittvielmitMatrizenarbeitenwerden,wollenwireinige deri-tenzeile,esgiltm=(mi;j)1in0 1jm0.Mtr:=(M0i;j)1im0 Eintragegleichrsind,furRunitarbezeichneIn02Rn0n0dieEinheitsmatrix,d.h. FureinRingelementr2RseiRn0n03rn0:=(r)1in0 1jn0dieMatrix,beideralle 1jn0mitM0i;j=Mj;i. bezeichnenwirdiematrixausrn0(m0+m00),derenspaltendurchanhangender (In0)i;j=i;j:=8<:1i=j 0sonst..SeinunN2Rn0m00eineweitereMatrix.Mit(MjN)

10 6SpaltenvonNandievonMentstehen,(MjN)i;j=8<:Mi;j I.GRUNDLAGEN ist Mtr Ntr!=(MjN)tr.FurMatrizenMi2Rnimi(1io)ist Ni;j?m0sonst..Analog jm0 diag(m1;:::;mo):= 0 B@ M Mo 0. 1 CA2RPoi=1niPoi=1mi:

11 EinheiteninRelativerweiterungen KAPITELII ObwohlRelativerweiterungenschonlangeruntersuchtwerden,gibtesbisherkaum Ansatze,diebesondereStrukturdieserKorperbeiderBerechnungderEinheiten dergaloisgruppegibteshierkaumeigenschaften,diesichmitrelativenmethodenuntersuchenlassen.diewesentlicheschwierigkeitliegtdarinbegrundet,da Strukturinformationist,diewirzusatzlichbenutzenwollen. dieeigenschafteinerzahlx2of,eineeinheitzusein,nichtvonderstruktur auszunutzen.imgegensatzzuz.b.derberechnungdermaximalordnungoder vonofalsoe-moduloderz-modulabhangtund,daesimwesentlichendiese FurdieStrukturderEinheitengruppeUkinbeliebigenZahlkorpernkgiltzunachst einmalderdirichlet'scheeinheitensatz: Satz2.1.SeikeinZahlkorper.DanngibtesEinheiteni2ok(1i#V1 1=:r)und2okmit Uk=hih1ihri; k? wobeidasproduktdirektistundhiiunendlichezyklischegruppensind.furdie GruppederTorsionseinheitenTUkvonkgilt:TUk=hi. HierauserhaltenwireineDarstellungvonUF,dievolligunabhangigvonderStrukturvonoFalsoE-Modulist.IndiesemKapitelwerdenwireineandereDarstellung Rollespielen.DieseEinheitensindauchfurdasLosenvonNormgleichungenwichtig. SchonsehrfruhhatsichArtin[2]mitEinheitenderNorm1inrelativ-galoisschen stemimwesentlichendurchdieanwendungdergalois-automorphismenaufeine Zahlkorpernbeschaftigt.Erzeigte,daeinmaximalesunabhangigesEinheitensy- vonufnden,diediezusatzlichestrukturinformationberucksichtigt.speziell dieeinheiten,derennormtorsionseinheitensind,werdendorteineentscheidende 7

12 8kleineMengevonEinheitenausEerhaltenwerdenkann.IndiesemSpezialfall erhaltersoauchdennachfolgendensatz2.5. II.EINHEITEN EsgibtverschiedeneAnsatze,dieEinheitengruppeUk oderwenigstenseine stimmtetypenvonabel'schenzahlkorpernhatz.b.leopoldt[37,38]einmaxi- malessystemunabhangigereinheitenauszyklischenteilkorpernbestimmt.fur dadieeinheitengeeigneterteilkorperentsprechend"geliftet\werden.furbe- UntergruppeUUkvonendlichemIndex(Uk:U) dadurchzuerhalten, ist,hatholzberg[27]gezeigt,daeineuntergruppevonendlichemindeximmer ausdeneinheitenderteilkorpererhaltenwerdenkann.indiesemfallgibtes denfall,dafdiegalois'schehulleeinesnichtabel'schenquartischenkorpers auchabschatzungenfurdenindex. FurCM-Korperistschonlangebekannt,dadieEinheitengruppeeinfachausder EinheitengruppedesmaximalenreellenTeilkorperskonstruiertwerdenkann,da esauchkriterien,umdenindexzubestimmen. dieeinheitenrangeidentischsind.weiteristbekannt,daderindex(imwesentlichen)maximal2ist[52,theorem4.12].imfallvonkreisteilungskorperngibt Hierwerdenwirgenaueruntersuchen,wiedieEinheitengruppevonFvonder deutungfurdaslosenvonnormgleichungeninrelativerweiterungen.ahnliche KonstruktionensindvonKlebel[33]zumLosenvonbestimmtenEinheitengleichungenbenutztworden.Esistzuerwarten,damitHilfedieserErgebnissesich zumindestdietheoriezumlosenvonthue-gleichungenaufdenrelativenfall DernachfolgenddenierterelativeRegulatorunterscheidetsichvonderin[14] gegebenendenitiondadurch,dahierkeineabsoluteninvariantenvonf=qin ubertragenlat. vonebeeinutwird.diehiervorgestelltenergebnissesindvonzentralerbeschlielich"relativeinvarianten\benutzt.in[4]wirdeinevariantevonsatz2.9 derdenitionbenutztwerden.inderhiergegebenendenition2.8werdenaus- alsdenitionverwendet. FurdasLosenvonNormgleichungenistdieKenntnisderEinheitenausF,deren NormenbestimmteEigenschaftenhaben,wichtig.Imfolgendenwerdenwirdaher 1.StrukturderEinheitengruppeinRelativerweiterungen (2-1) dieoperationdernormabbildungaufdereinheitengruppeuntersuchen. FurdasganzeKapitelxierenwireineendlicheMengeV1 SF:=fV2VFj9v2SE:Vjvg: ESEVEundsetzen

13 Furjedesv2VEsei Pv:=fV2VFjVjvg: 1.STRUKTUR 9 FixierenuneinbeliebigesVv2Pv(8v2VE)undsetze Definition2.2.SeienSEundSFwieobengegeben.DannnennenwirdieElementevon SF:=Sv2SE_ Pv. UF;SF:=fx2Fj8V2VFnSF:V(x)=0g UE;SE:=fx2Ej8v2VEnSE:v(x)=0g (2-2) FernerseienrE:=#SE,rF:=#SFund_ Pv:=PvnfVvg;rv:=#Pv: _ diese-einheitenvonebzw.sf-einheitenvonf. Bemerkung2.3. FureineUntergruppeAUE;SEdenierenwirUAF;SF:=NF=E?1(A)\UF;SF. (2)EsgiltderDirichlet'scheEinheitensatz:UE;SE=hih1ihrE?1i[35, UF=UF;SF. V,x1],wobeieinegeeigneteEinheitswurzelist(esgiltTUE=TUE;SE= (1)FurSE=V1 E(undSF=V1F)giltUE=UE;SEund (4)OenbargiltAUAF;SF,daNF=E(A)=Anist. (3)Nach(2-1)und(1-1)geltenNF=E(UF;SF)UE;SEundUE;SEUF;SF. hi)und1;:::;re?1grundeinheitensind(d.h.,siehabenunendlicheordnung,dasproduktistdirektundsieerzeugendieganzegruppe). AlsnachsteswollenwirdieStrukturvonUAF;SFbestimmen.Dazubenotigenwir folgendeslemma: Lemma2.4.FurATUEgilt:UAF;SF=TUFistfreivomRangrF?rE. Beweis.NachBemerkung2.3.(2)sindUF;SF=TUFunddaherauchjedeUntergruppehiervonfrei.EsbleibtdahernochdieDimensionsaussagezuzeigen:Da undausnf=e(x)=xnfurjedesx2e:(bezeichnethierz-modulisomorphien) einmodulhomomorphismusist,folgtausdemisomorphiesatzfurfreiez-moduln ~NF=E:UF;SF=TUF!UE;SE=TUE:xTUF7!NF=E(x)TUE unddaherrgkern~nf=e=rf?re.mittuseafureingeeignetess2nfolgt danndiebehauptung. UE;SE=TUEBild~NF=EUF=TUF=Kern~NF=E;

