Nicht-Standard Inferenzdienste. Least Common Subsumer (kleinster gemeinsame Subsumer) Berechnung des lcs. Most Specific Concept (speziellste Konzept)

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1 Nicht-Standard Inferenzdienste Motivation: Standard-Dienste wie die Berechnung der TBox-Subsumtionshierarchie oder ABox-Konsistenz nicht für jede Situation ausreichend. Insb. (interaktive) Dienste für die Erstellung und Verfeinerung von Wissensbasen gefordert. Z. B.: Erkennung syntaktisch verschiedener Definitionen eines semantisch ähnlichen Begriffs Erzeugung/Lernen von Konzepten aus gegebenen Beispielen Vereinfachung von Ausdrücken Identifikation der Ursache einer größeren Menge von inkonsistenten Konzepten Erklärung von Schlussfolgerungen... Least Common Subsumer (kleinster gemeinsame Subsumer) Intuitiv: Der least common subsumer (lcs) einer Menge von Konzepten besteht aus einer Beschreibung der Eigenschaften, die alle Konzepte gemeinsam haben. Least Common Subsumer Sei L eine Beschreibungslogik. Eine Konzeptbeschreibung E von L ist der least common subsumer (lcs) der Konzeptbeschreibungen C 1,..., C n in L (kurz lcs(c 1,..., C n)) gdw. (i) C i E für alle i = 1,..., n und (ii) E ist das speziellste L-Konzept welches (i) erfüllt, d. h. falls E ein L-Konzept mit C i E für alle i = i,..., n, dann E E. Bemerkung: Ein lcs muss nicht notwendigerweise existieren (evtl. gibt es eine unendliche Kette von immer spezielleren lcs) Anwendung: Z.B. eine bekannte Methode des induktiven Lernens (spez. Konzept, welches eine Menge von Beispielen generalisiert) Jedoch: Für Sprachen mit Disjunktion gilt lcs(c 1,..., C n) C 1 C n SS07, T. Liebig, Uni Ulm SS07, T. Liebig, Uni Ulm Most Specific Concept (speziellste Konzept) Berechnung des lcs Konzeptionelles Vorgehen am Beispiel FL 0 (, ): Idee: bottom-up Konstruktion von TBox-Beschreibungen aus typischen Beispielen in der ABox. Most Specific Concept Eine Konzeptbeschreibung E von L ist das most specific concept (mcs) der Individuen a 1,..., a n einer ABox A (kurz msc(a 1,..., a n)) gdw. (i) A = E(a i ) für alle i = 1,..., n und (ii) E ist das speziellste L-Konzept welches (i) erfüllt, d. h. falls E ein L-Konzept mit A = E (a i ) für alle i = i,..., n, dann E E. Inhärenter Zusammenhang mit lcs: mcs(a 1,..., a n) lcs(mcs(a 1 ),..., mcs(a n)) Voraussetzung: Umformung in concept-centered normal form (CCNF) Sei N C die endliche Menge von atomaren Konzepten und N R die endliche Menge von Relationsnamen, dann ist die CCNF eines Konzeptes C wie folgt aufgebaut: C A NC U A.A Z.B.: C = r.( s.a r.b) s. s.a lässt sich in CCNF wie folgt umformen: C r. s.a s. s.a r. r.b Sei D in CCNF ( A NC V A.A) {rs, ss}.a {rr}.b Es gilt dann: C D gdw. V A U A für alle A N C. Daraus folgt, dass: lcs(c, D) A NC (U A V A ).A SS07, T. Liebig, Uni Ulm SS07, T. Liebig, Uni Ulm 2-219

2 Berechnung des lcs (Beispiel) Unifikation Idee: Ersetzung von Konzeptnamen (im Sinne von Variablen) zur Bestimmung von Äquivalenz oder Subsumtion. Einfaches Sei C {rs, ss}.a {rr}.b D {rs, rr}.a {rr, sr}.b dann ist lcs(c, D) {rs}.a {rr}.b Motivation: Das verteilte Arbeiten mehrerer Personen an einer großen Wissensbasis führt zur verschiedenen Definitionen eines intuitiv identischen Sachverhalts/Konzepts. C hat-kind. hat-kind.reich hat-kind.rvr D Akr hat-kind.akr hat-kind. hat-kind. hat-ehepartner.reich Mit den Ersetzungen Reich hat-ehepartner.reich für Rvr (reich und reich verheirated) und hat-kind.reich für Akr (alle Kinder sind reich) gilt, dass C D. Die Substitution, die zwei Konzepte C und D äquivalent macht nennt man Unifikator von C und D. SS07, T. Liebig, Uni Ulm SS07, T. Liebig, Uni Ulm Konzeptvariablen und Unifikator Es muss jedoch klar sein bzw. entschieden werden, welche der Konzeptnamen substituiert werden sollen (jene nennt man Konzeptvariablen). FL 0 -Konzeptmuster (concept patterns) sind z. B. definiert durch: C, D X A r.c C D (mit X als Konzeptvariable) Unifikator Seien C, D FL 0 -Konzeptmuster. Dann ist die Substitution σ ein Unifikator des Unifikationsproblems C? D gdw. σ(c) σ(d). Bemerkung: Die Existenz eines Unifikators sagt jedoch nichts über eine tatsächliche intuitiv identische Beschreibung aus! (Unifikation in FL 0 ist ExpTime vollständig) Matching Matching ist ein Spezialfall der Unifikation in der eine der beiden Ausdrücke keine Variablen enthält. matching modulo equivalence Sei C eine Konzeptbeschreibung und D ein FL 0 -Konzeptmuster. Für das Matchingproblems C? D ist σ ein matcher gdw. C σ(d). Bemerkung: Matching modulo subsumtion (C? D) kann überführt werden in matching modulo equivalence (C? C D). Matching ist eine Möglichkeit uninteressante Aspekte/Teile komplexer Beschreibungen insb. in großen Wissensbasen zu filtern. Ein Matching des Konzepts D = research-interests.x gegen das Konzept C = pets.cat research-interests.ai hobbies.gardening besitzt einen minimalen matcher σ = {X AI} modulo subsumtion. SS07, T. Liebig, Uni Ulm SS07, T. Liebig, Uni Ulm 2-223

