Schriftliche Ausarbeitung zum Thema Optionsbewertung. Von Ralph Schunn und Nina Schieferbein

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1 Schriftliche Ausarbeitung zum Thema Optionsbewertung Von Ralph Schunn und Nina Schieferbein

2 Gliederung I.) Einleitung : (Nina Schieferbein) 1.) Bedeutung der Optionen am Finanzmarkt 2.) Definition von Optionen und grundlegenden Begriffen II.) Differenzierung zw. Optionspreis und Optionswert (Nina Schieferbein) 1.) Preis einer Option 2.) Wert einer Option III.) Sensitivitätsanalyse (Ralph Schunn) IV.) Wertbeeinflussende Faktoren (Ralph Schunn) V.) Modellüberblick und Systematisierung (Ralph Schunn) VI.) Einzelne Modelle im Fokus 1.) Binomialmodell (Ralph Schunn) 2.) Black Scholes Modell (Nina Schieferbein) a.) Prämissen b.) Hedgingprinzip c.) Differentialgleichung VII.) Fazit (Nina Schieferbein) 1

3 I.) Einleitung (Nina Schieferbein) 1.) Bedeutung der Optionen am Finanzmarkt Im Laufe der Jahre hat das Volumen notierter Optionen an den Börsen immer weiter zugenommen. Besonders Optionen auf Aktien und Aktienindizes gehören heute zur Gruppe der wichtigsten Finanzinstrumente. 1 Ein Grund dafür könnte sein, dass Optionen für eine Vielzahl von verschiedensten Zwecken eingesetzt werden können. Man kann Optionen ebenso zur Absicherung von Risiken verwenden, als auch zur Spekulation. Attraktiv ist für viele Anleger sicherlich auch die Hebelwirkung von Optionen, die es ermöglicht mit verhältnismäßig geringem Kapitalaufwand einen hohen Gewinn zu erzielen. 2 Abb 1: Anzahl notierter Optionsscheine an der Börse Stuttgart 3 Da wir nun gezeigt haben, dass es sich bei Optionen um ein Finanzinstrument von hoher Wichtigkeit handelt, ist es lohnenswert, sich mit dem Thema einmal genauer auseinander zu setzen. 1 Vgl. Merk Andreas: Optionsbewertung in Theorie und Praxis.Theoretische und empirische Überprüfung des Black/Scholes-Modells. Gabler Verlag. S.1. 2 Schaeffer Bernie: Millionen mit Optionen.Finanzverlag: Juni S.7 3 Hagl, Stefan: Bewertung von DAX-Optionsscheinen

4 2.) Definition von Optionen und grundlegenden Begriffen Eine Option gibt dem Käufer das Recht (aber nicht die Pflicht) ein Vertragsangebot zeitlich befristet anzunehmen. 4 Konkret bedeutet das, dass der Käufer entscheiden kann, ob er die gekaufte Option ausüben, oder verfallen lassen möchte. Dieses Recht kann er aber maximal bis zum Verfallsdatum der Option ausüben. Dabei unterscheidet man zwischen Optionen die zu jedem Zeitpunkt der Laufzeit ausgeübt werden können (= amerikanische Optionen) und jenen, die ausschließlich am Verfallsdatum geltend gemacht werden können (= europäische Optionen). 5 Diese Bezeichnungen haben allerdings heute nichts mehr mit dem geographischen Raum zu tun, in dem sie gehandelt werden können. Europäische Optionen können ebenso an amerikanischen Börsen gehandelt werden, wie amerikanische Optionen an europäischen Börsen gehandelt werden können. 6 Daneben gibt es noch die weniger populären Bermuda-Optionen, deren Ausübung lediglich zu vorher bereits fixierten Zeitpunkten erfolgen kann. 7 Kauft ein Anleger das Recht, einen Basiswert zu einem festgelegten Preis zu kaufen, nennt man das eine Call-Option. Eine Call-Option ist also der Kauf eines Kaufrechtes. Die Gegenposition dazu ist eine Put-Option. Diese gibt dem Käufer das Recht den Basiswert (engl.: Underlying) zu verkaufen. Es handelt sich also um den Erwerb eines Verkaufsrechtes. 8 Die Unterscheidung dieser beiden Optionsarten spielt besonders auch bei der Betrachtung des Optionspreises und des Optionswertes eine große Rolle, auf die wir im Folgenden näher eingehen möchten. 4 Stand Vgl.: Hull, John: Optionen, Futures und andere Derivate.7. Auflage. Pearson Studium S Vgl.: Winkler, Dennis: Stand: Vgl.: Stand: Vgl.: Hull, John: Optionen, Futures und andere Derivate.7. Auflage. Pearson Studium.S

