7. VEKTORRECHNUNG, ANALYTISCHE GEOMETRIE

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1 Vektoechnung Anltische Geometie 7. VEKTORRECHNUNG ANALYTISCHE GEOMETRIE 7.1. Vektoen () Definition Schiet mn einen Punkt P 1 im Koodintensstem in eine ndee Lge P so ist diese Schieung duch Ange des Upunktes P 1 und des Bildpunktes P eindeutig festgelegt. Dieses geodnete Punktep estimmt die oientiete (geichtete) Stecke P 1 P einen Pfeil von P 1 nch P. Pfeile die duch diesele Schieung entstehen sind gleich lng zueinnde pllel und gleich oientiet. Eine Klsse gleich lnge pllele und gleich oientiete Pfeile des Rumes heißt ein Vekto des Rumes. Ein Vekto des Rumes ist die Klsse lle zu einem gegeenen Pfeil pllelgleiche Pfeile. Vektoen sind gleich wenn sie diesele Klsse von Pfeilen dstellen. Vektoen weden mit deutschen Kleinuchsten ezeichnet ode es wid ds Pfeilsmol üe den Buchsten geschieen ( c...). Wählt mn im Rum (ode in de Eene) einen festen Punkt O (Uspung) so ist jede von O veschiedene Punkt P des Rumes (de Eene) duch den Pfeil OP eindeutig festgelegt. De Pfeil OP wid ls Otsvekto des Punktes P ezüglich des Uspunges O ezeichnet. Intepetiet mn die Ändeung de Koodinten vom Punkt P 1 zum Punkt P ls die Koodinten des Vektos so lssen sich diese ls Diffeenz de Koodinten de Punkte ngeen. Die Koodinten eines Vektos sind: = PP 1 = 1 1 = Es gilt lso die Mekegel: Spitze minus Schft. Die Koodinten eines Otsvektos sind somit die Koodinten de Spitze des Vektos

2 Vektoechnung Anltische Geometie Den Astnd de Punkte P 1 und P ezeichnet mn ls den Betg des Vektos. De Betg eines Vektos = ist: = + Duch Egänzen de Koodinte z sind die oigen Aussgen üe Vektoen de Eene uf den Rum eweite. Vektoen im Rum: = PP 1 = z = z z = + + z () Rechenopetionen mit Vektoen Vektoen weden ddiet zw. suthiet indem die jeweiligen Koodinten ddiet zw. suthiet weden. = = + = + + = Gphisch ist die Addition von Vektoen ls eine ufeinndefolgende Veschieung eines Punktes zu vestehen. Die Sutktion ist dnn eine Veschieung in die entgegengesetzte Richtung des Vektos. Ds Egenis de Addition zw. de Sutktion ist wiede ein Vekto. Vektoen weden mit eine eellen Zhl multipliziet indem die jeweiligen Koodinten mit diese Zhl multipliziet weden. = t t = t t R Die Multipliktion ist gphisch ls wiedeholte Veschieung eines Punktes zu vestehen. Ein negtive Fkto ewikt eine Richtungsändeung des Vektos in die entgegengesetzte Richtung. Ds Egenis de Multipliktion mit eine Zhl ist wiede ein Vekto

3 Vektoechnung Anltische Geometie Beispiel: Bestimmen Sie die Summe und die Diffeenz von = und 3 = = = = = Beispiel: Bestimmen Sie ds fünfche des Vektos c = ( 3) 15 5 = 5 = = c Die gphische Addition efolgt nch de Pllelogmmegel. Mn veschiet den Schft des einen Vektos in die Spitze des ndeen Vektos; die Summe de eiden Vektoen ist dnn die Digonle des entstehenden Pllelogmms vom Schft des esten zu Spitze des zweiten Vektos. Auch die Sutktion ist so duchfüh; schiet mn die Spitze des einen Vektos in die Spitze des ndeen so ist de Diffeenzvekto die Digonle des entstehenden Pllelogmms von Schft des esten zum Schft des zweiten Vektos. Vektoen und deen Vielfches sind zueinnde pllel hängig vom Vozeichen hen sie gleiche ode entgegengesetzte Richtung (Oientieung)

