Neue Berechnungsmodule für Übertragungs- und Führungs- Kurvengetriebe (Teil 1)

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1 Neue Berechugsmoule für Übertragugs- u Führugs- Kurvegetriebe (Teil ) Das usarbeite hochwertiger Gelek- bw Kurve-lösuge für vorgegebee Bewegugsprobleme ist ei berechugsitesiver Proess, er ur mit Rechereisat sivoll urchuführe ist Umfassee Kostruktiosgrulage ur uswahl u ur Berechug hauptsächlich reiglieriger Übertragugskurvegetriebe (ÜKG) bis hi ur Fertigug er ebee Kurvekörper ethält Blatt er Richtliie VDI 4 [] Ergäe hieru stellt ie Richtliie VDI 74 E [] ethoe u Hilfe ur uslegug ebeer Führugs-Kurvegetriebe (FKG) bereit Nachfolge wir i wei Teile eiige Kapitel aus er Neufassug er Richtliie VDI 4, Bl, vorgestellt Die Neufassug ethält alle Berechugsgrulage für ÜKG u FKG i Form vo leistugsfähige Berechugsmoule Da ie kiematische Größe er i ÜKG u FKG vorkommee Gelekgetriebe u/oer Räergetriebe für as Ermittel er Kurvescheibeprofile vo ausschlaggebeer Beeutug si, müsse geeigete Bausteie u ere Berechug bereitgestellt were Priipiell stehe au ie oule er Richtliie VDI 79 [4] für Gelekgetriebe (GG) ur Verfügug Die ari bereits vo Rehwal [9;0] beschriebee Vorgehesweise Zerlegug er struktur i Elemetargruppe ist allgemei als oulmethoe bekat Da ie Richtliie VDI 79 keie oule ur alyse vo Kurveprofile ethält, müsse Zwischerechuge eigefügt were [] für ufgabestelluge, ie eigetlich Routieaufgabe bei er kiematische alyse vo ÜKG u FKG si Daher wir ie Richtliie VDI 4, Bl [3] i eier Neufassug erscheie, ie alle Berechugsgrulage i Form vo leistugsfähige Berechugsmoule ethält, ie für eie urchgägige u effiiete kiematische alyse ebeer GG-, ÜKG- u FKG uterschielichster Bauart mit Rollehebel-, Rollestößel-, Flachhebel- u Flachstößelabtrieb bis hi ur Bestimmug er Kurvescheibeprofile erforerlich si Etscheie für ie Leistugsfähigkeit ieser eue, erweiterte oulmethoe ist ie Verweug er komplexe Zahle als mathematisches Rüsteug Das Ergebis ist ei i sich schlüssig abgestimmter Block vo kompakte Uterprogramme i er Programmiersprache C, ie sich vom Beuter i ei für seie Belage evetuell selbst verfaßtes C-Hauptprogramm eibie lasse, oer ie vo eiem Programmiersystem (wie B PL, Delphi, Visual-Basic, usw) aus aufgerufe were köe, as Zugriff auf eie C-Programmbibliothek erlaubt Bil Beschreibug weier Pukte u B eier bewegte Ebee mit komplexe Zahle Im Teil ieses Beitrages wir uächst ie ethoe er komplexe Zahle kur erläutert u aach kosequet i eiige ausgewählte Kapitel er Ge triebeaalyse (Geleke, Zweischläge, Kurveprofil, Relativpole) verweet Im Teil wir ei Eiblick i ie programmtechische Realisierug gegebe u er Eisat er Berechugsmoule aha eies weugsbeispiels aufgeeigt Grulage er ethoe er komplexe Zahle Gegeüberstellug er Kompoete-, er atrix- u er komplexe Schreibweise Die komplexe Schreibweise erlaubt eie sehr kompakte u übersichtliche Darstellug geometrischer u isbesoere kiematischer Sachverhalte [5;6] m Beispiel eier eleme- Bil Kartesische u Polarkooriate eies ebee Vektors tare ufgabe er aalyse soll as vereutlicht were, Bil : Gegebe ist ei auf eier Bah k geführtes u sich um e Wikel y beüglich es Gestells rehees glie mit em lokale Kooriatesystem u-v Gesucht si ie absolute, auf as Gestellkooriatesystem x y beogee Bahkooriate x B u y B eies Puktes B mit e lokale Kooriate u B u v B auf iesem glie Die gesuchte Bahkooriate erhält ma: i Kompoete-Schreibweise aus utor Dipl-Ig Has Leerer Spitwegstr 8a 4564 Kaarst Tel: 0 3/ E-ail: Kostruktio-olie Deember -00