14 10 Satz2.5.SeiUUAF;SFeineUntergruppevonendlichemIndex.Danngibtes unabhangigeeinheiteni2u(1irf?re+rga=:r)sowieeinetorsionseinheit,soda SeienATUEbeliebig,UUF;SFvonendlichemIndex.DanngibtesEinheiten i2u(1irf?re),~i2u(1ire?1)sowieeinetorsionseinheit,so U=hih1ihri: II.EINHEITEN da und UF;SF\U=(UAF;SF\U)h~1ih~rE?1i UAF;SF\U=hih1ihrF?rEi gelten. FurdenFallE=QundA=f1g=TUQerhaltenwirwiederdenDirichlet'schen EinheitensatzalsSpezialfall. Beweis.DirekteKonsequenzausBemerkung2.3.(4)undLemma2.4. ImweiterenseienATUEbeliebigundUUF;SF,vonendlichemIndexxiert. WirwerdenimfolgendeneinenRegulatorfurUAF;SF\Uerklaren,derdieklassische Denitionerweitert.Diesermoglichtunsdann,AbschatzungenfurdenIndex (UTUE einmafurdiekomplexitatdesspatervorgestelltenalgorithmuszumlosenvon wegenderhohenkorpergradesehraufwendigist[55].fernerwirddieserregulator zubestimmen,wasspeziellimletztenschritt(aufstiegzufundamentaleinheiten) F;SF:(UTUE F;SF\U))anzugeben,umUTUE F;SFauszurechnen,ohnezunachstUF;SF (2-3) Normgleichungendarstellen. Seiennun LF:UF;SF!RSF:7!(nV;EV())V2SF; daheristdannlf(uaf;sf)eingittervomrangrf?re. (2-4) deniert.nach[35,v,x1]istlf(uf;sf)eingittervomrangrf?1imrsf; _LF:UF;SF!R_ SF:7!(nV;EV())V2_ Lemma2.6. (1)SeiB2Rn0n0mitBi;j=a+i;jbi,a;bi2R.Danngilt detb=(n0 Yi=1bi)(an0 Xi=11bi+1):

15 (2)SeienB2Rn0n0,C2Rm0n0beliebig.FurB0:=B 1.STRUKTUR CBgeltendann 11 B0trB0=Btr(In0+CtrC)Bunddet(B0trB0)=det2Bdet(In0+CtrC). Speziellgiltfurm0=1,d.h.C=(c1;:::;cn0): det(in0+ctrc)=1+n0 Xi=1c2i: Beweis.(1):Siehe[46,5.6Exercise1]. (2):Esgilt: (B0trB0)i;j=n0+m0 =(BtrB)i;j+((CB)tr(CB))i;j=(Btr(In0+CtrC)B)i;j Xl=1B0l;iB0l;j=n0 Xl=1Bl;iBl;j+m0 Xl=1(CB)l;i(CB)l;j DaalleMatrizenquadratischsind,folgtdieAussageuberdieDeterminanten. Seinunm0=1undD:=diag(c1;:::;cn0).Wirerhalten: Mit(1)angewendetaufa=1,bi=c?2 In0+CtrC=In0+((1;:::;1)D)tr(1;:::;1)D =D(D?2+1n0)D: det(in0+ctrc)=det2(d)n0 ifolgtdaher: =n0 Xi=1c2i+1: Yi=1c?2 i(n0 Xi=1c2i+1) (1irF?rE),~i2U(1irE?1)und2TUFmit WirxierennuneinmaximalesunabhangigesEinheitensystemi2UTUE U=hih1ihrF?rEih~1ih~rE?1i: F;SF\U NachSatz2.5gibtessolcheEinheiten.Deniere :UTUE F;SF\U!ZrF?rE:=rF?rE Yi=1ni i7!(ni)1irf?re;

16 12 sowiemitfv1;:::;vreg=se,fv1;:::;vrv?1g=_ II.EINHEITEN :SF!N:V7!8<:Pi?1 l=1(rvl?1)+j?1furv=vj2_ PveineAnordnung Damitist(SF)=[1;rF]und(_ rf?re+i SF)=[1;rF?rE].Furx2RSFseiRrF3 furv=vviwiein(2-2): Pvi (x):=(x(i))1irf.mit und L:=(n?1(i);E?1(i)(j))1irF 1jrF?rE2RrF(rF?rE) erhaltenwirdanndiebeidenkommutativendiagramme: L:=(n?1(i);E?1(i)(j))1irF?rE _ 1jrF?rE2R(rF?rE)(rF?rE) UTUE F;SF\U?y???!RSF LF ZrF?rE???!RrF L?y und UTUE F;SF\U?y???!R LF?y SF ZrF?rE???!RrF?rE: Lemma2.7.Sei?:=[0;1]rF?rE.Danngelten: L_ (2)vol(_ (1)volrF?rE(L?)=qQv2SErvvol(_ ziellgewahlteneinheitensystem. L?)istunabhangigvonderAnordnungderBewertungenunddemspe- Beweis.(1):Sei (2-5) C:=0@ z} {?1;:::;?1 rv 1?1 0 z} {?1;:::;?1 rv2?1 :::rvre?1 0 z} { Danngilt:?1;:::;?1 0 1 A: NachLemma2.6.(1)und[23,x5(67)]giltdann: (2-6) det(irf?re+ctrc)=y CtrC=diag(1rv1?1;:::;1rvrE?1): v2serv:

17 Aus(1-1)zusammenmitDenition2.2undBemerkung2.3.(3)folgtfurjedes v2seundjedes2utue F;SF: 1.STRUKTUR 13 (2-7) V2PvnV;EV()=v(NF=E())=0: X AusL= C_ L_ L!,(2-6)undLemma2.6.(2)erhaltenwirdaher Wegenvol2rF?rE(L?)=det(LtrL)[34,AppendixII]undvol2(_ det(ltrl)=det(_ Ltr_ L)Y v2serv: (2):DadieentsprechendenTransformationenunimodularbzw.unitarsind,folgt det2(_ L)istdann(1)bewiesen. L?)=det(_ Ltr_ L)= Definition2.8.WirnennenregF=E(U):=vol(_L?) diebehauptung. Satz2.9.Esgilt: FernerseiregF=E(F):=regF=E(UTUE den(sf-)regulatorvonu(bezuglichf=e). regf=q(u)=(reyi=1nrvi?1 vi;q)regf=e(u)rege=q(nf=e(u)): F;SF). eseins2gl(rf?1;r)mit~l= Beweis.Setze~L:=(LjLF(~1);:::;LF(~rE?1)).Darg_ L0rF?rE L=rF?rEgilt,gibt wobei(wiein(2-7))furjedesv2se B!S; und V2PvnV;EV(i)=v(NF=E(i))=0 X geltenunddahero.b.d.a.bvonfolgenderformist: V2PvnV;EV(~i)=v(NF=E(~i)) X B=(vi(NF=E(~j)))1irE 1jrE?1:

18 14 SeienL0,~L0undB0durchStreichenderletztenZeilevonL,~LundBdeniert. Danngelten: II.EINHEITEN ~L0= Sei 0 D1:=diag(n?1(1);Q n?1(1);e;:::;n?1(rf?1);q n?1(rf?1);e)2rrf?1rf?1 *B01AS: Dannsinddenitionsgema sowie D2:=diag(nv1;Q;:::;nvrE?1;Q)2RrE?1rE?1: und det(d2b0)=rege=q(nf=e(u)) Daherfolgt: regf=q(u)=det(d1)det(~l0) det(d1~l0)=regf=q(u): =det(d1)det(_l)det(b0) =rf?1 det(d2)regf=e(u)rege=q(nf=e(u)) undmitnv;q nv;e=nv;qfurjedesvjvkonnenwirweiterschlieen: Yi=1n?1(i);Q n?1(i);ere?1 Yi=11 nvi;qregf=e(u)rege=q(nf=e(u)); =reyi=1nrvi?1 vi;qnvren?1(rf);e vi;qregf=e(u)rege=q(nf=e(u)): n?1(rf);qregf=e(u)rege=q(nf=e(u)) Bemerkung2.10. DenitiondesRegulators,d.h.,esgilt: (1)FurE=QundSE=V1 reg(u)=regf=q(u): Eerhaltenwirwiederdiealte (2)FurSE=V1 reg(u)=2r2(n?1)regf=e(u)rege=q(nf=e(u)) Egilt=2r2(n?1)regF=E(U)(UE:TUENF=E(U))reg(UE):

