Die komplexen Zahlen

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Die komplexen Zahlen"

Transkript

1 Kapitel 9 Die komplexen Zahlen Der Körper der komplexen Zahlen Die Gauß sche Zahlenebene Algebraische Gleichungen Anwendungen

2 Der Körper der komplexen Zahlen Die Definition der komplexen Zahlen Definition Die Zahl i mit i 2 := 1 heißt imaginäre Einheit. Die Menge C := {z = x + i y x, y IR} bezeichnet die Menge der komplexen Zahlen. Man nennt x = Re z den Realteil, y = Im z den Imaginärteil der komplexen Zahl z = x + i y. Mathematik kompakt 1

3 Der Körper der komplexen Zahlen Beispiel Die komplexe Zahl z = 5 7i hat den Realteil Re z = 5 und den Imaginärteil Im z = 7 (und nicht den Imaginärteil 7i). Die imaginäre Einheit i = i selbst hat den Realteil Re i = 0 und den Imaginärteil Im i = 1. Komplexe Zahlen werden gewöhnlich mit z, reelle Zahlen mit x oder y bezeichnet. Die imaginäre Einheit heißt übrigens in den technischen Disziplinen oft j, in Mathematikerkreisen wird sie hingegen immer mit i abgekürzt. Mathematik kompakt 2

4 Der Körper der komplexen Zahlen Reelle und komplexe Zahlen Zahlbereichserweiterung Die komplexen Zahlen, deren Imaginärteil 0 ist, kann man mit den reellen Zahlen identifizieren. In diesem Sinne ist IR eine Teilmenge von C. Komplexe Zahlen, deren Realteil 0 ist, nennt man rein-imaginär. Beispiel Die komplexe Zahl i entspricht der reellen Zahl 2. Die (komplexe) Zahl 5/7 i ist reinimaginär. Die imaginäre Einheit i ist ebenfalls reinimaginär. Mathematik kompakt 3

5 Der Körper der komplexen Zahlen Gleichheit komplexer Zahlen Zwei komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn sowohl ihr Realteil als auch ihr Imaginärteil übereinstimmen: x 1 + i y 1 = x 2 + i y 2 x 1 = x 2 und y 1 = y 2. Beispiel Von den komplexen Zahlen sind nur z 1 und z 4 gleich. z 1 = 8/5 3/10 i, z 2 = 8/5 4/10 i, z 3 = 3 0.3i, z 4 = i Mathematik kompakt 4

6 Der Körper der komplexen Zahlen Die Grundrechenarten Definition (x 1 + i y 1 ) + (x 2 + i y 2 ) := (x 1 + x 2 ) + i (y 1 + y 2 ) (x 1 + i y 1 ) (x 2 + i y 2 ) := (x 1 x 2 ) + i (y 1 y 2 ) (x 1 + i y 1 ) (x 2 + i y 2 ) := (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + i (x 1 y 2 + x 2 y 1 ) (x 1 + i y 1 )/(x 2 + i y 2 ) := x 1 x 2 + y 1 y 2 x i x2y 1 x 1 y 2 y2 2 x 2 + y2 2 (Division nur im Falle von x 2 + i y 2 0) Mathematik kompakt 5

7 Der Körper der komplexen Zahlen Die Grundrechenarten Merkregeln Die Definition der Summe bzw. Differenz zweier komplexer Zahlen ist jedenfalls straightforward : Man addiert bzw. subtrahiert jeweils sowohl die Real- als auch die Imaginärteile getrennt. Die Definition der Multiplikation sieht kompliziert aus, folgt aber einfach aus den üblichen (aus dem reellen Rechnen bekannten) Regeln, wie man Klammern ausmultipliziert: (x 1 + i y 1 ) (x 2 + i y 2 ) = = x 1 x 2 + x 1 i y 2 + i y 1 x 2 + i y 1 i y 2 = x 1 x 2 + i x 1 y 2 + i x 2 y 1 y 1 y 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + i (x 1 y 2 + x 2 y 1 ), dabei wurde nur i 2 = 1 und das Umsortieren in Real- und Imaginärteil benutzt. Mathematik kompakt 6

8 Der Körper der komplexen Zahlen Die Grundrechenarten Merkregeln (Fortsetzung) Auf die Formel für die Division komplexer Zahlen kommen wir durch folgende Umformungen: x 1 + i y 1 = (x 1 + i y 1 ) (x 2 i y 2 ) x 2 + i y 2 (x 2 + i y 2 ) (x 2 i y 2 ) = (x 1x 2 + y 1 y 2 ) + i (x 2 y 1 x 1 y 2 ) x y2 2. Man erweitert also mit (x 2 i y 2 ) und stellt fest, dass beim Ausmultiplizieren der Nenner reell wird. Das ist schon der ganze Trick! Mathematik kompakt 7

9 Der Körper der komplexen Zahlen Die Grundrechenarten Beispiele Beispiel Für Addition und Subtraktion betrachten wir: (3 + 4i) + (1 2i) = (3 + 1) + (4 2)i = 4 + 2i, (3 + 4i) (1 2i) = (3 1) + (4 ( 2))i = 2 + 6i. Für die Multiplikation ergibt sich durch Ausmultiplizieren der Klammern: (3 + 4i) (1 2i) = = 3 } {{ 1} ( 2i) } {{ } 6i + 4i } {{ 1} + 4i ( 2i) } {{ } 4i 8i 2 = 3 6i + 4i + 8 = (3 + 8) + (4 6)i = 11 2i. Mathematik kompakt 8

10 Der Körper der komplexen Zahlen Die Grundrechenarten Beispiele (Fortsetzung) Und für die Division erhält man durch Erweitern mit (1 + 2i): 3 + 4i 1 2i = = (3 + 4i)(1 + 2i) (1 2i)(1 + 2i) (3 8) + (4 + 6)i = i 5 = 1 + 2i. Mathematik kompakt 9

11 Der Körper der komplexen Zahlen Übung a) Gegeben seien die komplexen Zahlen z 1 := 1 8i und z 2 := 2 3i. Berechnen Sie 2z 1, 2z 1 + z 2, z 2 z 1, z 1 z 2, z 2 1 (:= z 1 z 1 ) und z 1 : z 2. b) Berechnen Sie die folgenden Potenzen von i: i 2, i 3, i 4, i 5, i 6 und i 27. Mathematik kompakt 10

12 Der Körper der komplexen Zahlen Lösung a) 2z 1 = 2 16i, 2z 1 + z 2 = 4 19i, z 2 z 1 = 1 + 5i, z 1 z 2 = i, z1 2 = i, z 1 : z 2 = 2 + i. b) i 2 = 1, i 3 = i 2 i = ( 1) i = i, i 4 = i 3 i = ( i) i = i 2 = ( 1) = 1, i 5 = i, i 6 = 1, i 27 = i = i 3 = i. Mathematik kompakt 11

13 Der Körper der komplexen Zahlen Der Körper der komplexen Zahlen Die komplexen Zahlen bilden bezüglich der Addition und Multiplikation einen Körper (C, +, ). Genau wie in IR sind also in C die Körperaxiome (z.b. gewisse einfache Rechenregeln wie die Kommutativgesetze) erfüllt. Man rechnet mit anderen Worten wie gewohnt. Mathematik kompakt 12

14 Der Körper der komplexen Zahlen Keine Größer-/Kleiner-Beziehung in C! Anders als in IR gibt es aber keine Größer-/Kleiner- Beziehung in C. Man kann also zwei komplexe Zahlen nur auf Gleichheit/Ungleichheit untersuchen, nicht aber sinnvoll sagen, welche von beiden die größere ist. Mathematik kompakt 13

