Einführung in die Vektoranalysis

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1 Einfühung in die Vektoanalysis Eckad Specht Otto-von-Gueicke-Univesität Magdebug Geschieben fü Matoids Matheplanet Vesion 2.2 Novembe 25. Einleitung. Studenten stömen seit einigen Wochen wiede in die Hösäle und venehmen dieses Fucht einflößende Wot: Vektoanalysis. Bei Anfängen (insbesondee bei Physik-Studenten im. Semeste) uft es Angstzustände hevo, vo allem dann, wenn sie Übungsaufgaben vogelegt bekommen, in denen zum Beispiel de Laplace-Opeato in Kugelkoodinaten benutzt weden soll. Kennen de Mateie beeitet dieses Gebiet mitunte Vegnügen. Woan liegt das? Zum einen pallen hie fü den Neustudenten zwei Welten aufeinande: Vektoechnung und Analysis (spich Diffeential- und Integalechung, zusammen auch kuz Infinitesimalechnung genannt). Von beidem muss e nicht unbedingt wähend des Abitus ode de Matua gehöt haben jedes Gebiet ist fü sich genommen schon anspuchsvoll genug. E mag zwa von einem Paa Vektoen das Skala- und Vektopodukt beechnet haben und behescht einfache Gundintegale; doch jetzt soll e mit beiden veeint kla kommen. Zum andeen klafft geade fü junge Physikstudenten die Schee zwischen physikalischen Anwendungen de Vektoanalysis in de Mechanik ode Elektodynamik und den beeit stehenden mathematischen Gundlagen oft weit auseinande. Hie hilft nu ein möglichst fühzeitiges intensives Einabeiten in die Gundlagen beide Gebiete, damit de Rückstand im Veständnis de Volesungen nicht allzu goß wid. Diese Atikel vesucht dahe, etwas Licht ins vemeintliche Dunkel de Vektoanalysis zu bingen. Meine Beobachtung ist, dass die Mathematikvolesung meist hintehe hinkt.

2 2. Skalae Felde und Vektofelde, Koodinatensysteme. Zunächst muss man sich an die Vostellung gewöhnen, dass es sich bei den Objekten, um die es hie geht, duchweg um Funktionen de äumlichen Koodinaten x, y, z handelt, und zwa um skalae Funktionen (die wi im Folgenden imme mit ψ(x, y, z) bezeichnen wollen) ode um Vektofunktionen (entspechend F(x,y,z) ); oft spicht man auch von skalaen Felden bzw. Vektofelden. Typische Beispiele fü skalae Felde sind Tempeatu- ode Potentialfelde, dagegen sind Kaft-, Feldstäke- ode Geschwindigkeitsfelde von Hause aus stets Vektofelde. Ein Punkt P des Feldes wid Aufpunkt genannt und oft einfach duch Angabe seines Otsvektos bezeichnet. Wie scheiben wi nun ein Vektofeld eigentlich auf? Dazu müssen wi zunächst eine geeignete Basis finden, was uns zu dem Begiff Koodinatensystem füht. Jede kennt die am häufigsten vewendeten echtwinkligen katesischen Koodinaten, in denen de Otsvekto vom Uspung zu einem beliebigen Aufpunkt P(x,y,z) die Dastellung = xe x + ye y + ze z (= e x x + e y y + e z z) () ode oft abküzend als x = y z (2) geschieben hat. Die Einheitsvektoen e x, e y, e z (welche synonym mit den ebenfalls häufig benutzten i, j, k sind) bilden eine othonomale Basis, was nichts weite bedeutet, dass diese Vektoen paaweise senkecht aufeinande stehen ( otho ) und die Länge haben ( nomal von nomiet ). Othonomale Basen ode Koodinatensysteme, mit denen wi uns gleich beschäftigen, weden gen und besondes häufig vewendet, da sie einen entscheidenden Voteil gegenübe nicht-othogonalen Koodinaten haben: die Skalapodukte unteschiedliche Basisvektoen veschwinden stets: e x e y = e y e z = e z e x =. (3) Und das hat wesentliche Veeinfachungen in den Rechnungen zu Folge, wie wi noch sehen weden. Ein skalaes Feld lässt sich einfach duch ψ = ψ(x, y, z) = ψ() scheiben; wie sieht nun unse Vektofeld F(x,y,z) bzw. F() aus? Natülich so: F x () F() = F y (). (4) F z () Die Vektokomponenten F x e x, F y e y, F z e z geben also die Komponenten von F in Richtung de katesischen Koodinatenachsen x, y, z an (die skalaen Funktionen F x, F y, F z also ohne die Einheitsvektoen weden oft auch als Koodinaten des Vektos F bezeichnet; wi nennen sie hie ungeachtet dessen auch Komponenten). Zwischenfage: Wie beechnen Wi vewenden wie in Büchen üblich fette Buchstaben fü Vektoen. Die Scheibweise de Vektokomponenten unteeinande und in unden Klammen eingeschlossen vewenden wi im Folgenden nu im Falle katesische Koodinaten. 2