5 II.) Differenzierung zwischen Optionspreis und Optionswert (Nina Schieferbein) Häufig werden die Begriffe Wert und Preis im Alltag synonym verwendet. Wenn man aber das Thema der Optionsbewertung genauer betrachten möchte, ist es wichtig, diese beiden Begriffe voneinander zu differenzieren. 1.) Preis einer Option Unter dem Preis einer Option versteht man die Prämie, die der Käufer einer Option dem Verkäufer, als Gegenleistung für die Bereitstellung des Optionsrechts zum Basispreis, bezahlen muss. Diese Prämie wird im Allgemeinen durch die Marktkräfte von Angebot und Nachfrage bestimmt. Diese Prämie wird auch fällig, wenn die Option nicht ausgeübt wird, da durch sie nur die Bereitstellung des Rechtes vergütet wird. 9 Der Preis einer Option besteht aus zwei Komponenten: dem inneren Wert und dem Zeitwert. Unter dem inneren Wert versteht man den Betrag, der bei sofortiger Ausübung der Option realisiert werden könnte, ohne die Transaktionskosten zu berücksichtigen. Das bedeutet, dass der innere Wert die Differenz aus dem aktuellen Kurs des Underlyings und des Basispreises darstellt. Der innere Wert kann minimal null werden, aber nie negativ sein. Dies aus dem Grund, da der Anleger nicht zur Ausübung einer Option verpflichtet ist und daher im Falle eines Verlustes, die Option nicht nutzen würde. 10 Wenn man beispielsweise eine Call-Option auf eine Aktie gekauft hat, deren Ausübungspreis 40 beträgt und deren aktueller Kurs sich auf 50 beläuft, hat diese Call-Option einen inneren Wert von 10. Würde der aktuelle Kurs dieser Aktie allerdings 20 betragen, so wäre der innere Wert null, da jeder rationale Anleger diese Option ungenutzt verstreichen lassen würde. Optionen werden oft nach ihrem inneren Wert in Klassen eingeteilt. Eine Option ist in the money, wenn ihr innerer Wert positiv ist. At the money, sagt aus, dass der Basispreis und der aktuelle Kurs des Underlyings identisch sind. Von out of the money spricht man im Falle einer Call-Option, wenn der 9 Vgl. : Börsenlexikon. (abgerufen am ) 10 Vgl.: Hagl, Stefan: Bewertung von DAX-Optionsscheinen S. 23 f. 4

6 Basispreis höher ist, als der aktuelle Kurs. Im Falle einer Put-Option befindet sich diese out of the money wenn der aktuelle Kurs des Basiswertes über dem Basispreis liegt. Die Kennzahl, die für diese Einteilung häufig verwendet wird ist die Moneyness. Diese berechnet man indem man den aktuellen Kurs des Basiswertes durch den Ausübungspreis teilt. 11 Abb.: Moneynesskategorien bei Optionsscheinen 12 In der Realität ist der Marktpreis häufig nicht identisch mit dem inneren Wert einer Option. Deshalb muss noch ein weiterer Faktor beachtet werden: der Zeitwert. 13 Der Zeitwert stellt nicht nur eine Vergütung des Risikos dar, sondern spiegelt auch die Chance auf einen Gewinn am Ende der Laufzeit wider. Er errechnet sich durch die Differenz des Marktpreises und des inneren Wertes. Beeinflussende Größen des Zeitwertes sind der Basispreis, die Restlaufzeit und die Volatilität des Underlyings. Denn die Chancen auf einen Gewinn sind umso höher, je länger die Restlaufzeit ist und je höher die Volatilität des Underlyings ist. Eine längere Restlaufzeit wirkt sich deshalb positiv auf den Zeitwert aus, da die Wahrscheinlichkeit, dass sich die Option gewinnbringend entwickelt, bei einer längeren Laufzeit höher ist, als bei einer kürzeren. Auch eine hohe Volatilität ist erstrebenswert, da sie zur Erhöhung der Gewinnchance beiträgt. Dies liegt an der für Optionen charakteristischen asymmetrischen Risikoverteilung. Man kann bei der Risikoverteilung deshalb von asymmetrisch sprechen, da sich der Verlust für den Käufer einer Option auf die Optionsprämie beschränkt, der Gewinn kann theoretisch allerdings unbegrenzt hoch sein. Diese Hebelwirkung ist typisch für eine Option. Ist die Gewinnchance 11 Vgl.: Hagl, Stefan: Bewertung von DAX-Optionsscheinen S. 24 f. 12 Hagl, Stefan: Bewertung von DAX-Optionsscheinen S. 24 f. 13 Vgl.: Hagl, Stefan: Bewertung von DAX-Optionsscheinen S. 25 5

7 einer Option hoch, ist zugleich auch ihr Zeitwert hoch. Ebenso wie der innere Wert, kann auch der Zeitwert null werden (z.b am Verfallstag), negativ kann er aber nie sein. 14 Da der Preis einer Option ja bekanntlich durch die Marktkräfte Angebot und Nachfrage bestimmt wird, kann man also davon ausgehen, dass der innere Wert und der Zeitwert einer Option am Markt laufend neu bewertet werden ) Wert einer Option Wie wir bereits gezeigt haben, versteht man unter dem Preis einer Option, die Prämie, die für die Bereitstellung eines Kaufs- oder Verkaufsrechtes entrichtet werden muss und deren Höhe sich durch die marktmäßige Bewertung ergibt. 16 Der Wert einer Option wird nicht durch Angebot und Nachfrage bestimmt, sondern ist das Ergebnis einer modellgestützten Berechnung. Man könnte den Wert einer Option also als theoretisch[ ] fairen Preis 17 interpretieren. Welche verschiedenen Variationen es an Bewertungsmodellen gibt und worin sie sich voneinander unterscheiden, möchten wir in einem der folgenden Kapitel noch genauer ausführen. III.) Sensitivitätsanalyse (Ralph Schunn) Nachdem in den meisten Optionsbewertungsmodellen bekannt ist, das der Preis des Basiswerts, der Ausübungspreis, der risikolose Zinssatz, die Dividende, die Laufzeit der Option und die Volatilität des Basiswertes den Optionspreis beeinflussen können kann es beim Black-Scholes-Modell zu hohen Fehlbewertungen kommen. Dadurch wird dieses Bewertungsmodell als nicht sinnvoll erachtet. Ohne ausschlaggebende Bewertungsmodelle würde auch das Risikomanagement eines Portfolios oder einer Option sinnlos sein. Aus diesem Grunde wird die Sensitivitätsanalyse durchgeführt. Sie soll zum Verständnis beitragen, wie Abweichungen zwischen Modell- und Marktpreisen entstehen können und soll helfen die Gewichtungen einzelner Parameter einschätzen zu können. Die Sensitivitätsanalyse besteht aus folgenden Parametern: 14 Vgl.: Feingold, Benjamin: Handeln mit Futures und Optionen: ein Leitfaden für den Privatanleger. FinanzbuchVerlag S Vgl. : Börsenlexikon. (abgerufen am ) 16 Vgl. Abschnitt II.) 1.) Der Wert einer Option 17 Hagl, Stefan: Bewertung von DAX-Optionsscheinen S

