Drehimpulse in der Quantenmechanik. Drehimpulse kommen in der Natur nur in Einheiten von ½ ħ vor!

Transkript

1 Drehipuse in der Quantenechanik In der Atophysik spiet der Drehipus eine entrae, entscheidende Roe. Für Potentiae it Vr) Vr), Zentrapotentiae ist der Drehipus eine Erhatungsgröße. Der Drehipus hat die Diension Länge*Masse*Geschwindigkeit Die SI-Einheit ist: kg /s s kg /s N s J s Die Größe der Diension Energie*Zeit nennt an Wirkung. Eine fundaentae Einheit der Wirkung ist ħ h/π) Js Drehipuse koen in der Natur nur in Einheiten von ½ ħ vor! Wei ħ so kein ist, ist die Quantisierung des Drehipuses bei akroskopischen Objekten praktisch nicht beobachtbar und der Drehipus erscheint kassisch as kontinuieriche Größe. Eine Masse von 1kg auf einer Kreisbahn it Radius 1 und ω π 1H hat einen Drehipus von r ω * ħ/! Teichen & Ween SS004 Denninger Drehipus 1

2 10.1 Der Drehipus quantenechanisch) L p r Kassisch: L r p r v) nicht-reativistisch) Quantenechanisch: p i p i p y i y p i Teichen & Ween SS004 Denninger Drehipus

3 Teichen & Ween SS004 Denninger Drehipus 3 y y i L i L y y y i L Quantenechanische Operatoren für die Drehipuskoponenten Für geadene Teichen wie Eektronen) ist it eine Drehipus L ier ein agnetisches Dipooent µ verbunden. Es git: µ γl D.h. µ eigt ier entang der Richtung von L, µ und L sind parae oder antiparae). γ heißt agnetogyrischer Faktor oder auch gyroagnetisches Verhätnis).

4 Beispie: Ladung q, Kreisbewegung in -y Ebene Drehipus: L r v r ω Stro: Pro Zeiteinheit äuft die Ladung q it der Frequen f ω/π i Kreis: I q f q ω/π Magnetisches Dipooent: µ I π r ω r q, Stro Fäche q ω π r 1 µ ω r π q µ q L Magnetisches Moent µ und Drehipus L sind parae entang der -Richtung. q Der agnetogyrische Faktor γ ist für die Kreisbewegung aso: γ Für ein Eektron it q -e ist: γ -e/ /Ts) Teichen & Ween SS004 Denninger Drehipus 4

5 I Magnetfed B hat ein agnetisches Moent µ fogende Wechsewirkungen: 1. Energie E - µ B Der energetisch tiefste Zustand ist parae u B B E -µ B cos µ. Drehoent N µ B B Das Drehoent N verändert den Drehipus L nach: d L dt N L N µ Teichen & Ween SS004 Denninger Drehipus 5

6 Da das agnetische Moent µ ier koinear it L ist, hat an durch µ γl d L dt µ Die Änderung des Drehipuses steht ier senkrecht u B und u L! B d.h. der Drehipus i Magnetfed ändert nur seine Richtung, aber nicht seinen Betrag! Kassisch fogt aus dl/dt γ L B eine Präessionsbewegung des Drehipuses u die Richtung von B it der Kreisfrequen γ L B ω B ω γ B Diese Kreisfrequen nennt an die Laror-Frequen und die Präession die Laror-Präession L Teichen & Ween SS004 Denninger Drehipus 6

7 Weche Beobachtungsgrößen beiben bei dieser Präessionsbewegung konstant? 1) Der Betrag von L, L, L L L L ) Die Projektion L L cos auf die -Achse, wenn an das Magnetfed entang der -Achse anegt. Man erwartet nun auch quantenechanisch, daß und Konstante der Bewegung sind und sich auch essen assen! Da nur der Betrag und die Projektion Konstante sind, soten die Operatoren L L und das Verhaten voständig beschreiben. Wir verwenden für ein Teichen Keinbuchstaben: und In der quantenechanischen Beschreibung suchen wir aso nach geicheitigen Lösungen Eigenfunktionen) der beiden Operatoren und L L Teichen & Ween SS004 Denninger Drehipus 7

8 i y y + y y + ) Für die Lösungen des Drehipuses geht an besser u Poarkoordinaten r,, ϕ über. Die Drehipusoperatoren sind nur eine Funktion von, ϕ : Man kann von den kartesischen Koordinaten, y, die Differentiaoperatoren urechnen und erhät: i ϕ 1 sin 1 sin ϕ { sin ) + } Den Operator von haben wir in dieser For schon bei der Behandung des Wasserstoffatos kennengeernt. Die Lösungsfunktionen sind die Kugefächenfunktionen, ϕ) Y Teichen & Ween SS004 Denninger Drehipus 8

9 Teichen & Ween SS004 Denninger Drehipus 9 Y Y Y + ϕ + 1) sin 1 sin sin 1 Wir hatten: ), 1) ), ϕ + ϕ Y Y Und deshab: Die Y,ϕ) sind die Eigenfunktionen des Drehipusoperators u Eigenwert +1)ħ. ϕ ϕ i e P Y ) ), Aus der Darsteung erkennt an, daß: ), ), ϕ ϕ Y Y d.h. die Y,ϕ) sind geicheitig auch Eigenfunktionen u it de Eigenwert ħ

10 Physikaische Interpretation: Ist ein atoares Syste i Zustand it einer Weenfunktion Ψn,, r,, ϕ) Rn r) Y, ϕ) 0 so hat an für dieses Ato i Magnetfed fogende ögichen Meßwerte des Drehipuses: B 0 B + 1) Größe Betrag) des Drehipuses Projektion auf die -Achse Für ein festes 0 ist i Magnetfed die Projektion entang der Richtung von B quantisiert in Einheiten von ħ. Nur Meßwerte ħ, -, -+1,..., -1, sind ögich! heißt deshab agnetische Quantenah. Die -Richtung ist beiebig, an dreht einfach das Koordinatensyste it der -Achse in die Richtung von B Teichen & Ween SS004 Denninger Drehipus 10

11 Teichen & Ween SS004 Denninger Drehipus 11

12 Energiequantisierung des agnetischen Moentes i Magnetfed B Da kassisch µ γ L ist, so iegt fogende Definition des quantenechanischen Operators für das agnetische Moent nahe: γ µ Für eine Ladung q, Masse ist dabei γ q/) µ Kassisch ist die Energie i Magnetfed: Energie -µ B Quantenechanisch hat an dann den fogenden Energieoperator: H µ µ B µ B γ B Die Eigenwerte und die Eigenfunktionen dieses Energieoperators sind: H µ Y, ϕ) γ B Y, ϕ) γb Y, ϕ) Die Energieeigenwerte E sind aso: E -ħ γ B Teichen & Ween SS004 Denninger Drehipus 1

13 Für das Eektron ist q -e und dait hat an die Eigenwerte: E e B µ B) B µ e B J/T ist die fundaentae Einheit: Bohrsches Magneton Beispiee: 1 : + 1) Die Projektionen entang sind dann: 1 ħ, 0 ħ, -1 ħ Teichen & Ween SS004 Denninger Drehipus 13

14 : + 1) 6 Die Projektionen entang sind dann: ħ, 1 ħ, 0 ħ, -1 ħ, - ħ Andere Energieeigenwerte as µ B B, -, -+1,..., -1, koen in den Messungen nicht vor! Magnetische Moente und ihre Quantisierung biden die Grundage der agnetischen Resonan und auch von Methoden wie Kernspintoographie Teichen & Ween SS004 Denninger Drehipus 14