19 2.EINEUNTEREREGULATORABSCHATZUNG 15 (3)Beiderin[14]gegebenenDenitionentfalltderFaktor2r2(n?1).Diedort gegebenedenitionunterscheidetsichvonunsererindernormierungder FunktionLF(2-3);dortwirdstattmitnV;EmitnV;Qmultipliziert.Ferner wirddortnurderfallse=v1 Ebetrachtet. 2.EineuntereRegulatorabschatzung IndiesemAbschnittseienA:=TUEundSE:=V1 E.Wirwolleneineuntere AbschatzungfurregF=E(F)herleiten,dieesunsermoglicht,mitdenin[55]dargestelltenMethoden,ausgehendvoneinerUntergruppevonendlichemIndex,zuder volleneinheitengruppe"aufzusteigen\.imgegensatzzuunterenschrankenwie z.b.in[22,14]werdenwirkeinea-priori-schrankenerhalten;dafurwirdunsere i.allg.groer,d.h.scharfer,sein. Lemma2.11.DieAbbildung: q:utue F!R0:7!mXi=1nXj=1jlog(j(i;j)j)j2 isteinepositivdenitequadratischeformmitdeterminante dq=2r2(n?1)?pr1 i=1tinr1+r2reg2f=e(f): Beweis.Sei1;:::;rF?rEeinunabhangigesErzeugendensystemfurUTUE F.Dann giltfurx2utue F mitx=0qrf?re i=1i i: q(x)=q(rf?re Yl=1l l) =mxi=1nxj=1(rf?re Xl=1llogj(i;j) lj)2 =rf?re X k;l=1kl(mxi=1nxj=1logj(i;j) kjlogj(i;j) lj) =(l)tr 1lrF?rE(logj(i;j) kj)tr 1im;1jn 1krF?rE (logj(i;j) kj)1im;1jn 1krF?rE (l)1lrf?re =:(l)tr 1lrF?rEB0trB0(l)1lrF?rE:

20 16 Daq(x)alsSummenichtnegativerZahlennichtnegativist,habenwirqalspositivsemidenitnachgewiesen.Daq(x)=0aquivalentzux2TUFist,istdererste II.EINHEITEN TeilderAussagegezeigt. gilt,mussenwirnundetb0trb0berechnen.umdielemmata2.6.(1)und2.6.(2) Weildenitionsgema betrachtenwirdiefolgendenmatrizen: anwendenzukonnen,benotigenwirzunachsteinigehilfsmatrizen:fur1ir1 det(b0trb0)=dq B0i:= 0 B@ logj(i;si+ti) (i;1) 1j j :::logj(i;1) :::logj(i;si+ti) logj(i;si+2ti) logj(i;si+ti+1) j:::logj(i;si+2ti). j:::logj(i;si+ti+1) rf?rej logj(i;si+2ti?1) 1 j:::logj(i;si+2ti?1). rf?re j 1 jca =:0 logj(i;si+ti) Bi B@ logj(i;si+2ti) logj(i;si+ti+1) j j :::logj(i;si+ti) :::logj(i;si+2ti). j:::logj(i;si+ti+1) rf?rej logj(i;si+2ti?1) 1 j:::logj(i;si+2ti?1). rf?re j 1 jca und Ci:= 8 >< > : 0 B@ z?1=2:::?1=2 } { z ti?1 } { 0?1 Iti?1 :::?11CAti>0 Furr1<ir1+r2denierenwiranalog:?1:::?1 n?1 {z } ti=0 B0i:=0B@logj(i;1) 1j:::logj(i;1) :. logj(i;n) 1j:::logj(i;n). 1CA=:0@ und rf?rej logj(i;n) 1j:::logj(i;n) Bi rf?rej1a Damitgiltfur1ir1+r2: Ci:=z?1:::?1: n?1 } { B0i=Bi CiBi

21 und 2.EINEUNTEREREGULATORABSCHATZUNG 17 B0=S0 0 B@ B0r1+r2 B 01 B0r1+r2 B0r CA=S 0 Br1+r2 B1 1CA Cr1+r2Br1+r2 Br1+1 C1B1 B@ Cr1+1Br1+1 Br1+r2. Cr1+r2Br1+r2 ; wobeis0,sdienotwendigenzeilenvertauschungendarstellenunddeswegenunitar sind.schlielichseiennoch B:=0B@B1 Br1+r2. 1 CAundC:= 0 C10 :::0 C20... Cr1+10 ::: ::: :::00 1CA :::0 ::: In? Cr1+r2 :::0 B@ :::0 ::: Cr :::... 0In?1 0Cr1+r2 :::0 Damitfolgt : habenwir NachLemma2.6.(2)giltdet(B0trB0)=det2(B)det(I+CtrC).Oensichtlich B0=SB r1yi=12max(0;ti?1)det(b)=regf=e(f) CB: und(mit[23,x5(67)]) det(i+ctrc)=r1yi=1(isi+t1?1+ctr ici)r1+r2 i=r1+1(in?1+2ctr Y ici+in?1):

22 18 bestimmen.fur1r1;ti=0folgtauslemma2.6.(2): Esverbleibtalsonurnochdet(Isi+ti?1+Ctr II.EINHEITEN det(isi+ti?1+ctr ici)=n?1 Xl=1(ci)2l+1=n: ici)bzw.det(2in?1+2ctr ici)zu MirLemma2.6.(1)folgt: Schlielichsei1ir1undti>0.Mit det(2i+2ctr ici)=2n?1(n?1 Xl=11+1)=2n?1n: D:=diag( z} { 12;:::;12;ti?1 si und 1;:::;1) z} { folgtdanndet(isi+ti?1+ctr~ci= 0?1:::?1 Iti?1! ic)=det2(d)det(d?2+~ctr =14si4si2ti?1(2si Xl=114+2si+ti?1 i~ci) =2ti(si 4+ti?1 l=si+112+1) X aus =2tin ) Insgesamtgilt ~Ctr i~ci=diag( 0;:::;0;ti?1 z} { si z} { 1;:::;1)+2si+ti?1: dq=r1yi=14?max(0;ti?1)reg2f=e(f)r1yi=1 =2?Pr1 ti=0nr1yi=1 ti>02ti?2nr1+r2 i=1tinr12(n?1)r2nr2reg2f=e(f) i=r1+12n?1n Y unddiebehauptungfolgt. =2r2(n?1)?Pr1 i=1tinr1+r2reg2f=e(f)

23 Lemma2.12.Fur2.EINEUNTEREREGULATORABSCHATZUNG h1:r0!r:x7!cosh(px)?1; 19 x,y2r0,1gelten: (1)h1(x+y)h1(x)+h1(y), Beweis.(1):Esgiltcosh(x)=P1k=0x2k (2)h1(x)h1(x), (3)h1iststrengmonotonwachsend. h1(x+y)=1xk=11 (2k)!unddaher: 1Xk=11 (2k)!(x+y)k =h1(x)+h1(y): (2k)!(xk+yk) (2):Dakgilt,folgtdieBehauptungwiein(1). Lemma2.13.Seienn02N,n0K2Rund sageunmittelbar. (3):Dasowohlcosh()alsauchpstrengmonotonwachsendsind,folgtdieAus- gegeben.furdasminimummvonh2unterdennebenbedingungen h2:rn0!r:x=(x1;:::;xn0)7!n0 Xi=1x2i (1)Pn0 gilt: (2)Pn0 i=1e?2xik i=1e2xik, Beweis.DurchAdditionderBedingungen(1)und(2)erhaltenwir(cosh(x)= 12(ex+e?x)): M14arcosh2(K?n0+1): (3)Pn0 i=1cosh(2xi)k.

24 20 Lemma2.12.(1)gilt: NachLemma2.12.(3)reichtes,dasMinimumvoncosh(p4h2)abzuschatzen.Mit II.EINHEITEN coshq4h2(x)?1=cosh(vutn0 n0 Xi=1(cosh(j2xij)?1) Xi=1(2xi)2)?1 worausdiebehauptungdannunmittelbarfolgt. =n0 Xi=1(cosh(2xi)?1)K?n0; Lemma2.14.SeiUUFeineUntergruppevonendlichemIndexmitUE<U. Danngilt: Beweis.UnmittelbareFolgeausNF=E(UE)=UnEunddemSatzvonLagrange[40, (UE:TUENF=E(UF))j(UE:TUENF=E(U))jnr1+r2: untereschrankefurregf=e(f):seienr:=pr1 Analog[55,Kapitel2]erhaltenwirnunausLemma2.11undLemma2.13eine Satz1.7.7.]. sukzessivenminimavonqundrdier-tehermiteschekonstante.danngilt: vut2pr1 i=1ti?r2(n?1)qri=1mii=1(si+ti)+r2n?1,m1;:::;mrdie (2-8) eineuntereregulatorschrankebestimmen.dortwerden mittelsdesauszahl- NunkonnenwirmitHilfeeinermodiziertenVersionvon[55,Algorithmus2.7] nr1+r2r regf=e(f): untereschrankefurdiefehlendenminimaermittelt.alternativhierzukonnenwir auchdenungeandertenalgorithmusverwenden,umeineschrankefurregf(f) Algorithmus3.6 diesukzessivenminimateilweisebestimmtundgleichzeitigeine zuerhalten.nachdemwirdien-maximaleobergruppe(d.h.p-maximalfurjedes p2pqmitpjn)vonueinufbestimmthaben,konnenwirmithilfevonsatz2.9 eineuntereschrankeerhalten. InderPraxissolltenbeideSchrankenparallelberechnetwerden,waseinfachzu implementierenist,dadiehauptarbeitimauszahlenundtesteneinergroen MengevonalgebraischenZahlenliegt.