8 Delta Δ : Partielle Ableitung des Optionspreises nach dem Basiswert Gamma Γ : Sensitivität des Deltas gegenüber dem Asset-Price Theta Θ : Partielle Ableitung nach der Zeit Vega Λ : Partielle Ableitung des Optionspreises nach der Volatilität Rho Ρ : Sensitivität des Portfoliowertes gegenüber dem Zinssatz Aufgrund der griechischen Abkürzungen werden diese Parameter auch als The Greeks bezeichnet. Diese Sensitivitätskennziffern werden aus Sicht der ceteris paribus betrachtet d.h. alle anderen Parameter werden konstant gehalten. 18 Beispiel für die Sensitivitätsanalyse: Alt Neu für Delta Neu für Gamma Neu für Theta Neu für Vega Neu für Rho Stock Price 43,50$ 44,50$ 44,50$ Strike Price 45,00$ Interest Rate 4,00% 5,00% Volatitlität 20,00% 21,00% Restlaufzeit Alt Diff. / Option Price Diff. / Option Price Option Price 1, ,50091 Diff. 0,43110 Delta 0, ,46834 Ø 0,42313 Gamma 0, ,09185 Ø 0, ,46890 Theta -0,01079 Vega 0,07811 Rho 0, Vgl.: Andreas Merk: Optionsbewertung in Theorie und Praxis: Wiesbaden: Gabler Verlag 1.Auflage 2011: S

9 Eigene Darstellung aus Microsoft Excel; Berechnung mit dem Optionspreisrechner von InteractiveBrokers zu finden unter: am Delta Das Delta wird definiert als Sensitivität des Optionspreises nach dem Basiswert. Delta gibt hierbei die Steigung der Kurve an, welche in Relation zwischen Optionspreis und Basiswert steht. 19 Der Wertebereich eines Deltas ist fix und erstreckt sich von -1 über +1. Dieser Wertebereich wird jedoch in zwei verschiedene Bereiche unterteilt die zum einen von -1 bis 0 erstrecken, für das Delta einer Verkaufsoption und zum anderen einer Kaufoption mit einem Bereich von 0 bis +1. Notiert Delta bei einer Kaufoption einen aufsteigenden Wert hingehend zu +1 so spricht man von einer Option die sich im Geld befindet. Umgekehrt ist zu erwähnen, wenn der Wert sich 0 annähert, spricht man von einer Option die sich aus dem Geld bewegt. 20 Anhand des beigefügten Beispiels lässt sich Delta wie folgt erklären: Steigt der Stock Price (Aktienkurs) von 43,50 $ auf 44,50 $, sprich um nur 1 $ so verändert sich der Optionspreis um einen Wert von 0, Berechnet man nun das Delta für den Stock Price von 43,50 $ bekommt man einen Wert des Deltas von 0,37791 heraus. Der Wert des Deltas für einen Stock Price von 44,50 $ ist 0, Davon muss man nun den Durchschnitt nehmen und es entsteht ein Wert von Ø 0, Vergleicht man die Differenz des Optionspreises mit dem durchschnittlichen Delta, so kann erkannt werden, dass Ø Delta nahezu gleich mit der Differenz des Optionspreises ist. 21 Gamma Gamma ist die zweite partielle Ableitung des Optionspreises nach dem Basiswert. Dieser Grieche gibt an wie sehr sich das Delta verändert, wenn sich der Basiswert verändert. Daraus lässt sich ableiten dass eine in-the-money 19 Vgl.: John C.Hull: Optionen, Futures und andere Derivate: 7. Auflage des Pearson Studium Verlags auf S Vgl.: Andreas Merk: Optionsbewertung in Theorie und Praxis: Wiesbaden: Gabler Verlag 1.Auflage 2011: S Vgl.: am : Options 102 The Greeks. 8

