Exemplar für Prüfer/innen

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1 Exemplar für Prüfer/innen Kompensationsprüfung zur standardisierten kompetenzorientierten schriftlichen Reifeprüfung AHS Juni 2015 Mathematik Kompensationsprüfung 6 Angabe für Prüfer/innen

2 Hinweise zur Kompensationsprüfung Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig voneinander bearbeitbar sind. Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der Aufgabenstellung muss die Kandidatin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der anschließenden Leitfrage ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen. Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen und die Lösungsschlüssel. Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 30 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten. Beurteilung Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt können maximal zehn Punkte erreicht werden. Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema: Note zumindest erreichte Punkte Genügend Befriedigend Gut Sehr gut 4 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte 3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt 5 Grundkompetenzpunkte + 0 Leitfragenpunkte 4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt 3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte 5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt 4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte 3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte 5 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte 4 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen. Kompensationsprüfung 6 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 2/13

3 Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der Beurteilung. Grundkompetenzpunkt erreicht Leitfragenpunkt erreicht Aufgabe 1 Aufgabe 2 Aufgabe 3 Aufgabe 4 Aufgabe 5 Kompensationsprüfung 6 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 3/13

4 Aufgabe 1 Zahlengerade Auf einer Zahlengeraden ist es möglich, verschiedene Zahlen bzw. Zahlenmengen zu veranschaulichen. Die nachstehende Grafik zeigt eine derartige Veranschaulichung Aufgabenstellung: Beschreiben Sie in Worten und in einer geeigneten mathematischen Schreibweise, welche Zahlenmenge hier dargestellt wird! Leitfrage: Gegeben sind drei lineare Ungleichungen in der Grundmenge R. 3 2x > 1 2x x 2 < 3,5 Geben Sie an, welche dieser Ungleichungen genau die oben dargestellte Zahlenmenge als Lösungsmenge hat! Begründen Sie Ihre Aussage! Kompensationsprüfung 6 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 4/13

5 Lösung zur Aufgabe 1 Zahlengerade Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: Die Menge aller reellen Zahlen, die größer als 1 sind. ( 1; ) bzw. {x R x > 1} Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn sowohl eine (sinngemäß) korrekte verbale Beschreibung als auch eine korrekte formale Schreibweise angegeben werden. Lösungserwartung zur Leitfrage: Nur die Ungleichung 3 x < 3,5 hat die dargestellte Zahlenmenge als Lösungsmenge, denn 2 durch Äquivalenzumformungen erhält man: x 2 < 0,5 x > 1 Für die Ungleichung 3 2x > 1 gilt: 2x > 2 x < 1; stimmt mit der dargestellten Zahlenmenge nicht überein. Für die Ungleichung 2x gilt: 2x 2 x 1; der Wert 1 ist allerdings in der dargestellten Zahlenmenge nicht enthalten. Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn sowohl die entsprechende Ungleichung angegeben wird als auch (sinngemäß) korrekte Begründungen für alle Ungleichungen angegeben werden. Kompensationsprüfung 6 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 5/13

6 Aufgabe 2 Funktionen vergleichen Gegeben sind vier reelle Funktionen f, g, h und i mit den nachstehenden Funktionsgleichungen: f(x) = 1 2 x mit x R g(x) = x 1 2 mit x R 0 + h(x) = ( 1 2) x mit x R i(x) = 1 2 sin(x) mit x R Aufgabenstellung: Geben Sie an, welche dieser vier Funktionen auf ihrem gesamten Definitionsbereich monoton steigend sind, und begründen Sie Ihre Entscheidung! Leitfrage: Skizzieren Sie jeweils in einem selbst angelegten Koordinatensystem (das nicht beschriftet oder skaliert sein muss) charakteristische Verläufe für die nachstehenden fünf Funktionstypen: lineare Funktion der Art f(x) = k x + d mit k 0 Polynomfunktion zweiten Grades der Art f(x) = a x 2 + b x + c mit a 0 Polynomfunktion dritten Grades der Art f(x) = a x 3 + b x 2 + c x + d mit a 0 Exponentialfunktion der Art f(x) = a b x mit a, b R + Sinusfunktion der Art f(x) = a sin(b x) mit a, b R; a, b 0 Geben Sie an, welche dieser Funktionstypen auf ihrem Definitionsbereich auf jeden Fall lokale Wendestellen haben und welche auf jeden Fall keine lokalen Wendestellen haben! Kompensationsprüfung 6 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 6/13