15 Der Körper der komplexen Zahlen Keine positiven oder negativen Zahlen in C! Außerdem gibt es keine positiven oder negativen komplexen Zahlen. Es wäre also falsch zu sagen, dass +i positiv sei. Ebensowenig ist +i negativ. Auch 2i ist weder positiv noch negativ! Bedenken Sie dazu, dass das Produkt zweier positiver oder zweier negativer Zahlen stets positiv ist: Das Produkt von i mit sich selbst ergibt aber 1, also eine negative Zahl! Mathematik kompakt 14

16 Der Körper der komplexen Zahlen Die konjugiert-komplexe Zahl Definition Die komplexe Zahl z := x + i ( y) = x i y heißt die zu z = x+i y konjugiert-komplexe Zahl. Für die konjugiert-komplexe Zahl z ist auch die Abkürzung z gebräuchlich. Mathematik kompakt 15

17 Der Körper der komplexen Zahlen Beispiel Die zu z 1 = 7 8i konjugiert-komplexe Zahl lautet z 1 = 7 + 8i. Für z 2 = 4i = i gilt z 2 = 4i = z 2. Für z 3 = 17 = i ist z 3 = 17 = z 3. Mathematik kompakt 16

18 Der Körper der komplexen Zahlen Merkregel für die Division komplexer Zahlen Man dividiert, indem man durch Erweitern mit dem Konjugiert-Komplexen des Nenners diesen Nenner reell macht. Mathematik kompakt 17

19 Der Körper der komplexen Zahlen Rechenregel für konjugiert-komplexe Zahlen Mit z = x + i y und z = x i y gilt für konjugiert-komplexe Zahlen die folgende Rechenregel: z z = x 2 + y 2 ist stets reell und 0. Dies kann man durch einfaches Nachrechnen zeigen: z z = (x + iy) (x iy) = x x + x ( iy) + iy x + iy ( iy) = x 2 ixy + ixy i 2 y 2 = x 2 + y 2. Mathematik kompakt 18

20 Der Körper der komplexen Zahlen Übung a) Gegeben sei die komplexe Zahl z 0 = 1 2i. Geben Sie an bzw. berechnen Sie: Re (z 0 ), Im (z 0 ), z 0, Re (1/z 0 ), Im (i z 0 ), Im (z 0 ), i Re (z 0 ). b) Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen z = x + i y mit Im (2z + z) = 1. Mathematik kompakt 19

21 Der Körper der komplexen Zahlen Lösung a) Re (z 0 ) = 1, Im (z 0 ) = 2, z 0 = 1 + 2i, Re (1/z 0 ) = 1/5, Im (i z 0 ) = 1, Im (z 0 ) = 2, i Re (z 0 ) = i. b) Alle komplexen Zahlen z = x + i y mit Imaginärteil y = 1. Mathematik kompakt 20

22 Der Körper der komplexen Zahlen Rechenregeln für konjugiert-komplexe Zahlen Mit z = x + i y und z = x i y gilt: a) Genau für reelle z ist z = z. b) Das Bilden der konjugiert-komplexen Zahl ist mit allen vier Grundrechenarten vertauschbar: z 1 + z 2 = z 1 + z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2 (Division nur im Falle von z 2 0). Mathematik kompakt 21

23 Der Körper der komplexen Zahlen Übung Beweisen Sie: z 1 z 2 = z 1 z 2. Lösung Mit z 1 = x 1 + iy 1 und z 2 = x 2 + iy 2 ist: z 1 z 2 = (x 1 + iy 1 ) (x 2 + iy 2 ) Umgekehrt gilt: = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) i(x 1 y 2 + x 2 y 1 ). z 1 z 2 = (x 1 iy 1 ) (x 2 iy 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) i(x 1 y 2 + x 2 y 1 ). Mathematik kompakt 22

24 Die Gauß sche Zahlenebene Die Gauß sche Zahlenebene als Briefmarke Mathematik kompakt 23

25 Die Gauß sche Zahlenebene Die Gauß sche Zahlenebene Jeder komplexen Zahl z = x+i y entspricht x genau ein Vektor bzw. genau ein Punkt y (x, y) der Ebene und umgekehrt. imaginäre Achse y z=x+i. y 0 x reelle Achse In der Technik spricht man anstelle von Ortsvektoren häufig von Zeigern auf komplexe Zahlen. Mathematik kompakt 24

26 Die Gauß sche Zahlenebene Beispiel a) Der komplexen Zahl z = 3 + 4i entspricht der Punkt ( 3, 4); z = 1 entspricht der Punkt (1, 0); z = i entspricht der Punkt (0, 1); z = 0 entspricht der Punkt (0, 0), der Ursprung des Koordinatensystems. Im(z) -3+4i 3+4i Re(z) b) Genau für reelle Zahlen z gilt Im z = 0; sie werden durch die Punkte der reellen Achse dargestellt. Rein-imaginäre Zahlen (Re z = 0) werden durch die Punkte der imaginären Achse veranschaulicht. Mathematik kompakt 25

27 Die Gauß sche Zahlenebene Beispiel a) Den zur konjugiert-komplexen Zahl z = x i y gehörigen Ortsvektor findet man durch Spiegelung des zu z = x + i y gehörigen Ortsvektors an der reellen Achse: y Im(z) z 0 x Re(z) -y z b) Punkte in der Gauß schen Zahlenebene und folglich die komplexen Zahlen kann man nicht linear anordnen (keine Größer-/Kleiner-Beziehung!). Mathematik kompakt 26

28 Die Gauß sche Zahlenebene Rechenoperationen in IR IR Wenn wir z = x + i y = (x, y) setzen und Addition und Multiplikation umschreiben, so erhalten wir für die Rechenoperationen + und auf IR IR = {(x, y) x, y IR} die folgende Darstellung: (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ), (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ). Die erste der beiden obigen Gleichungen besagt, dass die Addition komplexer Zahlen wie die Addition von Vektoren in der Ebene (Kräfteparallelogramm!) vorgenommen wird. Mathematik kompakt 27

29 Die Gauß sche Zahlenebene Polarkoordinaten Die Lage eines Punktes der Ebene lässt sich durch seinen Abstand r ( Radius ) vom Koordinatenursprung und, wenn r > 0, durch den Winkel ϕ des Ortsvektors mit der positiven x-achse ( Polarwinkel ) kennzeichnen. (Im Fall r = 0, am Koordinatenursprung also, lässt sich ϕ nicht definieren.) imaginäre Achse y z=(x,y) bzw. z=x+i. y r 0 x reelle Achse Mathematik kompakt 28

30 Die Gauß sche Zahlenebene Winkel Winkel werden meist in Bogenmaß angegeben. Das bekannte Gradmaß ˆϕ (Einheit: Grad) und das Bogenmaß ϕ (Einheit: Radiant) hängen dabei wie folgt zusammen: ˆϕ 360 = ϕ 2π. Da der Winkel nur bis auf Vielfache von 2π (bzw. 360 ) bestimmt ist, legt man willkürlich ein Intervall fest, in dem der Winkel angeben wird, z.b. π < ϕ +π. Mathematik kompakt 29