10 befindliche Option den größtmöglichen Wert annimmt wohingegen eine outof-the-money und eine in-the-money Option im Wert abfällt. Nimmt Delta einen Wert von 1 an so hat Gamma einen Wert von Man kann auch sagen das ein kleines Gamma ein sich langsam änderndes Delta angibt. Anders herum ist bei einem hohen Gamma eine sehr schnelle und empfindliche Reaktion des Deltas auf Preisveränderung zu vermerken. 23 Anhand des beigefügten Beispiels lässt sich Gamma wie folgt erklären: Bei einem Stock Price von 43,50 $ hat Gamma einen Wert von 0, Hebt man nun den Stock Price um 1 $ an auf 44,50 $ so ändert sich mit ihm auch der Gamma Wert auf 0, Hiervon muss nun das durchschnittliche Gamma berechnet werden. Ø Gamma = 0, Addiert man Ø Gamma mit dem alten Wert von Delta 0,37791, so erhält man einen neuen errechneten Delta Wert von 0, Vergleicht man nun das errechnete Delta mit dem tatsächlichen Delta von 0,46834 so ist zu sehen das nur eine geringe Abweichung zwischen dem errechneten und dem tatsächlichen Delta vorhanden ist. 24 Theta Theta gibt an wie sensibel sich der Optionspreis auf Veränderung der Restlaufzeit verändert. Somit ist Theta die erste Ableitung des Optionspreises nach der Zeit/Restlaufzeit. Der sich täglich ändernde Zeitwert, aufgrund von Veränderung/Verminderung der Restlaufzeit, gibt Theta die Rate an, mit welcher sich der Zeitwert einer Option verringert. Nach der ceteris paribus Annahme gibt der Wert des Theta den Wert an, um den sich die Option täglich verringert Vgl.: Andreas Merk: Optionsbewertung in Theorie und Praxis: Wiesbaden: Gabler Verlag 1.Auflage 2011: S Vgl.: John C.Hull: Optionen, Futures und andere Derivate: 7. Auflage des Pearson Studium Verlags auf S Vgl.: am : Options 102 The Greeks. 25 Vgl.: Andreas Merk: Optionsbewertung in Theorie und Praxis: Wiesbaden: Gabler Verlag 1.Auflage 2011: S

11 Alt Neu für Theta Diff. Neu für Vega Diff. Neu für Rho Diff Option Price 1, , , , , , ,03788 Delta 0,37791 Gamma 0,09013 Theta - 0, ,01083 Vega 0, ,07783 Rho 0, ,03877 Darstellung aus Microsoft Excel; Berechnung mit dem Optionspreisrechner von InteractiveBrokers zu finden unter: am Anhand des beigefügten Beispiels lässt sich Theta wie folgt erklären: Aufgrund der Angaben des beigefügten Beispiels ändert sich die Restlaufzeit von 90 Tagen auf 89 Tagen. Dies hat zur folge das Theta einen Wert von - 0,01083 annimmt und der Optionspreis von 1,06981 auf 1,05943 abfällt mit einem Abfall von -0, Bei Vergleich des Thetas mit der Preisveränderung ist zu erkennen, das Theta fasst identisch mit der tatsächlichen Wertveränderung ist. 26 Vega Das Vega einer Option gibt die Veränderung des theoretischen Optionspreises bei sich ändernder impliziter Volatilität an. 27 Bei einem hohen Wert von Theta reagiert der Optionspreis auf eine sich ändernde Volatilität sehr empfindlich. Hingegen bei einem niedrigen Wert von Theta ändert sich der Optionspreis nur relativ geringfügig Vgl.: am : Options 102 The Greeks. 27 Vgl.: Andreas Merk: Optionsbewertung in Theorie und Praxis: Wiesbaden: Gabler Verlag 1.Auflage 2011: S Vgl.: John C.Hull: Optionen, Futures und andere Derivate: 7. Auflage des Pearson Studium Verlags auf S

12 Anhand des beigefügten Beispiels lässt sich Vega wie folgt erklären: Die Volatilität der Option steigt um 1%. Dabei entsteht ein neues Vega bei einer neuen Volatilität (21 %) von 0, Vergleicht man nun diesen Wert mit dem neu entstandenen Optionspreis, welcher sich um 0,07812 erhöht hat so ist zu erkennen, das dass errechnete Vega relativ nah an der tatsächlichen Veränderung des Optionspreises liegt. 29 Rho Rho gibt an wie sensibel sich der Optionspreis verändert bei sich änderndem Zinssatz. Eine Erhöhung des Zinssatzes hat einen steigenden Optionspreis zur Folge. Der Einfluss von Rho nimmt zu, je mehr sich die Option im Geld befindet. Jedoch ist zu vermerken, dass der Zinssatz den geringsten Einfluss auf den Optionspreis mit sich bringt. Nur bei Optionen die sich tief im Geld befinden und eine lange Restlaufzeit aufweisen macht sich der Zinseffekt bemerkbar. 30 Anhand des beigefügten Beispiels lässt sich Rho wie folgt erklären: Der Zinssatz steigt von 4 % auf 5 % so bringt dies eine Optionspreisveränderung von 0,03788 mit sich. Bei 4 % hatte Rho einen Wert von 0,03787 und bei 5 % hat Rho einen Wert von 0, Dieser Wert liegt sehr nahe an der tatsächlichen Optionspreisveränderung. 31 III Angebot und Nachfrage - auch beim Optionspreis bestimmen diese Marktkräfte den Wert einer gehandelten Option. Wie bei anderen Wertpapiergeschäften auch beeinflussen viele Faktoren Angebot und Nachfrage und somit auch den Preis einer Option. Am Tag der Ausübung entspricht der Wert einer Option ihrem Inneren Wert. Zudem ist bekannt, dass der Basispreis konstant ist und damit bleibt lediglich der zukünftige Aktienkurs als Unbekannte Vgl.: am : Options 102 The Greeks. 30 Vgl.: Andreas Merk: Optionsbewertung in Theorie und Praxis: Wiesbaden: Gabler Verlag 1.Auflage 2011: S Vgl.: am : Options 102 The Greeks. 32 Vgl.: Hans-Peter Kohler: Grundlagen der Bewertung von Optionen und Optionsscheinen: Band 31 des Gabler Verlags auf S

