Über die Diskretisierung und Regularisierung schlecht gestellter Probleme

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1 Über die Diskretisierung und Regularisierung sclect gestellter Probleme von Dipl. Mat. Robert Plato Vom Facbereic Matematik der Tecniscen Universität Berlin genemigte Dissertation zur Erlangung des akademiscen Grades Doktor der Naturwissenscaften Berlin 1990 D 83

2 Über die Diskretisierung und Regularisierung sclect gestellter Probleme von Dipl. Mat. Robert Plato Vom Facbereic Matematik der Tecniscen Universität Berlin genemigte Dissertation zur Erlangung des akademiscen Grades Doktor der Naturwissenscaften Promotionsausscuß: Vorsitzender: Prof. Dr. D. Ferus Bericter: Prof. Dr. A. K. Louis Prof. Dr. H. Brakage Tag der wissenscaftlicen Aussprace: Berlin 1990 D 83

3 Abstract Seien X und Y Hilberträume und A : X Y ein bescränkter linearer Operator mit nictabgesclossenem Bildbereic R(A) sowie y R(A). Zur Lösung des Problems (1) Ax = y kann man Projektionsverfaren verwenden. Seien dazu X X und Y Y lineare Unterräume mit endlicer Dimension. Man erält dann die Petrov- Galerkin-Gleicung (2) A x = y. Selbst wenn y in Gleicung (1) genau bekannt ist, muß eine Lösung x von (2) nict eine gute Approximation einer Lösung x von (1) sein. In dieser Arbeit wird für einige Verfaren (etwa die Metode von Tikonov, das Verfaren von Landweber bezieungsweise die Metode der konjugierten Gradienten), die sonst zur Lösung der Gleicung (2) gedact sind, eine geeignete Parameterwal angegeben (bei den beiden Iterationsverfaren ist damit ein Abbruckriterium gemeint), so daß man eine gute Näerung für x erält. Dabei werden auc gestörte Daten auf der recten Seite der Gleicung (1) zugelassen. Für diese, dem Diskrepanzprinzip von Ivanov-Morozov vergleicbare Parameterwal wird Konvergenz bewiesen. Grob formuliert eißt dies, daß bei feinerer Diskretisierung und mit besseren Näerungen an die recte Seite y der Gleicung (1) die angegebenen Verfaren mit dieser Parameterwal bessere Approximationen an x liefern. Mitilfe einiger Resultate über gebrocene Potenzen von nictnegativen selbstadjungierten Operatoren lassen sic scließlic auc Konvergenzraten nacweisen.

4 Inaltsverzeicnis 1. Einleitung Seite 1 2. Lineare Verfaren zur Lösung sclect gestellter Probleme Seite Ein allgemeiner Zugang Seite Beispiele Seite Die Matrixdarstellung der einzelnen Verfaren Seite 7 3. Einige Resultate über gebrocene Potenzen von nictnegativen selbstadjungierten Operatoren Seite Parameterwal bei linearen Verfaren Seite A priori-parameterwal Seite A posteriori-parameterwal Seite Die Metode der konjugierten Gradienten Seite Eine Einfürung Seite Der Beweis des Satzes 5.2 Seite Der Fall A = A 0 Seite Lineare Verfaren Seite Die Metode der konjugierten Gradienten Seite Numerisce Realisierungen Seite Über die Optimalität von Regularisierungsverfaren Seite Eine Einfürung Seite Das Hauptresultat Seite 60 Literaturverzeicnis Seite 65

5 1 Einleitung Seien X und Y Hilberträume über IR. Mit <, > werden wir das Skalarprodukt in X bezieungsweise Y bezeicnen, mit ist je nac Gebrauc die induzierte Norm in den Räumen X, Y oder L s (X, Y ) = {A : X Y : A ist ein bescränkter linearer Operator} gemeint. Sei nun A L s (X, Y ). Wir betracten die Gleicung Ax = y, y R(A). (1.1) Hier ist R(A) = {Ax : x X}. Wir nemen nun an, daß nur eine Näerung y ǫ Y für y bekannt ist mit y y ǫ ǫ, wobei ǫ > 0 eine bekannte Felerscranke ist. Wir sucen nac Verfaren R ǫ : Y X, die für eine gegebene Anfangsnäerung x an X eine gute Approximation R ǫ y ǫ an die Lösung x X von (1.1) liefern, die am näcsten bei x an liegt. Genauer gesagt, wir sucen nac Regularisierungsverfaren im folgenden Sinne. Definition 1.1 Seien A L s (X, Y ), x an X und R ǫ : Y X, ǫ > 0, gegeben. (R ǫ ) ǫ>0 eißt Regularisierungsverfaren für A (bezüglic x an ), falls sup x R ǫ y ǫ 0 (ǫ 0) y ǫ Y, Ax y ǫ ǫ für jedes x X mit x x an N(A) gilt. Für injektives A stimmt diese Definition mit der in Tikonov and Arsenin[37] überein, da es dann in Definition 1.1 nict von x an abängt, ob (R ǫ ) ǫ>0 ein Regularisierungsverfaren ist. Zur Angabe eines Lösungsverfarens muß das Problem zunäcst diskretisiert werden. Wir bescränken uns ierbei auf Projektionsverfaren. Sei dazu für > 0 (damit ist in der Regel die Scrittweite der Diskretisierung gemeint) P bezieungsweise Q eine ortogonale Projektion in X bezieungsweise Y. Im folgenden nemen wir an, daß A(I P ) 0, (I Q )A 0 ( 0). (1.2) 1