25 Bemerkung2.15.In[45]wirddasMinimumvonRn03x7!Pn0 zudeninlemma2.13gegebenennebenbedingungennochunter 3.KONSTRUKTIONVONEINHEITEN i=1x2izusatzlich 21 abgeschatzt.diedortangegebeneuntereschrankeerforderti.allg.nochdaslosen Xi=1xi=0 n0 mehrereralgebraischergleichungssysteme.furdenfalln0=5istdieschranke Wegenarcosh0(x)!0furx!1gilt explizit,esgilt h212arcosh2(k?5+2 arcosh2(k?n+2 2) 2 ): ImGegensatzzuderin[45]istunsereSchrankejedochexplizitgegeben. d.h.,unsereregulatorschrankeistfurgroeketwahalbsogrowiediein[45]. arcosh2(k?n+1)!1; Hierwollenwirkurzdaraufeingehen,wiedieindenletztenAbschnittenvorgestelltenErgebnissefurpraktischeBerechnungengenutztwerdenkonnen.Zunachst 3.KonstruktionvonEinheiten benotigenwirjedochnochein Lemma2.16. (2)Seienc>0undMc:=fx2oFj8v2V1x (1)Furjedesx2oFgilt:NF=E(x) E:v(NF=E(x))cg: 2oF. Beweis.(1):Konsequenzaus(1-1). DannenthaltMcnurendlichvielebezuglichU1FnichtassoziierteElemente. (2):Analog[46,5(2.3)]:Setze Dannistoensichtlich#~Mc<1,undesreichtzuzeigen,dafurjedes2~Mc diemengen:=fx2ofj8v2v1 ~Mc:=fx2oEj8v2V1 E:NF=E(x)=gnurendlichvielenicht E:v(x)cg: zeigennun,da=2u1fausmodfolgt.seiendazumod assoziierteelementeenthalt.wirxierenein2~mcundsetzet:=of=().wir beliebigausngegebenund2ofmit?=.danngilt:=1+2of

26 22 nach(1).analogfolgt2of.wegennf=e()=nf=e()folgtdann2u1f, mit#t=nf=q()=ne=q()n<1wasdiebehauptungimpliziert. II.EINHEITEN MitHilfediesesLemmasistesmoglich,diein[55,Kapitel3]vorgestelltenMethoden unterzuhilfenahmederimnachstenkapitelvorgestelltenideen auch inrelativerweiterungenzubenutzen.jedochsinddiese"relativenmethoden\viel aufwendigeralsdieentsprechenden"absoluten\.daherlohnensiesichnur,wenn Index)indementsprechendenabsolutenZahlkorperauszurechnen. dierelativestruktureinewesentlicherollespielt.esscheintsinnvollzusein,zuersteinmaximalesunabhangigeseinheitensystem(d.h.uufmitendlichem Erzeugendensystem1;:::;rE?1unddeniereneinenZ-Modulisomorphismus rangvoneundrf?1dervonf.wirxiereninue=tueeinunabhangiges SeinunUUFmitendlichemIndexgegeben,fernerseirE?1derEinheiten- E:UE=TUE!ZrE?1:=rE?1 Yi=1ni i7!(ni)re?1 abhangigenerzeugernvonu=tuf.fernersein2zre?1rf?1=hom(zrf?1;zre?1) AnalogdenierenwirF:U=TUF!ZrF?1fureinbeliebigesfestesSystemvonun- i=1: sogewahlt,dadasfolgendediagrammkommutativist: U=TUFNF=E F?y???!UE=TUE WennwirnundiespaltenreduzierteHermite-NormalformHNF(N)ausrechnen,???!ZrE?1: N?yE erhaltenwireinebasisvonzrf?1undeinsystemvoneinheitenwieinsatz2.5. DieMatrixNkanndadurcherhaltenwerden,dawirdieNormenderErzeuger vonualspotenzproduktderi(1ire?1)darstellen.diesemethodelat zudenfundamentaleinheitenbzw.dernachweis,da(uf:u)=1gilt.o.b.d.a. sichnaturlichauchanwenden,wennsev1 AlsletzterSchrittinderBerechnungderEinheitengruppebleibtnochderAufstieg Egilt. nehmenwirvonnunueuan(ggf.mussenwiruentsprechenderweitern). Mit[55,Algorithmus4.10]vergroernwirnunUso,daUp-maximalfurpjn wird.mitobigemalgorithmusberechnenwirutue erklart,konnenwirnunutue denerforderlichenwurzeltests[55,algorithmus4.20]nichtalleerzeugervonu berucksichtigtwerdenmussen,sondern"nur\dievonutue F bestimmen.einvorteildiesermethodeist,dabei F\U.WieimletztenAbschnitt F \U.

27 WennwirstattUTUE beidesmit[55,algorithmus4.22]erhalten.f\ointeressiertsind,sokonnenwir oderaneinemvertretersystemfurutue F,UTUE 3.KONSTRUKTIONVONEINHEITEN F\ofureinebeliebigeOrdnungooFbestimmenwollen F=UTUE 23

28 24 II.EINHEITEN

29 GitteruberZahlkorpern KAPITELIII FurdasLosenvonNormgleichungen(wieauchfurdiealgorithmischeBehandlung abbildung[46,6(2.6)] additiveuntergruppendesrn,vongroerbedeutung.vermogederminkowski- zahlreicherandererzahlentheoretischerprobleme)sindz-gitter,d.h.diskrete ':E!R m:x7! 0 p2re(x(r1+1)) x(r1) x(1) 1CA B@ p2re(x(r1+r2)) p2im(x(r1+1)) wirdderz-moduloeisomorphzueinemgitterimrmvomrangm. p2im(x(r1+r2)). AufEbetrachtenwirdievon induziertemetrikundauf:='(oe)dievondemskalarproduktdesrminduzierte euklidische.vermogedieserabbildung'kanndievonminkowskibegrundete T2:E!R0:x7!mXi=1jx(i)j2 Methodengibt,umallex2mitxtrxc(0<c2R)zubestimmen[20,(2.15) SpeziellfurdasLosenvonNormgleichungenisteswichtig,daessehreziente "GeometriederZahlen\[41]aufZahlkorperangewendetwerden. Algorithmus]. 25

30 26 ImfolgendenwerdenwirnundieGitterdenitionsoverallgemeinern,daauch RelativordnungenkanonischmitGitternidentiziertwerdenkonnen.Obwohles III.GITTER verschiedenetheoretischeansatzeinderliteraturgibt,gitteruberanderenstrukturenalszzubetrachten[8,11,17,29,39,47,54]undgeometrischemethoden aufrelativerweiterungenzuubertragen[6],gibtesbisherkaumalgorithmische Betrachtungen.Jurk[31]hatinseinerDissertationeineersteVariantefureinen rithmenentwickeln.teiledieseskapitelssindbereitsindenants-iiproceedings AuszahlalgorithmusfurGitteruberZahlkorperngegeben. [19]erschienen. FurdieseneuenGitterwerdenwirdanngeeigneteAuszahl-undReduktionsalgo- WirgebenhiereinenkurzenUberblickuberspaterverwendeteEigenschaftenund AlgorithmenfurGitteruberZ. 1.GitteruberZ Definition3.1.EinZ-GitteristeinediskreteadditiveUntergruppedesRn0. Imweiterenwerdenwirnochzusatzlich[]R=Rn0fordern,d.h.,Z-Gittersollen Satz3.2.SeieinZ-Gitter.Danngibtesi2(1in0)so,da= vollenranghaben.danngiltderfolgende SeinunBeinSkalarproduktaufdemRn0,Q(x):=B(x;x)diezugehorigequadratischeForm.WennwirnuneineGitterbasis1;:::;n0xieren,gibteseine i=1zigilt.dieelemente1;:::;n0bildeneinegitterbasisfur. Pn0 vonderwahlderspeziellenbasisab. (1in0).dZ():=qdet(G)istdieGitterdiskriminantevon,siehangtnicht positivdenitematrixg2rn0n0mitb(x;y)=(x1;:::;xn0)trg(y1;:::;yn0) (x=pn0 i=1xii,y=pn0 i=1yii),gheitdiegram-matrixzudergitterbasisi Seien1;:::;n02linearunabhangig,danngilt Definition3.3.DieZahlenYi=1Q(i)d2Z(): n0 (1in0)heiendiesukzessivenMinimavon. FurdieMinimavongiltderfolgende Mi:=inff2R>0j9x1;:::;xi2Z-lin.unabh.mitQ(xj)(1ji)g

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist.

