Über die Diskretisierung und Regularisierung schlecht gestellter Probleme

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Über die Diskretisierung und Regularisierung schlecht gestellter Probleme"

Transkript

1 Über die Diskretisierung und Regularisierung sclect gestellter Probleme von Dipl. Mat. Robert Plato Vom Facbereic Matematik der Tecniscen Universität Berlin genemigte Dissertation zur Erlangung des akademiscen Grades Doktor der Naturwissenscaften Berlin 1990 D 83

2 Über die Diskretisierung und Regularisierung sclect gestellter Probleme von Dipl. Mat. Robert Plato Vom Facbereic Matematik der Tecniscen Universität Berlin genemigte Dissertation zur Erlangung des akademiscen Grades Doktor der Naturwissenscaften Promotionsausscuß: Vorsitzender: Prof. Dr. D. Ferus Bericter: Prof. Dr. A. K. Louis Prof. Dr. H. Brakage Tag der wissenscaftlicen Aussprace: Berlin 1990 D 83

3 Abstract Seien X und Y Hilberträume und A : X Y ein bescränkter linearer Operator mit nictabgesclossenem Bildbereic R(A) sowie y R(A). Zur Lösung des Problems (1) Ax = y kann man Projektionsverfaren verwenden. Seien dazu X X und Y Y lineare Unterräume mit endlicer Dimension. Man erält dann die Petrov- Galerkin-Gleicung (2) A x = y. Selbst wenn y in Gleicung (1) genau bekannt ist, muß eine Lösung x von (2) nict eine gute Approximation einer Lösung x von (1) sein. In dieser Arbeit wird für einige Verfaren (etwa die Metode von Tikonov, das Verfaren von Landweber bezieungsweise die Metode der konjugierten Gradienten), die sonst zur Lösung der Gleicung (2) gedact sind, eine geeignete Parameterwal angegeben (bei den beiden Iterationsverfaren ist damit ein Abbruckriterium gemeint), so daß man eine gute Näerung für x erält. Dabei werden auc gestörte Daten auf der recten Seite der Gleicung (1) zugelassen. Für diese, dem Diskrepanzprinzip von Ivanov-Morozov vergleicbare Parameterwal wird Konvergenz bewiesen. Grob formuliert eißt dies, daß bei feinerer Diskretisierung und mit besseren Näerungen an die recte Seite y der Gleicung (1) die angegebenen Verfaren mit dieser Parameterwal bessere Approximationen an x liefern. Mitilfe einiger Resultate über gebrocene Potenzen von nictnegativen selbstadjungierten Operatoren lassen sic scließlic auc Konvergenzraten nacweisen.

4 Inaltsverzeicnis 1. Einleitung Seite 1 2. Lineare Verfaren zur Lösung sclect gestellter Probleme Seite Ein allgemeiner Zugang Seite Beispiele Seite Die Matrixdarstellung der einzelnen Verfaren Seite 7 3. Einige Resultate über gebrocene Potenzen von nictnegativen selbstadjungierten Operatoren Seite Parameterwal bei linearen Verfaren Seite A priori-parameterwal Seite A posteriori-parameterwal Seite Die Metode der konjugierten Gradienten Seite Eine Einfürung Seite Der Beweis des Satzes 5.2 Seite Der Fall A = A 0 Seite Lineare Verfaren Seite Die Metode der konjugierten Gradienten Seite Numerisce Realisierungen Seite Über die Optimalität von Regularisierungsverfaren Seite Eine Einfürung Seite Das Hauptresultat Seite 60 Literaturverzeicnis Seite 65

5 1 Einleitung Seien X und Y Hilberträume über IR. Mit <, > werden wir das Skalarprodukt in X bezieungsweise Y bezeicnen, mit ist je nac Gebrauc die induzierte Norm in den Räumen X, Y oder L s (X, Y ) = {A : X Y : A ist ein bescränkter linearer Operator} gemeint. Sei nun A L s (X, Y ). Wir betracten die Gleicung Ax = y, y R(A). (1.1) Hier ist R(A) = {Ax : x X}. Wir nemen nun an, daß nur eine Näerung y ǫ Y für y bekannt ist mit y y ǫ ǫ, wobei ǫ > 0 eine bekannte Felerscranke ist. Wir sucen nac Verfaren R ǫ : Y X, die für eine gegebene Anfangsnäerung x an X eine gute Approximation R ǫ y ǫ an die Lösung x X von (1.1) liefern, die am näcsten bei x an liegt. Genauer gesagt, wir sucen nac Regularisierungsverfaren im folgenden Sinne. Definition 1.1 Seien A L s (X, Y ), x an X und R ǫ : Y X, ǫ > 0, gegeben. (R ǫ ) ǫ>0 eißt Regularisierungsverfaren für A (bezüglic x an ), falls sup x R ǫ y ǫ 0 (ǫ 0) y ǫ Y, Ax y ǫ ǫ für jedes x X mit x x an N(A) gilt. Für injektives A stimmt diese Definition mit der in Tikonov and Arsenin[37] überein, da es dann in Definition 1.1 nict von x an abängt, ob (R ǫ ) ǫ>0 ein Regularisierungsverfaren ist. Zur Angabe eines Lösungsverfarens muß das Problem zunäcst diskretisiert werden. Wir bescränken uns ierbei auf Projektionsverfaren. Sei dazu für > 0 (damit ist in der Regel die Scrittweite der Diskretisierung gemeint) P bezieungsweise Q eine ortogonale Projektion in X bezieungsweise Y. Im folgenden nemen wir an, daß A(I P ) 0, (I Q )A 0 ( 0). (1.2) 1

6 Hier bezeicnet I die identisce Abbildung in X bezieungsweise Y sowie A den zu A konjugierten Operator. Wir werden diese und die anderen einmal erklärten Bezeicnungen auc im folgenden verwenden. Wenn R(P ) und R(Q ) endlic-dimensional sind (dies ist auc der uns zumeist interessierende Fall), so ist für Bedingung (1.2) notwendig und inreicend, daß (siee Anselone[1], Proposition 1.8) A ein kompakter Operator ist, daß P I ( 0) punktweise auf R(A ) und daß Q I ( 0) punktweise auf R(A). Nun kann man zum Beispiel die Scrittweite ǫ in Abängigkeit von ǫ wälen (das eißt, nict zu fein und nict zu grob diskretisieren) und die Lösung x ǫ R(P ǫ ) der Gleicung Q ǫ Ax ǫ = Q ǫ y ǫ (für den Moment nemen wir an, daß diese existiert und eindeutig bestimmt ist) als Approximation der Lösung x von (1.1) nemen (siee Natterer[24], Hämarik[12], Vainikko und Hämarik[41] oder Louis[21]). Bei geeigneter Wal von ǫ ist dann durc R ǫ y ǫ = x ǫ ein Regularisierungsverfaren (bezüglic x an = 0) definiert. Besser ist es jedoc, eer zu fein zu diskretisieren und Verfaren zu verwenden, die erzeugt werden durc borelmeßbare Funktionen g r : [0, a] IR, (r 0, A 2 a) mit gewissen Eigenscaften (siee Kapitel 2 für die linearen Verfaren und Kapitel 5 für das Verfaren der konjugierten Gradienten). Sei x an X eine Anfangsnäerung für eine Lösung von (1.1) und fest gewält. Mit einer angemessenen Wal von r (siee dazu Kapitel 4 und 5) ist dann x r = (I g r (A A )A A )P x an + g r (A A )A y ǫ (1.3) (ier ist A = Q AP : X Y ) eine Näerung der Lösung x von (1.1), die am näcsten bei x an liegt. Da fest gewält ist, aben wir auf Indizierung von x r mit verzictet. Man siet leict, daß x r X für alle r 0. Wir wollen Verfaren (1.3) noc kurz für den Fall x an = 0 erläutern, one dabei jedoc zu exakt zu werden. Dazu bezeicnen wir 2

7 mit B + die verallgemeinerte Inverse für ein beliebiges B L s (X, Y ), näeres ierzu findet man zum Beispiel in Louis[21]. Gleicung (1.3) wird für x an = 0 zu x r = g r (A A )A y ǫ. Wenn nun g r (A A ) (A A ) + (r ) punktweise (dies wird sic scließlic aus den im folgenden Kapitel angegebenen Bedingungen (2.1) und (2.2) an g r ergeben), so folgt g r (A A )A (A A ) + A = A+ (r ) punktweise. Für große Parameter r wird x r also A + y ǫ approximieren, falls y ǫ im Definitionsbereic von A + liegt (was sicer immer dann der Fall ist, wenn P oder Q eine endlic-dimensionale Projektion ist). Selbst im Fall y = y ǫ kann nun aber A + y ǫ eine sclecte Näerung für die Lösung x der Gleicung (1.1) mit minimaler Norm sein, was dann an der durcgefürten Diskretisierung liegt, siee Seidman[35]. Daer darf im allgemeinen der Parameter r nict zu groß gewält werden. Natürlic aber auc nict zu klein; wie er nun gewält werden soll, darum get es in dieser Arbeit. Wir fassen nun zusammen, was in den einzelnen Kapiteln beandelt wird. In Kapitel 2 werden lineare Verfaren zur Lösung von (1.1) vorgestellt. In Kapitel 3 werden Resultate über gebrocene Potenzen von positiven selbstadjungierten Operatoren geliefert, die für die Beweise von Konvergenz bezieungsweise Konvergenzraten benötigt werden. In Kapitel 4 sclagen wir sowol eine a priori- als auc eine a posteriori-parameterwal für lineare Verfaren vor. Letztere ist vergleicbar mit dem Diskrepanzprinzip von Ivanov-Morozov (Ivanov[13], Morozov[22]): mit einer Konstanten d > 1 und für festes wäle man r so, daß A x r Q y ǫ = dǫ gilt. Wir werden allerdings eine weitere Bedingung an den Parameter r stellen. Für eine vergleicbare Parameterwal beim nictlinearen Verfaren der konjugierten Gradienten (g r in (1.4) ängt von A, x an und y ǫ ab) werden in Kapitel 5 Konvergenzraten bewiesen. Gilt für A L s (X), das eißt, A : X X ist ein bescränkter linearer Operator, außerdem A = A 0, das eißt, A ist nictnegativ und selbstadjungiert, so lassen sic obige Verfaren (mit weniger Aufwand) auf die Gleicung P AP x = P y ǫ anwenden. In Kapitel 6 werden für eine Kapitel 4 und 5 analoge Parameterwal Konvergenz- 3

