Vorkurs Informatik WiSe 15/16

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1 Konzepte der Informatik Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe, Technische Universität Braunschweig, IPS

2 Inhaltsverzeichnis Suchen Binärsuche Binäre Suchbäume Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 2

3 Überblick Suchen Binärsuche Binäre Suchbäume Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 3

4 Suchen in Datenstrukturen Eines der Standardprobleme der Informatik Wann immer man Daten in irgendeiner Datenstruktur (Listen, Datenbanken, Bäume,... ) ablegt, will man irgendwann wieder auf bestimmte Elemente zugreifen: Adressbücher Kundenverwaltung Dateizugriff auf einem Datenträger Song in einer MP3 Sammlung finden Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 4

5 Suchen in Datenstrukturen Wo wohnt Klaus Weber? Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 5

6 Suchen in Datenstrukturen Wo wohnt Klaus Weber? Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 5

7 Suchen in Datenstrukturen Wo wohnt Klaus Weber? Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 5

8 Suchen in Datenstrukturen Wo wohnt Klaus Weber? Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 5

9 Suchen in Datenstrukturen Wo wohnt Klaus Weber? Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 5

10 Suchen in Datenstrukturen Wo wohnt Klaus Weber? Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 5

11 Suchen in Datenstrukturen Wo wohnt Klaus Weber? Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 5

12 Suchen in Datenstrukturen Wo wohnt Klaus Weber? Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 5

13 Suchen in Datenstrukturen Wo wohnt Klaus Weber? Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 5

14 Suchen in Datenstrukturen Wo wohnt Klaus Weber? Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 5

15 Suchen in Datenstrukturen Macht es die Suche einfacher, wenn man davon ausgehen kann, dass die Liste sortiert ist? Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 6

16 Überblick Suchen Binärsuche Binäre Suchbäume Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 7

17 Binärsuche Idee Voraussetzung: Die Datenstruktur muss sortiert sein. Idee: Eine einzige Abfrage ermöglicht es die Hälfte alle Listenpositionen auszuschließen. Man überprüft also das mittlere Element des noch in Frage kommenden Teils der Liste. Ist das gesuchte Element gleich dem mittlerem Element, hat man das gesuchte Element gefunden. Ist das gesuchte Element kleiner als das mittlere Element, so kann man das mittlere Element und alle Elemente rechts davon ausschließen. Ist das gesuchte Element größer als das mittlere Element, so kann man das mittlere Element und alle Elemente links davon ausschließen. Gibt es keine in Frage kommenden Elemente mehr, so ist das gesuchte Element nicht in der Liste enthalten Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 8

18 Binärsuche Beispiel: 45 Gesucht: Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 9

19 Binärsuche Beispiel: 45 Zu Beginn suchen wir das mittlere Element der Gesamtliste. In diesem Fall ist es nicht eindeutig bestimmt, es könnte sowohl die 13 als auch die 21 sein. Wir legen fest, dass in so einem unbestimmten Fall, das linke Element als die Mitte angesehen wird Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 10

20 Binärsuche Beispiel: 45 Das mittlere Element ist kleiner als das gesuchte Element. Wir können also das mittlere Element und alle links davon ausschließen. Nun suchen wir das neue mittlere Element Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 11

21 Binärsuche Beispiel: 45 Diesmal ist das mittlere Element eindeutig bestimmt Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 12

22 Binärsuche Beispiel: 45 Diesmal ist das gesuchte Element größer dem mittlerem Element, sodass wir das mittlere Element und alle rechts davon ebenfalls ausschließen können Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 13

23 Binärsuche Beispiel: 45 Das neue mittlere Element ist wieder kleiner als das gesuchte und kann somit ausgeschlossen werden Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 14

24 Binärsuche Beispiel: 45 Nun bleibt nur noch ein Feld für die neue Mitte übrig, das auch identisch ist mit dem gesuchten Wert, sodass wir also ein Ergebnis haben: Der Wert 45 ist in der Liste enthalten Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 15

25 Binärsuche Das Prinzip dahinter Divide et Impera Teile und Herrsche Divide and Conquer Eines der grundlegenden Prinzipien der Informatik Stammt ursprünglich aus der Außenpolitik Teile Deine Feinde, sodass sie leichter beherrschbar werden! Programmieren Teile Deinen Quellcode in kleinere Teile (Objekte, Klassen, Methoden, Funktionen), sodass er leichter beherrschbar wird! Algorithmik Ist das Problem zu groß, um es als Ganzes anzugehen, so teile es in kleinere Teilprobleme! Die Gesamtlösung ergibt sich: aus der Kombination der Teilergebnisse zu einem Gesamtergebnis (Bestimmte Arten von Suchalgorithmen) oder eines der Teilergebnisse liefert bereits das Gesamtergebnis (Suche in sortierten Listen) Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 16

