Formelsammlung für Investition und Finanzierung

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1 Formelsammlug für Ivesiio ud Fiazierug (Sad: ) Seie vo 8 Formelsammlug für Ivesiio ud Fiazierug INHALSVERZEICHNIS. Mahemaische Grudlage...3 a) Auflösug quadraischer Gleichuge mi der pq-formel...3 b) Auflösug quadraischer Gleichuge mi der abc-formel...3 c) Das karesische Koordiaesysem (x-achse Abzisse; y-achse Ordiae)...3 d) Der Srahlesaz...3 e) Ei Näherugsverfahre für Nullselle: Die lieare Approximaio/Ierpolaio (regula falsi) Fiazmahemaik ud ivesiiosheoreische Kezahle...3 a) Das Edvermöge eier Ivesiiosprojekes (EV I )...3 b) Der Kapialwer (K) eier Zahlugsreihe ( Barwer, sofer die Zahluge keie Vorzeichewechsel aufweise)...3 c) K im Fall eier ach der Afagsauszahlug gleich bleibede Zeireihe vo Eizahlugsüberschüsse...3 d) Der Edwer (EW) eier Zahlugsreihe...3 e) Die Auiä (e * ) eier Zahlugsreihe...3 f) e * i Abhägigkei vom ilgugssaz (S)...3 g) e * im Fall eier ach der Afagsauszahlug gleich bleibede Zeireihe vo Eizahlugsüberschüsse...3 h) Der iere Zisfuß (r * ) eies Ivesiiosprojekes...3 i) r * bei zwei Projekzahluge ( yp eier Zero-Bod-Alage/Null-Koupoaleihe )...4 j) r * bei eier Zahlugsreihe vom yp eier Koupoaleihe mi jährlich achschüssiger Zisauszahlug...4 k) r * bei drei umielbar aufeiader folgede Zahluge...4 l) r * bei gleich bleibede Projekeizahluge (Näherugsformel)...4 m) r * bei ewige Ree (Näherugsformel)...4 ) r * mi der Approximaiosmehode ermiel (Regelfall)...4 o) Der ilgugs- ud Alagepla (AP) zur Ierpreaio vo r* (bei eier Normalivesiio!)...4 p) Die Amorisaiosdauer ( * ) eies Ivesiiosprojekes...4 q) Eigug der Kezahle für projekidividuelle Voreilhafigkeisescheiduge ud Auswahlescheiduge...4 r) K eier Differezivesiio (D I - II ) Ivesiiosrechug uer Berücksichigug vo Seuer...5 a) Modifikaio der relevae Zahlugsreihe...5 b) Modifikaio des Kalkulaioszissazes (r)...5 c) K ach Seuer (K )...5 d) EW ach Seuer (EW )...5 e) Seuerparadoxo...5 f) Die Zerlegugsformel für de Gesameffek der Seuerwirkuge ( K)...5 g) Wirkug der Eizeleffeke auf de Kapialwer...5