8 raten angeben, wenn die gesucte Lösung in einem gewissen Sinne glatt ist. Die teoretiscen Ergebnisse werden in Kapitel 7 numerisc illustriert. Scließlic geen wir in Kapitel 8 auf die Optimalität von Verfaren ein und eralten nebenbei auc als Ergebnis, daß das Verfaren der konjugierten Gradienten mit dem in Kapitel 5 angegeben Abbruckriterium bei genügend feiner Diskretisierung zu einem Regularisierungsverfaren wird. Es soll abscließend nict unerwänt bleiben, daß die folgenden Betractungen auc den klassiscen Fall A = A entalten, für den die Ergebnisse der Kapitel 4, 5 und 6 bekannt sind (Vainikko[38], Vainikko und Veretennikov[42], Nemirovskii[25], Louis[21]). Ic möcte Herrn Professor Dr. Louis erzlic danken für den Anstoß zu dieser Arbeit. Weiterin gilt mein Dank Herrn Professor Dr. Vainikko für die Zusammenarbeit wärend seines Aufentaltes in Kaiserslautern Anfang 1989, one die diese Arbeit in dieser Form nict entstanden wäre. 4

9 2 Lineare Verfaren zur Lösung sclect gestellter Probleme 2.1 Ein allgemeiner Zugang Wie in der Einleitung angedeutet wollen wir zur Lösung von (1.1) lineare Verfaren erzeugen durc borelmeßbare Funktionen g r : [0, a] IR, r 0, A 2 a. An diese Funktionen g r stellen wir die folgenden Bedingungen: sup t p 1 tg r (t) γ p r p, r > 0, 0 p p 0, (2.1) 0 t a t gr (t) γ r 1 2, r 0, (2.2) sup 0 t a wobei p 0 > 0, γ p und γ Konstanten sind. Sei x an X eine Anfangsnäerung und x die (eindeutig bestimmte) Lösung von (1.1), welce den geringsten Abstand zu x an at. x ist carakterisiert durc die Bedingung Ax = y, x x an N(A) oder auc durc die Bedingung x = x + P N(A) x an, wobei ier x die Lösung von (1.1) mit minimaler Norm ist. Seien nun für > 0 ortogonale Projektionen P und Q in X bezieungsweise Y gegeben. Wir setzen A = Q AP : X Y und nemen für den Rest dieses Kapitels als fest gewält an. Daer werden in diesem Kapitel neu eingefürte Variablen nict mit indiziert. Weiterin sei y ǫ Y mit Ax y ǫ ǫ fest gewält. Mit einer angemessenen Parameterwal r (siee dazu Kapitel 4 und 5) ist eine Approximation an x gegeben durc x r = (I g r (A A )A A )P x an + g r (A A )A y ǫ, (2.3) Bei festem r ist für P x an 0 also x r nur affin-linear in Abängigkeit von y ǫ. Wir werden trotzdem von linearen Verfaren sprecen. Die Bedingungen (2.1) und (2.2) an g r garantieren die Woldefinierteit von x r. Mer zu den Folgerungen aus den Bedingungen (2.1) und (2.2) in Abscnitt 4. 5

10 2.2 Beispiele 1. Die Metode von Tikonov: Bei diesem auf A. N. Tikonov (siee [36], aber auc Pillips[27]) zurückgeenden Verfaren ist die Lösung x r der Gleicung (A A + r 1 I)x = A y ǫ (2.4) zu bestimmen. Die Metode ist von der Form (2.3) mit x an = 0 und g r (t) = (t+r 1 ) 1, r > 0. Die Bedingungen (2.1) und (2.2) sind erfüllt mit p 0 = 1, γ p = p p (1 p) 1 p (0 < p 1) und γ = 1 2 (Vainikko und Veretennikov[42]). Eine Verallgemeinerung der Metode von Tikonov ist das folgende Verfaren. 2. Die verallgemeinerte Metode von Tikonov: Sei q 1 2. Hier ist im Falle q 0 die Lösung x r der Gleicung ((A A ) q+1 + r q 1 I)x = (A A ) q A y ǫ (2.5) zu bestimmen, im Falle q < 0 ist die Lösung x r der Gleicung (A A + r q 1 (A A ) q )x = A y ǫ zu bestimmen. Die Metode ist von der Form (2.3) mit x an = 0 und g r (t) = t q /(t q+1 +r q 1 ), r > 0. Die Bedingungen (2.1) und (2.2) sind erfüllt mit p 0 = q + 1, γ = q+1/2 (2q+1) q+1 2q+2 und γ p = (p/(q+1)) (p/(q+1)) ((q+1 p)/(q+1)) (q+1 p)/(q+1) (0 < p q+1). 3. Die Metode der sukzessiven Approximation (Explizites Verfaren): Sei 0 < µ < 2 a. Dieser von L. Landweber (siee [20]) stammende Algoritmus ist gegeben durc x 0 = P x an, x r = (I µa A )x r 1 + µa y ǫ, r = 1, 2,... (2.6) Die Metode ist von der Form (2.3) mit g r (t) = 1 t [1 (1 µt)r ], t 0. Die Bedingungen (2.1) und (2.2) sind erfüllt (siee Vainikko und Veretennikov[42]) für jedes p 0 > 0 mit γ = 1 2 und γ p = max{ µp p, a p sup 1 µa r r p } (0 < p). r 1 6

11 4. Implizites Verfaren: Sei 0 < µ konstant. Dieser Algoritmus ist gegeben durc x 0 = P x an, (A A + µi)x r = µx r 1 + A y ǫ, r = 1, 2,... (2.7) Die Metode ist von der Form (2.3) mit g r (t) = 1 t [1 ( µ µ+t )r ], t 0. Die Bedingungen (2.1) und (2.2) sind erfüllt (siee wieder Vainikko und Veretennikov[42]) für jedes p 0 > 0 mit γ = µ 1 2 und γ p = (pµ) p. Andere durc Funktionen (g r ) r 0 erzeugte lineare Verfaren sind in Vainikko[38], Vainikko[39], Vainikko und Veretennikov[42] oder Louis[21] zu finden. Es soll nun die Matrixdarstellung der vier ier vorgestellten Verfaren angegeben werden. 2.3 Die Matrixdarstellung der einzelnen Verfaren Sei die Familie A = (Φ 1, Φ 2,..., Φ n ) von Vektoren aus X eine Basis von R(P ) =: X. Weiter sei die Familie von Vektoren B = (Ψ 1, Ψ 2,..., Ψ m ) aus Y eine Basis von R(Q ) =: Y. Wir definieren G Φ = (< Φ i, Φ j >) i,j=1,...,n, G Ψ = (< Ψ i, Ψ j >) i,j=1,...,m, B = (< Ψ i, AΦ j >) i=1,...,m, j=1,...,n, z = (< Ψ i, y ǫ >) i=1,...,m. (2.8) Es ist dann, wie einige kleinere Recnungen zeigen, G 1 Ψ B die der linearen Abbildung A bezüglic der Basen A und B zugeordnete Matrix, wenn man A als Abbildung von X nac Y auffaßt. Analoges gilt für G 1 Φ BT und A. Dies beides ist im folgenden kommutativen Diagramm dargestellt. Wir definieren dazu die beiden Abbildungen Φ : IR n X, α n k=1 α kφ k und Ψ : IR m Y, α m k=1 α kψ k. 7

12 A A X Y X Φ Ψ Φ IR n IR m IR n G 1 Ψ B G 1 Φ BT Wir betonen, daß die Matrix G 1 Φ BT G 1 Ψ B, die A A repräsentiert, nict notwendigerweise selbstadjungiert ist. Daer mact der Ausdruck g r (G 1 B) im allgemeinen keinen Sinn. Allerdings wird Φ BT G 1 Ψ der Operator p(a A ) durc die Matrix p(g 1 B) repräsentiert für jedes Polynom p und so sind die folgenden Aussagen (g r ist in den ier angegeben Beispielen immer rational) leict einzuseen. Zunäcst betracten wir die Metode von Tikonov. Die Lösung von x r der zugeörigen Gleicung (2.4) kann in der Form Φ BT G 1 Ψ x r = n c j Φ j (2.9) j=1 dargestellt werden. Einige elementare Recnungen zeigen, daß (2.4) und (2.9) äquivalent sind zu dem folgenden Gleicungssystem zur Bestimmung von c = (c j ) j=1,...,n : (B T G 1 Ψ B + r 1 G Φ )c = B T G 1 Ψ z. (2.10) Die auf der linken Seite des letzten Gleicungssystems steende Matrix ist symmetrisc und positiv definit, daer kann man zur Lösung dieses Gleicungssystems das Coleskyverfaren verwenden. Bei der verallgemeinerten Metode von Tikonov entstet mit der nictnegativen ganzen Zal q das lineare Gleicungssystem (B T G 1 Ψ B(G 1 Φ BT G 1 Ψ B)q +r 1 G Φ )c = G Φ (G 1 Φ BT G 1 Ψ B)q G 1 Φ BT G 1 Ψ z. Bei der Metode der sukzessiven Approximation (2.6) und dem impliziten Scema (2.7) kann, da alle Iterierten in X liegen, x r wiederum 8