4 Vektoechnung Anltische Geometie (c) Spezielle Vektoen De Vekto o = 0 0 heißt Nullvekto. De Nullvekto ist ds neutle Element ezüglich de Addition von Vektoen. Ein Vekto mit dem Betg 1 heißt Einheitsvekto. Einen zu gehöenden Einheitsvekto 0 ehält mn indem mn die Koodinten des Vektos duch seinen Betg dividiet: 0 1 = Beispiel: Beechnen Sie den zu = 3 4 gehöenden Einheitsvekto. = = 5 = = Die Einheitsvektoen i = j 1 = in de Eene zw. 1 i = 0 j k 0 0 = 1 = 0 im Rum heißen Bsisvektoen des ktesischen Koodintensstems. Die Bsisvektoen fühen - vom Uspung us ufgetgen - zu den Einheitspunkten uf den Koodintnenchsen. Sind n Vektoen und t 1 t t 3... t n eelle Zhlen dnn heißt ein Vekto de Fom t t + t t n n eine Linekomintion de Vektoen i ( 1 i n). Jede Vekto läßt sich dhe ls Linekomintion de Bsisvektoen dstellen

5 Vektoechnung Anltische Geometie Beispiel: De Vekto von P 1 ( 1) nch P (6 3) ist duch Bsisvektoen dzustellen. 6 = P P = = = 4 i j = (d) Linee Ahängigkeit von Vektoen Ein Sstem von Vektoen n heißt line hängig wenn sich mindestens eine von ihnen ls Linekomintion de üigen Vektoen dstellen läßt. Vektoen die nicht line hängig sind heißen line unhängig. Vektoen sind lso line hängig wenn gilt: n = t + t + t tn n Vektoen ( o ) heißen kolline wenn jede Vekto ein eelles Vielfches eines elieigen ndeen Vektos des Sstem ist. Vektoen sind lso kolline wenn fü je zwei Vektoen gilt: = t c = t... 1 Beispiel: Untesuchen Sie o die Vektoen = und = 5 kolline sind = t = t = t t = 5 15 = 6 t t = 5 Die Vektoen sind lso kolline. Zwei ode mehee Vektoen heißen lso kolline wenn sie zu ein und deselen Geden pllel sind

6 Vektoechnung Anltische Geometie Vektoen ( o ) heißen kompln wenn sich jede Vekto eindeutig ls Linekomintion zweie Vektoen des Sstems dstellen läßt. Vektoen sind kompln wenn fü je dei Vektoen gilt: c = t + s... Beispiel: Untesuchen Sie o die Vektoen 3 = = 5 und c = 1 1 kompln sind. 1 3 c = t + s t s = I: 1= t 3s II: 1= t 5s III: 1= t + s t = s = 1 1= + 1 wa.. Die Vektoen sind kompln. Die oen gennnten Sätze lssen sich uch folgendemßen fomulieen: Zwei Vektoen sind genu dnn kolline wenn sie line hängig sind. Dei ode meh ls dei Vektoen heißen kompln wenn sie zu ein und deselen Eene im Rum pllel sind. De Nullvekto ist zu jedem Vekto kolline und zu jedem P von Vektoen kompln

7 Vektoechnung Anltische Geometie 7.. Multipliktion von Vektoen () Ds skle Podukt Ds skle Podukt de Vektoen und ist definiet duch: = = + = z z = + + z Ds skle Podukt zweie Vektoen liefet lso eine eelle Zhl ls Egenis ein sogennntes Skl. Sondefälle: = = o = 0 Betchtet mn zwei Vektoen und und die vektoielle Pojektion von uf so knn mn folgende Zusmmenhänge feststellen: A ( ) B ( ) Ss ( s) s = s = = s = + = + s = s + s SB = s = + s s SB = AB SA = ( ) + ( ) ( s ) ( s ) Setzt mn die Ausdücke gleich so folgt: + s s = s s + s s Nch dem Zusmmenfssen egit sich: + = s + s Ds skle Podukt zweie Vektoen ist gleich dem sklen Podukt eines Vektos und de vektoiellen Pojektion des ndeen Vektos uf diesen Vekto

8 Vektoechnung Anltische Geometie Hen zwei Vektoen und 1 die gleiche Pojektion uf einen Vekto so ist ds skle Podukt gleich dem sklen Podukt. 1 Füht mn die voige Beechnung fü die Pojektion von uf duch so egit sich: Ds skle Podukt ist: = s = s s s vektoielle Pojektionen Egit sich ei de Beechnung des sklen Podukts ein negtive Wet so ist die Pojektion mit dem Vekto uf den pojiziet wid entgegengesetzt oientiet. Beechnet mn ds Podukt de Längen eines Vektos und de Pojektion uf ihn egit sich: s= ± + s + s = ± s + s + s + s = ± ( s + s) + ( s s) D und s uf eine Geden liegen gilt fü die Koodinten de Sthlenstz: s = und s s = 0 s Dmit egit sich fü ds oen eechnete Podukt de Längen: s= ± ( s + s) = s + s = Ds skle Podukt zweie Vektoen ist ds Podukt de Längen eines Vektos und de Länge de vektoiellen Pojektion des ndeen Vektos uf diesen Vekto vesehen mit einem Vozeichen hängig von de Richtung de Pojektion. Ds skle Podukt ist genu dnn Null wenn eine de Vektoen de Nullvekto ist ode wenn die Länge de Pojektion gleich Null ist. Ds ist e nu dnn de Fll wenn die eiden Vektoen ufeinnde noml stehen. Othogonlitätsedingung: Ds skle Podukt zweie Vektoen ist genu dnn gleich Null wenn die eiden Vektoen ufeinnde noml stehen: + =