6 Hier bezeicnet I die identisce Abbildung in X bezieungsweise Y sowie A den zu A konjugierten Operator. Wir werden diese und die anderen einmal erklärten Bezeicnungen auc im folgenden verwenden. Wenn R(P ) und R(Q ) endlic-dimensional sind (dies ist auc der uns zumeist interessierende Fall), so ist für Bedingung (1.2) notwendig und inreicend, daß (siee Anselone[1], Proposition 1.8) A ein kompakter Operator ist, daß P I ( 0) punktweise auf R(A ) und daß Q I ( 0) punktweise auf R(A). Nun kann man zum Beispiel die Scrittweite ǫ in Abängigkeit von ǫ wälen (das eißt, nict zu fein und nict zu grob diskretisieren) und die Lösung x ǫ R(P ǫ ) der Gleicung Q ǫ Ax ǫ = Q ǫ y ǫ (für den Moment nemen wir an, daß diese existiert und eindeutig bestimmt ist) als Approximation der Lösung x von (1.1) nemen (siee Natterer[24], Hämarik[12], Vainikko und Hämarik[41] oder Louis[21]). Bei geeigneter Wal von ǫ ist dann durc R ǫ y ǫ = x ǫ ein Regularisierungsverfaren (bezüglic x an = 0) definiert. Besser ist es jedoc, eer zu fein zu diskretisieren und Verfaren zu verwenden, die erzeugt werden durc borelmeßbare Funktionen g r : [0, a] IR, (r 0, A 2 a) mit gewissen Eigenscaften (siee Kapitel 2 für die linearen Verfaren und Kapitel 5 für das Verfaren der konjugierten Gradienten). Sei x an X eine Anfangsnäerung für eine Lösung von (1.1) und fest gewält. Mit einer angemessenen Wal von r (siee dazu Kapitel 4 und 5) ist dann x r = (I g r (A A )A A )P x an + g r (A A )A y ǫ (1.3) (ier ist A = Q AP : X Y ) eine Näerung der Lösung x von (1.1), die am näcsten bei x an liegt. Da fest gewält ist, aben wir auf Indizierung von x r mit verzictet. Man siet leict, daß x r X für alle r 0. Wir wollen Verfaren (1.3) noc kurz für den Fall x an = 0 erläutern, one dabei jedoc zu exakt zu werden. Dazu bezeicnen wir 2

7 mit B + die verallgemeinerte Inverse für ein beliebiges B L s (X, Y ), näeres ierzu findet man zum Beispiel in Louis[21]. Gleicung (1.3) wird für x an = 0 zu x r = g r (A A )A y ǫ. Wenn nun g r (A A ) (A A ) + (r ) punktweise (dies wird sic scließlic aus den im folgenden Kapitel angegebenen Bedingungen (2.1) und (2.2) an g r ergeben), so folgt g r (A A )A (A A ) + A = A+ (r ) punktweise. Für große Parameter r wird x r also A + y ǫ approximieren, falls y ǫ im Definitionsbereic von A + liegt (was sicer immer dann der Fall ist, wenn P oder Q eine endlic-dimensionale Projektion ist). Selbst im Fall y = y ǫ kann nun aber A + y ǫ eine sclecte Näerung für die Lösung x der Gleicung (1.1) mit minimaler Norm sein, was dann an der durcgefürten Diskretisierung liegt, siee Seidman[35]. Daer darf im allgemeinen der Parameter r nict zu groß gewält werden. Natürlic aber auc nict zu klein; wie er nun gewält werden soll, darum get es in dieser Arbeit. Wir fassen nun zusammen, was in den einzelnen Kapiteln beandelt wird. In Kapitel 2 werden lineare Verfaren zur Lösung von (1.1) vorgestellt. In Kapitel 3 werden Resultate über gebrocene Potenzen von positiven selbstadjungierten Operatoren geliefert, die für die Beweise von Konvergenz bezieungsweise Konvergenzraten benötigt werden. In Kapitel 4 sclagen wir sowol eine a priori- als auc eine a posteriori-parameterwal für lineare Verfaren vor. Letztere ist vergleicbar mit dem Diskrepanzprinzip von Ivanov-Morozov (Ivanov[13], Morozov[22]): mit einer Konstanten d > 1 und für festes wäle man r so, daß A x r Q y ǫ = dǫ gilt. Wir werden allerdings eine weitere Bedingung an den Parameter r stellen. Für eine vergleicbare Parameterwal beim nictlinearen Verfaren der konjugierten Gradienten (g r in (1.4) ängt von A, x an und y ǫ ab) werden in Kapitel 5 Konvergenzraten bewiesen. Gilt für A L s (X), das eißt, A : X X ist ein bescränkter linearer Operator, außerdem A = A 0, das eißt, A ist nictnegativ und selbstadjungiert, so lassen sic obige Verfaren (mit weniger Aufwand) auf die Gleicung P AP x = P y ǫ anwenden. In Kapitel 6 werden für eine Kapitel 4 und 5 analoge Parameterwal Konvergenz- 3