13 Somit sind folgende Faktoren wertbeeinflussend für den Optionspreis: Aktueller Aktienkurs und Basispreis Der aktuelle Aktienkurs hat dahingehend Einfluss auf den Optionspreis einer Kaufoption, dass falls er steigt auch mit ihm der Optionspreis steigt. Hingegen wenn der Basispreis der Aktie steigt, so fällt der Optionspreis auf die Aktie. Verkaufsoptionen verhalten sich dem entgegengesetzt, bei steigendem Aktienkurs fällt der Optionspreis auf die Aktie ab. Wenn aber der Basispreis der Aktie steigt, gewinnen die Verkaufsoptionen an Wert (Optionspreis steigt). 33 Restlaufzeit der Option Unter der Restlaufzeit einer Option versteht man die Zeitspanne, die vom Zeitpunkt des Kaufes oder des Betrachtungszeitpunktes bis hin zum Verfallstag der Option verläuft. Tendenziell ist zu sagen, je höher die Laufzeit einer Aktie ist desto höher wird die Wahrscheinlichkeit eines steigenden Optionspreises und analog dazu umso niedriger das der Optionspreis sinkt. Somit reduziert sich der Optionspreis für einen Call (Kaufoption) bei sinkender Restlaufzeit. 34 Risikoloser Zinssatz Risikolose Zinssätze beeinflussen die Optionspreise weniger stark als die Restlaufzeit oder der aktuelle Aktienkurs. Jedoch lässt sich aus dem Zinssatz der Wirtschaft ableiten, dass bei steigenden Zinssätzen der Wirtschaft die Renditeforderungen der Anleger für die Aktien ebenso steigen. Somit sinkt der Barwert jeder zukünftigen Einzahlung für den Optionsinhaber. Dies bewirkt für Kaufoptionen einen steigenden Wert und für Verkaufsoptionen einen sinkenden Wert. 35 Dividende 33 Vgl.: John C.Hull: Optionen, Futures und andere Derivate: 7. Auflage des Pearson Studium Verlags auf S Vgl.: Hans-Peter Kohler: Grundlagen der Bewertung von Optionen und Optionsscheinen: Band 31 des Gabler Verlags auf S Vgl.: John C.Hull: Optionen, Futures und andere Derivate: 7. Auflage des Pearson Studium Verlags auf S

14 Bei der Dividende ist ebenso wie beim aktuellen Aktienkurs, ein entgegengesetztes Verhalten von Kauf- und Verkaufsoptionen festzustellen. Denn werden Dividenden an die Aktionäre ausgezahlt, so reduziert sich der Aktienpreis am Ausschüttungstag. Dies bewirkt einen sinkenden Optionspreis für Kaufoptionen (Call) und einen steigenden Optionspreis für Verkaufsoptionen (Put). 36 Volatilität Die Volatilität des Aktienkurses ist ein Maß für die Unsicherheit der zukünftigen Bewegung des Kurses. Mit Wachsender Volatilität nimmt auch die Schwankungen des Aktienkurses zu und die Wahrscheinlichkeit das der Kurs steigt oder sinkt nimmt zu. Für Kaufoptionen lässt sich sagen das die Volatilität den möglichen Kursanstieg vorzeigt und für Verkaufsoptionen den möglichen Kursabfall. Aufgrund dessen kann man festhalten, dass sich eine steigende/zunehmende Volatilität positiv auf Kaufoptionen wie auch auf Verkaufsoptionen auswirkt. 37 IV.) Erläuterung wertbeeinflussender Faktoren (Ralph Schunn) Angebot und Nachfrage - auch beim Optionspreis bestimmen diese Marktkräfte den Wert einer gehandelten Option. Wie bei anderen Wertpapiergeschäften auch beeinflussen viele Faktoren Angebot und Nachfrage und somit auch den Preis einer Option. Am Tag der Ausübung entspricht der Wert einer Option ihrem Inneren Wert. Zudem ist bekannt, dass der Basispreis konstant ist und damit bleibt lediglich der zukünftige Aktienkurs als Unbekannte. 38 Somit sind folgende Faktoren wertbeeinflussend für den Optionspreis: 36 Vgl.: John C.Hull: Optionen, Futures und andere Derivate: 7. Auflage des Pearson Studium Verlags auf S Vgl.: John C.Hull: Optionen, Futures und andere Derivate: 7. Auflage des Pearson Studium Verlags auf S Vgl.: Hans-Peter Kohler: Grundlagen der Bewertung von Optionen und Optionsscheinen: Band 31 des Gabler Verlags auf S