31 Die Gauß sche Zahlenebene Umrechnungsformeln Die Umrechnungsformeln zwischen kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten lauten: sowie r = x = r cos ϕ und y = r sin ϕ x 2 + y 2 und ϕ = ± arccos ( ) x r (Vorzeichen von ϕ je nachdem ob y 0 oder y < 0.). Man könnte hier auch die Beziehung tan ϕ = y/x verwenden, müßte aber bei der Umkehrfunktion arctan(y/x) vier Fallunterscheidungen, je nach Quadrant, in dem (x, y) liegt, durchführen. Mathematik kompakt 30

32 Die Gauß sche Zahlenebene Beispiel Aus den kartesischen Koordinaten x = 3 und y = 4 der komplexen Zahl z = 3 + 4i ergeben sich die Polarkoordinaten r = ( 3) = 25 = 5 und ϕ = + arccos( 3/5) (bzw. ˆϕ ). Aus den Polarkoordinaten r = 4 und φ = π/6 (ˆϕ = 30 ) erhält man die kartesischen Koordinaten x = 4 cos ( π/6) = 4 1/2 3 = 2 3 und y = 4 sin ( π/6) = 4 ( 1/2) = 2 der komplexen Zahl z = 2 3 2i. Mathematik kompakt 31

33 Die Gauß sche Zahlenebene Übung a) Geben Sie die Polarkoordinaten r und ϕ der folgenden komplexen Zahlen an: z 1 = 7, z 2 = 4i, z 3 = 6, z 4 = 3i, z 5 = 1 i. b) Berechnen Sie die kartesischen Koordinaten der komplexen Zahl z 6 mit den Polarkoordinaten r = 2, ϕ = π/3. Mathematik kompakt 32

34 Die Gauß sche Zahlenebene Lösung a) r 1 = 7, ϕ 1 = 0; r 2 = 4, ϕ 2 = π/2; r 3 = 6, ϕ 3 = π; r 4 = 3, ϕ 4 = π/2; r 5 = 2, ϕ 5 = π/4. b) x 6 = 1, y 6 = 3. Mathematik kompakt 33

35 Die Gauß sche Zahlenebene Betrag einer komplexen Zahl Anstelle vom Radius und Polarwinkel bei Polarkoordinaten wird im Zusammenhang mit komplexen Zahlen meist vom (Absolut-) Betrag und vom Argument (oder Arcus oder Phase oder Winkel) einer komplexen Zahl gesprochen: Definition Unter dem Betrag einer komplexen Zahl z = x + iy versteht man z = x + i y := x 2 + y 2 = z z Mathematik kompakt 34

36 Die Gauß sche Zahlenebene Beispiel Der Betrag der komplexen Zahl z = 3 + 4i ist gleich 5 und das Argument von z ist ungefähr Mathematik kompakt 35

37 Die Gauß sche Zahlenebene Veranschaulichung Der Betrag einer komplexen Zahl ist anschaulich gesprochen die Länge ihres Ortsvektors bzw. ihr Abstand vom Nullpunkt. Der Term z 1 z 2, der Betrag von z 1 z 2 also, steht für den Abstand der beiden Zahlen (d.h. Punkte im IR IR) z 1 und z 2. Mathematik kompakt 36

38 Die Gauß sche Zahlenebene Rechenregeln für den Betrag a) z 0; z = 0 z = 0, b) z = z, c) z 1 + z 2 z 1 + z 2 (Dreiecksungleichung), d) z 1 z 2 = z 1 z 2, e) z 1 /z 2 = z 1 / z 2 falls z 2 0. Mathematik kompakt 37

39 Die Gauß sche Zahlenebene Übung a) Zeigen Sie: z = z. Was bedeutet dies geometrisch? b) Was besagt die Dreiecksungleichung anschaulich? Mathematik kompakt 38

40 Die Gauß sche Zahlenebene Lösung a) Es sei z := x + i y. Dann ist z = x 2 + y 2 und z = x 2 + ( y) 2 = x 2 + y 2. Die Ortsvektoren von z und z, welche durch Spiegelung an der x-achse auseinander hervorgehen, sind gleich lang. b) Die Länge des Vektors von z 1 + z 2 (Hypotenuse des Dreiecks in Abb.) ist kleiner/gleich der Summe der Längen von z 1 und z 2 (Katheten des Dreiecks in Abb.). z 1 z 2 z 1 + z 2 Mathematik kompakt 39

41 Die Gauß sche Zahlenebene Die Polarform komplexer Zahlen Die bisher in kartesischer Normalform gegebene komplexe Zahl z = x + i y lässt sich bei Verwendung von Polarkoordinaten in der Polarform schreiben: z = z (cos ϕ + i sin ϕ) Die Umrechnung erfolgt gemäß den Formeln für die Transformation zwischen kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten. Mathematik kompakt 40

42 Die Gauß sche Zahlenebene Beispiel Es gilt: z = 3 + 4i 5 [cos(2.214) + i sin(2.214)]. Dabei ist 3 + 4i die Normalform und 5 [cos(2.214) + i sin(2.214)] die Polarform der komplexen Zahl z. Umgekehrt: 4 [cos( π/6) + i sin( π/6)] = 4 ( 3/2 + i ( 1/2) ) = 2 3 2i. In diesem Fall wurde ausgehend von der Polarform auf die Normalform der komplexen Zahl umgerechnet. Mathematik kompakt 41

43 Die Gauß sche Zahlenebene Weitere Beispiele Weitere Beispiele für die Polarform komplexer Zahlen sind: i = 1 [cos(π/2) + i sin(π/2)], 1 + i = 2 [cos(π/4) + i sin(π/4)], 7 = 7 [cos π + i sin π]. Dabei sieht die Polarform von 7 nur auf den ersten Blick erstaunlich aus! Mathematik kompakt 42

44 Die Gauß sche Zahlenebene Übung Geben Sie die Polarform der folgenden komplexen Zahlen an: z 1 = 7, z 2 = 4i, z 3 = 6, z 4 = 3i, z 5 = 1 i. Mathematik kompakt 43

45 Die Gauß sche Zahlenebene Lösung z 1 = 7 = 7 [cos 0 + i sin 0], z 2 = 4i = 4 [cos(π/2) + i sin(π/2)], z 3 = 6 = 6 [cos π + i sin π], z 4 = 3i = 3 [cos( π/2) + i sin( π/2)], z 5 = 1 i = 2 [cos( π/4) + i sin( π/4)]. Mathematik kompakt 44

46 Die Gauß sche Zahlenebene Multiplikation und Division komplexer Zahlen Die Polarform erlaubt nun eine sehr prägnante Beschreibung der Multiplikation und Division komplexer Zahlen: Für die Zahlen z 1 := z 1 (cos ϕ 1 +i sin ϕ 1 ) und z 2 := z 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) gilt: z 1 z 2 = z 1 z 2 (cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 )), z 1 /z 2 = z 1 / z 2 (cos(ϕ 1 ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 ϕ 2 )) (Division nur im Falle von z 2 0). Mathematik kompakt 45

47 Die Gauß sche Zahlenebene Multiplikation und Division komplexer Zahlen Der Beweis dieses Satzes ist schlichtweg trivial; man benötigt nur die aus der Schule bekannten Additionstheoreme von Sinus und Cosinus: z 1 z 2 = z 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) z 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) = z 1 z 2 (cos ϕ 1 cos ϕ 2 sin ϕ 1 sin ϕ 2 ) } {{ } =cos(ϕ 1 +ϕ 2 ) } {{ }. =sin(ϕ 1 +ϕ 2 ) + i (cos ϕ 1 sin ϕ 2 + sin ϕ 1 cos ϕ2) Mathematik kompakt 46