13 in der Form x r = n c r jφ j (2.11) j=1 dargestellt werden. Einige elementare Recnungen zeigen, daß (2.6) (bezieungsweise (2.7)) und (2.11) äquivalent ist zu dem Iterationsverfaren (2.12) (bezieungsweise (2.13)) zur Bestimmung von c r = (c r j ) j=1,...,n, r = 1, 2,... : c r = c r 1 µ(gφ 1 G 1 Ψ Bcr 1 G 1 Φ BT G 1 Ψ z), (2.12) (B T G 1 Ψ B + µg Φ)c r = µg Φ c r 1 + B T G 1 Ψ z. (2.13) In beiden Fällen ist c 0 = G 1 Φ ((< Φ j, x an >) j=1,...,n ). Wir möcten noc eines betonen: In allen Fällen werden die einzelnen Verfaren auf die Gleicung G 1 Φ BT G 1 Ψ Bc = G 1 Φ BT G 1 Ψ z angewendet werden (dies ist die Matrixversion für die Gleicung A A x = A y ǫ, wenn c die Koordinaten von x sind) und nict auf die äquivalente Gleicung B T Bc = B T z. Diese letzte Gleicung erält man durc Anwendung eines Projektionsverfarens auf Ax = y ǫ und anscließender Normalisierung. Was die Diskretisierung anget, so möcten wir noc zwei Spezialfälle erwänen. Wir betracten zunäcst (wegen des folgenden Begriffs siee Natterer[24]) die Felerquadratmetode. Sei dazu P eine beliebige Ortogonalprojektion in X, so daß R(P ) endlice Dimension at, und sei Q die ortogonale Projektion auf A(R(P )). Weiterin sei (Φ j ) j eine Basis von R(P ) und Ψ j = AΦ j. Wir verlangen ier nict, daß (Ψ j ) j eine Basis von R(Q ) ist. Wegen B = G Ψ lassen sic die Algoritmen ier in einer einfaceren Form darstellen. Im übrigen ätte man wegen A = AP anstelle von Q auc den Eineitsoperator I nemen können, es würden sic die gleicen Matrizen ergeben. Wir werden später jedoc auc den Defekt A x r Q y ǫ berecnen müssen, und da wir daran interessiert sind, daß sic alle Vorgänge in endlicdimensionalen Unterräumen abspielen, aben wir Q so und nict anders gewält. 9

14 Auc bei der dualen Felerquadratmetode lassen sic die Verfaren in einer einfaceren Form darstellen. Hier ist Q eine beliebige Ortogonalprojektion in Y, so daß R(Q ) endlice Dimension at. Sei P die ortogonale Projektion auf A (R(Q )). (Wenn x an = 0, so kann man auc P = I wälen, es läuft auf das Gleice inaus.) Weiterin sei (Ψ j ) j eine Basis von R(Q ). Die einzelnen Gleicungen lassen sic auc ier knapper fassen. Es ist B = G Ψ, wobei in (2.8) Φ j = A Ψ j zu wälen ist. Wir benötigen noc Ergebnisse über gebrocene Potenzen von selbstadjungierten nictnegativen Operatoren, um die ersten Konvergenzresultate für die in diesem Kapitel angegebenen Verfaren beweisen zu können. Diese werden in dem nun folgenden Kapitel bereitgestellt. 10

15 3 Einige Resultate über gebrocene Potenzen von selbstadjungierten nictnegativen Operatoren Die Lemmata in diesem Abscnitt werden in den Kapiteln 4 bis 6 benötigt. Das erste Lemma kann man in änlicer Form in Gfrerer[9] und in King und Neubauer[18] finden, wir liefern ier einen kürzeren Beweis. Dazu benötigen wir die folgende, zum Beispiel in Louis[21] zu findende Interpolationsungleicung: Für x X, p und α positiv gilt A p x A p+α x p p+α x α p+α. (3.1) Hierbei ist A die positive Quadratwurzel von A A, das eißt, es gilt A = (A A) 1 2. Lemma 3.1 Sei p > 0, A L s (X, Y ) und P L s (X) eine ortogonale Projektion. Sei weiter b p = 1 für p 1 und b p = A p 1 für p > 1. Dann gilt P A p b p AP min{p,1}. Beweis. a) Da A und P selbstadjungiert sind, gilt P A = (P A ) = A P = A P = AP. Letzteres folgt, da Ax = A x für alle x X gilt. Für p = 1 ist die Beauptung daer gezeigt. b) Sei nun p > 1. Dann gilt P A p P A A p 1 = A p 1 AP. Also ist die Beauptung auc für p > 1 gezeigt. c) Sei scließlic p < 1: Wegen P A p = A p P folgt mit der Momentenungleicung (3.1) für x X A p Px A Px p Px 1 p = APx p Px 1 p = AP 2 x p Px 1 p AP p Px. Damit ist alles gezeigt. Lemma 3.1 ist nict zu verscärfen (man betracte die Aussage für die triviale ortogonale Projektion P L s (X) mit R(P) = X). 11

16 Lemma 3.2 Seien 0 < p < 2, A L s (X, Y ) und P L s (X) eine ortogonale Projektion. Dann gilt P A p P AP p 4 π A(I P) p. Beweis. Wir benötigen die folgende, in Krasnoselskii et. al.[19] zu findende Integralformel für T L s (X) mit T = T und T 0: Für 0 < α < 1 gilt T α = sin απ π 0 t α 1 (ti + T) 1 T dt. (3.2) Wir wenden diese Formel auf B = A A und B = PA AP an und eralten die Abscätzung B α PB α sin απ P t α 1 (ti +B) 1 B PB(tI +B) 1 P dt. π 0 (3.3) Nun läßt sic der Integrand der recten Seite von (3.3) mit der Gleicung (ti + B) 1 B PB(tI + B) 1 P = (ti + B) 1 P[(tI + B) (ti + B)]B(tI + B) 1 P = (ti + B) 1 PA A(I P)A A(tI + B) 1 P. (3.4) anders darstellen. Um die Norm von (3.4) abzuscätzen, verwenden wir die folgenden Ungleicungen, die man leict mit spektralteoretiscen Metoden zeigen kann: (ti + B) 1 PA 1 2 t 1/2 und A(tI + B) t 1/2, (3.5) (ti + B) 1 B 1 und (ti + B) 1 B 1, (3.6) A(I P)A A(I P) 2. (3.7) (3.5) und (3.7) implizieren (ti + B) 1 B PB(tI + B) 1 P 1 4 A(I P) 2 t 1, (3.8) mit (3.6) folgt (ti + B) 1 B PB(tI + B) 1 P 1. (3.9) 12

17 (Hierbei wurde benutzt, daß für selbstadjungierte nictnegative Operatoren S und T mit S 1 und T 1 gilt S T 1, siee Vainikko und Veretennikov[42]). Verwendet man die Abscätzung (3.9) für 0 < t < A(I P) 2 und die Abscätzung (3.8) für A(I P) 2 t <, so erält man scließlic aus (3.3) und (3.4) B α PB α sin απ P ( 1 π α + 1 ) A(I P) 2α 4(1 α) sin απ = (4 3α) A(I P) 2α 4πα(1 α) sin απ 3 sin(1 α)π = ( ) A(I P) 2α. πα(1 α) 4π(1 α) Da sinαπ πα(1 α) 4 π und sin(1 α)π π(1 α) 0, sind wir fertig. Bemerkung. G.Vainikko (siee Vainikko[38] und Vainikko und Veretennikov[42]) at folgendes bewiesen: Seien p sowie η 0 > 0, es gelte p 1. Weiter sei T : X Y ein stetiger linearer Operator. Dann gibt es ein a p > 0, so daß für alle 0 < η η 0 und alle stetigen linearen T η : X Y mit T T η η gilt T p T η p a p η min{p,1}. Für p = 1 gilt dies nict (siee ierzu Kato[17]). Für p um 1 liefern also die Lemmata 3.1 und 3.2 eine Verscärfung des eben zitierten Ergebnisses, wenn man nur spezielle Störungen zuläßt. Es folgt nämlic mit der biser üblicen Notation A p AP p = O( A AP min{p,1} ). (3.10) Es gibt noc eine weitere Klasse von Operatoren, für die eine Verscärfung des eben zitierten Ergebnisses möglic ist, wie das folgende Lemma zeigt. Dieses kann man im übrigen auc zum Beweis von (3.10) verwenden, indem man es auf A und P A P sowie auf (P A P) 2 und AP 2 anwendet. Einen Beweis dieses folgenden Lemmas findet man in Vainikko und Veretennikov[42]. 13

18 Lemma 3.3 Sei B L s (X), es gelte B = B 0. Weiter seien p > 0 und a > 0. Dann gilt für jedes B L s (X) mit B = B 0, B a, B p B p a p B B min{p,1}. Hier ist a p = 4 π, wenn p 1, und p a p ist bescränkt in (0, p 0 ] für jedes p 0 > 0. Korollar 3.4 Seien A L s (X, Y ) und p > 0. Für jede ortogonale Projektion Q L s (Y ) gilt A p QA p a p 2 (I Q)A min{p,2}. Hier ist a p = 4 π, wenn p 1, und p a p ist bescränkt in (0, p 0 ] für jedes p 0 > 0. Beweis. Dies folgt sofort mit Lemma 3.3 mit B = A A und B = A QA, da B B (I Q)A 2. Lemma 3.5 Seien A L s (X, Y ) und p > 0. Dann gilt für ortogonale Projektionen P L s (X) und Q L s (Y ) P A p QAP p c p ( A(I P) min{p,1} + (I Q)A min{p,2} ). p c p ist bescränkt in (0, p 0 ] für jedes p 0 > 0. Beweis. Es gilt P A p QAP p P A p AP p + AP p QAP p. Die beiden Summanden auf der recten Seite der letzten Gleicung lassen sic leict weiter abscätzen. Zum einen eralten wir mit Korollar 3.4, angewendet auf AP anstelle von A, die Ungleicung AP p QAP p a p (I Q)A min{p,2}. Zum anderen erält man 2 mit den Lemma 3.1 und 3.2 für den Fall p 2 Wenn p > 2, so gilt P A p AP p = O( A(I P) min{p,1} ). P A p AP p = P A ( A p 1 AP p 1 ) + (P A AP ) AP p 1 14