15 Aktueller Aktienkurs und Basispreis Der aktuelle Aktienkurs hat dahingehend Einfluss auf den Optionspreis einer Kaufoption, dass falls er steigt auch mit ihm der Optionspreis steigt. Hingegen wenn der Basispreis der Aktie steigt, so fällt der Optionspreis auf die Aktie. Verkaufsoptionen verhalten sich dem entgegengesetzt, bei steigendem Aktienkurs fällt der Optionspreis auf die Aktie ab. Wenn aber der Basispreis der Aktie steigt, gewinnen die Verkaufsoptionen an Wert (Optionspreis steigt). 39 Restlaufzeit der Option Unter der Restlaufzeit einer Option versteht man die Zeitspanne, die vom Zeitpunkt des Kaufes oder des Betrachtungszeitpunktes bis hin zum Verfallstag der Option verläuft. Tendenziell ist zu sagen, je höher die Laufzeit einer Aktie ist desto höher wird die Wahrscheinlichkeit eines steigenden Optionspreises und analog dazu umso niedriger das der Optionspreis sinkt. Somit reduziert sich der Optionspreis für einen Call (Kaufoption) bei sinkender Restlaufzeit. 40 Risikoloser Zinssatz Risikolose Zinssätze beeinflussen die Optionspreise weniger stark als die Restlaufzeit oder der aktuelle Aktienkurs. Jedoch lässt sich aus dem Zinssatz der Wirtschaft ableiten, dass bei steigenden Zinssätzen der Wirtschaft die Renditeforderungen der Anleger für die Aktien ebenso steigen. Somit sinkt der Barwert jeder zukünftigen Einzahlung für den Optionsinhaber. Dies bewirkt für Kaufoptionen einen steigenden Wert und für Verkaufsoptionen einen sinkenden Wert. 41 Dividende Bei der Dividende ist ebenso wie beim aktuellen Aktienkurs, ein entgegengesetztes Verhalten von Kauf- und Verkaufsoptionen festzustellen. Denn werden Dividenden an die Aktionäre ausgezahlt, so reduziert sich der Aktienpreis am Ausschüttungstag. Dies bewirkt einen sinkenden Optionspreis 39 Vgl.: John C.Hull: Optionen, Futures und andere Derivate: 7. Auflage des Pearson Studium Verlags auf S Vgl.: Hans-Peter Kohler: Grundlagen der Bewertung von Optionen und Optionsscheinen: Band 31 des Gabler Verlags auf S Vgl.: John C.Hull: Optionen, Futures und andere Derivate: 7. Auflage des Pearson Studium Verlags auf S

16 für Kaufoptionen (Call) und einen steigenden Optionspreis für Verkaufsoptionen (Put). 42 Volatilität Die Volatilität des Aktienkurses ist ein Maß für die Unsicherheit der zukünftigen Bewegung des Kurses. Mit Wachsender Volatilität nimmt auch die Schwankungen des Aktienkurses zu und die Wahrscheinlichkeit das der Kurs steigt oder sinkt nimmt zu. Für Kaufoptionen lässt sich sagen das die Volatilität den möglichen Kursanstieg vorzeigt und für Verkaufsoptionen den möglichen Kursabfall. Aufgrund dessen kann man festhalten, dass sich eine steigende/zunehmende Volatilität positiv auf Kaufoptionen wie auch auf Verkaufsoptionen auswirkt. 43 V.) Modellüberblick und Systematisierung (Ralph Schunn) Es gibt viele verschiedene Optionsgeschäfte und die verschiedensten Modelle für deren Bewertungen. Dafür benötigt man oft einen groben Überblick dieser Bewertungsmodelle. Diesen Überblick versuchen wir in dieser Arbeit zu verdeutlichen. Die Modelle lassen sich zunächst in zwei Kategorien unterteilen: in die Optionswertmodelle und Kennzahlenverfahren (naive Ansätze). Wobei die Optionswertmodelle darauf abzielen, einen monetären Optionswert zu ermitteln. Wohingegen die Kennzahlenverfahren auf den Bewertungsvergleich von Marktpreisen fokussiert sind. Die Optionswertmodelle können nun wieder unterteilt werden in Gleichgewichtsmodelle und empirisch-ökonomische-modelle. Wir wollen uns in dieser Arbeit auf die Gleichgewichtsmodelle beschränken. Bei den Gleichgewichtsmodellen kann man wieder in zwei Spalten unterteilen, zum einen sind dies die verteilungsabhängigen Gleichgewichtsmodelle und zum anderen die verteilungsfreien (und präferenzfreien) Gleichgewichtsmodelle. 42 Vgl.: John C.Hull: Optionen, Futures und andere Derivate: 7. Auflage des Pearson Studium Verlags auf S Vgl.: John C.Hull: Optionen, Futures und andere Derivate: 7. Auflage des Pearson Studium Verlags auf S

17 Verteilungsfreie (und präferenzfreie) Gleichgewichtsmodelle gibt es beispielsweise von Merton und Smith, diese werden auch nicht weiter unterteilt. Die verteilungsabhängigen Gleichgewichtsmodelle hingegen werden weiter unterteilt in partielle und vollständige Gleichgewichtsmodelle. Partielle Gleichgewichtsmodelle existieren unter anderem von Bachelier, Sprenkle, Boness und Samuelson. Sie werden auch als präferenzabhängige Gleichgewichtsmodelle bezeichnet. Die vollständigen Gleichgewichtsmodelle lassen sich wieder in zwei Gruppen auftrennen: in Modelle mit stetigem Kursverlauf oder unstetigem Kursverlauf mit konstanter Streuung. Bei den Modellen mit stetigem Kursverlauf lässt sich wiederum eine Unterteilung finden in konstante Streuung und variable Streuung. Das bekannt Black-Scholes-Modell zählt zu den Modellen mit konstanter Streuung. Wohingegen das ebenfalls bekannte CRR-Binomialmodelle bei den Modellen mit unstetigem Kursverlauf aber konstanter Streuung eingeordnet wird. 44 Abb.: Bewertung von DAX-Optionsscheinen. Dipl.-Volkswirt Stefan Hagl. S Vgl.: Bewertung von DAX-Optionsscheinen. Dipl.-Volkswirt Stefan Hagl. S

