Computeralgebra in der Lehre am Beispiel Kryptografie

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Computeralgebra in der Lehre am Beispiel Kryptografie"

Transkript

1 Kryptografie Grundlagen RSA KASH Computeralgebra in der Lehre am Beispiel Kryptografie Institut für Mathematik Technische Universität Berlin

2 Kryptografie Grundlagen RSA KASH Überblick Kryptografie mit öffentlichem Schlüssel Mathematische Grundlagen für RSA Das Kryptografiesystem RSA Das Computeralgebrasystem KASH

3 Kryptografie Grundlagen RSA KASH mit geheimem mit öffentlichem Schlüssel Realisierung Kryptografie mit geheimem Schlüssel Alice und Bob Einigen sich auf einen geheimen Schlüssel.

4 Kryptografie Grundlagen RSA KASH mit geheimem mit öffentlichem Schlüssel Realisierung Kryptografie mit geheimem Schlüssel Alice und Bob Einigen sich auf einen geheimen Schlüssel. Alice Verschlüsselt eine Nachricht mit dem geheimen Schlüssel und schickt sie an Bob.

5 Kryptografie Grundlagen RSA KASH mit geheimem mit öffentlichem Schlüssel Realisierung Kryptografie mit geheimem Schlüssel Alice und Bob Einigen sich auf einen geheimen Schlüssel. Alice Verschlüsselt eine Nachricht mit dem geheimen Schlüssel und schickt sie an Bob. Bob Entschlüsselt die Nachricht mit dem geheimen Schlüssel.

6 Kryptografie Grundlagen RSA KASH mit geheimem mit öffentlichem Schlüssel Realisierung Kryptografie mit geheimem Schlüssel Alice und Bob Einigen sich auf einen geheimen Schlüssel. Alice Verschlüsselt eine Nachricht mit dem geheimen Schlüssel und schickt sie an Bob. Bob Entschlüsselt die Nachricht mit dem geheimen Schlüssel. Nachteil: Alice und Bob müssen miteinander kommunizieren um sich auf einen geheimen Schlüssel zu einigen, den sie für sichere Kommunikation verwenden.

7 Kryptografie Grundlagen RSA KASH mit geheimem mit öffentlichem Schlüssel Realisierung Kryptografie mit öffentlichem Schlüssel Schlüsselverzeichnis Bob Erzeugt öffentlichen und privaten Schlüssel.

8 Kryptografie Grundlagen RSA KASH mit geheimem mit öffentlichem Schlüssel Realisierung Kryptografie mit öffentlichem Schlüssel Schlüsselverzeichnis Bobs Schlüssel Bob Erzeugt öffentlichen und privaten Schlüssel. Veröffentlicht den öffentlichen Schlüssel

9 Kryptografie Grundlagen RSA KASH mit geheimem mit öffentlichem Schlüssel Realisierung Kryptografie mit öffentlichem Schlüssel Schlüsselverzeichnis Bobs Schlüssel Bob Erzeugt öffentlichen und privaten Schlüssel. Veröffentlicht den öffentlichen Schlüssel Alice Erhält Bobs öffentlichen Schlüssel aus dem Schlüsselverzeichnis.

10 Kryptografie Grundlagen RSA KASH mit geheimem mit öffentlichem Schlüssel Realisierung Kryptografie mit öffentlichem Schlüssel Schlüsselverzeichnis Bobs Schlüssel Bob Erzeugt öffentlichen und privaten Schlüssel. Veröffentlicht den öffentlichen Schlüssel Alice Erhält Bobs öffentlichen Schlüssel aus dem Schlüsselverzeichnis. Verschickt eine mit Bobs öffentlichem Schlüssel verschlüsselte Nachricht.

11 Kryptografie Grundlagen RSA KASH mit geheimem mit öffentlichem Schlüssel Realisierung Kryptografie mit öffentlichem Schlüssel Schlüsselverzeichnis Bobs Schlüssel Bob Erzeugt öffentlichen und privaten Schlüssel. Veröffentlicht den öffentlichen Schlüssel Alice Erhält Bobs öffentlichen Schlüssel aus dem Schlüsselverzeichnis. Verschickt eine mit Bobs öffentlichem Schlüssel verschlüsselte Nachricht. Bob Entschlüsselt die Nachricht von Alice mit seinem privaten Schlüssel.

12 Kryptografie Grundlagen RSA KASH mit geheimem mit öffentlichem Schlüssel Realisierung Realisierung von Kryptografie mit öffentlichen Schlüsseln Trapdoor Funktionen Können leicht berechnet werden, aber nicht in vertretbarer Zeit invertiert werden. Kennt man aber ein Geheimnis, so kann man die Funktion auch effizient invertieren.

13 Kryptografie Grundlagen RSA KASH mit geheimem mit öffentlichem Schlüssel Realisierung Realisierung von Kryptografie mit öffentlichen Schlüsseln Trapdoor Funktionen Können leicht berechnet werden, aber nicht in vertretbarer Zeit invertiert werden. Kennt man aber ein Geheimnis, so kann man die Funktion auch effizient invertieren. Beispiele Multiplizieren ist sehr viel einfacher als Faktorisieren. In endlichen Strukturen ist Exponenzieren sehr viel einfacher als Wurzeln zu ziehen. In endlichen Strukturen ist Exponenzieren sehr viel einfacher als Logarithmen zu berechnen.

14 Division mit Rest Kryptografie Grundlagen RSA KASH mod Fermat Euklid Chinesischer Restsatz Definition Seien a, b N. Dann gibt es q, r N mit a = qb + r und 0 r < b. Die Zahl r heißt Rest der Division von a durch b und wird mit r = a mod b bezeichnet.

15 Division mit Rest Kryptografie Grundlagen RSA KASH mod Fermat Euklid Chinesischer Restsatz Definition Seien a, b N. Dann gibt es q, r N mit a = qb + r und 0 r < b. Die Zahl r heißt Rest der Division von a durch b und wird mit r = a mod b bezeichnet. Bemerkung Wenn r = a mod b, dann gibt es q Z mit r a = qb.

16 Division mit Rest Kryptografie Grundlagen RSA KASH mod Fermat Euklid Chinesischer Restsatz Definition Seien a, b N. Dann gibt es q, r N mit a = qb + r und 0 r < b. Die Zahl r heißt Rest der Division von a durch b und wird mit r = a mod b bezeichnet. Beispiele

17 Kryptografie Grundlagen RSA KASH mod Fermat Euklid Chinesischer Restsatz Kleiner Fermatscher Satz Satz Sei p eine Primzahl, dann gilt x p 1 mod p = 1 für alle x {1,..., p 1}.

18 Kryptografie Grundlagen RSA KASH mod Fermat Euklid Chinesischer Restsatz Kleiner Fermatscher Satz Satz Sei p eine Primzahl, dann gilt x p 1 mod p = 1 für alle x {1,..., p 1}. Beweis (i) Sei 1 a p 1. Wenn x, y {1,..., p 1} mit x y dann ax mod p ay mod p.

19 Kryptografie Grundlagen RSA KASH mod Fermat Euklid Chinesischer Restsatz Kleiner Fermatscher Satz Satz Sei p eine Primzahl, dann gilt x p 1 mod p = 1 für alle x {1,..., p 1}. Beweis (i) Sei 1 a p 1. Wenn x, y {1,..., p 1} mit x y dann ax mod p ay mod p. Angenommen ax mod p = ay mod p dann a(x y) mod p = 0. Da (p 1) < x y < p 1 folgt x y = 0.

20 Kryptografie Grundlagen RSA KASH mod Fermat Euklid Chinesischer Restsatz Kleiner Fermatscher Satz Satz Sei p eine Primzahl, dann gilt x p 1 mod p = 1 für alle x {1,..., p 1}. Beweis (i) Sei 1 a p 1. Wenn x, y {1,..., p 1} mit x y dann ax mod p ay mod p. (ii) Sei 1 a p 1. Wegen (i) gilt {1,..., p 1} = {a 1 mod p,..., a (p 1) mod p}. Also p 1 b=1 b mod p = p 1 b=1 ab mod p = ap 1 p 1 b=1 b mod p und damit a p 1 mod p = 1.