48 Die Gauß sche Zahlenebene Multiplikation und Division komplexer Zahlen Komplexe Zahlen werden multipliziert (dividiert), indem man ihre Beträge multipliziert (dividiert) und ihre Winkel addiert (subtrahiert) und den resultierenden Winkel evtl. auf das Intervall ( π, +π] reduziert. Mathematik kompakt 47

49 Die Gauß sche Zahlenebene Multiplikation und Division komplexer Zahlen Drehstreckung Geometrisch kann die Multiplikation komplexer Zahlen als Drehstreckung beschrieben werden: Multipliziert man eine komplexe Zahl z 1 mit einer komplexen Zahl z 2, so wird der Betrag von z 1 um den Faktor z 2 gestreckt (oder gestaucht ), der Winkel von z 1 wird um den Winkel von z 2 weitergedreht. Mathematik kompakt 48

50 Die Gauß sche Zahlenebene Beispiel Multiplikation einer Zahl z 1 mit der Zahl z 2 = 1 + i bedeutet (wegen z 2 = 2, ϕ 2 = arccos(1/ 2) = π/4 = 45 ): Der Ortvektor der Zahl z 1 wird um 2 gestreckt und um 45 (im mathematischen, also im Gegenuhrzeigersinn) gedreht. Im(z) z 1 (1+i) 45 0 z 1 0 Re(z) Mathematik kompakt 49

51 Die Gauß sche Zahlenebene Übung Gegeben seien die komplexen Zahlen z 1 = 1 + i und z 2 = 1 + 2i. a) Führen Sie zunächst z 1 und z 2 in Polarform über und berechnen Sie z 1 z 2. b) Berechnen Sie z 1 z 2 in Normalform und führen Sie dann das Ergebnis in Polarform über. c) Interpretieren Sie z 1 z 2 als Drehstreckung in der Gauß schen Zahlenebene. Mathematik kompakt 50

52 Die Gauß sche Zahlenebene Lösung a) z 1 = 2 ( cos π 4 + i sin π ), 4 z 2 = 5 (cos i sin 2.034), z 1 z 2 = 2 5 ( cos( π ) + i sin(π )) = 10 (cos i sin 2.819). b) z 1 z 2 = (1 + i) ( 1 + 2i) = 3 + i = 10 (cos i sin 2.819). c) Multiplikation mit z 2 entspricht Streckung um Faktor 5 und (ungefähre) Drehung um Winkel Mathematik kompakt 51

53 Die Gauß sche Zahlenebene Die Euler sche Beziehung Für den Term cos ϕ + i sin ϕ bietet sich eine Abkürzung an. Wir benutzen dazu die folgende Gleichung, die so genannte Euler sche Beziehung: e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ Obige Gleichung ist zunächst als bloße Abkürzung zu sehen; es steckt aber noch ein tiefer liegender mathematischer Sachverhalt dahinter: s.reihen. Mathematik kompakt 52

54 Die Gauß sche Zahlenebene Exponentialform von komplexen Zahlen Die bisher in Polarform gegebene komplexe Zahl z = z (cos ϕ + i sin ϕ) lässt sich unter Verwendung der Euler schen Beziehung nun in der Exponentialform schreiben: z = z e iϕ. Der Anteil z beschreibt dabei die Länge des Ortsvektors von z, der Anteil e iϕ allein den Winkel: e iϕ = 1. Mathematik kompakt 53

55 Die Gauß sche Zahlenebene Beispiel 3 + 4i 5 (cos i sin 2.214) 2 3 2i = 4 (cos( π/6) + i sin( π/6)) i = 1 (cos(π/2) + i sin(π/2)) 1 + i = 2 (cos(π/4) + i sin(π/4)) 7 = 7 (cos π + i sin π) Mathematik kompakt 54

56 Die Gauß sche Zahlenebene Übung Geben Sie die Exponentialform der folgenden komplexen Zahlen an: z 1 = 7, z 2 = 4i, z 3 = 6, z 4 = 3i, z 5 = 1 i. Lösung z 1 = 7 = 7 e 0i, z 2 = 4i = 4 e iπ/2, z 3 = 6 = 6 e iπ, z 4 = 3i = 3 e iπ/2, z 5 = 1 i = 2 e iπ/4. Mathematik kompakt 55

57 Die Gauß sche Zahlenebene Satz von Moivre Die Abkürzung e iϕ hat den großen Vorteil, dass man mit ihr wie mit einer richtigen Potenz rechnen kann: e iϕ1 e iϕ 2 = e i(ϕ 1+ϕ 2 ), e iϕ 1 e iϕ 2 = ei(ϕ 1 ϕ 2 ), (e iϕ ) n = e i(nϕ) (Satz von Moivre) Mathematik kompakt 56

58 Die Gauß sche Zahlenebene Potenzen komplexer Zahlen Die Exponentialform komplexer Zahlen ist besonders hilfreich, wenn man etwa Potenzen komplexer Zahlen berechnen will. Beispiel ( (1 i) 6 = 2e i( π 4 )) 6 ( ) 6 = 2 e i 6( π 4 ) ( ) = 8 e i3π 2 = 8 e i 3π 2 +2π = 8 e iπ 2 = 8i. Mathematik kompakt 57

59 Die Gauß sche Zahlenebene Übung Berechnen Sie (1 3i) 6 und (1 + i) 4. Benutzen Sie dazu die Darstellung komplexer Zahlen in Exponentialform! Lösung ( 1 3i ) 6 = ( 2 e i( π 3 )) 6 = 2 6 e i( 6π 3 ) = 2 6 e i( 2π) = 2 6 e i0 = 64, (1 + i) 4 = ( 2 e i π 4) 4 = 24 e i4π 4 = 4 e iπ = 4. Mathematik kompakt 58

60 Komplexe Zahlen Algebr.Gleichungen Lösbarkeit quadratischer Gleichungen Die Gleichung a 2 z 2 + a 1 z + a 0 = 0 mit den Koeffizienten a 2 0, a 0, a 1, a 2 IR lässt sich zunächst normieren: z 2 + (a 1 /a 2 )z + a 0 /a 2 = 0, wofür wir z 2 + p z + q = 0 schreiben. Durch quadratische Ergänzung erhält man oder z 2 + p z + p2 4 = q + p2 4 ( z + p ) 2 p 2 = 2 4 q. Der Term D := p 2 /4 q heißt Diskriminante, da sich an ihm festmachen lässt, ob zwei Lösungen, eine oder keine (reelle) Lösung vorliegen. Mathematik kompakt 59

61 Komplexe Zahlen Algebr.Gleichungen Lösbarkeit quadratischer Gleichungen (Fortsetzung) Im Einzelnen gilt: Für D > 0 gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen: z 1/2 = p 2 ± D. Für D = 0 gibt es eine (man sagt: doppelt auftretende) reelle Lösung: z = p 2. Für D < 0 existiert bekanntlich keine reelle Lösung. Aber da wir mit Hilfe der imaginären Einheit i inzwischen auch Gleichungen der Form z = 0 oder z 2 = 1 lösen können, da also i mit anderen Worten Wurzel aus der negativen Zahl 1 ist, können wir nun auch Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen und finden Lösungen für D < 0: Für D < 0, d. h. D > 0, gibt es zwei konjugiert-komplexe Lösungen: z 1/2 = p 2 ± i D. Mathematik kompakt 60

62 Mathematik kompakt 61 Beispiel a) z 2 + z 12 = 0 : Lösbarkeit quadratischer Gleichungen Diskriminante: D = 12 4 ( 12) = = > 0 = 2 verschiedene reelle Lösungen z = 1/2 = 1 2 ± 14 ( 12) = 1 2 ± 494 = 1 2 ± 7 2, also Lösungen: z 1 = 3, z 2 = 4, und es gilt: z 2 + z 12 = (z 3) (z + 4). Komplexe Zahlen Algebr.Gleichungen