8 raten angeben, wenn die gesucte Lösung in einem gewissen Sinne glatt ist. Die teoretiscen Ergebnisse werden in Kapitel 7 numerisc illustriert. Scließlic geen wir in Kapitel 8 auf die Optimalität von Verfaren ein und eralten nebenbei auc als Ergebnis, daß das Verfaren der konjugierten Gradienten mit dem in Kapitel 5 angegeben Abbruckriterium bei genügend feiner Diskretisierung zu einem Regularisierungsverfaren wird. Es soll abscließend nict unerwänt bleiben, daß die folgenden Betractungen auc den klassiscen Fall A = A entalten, für den die Ergebnisse der Kapitel 4, 5 und 6 bekannt sind (Vainikko[38], Vainikko und Veretennikov[42], Nemirovskii[25], Louis[21]). Ic möcte Herrn Professor Dr. Louis erzlic danken für den Anstoß zu dieser Arbeit. Weiterin gilt mein Dank Herrn Professor Dr. Vainikko für die Zusammenarbeit wärend seines Aufentaltes in Kaiserslautern Anfang 1989, one die diese Arbeit in dieser Form nict entstanden wäre. 4

9 2 Lineare Verfaren zur Lösung sclect gestellter Probleme 2.1 Ein allgemeiner Zugang Wie in der Einleitung angedeutet wollen wir zur Lösung von (1.1) lineare Verfaren erzeugen durc borelmeßbare Funktionen g r : [0, a] IR, r 0, A 2 a. An diese Funktionen g r stellen wir die folgenden Bedingungen: sup t p 1 tg r (t) γ p r p, r > 0, 0 p p 0, (2.1) 0 t a t gr (t) γ r 1 2, r 0, (2.2) sup 0 t a wobei p 0 > 0, γ p und γ Konstanten sind. Sei x an X eine Anfangsnäerung und x die (eindeutig bestimmte) Lösung von (1.1), welce den geringsten Abstand zu x an at. x ist carakterisiert durc die Bedingung Ax = y, x x an N(A) oder auc durc die Bedingung x = x + P N(A) x an, wobei ier x die Lösung von (1.1) mit minimaler Norm ist. Seien nun für > 0 ortogonale Projektionen P und Q in X bezieungsweise Y gegeben. Wir setzen A = Q AP : X Y und nemen für den Rest dieses Kapitels als fest gewält an. Daer werden in diesem Kapitel neu eingefürte Variablen nict mit indiziert. Weiterin sei y ǫ Y mit Ax y ǫ ǫ fest gewält. Mit einer angemessenen Parameterwal r (siee dazu Kapitel 4 und 5) ist eine Approximation an x gegeben durc x r = (I g r (A A )A A )P x an + g r (A A )A y ǫ, (2.3) Bei festem r ist für P x an 0 also x r nur affin-linear in Abängigkeit von y ǫ. Wir werden trotzdem von linearen Verfaren sprecen. Die Bedingungen (2.1) und (2.2) an g r garantieren die Woldefinierteit von x r. Mer zu den Folgerungen aus den Bedingungen (2.1) und (2.2) in Abscnitt 4. 5

10 2.2 Beispiele 1. Die Metode von Tikonov: Bei diesem auf A. N. Tikonov (siee [36], aber auc Pillips[27]) zurückgeenden Verfaren ist die Lösung x r der Gleicung (A A + r 1 I)x = A y ǫ (2.4) zu bestimmen. Die Metode ist von der Form (2.3) mit x an = 0 und g r (t) = (t+r 1 ) 1, r > 0. Die Bedingungen (2.1) und (2.2) sind erfüllt mit p 0 = 1, γ p = p p (1 p) 1 p (0 < p 1) und γ = 1 2 (Vainikko und Veretennikov[42]). Eine Verallgemeinerung der Metode von Tikonov ist das folgende Verfaren. 2. Die verallgemeinerte Metode von Tikonov: Sei q 1 2. Hier ist im Falle q 0 die Lösung x r der Gleicung ((A A ) q+1 + r q 1 I)x = (A A ) q A y ǫ (2.5) zu bestimmen, im Falle q < 0 ist die Lösung x r der Gleicung (A A + r q 1 (A A ) q )x = A y ǫ zu bestimmen. Die Metode ist von der Form (2.3) mit x an = 0 und g r (t) = t q /(t q+1 +r q 1 ), r > 0. Die Bedingungen (2.1) und (2.2) sind erfüllt mit p 0 = q + 1, γ = q+1/2 (2q+1) q+1 2q+2 und γ p = (p/(q+1)) (p/(q+1)) ((q+1 p)/(q+1)) (q+1 p)/(q+1) (0 < p q+1). 3. Die Metode der sukzessiven Approximation (Explizites Verfaren): Sei 0 < µ < 2 a. Dieser von L. Landweber (siee [20]) stammende Algoritmus ist gegeben durc x 0 = P x an, x r = (I µa A )x r 1 + µa y ǫ, r = 1, 2,... (2.6) Die Metode ist von der Form (2.3) mit g r (t) = 1 t [1 (1 µt)r ], t 0. Die Bedingungen (2.1) und (2.2) sind erfüllt (siee Vainikko und Veretennikov[42]) für jedes p 0 > 0 mit γ = 1 2 und γ p = max{ µp p, a p sup 1 µa r r p } (0 < p). r 1 6