21 Kryptografie Grundlagen RSA KASH mod Fermat Euklid Chinesischer Restsatz Kleiner Fermatscher Satz Satz Sei p eine Primzahl, dann gilt x p 1 mod p = 1 für alle x {1,..., p 1}. Beispiele

22 Kryptografie Grundlagen RSA KASH mod Fermat Euklid Chinesischer Restsatz Euklidischer Algorithmus Seien r 0, r 1 N mit r 0 > r 1. Bestimme q 2 und 0 < r 2 < r 1 so dass r 0 = q 2 r 1 + r 2.. Bestimme q i+2 und 0 < r i+2 < r i+1 so dass r i = q i+2 r i+1 + r i+2.. Bis zu q m mit r m 1 = q m r m. r m ist größter gemeinsamer Teiler von r 0 und r 1.

23 Kryptografie Grundlagen RSA KASH mod Fermat Euklid Chinesischer Restsatz Euklidischer Algorithmus Seien r 0, r 1 N mit r 0 > r 1. Bestimme q 2 und 0 < r 2 < r 1 so dass r 0 = q 2 r 1 + r 2.. Bestimme q i+2 und 0 < r i+2 < r i+1 so dass r i = q i+2 r i+1 + r i+2.. Bis zu q m mit r m 1 = q m r m. r m ist größter gemeinsamer Teiler von r 0 und r 1. r m teilt r m 1, r m teilt r m 2,...,r m teilt r 1 und r m teilt r 0. Also ist r m Teiler von r 0 und r 1.

24 Kryptografie Grundlagen RSA KASH mod Fermat Euklid Chinesischer Restsatz Euklidischer Algorithmus Seien r 0, r 1 N mit r 0 > r 1. Bestimme q 2 und 0 < r 2 < r 1 so dass r 0 = q 2 r 1 + r 2.. Bestimme q i+2 und 0 < r i+2 < r i+1 so dass r i = q i+2 r i+1 + r i+2.. Bis zu q m mit r m 1 = q m r m. r m ist größter gemeinsamer Teiler von r 0 und r 1. r m teilt r m 1, r m teilt r m 2,...,r m teilt r 1 und r m teilt r 0. Also ist r m Teiler von r 0 und r 1. Ein gemeinsamer Teiler t von r 0 und r 1 teilt auch r i für i m. Also teilt jeder gemeinsame Teiler von r 0 und r 1 sie Zahl r m.

25 Kryptografie Grundlagen RSA KASH mod Fermat Euklid Chinesischer Restsatz Euklidischer Algorithmus Seien r 0, r 1 N mit r 0 > r 1. Bestimme q 2 und 0 < r 2 < r 1 so dass r 0 = q 2 r 1 + r 2.. Bestimme q i+2 und 0 < r i+2 < r i+1 so dass r i = q i+2 r i+1 + r i+2.. Bis zu q m mit r m 1 = q m r m. r m ist größter gemeinsamer Teiler von r 0 und r 1. r m teilt r m 1, r m teilt r m 2,...,r m teilt r 1 und r m teilt r 0. Also ist r m Teiler von r 0 und r 1. Ein gemeinsamer Teiler t von r 0 und r 1 teilt auch r i für i m. Also teilt jeder gemeinsame Teiler von r 0 und r 1 sie Zahl r m. Daher ist r m der grösste gemeinsame Teiler von r 0 und r 1.

26 Kryptografie Grundlagen RSA KASH mod Fermat Euklid Chinesischer Restsatz Euklidischer Algorithmus Seien r 0, r 1 N mit r 0 > r 1. Bestimme q 2 und 0 < r 2 < r 1 so dass r 0 = q 2 r 1 + r 2.. Bestimme q i+2 und 0 < r i+2 < r i+1 so dass r i = q i+2 r i+1 + r i+2.. Bis zu q m mit r m 1 = q m r m. r m ist größter gemeinsamer Teiler von r 0 und r 1. Es gibt b, c Z mit br 0 + cr 1 = r m = ggt(r 0, r 1 ). r 2 = r 0 q 1 r 1, r 3 = r 1 q 2 r 2 = (1 + q 1 q 2 )r 1 q 2 r 0,... Also läßt sich r m als Linearkombination vom r 0 und r 1 darstellen.

27 Kryptografie Grundlagen RSA KASH mod Fermat Euklid Chinesischer Restsatz Euklidischer Algorithmus Seien r 0, r 1 N mit r 0 > r 1. Bestimme q 2 und 0 < r 2 < r 1 so dass r 0 = q 2 r 1 + r 2.. Bestimme q i+2 und 0 < r i+2 < r i+1 so dass r i = q i+2 r i+1 + r i+2.. Bis zu q m mit r m 1 = q m r m. r m ist größter gemeinsamer Teiler von r 0 und r 1. Es gibt b, c Z mit br 0 + cr 1 = r m = ggt(r 0, r 1 ). Zu a, n N mit ggt(a, n) = 1 bestimme b Z mit ba mod n = 1. Es gibt b, c Z mit ba + cn = 1, also ba = 1 cn und ba mod n = 1.

28 Kryptografie Grundlagen RSA KASH mod Fermat Euklid Chinesischer Restsatz Chinesischer Restsatz Chinesischer Restsatz Seien a, b, p, q N mit ggt(p, q) = 1, 0 a < p und 0 b < q. Es gibt ein modulo pq eindeutig bestimmtes x N mit x mod p = a und x mod q = b.

29 Kryptografie Grundlagen RSA KASH mod Fermat Euklid Chinesischer Restsatz Chinesischer Restsatz Chinesischer Restsatz Seien a, b, p, q N mit ggt(p, q) = 1, 0 a < p und 0 b < q. Es gibt ein modulo pq eindeutig bestimmtes x N mit x mod p = a und x mod q = b. Existenz Bestimme c, d N mit qc mod p = 1 und pd mod q = 1. Setze x = acq + bdp mod pq. Dann x mod p = a und x mod q = b.

30 Kryptografie Grundlagen RSA KASH mod Fermat Euklid Chinesischer Restsatz Chinesischer Restsatz Chinesischer Restsatz Seien a, b, p, q N mit ggt(p, q) = 1, 0 a < p und 0 b < q. Es gibt ein modulo pq eindeutig bestimmtes x N mit x mod p = a und x mod q = b. Existenz Bestimme c, d N mit qc mod p = 1 und pd mod q = 1. Setze x = acq + bdp mod pq. Dann x mod p = a und x mod q = b. Eindeutigkeit Zu jeder der pq Kombinationen von 0 a < p und 0 b < q gibt es ein x. Es gibt pq Zahlen mit 0 x < pq also ist x eindeutig.

31 Kryptografie Grundlagen RSA KASH mod Fermat Euklid Chinesischer Restsatz Chinesischer Restsatz Chinesischer Restsatz Seien a, b, p, q N mit ggt(p, q) = 1, 0 a < p und 0 b < q. Es gibt ein modulo pq eindeutig bestimmtes x N mit x mod p = a und x mod q = b. Existenz Bestimme c, d N mit qc mod p = 1 und pd mod q = 1. Setze x = acq + bdp mod pq. Dann x mod p = a und x mod q = b. Beispiel

32 RSA Kryptografie Grundlagen RSA KASH RSA Grundlagen Beschreibung Sicherheit Challenges 1977 von Ron Rivest, Adi Shamir und Len Adleman erfunden.

33 RSA Kryptografie Grundlagen RSA KASH RSA Grundlagen Beschreibung Sicherheit Challenges 1977 von Ron Rivest, Adi Shamir und Len Adleman erfunden. RSA war das erste Kryptosystem mit offentlichem Schlüssel und ist noch heute das am weitesten verbreitete.

34 RSA Kryptografie Grundlagen RSA KASH RSA Grundlagen Beschreibung Sicherheit Challenges 1977 von Ron Rivest, Adi Shamir und Len Adleman erfunden. RSA war das erste Kryptosystem mit offentlichem Schlüssel und ist noch heute das am weitesten verbreitete. Einsatzgebiete Homebanking und e-commerce, SSL/TLS und IPSec, automatische Softwareupdates, Chipkarten und Reisepässe.

35 RSA Grundlagen Kryptografie Grundlagen RSA KASH RSA Grundlagen Beschreibung Sicherheit Challenges Satz Seien p, q Primzahlen mit ggt(p, q) = 1. Für alle a {0,..., pq 1} gilt a 1+c(p 1)(q 1) mod pq = a.