2 Formelsammlug für Ivesiio ud Fiazierug (Sad: ) Seie 2 vo 8 4. Ivesiiosrechug uer Usicherhei...6 a) Die Porefeuilleredie (e Pj )...6 b) Die Porefeuilleredie mi 2 Werpapiere (e Pj )...6 c) Der Erwarugswer der Redie eies Porefeuilles (µ P )...6 d) Der Erwarugswer der Redie eies Porefeuilles mi 2 Werpapiere (µ P )...6 e) Die Variaz eies Porefeuilles/das Porefeuillerisiko (σ 2 P )...6 f) Die Variaz eies Porefeuilles mi 2 Werpapiere (σ 2 P )...6 g) Die Kovariaz zweier Werpapiere (cov 2 )...6 h) Der Korrelaioskoeffizie zweier Werpapiere (ρ 2 )...6 i) Erwarugswer des Kapialweres (µ K )...6 j) Die Variaz des Kapialweres (σ 2 K )...6 k) σ 2 K bei völliger Verachlässigug sochasischer Zusammehäge (ρ τ )...6 l) Erwarugswer des Gesamuerehmes mi Durchführug des Projekes P (µ M )...6 m) Variaz des Gesamuerehmes mi Durchführug des Projekes P (σ 2 M )...6 ) Veräderug des Gesamerwarugsweres ( µ)...6 o) Veräderug der Gesamsadardabweichug ( σ)...6 o) Aalyse der Veräderug des Uerehmesrisikos gemesse a σ...7 p) Die Risiko-Nuze-Fukio (RNF) des Beroulli-Prizips (φ) Barwere (B) sicherer Zahlugsreihe...7 a) Allgemeie Barwer-Defiiio...7 b) B bei Zahluge gleicher Höhe...7 c) B eier ewige Ree...7 d) B bei Zahluge gleicher Höhe ach dem Zeiraum τ...7 e) B eier ewige Ree ach dem Zeiraum τ...7 c) B kosa wachseder Zahluge bei Übereisimmug vo r ud Wachsumsrae (α) Asäze zur Ermilug eies usicherheisadjusiere Barwers...7 a) Globaler Usicherheisabschlag...7 b) Zeipukspezifische Usicherheisabschläge...7 c) Usicherheisadjusierer Kalkulaioszis Fiazmaageme...7 a) Näherugsformel für die Effekivverzisug eier Aleihe (r )...7 b) Näherugsformel für die Effekivverzisug eies Kredies (r)...8 c) Der effekive Jahreszis eies Lieferaekredies (r L )...8 d) Leasig...8 α) Vollamorisaiosverrag (ohe Kauf- oder Mieverlägerugsopio)...8 β) eilamorisaiosverrag mi Adieugsrech...8 χ) Küdbarer eilamorisaiosverrag mi Adieugsrech ud Veräußerugserlös...8

3 Formelsammlug für Ivesiio ud Fiazierug (Sad: ) Seie 3 vo 8. Mahemaische Grudlage a) Auflösug quadraischer Gleichuge mi der pq-formel 2 p p (.) x /2 ± q für x 2 ± px ± q 2 2 b) Auflösug quadraischer Gleichuge mi der abc-formel 2 b b c (.2) x /2 ± für ax 2 ± bx ± c 2a 2a a c) Das karesische Koordiaesysem (x-achse Abzisse; y-achse Ordiae) y Ordiae d) Der Srahlesaz x Abzisse a x α b (.3) a α b a x x e) Ei Näherugsverfahre für Nullselle: Die lieare Approximaio/Ierpolaio (regula falsi) (.4) x 3 x - x2 x f(x ) f(x2) f(x) 2. Fiazmahemaik ud ivesiiosheoreische Kezahle a) Das Edvermöge eier Ivesiiosprojekes (EV I ) (2.) EV I e q b) Der Kapialwer (K) eier Zahlugsreihe ( Barwer, sofer die Zahluge keie Vorzeichewechsel aufweise) (2.2) K e q c) K im Fall eier ach der Afagsauszahlug gleich bleibede Zeireihe vo Eizahlugsüberschüsse q (2.3) K e + e RBF (; r) mi RBF (; r) q q d) Der Edwer (EW) eier Zahlugsreihe (2.4) EW EV I - EV U KW q e) Die Auiä (e * ) eier Zahlugsreihe e (2.5) e * K ANF (; r) mi ANF (; r) f) e * i Abhägigkei vom ilgugssaz (S) (2.6) e * K (r + S) q r q q r - q q r q - q q r RBF (; r) q K e * RBF (; r) g) e * im Fall eier ach der Afagsauszahlug gleich bleibede Zeireihe vo Eizahlugsüberschüsse (2.7) e * e - e ANF (; r) h) Der iere Zisfuß (r * ) eies Ivesiiosprojekes (2.8) ( + r * ) e