11 4. Implizites Verfaren: Sei 0 < µ konstant. Dieser Algoritmus ist gegeben durc x 0 = P x an, (A A + µi)x r = µx r 1 + A y ǫ, r = 1, 2,... (2.7) Die Metode ist von der Form (2.3) mit g r (t) = 1 t [1 ( µ µ+t )r ], t 0. Die Bedingungen (2.1) und (2.2) sind erfüllt (siee wieder Vainikko und Veretennikov[42]) für jedes p 0 > 0 mit γ = µ 1 2 und γ p = (pµ) p. Andere durc Funktionen (g r ) r 0 erzeugte lineare Verfaren sind in Vainikko[38], Vainikko[39], Vainikko und Veretennikov[42] oder Louis[21] zu finden. Es soll nun die Matrixdarstellung der vier ier vorgestellten Verfaren angegeben werden. 2.3 Die Matrixdarstellung der einzelnen Verfaren Sei die Familie A = (Φ 1, Φ 2,..., Φ n ) von Vektoren aus X eine Basis von R(P ) =: X. Weiter sei die Familie von Vektoren B = (Ψ 1, Ψ 2,..., Ψ m ) aus Y eine Basis von R(Q ) =: Y. Wir definieren G Φ = (< Φ i, Φ j >) i,j=1,...,n, G Ψ = (< Ψ i, Ψ j >) i,j=1,...,m, B = (< Ψ i, AΦ j >) i=1,...,m, j=1,...,n, z = (< Ψ i, y ǫ >) i=1,...,m. (2.8) Es ist dann, wie einige kleinere Recnungen zeigen, G 1 Ψ B die der linearen Abbildung A bezüglic der Basen A und B zugeordnete Matrix, wenn man A als Abbildung von X nac Y auffaßt. Analoges gilt für G 1 Φ BT und A. Dies beides ist im folgenden kommutativen Diagramm dargestellt. Wir definieren dazu die beiden Abbildungen Φ : IR n X, α n k=1 α kφ k und Ψ : IR m Y, α m k=1 α kψ k. 7

12 A A X Y X Φ Ψ Φ IR n IR m IR n G 1 Ψ B G 1 Φ BT Wir betonen, daß die Matrix G 1 Φ BT G 1 Ψ B, die A A repräsentiert, nict notwendigerweise selbstadjungiert ist. Daer mact der Ausdruck g r (G 1 B) im allgemeinen keinen Sinn. Allerdings wird Φ BT G 1 Ψ der Operator p(a A ) durc die Matrix p(g 1 B) repräsentiert für jedes Polynom p und so sind die folgenden Aussagen (g r ist in den ier angegeben Beispielen immer rational) leict einzuseen. Zunäcst betracten wir die Metode von Tikonov. Die Lösung von x r der zugeörigen Gleicung (2.4) kann in der Form Φ BT G 1 Ψ x r = n c j Φ j (2.9) j=1 dargestellt werden. Einige elementare Recnungen zeigen, daß (2.4) und (2.9) äquivalent sind zu dem folgenden Gleicungssystem zur Bestimmung von c = (c j ) j=1,...,n : (B T G 1 Ψ B + r 1 G Φ )c = B T G 1 Ψ z. (2.10) Die auf der linken Seite des letzten Gleicungssystems steende Matrix ist symmetrisc und positiv definit, daer kann man zur Lösung dieses Gleicungssystems das Coleskyverfaren verwenden. Bei der verallgemeinerten Metode von Tikonov entstet mit der nictnegativen ganzen Zal q das lineare Gleicungssystem (B T G 1 Ψ B(G 1 Φ BT G 1 Ψ B)q +r 1 G Φ )c = G Φ (G 1 Φ BT G 1 Ψ B)q G 1 Φ BT G 1 Ψ z. Bei der Metode der sukzessiven Approximation (2.6) und dem impliziten Scema (2.7) kann, da alle Iterierten in X liegen, x r wiederum 8

13 in der Form x r = n c r jφ j (2.11) j=1 dargestellt werden. Einige elementare Recnungen zeigen, daß (2.6) (bezieungsweise (2.7)) und (2.11) äquivalent ist zu dem Iterationsverfaren (2.12) (bezieungsweise (2.13)) zur Bestimmung von c r = (c r j ) j=1,...,n, r = 1, 2,... : c r = c r 1 µ(gφ 1 G 1 Ψ Bcr 1 G 1 Φ BT G 1 Ψ z), (2.12) (B T G 1 Ψ B + µg Φ)c r = µg Φ c r 1 + B T G 1 Ψ z. (2.13) In beiden Fällen ist c 0 = G 1 Φ ((< Φ j, x an >) j=1,...,n ). Wir möcten noc eines betonen: In allen Fällen werden die einzelnen Verfaren auf die Gleicung G 1 Φ BT G 1 Ψ Bc = G 1 Φ BT G 1 Ψ z angewendet werden (dies ist die Matrixversion für die Gleicung A A x = A y ǫ, wenn c die Koordinaten von x sind) und nict auf die äquivalente Gleicung B T Bc = B T z. Diese letzte Gleicung erält man durc Anwendung eines Projektionsverfarens auf Ax = y ǫ und anscließender Normalisierung. Was die Diskretisierung anget, so möcten wir noc zwei Spezialfälle erwänen. Wir betracten zunäcst (wegen des folgenden Begriffs siee Natterer[24]) die Felerquadratmetode. Sei dazu P eine beliebige Ortogonalprojektion in X, so daß R(P ) endlice Dimension at, und sei Q die ortogonale Projektion auf A(R(P )). Weiterin sei (Φ j ) j eine Basis von R(P ) und Ψ j = AΦ j. Wir verlangen ier nict, daß (Ψ j ) j eine Basis von R(Q ) ist. Wegen B = G Ψ lassen sic die Algoritmen ier in einer einfaceren Form darstellen. Im übrigen ätte man wegen A = AP anstelle von Q auc den Eineitsoperator I nemen können, es würden sic die gleicen Matrizen ergeben. Wir werden später jedoc auc den Defekt A x r Q y ǫ berecnen müssen, und da wir daran interessiert sind, daß sic alle Vorgänge in endlicdimensionalen Unterräumen abspielen, aben wir Q so und nict anders gewält. 9