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist. Matrizennorm Es seien r,s N Mit M r,s (R bezeichnen wir die Menge der reellen r s- Matrizen (also der linearen Abbildungen R s R r, und setze M s (R := M s,s (R (also die Menge der linearen Abbildungen

Mehr

Ich melde meinen Sohn / meine Tochter verbindlich für den!biku Osterferien-Intensivkurs 2016 in der Gruppe an:

Ich melde meinen Sohn / meine Tochter verbindlich für den!biku Osterferien-Intensivkurs 2016 in der Gruppe an: Osterferien-Intensivkurs 2016 in der Gruppe an: Osterferien-Intensivkurs 2016 in der Gruppe an: Osterferien-Intensivkurs 2016 in der Gruppe an: Osterferien-Intensivkurs 2016 in der Gruppe an: Osterferien-Intensivkurs

Mehr

7 Die Determinante einer Matrix

7 Die Determinante einer Matrix 7 Die Determinante einer Matrix ( ) a11 a Die Determinante einer 2 2 Matrix A = 12 ist erklärt als a 21 a 22 det A := a 11 a 22 a 12 a 21 Es ist S 2 = { id, τ}, τ = (1, 2) und sign (id) = 1, sign (τ) =

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Sei K ein Körper, a ij K für 1 i m, 1 j n. Weiters seien b 1,..., b m K. Dann heißt a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2... a m1

Mehr

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte 50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien

Mehr

Taylorentwicklung der k ten Dimension

Taylorentwicklung der k ten Dimension Taylorentwicklung der k ten Dimension 1.) Taylorentwicklung... 2 1.1.) Vorgehenesweise... 2 1.2.) Beispiel: f ((x, y)) = e x2 +y 2 8x 2 4y 4... 3 2.) Realisierung des Algorithmus im CAS Sage Math... 5

Mehr

Bestimmung einer ersten

Bestimmung einer ersten Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,

Mehr

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x

Mehr

Aufgabe 1 Berechne den Gesamtwiderstand dieses einfachen Netzwerkes. Lösung Innerhalb dieser Schaltung sind alle Widerstände in Reihe geschaltet.

Aufgabe 1 Berechne den Gesamtwiderstand dieses einfachen Netzwerkes. Lösung Innerhalb dieser Schaltung sind alle Widerstände in Reihe geschaltet. Widerstandsnetzwerke - Grundlagen Diese Aufgaben dienen zur Übung und Wiederholung. Versucht die Aufgaben selbständig zu lösen und verwendet die Lösungen nur zur Überprüfung eurer Ergebnisse oder wenn

Mehr

TheGI 1: Grundlagen und algebraische Strukturen Prof. Dr.-Ing. Uwe Nestmann - 09. Februar 2010. 2. Schriftliche Leistungskontrolle (EK)

TheGI 1: Grundlagen und algebraische Strukturen Prof. Dr.-Ing. Uwe Nestmann - 09. Februar 2010. 2. Schriftliche Leistungskontrolle (EK) TheGI 1: Grundlagen und algebraische Strukturen Prof. Dr.-Ing. Uwe Nestmann - 09. Februar 2010 2. Schriftliche Leistungskontrolle (EK) Punktzahl In dieser schriftlichen Leistungskontrolle sind 100 Punkte

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Linearkombinationen, Basen, Lineare Abbildungen 2.1 Lineare Unabhängigkeit Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig? (a) 1, 2, 3 im Q Vektorraum R (b)

Mehr

Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen I. Kapitel 10: Lineare Algebra

Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen I. Kapitel 10: Lineare Algebra Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen I Kapitel 10: Lineare Algebra Christian Scheideler WS 2008 19.02.2009 Kapitel 10 1 Überblick Notation Arithmetik auf großen Zahlen (Addition und Multiplikation)

Mehr

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS Herbstsemester 2015 gehalten von Harald Baum 2. September 2015 Inhaltsverzeichnis 1. Stichpunkte zur Linearen Algebra I 2. Körper 3. Vektorräume

Mehr

2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen

2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen 2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen V und V seien Vektorräume über einem Körper K. Hom K (V, V ) bezeichnet die Menge der K linearen Abbildungen von V nach V. Wir machen Hom K (V, V )

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Kapitel 6: Induktives Vorgehen Thomas Worsch KIT, Institut für Theoretische Informatik Wintersemester 2015/2016 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische

Mehr

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen

Mehr

t r Lineare Codierung von Binärbbäumen (Wörter über dem Alphabet {, }) Beispiel code( ) = code(, t l, t r ) = code(t l ) code(t r )

t r Lineare Codierung von Binärbbäumen (Wörter über dem Alphabet {, }) Beispiel code( ) = code(, t l, t r ) = code(t l ) code(t r ) Definition B : Menge der binären Bäume, rekursiv definiert durch die Regeln: ist ein binärer Baum sind t l, t r binäre Bäume, so ist auch t =, t l, t r ein binärer Baum nur das, was durch die beiden vorigen

Mehr

Also kann nur A ist roter Südler und B ist grüner Nordler gelten.

Also kann nur A ist roter Südler und B ist grüner Nordler gelten. Aufgabe 1.1: (4 Punkte) Der Planet Og wird von zwei verschiedenen Rassen bewohnt - dem grünen und dem roten Volk. Desweiteren sind die Leute, die auf der nördlichen Halbkugel geboren wurden von denen auf

Mehr

6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion)

6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion) 6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion) Scan-Konvertierung ist die Rasterung von einfachen Objekten (Geraden, Kreisen, Kurven). Als Ausgabemedium dient meist der Bildschirm, der aus einem Pixelraster

Mehr

. -- SB 4B .:.,:', Süd~ , + \( 0 :)'4' '1' + \] west/ + I\: 0 5"") 'L. -lost. West + 1.\ \0Y ~ l r 2. v4 h ~ ~ Südl ~

. -- SB 4B .:.,:', Süd~ , + \( 0 :)'4' '1' + \] west/ + I\: 0 5) 'L. -lost. West + 1.\ \0Y ~ l r 2. v4 h ~ ~ Südl ~ Board 1 Teiler: NORD Gefahr: -- I Kon- I< Kon~ l' I< Von trakt spiel Erg? Von trakt spiel Erg I Sieger Punkte IMPs 2A SB S s-; f ~ll~ -1 S-ü Q 5A 2B 1 (' h ; T~' \~/:~ '"/1 i~zc 3A 4B LO S"r CX td 420

Mehr

Vergleichsklausur 12.1 Mathematik vom 20.12.2005

Vergleichsklausur 12.1 Mathematik vom 20.12.2005 Vergleichsklausur 12.1 Mathematik vom 20.12.2005 Mit CAS S./5 Aufgabe Alternative: Ganzrationale Funktionen Berliner Bogen Das Gebäude in den Abbildungen heißt Berliner Bogen und steht in Hamburg. Ein

Mehr

Lösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr.

Lösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr. Lösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr. Kurzweil Florian Franzmann André Diehl Kompiliert am 10. April 2006 um 18:33

Mehr

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 2015/16 Prof. Dr. M. Hinze Dr. P. Kiani Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Lösungshinweise zu Blatt 2 Aufgabe 1: (12 Punkte) a) Beweisen

Mehr

BONUS MALUS SYSTEME UND MARKOV KETTEN

BONUS MALUS SYSTEME UND MARKOV KETTEN Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften, Fachrichtung Mathematik, Institut für Mathematische Stochastik BONUS MALUS SYSTEME UND MARKOV KETTEN Klaus D. Schmidt Ringvorlesung TU Dresden Fakultät MN,

Mehr

Grundlagen der Datenverarbeitung

Grundlagen der Datenverarbeitung Grundlagen der Datenverarbeitung Bauelemente Mag. Christian Gürtler 5. Oktober 2014 Mag. Christian Gürtler Grundlagen der Datenverarbeitung 5. Oktober 2014 1 / 34 Inhaltsverzeichnis I 1 Einleitung 2 Halbleiter

Mehr

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x

Mehr

3. Grundlagen der Linearen Programmierung

3. Grundlagen der Linearen Programmierung 3. Grundlagen der linearen Programmierung Inhalt 3. Grundlagen der Linearen Programmierung Lineares Programm Grafische Lösung linearer Programme Normalform Geometrie linearer Programme Basislösungen Operations

Mehr

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also

Mehr

Entscheidungsbäume. Definition Entscheidungsbaum. Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen?

Entscheidungsbäume. Definition Entscheidungsbaum. Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen? Entscheidungsbäume Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen? Definition Entscheidungsbaum Sei T ein Binärbaum und A = {a 1,..., a n } eine zu sortierenden Menge. T ist ein Entscheidungsbaum

Mehr

Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik

Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik Höhere Mathematik 3 Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr FB Mathematik Wintersemester 2015/16 4. Homogene lineare Dierentialgleichungen 4.1. Grundbegrie 4.1.1. Denition. Es sei J R ein Intervall und a 0 ; : :

Mehr

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Gleichungen Inhalt: 1. Grundlegendes 2. Lineare Gleichungen 3. Gleichungen mit Brüchen

Mehr

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 2 Optimale Codes Optimalität bezieht sich auf eine gegebene Quelle, d.h. eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den Symbolen s 1,..., s q des Quellalphabets

Mehr

Erfahrungen mit Hartz IV- Empfängern

Erfahrungen mit Hartz IV- Empfängern Erfahrungen mit Hartz IV- Empfängern Ausgewählte Ergebnisse einer Befragung von Unternehmen aus den Branchen Gastronomie, Pflege und Handwerk Pressegespräch der Bundesagentur für Arbeit am 12. November

Mehr

omnidirektionalersichtsysteme

omnidirektionalersichtsysteme Diplomarbeit LokalisierungeinesmobilenRobotersystemsmittels EinprobabilistischerAnsatzfürrobuste omnidirektionalersichtsysteme BjörnGaworski bg@elien.de ArbeitsbereichTechnischeAspekteMultimodalerSysteme

Mehr

Teil III: Routing - Inhalt I. Literatur. Geometric Routing. Voraussetzungen. Unit Disk Graph (UDG) Geometric Routing 29

Teil III: Routing - Inhalt I. Literatur. Geometric Routing. Voraussetzungen. Unit Disk Graph (UDG) Geometric Routing 29 1 29 Teil III: Routing - Inhalt I Literatur Compass & Face Routing Bounded & Adaptive Face Routing Nicht Ω(1) UDG E. Kranakis, H. Singh und Jorge Urrutia: Compass Routing on Geometric Networks. Canadian

Mehr

Algebraische Kurven. Vorlesung 26. Die Schnittmultiplizität

Algebraische Kurven. Vorlesung 26. Die Schnittmultiplizität Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2012 Algebraische Kurven Vorlesung 26 Die Schnittmultiplizität Es seien zwei ebene algebraische Kurven C,D A 2 K gegeben, die keine Komponente gemeinsam haben. Dann besteht

Mehr

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Analysis 0 Dr DK Huynh Blatt 8 Aufgabe 6 Bestimmen Sie (a) (x + x 7x+)dx (c) (f) x n exp(x)dx (n N fest) sin (x)dx (g) (b) (d) ln(x)dx

Mehr

Algorithmen und Komplexität Teil 1: Grundlegende Algorithmen

Algorithmen und Komplexität Teil 1: Grundlegende Algorithmen Algorithmen und Komplexität Teil 1: Grundlegende Algorithmen WS 08/09 Friedhelm Meyer auf der Heide Vorlesung 8, 4.11.08 Friedhelm Meyer auf der Heide 1 Organisatorisches Am Dienstag, 11.11., fällt die

Mehr

Abitur - Grundkurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 2002. Gebiet G1 - Analysis

Abitur - Grundkurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 2002. Gebiet G1 - Analysis Abitur - Grundkurs Mathematik Sachsen-Anhalt Gebiet G - Analsis Aufgabe.. Der Graph einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades mit einer Funktionsgleichung der Form f a b c d a,b,c,d, R schneidet die

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Eines der am häufigsten auftretenden Standardprobleme der angewandten Mathematik ist das Lösen linearer Gleichungssysteme, etwa zur Netzwerkberechnung in der Elektrotechnik oder

Mehr

Wahrscheinlichkeitstheorie. Zapper und

Wahrscheinlichkeitstheorie. Zapper und Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Slide 1 Wahrscheinlichkeitstheorie die Wissenschaft der Zapper und Zocker Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Slide 2 Münzwürfe, Zufallsbits Elementarereignisse mit Wahrscheinlichkeiten

Mehr

Der neue Schöck Isokorb XT Wärmeschutz

Der neue Schöck Isokorb XT Wärmeschutz Wärmeschutz Die ÖNorm B 8110-1 und die Anforderungen an Wärmebrücken Die ÖNorm B 8110-1 vom August 2007 regelt die Anforderungen an den Heizwärmebedarf. Einer Verschärfung der Anforderungen um ca. 20 %

Mehr

IHK-Forum Berufsbildung

IHK-Forum Berufsbildung IHK-Forum Berufsbildung Mediationskompetenz als Führungsinstrument? Ralf Hoffmann Mediation & Teamentwicklung Systemische Beratung Mediator BM, Ausbilder BM Systemischer Berater SG 1 Ihre innere Landkarte

Mehr

Mengensysteme, Wahrscheinlichkeitsmaße

Mengensysteme, Wahrscheinlichkeitsmaße Kapitel 1 Mengensysteme, Wahrscheinlichkeitsmaße Der Großteil der folgenden fundamentalen Begriffe sind schon aus der Vorlesung Stochastische Modellbildung bekannt: Definition 1.1 Eine Familie A von Teilmengen

Mehr

Wortproblem für kontextfreie Grammatiken

Wortproblem für kontextfreie Grammatiken Wortproblem für kontextfreie Grammatiken G kontextfreie Grammatik. w Σ w L(G)? Wortproblem ist primitiv rekursiv entscheidbar. (schlechte obere Schranke!) Kellerautomat der L(G) akzeptiert Ist dieser effizient?

Mehr

16 Übungen gemischte Schaltungen

16 Übungen gemischte Schaltungen 6 Übungen gemischte Schaltungen 6. Aufgabe Gemischt (Labor) a) Berechne alle Ströme und Spannungen und messe diese nach! 3 = Rges = + 3 = 4,39kΩ 3 =,939kΩ Iges= Rges =2,46mA=I U = * I = 5,32V = U3 = U

Mehr

1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage:

1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 1 1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Für alle m, n N gilt m + n = n + m. in den Satz umschreiben:

Mehr

Das Briefträgerproblem

Das Briefträgerproblem Das Briefträgerproblem Paul Tabatabai 30. Dezember 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Problemstellung und Modellierung 2 1.1 Problem................................ 2 1.2 Modellierung.............................

