Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Lineare Algebra und analytische Geometrie 1

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1 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 206/7): Lineare Algebra und analytische Geometrie. (Herbst 2005, Thema, Aufgabe ) Bestimmen Sie alle reellen Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:.2 (Herbst 2007, Thema 2, Aufgabe ) 2 x + 4 x x x 4 = 20 2 x + 5 x x x 4 = 27 3 x + 6 x x x 4 = 3 Lösen Sie das reelle lineare Gleichungssystem.3 (Herbst 200, Thema, Aufgabe ) 3 x 2 x 2 6 x x 4 = 5 x + 2 x x 3 4 x 4 = 3 2 x x 2 4 x x 4 = 3 x x 2 2 x x 4 = 2 Lösen Sie das lineare Gleichungssystem.4 (Frühjahr 200, Thema, Aufgabe ) x + 2 x 2 x 3 = x x 3 3 x 4 = 0 2 x + 4 x 2 2 x 3 + x 4 = 3 x + x 2 3 x x 4 = a) Lösen Sie das homogene lineare Gleichungssystem 2 x + 9 x 2 5 x x 4 + x 5 = 0 x + 4 x 2 2 x x 4 = 0 x 2 x x 4 + x 5 = 0 x + 5 x 2 3 x x 4 x 5 = 0 b) Zeigen Sie, dass der Vektor (x, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = ( 2, 3, 0, 0, 0) eine spezielle Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems ist. 2 x + 9 x 2 5 x x 4 + x 5 = 3 x + 4 x 2 2 x x 4 = 0 x 2 x x 4 + x 5 = 3 x + 5 x 2 3 x x 4 x 5 = 3 c) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des inhomogenen Systems aus b).

2 .5 (Frühjahr 2007, Thema 3, Aufgabe ) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von λ R die Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems.6 (Frühjahr 2009, Thema 3, Aufgabe ) x + x 2 + λ x 4 = 2 x 2 λ x 3 + λ x 4 = 0 x + λ x 3 = 0 x 2 + λ 2 x 4 = Bestimmen Sie in Abhängigkeit vom Parameter s R die Lösungsmenge L s des linearen Gleichungssystems x x 2 + s x 3 + x 4 = x 2 2 x 3 + x 4 = 0 x 2 x 2 + s x 3 2s x 4 = x + 2 (s ) x x 4 = 2.7 (Frühjahr 2005, Thema 3, Aufgabe ) Gegeben sei das lineare Gleichungssystem x + x 2 + s x 3 = 2 x + s x 2 + x 3 = s x + x 2 + x 3 = a) Berechnen Sie in Abhängigkeit von s alle reellen Lösungen. b) Bestimmen Sie für jedes s R die Dimension des Lösungsraumes des zugehörigen homogenen Systems..8 (Herbst 2008, Thema, Aufgabe ) Zeigen Sie, dass das lineare Gleichungssystem x + (λ + ) x 2 + 2λ x 3 + 2λ x 4 = 2 x + λ x 2 + λ x 3 + λ x 4 = x + λ x 2 + 2λ x 3 + 2λ x 4 = 2 x + λ x 2 + λ x 3 + 2λ x 4 = je nach Wahl von λ R entweder unlösbar oder eindeutig lösbar ist. Bestimmen Sie im zweiten Fall die Lösung..9 (Herbst 2006, Thema 3, Aufgabe ) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von a, b R alle Lösungen (x, x 2, x 3, x 4 ) t R 4 des linearen Gleichungssystems x + 2 x 3 x 4 = 2 2 x + x x 3 = 3 3 x + 2 x 2 + a x 4 = 8 x + 2 x x x 4 = b

3 .0 (Herbst 2008, Thema 3, Aufgabe ) Für welche Wahl von α, β R besitzt das lineare Gleichungssystem a) genau eine Lösung, b) keine Lösung, c) mehrere Lösungen? Geben Sie im Fall c) alle Lösungen an.. (Herbst 202, Thema 3, Aufgabe 5) 2 x + x 2 = 0 x + 2 x 2 + x 3 = 0 x x 3 + x 4 = 0 x 3 + α x 4 = β Gegeben sei das lineare Gleichungssystem (G t ) über R: wobei t R eine feste reelle Zahl ist. x + 3 z = 3 2 x t y + z = 2 x + 2 y + t z =, a) Für welche t R ist (G t ) eindeutig lösbar? b) Für welche t R hat (G t ) keine Lösung? c) Für welche t R hat (G t ) mehrere Lösungen? d) Geben Sie in den Fällen der Lösbarkeit die Lösungsmenge von (G t ) an..2 (Frühjahr 204, Thema 3, Aufgabe ) Gegeben seien die Matrix A = R4 5 sowie x p = R5. a) Man bestimme den Rang der Matrix A sowie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems A x = 0. b) Man bestimme b R 4, so dass x p eine Lösung von A x = b ist, und gebe die Lösungsmenge dieses linearen Gleichungssystems an..3 (Frühjahr 2008, Thema 3, Aufgabe ) a) Lösen Sie für x R 4 das lineare Gleichungssystem A x = 0 mit der Koeffizientenmatrix A = b) Ist das lineare Gleichungssystem A x = b lösbar für jeden Vektor b R 4?