3 wi die Komponenten F x, F y, F z aus dem gegebenen F bei Bedaf? Antwot: Wi müssen F lediglich einzeln mit den Einheitsvektoen skala multiplizieen, also so: F x = F e x, F y = F e y, F z = F e z. (5) Geometisch gesehen, ist dies eine Pojektion von F auf die Koodinatenachsen. Was hie vielleicht noch tivial und sofot einleuchtend anmutet, muss späte nicht meh unbedingt so sein; wi kommen daauf zuück. 3. Gadient, Richtungsableitung. Jetzt wagen wi einen esten Schitt in die Vektoanalysis, indem wi eine beliebige skalae Funktion ψ(x, y, z) betachten und uns fü die Ändeung dψ diese Feldfunktion beim Fotscheiten von einem Aufpunkt P(x, y, z) zu einem benachbaten Punkt P (x + dx,y + dy,z + dz) inteessieen. Dann gilt nach de Kettenegel dψ = ψ ψ ψ dx + dy + dz, (6) was sich ein fomal in die Fom eines Skalapodukts ( ) ψ dψ = e x + e ψ y + e ψ z (e x dx + e y dy + e z dz) (7) setzen lässt, dessen zweite Fakto dx d = e x dx + e y dy + e z dz = dy (8) dz de infinitesimale Vekto ist, de von P nach P füht. De este Fakto ist dagegen nu vom Ot P abhängig, nicht abe von einem bestimmten Nachbapunkt P, und heißt Gadient des Feldes im Punkt P. Man scheibt dafü üblicheweise gad ψ, nach Hamilton spicht man hie auch vom Nabla-Opeato. Es ist also in katesischen Koodinaten: gadψ = ψ ψ ψ ψ mit = e x + e y + e z =. (9) Wi sehen hiean sofot: De Gadient ist ein Vekto und seine Komponenten sind die (patiellen) Ableitungen de Funktion nach x, y, z. Seine Richtung ist stets diejenige des stäksten Anstiegs von ψ und sein Betag (ψ ) 2 gadψ = + ( ) 2 ψ + ( ) 2 ψ () gibt die Ableitung des Feldes in diese Richtung an. Somit wid aus dem skalaen Feld ψ() duch Gadientenbildung ein Vektofeld gadψ() ezeugt. Einen Opeato kann man sich hie als Lückenausduck vostellen; es bedaf imme eines Agumentes (Objektes), auf den de Opeato angewendet wid. 3

4 Eine anschauliche Intepetation dieses etwas gewöhnungsbedüftigen Objekts gibt es (im Zweidimensionalen) auch: Wi stellen uns ψ(x, y) einfach als Höhenpofil h(x, y) eines Gebiges vo. Dann gibt gadψ in jedem Punkt P(x,y) die Richtung des Nomalenvektos zu de duch P gehenden Niveaulinie an, die iheseits duch h(x,y) = const ( Höhenlinie ) bestimmt ist. Je steile also das Gebige in de Umgebung von P ist (je dichte die Niveaulinien liegen), desto göße ist gadψ. Wie goß ist nun abe die Ableitung des Feldes in andee Richtungen? Da gadψ schon in Richtung des gößten Anstiegs zeigt, kann die Ableitung in andee Richtungen betagsmäßig nu kleine als gadψ sein. Wie leicht zu vemuten ist, handelt es sich bei de sog. Richtungsableitung lediglich um die Pojektion des Gadienten auf den Einheitsvekto n in diese Richtung, also um das Skalapodukt aus n und gadψ: ψ n = n gadψ = n x n y n z ψ ψ ψ ψ n x + n ψ y + n ψ z. () De Opeato gad kann ebenso auf Vektofelde angewendet weden; man nennt diese Göße Vektogadient, woauf wi jedoch est in 3 eingehen. 4. Zylindekoodinaten. Nun wenden wi uns andeen gebäuchlichen Koodinatensystemen zu und beechnen den Gadienten in diesen Systemen. Das neben dem katesischen Koodinatensystem wohl am häufigsten benutzte ist das zylindische (Pola-)- Koodinatensystem (auch äumliche Polakoodinaten ode kuz Zylindekoodinaten genannt). Es ist das gebäuchliche Koodinatensystem bei axialsymmetischen Poblemen. In ihm dücken wi den Otsvekto eines beliebigen Punktes P nicht meh duch x, y, z aus, sonden duch dei andee Koodinaten:, ϕ, z (die beiden z s sind hie haagenau gleich, somit sind es eigentlich bloß zwei andee Koodinaten). Um die neuen Koodinaten und damit auch die Tansfomationsbeziehungen zwischen (x,y,z) und (,ϕ,z) besse vestehen zu können, pojizieen wi unseen Punkt P(x,y,z) noch in die xy-ebene (d. h. wi fällen das Lot) und nennen diesen Punkt P. Dann ist de Abstand des Punktes P vom Uspung O und ϕ dejenige Winkel, den de Stahl OP mit de positiven x-achse bildet. Daaus lesen wi nun folgende Tansfomationsfomeln ab (jeweils links stehen die katesischen Koodinaten, echts die Zylindekoodinaten): x = cosϕ, y = sin ϕ, z = z bzw. = sin ϕ z. (2) Wie machen wi uns am besten ein Bild von einem unbekannten, nicht vetauten Koodinatensystem? Wi vesuchen, uns die Flächen = const, ϕ = const und z = const, die sog. Koodinatenflächen vozustellen. Dazu müssen wi est die invesen Tansfomationsfomeln ausechnen, d. h. wi müssen obiges Gleichungssystem (2) nach, ϕ und z auflösen. Das geht hie elativ einfach, weil eineseits duch Quadieen de Gleichungen fü x und y und anschließendes Addieen das ϕ heausfällt ( tigonometische Pythagoas ) und andeeseits duch gegenseitige Division von y und x das eliminiet wid. Wi gelangen so zu: = ( y x 2 + y 2, ϕ = actan, z = z. (3) x) 4

5 = const ode äquivalent 2 = x 2 +y 2 leht uns die analytische Geometie sind Keise mit dem Radius, im Raum also Zylinde mit dem Radius (aha, dahe also de Name!), ϕ = const gleichbedeutend mit y/x = const sind Geaden, die duch den Uspung gehen, im Raum also ein entspechendes Ebenenbündel und schließlich z = const (wie in katesischen Koodinaten auch) sind Ebenen paallel zu xy-ebene. Auf eines müssen wi hiebei stets achten, nämlich auf die Bedingungen, unte denen die Tansfomation egulä ist. Damit ist gemeint, ob sich die Tansfomationsbeziehungen eineindeutig umkehen lassen. Hiefü gibt es ein einfaches Kiteium: die sog. Jakobische Funktionaldeteminante det(j) (auf die in 7 nähe eingegangen wid) daf bei Regulaität nicht veschwinden. Bei den Zylindekoodinaten können wi uns zunächst meken ist die Tansfomation nu fü = (also im Uspung) nicht egulä. Jetzt wid es Zeit, die Basisvektoen in unseem Zylindekoodinatensystem auszuechnen; nennen wi sie in Anlehnung an die wohlbekannten e x, e y, e z uhig e, e ϕ, e z. Dafü gibt es eine einfache Voschift, nämlich diese: e =, e ϕ =, e z =. (4) Also echnen wi mit (2): = sin ϕ, cos = 2 ϕ + sin 2 ϕ =, e = = e ϕ = = sin ϕ sin ϕ x y, (5) sin ϕ y x,, = 2 sin 2 ϕ + 2 cos 2 ϕ =,, (6) =, e z =. (7) Wi sehen an den Gleichungen (5) und (6), dass sich die Basisvektoen sowohl in den neuen Koodinaten allein (hie nu ϕ) als auch gemischt (mit x, y und ) scheiben lassen. Die Scheibweise det(j) fü die Deteminante ist hie besse geeignet, da sie nicht zu Vewechslungen mit dem absoluten Betag J füht. 5