2 xb x ub cos ψ vb si ψ () yb y + ub si( ψ)+ vb cos( ψ) i ausführlicher atrix-schreibweise aus xb x ub yb cosψ s + y () s cosψ vb i kurer atrix-schreibweise aus r r r + R ( ψ ) (3) + B B mit e Vektore xb x ub rb r rb yb y,,, vb u er Drehmatrix R ψ cosψ s s cosψ i komplexer Schreibweise aus i + e ψ w (4) B mit B B xb + iyb, x + iy, wb ub + ivb Die behaelte Trasformatiosaufgabe lässt sich umkehre, ämlich: Gegebe ist ie absolute Bah k B es Geleks B Gesucht ist ie relative Bah es Geleks B beüglich es bewegte gliees Die gesuchte Kooriate er relative Bah erhält ma aus T r R ( ψ ) r r (5) B ( B ) i kurer atrix-schreibweise mit R T Traspoierte u R w e (6) B Bil 3 bleituge er Kreisbah es Gelekes B i komplexer Schreibweise Währe i er atrix-schreibweise eie eue Operatio (atrix traspoiere) otweig ist, kommt ma i er komplexe Schreibweise mit eier Divisio aus Geometrische Operatioe (Drehe, Strecke, Spiegel) lasse sich i er komplexe Darstellug mit eifache Recheoperatioe beschreibe Vorteile er komplexe Schreibweise gegeüber er atrix-schreibweise si: Sie kommt allei mit komplexe Zahle u elemetare Recheoperatioe aus Sie gestattet eie sichere aalytische Herleitug ausgehe vo eiem eifache geometrische oell u vermeiet aurch Voreicheprobleme Bei symbolischer Programmierug ( Computer-lgebra) führt ie kompakte Darstellug ur schellere Eigabe Die komplexe Schreibweise ist allerigs ur auf ebee Probleme awebar für räumliche ufgabestelluge ist etweer ie atrix- Schreibweise oer ie Verweug hyperkomplexer Zahle (Quaterioe [7]) wige erforerlich Ebee Vektore u komplexe Zahle Ei urch ei Zahlepaar efiierter Vektor, als -spaltige atrix geschriebe: r a (9) a stellt eie gerichtete geometrische oer physikalische Größe beüglich eies rechtwiklige (ebee) Kooriatesystems xy ar (Bil ) Der Vektor r läßt sich a als (geometrische) itio seier Kompoete i Richtug er mit e chse verbuee Basisvektore r r (Eiheitsvektore) e u e bile: r r r a e + a e (0) Dieselbe Größe läßt sich aber auch urch eie komplexe Zahl, bestehe aus Realteil a u Imagiärteil a, ausrücke (kartesische Form): a + ia, i () Were statt er kartesische Kooriate a u a ie Läge a (bsolutbetrag) u er Wikel a (vo er positive x-chse geählt) vo r vorgegebe, so erhält ma ie Polarkooriatearstellug vektoriell: r r r ae cos α e si α () [ ] r + komplex: ia a[ cos α isi α ] ae h, (3) + ie trigoometrische bw Expoetialform (Euler sche Formel) us e kartesische Kooriate lasse sich umgekehrt bsolutbetrag: r a a + a a a (4) u Wikel: ta α (5) ermittel Für e Real u Imagiärteil eier komplexe Zahl ist folgee Schreibweise gebräuchlich: a Re ( ), a Im ( a ) (6) sowie für e Wikel a arg( a ) (7) Die kojugiert komplexe Zahl u lautet: a ia Das Zeiche über ist ei Operator, er geometrisch gesehe eie Spiegelug es Vek- tors r a er positive x-chse bewirkt Für kojugiert komplexe Zahle gelte folgee Beiehuge: Re, iim (8) + u a Re Im (9) + merkug: I iesem Beitrag wir er Eifachheit halber häufig eie komplexe Zahl als Vektor beeichet, streg geomme müsste aber B er Sat: ist er Ortsvektor er Bah es Puktes, folgeermaße ergät were: ist er als komplexe Zahl argestellte Ortsvektor es Puktes 3 bleituge u Übertragugsfuktioe I eiem wagläufige, esse trieb urch e Wikel j gekeeichet ist, solle ie Übertragugsfuktioe ( ÜF bleituge ach j ) er Bah es Gelekes auf eiem um 0 rotieree glie (Bil 3) ermittelt were, vorausgesett, ie Übertragugsfuktioe 0 bis Orug es Wikels y si bekat (B aus []): ψ ψ ϕ, ψ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ϕ u Die Kreisbah es Gelekpuktes wir urch e betragskostate Ortsvektor r (a cost) bw ie komplexe Zahl beschriebe: ae iy (9) Kostruktio-olie Deember -00

3 Die bleitug (ÜF Orug) vo erhält ma uter Beachtug er Ketteregel: iy (30) Die bleitug (ÜF Orug) erhält ma aalog (iy y ) (3) Die -te bleitug es rotieree Ei - heitsvektors [y(j)] (y) e iy(j) läßt sich allgemei urch folgee Formel ausrücke: e ( ) i ( ψ ) e ψ ( ψ ) (3) ϕ Dari ist [] y er Rotatiosableitugsfaktor es Eiheitsvektors e iy (achfolge Rotatiosableitug geat) Die Rotatiosableituge bis Orug 4 laute: [0] (y) [] (y) iy [] (y) iy y (33) [3] (y) i(y y 3 ) 3y y [4] (y) i(y (4) 6y y ) 4y y 3y + y 4 Die Verallgemeierug es Falls betragskostater Vektor ae iy ergibt sich, we ie reelle Kostate a urch ie komplexe Variable w(j) ersett wir: e iy w mit w(j) u(j)+ iv(j) (34) Die u bleitug vo erhält ma wie folgt: e iy (w + iy w) (35) u e iy [w + iy w + (iy y )w] (36) llgemei läßt sich auch i iesem Falle ie -te bleitug vo e iy w urch folgee Formel ausrücke: e w ( ) e D ψ, w (37) ϕ Dari si D [] (y,w) ie Rotatiosableituge es um e Wikel rotierte Vektors w Es ergibt sich amit er folgee Summeausruck: D ψ, w k 0 k k ψ w k (38) Die Verweug er Rotatiosableituge erlaubt eie eiheitliche Behalug vo Übertragugsfuktioe beliebiger Orug, h vo er Herleitug bis hi ur Programmierug ist es icht otweig wie bislag üblich ie, u evtl höhere bleituge separat abuhael, soer es geügt, wie i e folgee bschitte geeigt wir, sich auf eie eiige bleitug (-ter Orug) u koetriere Die tatsächlich höchste bleitugsorug, ie i eiem Programm berechebar ist, hägt leiglich vo er ahl er imple - metierte Rotatiosableituge [] y ab (i er C-oulbibliothek i [3] bis Orug 4) 4 Defiitioe u Beeichugs- Systematik Voraussetug für eie sivolle rechergestütte alyse vo ÜKG u FKG ist eie aäquate Defiitio, Klassifiierug u symbolische Darstellug er geometrische u kiematische Variable Etspreche er Gruelemete eies s were ie Variable im Sie eier objektorietierte Vorgehesweise i ie Gruklasse: Glie-Variable u Gelek-Variable eigeteilt Zur eieutige Ietifikatio were Glieer u Geleke urchummeriert Das Gestell hat grusätich ie Glieummer 0 Die Variablebeeichuge ethalte alle otweige Iformatioe ur eieutige Charakterisierug er etsprechee geometrisch/kiematische Größe, isbesoere auf welches Glie, bw Gelek iese Größe beoge ist Glie-Variable ( ) Bm m e ψ ψ m i m Übertragugsfuktioe eies Glie-Beugsvektors Basisvektor eies Gliees Übertragugsfuktioe eies Gliewikels (Wikel es Glie-Basisvektors) Gelek-Variable l Pk l Kk gk α ( ) gk S ( ) k i e α gk Übertragugsfuktioe eier Gelek-Puktbah Ortsvektor eies Kurveprofil-Puktes Richtugsvektor eies Schubgerae Übertragugsfuktioe eies Schubrichtugswikels Übertragugsfuktioe eier Schubstrecke Dabei beeute ie Iies für Gelek- u Glievariable: k m l Iies Gelekummer Glieummer Nummer es Beugsgliees bteilugsorug u er Gelekiex P: Iex P D S Gelektyp Drehgelek Schiebergelek Schubachsgelek Bil 4 bsolute u relative Bahe Rollemittelpukt Bei Variable mit Iex l 0 (h beoge auf ( ) 0 as Gestell) geügt es B Dk statt Dk augebe Kostruktio-olie Deember -00 3

4 Bil 5 bsolute u relative Bah für reiglieriges Kurvegetriebe Schubgelek Bil 6 Bil 7 Zweischlag DDD Gruaufgabe ur kiematische alyse u ur Berechug er Kurveprofile vo Kurvegetriebe Übertragugsfuktioe (ÜF) für Dreh- u Rollegeleke Bil 4 eigt ie bereits i bschitt behaelte Gruaufgabe, ie bei er kiematische alyse vo Gelekbahe auftrete, ämlich: Bestimmug er ÜF er absolute Gelekbah k P, ereugt urch eie gliefeste Gelekpukt P auf em Glie (Kooriatesystem x y) u Bestimmug er ÜF er relative Bah k P esselbe Gelekpuktes beüglich es Gliees (Kooriatesystem x y) Die Bewegug er Glieer u ist urch ie Glie-Beugsvektore Bl (j) u ie Gliewikel y l (j) (l, ) vorgegebe Der Ortsvektor (ÜF 0-ter Orug) er absolute Bah, p (j) eies Gelekpukts P auf em beliebig bewegte Glie Nr ergibt sich aus er Trasformatio (Gl(4) i bsch) p (j) B (j) + p (43) mit e i ψ ϕ Die Übertragugsfuktioe (Orug bis ) erhält ma mit e Rotatiosableituge (Gl (3) i bsch 3) u ( ) + ( ψ ) (44) P B Die Bah es Gelekpukts P beüglich es ebefalls beliebig bewegte Gliees Nr, h P ie relative Bah beschriebe urch e Ortsvektor p (j), ergibt sich aus er Trasformatio (Gl (6) i bsch ): mit P ϕ P ϕ B ( ϕ) mit p (j) B (j) (45) Die Rotatiosableituge (Gl(37)) liefer ie Übertragugsfuktioe (Orug bis ): ϕ D, (46) P ( ) ψ Ist er Gelekpukt P vom Typ Rollemittelpukt (P), a lasse sich mit e Gl(43) bis (46) Rollemittelpuktsbahe für ebee Kurvegetriebe mit beliebiger Struktur bereche Für e eifachste Fall es reiglierige Kurvegetriebes (Bil 5) mit rotiereem Kurveglie ( Glie ) u schwigeem Rollehebel ( Glie ), beie im Gestell gelagert, ist B, y y(j), l, B 0, y j eiusete, mit Stegläge u l Rollehebel-Läge Übertragugsfuktioe (ÜF) für Schubgeleke Währe es bei Drehgeleke u Rollegeleke geügt, eie eiige Pukt auf er Drehachse es Geleks u betrachte, müsse bei Schubgeleke fags- u Epukt er Schubstrecke berücksichtigt were Dabei geügt es icht, iese Pukte als voeiaer uabhägig u betrachte, vielmehr muss für eie sivolle mathematische oellierug er gegeseitige Zusammehag er Elemete es Schubgeleks (Bil 6) i ie Betrachtug eibeoge were: Schubachse als Gerae mit Beugspukt mit er Schubrichtug g, Schubgelek S als Gleitstei oer Schieber argestellt u Schubstrecke s voreichebehaftete Strecke vo bis S Diese Zusammehag gibt ie Grugleichug es Schubgeleks wieer: + S ϕ ϕ g s ϕ (48) iα g ϕ mit e g Die Übertragugsfuktioe bis Orug ergebe sich mit e Rotatiosableituge (s Gl(37) i bsch 3) u ( ) ϕ ϕ D α, s (49) S + g ( g ) 3 Lage- u Differetialgeometrie für elemetare Zweischläge 3 Zweischlag mit rei Drehgeleke (DDD) Der i Bil 7 abgebilete Zweischlag besteht aus e Glieer u, ie über as Drehgelek D3 (Koppelgelek) miteiaer verbue si Die Drehgeleke D u D (schlußgeleke) were etlag er vorgegebee Bahe k u k geführt Daraus folgt ie Grugleichug (Schleifegleichug) für e DDD-Zweischlag: 4 Kostruktio-olie Deember -00