3 Concept Rewriting Das Problem des concept rewriting besteht in der äquivalenten Transformation von Konzeptbeschreibungen einer Beschreibungslogik L 1 in eine Logik L 2. Bemerkung: Falls keine äquivalente Beschreibung existiert ist man an einer möglichst guten Approximation interessiert. Motiviert ist diese Problemstellung z. B. durch: Übersetzungen von Wissensbasen zwischen verschiedenen Systemen Minimierung der Größe von Konzeptausdrücken zur besseren Übersichtlichkeit (L 1 und L 2 müssen nicht notwendigerweise verschieden sein) Optimierung von Anfragen, z, B. durch Ausnutzung von bereits beantworteten Anfragen auf Datenbanken (anstelle von kostenintensivem Zugriff auf die zugrundeliegenden Daten) (NP-hart für ALN ) Explaining Erklärungskomponente bzgl. Subsumtion (Äquivalenz oder Unerfüllbarkeit). Relativ naheliegend für Inferenzprozeduren mit struktureller Subsumtion. Erklärung der Umformungen für die Entwicklung der Normalform (auch on-the-fly) Erklärung des strukturellen Vergleichs einzelner Konstrukte (plus rekursiven Aufruf) Problem: Nur für Sprachen die mit dem strukturellen Ansatz handhabbar sind geeignet. E A = ( r.e) ( r.c) B = r.d D = ( 1 q) C = q.e Zu erklärende Fragestellung: A? B SS07, T. Liebig, Uni Ulm SS07, T. Liebig, Uni Ulm Explaining (Beispiel) Tableau-basiertes Explaining (1) Explanation for A B: It holds that A is subsumed by B: A B which is equivalent to the unfolded subsumption problem: ( r E) ( r C) ( r D) In order to check that ( r E) and ( r C) is subsumed by ( r D) we need to check whether the conjunction of E and C is subsumed by D: E C D which is equivalent to the unfolded subsumption problem: E ( q E) ( 1 q) In order to check that ( q E) is subsumed by ( 1 q) we need to check whether E is subsumed by Thing: E Thing By definition everything is subsumed by Thing. Idee: Schritt-für-Schritt Erläuterung der Umformungsschritte und Tableau-Regeln Problem: Das Tableauverfahren führt einen Widerspruchsbeweis! Lösung: Tagging des negierten Ausdrucks (rechte Seite) und Rückberechnung für die Erklärung. Der Ausdruck A entspricht dem Subsumtionsproblem: A und wird erklärt: Everything is subsumed by the most general concept. Darüber hinaus müssen alle Auffaltungsschritte erläutert werden. C. = r.a D. = r.b mit C D wird erklärt als We have to check whether C D which unfolds to r.a r.b. SS07, T. Liebig, Uni Ulm SS07, T. Liebig, Uni Ulm 2-227