36 RSA Grundlagen Kryptografie Grundlagen RSA KASH RSA Grundlagen Beschreibung Sicherheit Challenges Satz Seien p, q Primzahlen mit ggt(p, q) = 1. Für alle a {0,..., pq 1} gilt a 1+c(p 1)(q 1) mod pq = a. Beweis (i) p teilt a, ggt(a, q) = 1. Nach dem kleinen Fermatschen Satz gilt a (q 1) mod q = 1. Also a 1+c(p 1)(q 1) mod q = a.

37 RSA Grundlagen Kryptografie Grundlagen RSA KASH RSA Grundlagen Beschreibung Sicherheit Challenges Satz Seien p, q Primzahlen mit ggt(p, q) = 1. Für alle a {0,..., pq 1} gilt a 1+c(p 1)(q 1) mod pq = a. Beweis (i) p teilt a, ggt(a, q) = 1. Nach dem kleinen Fermatschen Satz gilt a (q 1) mod q = 1. Also a 1+c(p 1)(q 1) mod q = a. Weiterhin folgt aus a mod p = 0, dass a 1+c(p 1)(q 1) mod p = 0.

38 RSA Grundlagen Kryptografie Grundlagen RSA KASH RSA Grundlagen Beschreibung Sicherheit Challenges Satz Seien p, q Primzahlen mit ggt(p, q) = 1. Für alle a {0,..., pq 1} gilt a 1+c(p 1)(q 1) mod pq = a. Beweis (i) p teilt a, ggt(a, q) = 1. Nach dem kleinen Fermatschen Satz gilt a (q 1) mod q = 1. Also a 1+c(p 1)(q 1) mod q = a. Weiterhin folgt aus a mod p = 0, dass a 1+c(p 1)(q 1) mod p = 0. Nach dem chinesische Restsatz ist a 1+c(p 1)(q 1) mod pq eindeutig bestimmt. Daher a 1+c(p 1)(q 1) mod pq = a.

39 RSA Grundlagen Kryptografie Grundlagen RSA KASH RSA Grundlagen Beschreibung Sicherheit Challenges Satz Seien p, q Primzahlen mit ggt(p, q) = 1. Für alle a {0,..., pq 1} gilt a 1+c(p 1)(q 1) mod pq = a. Beweis (i) p teilt a, ggt(a, q) = 1. (ii) ggt(a, pq) = 1. Nach dem kleinen Fermatschen Satz gilt: a 1+c(p 1)(q 1) mod p = a und a 1+c(p 1)(q 1) mod q = a. Die Aussage folgt wiederum mit dem chinesischen Restsatz.

40 RSA Grundlagen Kryptografie Grundlagen RSA KASH RSA Grundlagen Beschreibung Sicherheit Challenges Satz Seien p, q Primzahlen mit ggt(p, q) = 1. Für alle a {0,..., pq 1} gilt a 1+c(p 1)(q 1) mod pq = a. Beispiel

41 Kryptografie Grundlagen RSA KASH RSA Grundlagen Beschreibung Sicherheit Challenges RSA Beschreibung Schlüsselverzeichnis Bob Findet zwei große Primzahlen p und q Wählt e N mit ggt ( e, (p 1)(q 1) ) = 1. Berechnet d mit ed mod (p 1)(q 1) = 1.

42 Kryptografie Grundlagen RSA KASH RSA Grundlagen Beschreibung Sicherheit Challenges RSA Beschreibung Schlüsselverzeichnis Bobs Schlüssel: (n, e). Bob Findet zwei große Primzahlen p und q Wählt e N mit ggt ( e, (p 1)(q 1) ) = 1. Berechnet d mit ed mod (p 1)(q 1) = 1. Veröffentlicht e und n = pq.

43 Kryptografie Grundlagen RSA KASH RSA Grundlagen Beschreibung Sicherheit Challenges RSA Beschreibung Schlüsselverzeichnis Bobs Schlüssel: (n, e). Bob Findet zwei große Primzahlen p und q Wählt e N mit ggt ( e, (p 1)(q 1) ) = 1. Berechnet d mit ed mod (p 1)(q 1) = 1. Veröffentlicht e und n = pq. Alice

44 Kryptografie Grundlagen RSA KASH RSA Grundlagen Beschreibung Sicherheit Challenges RSA Beschreibung Schlüsselverzeichnis Bobs Schlüssel: (n, e). Bob Findet zwei große Primzahlen p und q Wählt e N mit ggt ( e, (p 1)(q 1) ) = 1. Berechnet d mit ed mod (p 1)(q 1) = 1. Veröffentlicht e und n = pq. Alice Verschlüsselt Nachricht m zu x = m e mod n.

45 Kryptografie Grundlagen RSA KASH RSA Grundlagen Beschreibung Sicherheit Challenges RSA Beschreibung Schlüsselverzeichnis Bobs Schlüssel: (n, e). Alice Verschlüsselt Nachricht m zu x = m e mod n. Bob Findet zwei große Primzahlen p und q Wählt e N mit ggt ( e, (p 1)(q 1) ) = 1. Berechnet d mit ed mod (p 1)(q 1) = 1. Veröffentlicht e und n = pq. Bob Entschlüsselt die Nachricht mittels x d mod n = m.

46 Kryptografie Grundlagen RSA KASH RSA Grundlagen Beschreibung Sicherheit Challenges RSA Beschreibung Schlüsselverzeichnis Bobs Schlüssel: (n, e). Alice Verschlüsselt Nachricht m zu x = m e mod n. Bob Findet zwei große Primzahlen p und q Wählt e N mit ggt ( e, (p 1)(q 1) ) = 1. Berechnet d mit ed mod (p 1)(q 1) = 1. Veröffentlicht e und n = pq. Bob Entschlüsselt die Nachricht mittels x d mod n = m. Bemerkung Nach Satz gilt für 0 m < n = pq x d mod n = (m e ) d mod n = m ed mod n = m da ed mod (p 1)(q 1) = 1.

47 RSA Sicherheit Kryptografie Grundlagen RSA KASH RSA Grundlagen Beschreibung Sicherheit Challenges Die Sicherheit von RSA hängt davon ab ob schnellere Faktorisierungsalgorithmen entdeckt werden, schnellere Computer gebaut werden.

48 RSA Challenges Kryptografie Grundlagen RSA KASH RSA Grundlagen Beschreibung Sicherheit Challenges Die Firma RSA hat Preise für die Faktorisierung von ganzen Zahlen in für das RSA Kryptosystem relevanter Größenordnung ausgelobt.

49 Kryptografie Grundlagen RSA KASH RSA Grundlagen Beschreibung Sicherheit Challenges RSA Challenges Die Firma RSA hat Preise für die Faktorisierung von ganzen Zahlen in für das RSA Kryptosystem relevanter Größenordnung ausgelobt. RSA-140 Die Zahl RSA-140 (140 Dezimalstellen) ist Sie wurde 1999 zerlegt in die Primfaktoren und Der Preis betrug US$. Die Faktorisierung dauerte 8,9 CPU Jahre.

50 Kryptografie Grundlagen RSA KASH RSA Grundlagen Beschreibung Sicherheit Challenges RSA Challenges Die Firma RSA hat Preise für die Faktorisierung von ganzen Zahlen in für das RSA Kryptosystem relevanter Größenordnung ausgelobt. RSA-640 Die Zahl RSA-640 (193 Dezimalstellen) ist Sie wurde 2005 zerlegt in die Primfaktoren und Der Preis betrug US$. Die Faktorisierung dauerte GHz-Opteron-CPU Jahre.

51 Kryptografie Grundlagen RSA KASH RSA Grundlagen Beschreibung Sicherheit Challenges RSA Challenges Die Firma RSA hat Preise für die Faktorisierung von ganzen Zahlen in für das RSA Kryptosystem relevanter Größenordnung ausgelobt. RSA-1024 Die Zahl RSA-1024 (309 Dezimalstellen) ist Der ausgelobte Preis beträgt US$.

52 Kryptografie Grundlagen RSA KASH Funktionalität Verfügbarkeit KASH Funktionalität Das an der TU Berlin entwickelte Computeralgebrasystem KASH enthält unter anderem: Langzahlarithmetik für ganze und rationale Zahlen, Fließkommazahlen mit beliebiger Präzision, Funktionen für lineare Algebra, Arithmetik mit Polynomen und Funktionen für viele andere algbraische Strukturen.