4 Formelsammlug für Ivesiio ud Fiazierug (Sad: ) Seie 4 vo 8 i) r * bei zwei Projekzahluge ( yp eier Zero-Bod-Alage/Null-Koupoaleihe ) (2.9) r * e -e j) r * bei eier Zahlugsreihe vom yp eier Koupoaleihe mi jährlich achschüssiger Zisauszahlug (2.) r * z mi z jährliche achschüssige Zisauszahlug r * Nomialzis k) r * bei drei umielbar aufeiader folgede Zahluge (2.) r * e e e2,2 ± 2e 2e e 2 l) r * bei gleich bleibede Projekeizahluge (Näherugsformel) (2.2) RBF (; r * ) e m) r * bei ewige Ree (Näherugsformel) (2.3) r * e e e ) r * mi der Approximaiosmehode ermiel (Regelfall) ~ (2.4) rn KP rp KN r KP KN mi K N Kapialwer uer Berücksichigug vo r N K P Kapialwer uer Berücksichigug vo r P r N Zissaz, bei dem der Kapialwer (K N ) egaiv is r P Zissaz, bei dem der Kapialwer (K P ) posiiv is o) Der ilgugs- ud Alagepla (AP) zur Ierpreaio vo r* (bei eier Normalivesiio!) mi Z die im Zeipuk erfolgede Zisbelasug C Koosad im Zeipuk Berag, der bis zum Zeipuk och ich abgeragee Verbidlichkeie. Ierpreaio: r* gib die maximale Kapialkosebelasug a. 2. Ierpreaio: Der eifache Durchschi der Summe aller C -Were ergib die durchschiliche Kapialbidug. p) Die Amorisaiosdauer ( * ) eies Ivesiiosprojekes *- (2.5) q < q e * e q) Eigug der Kezahle für projekidividuelle Voreilhafigkeisescheiduge ud Auswahlescheiduge Kezahl e Z C - r* e + Z C C - + (e + Z ) r) K eier Differezivesiio (D I - II ) e e + + (e + ) e Z C - r* e + Z, falls mi r* abgereche (2.6) D I-II K I - K II (ei eii) q projekidividuelle Voreilhafigkeisescheiduge Auswahlescheiduge Kapialwer (K) K > max:ki, sofer K i > Edwer (EW)/ Edvermöge (EV) EW EV I - EV U > i ur bei gleicher Laufzei oder Bezug auf gemeisame Zeipuk: max: EWi('), sofer EW i > i Auiä (e * ) e * > ur bei gleicher Laufzei: max: e *, sofer e * > i Ierer Zisfuß (r * ) ur bei Normalivesiioe: r * > r ich geeige, da die Bezugsbase der Relaivzahl r * ich übereisimme Amorisaiosdauer ( * ) isbesodere bei Normalivesiioe: * ich geeige, da alle Zahluge ach * uberücksichig bleibe

5 Formelsammlug für Ivesiio ud Fiazierug (Sad: ) Seie 5 vo 8 3. Ivesiiosrechug uer Berücksichigug vo Seuer a) Modifikaio der relevae Zahlugsreihe Schrie b) Modifikaio des Kalkulaioszissazes (r) (3.) r r ( - s) mi r Neozis (ach Seuer) der um de Seuersaz (s) reduziere Kalkulaioszis r Bruozis (vor Seuer) s Seuersaz (idr als Dezimalzahl) c) K ach Seuer (K ) (3.2) K e' ( + r ) bzw. ausführlich, da e e - s gil: (3.3) K e ( + r ) - mi s d) EW ach Seuer (EW ) s ( + r ) ( + r ) Seuerbarwer (SB) (3.4) EW e' ( + r ) bzw. ausführlich, da e e - s gil: (3.5) EW e ( + r ) - mi s Größe () Zeipuk () (2) Zahlug vor Seuer (e ) (3) Abschreibug (α ) (4) (2) - (3) Gewi ( g ) e - α (5) s (4) Seuer (S) s g (6) (2) - (5) Zahlug ach Seuer (e ) e - s g s ( + r ) ( + r ) Seueredwer (SE) e) Seuerparadoxo (3.6) K < < K EW < < EW K < < K f) Die Zerlegugsformel für de Gesameffek der Seuerwirkuge ( K) (3.7) K K (r K ) - K(r K ) [K (r K ) - K(r K )] + [K (r K ) - K (r K )] mi K (r K ) Kapialwer ach Seuer r K r K - s der um de Seuersaz reduziere Kalkulaioszis K (r K ) - K(r K ) Volumeeffek (V) Bruo- Neozahluge K (r K ) - K (r K ) Ziseffek (Z) Bruo- Neofiazierugskose g) Wirkug der Eizeleffeke auf de Kapialwer - Effek Volumeeffek (V) Ziseffek (Z) Wirkug auf de Kapialwer (bei Normalivesiio!) oder i besoders gelagere Fälle auch scho eimal