6 5. Tangentenvektoen. Anschaulich können wi uns die Basisvektoen als Tangentenvektoen an die Koodinatenlinien duch einen bestimmten Punkt vostellen; Letztee entstehen, wenn zwei Koodinaten fest gewählt weden und die ditte veändelich ist, also z. B. ϕ,z = const, beliebig (Geaden duch die z-achse paallel zu xy-ebene), z, = const,ϕ beliebig (Keise um die z-achse paallel zu xy-ebene),, ϕ = const, z beliebig (Geaden paallel zu z-achse). Jeweils zwei diese Basisvektoen spannen demzufolge eine de Tangentialebenen auf. Übepüfen wi sogleich, ob unsee neuen Basisvektoen ebenfalls ein Othonomalsystem bilden: sin ϕ e e ϕ = sin ϕ, (8) e ϕ e z = e z e = sin ϕ sin ϕ, (9), (2) d. h. othogonal sind sie hiemit schon, und nochmals zu Kontolle e 2 = e e =, e ϕ 2 = e ϕ e ϕ =, e z 2 = e z e z = ; (2) damit sind sie tatsächlich othonomal. Andeeseits können wi die Othogonalität auch duch Beechnung de Vektopodukte nachweisen (da wi uns ja im R 3 befinden): e x e y e z e e ϕ = sin ϕ = e z, (22) sin ϕ cosϕ e x e y e z e ϕ e z = sin ϕ = sin ϕ e, (23) e x e y e z sin ϕ e z e = cosϕ sin ϕ = e ϕ. (24) Das bedeutet, dass e,e ϕ,e z in diese Reihenfolge ein echtshändiges System von Vektoen aufspannen. Wichtig hiean ist, sich Folgendes zu meken: Im Gegensatz zu den otsunabhängigen e x, e y, e z sind die Basisvektoen kummlinige Koodinaten von Punkt zu Punkt veschieden (man spicht in diesem Zusammenhang auch vom begleitenden Deibein); dies ist insbesondee dann zu beachten, wenn die neuen Basisvektoen etwa nach de Zeit diffeenziet weden. 6

7 6. Geschwindigkeit und Beschleunigung in Zylindekoodinaten. Um das zuletzt Gesagte zu vedeutlichen, nehmen wi einmal den Otsvekto in Zylindekoodinaten und beechnen daaus Geschwindigkeit und Beschleunigung duch Diffeentiation nach de Zeit t. Diese Gößen sind insbesondee in de Theoetischen Physik allgegenwätig. Zuvo kümmen wi uns noch um die Ableitungen de Basisvektoen nach de Zeit, wozu wi nu (5) bis (7) und die Kettenegel benötigen: ė = ė ϕ = ė z = ϕ sin ϕ ϕ ϕ ϕ sin ϕ. ϕe ϕ, (25) ϕe, (26) Nun können wi mit (25) bis (27) und de Podukt- bzw. Kettenegel echnen und ehalten: (27) = e + ze z, ṙ = ṙe + ė + że z + zė z = ṙe + ϕe ϕ + że z, (28) (29) = e + ṙė + ṙ ϕe ϕ + ϕe ϕ + ϕė ϕ + ze z + żė z = ( ϕ 2 )e + ( ϕ + 2ṙ ϕ)e ϕ + ze z. (3) 7. Jacobische Funktionalmatix. We sich etwas mit Matizenechnung auskennt, sieht schnell ein, dass die Vektoen /, / und / auch spaltenweise zu eine Matix zusammengefasst weden können. Diese Matix ist die sog. Jacobische Funktionalmatix J: J = cosϕ sin ϕ sin ϕ mit det(j) =. (3) Diese Matix enthält die Tansfomationsvoschift fü die Diffeentiale dx, dy, dz, die wi späte benötigen, wenn wi Integale in kummlinigen Koodinatensystemen beechnen wollen: dx dy dz J d dϕ dz d dϕ dz. (32) We dieses Podukt Matix mal Vekto ausfühlich hinscheibt, sieht, dass es sich hiebei geade um die Kettenegel handelt. Die Deteminante det(j) = heißt dementspechend Jacobische Funktionaldeteminante und spielt bei Gebietsintegalen eine goße Rolle. Wegen det(j) = bilden die Tangentenvektoen in diese Reihenfolge stets ein Rechtssystem, was wi beeits in 5 gesehen haben. 7

8 Wenn wi schon beim Thema Jacobi sind, muss gleichzeitig gesagt weden, dass J auch eine invese Matix J hat; natülich nu dann, wenn det(j) ungleich null, d. h. die Tansfomation egulä und damit eineindeutig, ist. Wie sieht die Invese aus? Zunächst können wi sie als Tansfomationsmatix eben de invesen Tansfomation, also de Abbildung P(, ϕ, z) P(x, y, z), einfühen. So gesehen gilt: J = sin ϕ sin ϕ x y 2 y x 2. (33) Die letzte Fom ehalten wi, wenn wi die invesen Tansfomationsfomeln (3) benutzen. Andeeseits tansfomieen sich die Diffeentiale gemäß d dϕ dz J dx dy dz dx dy dz. (34) Setzen wi nun die Gleichung (34) in obige invese Gleichung (32) ein, folgt dx dy dz J J dx dy dz = (J J ) = J J = I (Einheitsmatix), (35) was unsee Scheibweise als invese Matix letztendlich echtfetigt. Zu Übung multipliziee de geneigte Lese beide Matizen explizit miteinande und übezeuge sich, dass das Podukt tatsächlich die Einheitsmatix ist. Auf analoge Weise wie wi eingangs J aus dei Vektoen zusammengefügt haben, können wi die Tansponiete von J (waum?) auch in dei Spaltenvektoen zelegen. Nomieen wi diese Vektoen noch zuvo, geben sie uns die Dastellung de Einheitsvektoen e x, e y, e z im Deibein e, e ϕ, e z an: e x = e sin ϕ e ϕ, (36) e y = sinϕe + e ϕ, (37) e z = e z. Schließlich bleibt noch zu kläen, wie wi aus gegebenen Komponenten F x, F y, F z eines beliebigen Vektos F in katesischen Koodinaten die entspechende Dastellung in Zylindekoodinaten gewinnen. Nun, hie gilt einfach: Die Komponenten F, F ϕ, F z beechnen sich analog zu (5) duch Pojektion, also gemäß dx dy dz (38) F = F e, F ϕ = F e ϕ, F z = F e z. (39) 8