5 Bil 8 Schittpukt vo wei Kreise, Lagekeahl Bil 9 Zweischlag DDS Bil 0 Schittpukt Kreis-Gerae, Lagekeahl i ϕ l e ( ϕ) ψ ϕ ϕ l e (5) + + D D Bekat si ie Glieläge l u l, gesucht si ie Gliewikel y u y Diese ufgabestellug etspricht geometrisch er Bestimmug es Schittpuktes er Kreise c u c (s Bil 8), ie mit e komplexe Zahle i c l e ( ϕ ) ψ c l e ( ϕ u ) argestellt were Die Kreisgleichuge für c u c laute amit: c c l (5) c c l (53) it er bkürug D D ergibt sich aus Gl (5), (54) c c u Gl (53) geht über i: ( c ) ( c ) l (55) Divisio er Gl (5) u (55) urch ) ) u Eisete vo w c c u w w (56) liefert l ww Q (57) u ww l Q ww w w + Gl (57) i Gl (58) eigesett ergibt: (58) w + w + Q Q (59) Damit ist ie ufgabe fast vollstäig gelöst, e mit e Gl (8) u (9) aus bsch erhält ma aus Gl(57), bw (59) Real- u Imagiärteil vo w u Q Q Re ( w) +, Im w KL Q Re w Dabei ist K L ± ie Lagekeahl, ie als Voreiche er Wurel eie er beie mögliche Lage (s Bil 8) es Zweischlages festlegt Die Gliewikel y u y ergebe sich aus e Gl(56): y arg(w ), y arg[(w ) ] (6) Die Differetialgeometrie ergibt sich aus er Differetiatio er Grugleichug (54) l () l () () (6) it Hilfe er Rotatiosableituge (Gl (3) i bsch 3) vo u erhält ma für ie -te bleitug: l [] (y ) l [] (y ) () (63) Sett ma i [] (y) jeweils ie -te bleitug u Null u schreibt a 0 [] (y), so lasse sich ie Rotatiosableituge für 9 auch folgeermaße arstelle: [] (y) iy () + 0 [] (y) (64) Damit wir aus Gl (63) l y () l y () i[l 0 [] (y ) l 0 [] (y ) () ] (65) Dies ist ei lieares Gleichugssystem für ie u ermittele Übertragugsfuktioe -Orug er Wikel y u y Bei er rechergestütte alyse ist es icht otweig, iese Gleichug expliit ach y () u y () aufulöse Für iese immer wieerkehree ufgabestellug ist es sivoll ei allgemeies oul ur Lösug eies lieare Gleichugssystems für wei skalare Ubekate a u b mit e komplexe Koeffiiete a, b u c u implemetiere: a a + b b c (66) mit er Lösug ( c b) Im α Im a b, ( a c) Im β Im a b (67) 3 Zweischlag mit wei Drehgeleke u eiem Schubgelek als schluss (DDS) Der i Bil 8 argestellte Zweischlag sett sich usamme aus e Glieer u, ie über as Drehgelek D 3 (Koppelgelek) miteiaer verbue si Währe as Glie etlag er vorgegebee Bah k am schlussgelek D geführt wir, legt ie Schubgerae am schlussgelek S ie Richtug es Gliees fest Daraus folgt ie Grugleichug für e Zweischlag DDS: ϕ l e ( ϕ) + D Kostruktio-olie Deember -00 5

6 Bil Tagete, Normale, Äquiistate u Krümmugsraius am Pukt eier Bahkurve iα g ( ϕ) [ ] + + ϕ s ϕ ie e (7) Bekat si: ie Bahe D u, ie i g Richtug a g e α g er Schubgerae, ie Läge l es Gliees sowie er Versat e er Schubachse am Glie Ubekat ist och ie Richtug es Gliees y u ie Schubstrecke s Dies etspricht geometrisch er Bestimmug es Schittpuktes es Kreises c mit er Gerae l (s Bil 9) it e bküruge: i l e ψ,, w D g u Divisio urch g wir ie Grugleichug u: w s + w + ie (7) g Damit lautet ie Kreisgleichug für c: ( ) + ( )+ ww Re( w )+ s Im w e l (73) Dies ist eie quaratische Gleichug für ie Schubstrecke