63 Mathematik kompakt 62 Beispiel Lösbarkeit quadratischer Gleichungen b) z z + 49 = 0 : Diskriminante: D = = = 0 = 1 (doppelt auftretende) reelle Lösung = z 1/2 = 14 2 ± 0 = 7, also Lösungen: z 1 = z 2 = 7, und es gilt: z z + 49 = (z + 7) (z + 7). Komplexe Zahlen Algebr.Gleichungen

64 Mathematik kompakt 63 Beispiel c) z 2 + 4z + 13 = 0 : Lösbarkeit quadratischer Gleichungen Diskriminante: D = = 4 13 = 9 < 0 = 2 konjugiert-komplexe Lösungen z = 1/2 = { 4 2 ± i ( 9) = 2 ± i 9 = 2 ± i 3, also Lösungen: z 1 = 2 + 3i, z 2 = 2 3i, und es gilt:z 2 + 4z + 13 = (z ( 2 + 3i)) (z ( 2 3i)). Die Probe liefert: (z ( 2 + 3i)) (z ( 2 3i)) = ((z + 2) 3i) ((z + 2) + 3i) = (z + 2) 2 (3i) 2 = z 2 + 4z + 4 ( 9) = z 2 + 4z Komplexe Zahlen Algebr.Gleichungen

65 Komplexe Zahlen Algebr.Gleichungen Übung Lösen Sie die folgenden quadratischen Gleichungen in C: a) z 2 + 6z + 9 = 0, b) 2z 2 + 9z 5 = 0, c) 4z 2 + 8z + 29 = 0, d) 4z = 0. Lösung a) z 1 = 3, z 2 = 3, b) z 1 = 1 2, z 2 = 5, c) z 1 = 1 + 5/2i, z 2 = 1 5/2i, d) z 1 = 17i/2, z 2 = 17i/2. Mathematik kompakt 64

66 Komplexe Zahlen Algebr.Gleichungen Komplexe Polynome Definition Für n IN und a n ( 0), a n 1,..., a 1, a 0 C heißt die Funktion P : C C, z P (z) mit P (z) := a n z n +a n 1 z n a 1 z+a 0 komplexes Polynom n-ten Grades mit den (im Allgemeinen) komplexen Koeffizienten a k. Mathematik kompakt 65

67 Komplexe Zahlen Algebr.Gleichungen Beispiel Die Funktion P (z) = z 4 + ( 3 + i) z 2 iz + 3 ist ein Polynom 4.Grades mit den Koeffizienten a 4 = 1, a 3 = 0, a 2 = 3 + i, a 1 = i und a 0 = 3. Man kann für z eine beliebige komplexe Zahl einsetzen und erhält als Funktionswert P (z) wiederum eine komplexe Zahl, z.b. P (2) = 7 + 2i und P (1 + 2i) = 3 40i. Mathematik kompakt 66

68 Komplexe Zahlen Algebr.Gleichungen Komplexe Nullstellen und Linearfaktoren Analog zum Reellen: Definition Die (komplexe) Zahl z 1 heißt Nullstelle des (komplexen) Polynoms P (z), wenn gilt: P (z 1 ) = 0. Es gilt wie im Reellen: Ist z 1 eine Nullstelle des Polynoms P (z) vom Grade n > 0, so kann man den Linearfaktor (z z 1 ) ohne Rest abdividieren: P (z) = (z z 1 ) P 1 (z). Dabei ist P 1 (z) ein Polynom (n 1)-ten Grades. Mathematik kompakt 67

69 Mathematik kompakt 68 Beispiel Das (komplexe) Polynom P (z) = z 4 z 3 + z 2 + 9z 10 hat (u.a.) die Nullstelle z 1 = 1. Polynomdivision liefert (z 4 z 3 +z 2 +9z 10) : (z 1) = z 3 + z + 10 z 4 z 3 z 2 +9z 10 z 2 z 10z 10z und somit P (z) = (z 3 + z + 10) (z 1). } {{ } =:P 1 (z) Komplexe Zahlen Algebr.Gleichungen

70 Komplexe Zahlen Algebr.Gleichungen Übung Zeigen Sie, dass z 2 = 1 + 2i Nullstelle des verbleibenden Polynoms P 1 (z) = z 3 +z +10 ist. Dividieren Sie den entsprechenden Linearfaktor (z z 2 ) von P 1 (z) ab. Mathematik kompakt 69

71 Mathematik kompakt 70 Lösung Polynomdivision liefert: Komplexe Nullstellen und Linearfaktoren (z 3 +z +10) : (z (1 + 2i)) = z 2 z 3 (1 + 2i)z 2 +(1 + 2i)z (1 + 2i)z 2 +z +10 +( 2 + 4i) (1 + 2i)z 2 +(3 4i)z ( 2 + 4i)z +10 ( 2 + 4i)z Insgesamt: P 1 (z) = z 3 + z + 10 = (z 2 + (1 + 2i) z + ( 2 + 4i)) (z (1 + 2i)). Komplexe Zahlen Algebr.Gleichungen

72 Mathematik kompakt 71 Komplexe Nullstellen und Linearfaktoren (Fortsetzung) Lösung Für P (z) ergibt sich damit: P (z) = (z 2 + (1 + 2i)z + ( 2 + 4i)) } {{ } Polynom 2.Grades (z (1 + 2i)) (z 1). } {{ } zu den Nullstellen z 1 und z 2 gehörige Linearfaktoren Komplexe Zahlen Algebr.Gleichungen

73 Komplexe Zahlen Algebr.Gleichungen Hilfssatz Folgender Hilfssatz erleichert das Auffinden von Nullstellen komplexer Polynome enorm: Sind die Koeffizienten des Polynoms sämtlich reell, so treten nämlich komplexe Lösungen stets paarweise konjugiert auf. Gegeben sei das komplexe Polynom P (z) = a n z n +a n 1 z n a 1 z +a 0 vom Grade n > 1. Sind alle Koeffizienten a n ( 0), a n 1,..., a 1, a 0 reell, so ist mit z 0 = x 0 + i y 0 auch z 0 = x 0 i y 0 eine Nullstelle. Mathematik kompakt 72

74 Komplexe Zahlen Algebr.Gleichungen Beispiel Das (komplexe) Polynom P (z) = z 4 z 3 + z 2 + 9z 10 hat die Nullstelle z 2 = 1 + 2i. Alle Koeffizienten von P (z) sind reell. Also ist auch z 2 = 1 2i Nullstelle von P (z). Mathematik kompakt 73

75 Komplexe Zahlen Algebr.Gleichungen Übung Gegeben ist das komplexe Polynom P (z) = z z z Die komplexe Zahl z 1 = 4 3i ist Nullstelle von P (z). Wie lautet (ohne Rechnung) eine weitere Nullstelle von P (z)? Lösung Eine weitere Nullstelle von P (z) ist z 2 = z 1 = 4 + 3i. Dies gilt, weil P (z) ausschließlich reelle Koeffizienten besitzt. Mathematik kompakt 74

76 Komplexe Zahlen Algebr.Gleichungen Fundamentalsatz der Algebra Anders als im Reellen hat im Komplexen jedes Polynom n-ten Grades genau n (nicht unbedingt verschiedene) Nullstellen. Jede algebraische Gleichung n-ten Grades (n > 0) a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 = 0 mit komplexen Koeffizienten a n ( 0), a n 1,..., a 1, a 0 hat mindestens eine komplexe Lösung. Mathematik kompakt 75