9 Vektoechnung Anltische Geometie () Ds vektoielle Podukt Sind und zwei Vektoen des Rumes so heißt de Vekto c = ds vektoielle Podukt (ds Keuzpodukt) von und: c = = z z z z z z = ( ) Mn spicht dhe uch keuz. Ds Egenis diese vektoiellen Multipliktion ist wiede ein Vekto. Ds vektoielle Podukt ist uch in de Deteminntenscheiweise dstell: c = = = z z z z z z Die Beechung ist dhe in de Pis einfch; mn steicht jeweils eine Koodintenzeile de eiden Vektoen und ildet die Diffeenz de Keuzpodukte de veleienden Koodinten die zweite Diffeenz ist mit einem Minus zu vesehen. Wie leicht zu üepüfen ist gilt fü ds vektoielle Podukt: Altentives Gesetz: = ( ) Sind zwei Vektoen pllel so ist ds vektoielle Podukt de Nullvekto: = t = t = t z z = o Bildet mn ds skle Podukt eines de Vektoen mit dem vektoiellen Podukt c = diese Vektoen so ist ds Egenis gleich Null: c = ( ) = 0 c = ( ) = 0 Ds vektoielle Podukt c = steht noml uf die Vektoen und. c c Die Vektoen und c ilden dei ein sogennntes Rechtssstem

10 Vektoechnung Anltische Geometie De Betg des vektoiellen Podukts etägt: c = = ( z z) + ( z z) + ( ) Betchtet mn den Flächeninhlt eines Pllelogmms ds duch zwei Vektoen ufgespnnt wid so gilt: A = h = h zw. A = h Die Höhe h ist nch dem pthgoäischen Lehstz mit s ls Pojektion von uf : h = s Somit gilt fü den Flächeninhlt: A = ( s) = s = ( s) In de vektoiellen Scheiweise egit sich lso: A = ( ) Beechnet mn diesen Flächeninhlt mit den entspechenden Koodinten im Rum so folgt: z z z z z z z z A = ( + + )( + + ) ( + + ) =... = ( ) + ( ) + ( ) De Flächeninhlt des duch die Vektoen und ufgespnnten Pllelogmms ist gleich dem Betg des vektoiellen Podukts c = : A = (c) Nomlvektoen Ein Vekto n o de uf einen gegeenen Vekto o noml steht heißt Nomlvekto zu. Fü die Vektoen und n gilt die Othogonlitätsedingung: n = 0 De Nomlvekto zu = in de Eene lutet: n = und n = 1 Im Rum können jedem Vekto unendlich viele Nomlvektoen zugeodnet weden. Legt mn diese Nomlvektoen in eine Eene so egit sich eine sogennnte Nomleene. Jedem Vektop läßt sich im Rum ein Nomlvekto zuodnen. Es ist dies de Vekto n=. De Nomlvekto im Rum zu einem Vektop und lutet: n= - 3 -

11 Vektoechnung Anltische Geometie 7.3. Anltische Geometie Anltische Geometie nennt mn denjenigen Teil de Mthemtik in dem Punkte Geden Eenen und ndee geometische Geilde duch Zhlen und die zwischen diesen Geilden estehenden Beziehungen duch Gleichungen dgestellt weden. Mn füht lso die Aufgen de Geometie uf Aufgen de Alge zuück. Im folgenden Aschnitt eschäftigt sich vo llem mit de Anwendung de Vektoechnung innehl de nltischen Geometie. Die eeits eknnte Gedengleichung steht m Beginn diese Ausfühungen um eine Vostellung vom echneischen Umgng mit Vektoen zu ehlten. () Gleichung de Geden Duch zwei Punkte ist eine Gede eindeutig festgelegt. Will mn einen Punkt de Geden eeichen so muß mn sich vom Uspung zu einem eknnten Punkt P und dnn weite in Richtung eines zweiten eknnten Punktes Q (ode entgegengesetzt) ewegen. Dies ist eeits die vektoielle Vogngsweise zu Festlegung de Gedengleichung. De Otsvekto p füht zum Punkt P de Richtungsvekto vom Punkt P zum Punkt Q. Multipliziet mit einem eellen Pmete t git t die Richtung zum Eeichen lle weiteen Punkte de Geden n. Pmetedstellung de Geden: p t = + In Koodintenfom edeutet dies folgendes: Koodintenfom: = p + t = p + t = p + t = p + t z = p + t z z Beispiel: Estellen Sie die Gedengleichung duch P(-5-1) und Q(-1 9) = = g t = :