4 .4 (Frühjahr 202, Thema 3, Aufgabe ) Sei A = , b = 6 4 und x = a) Bestimmen Sie eine Basis B des Lösungsraums des homogenen linearen Gleichungssystems A x = 0. b) Geben Sie die allgemeine Lösung des linearen Gleichungssystems A x = b an. c) Ergänzen Sie B zu einer Basis des Vektorraums R 5..5 (Herbst 2003, Thema 3, Aufgabe ) Gegeben sei die reelle 4 4 Matrix 4 0 A = a) Bestimmen Sie einen Vektor b R 4 derart, dass das lineare Gleichungssystem A x = b, x R 4, keine Lösung besitzt. b) Gibt es einen Vektor b R 4 derart, dass das lineare Gleichungssystem aus a) genau eine Lösung besitzt? (Begründung!) x x 2 x 3 x 4 x 5. c) Lösen Sie das lineare Gleichungssystem aus a) für b = (,,, ) t..6 (Frühjahr 200, Thema 3, Aufgabe ) Betrachtet werde das lineare Gleichungssystem A x = b mit A = a 2, a R, und b = a 3 Für welche Werte von a gibt es keine, bzw. genau eine, bzw. unendlich viele Lösungen? Geben Sie in den letzten beiden Fällen jeweils die Lösungsmenge an..7 (Herbst 2007, Thema 3, Aufgabe ) Gegeben ist das lineare Gleichungssystem A x = b mit 2 3 A := 2 t 7, b := 3 3 t + 2 t mit dem reellen Parameter t. Bestimmen Sie alle t R, für die das Gleichungssystem eindeutig lösbar, mehrdeutig lösbar, bzw. nicht lösbar ist und leiten Sie im Falle der mehrdeutigen Lösbarkeit eine Parameterdarstellung der Lösungsmenge her.

5 .8 (Herbst 2006, Thema 2, Aufgabe ) In Abhängigkeit von zwei Parametern α, β R werde das lineare Gleichungssystem A x = b, x = (x, x 2, x 3, x 4 ) t R 4, betrachtet mit 2 0 α A = , b = α α β a) Untersuchen Sie wann dieses Gleichungssystem lösbar ist und bestimmen Sie in diesem Fall die Dimension d des Lösungsraumes. b) Ermitteln Sie in den beiden Fällen α = β = 0 und α = β = jeweils explizit alle reellen Lösungen dieses linearen Gleichungssystems..9 (Herbst 20, Thema 3, Aufgabe 4) a) Bestimmen Sie alle t R, für welche die Matrix t t 2 A = t 2 t t 3 invertierbar ist. b) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von t R alle Lösungen des linearen Gleichungssystems x A y = 2. z.20 (Herbst 203, Thema 3, Aufgabe ) Es sei α 0 0 α 3 A α = 0 0 0, B α = A α A α und b = 2. 4 a) Für welche α R hat die Gleichung B α x = b eine eindeutige Lösung? b) Nun sei α =. Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung B x = b..2 (Herbst 20, Thema 2, Aufgabe 4) Gegeben sind die Gleichungen der drei Ebenen E : x 4 y 2 z + = 0 E 2 : 2 x 5 2 y 5 z λ = 0 E 3 : 4 x + λ y 6 z µ = 0 x mit y R 3. Für welche λ, µ R gibt es keinen gemeinsamen Punkt der drei z Ebenen? Für welche λ, µ schneiden sich die drei Ebenen in einer Schnittgeraden? Geben Sie diese Schnittgerade an.

6 .22 (Herbst 2007, Thema, Aufgabe 3) In Abhängigkeit von den Parametern a, b R sei L R 4 die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems x + (2 b) x 2 2 x 3 = b x 2 2 x 3 + x 4 = a 2 x 2 b x 2 + x 3 x 4 = 3 a 2 b a) Zeigen Sie: L ist die Gerade { (,,, a) t + λ (b,,, ) t : λ R }. b) Nun sei H R 4 die Hyperebene mit der Gleichung x + x 2 + x 3 + x 4 = 0. Für welche Wahl der Parameter a und b ist (i) L H; (ii) L H ein Punkt; (iii) L H leer?.23 (Herbst 202, Thema 2, Aufgabe ) Sei n N, n 0. Es bezeichne U := {(x,..., x n ) R n n i= x i = 0}. a) Bestimmen Sie dim R (U) (also die Dimension von U als R Vektorraum). b) Sei U in R n die Lösungsmenge einer (weiteren) homogenen Gleichung a x a n x n = 0 (die Koeffizienten a,..., a n sind aus R; x,..., x n sind Unbestimmte). Bestimmen Sie dim R (U U ) in Abhängigkeit der Koeffizienten a,..., a n..24 (Frühjahr 205, Thema, Aufgabe ) Sei n N, n 2. Bestimmen Sie die Lösungsmenge L R n des folgenden Systems von n linearen Gleichungen: k n x j x j =, k =, 2,..., n (gibt n Gleichungen) j= n x j =. j= j=k+.25 (Herbst 204, Thema 3, Aufgabe ) Zu A R 2 2 und b R 2 sei L A,b die Lösungsmenge der Gleichung Ax = b. a) Beweisen oder widerlegen Sie: i) Für alle A R 2 2 gibt es ein b R 2, so dass L A,b genau aus einem Punkt besteht. ii) Für alle b R 2 gibt es ein A R 2 2, so dass L A,b genau aus einem Punkt besteht. iii) Ist L A,b ein Untervektorraum, so ist b = 0. b) Bestimmen Sie eine Matrix A R 2 2, so dass für b = L A,b = ( ) ( ) + R. 2 ( ) gilt: