7.3 Unitäre Operatoren

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1 Wir können jeden Operator T wie folgt schreiben: Dabei gilt T = 1 2 (T + T ) + i( 1 2 i (T T )) (T + T ) = T + T sowie ( 1 2 i (T T )) = 1 2 i (T T) = 1 2 i (T T ). Wir können T also in zwei lineare Operatoren U 1 und U 2 zerlegen, die die Eigenschaft U 1 = U 1 und U 2 = U 2 haben. Solche Operatoren nennen wir hermit sch: Definition Ein linearer Operator T heißt hermit sch oder selbstadjungiert, wenn T = T gilt. Das Hauptergebnis wird sein, dass selbstadjungierte Operatoren (sowohl reell als auch komplex) stets diagonalisierbar sind. Dazu benötigen wir noch einige Ergebnisse über unitäre Operatoren. Das sind diejenigen Vektorraumisomorphismen, die das innere Produkt respektieren. 7.3 Unitäre Operatoren Definition Seien V und W euklidische oder unitäre Vektorräume. Eine bijektive lineare Abbildung T : V W heißt ein Isomorphismus, wenn (Tv Tw) = (v w) für alle v, w V gilt. Wir nennen die beiden Räume in dem Fall isomorph. Beachten Sie, dass nicht jede bijektive lineare Abbildung ein Isomorphismus ist! Ist T ein Isomorphismus zwischen zwei inneren Produkträumen, so ist auch T 1 ein solcher. Wir wissen, dass es bis auf Isomorphie genau einen K-Vektorraum der Dimension n gibt. Dieser Beweis kann nicht einfach auf innere Produkträume übertragen werden, weil der Isomorphismus auch das innere Produkt respektieren muss. Man kann aber auch hier zeigen, dass die Dimension eindeutig den Isomorphietyp bestimmt: Satz V und W seien innere Produkträume, dimv = dimw <. Ferner sei T : V W eine lineare Abbildung. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: 114

2 (i) (Tv Tw) = (v w) für alle v, w V. (ii) T ist ein Isomorphismus. (iii) T bildet eine gegebene Orthonormalbasis von V auf eine Orthonormalbasis von W ab. (iv) T bildet jede Orthonormalbasis von V auf eine Orthonormalbasis von W ab. Beweis (i) (ii) Das ist gerade die Definition von Isomorphismen, zusammen mit der Beobachtung, dass aus (i) Kern(T) = {0} folgt (wenn T(v) = 0, so gilt (T(v) T(v)) = (v v) = 0, also v = 0 wegen (IP4)). (iv) (iii) Banal, denn wenn jede Orthonormalbasis auf eine Orthonormalbasis geschickt wird, dann natürlich auch eine! (i) (iii), (i) (iv) Ist B = (b 1,..., b n ) eine Orthonormalbasis, so muss (T(b 1 ),...,T(b n )) ebenfalls eine Orthonormalbasis sein, weil T innere Produkte respektiert. (iii) (i) Sei B = (b 1,...,b n ) eine Orthonormalbasis von V und C = (c 1,... c n ) sei das Bild von B unter T, d.h. c i = T(b i ). C sei auch eine Orthonormalbasis von W. Es sei v = n i=1 b iβ i, w = n i=1 b iγ i. Dann ist (T(v) T(w)) = ( n i=1 c iβ i n i=1 c iγ i ) = n i=1 β iγ i = (v w). Korollar Zwei endlichdimensionale innere Produkträume sind genau dann isomorph, wenn sie dieselbe Dimension haben. Korollar Ist G C (n,n) Gram-Matrix eines inneren Produktes, dann gibt es eine invertierbare Matrix T mit T T = G. Ist umgekehrt G = T T für eine invertierbare Matrix T, so wird durch ( x1 x n ) G x 1. x n ein inneres Produkt auf C n definiert. Definition Ein Isomorphismus auf einem inneren Produktraum heißt unitär. Eine Matrix heißt unitär, wenn U = U 1 ist. Satz Die unitären Operatoren bilden mit der Verknüpfung eine Gruppe. Satz Ein Operator U auf V ist genau dann unitär, wenn es ein U gibt mit UU = U U = id V (beachten Sie, dass U immer existiert und dann sogar eindeutig ist, wenn V endlichdimensional ist, siehe Satz 7.2.5). 115