19 und wieder mit Lemma 3.1 und Lemma 3.2 sowie vollständiger Induktion eralten wir eine ausreicende Abscätzung. Mit Lemma 3.1 und Lemma 3.5 erält man das folgende Korollar. Korollar 3.6 Seien A L s (X, Y ) und p > 0. Dann gilt für ortogonale Projektionen P L s (X) und Q L s (Y ) A p QAP p c p ( A(I P) min{p,1} + (I Q)A min{p,2} ). p c p ist bescränkt in (0, p 0 ] für jedes p 0 > 0. 4 Parameterwal für lineare Verfaren In diesem Kapitel werden wir eine Wal des Parameters r in Abängigkeit der Diskretisierung und des Datenfelers für die in Kapitel 2 eingefürten linearen Verfaren angegeben. Die angegebenen Ergebnisse sind teilweise in Plato[29] (dort mit einer anderen Beweistecnik als der in diesem Kapitel verwendeten) und in Plato und Vainikko[30] zu finden. Zunäcst ein paar Vorbemerkungen, die man leict mit spektralteoretiscen Metoden beweisen kann. Ausgeend von den Definitionen und Annamen der Einleitung und unter der Voraussetzung, daß die Funktionen g r die Bedingungen (2.1) und (2.2) erfüllen, definieren wir S,r = I g r (A A )A A, (4.1) R,r = S,r P x an + g r (A A )A. (4.2) Dann ist S,r : X X ein bescränkter linearer Operator mit (siee (2.1)) S,r A p γ p 2 r p 2, 0 < p 2p0, r > 0, (4.3) und R,r : Y X ist der affin-lineare Approximationsoperator. Weiter ist (siee (2.2)) g r (A A )A : Y X ein bescränkter linearer Operator mit g r (A A )A = g r(a A ) A, es gilt g r (A A )A γ r 1 2, r > 0. (4.4) 15

20 Die letzte Ungleicung können wir verwenden, um x R,r y ǫ abzuscätzen. Zunäcst gilt x R,r y ǫ = S,r P (x x an )+g r (A A )A (AP x y ǫ )+(I P )x. (4.5) Wir setzen nun wieder A(I P ) ξ voraus. Mit Ungleicung (4.4) und Gleicung (4.5) folgt dann x R,r y ǫ S,r P (x x an ) + γ r 1 2 (ξ (I P )x + ǫ) + (I P )x. (4.6) Diese Abscätzung ist ganz wesentlic bei dem Beweis der folgenden beiden Sätze. Wir beginnen mit dem Fall der a priori-parameterwal. Zuvor jedoc noc die Definition 4.1 Sei A L s (X, Y ). Wir setzen für p 0 und ρ 0 M p,ρ := { A p z : z X, z ρ}. 4.1 A priori-parameterwal Der erste Teil des folgenden Satzes liefert ein Konvergenzresultat. Im zweiten Teil geben wir Konvergenzraten an für Lösungen des Problems Ax = y, die in einem gewissen Sinne glatt sind. Satz 4.2 Sei A L s (X, Y ), A 2 a. Weiter sei y R(A), x an X und x die Lösung von Ax = y, die am näcsten bei x an liegt. Seien P L s (X) und Q L s (Y ) ortogonale Projektionen und A = Q AP. Es gelte A(I P ) ξ und (I Q )A η. Weiter seien die Bedingungen (2.1) und (2.2) gültig und R,r wie in (4.2) definiert. 1. (Konvergenz) Wenn P I punktweise, ξ 0, η 0 ( 0) und so gilt r 1/2 (,ǫ) ǫ 0, r1/2 (,ǫ) ξ C und r (,ǫ) ( 0, ǫ 0), sup x R,r(,ǫ) y ǫ 0 ( 0, ǫ 0). y ǫ Y, y y ǫ ǫ 16

21 2. (Konvergenzordnung) Wenn 0 < p 2p 0, x x an M p,ρ, x M p,ρ und C 1 (( ǫ ρ ) 1 p+1 + ξ ) r 1/2 C 2 (( ǫ ρ ) 1 p+1 + ξ min{ 1 p,1} ) mit positiven Konstanten C 1, C 2, so folgt x R,r y ǫ e p ((ρǫ p ) 1 min{p,1} p+1 + ρ(ξ + η min{p,2} )). e p ist unabängig von ǫ, und ρ. p e p ist bescränkt in (0, p 1 ] für jedes endlice p 1 > 0. Bemerkung. Mit der Screibweise r (,ǫ) ( 0, ǫ 0) in Satz 4.2 ist folgendes gemeint: Für jede Folge ( n, ǫ n ) n IN mit n 0, ǫ n 0, n + ǫ n 0 (n IN) und n + ǫ n 0 (n ) gilt r (n,ǫ n ) (n ). Genauso sind vergleicbare Screibweisen für Konvergenz im Hilbertraum X zu interpretieren. Beweis von Satz Wegen der Abscätzung (4.6) ist Konvergenz scon bewiesen, wenn S,r(,ǫ) P (x x an ) 0 ( 0, ǫ 0) (4.7) gezeigt ist. Nun, wegen (4.3) ist S,r P γ 0, die Familie (S,r P ),r ist also gleicmäßig bescränkt. Weiter gilt wieder wegen (4.3) und Lemma 3.5 (mit p := min{2p 0, 1}) S,r P A p S,r A p + S,r P ( A p A p ) γ p pr γ0 c p (ξ p + ηp ) 0 (r, 0). Jetzt folgt aber scon (4.7) wegen x x an N(A) = N( A p ) = R( A p ) mit Hilfe des Satzes von Banac-Steinaus. 2. Um die Felerabscätzung zu beweisen, müssen wir (siee wieder Ungleicung (4.6)) wegen r 1 2 ξ C 1 1, r 1 2 ǫ C 1 1 (ρǫp ) 1 (I P )x b p ρξ min{p,1} abscätzen. Nun, mit Lemma 3.5 und (4.3) folgt S,r P (x x an ) S,r P A p ρ p+1 und (Lemma 3.1) nur noc S,r P (x x an ) ( S,r A p + γ 0 P A p A p )ρ (γ p 2 r p 2 + γ0 c p (ξ min{p,1} 17 + η min{p,2} ))ρ. (4.8)

22 Jetzt ist die zweite Aussage des Satzes eine leicte Konsequenz aus der Parameterwal. Bemerkung 1. Liegt der Startvektor x an in N(A) (wenn also zum Beispiel x an = 0), so gilt x N(A), im ersten Teil des Satzes muß dann nur P I punktweise auf N(A) verlangt werden, man muß also nict im Nullraum von A diskretisieren. 2. Es ist durcaus möglic, daß neben (I P )A ξ auc noc (I P )A A ξ 2 gilt. Dann ergibt sic unter den Voraussetzungen des Satzes 4.2 Teil 2 die Felerabscätzung x R,r y ǫ e p ((ρǫ p ) 1 min{p,2} p+1 + ρ(ξ + η min{p,2} )). Dies liegt daran, daß sic unter diesen Voraussetzungen die Lemmata in Kapitel 3 verscärfen lassen. 3. Bei Verwendung der Felerquadratmetode ( ier ist R(Q ) = A(R(P )) ) ergibt sic mit der gleicen Beweistecnik unter den Voraussetzungen des Satzes 4.2 Teil 2 die Felerabscätzung x R,r y ǫ e p ((ρǫ p ) 1 p+1 + ρξ min{p,1} ). Dies liegt an Q AP = AP. 4. Änlices läßt sic bei Verwendung der dualen Felerquadratmetode (R(P ) = A (R(Q ))) sagen. Hier ergibt sic unter den Voraussetzungen des Satzes 4.2 Teil 2 mit der gleicen Beweistecnik die Felerabscätzung x R,r y ǫ e p ((ρǫ p ) 1 p+1 + ρη min{p,2} ). Dies liegt an Q AP = Q A und an (I P )A A η Es ist eine angemessene Diskretisierung in Abängigkeit der bekannten Felerscranke ǫ zu wälen. Ist keine Informationen über die Glatteit von x und x x an bekannt, so ist eine Wal von ǫ, so daß ξ ǫ + η ǫ ǫ gilt, vernünftig. Mit R ǫ = R ǫ,r ǫ eralten wir dann ein Regularisierungsverfaren im Sinne der Definition 1.1. Wenn jedoc die Bedingungen des zweiten Teils von Satz 4.2 erfüllt sind mit bekanntem p und ρ, so sollte man am so wälen, daß ξ min{p,1} + ( ǫ ρ ) p p+1. η min{p,2} 18

23 4.2 A posteriori-parameterwal Wir sclagen die folgenden beiden Diskrepanzprinzipien vor. Dazu nemen wir an, daß die Bedingungen des Satzes 4.2 erfüllt sind. Sei > 0 fest gewält. Regel 1. Sei 1 < d 1 d Wenn A x an Q y ǫ d 2 ǫ, so wäle r = 0, das eißt, man neme P x an als Näerung. 2. Sei nun A x an Q y ǫ > d 2 ǫ. a) Wäle 0 < r ξ 2 =: r max, so daß d 1 ǫ (I A R,r )Q y ǫ, (4.9) d 2 ǫ (I A R,r )Q y ǫ. (4.10) b) Gibt es kein r r max, so daß (4.10) gilt, so wäle r = r max. Wir wollen noc kurz auf die bei der Parameterwal (durc die im übrigen r nict eindeutig festgelegt ist, was aber nicts mact) so wictige Defektfunktion def: IR + IR +, r (I A R,r )Q y ǫ eingeen. Wegen (2.1) gilt def(0) = A x an Q y ǫ. Sei r 1 tg r (t) eine monoton fallende Funktion für alle t 0. Dann ist auc die Defektfunktion eine monoton fallende Funktion in r, was mit spektralteoretiscen Metoden gezeigt werden kann. Ist weiterin r 1 tg r (t) stetig, so ist auc die Defektfunktion eine stetige Funktion. Diese beiden Eigenscaften aben zum Beispiel die zur Metode von Tikonov oder allgemeiner die zur verallgemeinerten Metode von Tikonov geörenden Funktionen (g r ) r 0. Wenn also def(r max ) d 2 ǫ, so gibt es auc wirklic ein r 0, so daß (4.9) und (4.10) gilt. Weiter ist das Veralten von def(r) für r interessant. Dazu eine kleine Vorbemerkung. Mit (2.1) und mit dem Satz von Banac- Steinaus folgt (wie eine änlice Aussage im Beweis von Satz 4.2) für jedes selbstadjungierte nictnegative B L s (Y ) und y Y (I g r (B)B)y P N(B) y, r. 19

24 Mit Lemma 3.1 ergibt sic wegen N(A A ) = N(A ) = R(A ) lim def(r) = lim (I g r(a A )A A )Q y ǫ r r = P N(A A ) Q y ǫ = P R(A ) Q y ǫ = dist(q y ǫ, R(A )) ǫ + c p ξ min{p,1}+1. Damit ist diese Parameterwal praktikabel auc im Fall ξ = 0. (An dieser Stelle sei nocmals an die duale Felerquadratmetode erinnert, die zum Ende des Abscnitts 2.3 vorgestellt wurde.) Für lineare Iterationsverfaren (unter praktiscen Gesictspunkten nict nur für iterative Verfaren, sondern auc für die Metode von Tikonov) ist das folgende Abbruckriterium interessant. Die Parameter r und s können dort eingescränkt sein auf die Menge der nictnegativen ganzen Zalen. Regel 2. Seien 1 < d, 0 < θ < 1 und k > Wenn A x an Q y ǫ dǫ, so wäle r = 0, das eißt, man neme P x an als Näerung. 2. Sei nun A x an Q y ǫ > dǫ. a) Wäle 0 < r ξ 2 := r max so, daß dǫ (I A R,r )Q y ǫ. (4.11) und weiter folgendes gilt: r k oder es gibt ein s [θr, r] mit dǫ (I A R,s )Q y ǫ, (4.12) b) Wenn es kein r r max gibt, so daß (4.11) gilt, so wäle r = r max oder r = [r max ] + 1. Hier bezeicnen wir mit [x] die eindeutig bestimmte ganze Zal mit [x] x < [x] + 1. Die Falluntersceidung r k oder es gibt ein s [θr, r] mit... ist aus folgenden Grunde gemact worden: Es ist bei Iterationsverfaren durcaus möglic, daß der Defekt für die 0-te Iterierte oberalb der Scranke dǫ, der Defekt für die 1-te Iterierte aber scon unteralb dieser Scranke liegt, das eißt, es gilt (I A R,0 )Q y ǫ = A x an 20

6. Die Exponentialfunktionen (und Logarithmen).

6. Die Exponentialfunktionen (und Logarithmen). 6- Funktionen 6 Die Eponentialfunktionen (und Logaritmen) Eine ganz wictige Klasse von Funktionen f : R R bilden die Eponentialfunktionen f() = c ep( ) = c e, ier sind, c feste reelle Zalen (um Trivialfälle

Mehr

Numerische Simulation in der Luft- und Raumfahrttechnik

Numerische Simulation in der Luft- und Raumfahrttechnik Numerisce Simulation in der Luft- und Raumfarttecnik Dr. Felix Jägle, Prof. Dr. Claus-Dieter Munz (IAG) Universität Stuttgart Pfaffenwaldring, 70569 Stuttgart Email: felix.jaegle@iag.uni-stuttgart.de Inalt

Mehr

RWTH Aachen, Lehrstuhl für Informatik IX Kapitel 3: Suchen in Mengen - Datenstrukturen und Algorithmen - 51

RWTH Aachen, Lehrstuhl für Informatik IX Kapitel 3: Suchen in Mengen - Datenstrukturen und Algorithmen - 51 RWTH Aacen, Lerstul für Informatik IX Kapitel 3: Sucen in Mengen - Datenstrukturen und Algoritmen - 51 Sucbäume Biser betractete Algoritmen für Suce in Mengen Sortierte Arrays A B C D - Nur sinnvoll für

Mehr

Binäre Suchbäume. 6. Binäre Suchbäume. Einfügen in binären Suchbäumen

Binäre Suchbäume. 6. Binäre Suchbäume. Einfügen in binären Suchbäumen 6. Binäre Sucbäume Natürlice binäre Sucbäume - Begriffe und Definitionen - Grundoperationen: Einfügen, sequentielle Suce, direkte Suce, öscen - Bestimmung der mittleren Zugriffskosten Balancierte Binärbäume

Mehr

IDENTIFIKATION DER AEROELASTISCHEN EIGENSCHAFTEN DES MOTORSEGLERS STEMME S15 AN HAND VON FLUGVERSUCHDATEN

IDENTIFIKATION DER AEROELASTISCHEN EIGENSCHAFTEN DES MOTORSEGLERS STEMME S15 AN HAND VON FLUGVERSUCHDATEN Deutscer Luft- und Raumfartkongress 013 DocumentID: 30147 IDENTIFIKATION DER AEROELASTISCHEN EIGENSCHAFTEN DES MOTORSEGLERS STEMME S15 AN HAND VON FLUGVERSUCHDATEN Alexander Köte Tecnisce Universität Berlin,

Mehr

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x

Mehr

Hilfe zum neuen Online-Shop

Hilfe zum neuen Online-Shop Hilfe zum neuen Online-Sop Hier finden Sie umfassend bescrieben, wie Sie sic in unserem neuen Sop zurectfinden. Wenn Sie Fragen zur Kunden-Nr., Kunden-ID oder zum Passwort aben, rufen Sie uns bitte an:

Mehr

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen

Mehr

Schriftliche Prüfung Schuljahr: 2008/2009 Schulform: Gymnasium. Mathematik

Schriftliche Prüfung Schuljahr: 2008/2009 Schulform: Gymnasium. Mathematik Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Prüfungen am Ende der Jargangsstufe 10 Scriftlice Prüfung Sculjar: 2008/2009 Sculform: Matematik Allgemeine Arbeitsinweise Die Prüfungszeit beträgt 160 Minuten.

Mehr

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x

Mehr

Informationen zur Kennzahlenanalyse und Unternehmensbewertung

Informationen zur Kennzahlenanalyse und Unternehmensbewertung Informationen zur Kennzalenanalyse und Unternemensbewertung Liquidität Kennzal Formel Sollwert Kommentar Cas Ratio (Liquiditätsgrad 1) ü 20-30% Widerspiegelt die Bezieung zwiscen Flüssigen Mitteln (inkl

Mehr

Studienordnung für den Integrativen Bachelorstudiengang Linguistik an der Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf vom TT.MM.JJJJ

Studienordnung für den Integrativen Bachelorstudiengang Linguistik an der Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf vom TT.MM.JJJJ Studienordnung Integrativer Bacelorstudiengang "Linguistik", Modulbescreibungen 1 Studienordnung für den Integrativen Bacelorstudiengang Linguistik an der Heinric-Heine-Universität Düsseldorf vom TT.MM.JJJJ

Mehr

Institut für Volkswirtschaftslehre Christian-Albrechts-Universität zu Kiel. One Money, One Market

Institut für Volkswirtschaftslehre Christian-Albrechts-Universität zu Kiel. One Money, One Market Institut ür Volkswirtscatslere Cristian-Albrects-Universität zu Kiel One Money, One Market von Ola Bartram * 15.05.2002 ür: Seminar in Realer Außenwirtscat Sommersemester 2002 Übersict: Die Arbeit untersuct

Mehr

Veranstaltung. Logistik und Materialfluss (Lagerlogistik), Sommersemester 2013

Veranstaltung. Logistik und Materialfluss (Lagerlogistik), Sommersemester 2013 Veranstaltung Logistik und Materialfluss (Lagerlogistik), Sommersemester 203 Übung 4: Tema: Statisce Losgröße Andler Modell Los (lot) : Menge eines Produktes, die one Unterbrecung gefertigt wird. Losgröße(lotsize):

Mehr

Neue GuideLed Sicherheitsleuchten

Neue GuideLed Sicherheitsleuchten CEAG GuideLed Sicereitsleucten Neue GuideLed Sicereitsleucten Geradliniges Design kombiniert mit oer Wirtscaftlickeit C-C8 C-C GuideLed SL., 2. CG-S Deckeneinbau EN 838 LED * GuideLed SL. CG-S IP GuideLed

Mehr

Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie

Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Der binäre Rang, der symplektische Graph, die Spektralzerlegung und rationale Funktionen Vortrag am 24.01.2012 Heike Farkas 0410052 Inhaltsverzeichnis

Mehr

Brandschutz 4. Nicht tragende, aber brandabschnittsbildende. (ohne Verklebung) sind die Bauteile nicht luftdicht. Bei brandabschnittsbildenden

Brandschutz 4. Nicht tragende, aber brandabschnittsbildende. (ohne Verklebung) sind die Bauteile nicht luftdicht. Bei brandabschnittsbildenden 4.1 optiolz und Brandscutz In der Lignum-Dokumentation Brandscutz sind optiolz -Bauteile für tragende und/oder brandabscnittsbildende Decken und Wände bis zu einer Feuerwiderstandsdauer von 60 Minuten

Mehr

UML: Einführung. Vorlesung Modellierung Modellierungsmethoden der Informatik. Wintersemester 2011/12. UML und Objekt-Orientierung

UML: Einführung. Vorlesung Modellierung Modellierungsmethoden der Informatik. Wintersemester 2011/12. UML und Objekt-Orientierung UML: Einfürung Vorlesung Modellierung Modellierungsmetoden der Informatik Wintersemester 2011/12 Prof. Barbara König Übungsleitung: Dr. Sander Bruggink UML = Unified Modeling Language Standard-Modellierungssprace

Mehr

Beispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) =

Beispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) = Funktionentheorie, Woche Funktionen und Polstellen. Meromorphe Funktionen Definition.. Sei U C offen und sei f : U gilt, nennt man f meromorph auf U: Ĉ eine Funktion. Wenn folgendes. P := f hat keine Häufungspunkte;.

Mehr

Nenne verschiedene Energieformen. Nenne zu einem Beispiel aus deiner Umgebung, welche Energieformen ineinander umgewandelt werden.

Nenne verschiedene Energieformen. Nenne zu einem Beispiel aus deiner Umgebung, welche Energieformen ineinander umgewandelt werden. Grundwissenskatalog zu Pysik 8.Jargangsstufe, Seite von 5 Carl-Friedric Gauß Gymnasium Scwandorf Stand: Sept. 0 Wissen Können Beispiele, Ergänzungen Energie Energie kann in versciedenen Formen vorkommen.