14 Auc bei der dualen Felerquadratmetode lassen sic die Verfaren in einer einfaceren Form darstellen. Hier ist Q eine beliebige Ortogonalprojektion in Y, so daß R(Q ) endlice Dimension at. Sei P die ortogonale Projektion auf A (R(Q )). (Wenn x an = 0, so kann man auc P = I wälen, es läuft auf das Gleice inaus.) Weiterin sei (Ψ j ) j eine Basis von R(Q ). Die einzelnen Gleicungen lassen sic auc ier knapper fassen. Es ist B = G Ψ, wobei in (2.8) Φ j = A Ψ j zu wälen ist. Wir benötigen noc Ergebnisse über gebrocene Potenzen von selbstadjungierten nictnegativen Operatoren, um die ersten Konvergenzresultate für die in diesem Kapitel angegebenen Verfaren beweisen zu können. Diese werden in dem nun folgenden Kapitel bereitgestellt. 10

15 3 Einige Resultate über gebrocene Potenzen von selbstadjungierten nictnegativen Operatoren Die Lemmata in diesem Abscnitt werden in den Kapiteln 4 bis 6 benötigt. Das erste Lemma kann man in änlicer Form in Gfrerer[9] und in King und Neubauer[18] finden, wir liefern ier einen kürzeren Beweis. Dazu benötigen wir die folgende, zum Beispiel in Louis[21] zu findende Interpolationsungleicung: Für x X, p und α positiv gilt A p x A p+α x p p+α x α p+α. (3.1) Hierbei ist A die positive Quadratwurzel von A A, das eißt, es gilt A = (A A) 1 2. Lemma 3.1 Sei p > 0, A L s (X, Y ) und P L s (X) eine ortogonale Projektion. Sei weiter b p = 1 für p 1 und b p = A p 1 für p > 1. Dann gilt P A p b p AP min{p,1}. Beweis. a) Da A und P selbstadjungiert sind, gilt P A = (P A ) = A P = A P = AP. Letzteres folgt, da Ax = A x für alle x X gilt. Für p = 1 ist die Beauptung daer gezeigt. b) Sei nun p > 1. Dann gilt P A p P A A p 1 = A p 1 AP. Also ist die Beauptung auc für p > 1 gezeigt. c) Sei scließlic p < 1: Wegen P A p = A p P folgt mit der Momentenungleicung (3.1) für x X A p Px A Px p Px 1 p = APx p Px 1 p = AP 2 x p Px 1 p AP p Px. Damit ist alles gezeigt. Lemma 3.1 ist nict zu verscärfen (man betracte die Aussage für die triviale ortogonale Projektion P L s (X) mit R(P) = X). 11

16 Lemma 3.2 Seien 0 < p < 2, A L s (X, Y ) und P L s (X) eine ortogonale Projektion. Dann gilt P A p P AP p 4 π A(I P) p. Beweis. Wir benötigen die folgende, in Krasnoselskii et. al.[19] zu findende Integralformel für T L s (X) mit T = T und T 0: Für 0 < α < 1 gilt T α = sin απ π 0 t α 1 (ti + T) 1 T dt. (3.2) Wir wenden diese Formel auf B = A A und B = PA AP an und eralten die Abscätzung B α PB α sin απ P t α 1 (ti +B) 1 B PB(tI +B) 1 P dt. π 0 (3.3) Nun läßt sic der Integrand der recten Seite von (3.3) mit der Gleicung (ti + B) 1 B PB(tI + B) 1 P = (ti + B) 1 P[(tI + B) (ti + B)]B(tI + B) 1 P = (ti + B) 1 PA A(I P)A A(tI + B) 1 P. (3.4) anders darstellen. Um die Norm von (3.4) abzuscätzen, verwenden wir die folgenden Ungleicungen, die man leict mit spektralteoretiscen Metoden zeigen kann: (ti + B) 1 PA 1 2 t 1/2 und A(tI + B) t 1/2, (3.5) (ti + B) 1 B 1 und (ti + B) 1 B 1, (3.6) A(I P)A A(I P) 2. (3.7) (3.5) und (3.7) implizieren (ti + B) 1 B PB(tI + B) 1 P 1 4 A(I P) 2 t 1, (3.8) mit (3.6) folgt (ti + B) 1 B PB(tI + B) 1 P 1. (3.9) 12