53 Kryptografie Grundlagen RSA KASH Funktionalität Verfügbarkeit KASH Funktionalität Das an der TU Berlin entwickelte Computeralgebrasystem KASH enthält unter anderem: Langzahlarithmetik für ganze und rationale Zahlen, Fließkommazahlen mit beliebiger Präzision, Funktionen für lineare Algebra, Arithmetik mit Polynomen und Funktionen für viele andere algbraische Strukturen. Durch die einfache Programmierung in einer Pascal ähnlichen Programmiersprache mit funktionalen Elementen lassen sich Algorithmen schnell ausprobieren.

54 Kryptografie Grundlagen RSA KASH Funktionalität Verfügbarkeit KASH Verfügbarkeit KASH läuft unter den folgenden Betriebsystemen Linux/x86 MacOS X/PowerPC MS Windows/x86 KASH ist frei verfügbar und kann heruntergeladen werden von kant

55 Kryptografie Grundlagen RSA KASH Funktionalität Verfügbarkeit KASH Verfügbarkeit KASH läuft unter den folgenden Betriebsystemen Linux/x86 MacOS X/PowerPC MS Windows/x86 KASH ist frei verfügbar und kann heruntergeladen werden von kant Vielen Dank

Das RSA Kryptosystem

Das RSA Kryptosystem Kryptografie Grundlagen RSA Institut für Mathematik Technische Universität Berlin Kryptografie Grundlagen RSA mit geheimem mit öffentlichem Schlüssel Realisierung Kryptografie mit geheimem Schlüssel Alice

Mehr

RSA Verfahren. Kapitel 7 p. 103

RSA Verfahren. Kapitel 7 p. 103 RSA Verfahren RSA benannt nach den Erfindern Ron Rivest, Adi Shamir und Leonard Adleman war das erste Public-Key Verschlüsselungsverfahren. Sicherheit hängt eng mit der Schwierigkeit zusammen, große Zahlen

Mehr

Das RSA-Verfahren. Armin Litzel. Proseminar Kryptographische Protokolle SS 2009

Das RSA-Verfahren. Armin Litzel. Proseminar Kryptographische Protokolle SS 2009 Das RSA-Verfahren Armin Litzel Proseminar Kryptographische Protokolle SS 2009 1 Einleitung RSA steht für die drei Namen Ronald L. Rivest, Adi Shamir und Leonard Adleman und bezeichnet ein von diesen Personen

Mehr

IT-Sicherheit: Kryptographie. Asymmetrische Kryptographie

IT-Sicherheit: Kryptographie. Asymmetrische Kryptographie IT-Sicherheit: Kryptographie Asymmetrische Kryptographie Fragen zur Übung 5 C oder Java? Ja (gerne auch Python); Tips waren allerdings nur für C Wie ist das mit der nonce? Genau! (Die Erkennung und geeignete

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

Verschlüsselung. Chiffrat. Eve

Verschlüsselung. Chiffrat. Eve Das RSA Verfahren Verschlüsselung m Chiffrat m k k Eve? Verschlüsselung m Chiffrat m k k Eve? Aber wie verteilt man die Schlüssel? Die Mafia-Methode Sender Empfänger Der Sender verwendet keine Verschlüsselung

Mehr

Lenstras Algorithmus für Faktorisierung

Lenstras Algorithmus für Faktorisierung Lenstras Algorithmus für Faktorisierung Bertil Nestorius 9 März 2010 1 Motivation Die schnelle Faktorisierung von Zahlen ist heutzutage ein sehr wichtigen Thema, zb gibt es in der Kryptographie viele weit

Mehr

Mathematische Grundlagen der Kryptografie (1321) SoSe 06

Mathematische Grundlagen der Kryptografie (1321) SoSe 06 Mathematische Grundlagen der Kryptografie (1321) SoSe 06 Klausur am 19.08.2006: Lösungsvorschläge zu den Aufgaben zu Aufgabe I.1 (a) Das numerische Äquivalent zu KLAUSUR ist die Folge [10, 11, 0, 20, 18,

Mehr

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also

Mehr

Public-Key Verschlüsselung

Public-Key Verschlüsselung Public-Key Verschlüsselung Björn Thomsen 17. April 2006 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Wie funktioniert es 2 3 Vergleich mit symmetrischen Verfahren 3 4 Beispiel: RSA 4 4.1 Schlüsselerzeugung...............................

Mehr

11. Das RSA Verfahren und andere Verfahren

11. Das RSA Verfahren und andere Verfahren Chr.Nelius: Kryptographie (SS 2011) 31 11. Das RSA Verfahren und andere Verfahren Eine konkrete Realisierung eines Public Key Kryptosystems ist das sog. RSA Verfahren, das im Jahre 1978 von den drei Wissenschaftlern

Mehr

Mathematik und Logik

Mathematik und Logik Mathematik und Logik 6. Übungsaufgaben 2006-01-24, Lösung 1. Berechnen Sie für das Konto 204938716 bei der Bank mit der Bankleitzahl 54000 den IBAN. Das Verfahren ist z.b. auf http:// de.wikipedia.org/wiki/international_bank_account_number

Mehr

Das RSA-Verfahren. Proseminar Kryptographische Protokolle SS Armin Litzel

Das RSA-Verfahren. Proseminar Kryptographische Protokolle SS Armin Litzel in der Praxis Proseminar Kryptographische Protokolle SS 2009 5.5.2009 in der Praxis Gliederung 1 Grundlegendes über RSA 2 in der Praxis Allgemeine Vorgehensweise zur Verschlüsselung Signieren mit RSA 3

Mehr

Über das Hüten von Geheimnissen

Über das Hüten von Geheimnissen Über das Hüten von Geheimnissen Gabor Wiese Tag der Mathematik, 14. Juni 2008 Institut für Experimentelle Mathematik Universität Duisburg-Essen Über das Hüten von Geheimnissen p.1/14 Rechnen mit Rest Seien

Mehr

RSA-Verschlüsselung. von Johannes Becker Gießen 2006/2008

RSA-Verschlüsselung. von Johannes Becker Gießen 2006/2008 RSA-Verschlüsselung von Johannes Becker Gießen 2006/2008 Zusammenfassung Es wird gezeigt, wieso das nach Ronald L. Rivest, Adi Shamir und Leonard Adleman genannte RSA-Krptosstem funktioniert, das mittlerweile

Mehr

RSA-Verfahren Schnelle Ver- / Entschlüsselung Zusammenhang mit dem Faktorisierungsproblem. RSA-Verfahren. Herwig Stütz

RSA-Verfahren Schnelle Ver- / Entschlüsselung Zusammenhang mit dem Faktorisierungsproblem. RSA-Verfahren. Herwig Stütz 2007-11-23 Überblick 1 2 Schnelle modulare Exponentiation Chinesischer Restsatz 3 Allgemeines Public-Key Methode Rivest, Shamir und Adleman 1977 Sicherheit des Verfahrens beruht auf Schwierigkeit der Primfaktorenzerlegung

Mehr

Das RSA-Verschlüsselungsverfahren 1 Christian Vollmer

Das RSA-Verschlüsselungsverfahren 1 Christian Vollmer Das RSA-Verschlüsselungsverfahren 1 Christian Vollmer Allgemein: Das RSA-Verschlüsselungsverfahren ist ein häufig benutztes Verschlüsselungsverfahren, weil es sehr sicher ist. Es gehört zu der Klasse der

Mehr

Das RSA-Kryptosystem

Das RSA-Kryptosystem www.mathematik-netz.de Copyright, Page 1 of 12 Das RSA-Kryptosystem Um dieses Dokument verstehen zu können benötigt der Leser nur grundlegende Kenntnisse der Algebra und ein gewisses mathematisches Verständnis.