6 Formelsammlug für Ivesiio ud Fiazierug (Sad: ) Seie 6 vo 8 4. Ivesiiosrechug uer Usicherhei a) Die Porefeuilleredie (e Pj ) (4.) e Pj epj xj j b) Die Porefeuilleredie mi 2 Werpapiere (e Pj ) (4.2) e Pj x e j + x 2 e 2j c) Der Erwarugswer der Redie eies Porefeuilles (µ P ) (4.3) µ P epj pj j d) Der Erwarugswer der Redie eies Porefeuilles mi 2 Werpapiere (µ P ) (4.4) µ P x µ + x 2 µ 2 e) Die Variaz eies Porefeuilles/das Porefeuillerisiko (σ P 2 ) (4.5) σ 2 P (e µ j Pj ) p ( ) j p 2 j 2 2 p j p epj - µ f) Die Variaz eies Porefeuilles mi 2 Werpapiere (σ 2 P ) (4.6) σ 2 P x 2 σ 2 + x 2 2 σ x x 2 σ σ 2 ρ 2 g) Die Kovariaz zweier Werpapiere (cov 2 ) (4.7) cov 2 ( ej µ ) (e2j µ 2 ) pj j h) Der Korrelaioskoeffizie zweier Werpapiere (ρ 2 ) cov2 (4.8) ρ 2 σ σ2 mi ρ 2 bedeue vollsädig posiive Korrelaio vollsädige Risikokumulaio ρ 2 bedeue vollsädig uabhägige Korrelaio ypischer Fall der Risikodiversifikaio ρ 2 - bedeue vollsädig egaive Korrelaio vollsädiges Hedgig i) Erwarugswer des Kapialweres (µ K ) (4.9) µ K µ mi µ Erwarugswere der bereis auf abgezise Eizahlugsüberschüsse i de Zeipuke,,..., j) Die Variaz des Kapialweres (σ K 2 ) (4.) σ 2 2 K σ + 2 mi - σ στ ρ τ + τ σ 2 Variaze der bereis auf abgezise Eizahlugsüberschüsse i de Zeipuke,,..., ρ τ der auf die Eizahlugsbarwere zweier Periode ud τ (τ > ) bezogee Korrelaioskoeffizie k) σ K 2 bei völliger Verachlässigug sochasischer Zusammehäge (ρ τ ) (4.) σ K 2 σ 2 l) Erwarugswer des Gesamuerehmes mi Durchführug des Projekes P (µ M ) (4.2) µ M µ + µ P mi µ Erwarugswere des Gesamuerehmes ohe Durchführug des Projekes P µ P Erwarugswere des Projekes P m) Variaz des Gesamuerehmes mi Durchführug des Projekes P (σ M 2 ) (4.3) σ 2 M σ 2 + σ 2 P + 2 σ σ P ρ P mi σ 2 Variaz des Gesamuerehmes ohe Durchführug des Projekes P σ 2 P Variaz des Projekes P ρ P Korrelaioskoeffizie zwische dem Kapialwer des Gesamuerehmes (ohe das berachee Projek) ud dem Kapialwer des eue Projekes ) Veräderug des Gesamerwarugsweres ( µ) (4.4) µ µ M - µ µ P o) Veräderug der Gesamsadardabweichug ( σ) 2 2 (4.5) σ σ M - σ σ + σp + 2σ σp ρ - σ P