17 (Hierbei wurde benutzt, daß für selbstadjungierte nictnegative Operatoren S und T mit S 1 und T 1 gilt S T 1, siee Vainikko und Veretennikov[42]). Verwendet man die Abscätzung (3.9) für 0 < t < A(I P) 2 und die Abscätzung (3.8) für A(I P) 2 t <, so erält man scließlic aus (3.3) und (3.4) B α PB α sin απ P ( 1 π α + 1 ) A(I P) 2α 4(1 α) sin απ = (4 3α) A(I P) 2α 4πα(1 α) sin απ 3 sin(1 α)π = ( ) A(I P) 2α. πα(1 α) 4π(1 α) Da sinαπ πα(1 α) 4 π und sin(1 α)π π(1 α) 0, sind wir fertig. Bemerkung. G.Vainikko (siee Vainikko[38] und Vainikko und Veretennikov[42]) at folgendes bewiesen: Seien p sowie η 0 > 0, es gelte p 1. Weiter sei T : X Y ein stetiger linearer Operator. Dann gibt es ein a p > 0, so daß für alle 0 < η η 0 und alle stetigen linearen T η : X Y mit T T η η gilt T p T η p a p η min{p,1}. Für p = 1 gilt dies nict (siee ierzu Kato[17]). Für p um 1 liefern also die Lemmata 3.1 und 3.2 eine Verscärfung des eben zitierten Ergebnisses, wenn man nur spezielle Störungen zuläßt. Es folgt nämlic mit der biser üblicen Notation A p AP p = O( A AP min{p,1} ). (3.10) Es gibt noc eine weitere Klasse von Operatoren, für die eine Verscärfung des eben zitierten Ergebnisses möglic ist, wie das folgende Lemma zeigt. Dieses kann man im übrigen auc zum Beweis von (3.10) verwenden, indem man es auf A und P A P sowie auf (P A P) 2 und AP 2 anwendet. Einen Beweis dieses folgenden Lemmas findet man in Vainikko und Veretennikov[42]. 13

18 Lemma 3.3 Sei B L s (X), es gelte B = B 0. Weiter seien p > 0 und a > 0. Dann gilt für jedes B L s (X) mit B = B 0, B a, B p B p a p B B min{p,1}. Hier ist a p = 4 π, wenn p 1, und p a p ist bescränkt in (0, p 0 ] für jedes p 0 > 0. Korollar 3.4 Seien A L s (X, Y ) und p > 0. Für jede ortogonale Projektion Q L s (Y ) gilt A p QA p a p 2 (I Q)A min{p,2}. Hier ist a p = 4 π, wenn p 1, und p a p ist bescränkt in (0, p 0 ] für jedes p 0 > 0. Beweis. Dies folgt sofort mit Lemma 3.3 mit B = A A und B = A QA, da B B (I Q)A 2. Lemma 3.5 Seien A L s (X, Y ) und p > 0. Dann gilt für ortogonale Projektionen P L s (X) und Q L s (Y ) P A p QAP p c p ( A(I P) min{p,1} + (I Q)A min{p,2} ). p c p ist bescränkt in (0, p 0 ] für jedes p 0 > 0. Beweis. Es gilt P A p QAP p P A p AP p + AP p QAP p. Die beiden Summanden auf der recten Seite der letzten Gleicung lassen sic leict weiter abscätzen. Zum einen eralten wir mit Korollar 3.4, angewendet auf AP anstelle von A, die Ungleicung AP p QAP p a p (I Q)A min{p,2}. Zum anderen erält man 2 mit den Lemma 3.1 und 3.2 für den Fall p 2 Wenn p > 2, so gilt P A p AP p = O( A(I P) min{p,1} ). P A p AP p = P A ( A p 1 AP p 1 ) + (P A AP ) AP p 1 14

19 und wieder mit Lemma 3.1 und Lemma 3.2 sowie vollständiger Induktion eralten wir eine ausreicende Abscätzung. Mit Lemma 3.1 und Lemma 3.5 erält man das folgende Korollar. Korollar 3.6 Seien A L s (X, Y ) und p > 0. Dann gilt für ortogonale Projektionen P L s (X) und Q L s (Y ) A p QAP p c p ( A(I P) min{p,1} + (I Q)A min{p,2} ). p c p ist bescränkt in (0, p 0 ] für jedes p 0 > 0. 4 Parameterwal für lineare Verfaren In diesem Kapitel werden wir eine Wal des Parameters r in Abängigkeit der Diskretisierung und des Datenfelers für die in Kapitel 2 eingefürten linearen Verfaren angegeben. Die angegebenen Ergebnisse sind teilweise in Plato[29] (dort mit einer anderen Beweistecnik als der in diesem Kapitel verwendeten) und in Plato und Vainikko[30] zu finden. Zunäcst ein paar Vorbemerkungen, die man leict mit spektralteoretiscen Metoden beweisen kann. Ausgeend von den Definitionen und Annamen der Einleitung und unter der Voraussetzung, daß die Funktionen g r die Bedingungen (2.1) und (2.2) erfüllen, definieren wir S,r = I g r (A A )A A, (4.1) R,r = S,r P x an + g r (A A )A. (4.2) Dann ist S,r : X X ein bescränkter linearer Operator mit (siee (2.1)) S,r A p γ p 2 r p 2, 0 < p 2p0, r > 0, (4.3) und R,r : Y X ist der affin-lineare Approximationsoperator. Weiter ist (siee (2.2)) g r (A A )A : Y X ein bescränkter linearer Operator mit g r (A A )A = g r(a A ) A, es gilt g r (A A )A γ r 1 2, r > 0. (4.4) 15