Mehr

3 Das RSA-Kryptosystem

3 Das RSA-Kryptosystem Stand: 15.12.2014 Vorlesung Grundlagen und Methoden der Kryptographie Dietzfelbinger 3 Das RSA-Kryptosystem RSA: Erfunden von Ronald L. Rivest, Adi Shamir und Leonard Adleman, 1977. (Ein ähnliches Verfahren

Mehr

El. Zahlentheorie I: Der kleine Satz von Fermat

El. Zahlentheorie I: Der kleine Satz von Fermat Vorlesung 7 Universität Münster 25. September 2007 El. In Vorlesung 4 haben wir Modulo-Arithmetik behandelt. Definition Sei n N 1. Auf Z ist eine Äquivalenzrelation Kongruenz modulo n definiert durch x

Mehr

Vorlesung 7. Tilman Bauer. 25. September 2007

Vorlesung 7. Tilman Bauer. 25. September 2007 Vorlesung 7 Universität Münster 25. September 2007 El. In Vorlesung 4 haben wir Modulo-Arithmetik behandelt. Definition Sei n N 1. Auf Z ist eine Äquivalenzrelation Kongruenz modulo n definiert durch x

Mehr

Datensicherheit durch Kryptographie

Datensicherheit durch Kryptographie Datensicherheit durch Kryptographie Dr. Michael Hortmann Fachbereich Mathematik, Universität Bremen T-Systems Michael.Hortmann@gmx.de 1 Kryptographie: Klassisch: Wissenschaft und Praxis der Datenverschlüsselung

Mehr

Modul Diskrete Mathematik WiSe 2011/12

Modul Diskrete Mathematik WiSe 2011/12 1 Modul Diskrete Mathematik WiSe 2011/12 Ergänzungsskript zum Kapitel 4.2. Hinweis: Dieses Manuskript ist nur verständlich und von Nutzen für Personen, die regelmäßig und aktiv die zugehörige Vorlesung

Mehr

Regine Schreier

Regine Schreier Regine Schreier 20.04.2016 Kryptographie Verschlüsselungsverfahren Private-Key-Verfahren und Public-Key-Verfahren RSA-Verfahren Schlüsselerzeugung Verschlüsselung Entschlüsselung Digitale Signatur mit

Mehr

Kryptographie Reine Mathematik in den Geheimdiensten

Kryptographie Reine Mathematik in den Geheimdiensten Kryptographie Reine Mathematik in den Geheimdiensten Priska Jahnke 10. Juli 2006 Kryptographie Reine Mathematik in den Geheimdiensten Kryptographie (Kryptologie) = Lehre von den Geheimschriften Kaufleute,

Mehr

1. Asymmetrische Verschlüsselung einfach erklärt

1. Asymmetrische Verschlüsselung einfach erklärt 1. Asymmetrische Verschlüsselung einfach erklärt Das Prinzip der asymmetrischen Verschlüsselung beruht im Wesentlichen darauf, dass sich jeder Kommunikationspartner jeweils ein Schlüsselpaar (bestehend

Mehr

n ϕ n

n ϕ n 1 3. Teiler und teilerfremde Zahlen Euler (1707-1783, Gymnasium und Universität in Basel, Professor für Physik und Mathematik in Petersburg und Berlin) war nicht nur einer der produktivsten Mathematiker

Mehr

Paul-Klee-Gymnasium. Facharbeit aus der Mathematik. Thema: Asymmetrische Verschlüsselungsverfahren. am Beispiel des RSA-Kryptosystems

Paul-Klee-Gymnasium. Facharbeit aus der Mathematik. Thema: Asymmetrische Verschlüsselungsverfahren. am Beispiel des RSA-Kryptosystems Paul-Klee-Gymnasium Facharbeit aus der Mathematik Thema: Asymmetrische Verschlüsselungsverfahren am Beispiel des RSA-Kryptosystems Verfasser : Martin Andreas Thoma Kursleiter : Claudia Wenninger Abgegeben

Mehr

Einleitung Shor s Algorithmus Anhang. Thomas Neder. 19. Mai 2009

Einleitung Shor s Algorithmus Anhang. Thomas Neder. 19. Mai 2009 19. Mai 2009 Einleitung Problemstellung Beispiel: RSA Teiler von Zahlen und Periode von Funktionen Klassischer Teil Quantenmechanischer Teil Quantenfouriertransformation Algorithmus zur Suche nach Perioden

Mehr

Primzahlen im Schulunterricht wozu?

Primzahlen im Schulunterricht wozu? Primzahlen im Schulunterricht wozu? FRANZ PAUER, FLORIAN STAMPFER (UNIVERSITÄT INNSBRUCK) 1. Einleitung Eine natürliche Zahl heißt Primzahl, wenn sie genau zwei Teiler hat. Im Lehrplan der Seundarstufe

Mehr

Kapitel 4. Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform. 4.1 Euklidische Ringe

Kapitel 4. Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform. 4.1 Euklidische Ringe Kapitel 4 Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform 4.1 Euklidische Ringe Die Ringe der ganzen Zahlen, Z, sowie Polynomringe über Körpern, K[X], wobei K ein Körper ist, haben die folgenden Gemeinsamheiten:

Mehr

Proseminar: Electronic Commerce und Digitale Unterschriften Public-Key-Kryptographie

Proseminar: Electronic Commerce und Digitale Unterschriften Public-Key-Kryptographie Proseminar: Electronic Commerce und Digitale Unterschriften Public-Key-Kryptographie Ziele der Kryptographie 1. Vertraulichkeit (Wie kann man Nachrichten vor Fremden geheim halten?) 2. Integrität (Wie

Mehr

Public Key Kryptographie

Public Key Kryptographie 3. Juni 2006 1 Algorithmen für Langzahlen 1 RSA 1 Das Rabin-Kryptosystem 1 Diskrete Logarithmen Grundlagen der PK Kryptographie Bisher: Ein Schlüssel für Sender und Empfänger ( Secret-Key oder symmetrische

Mehr

Proseminar Datensicherheit & Versicherungsmathematik RSA-Verfahren

Proseminar Datensicherheit & Versicherungsmathematik RSA-Verfahren Proseminar Datensicherheit & Versicherungsmathematik RSA-Verfahren Herwig Stütz 2007-11-23 1 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 2 Das RSA-Verfahren 2 2.1 Schlüsselerzeugung.................................

Mehr

Mathematische Grundlagen der Kryptographie. 1. Ganze Zahlen 2. Kongruenzen und Restklassenringe. Stefan Brandstädter Jennifer Karstens

Mathematische Grundlagen der Kryptographie. 1. Ganze Zahlen 2. Kongruenzen und Restklassenringe. Stefan Brandstädter Jennifer Karstens Mathematische Grundlagen der Kryptographie 1. Ganze Zahlen 2. Kongruenzen und Restklassenringe Stefan Brandstädter Jennifer Karstens 18. Januar 2005 Inhaltsverzeichnis 1 Ganze Zahlen 1 1.1 Grundlagen............................

Mehr

PRIMZAHLEN PATRICK WEGENER

PRIMZAHLEN PATRICK WEGENER PRIMZAHLEN PATRICK WEGENER 1. Einführung: Was sind Primzahlen? Eine ganze Zahl p, welche größer als 1 ist, heißt Primzahl, wenn sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. Mit teilbar meinen wir hier

Mehr

2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik

2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 57 2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik Uhr: Stunden mod 24, Minuten mod 60, Sekunden mod 60,... Rechnerarithmetik: mod 2 w, w {8, 16, 32,

Mehr

Lösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr.

Lösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr. Lösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr. Kurzweil Florian Franzmann André Diehl Kompiliert am 10. April 2006 um 18:33

Mehr

Mathematisches Kaleidoskop 2014 Materialien Teil 2. Dr. Hermann Dürkop

Mathematisches Kaleidoskop 2014 Materialien Teil 2. Dr. Hermann Dürkop Mathematisches Kaleidoskop 2014 Materialien Teil 2 Dr. Hermann Dürkop 1 1.6 Quadratische Reste und das Legendre-Symbol Im folgenden seien die Moduln p immer Primzahlen. Wir haben bisher gesehen, ob und

Mehr

SCHRIFTLICHE ZUSAMMENFASSUNG ZUM VORTRAG DIE GRUNDLAGEN DER RSA-VERSCHLÜSSELUNG VON DANIEL METZSCH

SCHRIFTLICHE ZUSAMMENFASSUNG ZUM VORTRAG DIE GRUNDLAGEN DER RSA-VERSCHLÜSSELUNG VON DANIEL METZSCH SCHRIFTLICHE ZUSAMMENFASSUNG ZUM VORTRAG DIE GRUNDLAGEN DER RSA-VERSCHLÜSSELUNG VON DANIEL METZSCH Freie Universität Berlin Fachbereich für Mathematik & Informatik Institut für Mathematik II Seminar über

Mehr

Konzepte von Betriebssystem-Komponenten: Schwerpunkt Sicherheit Grundlagen: Asymmetrische Verschlüsslung, Digitale Signatur