77 Komplexe Zahlen Algebr.Gleichungen Fundamentalsatz der Algebra Eine andere Formulierung des Fundamentalsatzes lautet (wenn wir nämlich sukzessive Linearfaktoren abdividieren): Jedes Polynom n-ten Grades (n > 0) P (z) = a n z n +a n 1 z n a 1 z +a 0 mit komplexen Koeffizienten a n ( 0), a n 1,..., a 1, a 0 kann ganz in Linearfaktoren zerlegt werden: P (z) = a n (z z n ) (z z n 1 )... (z z 2 ) (z z 1 ) Die komplexen Zahlen z 1, z 2,..., z n sind die (nicht unbedingt verschiedenen) Nullstellen von P (z). Mathematik kompakt 76

78 Mathematik kompakt 77 Beispiel Das Polynom P (z) = z 4 z 3 + z 2 + 9z 10 hat die Nullstellen z 1 = 1, z 2 = 1 + 2i, z 3 = 1 2i und z 4 = 2. Damit lässt sich P (z) wie folgt in Linearfaktoren zerlegen: P (z) = 1 (z 1) (z (1 + 2i)) (z (1 2i)) } {{ } = ((z 1) 2i) ((z 1) + 2i) = (z 1) = z 2 2z + 5 Im Reellen wäre (x 1) > 0 unzerlegbar, also P (x) = (x 1) (x 2 2x + 5) (x + 2). (z + 2). Komplexe Zahlen Algebr.Gleichungen

79 Komplexe Zahlen Algebr.Gleichungen Potenzen einer komplexen Zahl Beispiel Die ersten vier Potenzen der komplexen Zahl z 0 := 1 + i lauten: z 1 0 = 1 + i = 2 e iπ/4, z 2 0 = (1 + i)2 = 2 e iπ/2 (= 2i), z 3 0 = (1 + i)3 = 2 3 e i 3π/4 (= 2 + 2i), z 4 0 = (1 + i)4 = 4 e iπ (= 4). Im(z) z 0 3 z 0 2 i z 0 = 1+i z 0 4 = Re(z) Mathematik kompakt 78

80 Komplexe Zahlen Algebr.Gleichungen Beispiel Wegen z0 4 = 4 können wir z 0 = 1 + i offenbar als vierte Wurzel aus 4 interpretieren. Wenn wir nun umgekehrt von 4 = 4e iπ ausgehen, so müssen wir als vierte Wurzel davon diejenige Zahl nehmen, deren Betrag die vierte Wurzel des Betrages von 4 (also 4 4) und deren Winkel der vierte Teil des Winkels von 4 (also π 4 ) ist. Dies ist aber gerade z 0 = 1 + i. Die Frage ist nun noch, ob damit alle Wurzeln gefunden sind. Das Polynom P (z) = z 4 +4 hat nämlich nicht nur die Nullstelle z 0 = 1+i, sondern auch die weiteren Nullstellen (insgesamt vier) z 1 = 1 + i, z 2 = 1 i und z 3 = 1 i. Im z -1+i /2 1+i Re z -1-i 1-i Mathematik kompakt 79

81 Komplexe Zahlen Algebr.Gleichungen Wurzeln von komplexen Zahlen Die Gleichung z n = c mit der komplexen Zahl c = c e iφ 0 und n IN hat genau n verschiedene Lösungen z k = n c e i φ n + k 2π n (k = 0, 1, 2,..., n 1), die so genannten n-ten Wurzeln aus c. Mathematik kompakt 80

82 Komplexe Zahlen Algebr.Gleichungen Wurzeln von komplexen Zahlen Veranschaulichung Die n-ten Wurzeln aus c = c e iφ 0 liegen auf einem Kreis vom Radius n c um 0 und bilden die Ecken eines regelmäßigen n-ecks, weil sich benachbarte Arcuswerte um jeweils 2π/n unterscheiden. Der Winkel zwischen der positiven reellen Achse und der ersten Wurzel z 0 beträgt gerade φ/n: z 2 Im z z 1 jeweils Winkel 2 /n z 0 Winkel /n Re z n c Mathematik kompakt 81

83 Mathematik kompakt 82 Beispiel Die Gleichung z 3 = i = 1 e iπ 2 hat die 3 Lösungen (Wurzeln) z 0 = 3 1 e i(π π 3 ) = 1 e iπ 6 = i, z 1 = 3 1 e i(π π 3 ) = 1 e i5π 6 = i, z 2 = 3 1 e i(π π 3 ) = 1 e i3π 2 = i. Die Wurzeln z 0, z 1 und z 2 liegen auf einem Kreis vom Radius 1 um den Nullpunkt. Sie bilden ein gleichseitiges Dreieck. 3 Komplexe Zahlen Algebr.Gleichungen

84 Mathematik kompakt 83 Beispiel Die Gleichung z 4 = 1 + i = 2 e i3π 4 hat die 4 Lösungen (Wurzeln) z 0 = 4 2 e i( 3π π 4 ) = 8 2 e i3π i, z 1 = 4 2 e i( 3π π 4 ) = 8 2 e i11π i, z 2 = 4 2 e i( 3π π 4 ) = 8 2 e i13π i, z 3 = 4 2 e i( 3π π 4 ) = 8 2 e i5π i. Die Wurzeln z 0, z 1, z 2 und z 3 liegen auf einem Kreis vom Radius 8 2 um den Nullpunkt. Sie bilden ein Quadrat. Komplexe Zahlen Algebr.Gleichungen

85 Komplexe Zahlen Algebr.Gleichungen Übung Bestimmen Sie alle (komplexen) vierten Wurzeln der Zahl 2. Lösung Die Gleichung z 4 = 2 = 2 e i 0 hat die 4 Lösungen (Wurzeln) z 0 = 4 2 e i(0+0 2π 4 ) = 4 2 e i0 = 4 2, z 1 = 4 2 e i(0+1 2π 4 ) = 4 2 e iπ 2 = 4 2i, z 2 = 4 2 e i(0+2 2π 4 ) = 4 2 e iπ = 4 2, z 3 = 4 2 e i(0+3 2π 4 ) = 4 2 e i3π 2 = 4 2i. Die Wurzeln z 0, z 1, z 2 und z 3 liegen auf einem Kreis vom Radius 4 2 um den Nullpunkt. Sie bilden ein Quadrat. Mathematik kompakt 84

86 Komplexe Zahlen Algebr.Gleichungen Wurzeln von komplexen Zahlen (Graphiken) Im z z 1 Im z z 1 z 0 z 0 Re z Re z z 2 z 2 z 3 z 3 = i Im z z 1 z 4= -1+i z 2 z 0 Re z z 3 z 4 = 2 Mathematik kompakt 85

87 Anwendung: Fraktale Erzeugung von Apfelmännchen Wir wählen zunächst einen Testpunkt c := a + b i, eine komplexe Zahl also, und erzeugen nun sukzessive eine Folge von weiteren komplexen Zahlen. Startwert ist dabei der Koordinatenursprung selbst: z 0 := i. Die weiteren Elemente der Folge berechnen wir mittels folgender Vorschrift: z 1 := z0 2 + c, z 2 := z1 2 + c,..., allgemein z n := z 2 n 1 + c. (Dabei sind alle z n komplexe Zahlen, und die verwandten Operationen sind die komplexe Addition und Multiplikation.) Mathematik kompakt 86