9 Mit den Gleichungen (5) bis (7) wid daaus F = F e = F ϕ = F e ϕ = F z = F e z = F x F y F z F x F y F z F x F y F z sin ϕ sin ϕ Fü die Umkehung gilt dagegen mit (36) bis (38): F x + sinϕf y, (4) sin ϕf x + F y, (4) F z. (42) F x = F e x = (F e + F ϕ e ϕ + F z e z ) ( e sin ϕ e ϕ ) = cosϕf sin ϕf ϕ, (43) F y = F e y = (F e + F ϕ e ϕ + F z e z ) (sin ϕ e + cosϕe ϕ ) = sinϕf + cosϕf ϕ, (44) F z = F e z = (F e + F ϕ e ϕ + F z e z ) e z = F z. (45) Hiean ist eine wichtige Eigenschaft im Hinblick auf Tensoen zu ekennen: die Vektokomponenten tansfomieen sich genauso wie die Basisvektoen (36) bis (38). 8. Gadient in Zylindekoodinaten. Nun wollen wi endlich den Gadienten in Zylindekoodinaten ausechnen. Wie wi oben gesehen haben, ist e ein Vekto (9), fü den wi jetzt die Tansfomationsfomeln (33) einsetzen: gadψ = ψ ψ ψ ψ + ψ + ψ ψ + ψ + ψ ψ + ψ + ψ ψ ψ sin ϕ sin ϕ ψ + ψ ψ. (46) Gleichung (46) ist noch die Dastellung in katesischen Komponenten; zu den Komponenten in echte Zylindekoodinatendastellung gelangen wi, indem wi diesen Vekto jeweils mit e, e ϕ, e z, (5) bis (7), skala multiplizieen (de Lese möge dieses bitte fü sich nachechnen ähnlich wie bei de Ableitung de Gleichungen (4) bis (42)): (gadψ) = ψ, (gadψ) ϕ = ψ, (gadψ) z = ψ, (49) = gadψ = ψ e + ψ e ϕ + ψ e z. (5) (47) (48) 9. Beispiele.. Ist de Otsvekto, Gleichung (), de Gadient eines skalaen Feldes? Ja, denn ψ (x, y, z) = 2 (x2 + y 2 + z 2 ) = 2 2 efüllt offensichtlich die Beziehung = gadψ. 9

10 2. ψ 2 (x, y, z) = x 2 y + y 2 z + z 2 x. In katesischen Koodinaten ist: 2xy + z 2 gadψ 2 = x 2 + 2yz. y 2 + 2zx z 3. ψ 3 (x, y, z) = ln x 2 +y2. Hie wid die voteilhafte Vewendung von Zylindekoodinaten offensichtlich und wi ehalten: ( z ψ 3 = ln = lnz ln ) = gadψ 3 = e + z e z = x y + z e z = xe x + y e y x 2 + y 2 + z e z. Die Richtungsableitung z. B. in adiale Richtung betägt e gadψ 3 = = x 2 +y ψ 4 (x, y, z) = y x = tanϕ. = gadψ 4 = cos 2 ϕ e ϕ = cos 2 ϕ y x y x 2 e x + x e y.. Divegenz allgemein und in Zylindekoodinaten. In den voangegangenen Paagafen dieses Atikels haben wi den Gadienten eine skalaen Funktion, gad ψ, kennengelent, nun wenden wi uns de Divegenz eines Vektofeldes F zu. Sie ist in katesischen Koodinaten definiet als Skalapodukt aus dem Nabla-Opeato und F: div F = F = F x F y F z F x + F y + F z ode allgemeine duch den Genzwet des skalaen Flusses F ds des Feldes duch die geschlossene Fläche Σ, die den Punkt P umhüllt und das Gebiet G mit dem Volumen V umschließt: F ds Σ div F(P) = lim. (52) V V Das Letztee muss de Lese jetzt noch nicht vestehen; es spielt est späte eine Rolle. Allgemein gilt, dass div F ein Maß fü die Quellen ode Senken (bei div F > bzw. div F < ) des Feldes F(P) ist. Veschwindet die Divegenz in einem Gebiet G, gilt also div F =, dann heißt das Vektofeld F in diesem Gebiet quellenfei. Beechnen wi also im Folgenden die Divegenz in Zylindekoodinaten in alle Ausfühlichkeit. Nach de Kettenegel gilt: F x = F x + F x + F x = F x sin ϕf x = cos 2 ϕ F sin ϕ F ϕ sin ϕ F + sin2 ϕf + sin2 ϕ F ϕ + sin ϕ F ϕ, (5)