12 Vektoechnung Anltische Geometie Ist n ein Nomlvekto eine Geden so steht e uf jeden Richtungsvekto de Geden noml. Mit de Othogonlitätsedingung des sklen Podukts läßt sich dmit eine Nomlvektofom de Geden festlegen. Nomlvektofom: n ( p) = 0 n = n p Beispiel: Estellen Sie die Gedengleichung duch P(-5-1) und n = 5. 5 = g: = 3 Scheit mn die Gedengleichung in Pmetefom in ihe Koodintenfom n so ehält mn ein Gleichungssstem mit dem Pmete t. In de eenen Dstellung mit zwei Gleichungen läßt sich diese Pmete eliminieen und mn ehält nch Umfomen die eknnte Gedengleichung = k+d. In äumliche Dstellung ehält mn dei Gleichungen; de Pmete läßt sich us je zwei Gleichungen eliminieen und mn ehält zwei Gleichungen de Fom ++cz = d. Eine Gede im Rum ist duch zwei Gleichungen estimmt; wi weden im Aschnitt üe Eenen sehen dß es sich um die Schnittgede zweie Eenen hndelt. Beispiel: Mchen Sie die Gedengleichung g: t = pmetefei. I: = 3+ t II: = 7 + 4t ( ) I: = 6 4t g: + = 1 Beispiel: Mchen Sie die Gedengleichung g: 3 t = pmetefei. z 4 5 I: = 3 t II: = 7 + t III: z = 4 + 5t I + II: + = 11 5 II + III: 5 + z = 31 g:( + = 11) ( 5 + z = 31)

13 Vektoechnung Anltische Geometie Die Lgeuntesuchung zweie Geden zueinnde efolgt nch dem Gleichsetzungsvefhen. Beispiel: Schneiden Sie die Geden g: t 4 = + 76 und h: s = I: 4 + 7t = 5 + s II: 6t = 1+ 5s 6 I + 7 II: 10 = s s = = = 4 S( 34 ) () Gleichung de Eene Im Rum spnnen zwei von einem Punkt P usgehende Vektoen eine Eene ε uf. Dmit egit sich wie ei de Gedengleichung eine Pmetedstellung. Pmetedstellung de Geden: p s t = + + Koodintenfom: = p + s + t = p + s + t z = p + s + t z z z Beispiel: Estellen Sie die Eenengleichung duch die Punkte P(1 1 0) Q( 7 4) und R(6 3 1) = + = = + = s t = + + ε: 1 6 z

14 Vektoechnung Anltische Geometie Ist n ein Nomlvekto de Eene so steht e uf lle Vektoen de Eene noml. Mit de Othogonlitätsedingung des sklen Podukts läßt sich dmit wiede eine Nomlvektofom de Eenengleichung ufstellen. Nomlvektofom: n ( p) = 0 n = n p Scheit mn die Eenengleichung in ihe Koodintenfom n so ehält mn ein Gleichungssstem mit den Pmeten s und t. Aus jeweils zwei Zeilen läßt sich dnn ein Pmete eliminieen den veleienden Pmete knn mn us den eiden sich egeenden Gleichungen eliminieen. Dmit ehält mn eine Eenengleichung de Fom ++cz = d. Beispiel: Mchen Sie die Eenengleichung ε: s t = pmetefei. z I: = 1+ s + 5t II: = 1 6s t III: z = 4s t iv = I + 5 III: + 5z = 1+ 1s V = II III: z = 1 14s IV + 3 V = z = 1 ε: z = 1 Will mn zwei Eenen schneiden so egit sich in pmetefeie Fom ein Gleichungssstem zweie Gleichungen mit dei Vilen. Setzt mn fü eine Vile (z.b. fü z) einen feien Pmete t so knn mn die ndeen Vilen duch diesen Pmete usdücken. Es egit sich dmit gleichzeitig eine Pmetedstellung de Lösung; ds ist im Nomlfll eine Gede im Rum. Beispiel: Schneiden Sie die Eenen ε : z = 1 und ε : 6 13z = 7. 1 I: + 3 = 1 4t II: 6 = t I II: 15 = 15 30t = 1 t = 1+ t z = t 1 g: 1 t 1 = + z