7 Lösung zur Aufgabe 2 Funktionen vergleichen Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: f und g Die Begründung kann anhand entsprechender Skizzen erfolgen. Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn genau diese zwei Funktionen genannt und (sinngemäß) korrekte Begründungen angeführt werden. Lösungserwartung zur Leitfrage: Die Kandidatinnen/Kandidaten sollen die Skizzen so zeichnen, dass die typischen Verläufe erkennbar sind. Lineare Funktion: Es muss eine Gerade sein, die weder senkrecht noch waagrecht sein darf. Polynomfunktion zweiten Grades: Der Graph muss als Parabel erkennbar sein. Polynomfunktion dritten Grades: Der charakteristische Verlauf des Graphen muss grundsätzlich erkennbar sein. Exponentialfunktion: Wichtig bei dieser Skizze ist hier die Darstellung der Monotonie, die Darstellung des asymptotischen Verhaltens und der sich ändernde Steigungsverlauf. Weiters darf die Funktion keine Nullstelle haben und der Graph der Funktion muss einen Schnittpunkt mit der senkrechten Achse aufweisen. Sinusfunktion: Die Periodizität sowie sin(0) = 0 müssen eindeutig erkennbar sein. Wendestellen: Auf jeden Fall keine lokalen Wendestellen haben: Exponentialfunktion, lineare Funktion und Polynomfunktion zweiten Grades Auf jeden Fall lokale Wendestellen haben: Polynomfunktion dritten Grades, Sinusfunktion Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn für alle fünf angeführten Funktionstypen ein typischer Funktionsverlauf richtig skizziert und die Frage nach den Wendestellen richtig beantwortet wird. Kompensationsprüfung 6 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 7/13

8 Aufgabe 3 Flächeninhaltsberechnung Gegeben ist eine Polynomfunktion f vierten Grades mit folgender Funktionsgleichung: f(x) = 0,2x 4 + 2x 2 1,8 Aufgabenstellung: Berechnen Sie den Wert des bestimmten Integrals 3 0 f(x)dx! Leitfrage: Der Graph der Funktion f schließt mit der x-achse im Intervall [0; 3] zwei endliche Flächenstücke ein. f(x) x 1 2 f 3 Begründen Sie, warum der berechnete Wert des bestimmten Integrals 3 0 der gesamten schraffierten Fläche entspricht! f(x)dx nicht dem Inhalt Geben Sie mithilfe bestimmter Integrale der Funktion f einen Ausdruck zur Berechnung des Inhalts der gesamten schraffierten Fläche an! Kompensationsprüfung 6 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 8/13

9 Lösung zur Aufgabe 3 Flächeninhaltsberechnung Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: 3 0 x5 f(x)dx = 0, x3 3 1,8x 3 = 2,88 0 Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Wert des bestimmten Integrals richtig berechnet wird. Toleranzintervall: [2,8; 3,0] Lösungserwartung zur Leitfrage: Die Maßzahl für den Flächeninhalt im Intervall [0; 1] ist positiv, der Wert des bestimmten Integrals aber negativ, weil das Flächenstück unterhalb der x-achse liegt. Somit ist der Wert des bestimmten Integrals im Intervall [0; 3] kleiner als die Maßzahl für den Flächeninhalt des gekennzeichneten Flächenstücks. Korrekte Ausdrücke zur Berechnung des Flächeninhalts: 1 0 f(x)dx + 3 oder: 1 f(x)dx 1 f(x)dx f(x)dx Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine Begründung angeführt wird, die (sinngemäß) jener der Lösungserwartung entspricht. Es muss jedenfalls angegeben werden, dass im Intervall [0; 1] der Wert des bestimmten Integrals negativ ist. Weiters muss eine korrekte Termdarstellung angegeben werden. Äquivalente Ausdrücke sind ebenfalls als richtig zu werten. Kompensationsprüfung 6 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 9/13