3 Beweis Ist U unitär, so gibt es U 1 und (U(v) w) = (U(v) UU 1 (w)) = (v U 1 (w)), weil U das innere Produkt respektiert. Das zeigt U 1 = U. Wir nehmen nun umgekehrt an, dass U existiert und UU = U U = id V gilt. Dann ist also U = U 1 und (U(v) U(w)) = (v U U(w)) = (v w), also respektiert U das innere Produkt, ist also ein unitärer Operator. Für Matrizen erhalten wir folgendes Korollar: Korollar Sei B eine Orthonormalbasis eines endlichdimensionalen inneren Produktraumes. Dann gilt: U unitär [U] B B ist unitär Beweis [U ] B B = ([U]B B ) nach Satz Wichtig ist hier, ähnlich wie im Fall von Satz 7.2.6, dass B bezüglich einer Orthonormalbasis dargestellt wird. Definition Eine Matrix A heißt orthogonal, wenn A A = A A = I ist. Für reelle Matrizen ist orthogonal ( dasselbe ) wie unitär, nicht jedoch für komplexe 2 3 i Matrizen, denn z.b. ist 3 i 3 2 orthogonal, aber nicht unitär Unitäre Diagonalisierbarkeit Definition Wir nennen einen Operator T auf V unitär diagonalisierbar, wenn es eine Orthonormalbasis gibt, bzgl. der T in Diagonalgestalt dargestellt werden kann. Was bedeutet unitäre Diagonalisierbarkeit für Darstellungsmatrizen? Wir nehmen an, T wird bzgl. einer Orthonormalbasis B dargestellt. Dann gilt [T] B B = ([id V ] B B ) 1 [T] B B [id V ] B B 116

4 Wir definieren eine lineare Abbildung U : V V durch U(b i ) = b i, wobei b i (bzw. b i ) der i-te Vektor von B (bzw. B ) ist. Es gilt also ist weil U unitär ist (S = [U] B B ). [id V ] B B = [U]B B, [T] B B = S [T] B B S Definition Zwei Matrizen T und T heißen unitär äquivalent wenn es eine unitäre Matrix S gibt mit T = S TS. Unitär äquivalente Matrizen beschreiben bzgl. geeigneter Orthonormalbasen identische lineare Abbildungen! Satz Ein linearer Operator T sei bzgl. einer Orthonormalbasis B dargestellt. Dann ist T genau dann unitär diagonalisierbar, wenn [T] B B unitär äquivalent zu einer Diagonalmatrix ist. Lemma Wenn ein Operator T unitär diagonalisierbar ist, so gilt TT = T T. Beweis Wir stellen T und T bzgl einer Orthonormalbasis B dar. Angenommen, [T] B B ist eine Diagonalmatrix. Dann gibt es also eine unitäre Matrix S derart, dass S [T] B B S eine Diagonalmatrix D ist. Es gilt Offenbar gilt D D = DD, also D = S [T] B B S D = S [T ] B B S [T] B B = SDS [T ] B B = SD S Daraus folgt [T] B B [T ] B B = [T ] B B [T]B B, also T T = T T. Dieses Argument zeigt auch: Lemma Ein linearer Operator auf einem reellen inneren Produktraum, der bzgl. einer orthogonalen Basis in Diagonalgestalt dargestellt wird, muss selbstadjungiert sein. 117