Mehr

Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012

Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012 Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012 Kreisbasen, Matroide & Algorithmen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales

Mehr

Tutorial: Homogenitätstest

Tutorial: Homogenitätstest Tutorial: Homogenitätstest Eine Bank möchte die Kreditwürdigkeit potenzieller Kreditnehmer abschätzen. Einerseits lebt die Bank ja von der Vergabe von Krediten, andererseits verursachen Problemkredite

Mehr

Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V

Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V ist die Menge A = Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V ist die Menge A = mit einer Abbildung + : A V A,

Mehr

DIE AGENTUR FÜR INNOVATIVE KOMMUNIKATION

DIE AGENTUR FÜR INNOVATIVE KOMMUNIKATION T O f V i i T O f V i i T O f V i i V i fl i B i Kü i R i Ci G fl H A f f i B B Z f J i G i i i i i fl ä H : f A i K f Bi zi B izi i A Z f J i b v /C i i ff i I K i z i i i i f i H ) ä K I R /I ü (W i i D

Mehr

Eine Logikschaltung zur Addition zweier Zahlen

Eine Logikschaltung zur Addition zweier Zahlen Eine Logikschaltung zur Addition zweier Zahlen Grundlegender Ansatz für die Umsetzung arithmetischer Operationen als elektronische Schaltung ist die Darstellung von Zahlen im Binärsystem. Eine Logikschaltung

Mehr

Gelddarlehensvertrag, 488 490 BGB

Gelddarlehensvertrag, 488 490 BGB - AGB Universität Karlsruhe (TU) Institut für Informationsrecht Prof. Dr. iur. Peter Sester 1 des Zustandekommen des : 1. Notwendiger Regelungsinhalt: - DG ist zur Übereignung des Geldes verpflichtet -

Mehr

Stackelberg Scheduling Strategien

Stackelberg Scheduling Strategien Stackelberg Scheduling Strategien Von Tim Roughgarden Präsentiert von Matthias Ernst Inhaltsübersicht Einleitung Vorbetrachtungen Stackelberg Strategien Ergebnisse Seminar Algorithmische Spieltheorie:

Mehr

Zusammenfassung der 6. Vorlesung

Zusammenfassung der 6. Vorlesung Zusammenfassung der 6. Vorlesung w-transformation Die w-transformationbildet das Innere des Einheitskreises der z-ebene in die linke w-ebene ab. z 1 w= z+1, bzw. z= 1+w 1 w Nach Anwendung der w-transformationist

Mehr

Die Optimalität von Randomisationstests

Die Optimalität von Randomisationstests Die Optimalität von Randomisationstests Diplomarbeit Elena Regourd Mathematisches Institut der Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf Düsseldorf im Dezember 2001 Betreuung: Prof. Dr. A. Janssen Inhaltsverzeichnis

Mehr

Optimierung und Fertigung eines Bogenmittelteils aus einer Magnesiumlegierung

Optimierung und Fertigung eines Bogenmittelteils aus einer Magnesiumlegierung 363 Optimierung und Fertigung eines Bogenmittelteils aus einer Magnesiumlegierung Jürgen Edelmann-Nusser 1 (Projektleiter), Sándor Vajna 2 & Konstantin Kittel 2 1 Universität Magdeburg, Institut für Sportwissenschaft

Mehr

SEQUENZDIAGRAMM. Christoph Süsens

SEQUENZDIAGRAMM. Christoph Süsens SEQUENZDIAGRAMM Christoph Süsens DEFINITION Das Sequenzdiagramm gibt Auskunft darüber: Welche Methoden für die Kommunikation zwischen ausgewählten Objekten zuständig sind. Wie der zeitliche Ablauf von

Mehr

Mathematics. - Ueber die Difterentialkovariante erster Ordnung der binären kubischen Difterentialform. Von P. G. MOLENAAR.

Mathematics. - Ueber die Difterentialkovariante erster Ordnung der binären kubischen Difterentialform. Von P. G. MOLENAAR. Mathematics. - Ueber die Difterentialkovariante erster Ordnung der binären kubischen Difterentialform. Von P. G. MOLENAAR. (Communicated by Prof. R. WEITZENBÖCK.) (Communicated at the meeting of December

Mehr

Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K

Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K Satz 25 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen

Mehr

Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen

Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Thomas Coutandin (cthomas@student.ethz.ch) 7. November 2 Abbildungsmatrizen Im Folgenden betrachten wir stets endlich dimensionale K-Vektorräume (K irgend

Mehr

Sechs Module aus der Praxis

Sechs Module aus der Praxis Modu l 1 : V o r b e r e i tung für d a s Re i te n L e r n s i tuatio n : De r e r ste Ko n ta k t K i n d u n d P fe r d d a r f : 1 2 0 m i n. D i e K i n d e r so l l e n d a s P f e r d, s e i n e

Mehr

Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung

Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Klaus-R. Löffler Inhaltsverzeichnis 1 Einfach zu behandelnde Sonderfälle 1 2 Die ganzrationale Funktion dritten Grades 2 2.1 Reduktion...........................................

Mehr

Theoretische Grundlagen der Informatik

Theoretische Grundlagen der Informatik Theoretische Grundlagen der Informatik Vorlesung am 12.01.2012 INSTITUT FÜR THEORETISCHE 0 KIT 12.01.2012 Universität des Dorothea Landes Baden-Württemberg Wagner - Theoretische und Grundlagen der Informatik

Mehr

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011 Mathematik für Informatiker II Christoph Eisinger Sommersemester 211 Beispiellösungen zur Probeklausur Aufgabe 1 Gegeben sind die Polynome f, g, h K[x]. Zu zeigen: Es gibt genau dann Polynome h 1 und h

Mehr

Wintersemester 2005/2006 Gedächtnisprotokoll der mündlichen Prüfung

Wintersemester 2005/2006 Gedächtnisprotokoll der mündlichen Prüfung Wintersemester 2005/2006 Gedächtnisprotokoll der mündlichen Prüfung Ulrich Loup 24.03.2006 Prüfungsstoff: Alegebra I, Analysis IV, Graphentheorie I Prüfer: Prof. Dr. Wilhelm Plesken Protokollant: Dipl.

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Friedrich Roesler Ralf Franken, PhD Max Lein Lineare Algebra 1 WS 26/7 en Blatt 4 13.11.26 Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität

Mehr

Kleiner Satz von Fermat

Kleiner Satz von Fermat Kleiner Satz von Fermat Satz Kleiner Satz von Fermat Sei p P. Dann gilt a p a mo p für alle a Z. Wir führen zunächst eine Inuktion für a 0 urch. IA a = 0: 0 p 0 mo p. IS a a+1: Nach vorigem Lemma gilt

Mehr

Elektrische Logigsystem mit Rückführung

Elektrische Logigsystem mit Rückführung Mathias Arbeiter 23. Juni 2006 Betreuer: Herr Bojarski Elektrische Logigsystem mit Rückführung Von Triggern, Registern und Zählern Inhaltsverzeichnis 1 Trigger 3 1.1 RS-Trigger ohne Takt......................................

Mehr

Kapitel 7 und Kapitel 8: Gleichgewichte in gemischten Strategien. Einleitung. Übersicht Teil 2 2. Übersicht 3

Kapitel 7 und Kapitel 8: Gleichgewichte in gemischten Strategien. Einleitung. Übersicht Teil 2 2. Übersicht 3 Übersicht Teil 2 Kaitel 7 und Kaitel 8: Gleichgewichte in gemischten Strategien Übersicht Teil 2 2 Übersicht Einleitung Was ist eine gemischte Strategie? Nutzen aus gemischten Strategien Reaktionsfunktionen

Mehr

Handbuch ECDL 2003 Professional Modul 3: Kommunikation Kalender freigeben und andere Kalender aufrufen

Handbuch ECDL 2003 Professional Modul 3: Kommunikation Kalender freigeben und andere Kalender aufrufen Handbuch ECDL 2003 Professional Modul 3: Kommunikation Kalender freigeben und andere Kalender aufrufen Dateiname: ecdl_p3_02_03_documentation.doc Speicherdatum: 08.12.2004 ECDL 2003 Professional Modul

Mehr

Zinssicherung im B2B Markt April 2010

Zinssicherung im B2B Markt April 2010 Zinssicherung im BB Markt Ergebnisse einer repräsentativen Telefonbefragung bei 400 BB-Finanzentscheidern (Februar-März 00) Zinssicherung im BB Markt April 00 0.06.00 7:8:58 Zusammenfassung der Ergebnisse

Mehr

Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme

Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Wir befassen uns nun mit der Lösung im allgemeinen nichthomogener linearer Gleichungssysteme in zweifacher Hinsicht. Wir studieren

Mehr

GDOES zur Kleinbereichsanalyse an metallographischen Schliffen

GDOES zur Kleinbereichsanalyse an metallographischen Schliffen GDOES zur Kleinbereichsanalyse an metallographischen Schliffen Michael Köster TAZ GmbH, Eurasburg 15. Deutsches Anwendertreffen Glimmentladungs-Spektrometrie, 23. - 24. November 2011 in Dresden Übersicht

Mehr

Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b

Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b Aufgabe 1: Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. (a) Nehmen Sie lineares Wachstum gemäß z(t) = at + b an, wobei z die Einwohnerzahl ist und

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Einheit 15: Reguläre Ausdrücke und rechtslineare Grammatiken Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Wintersemester 2008/2009 1/25 Was kann man mit endlichen

Mehr

Jeder zweite Selbstständige in Vollzeit mit überlanger Arbeitszeit

Jeder zweite Selbstständige in Vollzeit mit überlanger Arbeitszeit Pressemitteilung vom 3. November 2015 403/15 Jeder zweite Selbstständige in Vollzeit mit überlanger Arbeitszeit Neuer Bericht zur Qualität der Arbeit erschienen - KORREKTUR auf Seite 2 - WIESBADEN Im Jahr

Mehr

Rente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren Rentenperiode = Zeitabstand zwischen zwei Rentenzahlungen

Rente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren Rentenperiode = Zeitabstand zwischen zwei Rentenzahlungen 5.2. entenrechnung Definition: ente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren entenperiode = Zeitabstand zwischen zwei entenzahlungen Finanzmathematisch sind zwei

Mehr

Pädagogik. Melanie Schewtschenko. Eingewöhnung und Übergang in die Kinderkrippe. Warum ist die Beteiligung der Eltern so wichtig?