10 Aufgabe 4 Holzbestand Der Holzbestand eines Waldes wird in Kubikmetern (m³) angegeben. Zu Beginn eines bestimmten Jahres beträgt der Holzbestand m³. Jedes Jahr wächst der Holzbestand um 2,5 %. Am Jahresende werden jeweils 600 m³ Holz geschlägert. Dabei gibt a n die Holzmenge am Ende des n-ten Jahres an. Aufgabenstellung: Stellen Sie die Entwicklung des Holzbestandes durch eine Differenzengleichung dar! Erläutern Sie die Bedeutung der auftretenden Größen! Leitfrage: Geben Sie an, bei welchen jährlichen prozentuellen Wachstumsraten der Holzbestand im Laufe der Zeit abnimmt, zunimmt bzw. konstant bleibt! Begründen Sie Ihre Antwort! Kompensationsprüfung 6 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 10/13

11 Lösung zur Aufgabe 4 Holzbestand Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: a 0 = a n + 1 = 1,025 a n 600 a 0... Holzbestand zu Beginn n... Jahre nach Beginn a n Holzbestand am Ende des (n + 1)-ten Jahres Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn eine korrekte Differenzengleichung angegeben und die Bedeutung der auftretenden Größen (sinngemäß) korrekt erläutert wird. Lösungserwartung zur Leitfrage: 600 m³ sind 5 % von m³. Daher gilt: Ist die jährliche prozentuelle Wachstumsrate gleich 5 %, so bleibt der Holzbestand konstant (weil der Zuwachs gleich der geschlägerten Holzmenge ist). Ist die jährliche prozentuelle Wachstumsrate kleiner als 5 %, so nimmt der Holzbestand ab (weil der Zuwachs kleiner als die geschlägerte Holzmenge ist). Ist die jährliche prozentuelle Wachstumsrate größer als 5 %, so nimmt der Holzbestand zu (weil der Zuwachs größer als die geschlägerte Holzmenge ist). Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Wert der Zuwachsrate von 5 % angegeben wird. Darüber hinaus müssen alle drei Fälle korrekt angesprochen und (sinngemäß) der Lösungserwartung entsprechend begründet werden. Kompensationsprüfung 6 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 11/13

12 Aufgabe 5 Monatseinkommen Im nachstehenden Kastenschaubild (Boxplot) ist die Verteilung der Monatseinkommen (in Euro) in einem Betrieb mit 40 Angestellten dargestellt Monatseinkommen in Euro Aufgabenstellung: Interpretieren Sie diejenigen statistischen Kennzahlen, die direkt aus dem Kastenschaubild abgelesen werden können, im Hinblick auf die Einkommensverteilung in diesem Betrieb. Leitfrage: Begründen Sie, wie sich das gegebene Kastenschaubild verändert, wenn alle Angestellten eine Gehaltserhöhung um einen Fixbetrag F erhalten, alle Angestellten eine Gehaltserhöhung um p % erhalten. Kompensationsprüfung 6 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 12/13

13 Lösung zur Aufgabe 5 Monatseinkommen Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: Das niedrigste Monatseinkommen beträgt Das höchste Monatseinkommen beträgt (Mindestens) 25 % der Personen besitzen ein Monatseinkommen von oder weniger. (Mindestens) die Hälfte der Personen besitzt ein Monatseinkommen von oder weniger. (Mindestens) 25 % der Personen besitzen ein Monatseinkommen von oder mehr. Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn Minimum, Maximum, Median sowie 1. und 3. Quartil (sinngemäß) richtig interpretiert werden. Lösungserwartung zur Leitfrage: Bei einer Gehaltserhöhung werden alle Kennzahlen des Kastenschaubilds um den Fixbetrag F größer, d. h., das Kastenschaubild wird um den Wert F nach rechts verschoben. Bei einer prozentuellen Gehaltserhöhung nehmen die hohen Einkommen stärker zu als die niedrigen Einkommen. Die Spannweite wird daher größer, d. h., das Kastenschaubild wird breiter. Die Abstände zwischen den einzelnen Kennzahlen werden größer. Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn für beide Fälle richtig begründet wird, wie sich das Kastenschaubild durch die Gehaltserhöhungen verändert. Kompensationsprüfung 6 / Juni 2015 / MAT / Prüfer/in S. 13/13