15 Vektoechnung Anltische Geometie Als Sondefälle können die Eenen pllel ode ident sein. Ds Gleichungssstem füht dnn zu eine flschen ode eine llgemeinen when Aussge. Ds Schneiden deie Eenen füht zu einem Gleichungssstem deie Gleichungen in dei Vilen. Es können vie unteschiedliche Fälle einteten nämlich ein Schnittpunkt eine Schnittgede idente Eenen ode disjunkte Eenen. (c) Lgeeziehung Gede - Eene D eine Gede im Rum duch zwei Gleichungen gegeen ist füht ds Schneiden eine Geden mit eine Eene zu einem Gleichungssstem deie Gleichungen in dei Vilen. Es können dei unteschiedliche Fälle einteten nämlich ein Schnittpunkt mit de Eene ein pllele Veluf de Geden zu Eene ode ds Liegen de Geden in de Eene. Beispiel: Schneiden Sie g: z = 1 6 8z = 3 mit de Eene ε: z = 1. { } g ε = S S( 13 ) Beispiel: Schneiden Sie g: z = z = 10 mit de Eene z = 1. IV = 5 I 3 II: z = 80 V = I 3 III: z = 103 IV 7 V: 0 = 441 g ε = {} Beispiel: Schneiden Sie g: z = z = 7 mit de Eene z = 1. IV = 3 I 8 II: 3 + 8z = 11 V = I 4 II: 3 8z = 11 IV + V: 0 = 0 g ε = { g}

16 Vektoechnung Anltische Geometie (d) Astnd Punkt - Gede/Eene De küzeste Astnd eines Punktes Q von eine Geden g in de Eene zw. von eine Eene ε im Rum ist de Nomlstnd d. Mit de Othogonlitätsedingung läßt sich dmit diese Astnd d eechnen. Nomlstnd: n 0 Einheitsnomlvekto d = Q n p 0 ( q) In de Koodintenscheiweise edeutet dies: Nomlstnd von g: d Q = n q + n q + c n + n von ε: d Q = n q + n q + n q + d z z n + n + n z Den Nomlvekto knn mn ufgund de Definition de Nomlvektofom de Geden und de Eene diekt us de Gleichung lesen. Nomlvekto von g: + + c = 0 n = von ε: + + cz + d = 0 n = c Beispiel: Beechnen Sie den Astnd des Punktes Q( 4) von g:3 4 = 5. d Q = = 15 = 3 5 Anlog ehält mn den Astnd eines Punktes Q von eine Geden g im Rum mit Hilfe des vektoiellen Podukts. Nomlstnd Punkt - Gede im Rum d = ( Q p q ) 0 Hieei wid wiede de Einheitsichtungsvekto de Geden fü ds vektoielle Podukt vewendet

17 Vektoechnung Anltische Geometie Beispiel: Beechnen Sie den Astnd des Punktes Q(-1 3 -) von g: 3 3 t = + 4 z 1 1 d Q = = 1 = = (e) Winkel zwischen Geden OS s Im neenstehenden echtwinkligen Deieck OSB gilt: cos( ϕ ) = = OB Nch dem sklen Podukt gilt: = sunds= Dus folgt: cos( ϕ ) = Diese Fomel ist uch im Rum gültig um den Winkel zwischen zwei Vektoen zu eechnen. Winkel zwischen zwei Vektoen und: cos( ϕ ) = Beispiel: Beechnen Sie den Winkel zwischen = 7 und = 6 5. cos( ϕ) = = 0 33; ϕ = Fü zwei Geden mit den Anstiegen k 1 und k gilt fü die Beechnung des Winkels: k k1 Winkel zwischen zwei Geden mit k 1 und k : tn( ϕ ) = 1+ k k

