Ingenieurmathematik für Maschinenbau, Blatt 1

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1 Ingenieurmathematik für Maschinenbau, Blatt 1 Probeklausur Ingenieurmathematik für Maschinenbau Studiengang Prüfungsfach Prüfer Prüfungstermin Prüfungsdauer Prüfungsunterlagen Hilfsmittel Maschinenbau Ingenieurmathematik Jonas, Kröger, Rademacher, Stry 120 Minuten 11 Blätter (einschließlich Deckblatt) mit insgesamt 10 Aufgaben 1 mathematische Formelsammlung oder Taschenbuch der Mathematik; 1 Lexikon Muttersprache Deutsch; 3 Blätter (6 Seiten) DIN A4-Skriptenauszug; Taschenrechner Name Vorname Matrikelnummer Unterschrift Vorlesung besucht bei: Stry/Jonas; Rademacher/Jonas; Kröger. Bitte beachten Sie: 1. Die Prüfungsunterlagen bestehen aus dem vorliegenden Aufgabensatz (11 Blätter einschließlich Deckblatt, insgesamt 10 Aufgaben). Bitte überprüfen Sie vor Beginn der Bearbeitung die Unterlagen auf Vollständigkeit. 2. Tragen Sie bitte Ihre persönlichen Angaben (Name, Vorname, Matrikelnummer, Unterschrift) ein. 3. Bearbeiten Sie bitte jede Aufgabe auf dem freien Platz der entsprechenden Aufgabenseite und gegebenenfalls deren Rückseite. Nur wenn der Platz nicht ausreichen sollte, lassen Sie sich bitte von der Aufsicht weiteres Papier geben. Es darf kein eigenes Schreibpapier benutzt werden. 4. Die erhaltenen Lösungen der Aufgaben sind durch Darlegung der Rechenwege inklusive Zwischenrechnungen zu begründen. Die Verwendung des Taschenrechners ist nur für die Auswertung von elementaren Rechenoperationen und elementaren Funktionen zulässig.. Nach Abschluss der Prüfung sind sämtliche Prüfungsunterlagen abzugeben. Viel Erfolg! Korrekturvermerke Aufgabe Σ Note Erstprüfer Zweitprüfer Punkte max. Punkte

2 Ingenieurmathematik für Maschinenbau, Blatt 2 Aufgabe 1: Bestimmen Sie im Bereich der komplexen Zahlen alle Lösungen (Wurzeln) der Gleichung z 4 = 8+j 8 3. Geben Sie die Lösung in Exponentialform an und zeichnen Sie die Lösungen in der komplexen Zahlenebene. [4 Punkte]

3 Ingenieurmathematik für Maschinenbau, Blatt 3 Aufgabe 2: Gegeben ist das folgende, vom reellen Parameter c R abhängige, Gleichungssystem 2x 3y +cz =, 4y +(c 2 +c)z = c, 2x+3y +(c 2 c 4)z = c 7. Für welche Parameterwerte von c hat das Gleichungssystem a) keine Lösung? b) genau eine Lösung? c) unendlich viele Lösungen? [ Punkte]

4 Ingenieurmathematik für Maschinenbau, Blatt 4 Aufgabe 3: Berechnen Sie für die beiden Matrizen ( ) A = und B = a) das Produkt B A, b) die inverse Matrix A 1. c) Warum kann det(b) nicht berechnet werden? [ Punkte]

5 Ingenieurmathematik für Maschinenbau, Blatt Aufgabe 4: Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Reihe k=1 k e k +1 (x 1)k. Geben Sie das größtmögliche offene Intervall (a, b) an, auf dem die Reihe konvergiert. Die Randpunkte brauchen nicht untersucht zu werden. [4 Punkte]

6 Ingenieurmathematik für Maschinenbau, Blatt 6 Aufgabe : Gegeben sei die Funktion f : R 2 R mit f(x,y) = (x 2 +y) e y. Für welche Punkte besitzt die Funktion f Extrema? Geben Sie im Falle lokaler Extrema an, ob ein lokales Minimum oder Maximum vorliegt. [ Punkte]

7 Ingenieurmathematik für Maschinenbau, Blatt 7 Aufgabe 6: Berechnen Sie die Bogenlänge der Kurve x(t) = 7cos(t) cos(7t), y(t) = 7sin(t) sin(7t), 0 t 2π. Hinweis: Nutzen Sie die Symmetrieeigenschaften und verwenden Sie die Gleichung sintsin ( (n+1)t ) +costcos ( (n+1)t ) = 1 2sin 2( n ) 2 t [ Punkte]

8 Ingenieurmathematik für Maschinenbau, Blatt 8 Aufgabe 7: Berechnen Sie die Gesamtmasse M des inhomogenen Kegels K = {(x,y,z) : 0 z 1 und 0 x 2 +y 2 2z} mit der Dichtefunktion ρ(x,y,z) = z (x 2 +y 2 ). Hinweis: Verwenden Sie Zylinderkoordinaten. [ Punkte]

9 Ingenieurmathematik für Maschinenbau, Blatt 9 Aufgabe 8: Gegeben sei das Vektorfeld F mit ( ) ysin(x)+y 2 F =. cos(x)+2yx a) Berechnen Sie den Wert des Kurvenintegrals entlang der Kurve ( ) πt C : r(t) =, 0 t 1. 1 b) Wie verändert sich der Wert des Kurvenintegrals aus Teil a), wenn Sie bei gleichem Anfangs- und Endpunkt lediglich den Verlauf der Kurve ändern? Begründen Sie Ihre Antwort. [ Punkte]

10 Ingenieurmathematik für Maschinenbau, Blatt 10 Aufgabe 9: Gegeben ist die Differenzialgleichung y (x)+x y(x) = x+e x2 /2. a) Weisen Sie nach, dassy h (x) = C e x2 /2 die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differenzialgleichung ist. b) Ermitteln Sie eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung mit der Methode der Variation der Konstanten. c) Wie lautet die allgemeine Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung? [6 Punkte]

11 Ingenieurmathematik für Maschinenbau, Blatt 11 Aufgabe 10: Gegeben ist das lineare Differenzialgleichungssystem ẋ 1 (t) = x 1 (t), ẋ 2 (t) = 2x 1 (t) 2x 2 (t). a) Schreiben Sie dieses System in Matrixform x(t) = A x(t). b) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des Differenzialgleichungssystems. [6 Punkte]