Pädagogik. Melanie Schewtschenko. Eingewöhnung und Übergang in die Kinderkrippe. Warum ist die Beteiligung der Eltern so wichtig? Pädagogik Melanie Schewtschenko Eingewöhnung und Übergang in die Kinderkrippe Warum ist die Beteiligung der Eltern so wichtig? Studienarbeit Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung.2 2. Warum ist Eingewöhnung

Mehr

Zeit lässt sich nicht wie Geld für schlechte Zeiten zur Seite legen. Die Zeit vergeht egal, ob genutzt oder ungenutzt.

Zeit lässt sich nicht wie Geld für schlechte Zeiten zur Seite legen. Die Zeit vergeht egal, ob genutzt oder ungenutzt. Zeitmanagement Allgemeine Einleitung Wie oft haben Sie schon gehört Ich habe leider keine Zeit? Und wie oft haben Sie diesen Satz schon selbst gesagt? Wahrscheinlich nahezu jeden Tag. Dabei stimmt der

Mehr

Kompetitive Analysen von Online-Algorithmen

Kompetitive Analysen von Online-Algorithmen Kompetitive Analysen von Online-Algorithmen jonas echterhoff 16. Juli 004 1 Einführung 1.1 Terminologie Online-Algorithmen sind Algorithmen, die Probleme lösen sollen, bei denen Entscheidungen getroffen

Mehr

Haupteigenschaften und Einsatzmerkmale

Haupteigenschaften und Einsatzmerkmale Unsere Produktreihe umfasst Schneidstoffe aus polykristallinem kubischen Bornitrid (CBN), die speziell für die Zerspanung harter Eisenwerkstoffe unter Bedingungen sowohl der Grob- als auch der Mittel-

Mehr

Seminar A - Spieltheorie und Multiagent Reinforcement Learning in Team Spielen

Seminar A - Spieltheorie und Multiagent Reinforcement Learning in Team Spielen Seminar A - Spieltheorie und Multiagent Reinforcement Learning in Team Spielen Michael Gross mdgrosse@sbox.tugraz.at 20. Januar 2003 1 Spieltheorie 1.1 Matrix Game Definition 1.1 Ein Matrix Game, Strategic

Mehr

8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz

8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz O Forster: Prizahlen 8 Quadratische Reste Rezirozitätsgesetz 81 Definition Sei eine natürliche Zahl 2 Eine ganze Zahl a heißt uadratischer Rest odulo (Abkürzung QR, falls die Kongruenz x 2 a od eine Lösung

Mehr

Elemente der Analysis II

Elemente der Analysis II Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel

Mehr

TechnischeUniversitatMunchen ZentrumMathematik Uberlebenszeitanalyse Anwendungender inderpegeversicherung Diplomarbeit FlorianRudolph von Abgabetermin: Betreuerin: Themenstellerin:ProfDrCzado 25Januar2000

Mehr

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung 3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung Definition und Lemma 3.3.1. Sei V ein K-Vektorraum, φ End K (V ), λ K. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von φ als Dies ist ein Unterraum von V.

Mehr

Technische Analyse der Zukunft

Technische Analyse der Zukunft Technische Analyse der Zukunft Hier werden die beiden kurzen Beispiele des Absatzes auf der Homepage mit Chart und Performance dargestellt. Einfache Einstiege reichen meist nicht aus. Der ALL-IN-ONE Ultimate

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5 Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5 Aufgabe. Man betrachte die Matrix A := über dem Körper R und über dem Körper F und bestimme jeweils die Jordan- Normalform. Beweis. Das charakteristische

Mehr

Computeralgebra in der Lehre am Beispiel Kryptografie

Computeralgebra in der Lehre am Beispiel Kryptografie Kryptografie Grundlagen RSA KASH Computeralgebra in der Lehre am Beispiel Kryptografie Institut für Mathematik Technische Universität Berlin Kryptografie Grundlagen RSA KASH Überblick Kryptografie mit

Mehr

Optimale Steuerung. Sequentielle Quadratische Programmierung. Kevin Sieg. 14. Juli 2010. Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz

Optimale Steuerung. Sequentielle Quadratische Programmierung. Kevin Sieg. 14. Juli 2010. Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz Optimale Steuerung Kevin Sieg Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz 14. Juli 2010 1 / 29 Aufgabenstellung 1 Aufgabenstellung Aufgabenstellung 2 Die zusammengesetzte Trapezregel

Mehr

2 Darstellung von Zahlen und Zeichen

2 Darstellung von Zahlen und Zeichen 2.1 Analoge und digitale Darstellung von Werten 79 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen Computer- bzw. Prozessorsysteme führen Transformationen durch, die Eingaben X auf Ausgaben Y abbilden, d.h. Y = f

Mehr

Rente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren Rentenperiode = Zeitabstand zwischen zwei Rentenzahlungen

Rente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren Rentenperiode = Zeitabstand zwischen zwei Rentenzahlungen 1 3.2. entenrechnung Definition: ente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren entenperiode = Zeitabstand zwischen zwei entenzahlungen Finanzmathematisch sind

Mehr

Nachrichten der Evangelischen Kirchengemeinde Wörsdorf

Nachrichten der Evangelischen Kirchengemeinde Wörsdorf B Ki i i i i i l Ni Kii f OKTOBR NOVBR N 49 3 20 l: Fi f Ki Kfi: l f i ii V 202: ii Ri 20 Li Li L BLICK i Zi l l Kfi f ii Li Ki i N ii i i Ki i : i i ß i i i 7000 Bfi i Bi f i : Z ii : Olf i Bif Kfl Bfii

Mehr

Schwierigkeiten beim Schriftspracherwerb und Möglichkeiten der Förderung durch das Konzept des Kieler Leseaufbaus

Schwierigkeiten beim Schriftspracherwerb und Möglichkeiten der Förderung durch das Konzept des Kieler Leseaufbaus Pädagogik Judith Hallas Schwierigkeiten beim Schriftspracherwerb und Möglichkeiten der Förderung durch das Konzept des Kieler Leseaufbaus Studienarbeit Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung S. 2 2. Schwierigkeiten

Mehr

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen Dr. Nico Düvelmeyer Freitag, 1. Juli 2011 1: 1 [1,1] Inhaltsübersicht für heute 1 Einführung und Wiederholung Beispiel

Mehr

Fit für die Prüfung Elektrotechnik Effektives Lernen mit Beispielen und ausführlichen Lösungen

Fit für die Prüfung Elektrotechnik Effektives Lernen mit Beispielen und ausführlichen Lösungen Jan Luiken ter Haseborg Christian Schuster Manfred Kasper Fit für die Prüfung Elektrotechnik Effektives Lernen mit Beispielen und ausführlichen Lösungen 18 1 Elektrische Gleichstromnetzwerke det(a 2 )

Mehr

LU-Zerlegung. Zusätze zum Gelben Rechenbuch. Peter Furlan. Verlag Martina Furlan. Inhaltsverzeichnis. 1 Definitionen.

LU-Zerlegung. Zusätze zum Gelben Rechenbuch. Peter Furlan. Verlag Martina Furlan. Inhaltsverzeichnis. 1 Definitionen. Zusätze zum Gelben Rechenbuch LU-Zerlegung Peter Furlan Verlag Martina Furlan Inhaltsverzeichnis Definitionen 2 (Allgemeine) LU-Zerlegung 2 3 Vereinfachte LU-Zerlegung 3 4 Lösung eines linearen Gleichungssystems

Mehr