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung.

Mehr

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung 3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung Definition und Lemma 3.3.1. Sei V ein K-Vektorraum, φ End K (V ), λ K. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von φ als Dies ist ein Unterraum von V.

Mehr

Anleitung für die Online-Services der Leibniz Universität Hannover. Zentrale Einrichtung Lehre, Studium und Weiterbildung elearning Service Abteilung

Anleitung für die Online-Services der Leibniz Universität Hannover. Zentrale Einrichtung Lehre, Studium und Weiterbildung elearning Service Abteilung Anleitung für die Online-Services der Leibniz Universität Hannover Zentrale Einrictung Lere, Studium und Weiterbildung elearning Service Abteilung 2 Herzlic willkommen! Ic bin auc neu ier. Das neue Carsaring-Angebot

Mehr

17. Penalty- und Barriere-Methoden

17. Penalty- und Barriere-Methoden H.J. Oberle Optimierung SoSe 01 17. Penalty- und Barriere-Methoden Penalty- und Barriere Methoden gehören zu den ältesten Ansätzen zur Lösung allgemeiner restringierter Optimierungsaufgaben. Die grundlegende

Mehr

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 2 Optimale Codes Optimalität bezieht sich auf eine gegebene Quelle, d.h. eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den Symbolen s 1,..., s q des Quellalphabets

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

Absolute Stetigkeit von Maßen

Absolute Stetigkeit von Maßen Absolute Stetigkeit von Maßen Definition. Seien µ und ν Maße auf (X, Ω). Dann heißt ν absolut stetig bezüglich µ (kurz ν µ ), wenn für alle A Ω mit µ(a) = 0 auch gilt dass ν(a) = 0. Lemma. Sei ν ein endliches

Mehr

Basis und Dimension. Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren.

Basis und Dimension. Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren. Basis und Dimension Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren. Definition. Sei V ein K-Vektorraum und (v i ) i I eine Familie von Vektoren

Mehr

Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V

Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V ist die Menge A = Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V ist die Menge A = mit einer Abbildung + : A V A,

Mehr

Medienmitteilung Rothenburg, 26. April 2013

Medienmitteilung Rothenburg, 26. April 2013 Pistor AG Medienmitteilung Rotenburg, 26. April 2013 Gescäftsjar 2012 Ausblick 2013 Pistor mit gutem Ergebnis Die Pistor ist gut unterwegs. Im Jar 2012 wurde mit dem Bau des neuen Tiefkülcenters erneut

Mehr

Mechanik 1.Gleichförmige Bewegung 1

Mechanik 1.Gleichförmige Bewegung 1 Mecanik 1.Gleicförige Bewegung 1 1. Geradlinige, gleicförige Bewegung (Bewegung it kontanter Gecwindigkeit) Zeit: 1 Unterricttunde 45 Minuten 2700 Sekunden 1 Sculjar entält etwa 34 Doppeltunden 68 Unterricttunden

Mehr

2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen

2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen 2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen V und V seien Vektorräume über einem Körper K. Hom K (V, V ) bezeichnet die Menge der K linearen Abbildungen von V nach V. Wir machen Hom K (V, V )

Mehr

Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2)

Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Eine Rekursion kter Ordnung für k N ist eine Folge x 1, x 2, x 3,... deniert durch eine Rekursionsvorschrift x n = f n (x n 1,..., x n k ) für n > k, d. h. jedes Folgenglied

Mehr

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt - 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +

Mehr

Aufgaben zu den Newtonsche Gesetzen

Aufgaben zu den Newtonsche Gesetzen Aufgaben zu den ewtonce Geetzen. Zwei Maen von = 8 und = ängen an den Enden eine Seil, da über eine fete Rolle it vernacläigbarer Mae gefürt it. a) Wie groß it die Becleunigung de al reibungfrei angenoenen

Mehr

GNS-Konstruktion und normale Zustände. 1 Rückblick. 2 Beispiel für einen Typ-II 1 -Faktor

GNS-Konstruktion und normale Zustände. 1 Rückblick. 2 Beispiel für einen Typ-II 1 -Faktor GNS-Konstruktion und normale Zustände 1 Rückblick Wir betrachten von-neumann-algebren M B(H), d.h. Unteralgebren mit 1 H M, die in der schwachen Operatortopologie (und damit in jeder der anderen) abgeschlossen

Mehr

(λ Ri I A+BR)v Ri = 0. Lässt sich umstellen zu

(λ Ri I A+BR)v Ri = 0. Lässt sich umstellen zu Herleitung der oppenecker-formel (Wiederholung) Für ein System ẋ Ax + Bu (B habe Höchstrang) wird eine Zustandsregelung u x angesetzt. Der geschlossene egelkreis gehorcht der Zustands-Dgl. ẋ (A B)x. Die

Mehr

Lineare Algebra - alles was man wissen muß

Lineare Algebra - alles was man wissen muß Statistik für Bioinformatiker SoSe 3 Rainer Spang Lineare Algebra - alles was man wissen muß Der Titel ist natürlich gelogen, aber was wir hier zusammengetragen haben ist zumindest ein Anfang. Weniger

Mehr

GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1)

GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1) GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1) Im Kapitel 2.1 wurde bereits gezeigt, dass die endliche Zahlenmenge {0, 1, 2, 3} q = 4 nicht die Eigenschaften eines Galoisfeldes GF(4) erfüllt. Vielmehr

Mehr

Charakteristikenmethode im Beispiel

Charakteristikenmethode im Beispiel Charakteristikenmethode im Wir betrachten die PDE in drei Variablen xu x + yu y + (x + y )u z = 0. Das charakteristische System lautet dann ẋ = x ẏ = y ż = x + y und besitzt die allgemeine Lösung x(t)

Mehr

Projektive Moduln. Lemma/Definition 1.1. Folgende Aussagen für einen R-Modul P sind äquivalent: (i) P erfüllt folgende Liftungseigenschaft:

Projektive Moduln. Lemma/Definition 1.1. Folgende Aussagen für einen R-Modul P sind äquivalent: (i) P erfüllt folgende Liftungseigenschaft: Seminar Summen von Quadraten und K-Theorie Projektive Moduln Im Folgenden sei R ein assoziativer Ring mit Eins, nicht notwendigerweise kommutativ. R-Modul ist im Folgenden stets ein Rechts-R-Modul. Ein

Mehr

ADMINISTRATION. Open Source im Einsatz KOMPAKT. Mit OpenStack zur eigenen Private Cloud. Backup mit Bacula 7 Do-it-yourself-NAS

ADMINISTRATION. Open Source im Einsatz KOMPAKT. Mit OpenStack zur eigenen Private Cloud. Backup mit Bacula 7 Do-it-yourself-NAS Mit DVD KOMPAKT ADMINISTRATION Ein Sondereft des Magazins für professionelle Informationstecnik, www.ix.de 3/2014 Auf der Heft-DVD Fertige VMs zum Ausprobieren: Debian mit Baculaˇ7, CentOS mit Icingaˇ2

Mehr

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN CHRISTIAN HARTFELDT. Zweiter Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz Satz VI.3.4) lässt sich verallgemeinern zu Satz.. Seien f, g : [a, b] R auf [a,

Mehr

KAPITEL 4. Lineare Ausgleichsrechnung Beispiel 4.1. Das Ohmsche Gesetz: U = RI. Eine Meßreihe von Daten:

KAPITEL 4. Lineare Ausgleichsrechnung Beispiel 4.1. Das Ohmsche Gesetz: U = RI. Eine Meßreihe von Daten: KAPITEL 4 Lineare Ausgleichsrechnung Beispiel 41 Das Ohmsche Gesetz: Eine Meßreihe von Daten: U = RI (U i, I i ) (Spannung, Stromstärke), i = 1,, m Aufgabe: man bestimme aus diesen Meßdaten den Widerstand

Mehr

34 5. FINANZMATHEMATIK

34 5. FINANZMATHEMATIK 34 5. FINANZMATHEMATIK 5. Finanzmathematik 5.1. Ein einführendes Beispiel Betrachten wir eine ganz einfache Situation. Wir haben einen Markt, wo es nur erlaubt ist, heute und in einem Monat zu handeln.

Mehr

Planungsunterlage. Heizkreis-SchnellmontageSysteme für bodenstehende. und wandhängende Kessel

Planungsunterlage. Heizkreis-SchnellmontageSysteme für bodenstehende. und wandhängende Kessel Planungsunterlage Heizkreis-ScnellmontageSysteme für bodensteende und wandängende Kessel Ausgabe 04/2002 Inalt Inalt 1 Heizkreis-Scnellmontage-Systeme............................................... 3 1.1

Mehr

Qualitative Datenanalyse

Qualitative Datenanalyse Qualitative Datenanalyse Prof. Dr. Stefan E. Schmidt Francesco Kriegel TU Dresden Fakultät Mathematik Institut Algebra SS 2007 28. September 2008 Inhaltsverzeichnis Kapitel 1 Formale Begriffsanalyse 1

Mehr

Elemente der Analysis II

Elemente der Analysis II Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel

Mehr

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Analysis 0 Dr DK Huynh Blatt 8 Aufgabe 6 Bestimmen Sie (a) (x + x 7x+)dx (c) (f) x n exp(x)dx (n N fest) sin (x)dx (g) (b) (d) ln(x)dx

Mehr

LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow

LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow LINEARE ALGERA Ferienkurs Hanna Schäfer Philipp Gadow INHALT Eigenwerte und Eigenvektoren. asiswechsel.2 Eigenwertgleichung 2.3 Diagonalisierbarkeit 5.4 Trigonalisierung 8.5 Zusatzmaterial 8 Aufgaben 9

Mehr

Cashkurs Trends InvestIeren In die Zukunft. 3-D-Drucker und Rapid Manufacturing. Ausgabe.28 17.01.2012. Trend Thema des Monats:

Cashkurs Trends InvestIeren In die Zukunft. 3-D-Drucker und Rapid Manufacturing. Ausgabe.28 17.01.2012. Trend Thema des Monats: Ausgabe.28 Caskurs Trends InvestIeren In die Zukunft unabängig nacaltig wissenscaftlic Trend Tema des Monats: 3-D-Drucker und Rapid Manufacturing www.caskurs.com I www.godmode-trader.de Trend Tema Unternemen

Mehr

Value Based Management in Versicherungen: Der Werthebel im Asset Management

Value Based Management in Versicherungen: Der Werthebel im Asset Management Value Based Management in Versicerungen: Der Wertebel im Asset Management Frank-Cristian Corell Gliederung: 1. Ziel, Notwendigkeit und Tragweite des Value Based Management (VBM) 2. Prozeßbausteine des

Mehr

Abräumer vomdienst. Leuchttürme der Nachhaltigkeit. Für kürzere Bauzeiten. Interview Hans-Peter Burkhard. WorldSkills2013Leipzig

Abräumer vomdienst. Leuchttürme der Nachhaltigkeit. Für kürzere Bauzeiten. Interview Hans-Peter Burkhard. WorldSkills2013Leipzig DasComeback der Screibmascine Auf Seite 15 Die Zeitung für KMU und UnternemerInnen > www.zuercer-wirtscaft.c 15.August 2013 8/2013 Interview Hans-Peter Burkard Leucttürme der Nacaltigkeit tomaspfyffer,

Mehr

1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem P( ) = 0.