s, aus er sofort folgt: L s Re( w )+ K l Im ( w )+ e (74) Dabei ist K L ± ie Lagekegröße, ie eie er beie mögliche Lage (s Bil 0) es Zweischlages festlegt Die Richtug es Gliees ergibt sich aus Gl (7) u: y arg(w g ) (75) Die Differetialgeometrie erhält ma aus er Differetiatio er Grugleichug (7) w s w + ie w () s () w () (76) it Hilfe er Rotatiosableituge (Gl (37) i bsch 3) für i ( g ) i w l e u w e Bil Realtivpolbahe ψ α α g erhält ma allgemei ie -te bleitug: w g s gd ( ψ α ) α g, u ach ultiplikatio mit g : ( ) [] (y a g ) g s () D [] ( a g, ) Sett ma hier für Gl (64) ei, so wir araus gs D ( αg, ) (77) ( ψ αg )+ iα g 0 Dies ist ei lieares Gleichugssystem für ie u ermittele Übertragugsfuktioe -Orug es Wikels y u er Schubstrecke s 4 Kurveprofil u Krümmug Nachem ie Gruaufgabe ur Bestimmug er Kurveprofile vo ÜKG u FKG mit kreisförmige Eigriffsglieer (Rollegeleke), ämlich ie Ermittlug er Rollemittelpuktsbah (RB) u ere Übertragugsfuktioe bereits i bsch behaelt wure, müsse ur och as Kurveprofil als Äquiistate im bsta es Rolleraius ur RB u ie Krümmug er RB bestimmt were Die Bestimmug vo Kurveprofile, ie vo flache (geraliige) Eigriffsglieer ereugt were, wir i [3] ausführlich behaelt Die wichtigste ifferetialgeometrische Größe Orug, ie Kurvetagete ist iejeige Gerae, ie im Pukt ie Kurve miestes weipuktig berührt Sie ist efiiert urch e Tagetevektor t (Bil ), er ei Eiheitsvektor ist: t (8) Die Drehug es Tagetevektors um 90 ergibt e Normalevektor i t (8) Si Tagete u Normalevektor eimal eigetrage (Bil ), so läßt sich eifach u aschaulich urch eie geometrische itio eie Äquiistate im bsta r (r cost) ur Kurve bile: ir K + r + (83) Krümmug ebeer Kurvebahe Die Krümmug k ere Kehrwert er Krümugsraius r ist - ist ie wichtigste ifferetialgeometrische Größe Orug er Kurve Der Krümmugskreis ist erjeige Kreis, er am Berührpukt ie Kurve miestes reipuktig berührt, aher wir er auch als Schmiegkreis beeichet Die Formel für ie Krümmug bw Krümmugskreis lautet [6; 8]: κ Im / (84) ρ Das Voreiche er Krümmug ergibt sich aus ieser Gleichug Bei positivem Voreiche liegt er Krümmugskreismittelpukt i Richtug es Normalevektors 5 Relativpolbahe er ebee Bewegug Die Ketis er ometalpolbahe für beliebig bewegte Glieer ist wichtig B für ie aßsythese es Rollealekpuktes eies Kurvegetriebes ach em Kriterium optimaler Übertragugswikel (s bsch 53 i []) 6 Kostruktio-olie Deember -00

7 Betrachtet ma ie Bah eies Puktes P (s Bil ), so gilt für ie absolute Bah P beüglich es Gestells u für ie relative Bahe P u P beüglich er Glieer u : p B + p B + p (89) Dabei si Bl ie Beugsvektore u l e ( ϕ) ie Basisvektore er Glieer l, Daraus ergibt sich ie relative Bah beüglich es Gliees : + (90) P B B P oer mit e bküruge: y y y u B B B (9) B P e + e P (9) Die bleitug vo p ach j liefert: ( )+ (93) P e B B + i e P ψ Bestimmt ma e Pukt p so, ass ieser mometa vom Glie aus betrachtet ur Ruhe kommt, h p 0, a erhält ma e ometapol P P er Bewegug es Gliees relativ um Glie it p 0 liefert Gl(93) sofort e Relativpol P i + ψ B B ψ e (94) Durch Vertauschug er Iies u erhält ma e ometapol p Fortsetug i Teil Kostruktio-olie Deember -00 7

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