18 Vektoechnung Anltische Geometie 7.4. Anltische Behndlung de Kegelschnitte Im folgenden Aschnitt sollen die sogennnten Kegelschnitte echneisch ehndelt weden. Als Kegelschnitte weden jene geometischen Figuen ezeichnet die eim Schnitt eines Kegels mit eine Eene entstehen. Mn knn zwischen sieen Kegelschnitten untescheiden nämlich Punkt Gede Deieck Keis Ellipse Hpeel und Pel. Die esten dei Punkt Gede und Deieck wuden in den isheigen Aschnitten usfühlich ehndelt; im folgenden eschänken wi uns uf die kummlinigen Kegelschnitte. () Keis Ein Keis k ist die Menge lle Punkte de Eene die von einem Punkt M (Mittelpunkt) den gleichen Astnd (Rdius) hen: k = { X ε XM= } Die Koodinten eines Keises dessen Mittelpunkt im Uspung liegt ilden mit dem Rdius ein echtwinkliges Deieck in dem de pthgoäische Lehstz gilt. Gleichung des Keises mit M(0 0) k: + = Ist de Mittelpunkt M(u v) us dem Uspung veschoen so gilt die oige Fomel wenn mn die Koodinten des Mittelpunkts jeweils von den Koodinten des Punktes X( ) zieht. Gleichung des Keises mit M(u v) k: ( u) + ( v) = Von den möglichen Lgen eine Geden zum Keis (Pssnte Tngente Seknte) ist nu fü die Tngente eine llgemeine Gleichung inteessnt. Gleichung de Tngente in T( 1 1 ) t:( u)( u) + ( v)( v) =

19 Vektoechnung Anltische Geometie Es läßt sich jedoch fü eine Gede eine sogennnte Beühedingung heleiten die Auskunft üe die Lge eine Geden g zu einem Keis k git. Beühedingung fü g: = k + d und k: M(u v) ( uk v+ d) = ( k + 1 ) () Ellipse Die Ellipse ist die Menge lle Punkte X de Eene fü die die Summe de Astände l 1 und l von zwei festen Punkten F 1 und F den Bennpunkten konstnt ist. Ellipse: ell = { X ε XF1+ XF = } Die Punkte A und B sind die Huptscheitel C und D sind die Neenscheitel. F 1 und F heißen Bennpunkte die Stecken OF 1 und OF sind die Bennweite e (linee Ezentität). Die Stecke AB ist die Huptchse mit de Länge CD ist die Neenchse mit de Länge. Es gelten folgende Zusmmenhänge: = + e Gleichung de Ellipse: + = + = 1 Die Lge de oigen Ellipse ezeichnet mn ls Ellipse in 1. Huptlge. Eine Ellipse in. Huptlge ist um 90 Gd gedeht. Diese Aschnitt eschäftigt sich nu mit Ellipsen in 1. Huptlge. Fläche de Ellipse: A = π

20 Vektoechnung Anltische Geometie Auch ei de Ellipse etchten wi die Tngentengleichung und die Beühedingung. Tngentengleichung im Punkt T( 1 1 ) t: + = 1 1 Beühedingung fü g: = k+ d und ell: k + = d (c) Hpeel Die Hpeel ist die Menge lle Punkte X de Eene fü die de Betg de Diffeenz de Astände l 1 und l von zwei festen Punkten F 1 und F den Bennpunkten konstnt ist. Hpeel: hp = { X ε XF1 XF = } Die Punkte A und B sind die Huptscheitel C und D sind die Neenscheitel. F 1 und F heißen Bennpunkte die Stecken OF 1 und OF sind die Bennweite e (linee Ezentität). Die Stecke AB ist die Huptchse mit de Länge CD ist die Neenchse mit de Länge. Es gelten folgende Zusmmenhänge: e = + Gleichung de Hpeel: = = 1 Die Lge de oigen Hpeel ezeichnet mn ls Hpeel in 1. Huptlge. Eine Hpeel in. Huptlge ist um 90 Gd gedeht. Diese Aschnitt eschäftigt sich nu mit Hpeeln in 1. Huptlge. Tngentengleichung im Punkt T( 1 1 ) t: = Beühedingung fü g: = k+ d und hp: k = d

21 Vektoechnung Anltische Geometie (d) Pel Die Pel ist die Menge lle Punkte X de Eene die von eine festen Linie l de Leitlinie und einem festen Punkt F dem Bennpunkt gleichen Astnd hen. Pel: p = { X ε Xl = XF} Den Punkt S(0 0) ezeichnet mn ls Scheitel F ls Bennpunkt. De Astnd zwischen de Leitlinie l und dem Bennpunkt ist de Pmete p. Die Stecke OF ist die Bennweite e die Gede g(sf) ist die Pelchse. Gleichung de Pel in 1. Huptlge = p Tngentengleichung im Punkt T( 1 1 ) t: = p( + ) 1 1 Beühedingung fü g: = k+ d und p: p p = kd Die Pel in. Huptlge soll ufgund des häufigen Auftetens diesml uch ngefüht weden. Gleichung de Pel in. Huptlge = p Betchtet mn zwei Kegelschnitte so ist de folgende Begiff von Bedeutung. Zwei Kegelschnitte heißen konfokl wenn sie gemeinsme Bennpunkte hen