88 Anwendung: Fraktale Erzeugung von Apfelmännchen (Fortsetzung) Die Frage ist nun, ob einer der erzeugten Werte z n außerhalb eines Kreises vom Radius 2 um den Koordinatenursprung liegt, d.h. ob gilt: z n 2. Ist dies der Fall, so wird unserem Testpunkt die Farbe weiß zugeordnet und wir brechen die Iteration, die Berechnung von z n+1 etc., ab. Ansonsten führen wir den Algorithmus, die Rechenvorschrift, fort und berechnen das nächste Folgenglied z n+1. Mathematik kompakt 87

89 Anwendung: Fraktale Erzeugung von Apfelmännchen (Fortsetzung) Wir können natürlich nicht alle (das sind nämlich unendlich viele!) Folgenglieder z 0, z 1, z 2,... erzeugen und testen. Deshalb bricht man die Schleife z.b. bei n = 100 ab. Hat bis dahin kein Folgenglied den besagten Kreis verlassen, so erhält unser Testpunkt c die Farbe schwarz. Insgesamt haben wir also unserem Testpunkt c auf diese Weise eine der Farben schwarz oder weiß zugewiesen. Mathematik kompakt 88

90 Anwendung: Fraktale Erzeugung von Apfelmännchen (Fortsetzung) Nun ordnen wir einfach jedem (der endlich vielen) Pixel unseres Bildschirms eine komplexe Zahl c zu, wie ja schon Gauß die komplexen Zahlen durch die Gauß sche Zahlenebene veranschaulicht hat. Wir führen dann mit jedem c den beschriebenen Algorithmus durch und färben jeden Bildschirm-Pixel entsprechend seines berechneten Farbwertes schwarz oder weiß ein. Ein so genanntes Apfelmännchen entsteht. Eine spektakulärere Version erhält man z.b., indem man die Punkte c, deren Iterierte dem Kreis entkommen, wirklich farbig einfärbt und zwar entsprechend der Anzahl der Iterationsschritte, die bis zur Flucht aus dem Kreis durchgeführt werden müssen. Mathematik kompakt 89

91 Anwendung: Fraktale Erzeugung von Apfelmännchen (Graphik) Mathematik kompakt 90

Komplexe. Zahlen. Ein Leitprogramm in Mathematik. Verfasst von Christina Diehl Marcel Leupp. Du weißt. Instinkt. Bei uns Tigern ist das angeboren.

Komplexe. Zahlen. Ein Leitprogramm in Mathematik. Verfasst von Christina Diehl Marcel Leupp. Du weißt. Instinkt. Bei uns Tigern ist das angeboren. Komplexe Hier ist noch eine Matheaufgabe, die ich nicht lösen kann. Was ist 9+4? Oh, die ist schwer. Dafür brauchst du Analysis und imaginäre Zahlen. Imaginäre Zahlen?! Du weißt schon. Elfzehn, zwölfunddreißig,

Mehr

4. QUADRATISCHE GLEICHUNGEN, GLEICHUNGEN HÖHEREN GRADES

4. QUADRATISCHE GLEICHUNGEN, GLEICHUNGEN HÖHEREN GRADES 4. QUADRATISCHE GLEICHUNGEN, GLEICHUNGEN HÖHEREN GRADES 4.1. Quadratische Gleichungen (a) Definition Beispiel: Das Produkt zweier aufeinanderfolgender gerader Zahlen beträgt 808. Wie lauten die beiden

Mehr

Warum sind die komplexen Zahlen cool? (meiner lieben 7SV gewidmet)

Warum sind die komplexen Zahlen cool? (meiner lieben 7SV gewidmet) Warum sind die komplexen Zahlen cool? (meiner lieben 7SV gewidmet) Intro: Du kennst die reellen Zahlen. Sie entsprechen den Punkten auf einer Strecke bzw. auf dem Zahlenstrahl. - Man kann sie der Größe

Mehr

Mathematik für ChemikerInnen I

Mathematik für ChemikerInnen I Mathematik für ChemikerInnen I Prof. Dr. Ansgar Jüngel Institut für Mathematik Johannes Gutenberg-Universität Mainz Winter 26 unkorrigiertes Vorlesungsskript Inhaltsverzeichnis Motivation 3 2 Grundbegriffe

Mehr

11. Klasse TOP 10 Mathematik 11 Gesamtes Grundwissen mit Übungen G

11. Klasse TOP 10 Mathematik 11 Gesamtes Grundwissen mit Übungen G www.strobl-f.de/grundg.pdf. Klasse TOP 0 Mathematik Gesamtes Grundwissen mit Übungen G Grundwissen Mathematik. Klasse: Die 0 wichtigsten Themen auf jeweils einer Seite! Zum Wiederholen kann man die Übungen

Mehr

Vorlesung Analysis und Numerische Mathematik (für Informatiker) gehalten von Werner Römisch Winter-Semester 1992/93 bis Sommer-Semester 1994

Vorlesung Analysis und Numerische Mathematik (für Informatiker) gehalten von Werner Römisch Winter-Semester 1992/93 bis Sommer-Semester 1994 Vorlesung Analysis und Numerische Mathematik (für Informatiker) gehalten von Werner Römisch Winter-Semester 1992/93 bis Sommer-Semester 1994 1 Inhaltsverzeichnis 0 Einleitung 4 1 Mengen, Abbildungen, Zahlen

Mehr

Wie viele Nullstellen hat ein Polynom?

Wie viele Nullstellen hat ein Polynom? Wie viele Nullstellen hat ein Polynom? Verena Pölzl 0812265 Sabine Prettner 8930280 Juni 2013 1 Inhaltsverzeichnis 1 Warum will man wissen, wie viele Nullstellen ein Polynom hat? 3 2 Oligonome 4 3 Die

Mehr

Nicht-archimedische Zahlen

Nicht-archimedische Zahlen Skript zur Vorlesung Nicht-archimedische Zahlen Wintersemester 2012/13 Frankfurt am Main Prof. Dr. Annette Werner Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Nicht-archimedische Absolutbeträge 2 3 Bälle und Topologie

Mehr

Analytische Fortsetzung der Gross-Pitaevskii-Gleichung für PT -symmetrische Bose-Einstein-Kondensate

Analytische Fortsetzung der Gross-Pitaevskii-Gleichung für PT -symmetrische Bose-Einstein-Kondensate Analytische Fortsetzung der Gross-Pitaevskii-Gleichung für PT -symmetrische Bose-Einstein-Kondensate Bachelorarbeit von Helmut Frasch 24. Februar 2014 Prüfer: Prof. Dr. Jörg Main 1. Institut für Theoretische

Mehr

Numerik nicht-lokaler Operatoren

Numerik nicht-lokaler Operatoren Numerik nicht-lokaler Operatoren Steffen Börm Stand 7. November 2014 Alle Rechte beim Autor. Inhaltsverzeichnis 1 Modellproblem 5 1.1 Gravitation in Vielkörpersystemen...................... 5 1.2 Approximation

Mehr

Musterlösungen zu Prüfungsaufgaben über gewöhnliche Differentialgleichungen Prüfungsaufgabe a) Gegeben sei die lineare Differentialgleichung

Musterlösungen zu Prüfungsaufgaben über gewöhnliche Differentialgleichungen Prüfungsaufgabe a) Gegeben sei die lineare Differentialgleichung Musterlösungen zu n über gewöhnliche Differentialgleichungen a) Gegeben sei die lineare Differentialgleichung y + - y = e - ln, > 0 Man gebe die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung an Wie lautet

Mehr

Wie viele Primzahlen gibt es?