20 Die letzte Ungleicung können wir verwenden, um x R,r y ǫ abzuscätzen. Zunäcst gilt x R,r y ǫ = S,r P (x x an )+g r (A A )A (AP x y ǫ )+(I P )x. (4.5) Wir setzen nun wieder A(I P ) ξ voraus. Mit Ungleicung (4.4) und Gleicung (4.5) folgt dann x R,r y ǫ S,r P (x x an ) + γ r 1 2 (ξ (I P )x + ǫ) + (I P )x. (4.6) Diese Abscätzung ist ganz wesentlic bei dem Beweis der folgenden beiden Sätze. Wir beginnen mit dem Fall der a priori-parameterwal. Zuvor jedoc noc die Definition 4.1 Sei A L s (X, Y ). Wir setzen für p 0 und ρ 0 M p,ρ := { A p z : z X, z ρ}. 4.1 A priori-parameterwal Der erste Teil des folgenden Satzes liefert ein Konvergenzresultat. Im zweiten Teil geben wir Konvergenzraten an für Lösungen des Problems Ax = y, die in einem gewissen Sinne glatt sind. Satz 4.2 Sei A L s (X, Y ), A 2 a. Weiter sei y R(A), x an X und x die Lösung von Ax = y, die am näcsten bei x an liegt. Seien P L s (X) und Q L s (Y ) ortogonale Projektionen und A = Q AP. Es gelte A(I P ) ξ und (I Q )A η. Weiter seien die Bedingungen (2.1) und (2.2) gültig und R,r wie in (4.2) definiert. 1. (Konvergenz) Wenn P I punktweise, ξ 0, η 0 ( 0) und so gilt r 1/2 (,ǫ) ǫ 0, r1/2 (,ǫ) ξ C und r (,ǫ) ( 0, ǫ 0), sup x R,r(,ǫ) y ǫ 0 ( 0, ǫ 0). y ǫ Y, y y ǫ ǫ 16

21 2. (Konvergenzordnung) Wenn 0 < p 2p 0, x x an M p,ρ, x M p,ρ und C 1 (( ǫ ρ ) 1 p+1 + ξ ) r 1/2 C 2 (( ǫ ρ ) 1 p+1 + ξ min{ 1 p,1} ) mit positiven Konstanten C 1, C 2, so folgt x R,r y ǫ e p ((ρǫ p ) 1 min{p,1} p+1 + ρ(ξ + η min{p,2} )). e p ist unabängig von ǫ, und ρ. p e p ist bescränkt in (0, p 1 ] für jedes endlice p 1 > 0. Bemerkung. Mit der Screibweise r (,ǫ) ( 0, ǫ 0) in Satz 4.2 ist folgendes gemeint: Für jede Folge ( n, ǫ n ) n IN mit n 0, ǫ n 0, n + ǫ n 0 (n IN) und n + ǫ n 0 (n ) gilt r (n,ǫ n ) (n ). Genauso sind vergleicbare Screibweisen für Konvergenz im Hilbertraum X zu interpretieren. Beweis von Satz Wegen der Abscätzung (4.6) ist Konvergenz scon bewiesen, wenn S,r(,ǫ) P (x x an ) 0 ( 0, ǫ 0) (4.7) gezeigt ist. Nun, wegen (4.3) ist S,r P γ 0, die Familie (S,r P ),r ist also gleicmäßig bescränkt. Weiter gilt wieder wegen (4.3) und Lemma 3.5 (mit p := min{2p 0, 1}) S,r P A p S,r A p + S,r P ( A p A p ) γ p pr γ0 c p (ξ p + ηp ) 0 (r, 0). Jetzt folgt aber scon (4.7) wegen x x an N(A) = N( A p ) = R( A p ) mit Hilfe des Satzes von Banac-Steinaus. 2. Um die Felerabscätzung zu beweisen, müssen wir (siee wieder Ungleicung (4.6)) wegen r 1 2 ξ C 1 1, r 1 2 ǫ C 1 1 (ρǫp ) 1 (I P )x b p ρξ min{p,1} abscätzen. Nun, mit Lemma 3.5 und (4.3) folgt S,r P (x x an ) S,r P A p ρ p+1 und (Lemma 3.1) nur noc S,r P (x x an ) ( S,r A p + γ 0 P A p A p )ρ (γ p 2 r p 2 + γ0 c p (ξ min{p,1} 17 + η min{p,2} ))ρ. (4.8)