11 wobei im esten Schitt die patiellen Ableitungen etc. nach (33) und anschließend die katesischen Komponenten F x, F y, F z duch diejenigen in Zylindekoodinaten F, F ϕ, F z nach (43) bis (45) esetzt wuden. Analog ehalten wi: F y = F y + F y + F y = sin ϕf y + F y = sin 2 ϕ F + sinϕf ϕ + sin ϕ F + cos2 ϕf + cos2 ϕ F ϕ sin ϕ F ϕ, F z = F z + F z + F z = F z. Gottlob schumpft die Summe de dei Teme auf das echt kompakte Egebnis div F = F = F + F + F ϕ + F z = [ (F ) + F ] ϕ + F z. (53) An diese Rechnung wid das pinzipielle Vogehen nochmals deutlich: alles muss esetzt weden bei einem Wechsel des Koodinatensystems sowohl die Vektokomponenten als auch die Basisvektoen selbst; die Beachtung de Kettenegel ist dabei das A und das O.. Rotation allgemein und in Zylindekoodinaten. Aufmeksame Lese wid nichts wenige vewunden als die Feststellung, dass es neben de skalaen Veknüpfung vom Nabla-Opeato und einem Vekto F auch eine vektoielle gibt. Diese wid üblicheweise als Rotation ode Roto eines Vektofeldes F bezeichnet: e x e y e z otf = F = = F x F y F z F z Fy F x Fz F y Fx F. (54) Dabei ist de letzte Ausduck als Podukt Matix mal Vekto (bzw. Matizenopeato mal Vekto ) zu vestehen. Auch fü die Rotation existiet ähnlich wie bei de Divegenz eine Definition als Genzwet, nämlich übe das Linienintegal entlang eine Umandung C eine infinitesimalen Fläche S: n otf = lim S S C Γ F ds = lim S S, (55) wobei n de Nomalenvekto auf de Fläche S ist. Γ = F ds wid als Zikulation C des Vektofeldes bezeichnet. Felde, fü die ot F nicht übeall veschwindet, weden auch Wibelfelde genannt. Am Ende von 4 lenen wi Felde kennen, die stets wibelfei sind. Wie sieht nun die Rotation eines Vektofeldes in Zylindekoodinaten aus? Gegenübe de obigen Beechnung de Divegenz müssen wi, da es sich jetzt um einen Vekto handelt, nicht nu die Ableitungen und die Vektokomponenten, sonden auch die Basisvektoen Im Englischen wid üblicheweise die Bezeichnung cul vewendet.

12 esetzen. Nicht meh in allen Einzelheiten, abe dennoch ausfühlich hingeschieben lautet de Rechenweg bis zum Endegebnis: sin ϕ F z + F z F y otf = F x F z + sin ϕf z F y sin ϕf y sin ϕf x F x = ( sin ϕ F x F y + ( F y F z ) e + ( F x + sinϕf y F z ) e z ) e ϕ + sin ϕf y sin ϕf x F x ( F z = F ) ( ϕ F e + F ) ( z Fϕ e ϕ + F + ) F ϕ e z (56) = e e ϕ e z. (57) F F ϕ F z Bei nachfolgenden Rechnungen weden die Zwischenegebnisse nicht meh so detailliet angegeben, da die Vogehensweise nun kla sein düfte. 2. Allgemeine Rechenegeln, Nabla-Kalkül. Nachdem wi die Anwendung de Opeatoen gad, div und ot auf einfache skalae Funktionen bzw. Vektoen kennengelent haben, ist es an de Zeit zu untesuchen, welche Rechenegeln fü Summen ode Podukte von Felden gelten. Im Folgenden bezeichnen c eine Konstante und χ() sowie G() ein weitees Skala- bzw. Vektofeld. Beginnen wi mit dem Gadienten das ist am Einfachsten, denn dazu benötigen wi nu die Summen- und Poduktegel beim Diffeenzieen: gad(cψ) = c gadψ, gad(ψ ± χ) = gadψ ± gadχ, (59) gad(ψχ) = χ gadψ + ψ gadχ. (6) Fü die Divegenz gilt hingegen allgemein: div(cf) = c div F, div(f ± G) = div F ± div G, (62) ψf x div(ψf) = ψf y ψ F x + ψ F x + ψ F y + ψ F y ψf z + ψ F z + ψ F z (58) (6) = F gadψ + ψ div F. (63) Das letzte Egebnis hätten wi auch fomal geechnet so ehalten können: (ψf) = ( ψf) + (ψ F) = ( ψ) F + ψ ( F) = gadψ F + ψ div F. 2

13 Hie tauchen zwei neue Dinge auf. Zum einen ist es die Scheibweise mit dem Pfeil übe den Gößen. Weil bei zu diffeenzieenden Podukten imme die Poduktegel zu beachten ist, müssen im Egebnis auch zwei Summanden entstehen; de Pfeil gibt nun voübegehend an, welche Fakto geade diffeenziet weden soll. Zweitens muss genauestens beachtet weden, ob z. B. die Diffeentiation mit de Skalapoduktbildung vetauscht weden daf, so wie es oben gemacht wude. Da das Skalapodukt kommutativ ist, macht es hie keine weiteen Schwieigkeiten. Diese fomale Rechenweise fenab jegliche Koodinatendastellung nennt man auch den Nabla-Kalkül; e ist de Liebling jedes Feundes de Vektoanalysis. Um die Vewendung von Klammen und Pfeilen möglichst zu beschänken, wid die Festlegung getoffen, dass die duch vogeschiebene Diffeentiation sich im Allgemeinen auf alle echts von stehenden Faktoen esteckt, auch wenn diese nicht duch eine Klamme zusammengefasst sind. Soll hingegen nu ein Teil de Faktoen und zwa die am nächsten stehenden diffeenziet weden, so weden diese Faktoen mit duch eine Klamme zusammengeschlossen. Vebleibt noch die Divegenz eines Vektopoduktes, die wi ähnlich wie in (63) langwieig in Komponenten ode nun mit Hilfe des Nabla-Kalküls beechnen können. Wi wählen hie selbstveständlich den letzten Weg, de zwa elegante abe auch gefähliche (nämlich im Übesehen von wichtigen Details) ist: div(f G) = (F G) = ( F G) + (F G). Wie sieht es hie mit dem Vetauschen aus? Vom Vektochaakte he handelt es sich um Spatpodukte und die sind bekanntlich zyklisch vetauschba (bzw. bei antizyklischen Vetauschungen keht sich das Vozeichen um), also echnen wi wie folgt zu Ende: div(f G) = G ( F) F ( G) = G otf F otg. (64) Schließlich waten noch einige Roto-Ausdücke auf unsee Aufmeksamkeit: ot(cf) = c otf, ot(f ± G) = otf ± otg, (66) ot(ψf) = (ψf) = ( ψf) + (ψ F). Beim esten Summanden können wi ψ, da es skala ist, vo das Vektopodukt ziehen und beim zweiten, da es nicht den Pfeil tägt, an den Anfang des Ausducks. Somit ehalten wi: ot(ψf) = ( ψ) F + ψ( F) = gadψ F + ψ otf. (67) Um etwa ot(f G) zu beechnen, muss neben de Poduktenegel noch de Entwicklungssatz des Vektopoduktes a (b c) = b(ac) c(ab) beachtet weden: ot(f G) = ( F G) + (F G) = (G ) F G( F) + F( G) (F ) G. Davon kann späte manchmal abgewichen weden, falls daduch kein Itum entstehen kann. (65) 3

