Windenergie. P kin = ½ (v 2 1 v 2 2 ) v Rotor = ½ (v 1 + v 2 ) P kin = ½ ρ A ( ) = ¼ ρ A ( ) = ¼ ρ A [ ( ) ( ) ( )] ρ A ( ) ( ) ( )

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1 Windenergie P kin = ½ (v 2 1 v 2 2 ) v Rotor = ½ (v 1 + v 2 ) P kin = ½ ρ A ( ) = ¼ ρ A ( ) = ¼ ρ A [ ( ) ( ) ( )] Maximum berechnen durch Ableiten nach v 2 und Null setzen: ρ A ( ) Klanmerausdruck muss Null werden: ( ) ( ) v 2 = - v 1 ist nicht realistisch, aber v 2 = v 1 [ ( ) ( ) ( )] [ ] Einsetzen in *: Betz-Koeffizient P kin = 0,5925 ρ A v 1 3

2 Achsentitel Bild 1: Oberste Grenze für die Windenergie-Übertragung Die z.zt. größte Windkraftanlage der Welt (E 126 von Enercon) hat einen Rotordurchmesser von 126 m und arbeitet im Offshore-Betrieb. In Meereshöhe kann eine Luftdichte von 1,2 kg/m 3 angenommen werden. Gemessen wurde eine Leistung von 5 MW bei einer Windgeschwindigkeit von 14 m/s. Berechnen Sie die Leistung, die der Wind beinhaltet. Rotorfläche A= π/ = m 2. Windleistung P = ½ ρ A v 3 = 20,5 MW Enercon Power Curves E33 Power Output E44 Power Output E48 Power Output E53 Power Output E70 Power Output E82 Power Output Bild 2: Leistungskurven einiger Windkraftanlagen von Enercon in Abhängigkeit von der Windgeschwindigkeit

3 Der Auslastungsgrad c f : Angenommen, eine 5 kw- Windkraftanlage erzeugt jährlich 10 MWh. Wenn dieselbe Anlage theoretisch 24 h am Tag und 356 Tage im Jahr bei voller Windbeaufschlagung arbeiten würde, kämen 43,8 MWh zustande. Der Auslastungsgrad beträgt c f = 10 / 43,8 = 0,23. Typische Werte für c f in günstigen Lagen liegen bei 0,2 c f 0,4. Widerstandsläufer Bild 3: Bezeichnungen zur Berechnung der Leistung einer Savonius-Turbine Die Leistung ergibt sich aus P = D v r = c D ( ) Der Leistungskoeffizient ist das Verhältnis der gewonnenen Leistung zur Leistung, die im Wind enthalten ist c P = ( ) Auch hier erreicht c P seinen Maximalwert bei einem Geschwindigkeitsverhältnis v r / v W = 1/3 und beträgt c Pmax = 4/27 c D Der Widerstandsbeiwert bei einer konkav gekrümmten Fläche beträgt höchstens c D = 1,3. Damit ist der maximale Leistungskoeffizient c Pmax = 0,2. Die am eigenen Lehrstuhl durchgeführten Optimierungsrechnungen ergaben einen Leistungskoeffizienten für die im Bild 4 gezeigte Anordnung von c Pmax = 0,47.

4 Bild 4: optimierte Savonius-Turbine Auftriebsläufer Höhere Leistungen können erzielt werden, wenn, wie beim Tragflügel eines Flugzeugs, die Auftriebskraft optimal ausgenutzt wird, siehe Bild 5. Bild 5: Druckverteilung und resultierende Kräfte am Tragflügel Moderne Rotorblätter haben ein großes Kraftverhältnis bis zu E = L torque /L thrust = 200.

5 Bild 6: Geschwindigkeiten und Kräfte am vertikalen Windrad Bild 7: Verteilung der aerodynamischen Kräfte über die Länge des Rotorblattes

6 Bild 8: Abschätzung der Rotorleistung bei unterschiedlichen Annahmen Die Parameter, die hauptsächlich die Leistung beeinflussen, sind: - Anzahl der Rotorblätter - Sehnenlängen-Verteilung der Blätter - aerodynamische Tragflügel-Charakteristik - Verdrehung der Blätter Bild 9: Weltweite Verteilung der mittleren jährlichen Windgeschwindigkeiten

7 Bild 10: Europäischer Windatlas Bild 11: Frequenz der Windgeschwindigkeitsverteilung für die Insel Sylt, gemessen in einer Höhe von 10 m

8 Bild 12: Definition der mittleren (mean) und der durchschnittlichen (median) jährlichen Windgeschwindigkeit In normalen Windregimen liefert eine Weibull-Funktion eine gute Näherung (Bild 13). Die Weibull-Funktion ist definiert: wobei: Φ = Verteilungsfunktion e = Basis des Logarithus (normalerweise log, e = 2.781) A = Skalierungsfaktor k = Form parameter Bild 13: Approximation der aufgelisteten gemessenen Wind-Frequenzverteilung auf der Insel Sylt durch eine mathematische Verteilungsfunktion nach Weibull Für k = 2:. In diesem speziellen Fall wird die Weibull-Verteilung zu einer Rayleigh-Verteilung.

9 Aufgaben 7.01 Sie erhalten die Aufgabe, eine Windkraftanlage (WKA) mit 70 m Rotordurchmesser auf ihre leistungsspezifischen Parameter zu untersuchen. Von der Dimension entspricht dies einer Enercon E70, wie sie z.b. in Magdeburg-Rothensee zu finden ist. Vereinfachend kann von einem mittleren atmosphärischen Luftdruck von 1013,25 hpa ausgegangen werden und einer Umgebungstemperatur von 25 C. Die unbeeinflusste Windgeschwindigkeit weit weg vom Rotor beträgt 8 m/s (v 1 ), im Rotor 4,8 m/s (v 2 ) und hinter dem Rotor 3 m/s (v 3 ). a) Berechnen Sie den Leistungsbeiwert c P der Anlage. b) Berechnen Sie den Gesamtwirkungsgrad der WKA (Wirkungsgrad für Getriebe und Motor: 0,91) c) Wie viele Haushalte mit einem Jahresverbrauch von 2400 kwh können durch die WKA versorgt werden, wenn Sie folgende Windverhältnisse für den gewählten Standort zu Grunde legen? Arbeitsstunden [h] Windgeschwindigkeit [m/s] , , ,5 Restatunden 0, Legen Sie eine WKA so aus, dass Sie bei Windstärke 6 optimal arbeitet. Die effektive Leistung soll 3 MW betragen. Ziel ist ein Anlagenwirkungsgrad von 0,48 Gesucht sind: a) Propellerdurchmesser b) Propeller-Luftstrom c) Axialkraft, Nominal- und Maximalwert d) Maximal mögliche Axialkraft bei Sturm (etwa Windstärke 12 ca. 29 m/s)

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