5 Definition Ein linearer Operator T heißt normal, wenn T T = T T gilt. Entsprechend nennen wir eine Matrix S normal, wenn S S = SS gilt. Beispiele normaler Operatoren sind die selbstadjungierten und die unitären Operatoren über C sowie die orthogonalen Operatoren über R. Unser Ziel ist es zu zeigen, dass normale Operatoren über C unitär diagonalisierbar sind. Für selbstadjungierte Operatoren gilt das sogar schon über R, wie wir zunächst zeigen wollen: Satz Sei V ein innerer Produktraum, und sei T selbstadjungiert. Dann ist jeder Eigenwert von T reell, und Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal. Beweis Sei T = γv, v 0. Dann gilt γ(v v) = (γv v) = (T(v) v) = (v T (v)) = (v T(v)) = (v γv) = γ(v v) also γ = γ. Sei nun T(v) = µw mit µ γ, v 0, d.h. µ ist ein anderer Eigenwert von T als γ. Wir erhalten γ(v w) = (T(v) w) = (v T(w)) = (v µw) = µ(v w) = µ(v w) weil µ reell sein muss (siehe oben), also (v w) = 0. Definition Sei V ein endlichdimensionaler innerer Produktraum, U V. Dann heißt U := {v V (u v) = 0 für alle u U} das orthogonale Komplement von U. Lemma Jeder Vektor v läßt sich schreiben als Summe v = u + u mit u U und u U. Diese Darstellung ist eindeutig. Beweis Offensichtlich ist U U = {0}, denn wenn v U U dann (v v) = 0, also v = 0. Das zeigt dim(u + U ) = dimu + dim U. (7.3) Wähle nun eine Orthonormalbasis (b 1,...,b n ), die eine Basis (b 1,..., b s ) von U enthält. Dann ist (b s+1,...,b n ) eine linear unabhängige Menge in U, wegen (??) also eine Basis. Daraus folgt auch unmittelbar die Eindeutigkeit der Darstellung. 118

6 Bemerkung Wenn wir einen Vektorraum V in der Form V = W W k mit W i V schreiben können, und wenn zusätzlich gilt dass jeder Vektor eindeutig als Summe von Vektoren in W i geschrieben werden kann, sprechen wir von einer direkten Summe. Ein Beispiel einer solchen Zerlegung haben wir bereits kennengelernt, nämlich die Zerlegung in Eigenräume eines diagonalisierbaren Operators. Hier ist nun eine weitere Zerlegung, nämlich in einen Unterraum und sein orthogonales Komplement. Man schreibt im Falle einer direkten Summe auch V = W 1... W k. Wir werden uns im zweiten Semester intensiver mit Zerlegungen eines Vektorraums in T-invariante Unterräume beschäftigen. Korollar dim U + dimu = dimv. Lemma Ist U ein T-invarianter Unterraum, so ist U ein T -invarianter Unterraum. Beweis Sei w U. Dann gilt (v w) = 0 für alle v U, also auch (T(v) w) = (v T (w)) = 0 für alle v U. Das bedeutet T (w) U, was zu beweisen war. Satz Sei V ein endlichdimensionaler innerer Produktraum. Wenn T selbstadjungiert ist, so hat T einen Eigenwert. Beweis Sei B eine Orthonormalbasis von V, und sei A = [T] B B. Wir betrachten den durch A definierten linearen Operator C n C n, also x 1 A(. ) = A x n Weil A = A beschreibt A einen selbstadjungierten Operator auf C n. Das charakteristische Polynom hat eine Nullstelle γ C, weil in C jedes Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Es gibt also v C n mit Av = gammav. Wegen Satz ist γ reell und ist V ein reeller (also ein Euklidischer) Vektorraum, so können wir v R n wählen, weil A γi eine reelle singuläre Matrix ist. Also hat T in jedem Fall einen Eigenwert γ. Im reellen Fall konnten wir hier nicht einfach so tun, als ob T über C definiert ist. Deshalb der kleine Kunstgriff, die zu einer Darstellungsmatrix gehörende lineare Abbildung auf C n zu betrachten. Satz Sei V ein endlichdimensionaler innerer Produktraum, und sei T ein selbstadjungierter Operator auf V. Dann gibt es eine Orthonormalbasis von V, die aus Eigenvektoren von T besteht, d.h. T ist unitär diagonalisierbar. x 1. x n. 119