22 Vektoechnung Anltische Geometie Anhng: Üungseispiele zum 7. Kpitel 7/1 Stellen Sie die Vektoen zwischen folgenden Punkten uf: ) A(3 ) B(7 4) ) C( 1 3) D(1 3) c) E( 4 7) F( 3) d) G( 1 0) H( 3 11) 7/ Beechnen Sie die Länge de Vektoen us Beispiel 7/1. 7/3 Bilden Sie die Summe und die Diffeenz de folgenden Vektoen: ) = 1 = 3 4 ) = 4 = c) P(1 3) Q(3 1) R( 1 3) d) P( ) Q(7 3 5) R( ) 7/4 Bestimmen Sie ds Viefche sowie ein Dittel de Vektoen us Beispiel 7/3. 7/5 Bstimmen Sie gphisch den Summen- und den Diffeenzvekto de folgenden Vektoen: ) = = ) = 6 = c) = 1 = 1 d) = =

23 Vektoechnung Anltische Geometie 7/6 Beechnen Sie die Einheitsvektoen de folgenden Vektoen: ) = = ) = 6 = c) = 1 = 1 d) = = 4 1 7/7 Stellen Sie die folgenden Vektoen ls Linekomintion de Bsisvektoen d: ) P(1 5) Q(4 3) ) R( 6) S(9 9) c) T(4 4 4) U(7 8 0) d) V( ) W( ) 7/8 Üepüfen Sie o folgende Vektoen line hängig sind: ) = 3i j = i + 3j c = 3i + j ) = i j = i 4j c = i + j c) u= i j + k v = i + j k w = i + 4j k d) u= 3i + k v = i + 5j + k w = i + 3j k 7/9 De Vekto s = i + 4 j k soll in Richtung de folgenden Vektoen zelegt weden: ) u= 3i + j k v = i + 3j k w = i j 3k ) u= 3i + j + k v = i + 3j k w = i + j 3k c) u= i j + k v = i + j k w = i + 4j k d) u= 3i + k v = i + 5j + k w = i + 3j k

24 Vektoechnung Anltische Geometie /10 Beechnen Sie ds skle Podukt de folgenden Vektoen: ) = = ) = = c) = = d) = = /11 Vesuchen Sie eine Fomel zu Beechnung des Pojektionsvektos ufzustellen. Fühen Sie dies pktisch nhnd de Vektoen us Beispiel 7/10 duch. 7/1 Vesuchen Sie eine Fomel zu Beechnung des Winkels zwischen zwei Vektoen ufzustellen. 7/13 Beechnen Sie ds vektoielle Podukt de folgenden Vektoen: ) P(1 3) Q(3 1) R( 1 3) ) U(7 8 0) V( ) W( ) c) = = d) = = /14 Zeigen Sie nhnd de Vektoen us Beispiel 7/13 dß ds vektoielle Podukt zweie Vektoen uf diese Vektoen noml steht.

25 Vektoechnung Anltische Geometie 7/15 Beechnen Sie den Flächeninhlt des Pllelogmms ds duch folgende Vektoen ufgespnnt wid: ) 1 = 4 = ) 0 = 5 = /16 Stellen Sie die Nomlvektoen zu folgenden Vektoen uf: ) = = ) = 6 = c) = 1 = 1 d) = = 4 1 7/17 Estellen Sie die Gedengleichung duch die folgenden Punkte: ) P(1 5) Q(4 3) ) R( 6) S(9 9) c) T(4 4 4) U(7 8 0) d) V( ) W( ) 7/18 Gegeen ist ds Vieeck A( 3 0) B(4 1) C(3 3) und D( 1 4). Stellen Sie die Gleichungen de Tägegeden de Seiten und de Digonlen uf. 7/19 Stellen Sie fest o die folgenden Punkte uf eine Geden liegen: ) A( 3) B(10 7) C( 6 1) ) A(3 4 ) B( 1 3 5) C( )