1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem P( ) = 0. 1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem Folg. 2 Sei (Ω, E, P) W.-raum. Seien A, B,A 1,...,A n Ereignisse. Es gelten die folgenden Aussagen: 1. P(A) = 1 P(A). 2. Für das unmögliche Ereignis gilt:

Mehr

Amerikanischen Optionen

Amerikanischen Optionen Die Bewertung von Amerikanischen Optionen im Mehrperiodenmodell Universität-Gesamthochschule Paderborn Fachbereich 17 Seminar Finanzmathematik SS 2001 Referentin: Christiane Becker-Funke Dozent: Prof.

Mehr

www.osram.de LED Leuchten Dragonpoint Die anschlussfertigen Beleuchtungslösungen von OSRAM.

www.osram.de LED Leuchten Dragonpoint Die anschlussfertigen Beleuchtungslösungen von OSRAM. www.osram.de LED Leucten Dragonpoint und DRAGONSPOT Die ansclussfertigen Beleuctungslösungen von OSRAM. Einleitung Ein perfektes Zusammenspiel. Möcten Sie Ire Einrictung oder Ire Akzent-Beleuctung gezielt

Mehr

Geometrische Mannigfaltigkeiten

Geometrische Mannigfaltigkeiten Geometrische Mannigfaltigkeiten Thilo Kuessner Abstract Kurzfassung der Vorlesung: Definitionen, Beispiele und Sätze, keine Beweise. Definition 1. Ein topologischer Raum ist eine Menge X mit einer Familie

Mehr

Formelsammlung. Fachangestellte für Bäderbetriebe Meister für Bäderbetriebe. Inhalt

Formelsammlung. Fachangestellte für Bäderbetriebe Meister für Bäderbetriebe. Inhalt Forelsalung Facangestellte für Bäderbetriebe Meister für Bäderbetriebe Erstellt von Dipl.-Ing. (FH) Wolfgang Hetteric, BVS it Ergänzungen von Dipl.-Ing. (FH) Peter Vltavsky, BS Lindau Inalt llgeeine Mecanik...

Mehr

Kochen mit Jordan. Vorbereitungen. Schnellzubereitung. JNF für Genießer wenn s noch etwas mehr sein darf

Kochen mit Jordan. Vorbereitungen. Schnellzubereitung. JNF für Genießer wenn s noch etwas mehr sein darf Kochen mit Jordan Vorbereitungen Man nehme eine Matrix A R n n und bestimme ihr charakteristisches Polynom p(λ) = (λ c ) r (λ c j ) rj C[X] Dabei gilt: algebraische Vielfachheit r j ˆ= Länge des Jordanblocks

Mehr

2.1 Codes: einige Grundbegriffe

2.1 Codes: einige Grundbegriffe Gitter und Codes c Rudolf Scharlau 2. Mai 2009 51 2.1 Codes: einige Grundbegriffe Wir stellen die wichtigsten Grundbegriffe für Codes über dem Alphabet F q, also über einem endlichen Körper mit q Elementen

Mehr

Jann Strybny. Ohne Panik Strömungsmechanik!

Jann Strybny. Ohne Panik Strömungsmechanik! Jann Strbn One Panik Strömunsmecanik! Jann Strbn One Panik Strömunsmecanik! Ein Lernbuc ur Prüfunsorbereitun, um uffriscen und Nacsclaen mit Cartoons on Olier Romber 4., überarbeitete und erweiterte uflae

Mehr

Teil II. Nichtlineare Optimierung

Teil II. Nichtlineare Optimierung Teil II Nichtlineare Optimierung 60 Kapitel 1 Einleitung In diesem Abschnitt wird die Optimierung von Funktionen min {f(x)} x Ω betrachtet, wobei Ω R n eine abgeschlossene Menge und f : Ω R eine gegebene

Mehr

Vorlesung. Komplexe Zahlen

Vorlesung. Komplexe Zahlen Vorlesung Komplexe Zahlen Motivation Am Anfang der Entwicklung der komplexen Zahlen stand ein algebraisches Problem: die Bestimmung der Lösung der Gleichung x 2 + 1 = 0. 1 Mit der Lösung dieses Problems

Mehr

Autoren Christina Gunkel, Saskia Huckels-Baumgart, Lena Mehrmann, Daniel Berning, Christian Thomeczek

Autoren Christina Gunkel, Saskia Huckels-Baumgart, Lena Mehrmann, Daniel Berning, Christian Thomeczek Impressum Herausgeber Ärztlices Zentrum für Qualität in der Medizin (ÄZQ) Straße des 17. Juni 106-108 (TiergartenTower) 10623 Berlin Telefon +49 (0)30 4005 2500 Telefax +49 (0)30 4005 2555 mail@azq.de

Mehr

ax 2 + bx + c = 0, (4.1)

ax 2 + bx + c = 0, (4.1) Kapitel 4 Komplexe Zahlen Wenn wir uns auf die reellen Zahlen beschränken, ist die Operation des Wurzelziehens (also die Umkehrung der Potenzierung) nicht immer möglich. Zum Beispiel können wir nicht die

Mehr

Arbeit = Kraft Weg. Formelzeichen: W Einheit: 1 N 1 m = 1 Nm = 1 J Joule ( dschul ) Beispiel: Flaschenzug. F zeigt.

Arbeit = Kraft Weg. Formelzeichen: W Einheit: 1 N 1 m = 1 Nm = 1 J Joule ( dschul ) Beispiel: Flaschenzug. F zeigt. Kraftwandler Die Energie al Eraltunggröße Ein Kraftwandler it eine mecanice Anordnung, die eine Kraft wirken lät, welce größer it al die Kraft, die aufgewendet wird (oder umgekert). Beipiel: lacenzug Aufgewendete

Mehr

Dauerhaftzurück insberufsleben

Dauerhaftzurück insberufsleben Die Zeitung für KMU und UnternemerInnen > www.zuercer-wirtscaft.c 14. August 2014 8/2014 Kauflustwecken DasHirn istsculd! GabrielaMeissner, Cefredaktorin «Zürcer Wirtscaft» NacaltigeWiedereingliederung

Mehr

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag. $Id: quadrat.tex,v.5 9//5 ::59 hk Exp $ $Id: orthogonal.tex,v.4 9// ::54 hk Exp $ $Id: fourier.tex,v. 9// :: hk Exp $ Symmetrische Matrizen und quadratische

Mehr

Einführung. Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (3) Vorlesungen zur Komplexitätstheorie. K-Vollständigkeit (1/5)

Einführung. Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (3) Vorlesungen zur Komplexitätstheorie. K-Vollständigkeit (1/5) Einführung 3 Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (3) Univ.-Prof. Dr. Christoph Meinel Hasso-Plattner-Institut Universität Potsdam, Deutschland Hatten den Reduktionsbegriff

Mehr

Umsetzung von DEA in Excel

Umsetzung von DEA in Excel Umsetzung von DEA in Excel Thorsten Poddig Armin Varmaz 30. November 2005 1 Vorbemerkungen In diesem Dokument, das als Begleitmaterial zum in der Zeitschrift,,Controlling, Heft 10, 2005 veröffentlichten

Mehr

Geplante Steuerhinterziehung und ihre effiziente Bestrafung

Geplante Steuerhinterziehung und ihre effiziente Bestrafung Gepante Steuerinterzieung und ire effiziente Bestrafung von Wofram F. Ricter + Universität Dortmund, CESifo Müncen und IZA Bonn Februar 2006 Vortragsmanuskript für die 48. Arbeitstagung des Finanzwissenscafticen

Mehr

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann 22 Andreas Gathmann 3. Zusammenhang Eine der anschaulichsten Eigenschaften eines topologischen Raumes ist wahrscheinlich, ob er zusammenhängend ist oder aus mehreren Teilen besteht. Wir wollen dieses Konzept

Mehr

Übungsklausur. Bitte wählen Sie fünf Aufgaben aus! Aufgabe 1. Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr.

Übungsklausur. Bitte wählen Sie fünf Aufgaben aus! Aufgabe 1. Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr. Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr. Gert Zöller Übungsklausur Hilfsmittel: Taschenrechner, Formblatt mit Formeln. Lösungswege sind stets anzugeben. Die alleinige Angabe eines

Mehr

Computer Vision I. Nikos Canterakis. Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg

Computer Vision I. Nikos Canterakis. Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg Nikos Canterakis Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg Gliederung 7 Projektionen und Rückprojektionen Der Punkt Die Gerade Die Quadrik Die Ebene Zusammenhang Kalibriermatrix - Bild des absoluten

Mehr

a n + 2 1 auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert:

a n + 2 1 auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert: Beispiel: Wir untersuchen die rekursiv definierte Folge a 0 + auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert: ( ) (,, 7, 5,...) Wir können also vermuten, dass die Folge monoton fallend

Mehr

1 Das Lemma von Burnside und seine Anwendungen

1 Das Lemma von Burnside und seine Anwendungen Das Lemma von Burnside und seine Anwendungen Mit dem Lemma von Burnside lassen sich Zählprobleme lösen, bei denen Symmetrien eine Rolle spielen. Betrachten wir als einführendes Beispiel die Anzahl der

Mehr

Aufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6

Aufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6 Aufgben zur Vorlesung Anlysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 0 Lösungen zu Bltt 6 Aufgbe. Die Funktion f : [, ) R sei in jedem endlichen Teilintervll von [, ) Riemnnintegrierbr. Für n N sei I n := f() d.