Wie viele Primzahlen gibt es? 1 Wie viele Primzahlen gibt es? Die Frage, wie viele Primzahlen es gibt, wird durch den fundamentalen Satz beantwortet: Es gibt unendlich viele Primzahlen. Ich werde mehrere Beweise für diesen Satz vorstellen,

Mehr

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann

3. Zusammenhang. 22 Andreas Gathmann 22 Andreas Gathmann 3. Zusammenhang Eine der anschaulichsten Eigenschaften eines topologischen Raumes ist wahrscheinlich, ob er zusammenhängend ist oder aus mehreren Teilen besteht. Wir wollen dieses Konzept

Mehr

Was sind und was sollen die Zahlen?

Was sind und was sollen die Zahlen? Was sind und was sollen die Zahlen? Von Richard Dedekind, Professor an der technischen Hochschule in Braunschweig. Nach der vierten unveränderten Auflage, Braunschweig 1918. Diese Transkription enthält

Mehr

Die Polarisation von Licht

Die Polarisation von Licht Kapitel 3 Die Polarisation von Licht In diesem Kapitel werden wir uns mit elektromagnetischen Wellen beschäftigen, deren Feldvektor E eine definierte Richtung zum Wellenvektor k besitzt. Solche Wellen

Mehr

Lineare Algebra - alles was man wissen muß

Lineare Algebra - alles was man wissen muß Statistik für Bioinformatiker SoSe 3 Rainer Spang Lineare Algebra - alles was man wissen muß Der Titel ist natürlich gelogen, aber was wir hier zusammengetragen haben ist zumindest ein Anfang. Weniger

Mehr

Beispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) =

Beispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) = Funktionentheorie, Woche Funktionen und Polstellen. Meromorphe Funktionen Definition.. Sei U C offen und sei f : U gilt, nennt man f meromorph auf U: Ĉ eine Funktion. Wenn folgendes. P := f hat keine Häufungspunkte;.

Mehr

12. Klasse TOP 10 Mathematik 12 Gesamtes Grundwissen mit Übungen G

12. Klasse TOP 10 Mathematik 12 Gesamtes Grundwissen mit Übungen G www.strobl-f.de/grundg.pdf. Klasse TOP Mathematik Gesamtes Grundwissen mit Übungen G Grundwissen Mathematik. Klasse: Die wichtigsten Themen auf jeweils einer Seite! Zum Wiederholen kann man die Übungen

Mehr

Über rationale Homöomorphismen der Einheitskreislinie

Über rationale Homöomorphismen der Einheitskreislinie Über rationale Homöomorphismen der Einheitskreislinie Diplomarbeit von Marcus Stiemer Dem Fachbereich Mathematik der Universität Dortmund vorgelegt im November 1995 Vorwort Die Untersuchung homöomorpher

Mehr

Numerische Verfahren Übungen und Lösungen, Blatt 0

Numerische Verfahren Übungen und Lösungen, Blatt 0 Technische Universität Hamburg-Harburg Institut für Numerische Simulation E-10 Dr. Jens-Peter M. Zemke Sommersemester 2007 Numerische Verfahren Übungen und Lösungen, Blatt 0 Lesen Sie bitte den folgenden

Mehr

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x

Mehr

Denkaufgaben für Kinder von 5 15 Jahren. Wladimir Igorewitsch Arnold

Denkaufgaben für Kinder von 5 15 Jahren. Wladimir Igorewitsch Arnold Denkaufgaben für Kinder von 5 15 Jahren Wladimir Igorewitsch Arnold Prof. Wladimir Igorewitsch Arnold Zusammenfassung Diese Sammlung enthält 77 Rätsel für die Förderung und Entwicklung einer Kultur des

Mehr

Über relative Normgleichungen in algebraischen Zahlkörpern

Über relative Normgleichungen in algebraischen Zahlkörpern Über relative Normgleichungen in algebraischen Zahlkörpern vorgelegt von Diplom-Mathematiker Claus Fieker aus Haan Vom Fachbereich 3 Mathematik der Technischen Universität Berlin zur Erlangung des akademischen

Mehr

Darstellung von Iterationsverfahren zur Nullstellenbestimmung von Funktionen und visualisierende Computerexperimente

Darstellung von Iterationsverfahren zur Nullstellenbestimmung von Funktionen und visualisierende Computerexperimente Darstellung von Iterationsverfahren zur Nullstellenbestimmung von Funtionen und visualisierende Computerexperimente Hausarbeit zur Ersten Staatsprüfung für das Lehramt an Gymnasien im Fach Numerische Mathemati

Mehr

Hinweise zur Beurteilung von Messungen, Messergebnissen und Messunsicherheiten (ABW) ( Fehlerrechnung )

Hinweise zur Beurteilung von Messungen, Messergebnissen und Messunsicherheiten (ABW) ( Fehlerrechnung ) Seite 1 Hinweise zur Beurteilung von Messungen, Messergebnissen und Messunsicherheiten ( Fehlerrechnung ) Scientific knowledge is a body of statements of varying degree of certainty some most unsure, some

Mehr

b) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem das Medikament am stärksten abgebaut wird. 10 P

b) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem das Medikament am stärksten abgebaut wird. 10 P Abitur 008 I. Medikation ANALYSIS Nach Einnahme eines Medikamentes kann man dessen Konzentration im Blut eines Patienten messen. Für die ersten 6 Stunden beschreibt die Funktion f mit der Gleichung f()

Mehr

1.1 Herleitung: Die Lorenzgleichungen als Idealisierung hydrodynamischer

1.1 Herleitung: Die Lorenzgleichungen als Idealisierung hydrodynamischer Das Lorenz-System Seminar über gewöhnliche Differentialgleichungen Uwe Jönck und Florian Prill Februar 23 Inhaltsangabe 1.1 Herleitung: Die Lorenzgleichungen als Idealisierung hydrodynamischer Systeme.............................

Mehr

Kapitel 11: Einführung in die Zeitreihenanalyse

Kapitel 11: Einführung in die Zeitreihenanalyse Kapitel 11: Einführung in die Zeitreihenanalyse 1. Gegenstand und Methoden der Zeitreihenanalyse...393 a) Zeitreihen und Zeitreihenanalyse...393 b) Methoden der Zeitreihenanalyse...396 2. Das Komponentenmodell

Mehr

ES GIBT UNENDLICH VIELE PRIMZAHLEN DER SATZ VON EUKLID. Šefket Arslanagić und Walther Janous. Einleitung

ES GIBT UNENDLICH VIELE PRIMZAHLEN DER SATZ VON EUKLID. Šefket Arslanagić und Walther Janous. Einleitung THE TEACHING OF MATHEMATICS 2007, Vol. X, 2, pp. 63 74 ES GIBT UNENDLICH VIELE PRIMZAHLEN DER SATZ VON EUKLID Šefket Arslanagić und Walther Janous Abstract. In this paper we consider famous Euclidean theorem

Mehr

Ein neuer Beweis, dass die Newton sche Entwicklung der Potenzen des Binoms auch für gebrochene Exponenten gilt

Ein neuer Beweis, dass die Newton sche Entwicklung der Potenzen des Binoms auch für gebrochene Exponenten gilt Ein neuer Beweis, dass die Newton sche Entwicklung der Potenzen des Binoms auch für gebrochene Exponenten gilt Leonhard Euler 1 Wann immer in den Anfängen der Analysis die Potenzen des Binoms entwickelt

Mehr