Konzepte von Betriebssystem-Komponenten: Schwerpunkt Sicherheit Grundlagen: Asymmetrische Verschlüsslung, Digitale Signatur Konzepte von Betriebssystem-Komponenten: Schwerpunkt Sicherheit Grundlagen: Asymmetrische Verschlüsslung, Digitale Signatur Rudi Pfister Rudi.Pfister@informatik.stud.uni-erlangen.de Public-Key-Verfahren

Mehr

Aufgabe der Kryptografie

Aufgabe der Kryptografie Aufgabe der Kryptografie Eve möchte die Unterhaltung mithören und/oder ausgetauschte Informationen ändern. Alice & Bob kommunzieren über einen unsicheren Kanal. Alice & Bob nutzen Verschlüsselung und digitale

Mehr

Wiederholung Symmetrische Verschlüsselung klassische Verfahren: Substitutionschiffren Transpositionschiffren Vigenère-Chiffre One-Time-Pad moderne

Wiederholung Symmetrische Verschlüsselung klassische Verfahren: Substitutionschiffren Transpositionschiffren Vigenère-Chiffre One-Time-Pad moderne Wiederholung Symmetrische Verschlüsselung klassische Verfahren: Substitutionschiffren Transpositionschiffren Vigenère-Chiffre One-Time-Pad moderne Verfahren: DES (Feistel-Chiffre) mehrfache Wiederholung

Mehr

RSA Verfahren. Ghazwan Al Hayek Hochschule für Technik Stuttgart. 2. November 2008

RSA Verfahren. Ghazwan Al Hayek Hochschule für Technik Stuttgart. 2. November 2008 RSA Verfahren Ghazwan Al Hayek Hochschule für Technik Stuttgart 2. November 2008 1 Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung 1.1. Übersicht 1.2. Private-Key-Verfahren 1.3. Public-Key-Verfahren 1.4. Vor/ Nachteile

Mehr

Zahlentheorieseminar: Einführung in die Public-Key-Kryptographie

Zahlentheorieseminar: Einführung in die Public-Key-Kryptographie Dozent: Dr. Ralf Gerkmann Referenten: Jonathan Paulsteiner (10939570) und Roman Lämmel ( ) Zahlentheorieseminar: Einführung in die Public-Key-Kryptographie 0. Inhalt 1. Einführung in die Kryptographie

Mehr

Kapitel 3 Elementare Zahletheorie

Kapitel 3 Elementare Zahletheorie Kapitel 3 Elementare Zahletheorie 89 Kapitel 3.1 Ganze Zahlen, Gruppen und Ringe 90 Die ganzen Zahlen Menge der ganzen Zahlen Z={..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...} Es gibt zwei Operationen Addition: Z Z Z, (a,b)

Mehr

Schulmathematik und Algorithmen der Computeralgebra

Schulmathematik und Algorithmen der Computeralgebra Schulmathematik und Algorithmen der Computeralgebra Prof. Dr. Wolfram Koepf Universität Kassel http://www.mathematik.uni-kassel.de/~koepf Tag der Mathematik 13. Dezember 2008 Universität Passau Überblick

Mehr

Elementare Zahlentheorie II

Elementare Zahlentheorie II Schülerzirel Mathemati Faultät für Mathemati. Universität Regensburg Elementare Zahlentheorie II Der Satz von Euler-Fermat und die RSA-Verschlüsselung Die Mathemati ist die Königin der Wissenschaften,

Mehr

Kryptographische Verfahren auf Basis des Diskreten Logarithmus

Kryptographische Verfahren auf Basis des Diskreten Logarithmus Kryptographische Verfahren auf Basis des Diskreten Logarithmus -Vorlesung Public-Key-Kryptographie SS2010- Sascha Grau ITI, TU Ilmenau, Germany Seite 1 / 18 Unser Fahrplan heute 1 Der Diskrete Logarithmus

Mehr

11. Das RSA Verfahren

11. Das RSA Verfahren Chr.Nelius: Zahlentheorie (SoSe 2017) 53 11. Das RSA Verfahren Bei einer asymmetrischen Verschlüsselung lässt sich der Schlüssel zum Entschlüsseln nicht aus dem Schlüssel zum Verschlüsseln bestimmen und

Mehr

5. Übung zum G8-Vorkurs Mathematik (WiSe 2011/12)

5. Übung zum G8-Vorkurs Mathematik (WiSe 2011/12) Technische Universität München Zentrum Mathematik PD Dr. hristian Karpfinger http://www.ma.tum.de/mathematik/g8vorkurs 5. Übung zum G8-Vorkurs Mathematik (WiSe 2011/12) Aufgabe 5.1: In einer Implementierung

Mehr

4 RSA und PGP. Die Mathematik von RSA an einem Beispiel

4 RSA und PGP. Die Mathematik von RSA an einem Beispiel 4 RSA und PGP Im Juni 1991 wurde das Programm PGP (für pretty good privacy ) von Phil Zimmermann ins Internet gestellt. Es ermöglichte jedermann, e-mails derart gut zu verschlüsseln, dass nicht einmal

Mehr

RSA (Rivest, Shamir, Adleman)

RSA (Rivest, Shamir, Adleman) Juli 2012 LB 3 Kryptographie F. Kaden 1/11 1977 von Rivest, Shamir, Adleman am MIT (Massachusetts Institut of Technology) entwickelt asymmetrisches Verschlüsselungsverfahren Ziel: email-verschlüsselung,

Mehr

Vorlesung Sicherheit

Vorlesung Sicherheit Vorlesung Sicherheit Dennis Hofheinz ITI, KIT 15.05.2017 1 / 25 Überblick 1 Hashfunktionen Angriffe auf Hashfunktionen Zusammenfassung Hashfunktionen 2 Asymmetrische Verschlüsselung Idee Beispiel: RSA

Mehr

12 Kryptologie. ... immer wichtiger. Militär (Geheimhaltung) Telebanking, Elektronisches Geld E-Commerce WWW...

12 Kryptologie. ... immer wichtiger. Militär (Geheimhaltung) Telebanking, Elektronisches Geld E-Commerce WWW... 12 Kryptologie... immer wichtiger Militär (Geheimhaltung) Telebanking, Elektronisches Geld E-Commerce WWW... Kryptologie = Kryptographie + Kryptoanalyse 12.1 Grundlagen 12-2 es gibt keine einfachen Verfahren,

Mehr

Entwicklung der Asymmetrischen Kryptographie und deren Einsatz

Entwicklung der Asymmetrischen Kryptographie und deren Einsatz Entwicklung der Asymmetrischen Kryptographie und deren Einsatz Peter Kraml, 5a hlw Facharbeit Mathematik Schuljahr 2013/14 Caesar-Verschlüsselung Beispiel Verschiebung der Buchstaben im Alphabet sehr leicht

Mehr

Hast du auch wirklich versucht, die Aufgaben einmal selbständig zu lösen? Wenn nicht, tue es, bevor du dir die Lösungen anschaust!

Hast du auch wirklich versucht, die Aufgaben einmal selbständig zu lösen? Wenn nicht, tue es, bevor du dir die Lösungen anschaust! Chr.Nelius: Zahlentheorie (SoSe 2016) 1 14. Aufgabenblatt ZAHLENTHEORIE (für Master G und HRG) Lösungen Hast du auch wirklich versucht, die Aufgaben einmal selbständig zu lösen? Wenn nicht, tue es, bevor

Mehr

Public-Key Kryptographie mit dem RSA Schema. Torsten Büchner

Public-Key Kryptographie mit dem RSA Schema. Torsten Büchner Public-Key Kryptographie mit dem RSA Schema Torsten Büchner 7.12.2004 1.Einleitung 1. symmetrische-, asymmetrische Verschlüsselung 2. RSA als asymmetrisches Verfahren 2.Definition von Begriffen 1. Einwegfunktionen

Mehr

Vorlesung Sicherheit

Vorlesung Sicherheit Vorlesung Sicherheit Dennis Hofheinz ITI, KIT 12.05.2014 1 / 26 Überblick 1 Hashfunktionen Erinnerung Angriffe auf Hashfunktionen Zusammenfassung Hashfunktionen 2 Asymmetrische Verschlüsselung Idee Beispiel:

Mehr

Kryptographie - eine mathematische Einführung

Kryptographie - eine mathematische Einführung Kryptographie - eine mathematische Einführung Rosa Freund 28. Dezember 2004 Überblick Grundlegende Fragestellungen Symmetrische Verschlüsselung: Blockchiffren, Hashfunktionen

Mehr

Probabilistische Primzahlensuche. Marco Berger

Probabilistische Primzahlensuche. Marco Berger Probabilistische Primzahlensuche Marco Berger April 2015 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 4 1.1 Definition Primzahl................................ 4 1.2 Primzahltest...................................