7 Beweis Wir wissen, dass T einen Eigenwert γ R hat. Sei v ein zugehöriger Eigenvektor mit v = 1. Sei W = v der von v aufgespannte Vektorraum. Das orthogonale Komplement von W ist T -invariant, also auch T-invariant. Nun ist W ebenfalls ein innerer Produktraum mit dim W = dimv 1. Wir setzen U := T W. Dann hat W mit Induktion eine Orthonormalbasis, die aus Eigenvektoren von U besteht. Korollar Ist A eine reelle symmetrische Matrix, so gibt es eine reelle orthogonale Matrix P so, dass P AP eine Diagonalmatrix ist. Wenn A bezüglich einer Orthonormalbasis in Diagonalgestalt dargestellt wird, so muss A symmetrisch sein (benutze (P AP) = P A P, also A = A weil P invertierbar). Zusammen mit Lemma erhalten wir Korollar Ein Operator in einem endlichdimensionalen Euklidischen Vektorraum wird genau dann bzgl. einer Orthonormalbasis in Diagonalgestalt dargestellt, wenn er selbstadjungiert ist. Im komplexen Fall gilt Korollar Ist A eine hermit sche komplexe Matrix, so gibt es eine unitäre Matrix P so, dass P AP eine Diagonalmatrix ist. Wir können nicht sagen, dass über V nur die selbstadjungierten Operatoren unitär diagonalisierbar sind, weil Lemma nur für reelle Vektorräume gilt! Lemma Sei V ein endlichdimensionaler innerer Produktraum, und sei T ein normaler Operator auf V. Dann gilt: v ist Eigenvektor on T zum Eigenwert γ genau dann wenn v ein Eigenvektor von T zum Eigenwert γ ist. Beweis Für normale Operatoren U gilt (Uv Uv) = (v U Uv) = (v UU v) = (U v U v). Ist γ ein Skalar, so ist T γid V normal (nachrechnen). Also gilt (T γid V )(v) = (T γid V )(v). Das zeigt: v ist Eigenvektor zum Eigenwert γ von T genau dann, wenn v Eigenvektro von T zum Eigenwert γ. Satz Ist T ein normaler Operator auf einem inneren Produktraum V. Wenn B = (b 1,..., b n ) eine Orthonormalbasis so ist, dass A := [T] B B eine obere Dreiecksmatrix ist, so ist T genau dann normal, wenn A eine Diagonalmatrix ist. Beweis Weil B orthonormal ist, ist A = [T ] B B. Wenn A eine Diagonalmatrix ist, so ist A eine normale Matrix, also ist T ein normaler Operator. 120

8 Sei nun umgekehrt T normal. Weil A = (α i,j ) = [T] B B eine obere Dreiecksmatrix ist, so gilt T(b 1 ) = α 1,1 b 1. Damit ist (Lemma ) b 1 auch ein Eigenvektor von T zum Eigenwert α 1,1. Wir können T (b 1 ) auch konkret ausrechnen: T (b 1 ) = n α 1,j b j (die α 1,j bilden die erste Spalte von T ). Das zeigt α 1,j = 0 für j > 1. Das zeigt α 1,2 = 0, also insbesondere T(b 2 ) = α 2,2 b 2, weil A eine obere Dreiecksmatrix ist. Das zeigt T (b 2 ) = α 2,2 b 2, also hat die zweite Spalte von T nur höchstens einen Eintrag 0, nämlich α 2,2. Die zweite Spalte von T ist aber die zweite Zeile von T. Fahre so fort. Wir zeigen nun, dass man jeden Operator auf einem endlichdimensionalen komplexen Vektorraum bzgl. einer Orthonormalbasis in oberer Dreiecksform darstellen kann: Satz Ist V ein endlichdimensionaler innerer Produktraum über C, so kann jeder lineare Operator auf V bzgl. einer Orthonormalbasis als obere Dreiecksmatrix dargestellt werden. Beweis Der Operator T hat mindestens einen Eigenwert γ mit Eigenwert v, weil das charakteristische Polynom von T mindestens eine Nullstelle hat. Wir betrachten das orthogonale Komplement W von v. Dieses ist T-invariant. Mit Induktion können wir annehmen, dass die Einschränkung von T auf W bzgl. einer Orthonormalbasis {b 1,... b n 1 } in einer oberen Dreiecksmatrix dargestellt werden. Bezüglich der Orthonormalbasis {b 1,...,b n } hat T eine obere Dreiecksmatrix als Darstellungsmatrix. Korollar Ein linearer Operator auf einem endlichdimensionalen komplexen inneren Produktraum ist genau dann unitär diagonalisierbar, wenn er normal ist. j=1 Beweis Lemma 7.4.4, Satz ,