14 Eine Bemekung vedienen hie sichelich de este bzw. viete Summand. Beschänken wi uns auf den Anteil ( F G), so folgt aus dem Entwicklungssatz zunächst ( F G) = ( G) F ( F)G. Da abe im esten Summanden F diffeenziet weden soll und nicht G, vetauschen wi die Faktoen des Skalapoduktes G = G und kommen damit nicht in die Velegenheit, den Nabla-Opeato vesehentlich auf G anwenden zu wollen; es entsteht so: ( G) F = (G ) F. Im zweiten Summanden ist F = div F lediglich ein skalae Fakto des Vektos G, so dass auch diese beiden ohne Gefah vetauscht weden düfen. Wi ehalten somit: ot(f G) = (G gad)f G div F (F gad)g + F div G. (68) Übe Ausdücke de Fom (G )F gibt es weit meh zu sagen; wi tun dies im folgenden Paagafen. 3. Vektogadient. Richtungsableitung eines Vektofeldes. Die motivieende Fage dieses Paagafen lautet: Wie sieht es mit de Ändeung df des Feldvektos F beim Fotscheiten von einem Aufpunkt P mit dem Otsvekto = xe x + ye y + ze z zu einem benachbaten Punkt P mit dem Otsvekto +d aus? Völlig analog zu Ändeung eine skalaen Göße (vgl. 3, Gleichung (6)) scheiben wi hie: df = F dx + F dy + F dz. (69) Dies kann unte Vewendung des infinitesimalen Vektos d = dx e x + dy e y + dz e z auch in folgende Weise geschieben weden: ( ) df = (e x dx + e y dy + e z dz) e x + e y + e z F = d F = (d )F. Diese Dastellung lässt nun zwei Intepetationen zu. Die Ändeung eine vektoiellen Feldgöße egibt sich estens (wie die Ändeung eine skalaen Feldgöße) duch Anwendung des skalaen Opeatos d ode zweitens als skalaes Podukt d ( F) aus de Ändeung des Otsvektos und einem nu vom Ot, abe nicht von de Richtung abhängigen Fakto, de lokalen Dyade F. Dyaden sind wede Skalae noch Vektoen, sonden Gößen höhee At, denen eine unmittelbae, anschauliche geometische Bedeutung nicht beizulegen ist. Sie sind abe auch nichts Mystisches, we sich ein wenig mit Matizenechnung auskennt, sieht, dass gadf = F = F x F y F z F x F x F x F y F y F y F z F z F z (7) die Dastellung von F in katesischen Koodinaten ist. Das Podukt d ( F) kann man sich somit als Vekto mal Matix vostellen; das Egebnis ist wiede wie es sein muss ein Vekto. Es ist wichtig daauf hinzuweisen, dass in (7) zwischen beiden Vektoen und F kein Multiplikationszeichen steht (es sich also nicht um ein Skalapodukt handelt). 4

15 Man nennt eine deatige Veknüpfung auch dyadisches Podukt, unbestimmtes Podukt ode unbestimmte Multiplikation. Schließlich wid hie, ähnlich wie in (8), F x n F x n = n gadf = F n y x n z F x F y F y F y F z F z F z = die Richtungsableitung de vektoiellen Feldfunktion F genannt. F n x x + n y Fx + n z Fx F n y x + n y Fy + n z Fy F n z x + n y Fz + n z Fz (7) Es muss an diese Stelle gesagt weden, dass bei de Diffeentiation eines Poduktes von vektoiellen Faktoen ein Fakto im Allgemeinen wede auf die andee Seite von, noch auf die andee Seite des Multiplikationszeichens gestellt weden daf. Dagegen kann de zu diffeenzieende Fakto mit dem fest vebleibenden Fakto vetauscht weden, wenn es die Gesetze de vewendeten Multiplikation zulassen. Als Beispiel betachten wi gad(f G) = (F G) = F G + F G = ( F) G + ( G) F. (72) Die echte Seite von (72) lässt eine bemekenswete Umfomung zu, duch die die lokalen Dyaden F und G vemieden weden können. Denn nach dem Entwicklungssatz gilt die Identität F ( G) = G F F G = ( G) F (F )G (s. auch 9, Beispiel 9) ode umgestellt ( G) F = (F )G + F ( G) (73) und ebenso ( F) G = (G )F + G ( F). (74) Setzen wi (73) und (74) in (72) ein, ehalten wi das Egebnis gad(f G) = (F gad)g + (G gad)f + F otg + G otf. (75) Die beiden esten Summanden sind dain Richtungsableitungen (7). 4. Doppelte Nabla-Anwendungen. Bei zweimalige Anwendung des Nablaopeatos auf eine Feldfunktion gelten eine Reihe von bemekensweten Beziehungen. Wi bilden ( ) 2 div gadψ = ψ = ψ = ψ (76) 2 2 und stellen fest, dass als Symbol eine skalaen Opeation aufgefasst weden kann. Man setzt = (77) und bezeichnet als Laplaceschen Opeato. E ist auf vektoielle und tensoielle Feldgößen ebenso anwendba wie auf skalae; seinen goßen Auftitt hat e in de Potentialtheoie. In 2 geben wi ihn in andeen Koodinatensystemen an. 5

16 Die Anwendung von auf ein Podukt zweie skalae Faktoen egibt nach (6): (ψχ) = (ψχ) = (χ ψ + ψ χ) {}}{ {}}{ = ( χ ψ) + (χ ψ ) + ( ψ χ) + (ψ χ ) = χ ψ + 2 ψ χ + ψ χ. (78) Bildet man in ähnliche Weise so kann gad div F = F = 2 F, (79) 2 = (8) als eine fomale Dyade aufgefasst weden, die die Ausfühung eine Diffeentiation zweite Odnung an eine nachfolgenden Feldfunktion velangt. Von besondee Wichtigkeit ist noch folgende Beziehung, die aus dem Entwicklungssatz folgt: ode ( F) = F F ot otf = gad div F F. (8) Als voläufigen Abschluss de Anwendung des Nabla-Kalküls leiten wi noch zwei äußest wichtige Identitäten he: e x e y e z ot gadψ = ( ψ) = ( )ψ =, (82) ψ ψ ψ div otf = ( F) = F ( ) =. (83) F x F y F z Wegen ihe physikalischen Bedeutung seien sie auch als Meksätze fomuliet: Jedes Gadientenfeld ist wibelfei. Jedes Rotofeld ist quellenfei. 5. Kugelkoodinaten. Es gibt in de Theoetischen Physik zahleiche Pobleme, denen von Hause aus eine spezielle Symmetie innewohnt. Beispielsweise hängt die Newtonsche Gavitationsfeldstäke eine Masse M lediglich vom Abstand zum Aufpunkt ab: G = γm(/ 3 ). Das hat zu Folge, dass alle Punkte in einem konstantem Abstand dieselbe Feldstäke efahen; man sagt, das Feld ist kugelsymmetisch. Das katesische Koodinatensystem ist zu Behandlung deatige Pobleme denkba schlecht geeignet; man 6

17 vewendet dahe de voliegenden Symmetie besse angepasste Koodinaten, die Kugelkoodinaten. Diese sind, ϑ und ϕ und weden duch folgende Tansfomationsbeziehungen zu den katesischen Koodinaten x, y, z definiet: x = sin ϑ, y = sin ϑ sin ϕ, z = cos ϑ, bzw. = sin ϑ cosϕ sin ϑ sin ϕ cos ϑ Die zugehöigen invesen Fomeln lauten = z x 2 + y 2 + z 2, ϑ = accos x2 + y 2 + z 2,. (84) ϕ = actan ( y x ). (85) Die Koodinate ϑ gibt somit den Winkel zwischen de positiven z-achse und dem Stahl OP (O Uspung, P Aufpunkt) an, wähend ϕ genau dieselbe Koodinate wie bei den Zylindekoodinaten, nämlich de Winkel zwischen dem in die xy-ebene pojizieten Stahl OP und de positiven x-achse ist. Ode um es mit den gewohnten Begiffen geogafische Länge und Beite auszudücken ϑ ist gleich 9 minus geogafische Beite und ϕ entspicht de geogafischen Länge. Die Koodinate ist nach de esten Gleichung (85) de (Euklidische) Abstand zum Koodinatenuspung. Auch hie wollen wi uns ein Bild von den Koodinatenflächen machen. Am Einfachsten ist es, die Flächen = const zu bestimmen: dies sind konzentische Kugelobeflächen mit dem Radius um den Uspung. Um sich ϑ = const vozustellen, lassen wi den Stahl OP um die z-achse otieen (dabei bleibt ja geade ϑ konstant). Es entsteht ein Bündel von Kegeln, deen gemeinsame Spitze im Uspung liegt und die fü ϑ < 9 nach oben und fü ϑ > 9 nach unten geöffnet sind (ϑ = 9 entspicht de Äquatoialebene ). ϕ = const schließlich stellt analog zu den anfangs vogestellten Zylindekoodinaten ein Ebenenbündel da, welches senkecht auf de xy-ebene steht und fächeatig aufgespannt stets die z-achse als gemeinsame Geade enthält. Die Basisvektoen e, e ϑ, e ϕ, die wi späte zu Umechnung de Diffeentialopeatoen gad, div und ot bauchen, beechnen wi analog zu den Fomeln (4): sin ϑ = sin ϑ sin ϕ, sin = 2 ϑ(cos 2 ϕ + sin 2 ϕ) + cos 2 ϑ =, cos ϑ sin ϑ e = sin ϑ sin ϕ =, (86) cosϑ ϑ = e ϑ = ϑ ϑ ϑ cos ϑ cosϕ cos ϑ sin ϕ sin ϑ x y z cosϑ cos ϑ sin ϕ sin ϑ, ϑ = 2 cos 2 ϑ + 2 sin 2 ϑ =,, (87) Im Englischen auch als co-latitude bezeichnet; im Gegensatz und nicht zu vewechseln mit dem Komplementwinkel 9 ϑ ( latitude ). 7

18 = e ϕ = sin ϕ sin ϑ sin ϕ sin ϑ y sin ϑ x sin ϑ, = 2 sin 2 ϑ(sin 2 ϕ + cos 2 ϕ) = sin ϑ,. (88) Da die Basisvektoen stets Tangentenvektoen an die Koodinatenlinien sind, ist es mitunte nützlich, auch Letztee zu bestimmen. Mit Kenntnissen aus de sphäischen Tigonometie finden wi leicht: ϑ, ϕ = const, beliebig (Geaden duch den Uspung), ϕ, = const,ϑ beliebig (Goßkeise mit dem Duchmesse auf de z-achse),,ϑ = const,ϕ beliebig (Kleinkeise um die z-achse paallel zu xy-ebene). Eine Übepüfung auf das Vohandensein eines Othonomalsystems egibt: sin ϑ cos ϑ cosϕ e e ϑ = sin ϑ sin ϕ cos ϑ sin ϕ, (89) cos ϑ sin ϑ e ϑ e ϕ = e ϕ e = cos ϑ cos ϑ sin ϕ sin ϑ sin ϕ sin ϕ cosϕ sin ϑ sin ϑ sin ϕ cos ϑ, (9) (9) und wegen de in Anlehnung an (4) beeits efolgten Nomieung natülich auch e 2 = e e =, e ϑ 2 = e ϑ e ϑ =, e ϕ 2 = e ϕ e ϕ =. (92) Rechnen wi auch hie analog zu (22) bis (24) die Vektopodukte nach: e x e y e z sin ϕ e e ϑ = sin ϑ sin ϑ sin ϕ cos ϑ = e ϕ (93) cos ϑ cos ϑ sin ϕ sin ϑ e x e y e z sin ϑ e ϑ e ϕ = cosϑ cos ϑ sin ϕ sin ϑ = sin ϑ sin ϕ e (94) sin ϕ cos ϑ e x e y e z cos ϑ e ϕ e = sin ϕ cosϕ sin ϑ sin ϑ sin ϕ cos ϑ = cosϑsin ϕ e ϑ. (95) sin ϑ Das Kugelkoodinatensystem ist somit ebenso wie das Zylindekoodinatensystem ein echtshändiges othogonales Koodinatensystem. 8