Mehr

AES und Public-Key-Kryptographie

AES und Public-Key-Kryptographie Jens Kubieziel jens@kubieziel.de Friedrich-Schiller-Universität Jena Fakultät für Mathem atik und Informatik 22. Juni 2009 Beschreibung des Algorithmus Angriffe gegen AES Wichtige Algorithmen im 20. Jahrhundert

Mehr

Verschlüsselte E-Mails Wie geht das?

Verschlüsselte E-Mails Wie geht das? Verschlüsselte E-Mails Wie geht das? Ralf Hemmecke Research Institute for Symbolic Computation Johannes Kepler University Linz, Austria 08. Mai 2015 Ralf Hemmecke (RISC, JKU Linz) Verschlüsselte E-Mails

Mehr

Zur Sicherheit von RSA

Zur Sicherheit von RSA Zur Sicherheit von RSA Sebastian Petersen 19. Dezember 2011 RSA Schlüsselerzeugung Der Empfänger (E) wählt große Primzahlen p und q. E berechnet N := pq und ϕ := (p 1)(q 1). E wählt e teilerfremd zu ϕ.

Mehr

vom ggt zu gpg Lars Fischer 1 30.05.2012 Die Mathematik von RSA Lars Fischer Intro Mathematik RSA Anhang 1 lars.scher (bei) gmx-topmail.

vom ggt zu gpg Lars Fischer 1 30.05.2012 Die Mathematik von RSA Lars Fischer Intro Mathematik RSA Anhang 1 lars.scher (bei) gmx-topmail. von Beweis von vom ggt zu gpg 1 30.05.2012 1 lars.scher (bei) gmx-topmail.de Inhaltsverzeichnis von Beweis 1 Einführung 2 von Rechnen mit n Beispiele & Regeln Der gröÿte gemeinsame Teiler Der euklidische

Mehr

Kryptographie: Verteidigung gegen die dunklen Künste in der digitalen Welt

Kryptographie: Verteidigung gegen die dunklen Künste in der digitalen Welt Kryptographie: Verteidigung gegen die dunklen Künste in der digitalen Welt Prof. Dr. Rüdiger Weis Beuth Hochschule für Technik Berlin Tag der Mathematik 2015 Flächendeckendes Abhören Regierungen scheitern

Mehr

Kryptographie und Komplexität

Kryptographie und Komplexität Kryptographie und Komplexität Einheit 5 Kryptosysteme auf der Basis diskreter Logarithmen 1. Diffie Hellman Schlüsselaustausch 2. El Gamal Systeme 3. Angriffe auf Diskrete Logarithmen 4. Elliptische Kurven

Mehr

3 Public-Key-Kryptosysteme

3 Public-Key-Kryptosysteme Stand: 05.11.2013 Vorlesung Grundlagen und Methoden der Kryptographie Dietzfelbinger 3 Public-Key-Kryptosysteme 3.1 Verschlüsselung von Nachrichten Wir betrachten ganz einfache Kommunikationsszenarien.

Mehr

Public-Key-Kryptosystem

Public-Key-Kryptosystem Public-Key-Kryptosystem Zolbayasakh Tsoggerel 29. Dezember 2008 Inhaltsverzeichnis 1 Wiederholung einiger Begriffe 2 2 Einführung 2 3 Public-Key-Verfahren 3 4 Unterschiede zwischen symmetrischen und asymmetrischen

Mehr

Kryptographie. nur mit. Freier Software!

Kryptographie. nur mit. Freier Software! Michael Stehmann Kryptographie nur mit Freier Software! Kurze Einführung in Kryptographie ErsterTeil: Bei der Kryptographie geht es um die Zukunft von Freiheit und Demokratie Artur P. Schmidt, 1997 http://www.heise.de/tp/artikel/1/1357/1.html

Mehr

IT-Sicherheitsmanagement. Teil 12: Asymmetrische Verschlüsselung

IT-Sicherheitsmanagement. Teil 12: Asymmetrische Verschlüsselung IT-Sicherheitsmanagement Teil 12: Asymmetrische Verschlüsselung 10.12.15 1 Literatur [12-1] Beutelspacher, A.; Schwenk, J.; Wolfenstetter, K.-D.: Moderne Verfahren der Kryptographie. 4. Auflage, Vieweg

Mehr

Authentikation und digitale Signatur

Authentikation und digitale Signatur TU Graz 23. Jänner 2009 Überblick: Begriffe Authentikation Digitale Signatur Überblick: Begriffe Authentikation Digitale Signatur Überblick: Begriffe Authentikation Digitale Signatur Begriffe Alice und

Mehr

Vorlesung IT-Sicherheit FH Frankfurt Sommersemester 2007

Vorlesung IT-Sicherheit FH Frankfurt Sommersemester 2007 Vorlesung IT-Sicherheit FH Frankfurt Sommersemester 2007 Dr. Volker Scheidemann Teil 5 Schlüsselverteilung Public Key Kryptographie Idee der digitalen Signatur Diffie-Hellman Schlüsselaustausch RSA-Verfahren

Mehr

1 Das RSA-Verfahren und seine algorithmischen Grundlagen

1 Das RSA-Verfahren und seine algorithmischen Grundlagen 1 Das RSA-Verfahren und seine algorithmischen Grundlagen Das wichtigste d. h., am weitesten verbreitete und am meisten analysierte asymmetrische Verfahren ist das RSA-Verfahren, benannt nach seinen Erfindern

Mehr

RSA Äquivalenz der Parameter

RSA Äquivalenz der Parameter RSA Kryptosystem Wurde 1977 von Rivest, Shamir und Adleman erfunden. Genaue Beschreibung im PKCS #1. De-facto Standard für asymmetrische Kryptosysteme. Schlüsselerzeugung: Seien p, q zwei verschiedene,

Mehr

Kommunikationsalgorithmus RSA

Kommunikationsalgorithmus RSA Kommunikationsalgorithmus RSA Herr Maue Ergänzungsfach Informatik Neue Kantonsschule Aarau Früjahrsemester 2015 24.04.2015 EFI (Hr. Maue) Kryptographie 24.04.2015 1 / 26 Programm heute 1. Verschlüsselungsverfahren

Mehr

Zufallsprimzahlen und eine Revolution in der Kryptographie Stefan Edelkamp

Zufallsprimzahlen und eine Revolution in der Kryptographie Stefan Edelkamp Zufallsprimzahlen und eine Revolution in der Kryptographie Stefan Edelkamp Fakultät für Mathematik und Informatik Universität of Bremen Übersicht des Vortrags 1 Einfache Kryptosysteme 2 Einmalschlüssel

Mehr

Praktikum Diskrete Optimierung (Teil 11) 17.07.2006 1

Praktikum Diskrete Optimierung (Teil 11) 17.07.2006 1 Praktikum Diskrete Optimierung (Teil 11) 17.07.2006 1 1 Primzahltest 1.1 Motivation Primzahlen spielen bei zahlreichen Algorithmen, die Methoden aus der Zahlen-Theorie verwenden, eine zentrale Rolle. Hierzu

Mehr

Einführung in die Kryptographie. 20.6.2011, www.privacyfoundation.ch

Einführung in die Kryptographie. 20.6.2011, www.privacyfoundation.ch Einführung in die Kryptographie 20.6.2011, www.privacyfoundation.ch Kryptographie Name kryptós: verborgen, geheim gráphein: schreiben Verschlüsselung Text so umwandeln, dass man ihn nur noch entziffern/lesen

Mehr

Einführung in Computer Microsystems

Einführung in Computer Microsystems Einführung in Computer Microsystems Kapitel 9 Entwurf eines eingebetteten Systems für Anwendungen in der IT-Sicherheit Prof. Dr.-Ing. Sorin A. Huss Fachbereich Informatik Integrierte Schaltungen und Systeme

Mehr

$Id: ring.tex,v /05/03 15:13:26 hk Exp $

$Id: ring.tex,v /05/03 15:13:26 hk Exp $ $Id: ring.tex,v 1.13 2012/05/03 15:13:26 hk Exp $ 3 Ringe 3.1 Der Ring Z m In der letzten Sitzung hatten wir die sogenannten Ringe eingeführt, dies waren Mengen A versehen mit einer Addition + und einer