18 VI.) Einzelne Modelle im Fokus Da wir schon einen groben Überblick über die Vielzahl von Modellen gegeben haben, wollen wir uns nun auf zwei Modelle konzentrieren. 1.) Das Binomialmodell (Ralph Schunn) Das ursprünglich von Sharpe entwickelte und im Anschluss von Cox, Ross, Rubinstein, Rendlemann und Bartter publizierte Modell (1979) ist erst sechs Jahre nach dem Black-Scholes-Modell erschienen. Das CRR-Binomialmodell ist das gebräuchlichste Modell zur Optionsbewertung, dass basierend auf diskreter Zeit auch ein Mehrperioden-Modell darstellt. Normalerweise sollten im Namen des CRR-Binomialmodell auch die Namen/Kürzel der Entwickler Sharpe, Rendleman und Bartter enthalten sein. Jedoch bezeichnet man das Modell nur als Cox-Ross-Binomialmodell. Die Berechnung des Optionspreises wird hierbei numerisch durchgeführt, wohingegen das Black-Scholes-Modell auf eine analytische Berechnung zurückgreift. Dieses Bewertungsmodell erlaubt es dadurch amerikanische und exotische Aktien-, Futures- und Währungsoptionen zu bewerten. Zudem nimmt dieses Modell an, dass die Wahrscheinlichkeit des Aktienkurses im Zeitablauf einer Binomialverteilung nur zwei Werten folgen kann: nach oben oder nach unten. 45 Veranschaulicht anhand eines Einperioden Baumes lässt sich die Bewegung der Werte nach oben und nach unten grafisch sehr gut darstellen. Bei Betrachtung einer Aktie S0 und deren Option f stehen diese beiden Werte im Knotenpunkt übereinander in der jeweiligen Periode n. Betrachtet wird hierbei die Zeit T. Der Wert der Aktie S0 kann auf S0 u mit der Wahrscheinlichkeit q steigen oder auf S d 0 mit der Wahrscheinlichkeit q sinken wobei u > 1 und d <1 sein muss. Die Option f dieser Aktie verhält sich genauso Sie steigt auf f u oder sinkt auf f d. Das gleiche gilt für Zweiperioden oder Mehrperioden Bäume, wobei hierbei zu beachten sind, die Punkte die sich treffen nach der zweiten Periode wenn der Wert von der vorherigen Periode sinkt und der Wert der vorherigen Periode 45 Vgl.: Andreas Merk: Optionsbewertung in Theorie und Praxis: Wiesbaden: Gabler Verlag 1.Auflage 2011: S

19 u steigt. Dabei ergibt sich aus S o und S d 0 ein S ud 0 für die Aktie und für die Option f du aus f u und f d. 46 Einperioden-Baum Quelle: John C.Hull: Optionen, Futures und andere Derivate: 7. Auflage des Pearson Studium Verlags auf S.302. Zweiperioden-Baum Quelle: John C.Hull: Optionen, Futures und andere Derivate: 7. Auflage des Pearson Studium Verlags auf S.308. Die Berechnung des Optionpreises bei Calls C n,i und Puts P n,i lässt sich wie folgt darstellen: { } = e -rdt éë qc n+i,i q { } = e -rdt éë qp n+i,i q C n,i = max S 0 u i d n-i - K, 0 P n,i = max K - S 0 u i d n-i,0 ( )C n+i,i ù û ( ) P n+i,i ù û 46 Vgl.: John C.Hull: Optionen, Futures und andere Derivate: 7. Auflage des Pearson Studium Verlags auf S

20 Für die Wahrscheinlichkeit von steigenden Aktienkursen gilt: q = ebdt - d u- d Für die Wahrscheinlichkeit von sinkenden Aktienkursen gilt: 1- q = u- ebdt u- d 47 2.) Das Black-Scholes Modell (Nina Schieferbein) 1973 schafften Fisher Black, Myron Scholes und Robert Merton es nach zweimaliger Ablehnung, ihre Bewertungsmethodik zu veröffentlichen und so exorbitant zur Weiterentwicklung der finanzmarkttheoretischen Forschung beizutragen. Das revolutionäre an ihrer Arbeit war, dass sie einen Weg fanden, den Wert einer Option unabhängig von Risikopräferenzen bestimmen zu können. Diese Leistung wurde 1997 auch durch einen Nobelpreis gewürdigt, bedauerlicherweise war Fisher Black zu diesem Zeitpunkt bereits verstorben. 48 Da es sich um ein Modell handelt, darf nicht angenommen werden, dass man mit dem Black-Scholes Modell die Wirklichkeit darstellen kann. Es hilft lediglich die Wirklichkeit zu verstehen und besitzt nur Gültigkeit, wenn eine Reihe von Annahmen erfüllt werden. 49 a.) Prämissen Das Black-Scholes Modell basiert auf der Annahme eines gleichgewichteten, vollkommenen Marktes. Diesen zeichnet insbesondere aus, dass es keine Möglichkeit gibt Abitragegewinne zu realisieren. 50 Es ist also nicht möglich 47 Vgl.: Andreas Merk: Optionsbewertung in Theorie und Praxis: Wiesbaden: Gabler Verlag 1.Auflage 2011: S Vgl.: Hull, John: Optionen, Futures und andere Derivate. Pearson Studium: 7. Auflage 2009.S Vgl. : (Stand: ) 50 Vgl.: Hagl, Stefan: Bewertung von DAX-Optionsscheinen S