19 6. Geschwindigkeit und Beschleunigung in Kugelkoodinaten. In Anlehnung an 6 wollen wi jetzt den Otsvekto zweimal diffeenzieen, um allgemeine Ausdücke fü die Geschwindigkeit ṙ und die Beschleunigung in Kugelkoodinaten zu gewinnen. Dazu beechnen wi zunächst wiedeum die Ableitungen de Basisvektoen nach de Zeit: ė = ė ϑ = ϑ cos ϑ cosϕ ϕ sin ϑ sin ϕ ϑ cosϑsin ϕ + ϕ sin ϑ ϑ sin ϑ ϑ sin ϑ ϕ cos ϑ sin ϕ ϑ sin ϑ sin ϕ + ϕ cos ϑ cosϕ ϑ cos ϑ ϑe ϑ + ϕ sin ϑe ϕ, (96) ϑe + ϕ cos ϑe ϕ. (97) Wi sehen, dass sich ė und ė ϑ geade als Lineakombination de jeweils andeen beiden Basisvektoen egeben. Ist dies auch fü ė ϕ de Fall? Diffeenzieen wi (88) in Analogie zu (96) bzw. (97), ehalten wi ė ϕ = ϕ ϕ sin ϕ, was sich augenscheinlich schwelich duch e und e ϑ, (86) und (87), ausdücken lässt. Mit einem kleinen Tick geht es abe doch, indem wi einfach die Beziehung (93) diffeenzieen und die Egebnisse (96) und (97) benutzen: ė ϕ = ė e ϑ + e ė ϑ = ( ϑe ϑ + ϕ sin ϑe ϕ ) e ϑ + e ( ϑe + ϕ cos ϑe ϕ ) = ϕ sin ϑe ϕ cos ϑe ϑ. (98) Nun lautet im Unteschied zu (28) de Otsvekto in Kugelkoodinaten simpel = e (99) (einnen wi uns, dass hie e beeits in alle Raumichtungen zeigt, wähend sich e in Zylindekoodinaten lediglich in de x, y-ebene bewegt), woaus sich die Geschwindigkeit ṙ = ṙe + ė = ṙe + ϑe ϑ + ϕ sin ϑe ϕ, () beechnet. Bei de Beschleunigung schließlich müssen wi schon seh aufpassen, um keinen Summanden bei de Anwendung de Poduktegel zu vegessen: = ( e + ṙė ) + (ṙ ϑe ϑ + ϑe ϑ + ϑė ϑ ) + (ṙ ϕ sin ϑe ϕ + ϕ sin ϑe ϕ + ϑ ϕ cos ϑe ϕ + ϕ sin ϑė ϕ ) = ( ϑ 2 ϕ 2 sin 2 ϑ)e + ( ϑ + 2ṙ ϑ ϕ 2 sin ϑ cosϑ)e ϑ + ( ϕ sin ϑ + 2ṙ ϕ sin ϑ + 2 ϑ ϕ cos ϑ)e ϕ. () Dies ist ein echt beeinduckendes Egebnis, nicht wah? 7. Jacobische Funktionalmatix in Kugelkoodinaten. Analog zu unsee Vogehensweise bei de Einfühung de Zylindekoodinaten geben wi auch hie die Jacobische 9

20 Funktionalmatix J und ihe Invese an: ϑ sin ϑ cos ϑ sin ϑ sin ϕ J = ϑ sin ϑ sin ϕ cos ϑ sin ϕ sin ϑ, (2) cosϑ sin ϑ mit J = ϑ ϑ ϑ ϑ sin ϑ cosϕ sin ϑ sin ϕ cos ϑ cos ϑ cosϕ cos ϑ sin ϕ sin ϑ sin ϕ sin ϑ sin ϑ (3) det(j) = 2 sin ϑ. (4) Man beachte det(j) (d. h. e,e ϑ,e ϕ bilden ein Rechtssystem), welches letztendlich den Gund dafü liefet, die Koodinaten in diese Reihenfolge, ϑ, ϕ einzufühen und ϑ von bis π laufen zu lassen. Die katesischen Basisvektoen e x,e y,e z lassen sich nun in Analogie zu den Tansfomationsfomeln (36) bis (38) wie folgt im Deibein e, e ϑ, e ϕ dastellen: e x = sinϑ e + cos ϑ e ϑ sin ϕ e ϕ, (5) e y = sinϑsin ϕ e + cosϑsin ϕ e ϑ + cosϕe ϕ, (6) e z = cos ϑ e sin ϑ e ϑ. (7) Dasselbe gilt auch fü die katesischen Vektokomponenten F x,f y,f z F x = F e x = (F e + F ϑ e ϑ + F ϕ e ϕ ) (sin ϑ cosϕe + cos ϑ e ϑ sin ϕ e ϕ ) = sin ϑ F + cos ϑ cosϕf ϑ sin ϕf ϕ, (8) F y = F e y = (F e + F ϑ e ϑ + F ϕ e ϕ ) (sin ϑ sin ϕ e + cos ϑ sin ϕ e ϑ + e ϕ ) = sin ϑ sin ϕf + cos ϑ sin ϕf ϑ + F ϕ, (9) F z = F e z = (F e + F ϑ e ϑ + F ϕ e ϕ ) (cos ϑ e sin ϑ e ϑ ) = cos ϑf sin ϑf ϑ () bzw. umgekeht (in Analogie zu (4) bis (42)) F x sin ϑ cosϕ F = F y sin ϑ sin ϕ sinϑf x + sinϑsin ϕf y + cos ϑf z, () F z cos ϑ F ϑ = F ϕ = F x F y F z F x F y F z cos ϑ cosϑsin ϕ sin ϑ sin ϕ cos ϑ F x + cos ϑ sin ϕf y sin ϑf z, (2) sin ϕf x + F y. (3) 2

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