7 Formelsammlug für Ivesiio ud Fiazierug (Sad: ) Seie 7 vo 8 o) Aalyse der Veräderug des Uerehmesrisikos gemesse a σ Fall A B C D ρ P + σp 2σ σ σ P 2 2 σ + σp σ < σ < σ P -σ P p) Die Risiko-Nuze-Fukio (RNF) des Beroulli-Prizips (φ) (4.6) φ µ + α f(σ) µ + α (µ 2 + α 2 ) mi φ Präferezwer zur Beureilug eies Ivesiiosprojekes α < ud Ausdruck der idividuelle Risikoaversio des Escheidede 5. Barwere (B) sicherer Zahlugsreihe a) Allgemeie Barwer-Defiiio (5.) B z q b) B bei Zahluge gleicher Höhe (5.2) B z RBF (; r) c) B eier ewige Ree (5.3) B r z d) B bei Zahluge gleicher Höhe ach dem Zeiraum τ (5.4) B z q + z RBF (z*; r) q τ e) B eier ewige Ree ach dem Zeiraum τ (5.5) B τ z z q + q -τ r c) B kosa wachseder Zahluge bei Übereisimmug vo r ud Wachsumsrae (α) (5.6) B β z mi β q + α 6. 3 Asäze zur Ermilug eies usicherheisadjusiere Barwers a) Globaler Usicherheisabschlag (6.) B* z q - U mi B* usicherheisadjusierer Barwer z repräseaiver Wer U Usicherheisabschlag b) Zeipukspezifische Usicherheisabschläge (6.2) B* (z U ) q mi U Usicherheisabschläge c) Usicherheisadjusierer Kalkulaioszis (6.3) B* z q* mi 7. Fiazmaageme -τ mi q* ( + r + ρ) q* um Usicherheiszuschlag ergäzer Zisfakor p Usicherheiszuschlag a) Näherugsformel für die Effekivverzisug eier Aleihe (r ) R S C - C i + (7.) r S C mi r aus Alegersich verlage Effekivverzisug Reslaufzei C S Börsekurs eier gesamfällige Aleihe Schuldverschreibug C R Rückzahlugskurs eier gesamfällige Aleihe (idr %) -

8 Formelsammlug für Ivesiio ud Fiazierug (Sad: ) Seie 8 vo 8 b) Näherugsformel für die Effekivverzisug eies Kredies (r) CR + CE i + (7.2) r CE mi i Nomialzis + ggf. zusäzliche laufede Kredikose C E Auszahlugskurs - Disagio - ggf. zusäzliche eimalige Kredikose C R Rückzahlugskurs des Kredis (idr %) milere Kredilaufzei, defiier als Durchschi aus der gesame Kredilaufzei ud der Laufzei bis zur erse ilgugsrae c) Der effekive Jahreszis eies Lieferaekredies (r L ) Uer Verachlässigug uerjährlicher Ziseffeke, läss sich der effekive Jahreszis eies Lieferaekredies (r L ; Skooverzich) wie folg bereche: 36 age S R Jahresäquivale S 36 age (7.3) r L 2 effekive Kredisumme R ( S) S 2 mi S Skoo i Proze R Rechugsberag i Währugseiheie Skoofris i age 2 Zahlugsziel i age d) Leasig α) Vollamorisaiosverrag (ohe Kauf- oder Mieverlägerugsopio) (7.4) AK (LR - VK) RBF (; i) mi AK Aschaffugskose LR Leasigrae VK Verwalugskose Daraus folg für LR: AK (7.5) LR + VK AK ANF (; i) + VK RBF (; i) β) eilamorisaiosverrag mi Adieugsrech (7.6) AK (LR - VK) RBF (; i) + A ( + i) mi A Adieugsrech Daraus folg für LR: AK - A (+ i) (7.7) LR + VK [AK - A (+ i) ] ANF (; i) + VK RBF (; i) χ) Küdbarer eilamorisaiosverrag mi Adieugsrech ud Veräußerugserlös (7.8) AK (LR - VK) RBF (; i) + (A + VP) ( + i) mi VP Veräußerugserlös Daraus folg für LR: AK - (A + VP) (+ i) (7.9) LR + VK [AK - (A + VP) (+ i) ] ANF (; i) + VK RBF (; i)

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