26 Binärsuche Laufzeit In höchstens wie vielen Elementen kann ich mit k Vergleichen suchen, sodass ich sicher ein Ergebnis erhalte? Mit jedem zusätzlichen Vergleich kann ich die Anzahl der noch zu durchsuchenden Elemente halbieren. Anders herum gesagt: Mit jedem zusätzlichen Vergleich kann ich die Anzahl der bereits durchsuchten Elemente verdoppeln. Mit 1 Vergleich können wir 2 Einträge durchsuchen, mit 2 Vergleichen dann 4 Einträge, mit 3 Vergleichen 8 Einträge und mit 4 Vergleichen schon 16 Einträge. Mit k Vergleichen kann man 2 k Elemente durchsuchen. Wenn also mit k Vergleichen 2 k = n Einträge durchsucht werden können, braucht man log 2 n = k viele Vergleiche für n Einträge Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 17

27 Binärsuche Struktogramm Lege eine Leerkarte (mid) zum Merken der aktuellen Mittelposition Lege eine Leerkarte (min) zum Merken der kleinsten Position, die noch nicht durchsucht ist Schreibe 1 auf Leerkarte (min) Lege eine Leerkarte (max) zum Merken der größten Position, die noch nicht durchsucht ist Schreibe die Anzahl der zu durchsuchenden Elemente auf Leerkarte (max) Solange (min <= max) Setze die Mittelposition auf Leerkarte (mid): mid = (min + max) / 2 Gesuchte Zahl < Zahl an Pos. auf (mid)? Ja Nein Überschreibe den Wert (max) mit dem Wert auf (mid) minus 1 Gesuchte Zahl > Zahl an Pos. auf (mid)? Ja Nein Überschreibe den Wert auf (min) mit dem Wert auf (mid) plus 1 Gesuchte Zahl = Zahl an Pos. auf (mid)? Ja Nein Wert gefunden an Position auf (mid) Beende Programm Wert ist nicht in der Liste enthalten

28 Binärsuche Einsortieren Überlegung: Idee: Kann man die Binärsuche benutzen, um schneller einzusortieren? Man sucht nach dem einzufügenden Wert in der Liste. Wird der Wert gefunden, so kann man den Wert an der Position der gefundenen Zahl einfügen. Wird der Wert nicht gefunden, so muss man den letzten verglichenen Wert betrachten: Ist der Wert größer, fügt man die Zahl links des zuletzt betrachteten Elements ein. Ist der Wert kleiner, fügt man die Zahl rechts des zuletzt betrachteten Elements ein Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 19

29 Binärsuche Einsortieren Laufzeit Laufzeit des einfachen Einsortierens eines Elements Maximal n Schritte um ein Position zu finden h Schritte um ein Element an bekannter Position einzusortieren h + n Schritte maximal Laufzeit des Einfügens durch binäre Suche Maximal log n Schritte um eine Position zu finden h Schritte um ein Element an bekannter Position einzusortieren h + log n Schritte maximal Effizienz abhängig von h Wenn h annähernd n ist ( Kopiere jedes Element einzeln ), ist der Gewinn gering: 2n vs. n + log n Wenn h aber einer konstanten Anzahl Schritten entspricht (z.b. 3: Kopiere linke Hälfte, dann das Element und schließlich die rechte Hälfte ), ist der Gewinn deutlich höher: 3 + n vs. 3 + log n bzw. n vs. log n Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 20

30 Überblick Suchen Binärsuche Binäre Suchbäume Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 21

31 Binäre Suchbäume Linker Teilbaum: Werte < Wurzel Rechter Teilbaum: Werte > Wurzel Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 22

32 Binäre Suchbäume Wo wird die 5 eingefügt? Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 23

33 Binäre Suchbäume Eigenschaften Bäume sollten balanciert sein Höhe des Baumes: log(n) Element finden in log(n) Alle Elemente einfügen: n log(n) Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 24

34 Zusammenfassung Datenstruktur: Baum Suche Binärsuche Montag: Routenplaner Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 25

35 Danke Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 26

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