21 einen risikofreien Gewinn durch die Ausnutzung von Preisdifferenzen zu erwirtschaften. 51 Da das Black-Scholes Modell unter den verteilungsabhängigen und präferenzfreien Gleichgewichtsmodellen einzuordnen ist, muss auch eine bestimmte Annahme über den Kursverlauf des Underlyings getroffen werden. In diesem Fall wird die geometrische Brown sche Bewegung zu Grunde gelegt. 52 Diese sagt aus, dass die Aktienrenditen [ ] eine Normalverteilung mit unabhängig vom Kursniveau konstantem Erwartungswert und konstanter Varianz im Zeitablauf auf[weisen]. 53 Abb.: Eigens bearbeitete Darstellung der Einordnung des Black-Scholes Modells 54 Außerdem beruht die Black-Scholes Differentialgleichung auf der Bedingung, dass der Preis eines jeden Derivates, dessen Underlying eine dividendenlose Aktie ist, erfüllt werden muss. Außerdem müssen Transaktionskosten und Steuern vernachlässigt werden und der risikolose Zins konstant sein Vgl.: (Stand: ) 52 Vgl.: Hagl, Stefan: Bewertung von DAX-Optionsscheinen S Hagl, Stefan: Bewertung von DAX-Optionsscheinen S Vgl. Hagl, Stefan: Bewertung von DAX-Optionsscheinen S Vgl.: Hull, John: Optionen, Futures und andere Derivate. Pearson Studium: 7. Auflage 2009.S

22 b.) Hedging-Prinzip Wie bereits erwähnt, war das bahnbrechende an dem Black-Scholes Modell, dass Risikopräferenzen vernachlässigt werden konnten. Diese Umgehung konnte aufgrund des Hedging-Prinzips erreicht werden. 56 To hedge kommt aus dem englischen und bedeutet absichern. 57 Die Idee von Black, Scholes und Merton war, die Zahlungscharakteristik durch ein Hedge-Portfolio nachzustellen. Dieses gilt deswegen als risikolos, da es zusammengestellt wird, durch negativ korrelierende Vermögenswerte, die sich also gegenseitig ausgleichen. Diese Zusammenstellung wird fortlaufend an Marktänderungen angepasst. Ergo muss gelten: 58 Dies bedeutet, das die Wertänderung des Portfolios null betragen muss, ebenso wie die Summe aus den Produkten der Kursänderung der zum Zeitpunkt t im Hedgeportfolio enthaltenen Aktien mit dem Bestand an Aktien und dem Produkt der Kursänderungen der zum Zeitpunkt t im Hedgeportfolio enthaltenen Calls mit dem Bestand an Calls. Durch ein solches Mischungsverhältnis kann also Risikofreiheit und somit auch Risikopräferenzfreiheit erzielt werden. 59 C.) Differentialgleichung Um die Black-Scholes Formel mathematisch herzuleiten sind eine Reihe von komplexen finanzmathematischen Schritten erforderlich. Wir wollen uns an dieser Stelle aber nur auf die Betrachtung der herbeigeführten Bewertungsformeln beschränken. Diese sehen wie folgt aus: 60 c = S N(d ) Ke N(d ) p = K e N( d ) S N( d ) Mit: 56 Vgl.: Hagl, Stefan: Bewertung von DAX-Optionsscheinen S Vgl.: (Stand: ) 58 Hagl, Stefan: Bewertung von DAX-Optionsscheinen S Vgl.: Hagl, Stefan: Bewertung von DAX-Optionsscheinen S Formelverwendung nach Hull, John: Optionen, Futures und andere Derivate. Pearson Studium: 7. Auflage 2009.S

23 d = ( ) ( ) und d = ( ) ( ) Dabei entspricht: S = Aktienkurs K = Striking price r = risikofreier Zins T = Restlaufzeit σ = Volatilität (SAW) Zur Verdeutlichung der Wirkungsweise soll abschließend ein Rechenbeispiel durchgeführt werden: Eine europäische Option mit einer Restlaufzeit von einem halben Jahr, weist einen Aktienkurs von 40 auf. Der Basispreis beträgt 38, der risikolose Zins 5% p.a. und die Volatilität 20%. Daraus ergibt sich: S 0 = 40 K = 38 r = 0,05 = 0,2 T = 0,5 Setzt man dies nun in obige Formel ein ergibt sich: d 1 = d 2 = ( ) ( ) ( ) ( ) = 0, = 0, Ke -rt = 38 e - 0,025 = 37,062 Im Falle einer Call-Option beträgt ihr Wert also: C = S N(d ) Ke N(d ) = 40*N(0,610186) 37,062*N(0,468764) = 40*0, ,062*0, = 3,95 Im Falle einer Put-Option beträgt ihr Wert also: p = K e N( d ) S N( d ) = 37,062*N(-0,468764)-40*N(-0,610186) = 37,062*0, *0, = 1,01 Unter Vernachlässigung des Zeitwertes, müsste der Aktienkurs um 1,95 steigen, damit der Käufer eines Calls in die Gewinnzone eintritt. Ein Käufer eines Puts tritt in die Gewinnzone ein, wenn der Aktienkurs um 3,01 fallen würde : Eigenes Rechenbeispiel nach.: Hull, John: Optionen, Futures und andere Derivate. Pearson Studium: 7. Auflage 2009.S.367.

24 VII.) Fazit Abschließend kann man sagen, dass die Optionsbewertung ein wichtiges finanztheoretisches Thema ist und auch in der Praxis Anwendung findet. Zwar schafft es keines der verschiedenen Bewertungsmodelle die Wirklichkeit exakt abzubilden, aber sie tragen dennoch zu einem besseren Verständnis der Realität bei. Gerade auch das Black Scholes Modell und das CRR-Modell, auf die wir unseren Fokus gesetzt haben, zählen auch heute noch zu den grundlegendsten Modellen der Optionsbewertung. Durch zahlreiche Erweiterungen und Verallgemeinerungen kann mithilfe dieser Modelle zwar nicht ein exaktes, aber dennoch schon ein sehr gutes Abbild der Wirklichkeit erschaffen werden. 23