4 Tableau-basiertes Explaining (2) Die Erklärung der Tableau-Regeln für ALE sind relativ straightforward. Bemerkungen zur Erweiterung des Sprachumfangs: Kardinalitätseinschränkungen Für ( n r) und ( n r) mit n {0, 1} muss bei der Erklärung (die durch einen Widerspruch erzeugt wird) jeweils die Seite des jew. Konstrukts berücksichtigt werden (4 Fälle). Das Verschmelzen von Nachfolgern (merging) bedarf zusätzlicher Erklärung. Rollenhierarchie Zusätzliche Erklärung für Sub-Rollen nötig (da jeder Füller immer auch ein Füller der Super-Rolle Kardinalitätseinschränkungen). Domain und Range Erklärung für Einschränkungen die die Bild- und Ursprungsangaben erzeugen. Transitive Rollen Propagierung von Einschränkungen durch transitive Rollen müssen erklärt werden. Optimierungen Umschalten auf Erklärung von Unerfüllbarkeit, falls diese auf einer der beiden Seiten (unabhängig von der anderen Seite) auftritt. Lexikalische Analyse Verstecken von Komponenten, die nicht zum Widerspruch beitragen Debugging von Wissensbasen Problem: Ein einzelner Widerspruch in einer großen Wissensbasis (TBox) kann zu einer Inkonsistenz vieler weiterer Konzepte führen. Kettenreaktion von einander abhängigen Inkonsistenzen Ist A inkonsistent, dann werden in einem ersten Schritt alle Konzepte mit beispielsw. folgenden Definitionen zwangsläufig ebenfalls inkonsistent: r.a, A, ( 1 r A),... Aufgabe: Identifikation der eigentlichen (minimalen) Quelle der Inkonsistenz Idee: [Schlobach, Cornet 03] Axiom Pinpointing: Erkennung der für die Inkonsistenz verantwortlichen Axiome Concept Pinpointing: Vereinfachung dieser Axiome SS07, T. Liebig, Uni Ulm SS07, T. Liebig, Uni Ulm Axiom Pinpointing (1) Ein Axiom ist relevant, falls eine inkonsistente TBox (oder zumindest ein Konzept) erfüllbar wird, wenn dieses Axiom aus der TBox entfernt wird. TBox: ax 1 : A 1 = A A 2 A 3 ax 2 : A 2 = A A 4 ax 3 : A 3 = A 4 A 5 ax 4 : A 4 = s.b C ax 5: A 5 = s. B ax 6 : A 6 = A 1 r.(a 3 C A 4 ) ax 7: A 7 = A 4 s. B A B C Die unerfüllbaren Konzepte dieser TBox sind: {A 1, A 3, A 6, A 7} Minimal unsatisfiability preserving TBox T Sei A ein unerfüllbares Konzept in T. Die Menge T T ist eine minimale Unerfülbarkeitserhaltende sub-tbox (MUPS), falls A unerfüllbar in T und erfüllbar in jeder sub-tbox T mit T T mups(t, A 1 ) = {{ax 1, ax 2 }, {ax 1, ax 3, ax 4, ax 5}} mups(t, A 7) = {{ax 4, ax 7}} mups(t, A 6 ) = {{ax 1, ax 2, ax 4, ax 6 }, {ax 1, ax 3, ax 4, ax 5, ax 6 }} mups(t, A 3 ) = {{ax 3, ax 4, ax 5}} Axiom Pinpointing (2) Identifikation von kleinsten Mengen von Axiomen bzgl. TBox-Inkonsistenz: Minimal incoherence preserving sub-tboxes Sei T eine inkonsistente TBox. Eine TBox T T ist eine minimale unerfüllbarkeitserhaltende sub-tbox (MIPS) von T, falls T inkonsistent ist und T T mit T konsistent für alle sub-tboxen T mips(t ) = {{ax 1, ax 2 }, {ax 3, ax 4, ax 5}, {ax 4, ax 7}} Anzahl und Größe der MIPS einer TBox geben Hinweise bzgl. der Ursache inkonsistenter Wissensbasen. Taucht ein Axiom in mehr als einem MIPS auf (z. B. ax 4 ), sagt dies etwas über den Grad der Auswirkungen auf andere Cluster von Inkonsistenzen aus. Jedoch: Den oder die tatsächlichen Modellierungsfehler muss letztendlich der Modellierer selbst erkennen und beheben ( erfordert ein Verständnis der zu modellierenden Domäne). SS07, T. Liebig, Uni Ulm SS07, T. Liebig, Uni Ulm 2-231

5 Concept Pinpointing Zusammenfassung: Nicht-Standard Inferenzdienste Vereinfachung der relevanten Axiome auf die Konstrukte, die den Widerspruch verursachen. Vorgehen: Syntaktische Generalisierung C von Konzepten C in der Form, dass C C ohne die vorherigen Eigenschaften zu verlieren (d. h. maximale Generalisierung bei gleichzeitiger Beibehaltung der MUPS und MIPS). Notation: Die generalisierte unerfüllbarkeitserhaltende Terminologie (GIT) einer TBox T bezeichnet man mit git(t ). Im vorhergehenden git(t ) = {{A 1 = A A}, {A 3 = s.b s. B}, {A 7 = s.b s. B}} Prototypische Realisierung für definitorische ALC Terminologien: Java-Implementierung mit RACER für Axiom Pinpointing Medizinische KB (DICE) mit 529 Konzepten und 45 Relationen (initial: 76 unerfüllbare Konzepte). Bedarf an nicht-standard Inferenzdiensten ist vorhanden (insb. im Umfeld der werkzeugunterstützten KB-Entwicklung). Problem: Einige der Dienste sind nur für ausdrucksschwache Sprachen sinnvoll. Andere Dienste basieren auf strukturellen Prozeduren Im Allgemeinen recht hohe Komplexität Darüber hinaus: Interaktivität aktueller Schlussfolgerungssysteme dürftig (traditionell nur batch-orientierte Verarbeitung) Aktuelles Gebiet der Forschung SS07, T. Liebig, Uni Ulm SS07, T. Liebig, Uni Ulm 2-233

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