22 Jetzt ist die zweite Aussage des Satzes eine leicte Konsequenz aus der Parameterwal. Bemerkung 1. Liegt der Startvektor x an in N(A) (wenn also zum Beispiel x an = 0), so gilt x N(A), im ersten Teil des Satzes muß dann nur P I punktweise auf N(A) verlangt werden, man muß also nict im Nullraum von A diskretisieren. 2. Es ist durcaus möglic, daß neben (I P )A ξ auc noc (I P )A A ξ 2 gilt. Dann ergibt sic unter den Voraussetzungen des Satzes 4.2 Teil 2 die Felerabscätzung x R,r y ǫ e p ((ρǫ p ) 1 min{p,2} p+1 + ρ(ξ + η min{p,2} )). Dies liegt daran, daß sic unter diesen Voraussetzungen die Lemmata in Kapitel 3 verscärfen lassen. 3. Bei Verwendung der Felerquadratmetode ( ier ist R(Q ) = A(R(P )) ) ergibt sic mit der gleicen Beweistecnik unter den Voraussetzungen des Satzes 4.2 Teil 2 die Felerabscätzung x R,r y ǫ e p ((ρǫ p ) 1 p+1 + ρξ min{p,1} ). Dies liegt an Q AP = AP. 4. Änlices läßt sic bei Verwendung der dualen Felerquadratmetode (R(P ) = A (R(Q ))) sagen. Hier ergibt sic unter den Voraussetzungen des Satzes 4.2 Teil 2 mit der gleicen Beweistecnik die Felerabscätzung x R,r y ǫ e p ((ρǫ p ) 1 p+1 + ρη min{p,2} ). Dies liegt an Q AP = Q A und an (I P )A A η Es ist eine angemessene Diskretisierung in Abängigkeit der bekannten Felerscranke ǫ zu wälen. Ist keine Informationen über die Glatteit von x und x x an bekannt, so ist eine Wal von ǫ, so daß ξ ǫ + η ǫ ǫ gilt, vernünftig. Mit R ǫ = R ǫ,r ǫ eralten wir dann ein Regularisierungsverfaren im Sinne der Definition 1.1. Wenn jedoc die Bedingungen des zweiten Teils von Satz 4.2 erfüllt sind mit bekanntem p und ρ, so sollte man am so wälen, daß ξ min{p,1} + ( ǫ ρ ) p p+1. η min{p,2} 18

23 4.2 A posteriori-parameterwal Wir sclagen die folgenden beiden Diskrepanzprinzipien vor. Dazu nemen wir an, daß die Bedingungen des Satzes 4.2 erfüllt sind. Sei > 0 fest gewält. Regel 1. Sei 1 < d 1 d Wenn A x an Q y ǫ d 2 ǫ, so wäle r = 0, das eißt, man neme P x an als Näerung. 2. Sei nun A x an Q y ǫ > d 2 ǫ. a) Wäle 0 < r ξ 2 =: r max, so daß d 1 ǫ (I A R,r )Q y ǫ, (4.9) d 2 ǫ (I A R,r )Q y ǫ. (4.10) b) Gibt es kein r r max, so daß (4.10) gilt, so wäle r = r max. Wir wollen noc kurz auf die bei der Parameterwal (durc die im übrigen r nict eindeutig festgelegt ist, was aber nicts mact) so wictige Defektfunktion def: IR + IR +, r (I A R,r )Q y ǫ eingeen. Wegen (2.1) gilt def(0) = A x an Q y ǫ. Sei r 1 tg r (t) eine monoton fallende Funktion für alle t 0. Dann ist auc die Defektfunktion eine monoton fallende Funktion in r, was mit spektralteoretiscen Metoden gezeigt werden kann. Ist weiterin r 1 tg r (t) stetig, so ist auc die Defektfunktion eine stetige Funktion. Diese beiden Eigenscaften aben zum Beispiel die zur Metode von Tikonov oder allgemeiner die zur verallgemeinerten Metode von Tikonov geörenden Funktionen (g r ) r 0. Wenn also def(r max ) d 2 ǫ, so gibt es auc wirklic ein r 0, so daß (4.9) und (4.10) gilt. Weiter ist das Veralten von def(r) für r interessant. Dazu eine kleine Vorbemerkung. Mit (2.1) und mit dem Satz von Banac- Steinaus folgt (wie eine änlice Aussage im Beweis von Satz 4.2) für jedes selbstadjungierte nictnegative B L s (Y ) und y Y (I g r (B)B)y P N(B) y, r. 19

24 Mit Lemma 3.1 ergibt sic wegen N(A A ) = N(A ) = R(A ) lim def(r) = lim (I g r(a A )A A )Q y ǫ r r = P N(A A ) Q y ǫ = P R(A ) Q y ǫ = dist(q y ǫ, R(A )) ǫ + c p ξ min{p,1}+1. Damit ist diese Parameterwal praktikabel auc im Fall ξ = 0. (An dieser Stelle sei nocmals an die duale Felerquadratmetode erinnert, die zum Ende des Abscnitts 2.3 vorgestellt wurde.) Für lineare Iterationsverfaren (unter praktiscen Gesictspunkten nict nur für iterative Verfaren, sondern auc für die Metode von Tikonov) ist das folgende Abbruckriterium interessant. Die Parameter r und s können dort eingescränkt sein auf die Menge der nictnegativen ganzen Zalen. Regel 2. Seien 1 < d, 0 < θ < 1 und k > Wenn A x an Q y ǫ dǫ, so wäle r = 0, das eißt, man neme P x an als Näerung. 2. Sei nun A x an Q y ǫ > dǫ. a) Wäle 0 < r ξ 2 := r max so, daß dǫ (I A R,r )Q y ǫ. (4.11) und weiter folgendes gilt: r k oder es gibt ein s [θr, r] mit dǫ (I A R,s )Q y ǫ, (4.12) b) Wenn es kein r r max gibt, so daß (4.11) gilt, so wäle r = r max oder r = [r max ] + 1. Hier bezeicnen wir mit [x] die eindeutig bestimmte ganze Zal mit [x] x < [x] + 1. Die Falluntersceidung r k oder es gibt ein s [θr, r] mit... ist aus folgenden Grunde gemact worden: Es ist bei Iterationsverfaren durcaus möglic, daß der Defekt für die 0-te Iterierte oberalb der Scranke dǫ, der Defekt für die 1-te Iterierte aber scon unteralb dieser Scranke liegt, das eißt, es gilt (I A R,0 )Q y ǫ = A x an 20

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