Mehr

DLP. Adolphe Kankeu Tamghe papibobo@informatik.uni-bremen.de ALZAGK SEMINAR. Bremen, den 18. Januar 2011. Fachbereich Mathematik und Informatik 1 / 27

DLP. Adolphe Kankeu Tamghe papibobo@informatik.uni-bremen.de ALZAGK SEMINAR. Bremen, den 18. Januar 2011. Fachbereich Mathematik und Informatik 1 / 27 DLP Adolphe Kankeu Tamghe papibobo@informatik.uni-bremen.de Fachbereich Mathematik und Informatik ALZAGK SEMINAR Bremen, den 18. Januar 2011 1 / 27 Inhaltsverzeichnis 1 Der diskrete Logarithmus Definition

Mehr

Kryptographie und Codierungstheorie

Kryptographie und Codierungstheorie Proseminar zur Linearen Algebra Kryptographie und Codierungstheorie Thema: Faktorisierungsalgorithmen (nach der Fermat'schen Faktorisierungsmethode) Kettenbruchalgorithmus (Continued Fraction Method) Quadratisches

Mehr

3.5 Kryptographie - eine Anwendung der Kongruenzrechnung

3.5 Kryptographie - eine Anwendung der Kongruenzrechnung 1 3.5 Kryptographie - eine Anwendung der Kongruenzrechnung Das Wort Kryptographie leitet sich aus der griechischen Sprache ab, nämlich aus den beiden Worten κρυπτ oς(kryptos)=versteckt, geheim und γραϕɛιν(grafein)=schreiben.

Mehr

Primzahlzertifikat von Pratt

Primzahlzertifikat von Pratt Primzahlzertifikat von Pratt Daniela Steidl TU München 17. 04. 2008 Primzahltests in der Informatik "Dass das Problem, die Primzahlen von den Zusammengesetzten zu unterscheiden und letztere in ihre Primfaktoren

Mehr

Lineare Algebra I (WS 13/14)

Lineare Algebra I (WS 13/14) Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 10.01.2014 Alexander Lytchak 1 / 9 Erinnerung: Zwei ganz wichtige Gruppen Für jede Gruppe (G, ) und jedes Element g

Mehr

Zusatztutorium, 25.01.2013

Zusatztutorium, 25.01.2013 Zusatztutorium, 25.01.2013 David Müßig muessig[at]mi.fu-berlin.de http://page.mi.fu-berlin.de/def/tutorium/ WiSe 12/13 1 Der Homomorphiesatz Der Homomorphiesatz scheint für viele eine Art rotes Tuch zu

Mehr

3. Vortrag: Das RSA-Verschlüsselungsverfahren

3. Vortrag: Das RSA-Verschlüsselungsverfahren Westfälische Wilhelms-Universität Münster Mathematik Sommersemester 2017 Seminar: Verschlüsselungs- und Codierungstheorie Leitung: Thomas Timmermann 3. Vortrag: Das RSA-Verschlüsselungsverfahren Hendrik

Mehr

3: Zahlentheorie / Primzahlen

3: Zahlentheorie / Primzahlen Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 96 3: Zahlentheorie / Primzahlen 3: Zahlentheorie / Primzahlen Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 97 Definition 37 (Teiler, Vielfache, Primzahlen,

Mehr

Konzepte von Betriebssystemkomponenten: Schwerpunkt Sicherheit. Asymmetrische Verschlüsselung, Digitale Signatur

Konzepte von Betriebssystemkomponenten: Schwerpunkt Sicherheit. Asymmetrische Verschlüsselung, Digitale Signatur Konzepte von Betriebssystemkomponenten: Schwerpunkt Sicherheit Thema: Asymmetrische Verschlüsselung, Digitale Signatur Vortragender: Rudi Pfister Überblick: Asymmetrische Verschlüsselungsverfahren - Prinzip

Mehr

Von Cäsar bis RSA. Chiffrierung von der 1. bis zur 8. Klasse. Dr. Anita Dorfmayr Universität Wien. Lehrerfortbildungstag der ÖMG Wien, 13.

Von Cäsar bis RSA. Chiffrierung von der 1. bis zur 8. Klasse. Dr. Anita Dorfmayr Universität Wien. Lehrerfortbildungstag der ÖMG Wien, 13. Von Cäsar bis RSA Chiffrierung von der 1. bis zur 8. Klasse Dr. Anita Dorfmayr Universität Wien Lehrerfortbildungstag der ÖMG Wien, 13. April 2007 Gliederung Einführung Geschichte Zielsetzungen der Kryptografie

Mehr

Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat

Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat Proseminar: Das BUCH der Beweise Fridtjof Schulte Steinberg Institut für Informatik Humboldt-Universität zu Berlin 29.November 2012 1 / 20 Allgemeines Pierre de Fermat

Mehr

Automatentheorie und Kryptologie. Computer und Mediensicherheit, FHS Hagenberg

Automatentheorie und Kryptologie. Computer und Mediensicherheit, FHS Hagenberg Jürgen Ecker Automatentheorie und Kryptologie Computer und Mediensicherheit, FHS Hagenberg Skriptum zu den Vorlesungen in den Wintersemestern 2002/2003 und 2003/2004 und im Sommersemester 2003 ii Inhaltsverzeichnis

Mehr

Primzahlen. Herbert Koch Mathematisches Institut Universität Bonn Die Primfaktorzerlegung. a = st

Primzahlen. Herbert Koch Mathematisches Institut Universität Bonn Die Primfaktorzerlegung. a = st Primzahlen Herbert Koch Mathematisches Institut Universität Bonn 12.08.2010 1 Die Primfaktorzerlegung Wir kennen die natürlichen Zahlen N = 1, 2,..., die ganzen Zahlen Z, die rationalen Zahlen (Brüche

Mehr

Kryptographie. Teilnehmer: Gruppenleiter: Humboldt-Universität zu Berlin.

Kryptographie. Teilnehmer: Gruppenleiter: Humboldt-Universität zu Berlin. Kryptographie Teilnehmer: Kevin Huber Philippe Gruse Vera Koldewitz Philipp Jakubahs Julian Zimmert Maximilian Werk Hermann-Hesse-Oberschule Heinrich-Hertz-Oberschule Gruppenleiter: Ulf Kühn Humboldt-Universität

Mehr

Q(n) = n 0 +n 1 +n 2 +...+n k.

Q(n) = n 0 +n 1 +n 2 +...+n k. 25 2 Kongruenzen Mit Hilfe der hier definierten Kongruenz können Aussagen über Teilbarkeit einfacher formuliert und bewiesen werden, und man erhält eine Differenzierung der Zahlen, die bezüglich einer

Mehr

Bsp. Euklidischer Algorithmus

Bsp. Euklidischer Algorithmus Bsp. Euklidischer Algorithmus Bsp: Berechne ggt(93, 42) mittels EUKLID. 93 2 42 = 9 42 4 9 = 6 9 1 6 = 3 6 2 3 = 0 D.h. ggt(93, 42) = 3. Durch Rücksubstitution erhalten wir die Bézout-Koeffizienten x,

Mehr

Ferienakademie 2001: Kryptographie und Sicherheit offener Systeme. Faktorisierung. Stefan Büttcher stefan@buettcher.org

Ferienakademie 2001: Kryptographie und Sicherheit offener Systeme. Faktorisierung. Stefan Büttcher stefan@buettcher.org Ferienakademie 2001: Kryptographie und Sicherheit offener Systeme Faktorisierung Stefan Büttcher stefan@buettcher.org 1 Definition. (RSA-Problem) Gegeben: Ò ÔÕ, ein RSA-Modul mit unbekannten Primfaktoren

Mehr

Diffie-Hellman, ElGamal und DSS. Vortrag von David Gümbel am 28.05.2002

Diffie-Hellman, ElGamal und DSS. Vortrag von David Gümbel am 28.05.2002 Diffie-Hellman, ElGamal und DSS Vortrag von David Gümbel am 28.05.2002 Übersicht Prinzipielle Probleme der sicheren Nachrichtenübermittlung 'Diskreter Logarithmus'-Problem Diffie-Hellman ElGamal DSS /

Mehr

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS Herbstsemester 2015 gehalten von Harald Baum 2. September 2015 Inhaltsverzeichnis 1. Stichpunkte zur Linearen Algebra I 2. Körper 3. Vektorräume

Mehr