Mehr

PUB. DIM-463C. DIGITAL-VIDEO-CAMCORDER Bedienungsanleitung DEUTSCH. Digital Video Cassette. Mini PAL

PUB. DIM-463C. DIGITAL-VIDEO-CAMCORDER Bedienungsanleitung DEUTSCH. Digital Video Cassette. Mini PAL PUB. IM-463C IGITAL-VIEO-CAMCORER Bedienungsanleitung EUTSCH Mini igital Video Cassette PAL Wictige Hinweise zum Gebrauc WARNUNG: UM AS RISIKO VON ELEKTRISCHEN SCHLÄGEN AUSZUSCHLIESSEN, ÖFFNEN SIE AS CAMCORER-GEHÄUSE

Mehr

I. Aussagenlogik. Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie "und", "oder", "nicht", "wenn... dann" zwischen atomaren und komplexen Sätzen.

I. Aussagenlogik. Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie und, oder, nicht, wenn... dann zwischen atomaren und komplexen Sätzen. I. Aussagenlogik 2.1 Syntax Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie "und", "oder", "nicht", "wenn... dann" zwischen atomaren und komplexen Sätzen. Sätze selbst sind entweder wahr oder falsch. Ansonsten

Mehr

Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren

Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren Kapitel 5 Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren 5.1 Einführung Bemerkung 5.1 Aufgabenstellung. Diese Kapitel behandelt numerische Verfahren zur Lösung des Eigenwertproblems. Gegeben sei A R n n.

Mehr

Seminar Analysis Konvexe Funktionen und einige wichtige Ungleichungen

Seminar Analysis Konvexe Funktionen und einige wichtige Ungleichungen Seminar Analysis Konvexe Funktionen und einige wichtige Ungleichungen Michael Schaeer 3.04.03 Abstract This seminar is about convex functions and several imortant ineualities. At the beginning the term

Mehr

Finanzmarktökonometrie: Einführung in die Optionsbewertung Sommersemester 2013

Finanzmarktökonometrie: Einführung in die Optionsbewertung Sommersemester 2013 Finanzmarktökonometrie: Einführung in die Optionsbewertung Sommersemester 2013 Walter Sanddorf-Köhle Foliensatz Nr. 3 1 / 46 Ein Einperiodenmodell Beispiel 5 Betrachtet wird nun ein Wertpapiermarkt mit

Mehr

Kernel, Perceptron, Regression. Erich Schubert, Arthur Zimek. 2014-07-20 KDD Übung

Kernel, Perceptron, Regression. Erich Schubert, Arthur Zimek. 2014-07-20 KDD Übung Kernel, Perceptron, Regression Erich Schubert, Arthur Zimek Ludwig-Maximilians-Universität München 2014-07-20 KDD Übung Kernel-Fukctionen Kernel kann mehrdeutig sein! Unterscheidet zwischen: Kernel function

Mehr

11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen

11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen .3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen Definition.) komplexe Folgen: z n = x n + j. y n mit zwei reellen Folgen x n und y n.) Konvergenz: Eine komplexe Folge z n = x n + j. y n heißt

Mehr

Leitfähigkeit. On-Line Leitfähigkeits-Messung. h h h h h h h. Messen Überwachen Regeln. Kommunale und industrielle Abwässer. Wasseraufbereitung

Leitfähigkeit. On-Line Leitfähigkeits-Messung. h h h h h h h. Messen Überwachen Regeln. Kommunale und industrielle Abwässer. Wasseraufbereitung Leitfäigkeit On-Line Leitfäigkeits-Messung Messen Überwacen Regeln Kommunale und industrielle Abwässer Wasseraufbereitung Natürlice Gewässer Meerwasser, Brackwasser Kesselspeisewasser Demineralisierung

Mehr

Modern Methods in Nonlinear Optimization

Modern Methods in Nonlinear Optimization Modern Methods in Nonlinear Optimization Regularisierung Inverser Probleme Prof. Dr. Bastian von Harrach Technische Universität München, Fakultät für Mathematik - M1 Wintersemester 2010/2011 http://www-m1.ma.tum.de/bin/view/lehrstuhl/harrach_ws1011_modernmethods

Mehr

Reelle Analysis. Vorlesungsskript. Enno Lenzmann, Universität Basel. 7. November 2013

Reelle Analysis. Vorlesungsskript. Enno Lenzmann, Universität Basel. 7. November 2013 Reelle Analysis Vorlesungsskript Enno Lenzmann, Universität Basel 7. November 2013 6 L p -Räume Mit Hilfe der Masstheorie können wir nun die sog. L p -Räume einführen. Diese Räume sind wichtig in vielen

Mehr

Stabilität mittels Ljapunov Funktion

Stabilität mittels Ljapunov Funktion Stabilität mittels Ljapunov Funktion Definition Eine C 1 Funktion V : D R, D R, heißt eine Ljapunov Funktion auf K r (0) D für f(y), falls gilt: 1) V(0) = 0, V(y) > 0 für y 0 2) V,f(y) 0 ( y, y r) Gilt

Mehr

Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008

Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008 Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008 Alexander Bobenko und Ivan Izmestiev Technische Universität Berlin 1 Hausaufgaben vom 12.09.2007 Zahlentheorie 1 Aufgabe 1.1 Berechne die (quadratischen)

Mehr

Monte Carlo Methoden in Kreditrisiko-Management

Monte Carlo Methoden in Kreditrisiko-Management Monte Carlo Methoden in Kreditrisiko-Management P Kreditportfolio bestehend aus m Krediten; Verlustfunktion L = n i=1 L i; Die Verluste L i sind unabhängig bedingt durch einen Vektor Z von ökonomischen

Mehr

Computer Vision: Optische Flüsse

Computer Vision: Optische Flüsse Computer Vision: Optische Flüsse D. Schlesinger TUD/INF/KI/IS Bewegungsanalyse Optischer Fluss Lokale Verfahren (Lukas-Kanade) Globale Verfahren (Horn-Schunck) (+ kontinuierliche Ansätze: mathematische

Mehr

FB IV Mathematik Universität Trier. Präsentation von Nadja Wecker

FB IV Mathematik Universität Trier. Präsentation von Nadja Wecker FB IV Mathematik Universität Trier Präsentation von Nadja Wecker 1) Einführung Beispiele 2) Mathematische Darstellung 3) Numerischer Fluss für Diffusionsgleichung 4) Konvergenz 5) CFL-Bedingung 6) Zusammenfassung

Mehr

Quantitative Risk Management

Quantitative Risk Management Quantitative Risk Management Copulas und Abhängigkeit Johannes Paschetag Mathematisches Institut der Universität zu Köln Wintersemester 2009/10 Betreuung: Prof. Schmidli, J. Eisenberg i Inhaltsverzeichnis

Mehr

Die Weierstraßsche Funktion

Die Weierstraßsche Funktion Die Weierstraßsche Funktion Nicolas Weisskopf 7. September 0 Zusammenfassung In dieser Arbeit führen wir die Weierstraßsche Funktion ein und untersuchen einige ihrer Eigenschaften. Wir zeigen, dass jede

Mehr

Einführung in die Informatik I

Einführung in die Informatik I Einführung in die Informatik I Algorithmen und deren Programmierung Prof. Dr. Nikolaus Wulff Definition Algorithmus Ein Algorithmus ist eine präzise formulierte Handlungsanweisung zur Lösung einer gleichartigen

Mehr

4 Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen)

4 Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen) Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen) Greedy-Algorithmen werden oft für die exakte oder approximative Lösung von Optimierungsproblemen verwendet. Typischerweise konstruiert ein Greedy-Algorithmus eine

Mehr

0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 )

0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 ) Aufgabe 65. Ganz schön span(n)end. Gegeben sei folgende Menge M von 6 Vektoren v, v,..., v 6 R 4 aus Aufgabe P 6: M = v =, v =, v =, v 4 =, v 5 =, v 6 = Welche der folgenden Aussagen sind wahr? span(v,

Mehr

Laborversuche Datenkommunikation, 4. Semester: h. TCP/IP Internet. Laborversuch Datenkommunikation. Laborbericht

Laborversuche Datenkommunikation, 4. Semester: h. TCP/IP Internet. Laborversuch Datenkommunikation. Laborbericht TCP/IP Internet Laborversuc Datenkommunikation Laborberict Gruppe: Roland Emmenegger und Peter Koc Datum des Versucs: 11. / 18. Mai 2000 Autor: Peter Koc, HTA Luzern iakoc@ta.fz.c Seite 1/33 Inaltsverzeicnis

Mehr

DHBW Karlsruhe, Vorlesung Programmieren, Klassen (2)

DHBW Karlsruhe, Vorlesung Programmieren, Klassen (2) DHBW Karlsruhe, Vorlesung Programmieren, Klassen (2) Aufgabe 3 Bankkonto Schreiben Sie eine Klasse, die ein Bankkonto realisiert. Attribute für das Bankkonto sind der Name und Vorname des Kontoinhabers,

Mehr

Versuchsumdruck. Impulse auf Leitungen Simulation der Messergebnisse mit PSpice

Versuchsumdruck. Impulse auf Leitungen Simulation der Messergebnisse mit PSpice Hocscule STUDIENGANG ELEKTRO-UND INFORMATIONSTECHNIK Blatt von 3 Ascaffenbug Pof. D.-Ing. U. Boctle, Dipl.-Ing. Hans Hitzinge, Amin Hut Vesuc 4/5 Paktikum Scaltungstecnik I Vesion.0 vom 7.0.003 Vesucsumduck

Mehr