26 Vektoechnung Anltische Geometie 7/0 Mchen Sie die folgenden Geden pmetefei: ) ) c) d) t = t = t = z t = z 6 0 7/1 Emitteln Sie eine Pmetedstellung de folgenden Geden: ) g:7 5 = 3 ) g:3+ 4 = 5 c) g: + 3 = 0 d) g: 5 = 0 e) g:( 3 8z = 3) ( z = ) 7/ Schneiden Sie die folgenden Geden: ) g[ A( 1 ) B( 3 )] h[ C( 4 5) D( 54 )] ) g[ A( 51 ) B( 1 3)] h[ C( 1 1) D( 3 4)] c) g[ A( 1510 ) B( )] h[ C( 9 1 4) B( )] d) ga [ ( 13 1) B( 3 3 )] hc [ ( ) B( 17 1)] 7/3 Stellen Sie die Gleichungen de Eenen duch die folgenden Punkte uf: ) P(1 3) Q(3 1) R( 1 3) ) U(7 8 0) V( ) W( ) c) A(3 4 ) B( 1 3 5) C( )

27 Vektoechnung Anltische Geometie 7/4 Mchen Sie die Eenen us Beispiel 7/3 pmetefei. 7/5 Schneiden Sie die folgenden Eenen: ) ε : 6 8z = 3 ε : + 4 5z = 1 1 ) ε : 3+ + z = 3 ε : + 3 z = 1 c) ε : 3 + 4z = 11 ε : 3z = 9 ε : + 3+ z = d) ε : 4+ 5z = 10 ε : + 1z = 16 ε : z = e) ε : + 3 z = 3 ε : + 5z = ε : z = /6 Bestimmen Sie den Astnd de Punkte von de Geden g[a( 4 8)B( 0)]: ) P(5 6) Q(1 7) ) R( 6 1) S(8 3) 7/7 Beechnen Sie die Längen de Höhen im Deieck A( 4 6) B(5 6) und C(7 8). 7/8 Emitteln Sie den Nomlstnd de eiden pllelen Geden g: = 0 und h:3 4 5= 0. 7/9 Beechnen Sie den Astnd de Punkte von de Geden g[a(4 3 1)B(3 4 )]: ) P( 3 1 7) Q(4 4 ) ) R(1 4) S( 4 ) 7/30 Beechnen Sie den Winkel zwischen folgenden Vektoen: ) = = ) = 6 = c) 1 = 4 =

28 Vektoechnung Anltische Geometie 7/31 Stellen Sie die Gleichung de folgenden Keise uf: ) k: M(0 0) = ) k: M(7 1) = 5 c) k: M(0 ) = 10 d) k: M( 1 0) = 1 7/3 Emitteln Sie den Mittelpunkt und den Rdius folgende Keise: ) k: = 0 ) k: = 0 7/33 Schneiden Sie folgende Keise und Geden: ) k: = 0 g: + = 1 ) k: = 0 g[a(0 3)B(4 3)] 7/34 Stellen Sie in den Schnittpunkten us Beispiel 7/33 die Tngenten n den Keis uf. 7/35 Eichten Sie vom Punkt P us die Tngenten n die folgenden Keise: ) k: + = 10 P(6 8) ) k: ( 3) + ( 1) = 5 P(8 6) 7/36 Stellen Sie die Gleichungen de Ellipsen uf: ) = 10 = 5 ) = 8 e = 6 c) = 5 e = 3 d) P(36 4) Q( 48 3) 7/37 Emitteln Sie die Schnittpunkte de Geden und de Ellipsen: ) ell:4 + 5 = 100 g: + 3 = 50 ) ell:9 + 4 = 36 g:4 + 5 =

29 Vektoechnung Anltische Geometie 7/38 Eichten Sie vom Punkt P us die Tngenten n die folgenden Ellipsen: ) ell: + = 54 P(18 9) ) ell: + 3 = 10 P(15 5) 7/39 Stellen Sie die Gleichungen de Hpeeln uf: ) = 10 = 5 ) = 5 e = 38 c) = 30 e = 4 d) P(4 3) Q(6 6) 7/40 Emitteln Sie die Schnittpunkte de Geden und de Hpeeln: ) hp: = 7 g: = ) hp: = 15 g:3 = 10 7/41 Eichten Sie vom Punkt P us die Tngenten n die folgenden Hpeeln: ) hp:4 3 = 96 P(8 8) ) hp:3 = 39 P( 15) 7/4 Stellen Sie die Gleichungen de Peln in 1. und. Huptlge uf: ) p = ) P( ) Q(3 4) 7/43 Emitteln Sie die Schnittpunkte de Geden und de Peln: ) p: = 4 g: 5 = 1 ) p:4 = g: = 6 7/44 Eichten Sie vom Punkt P us die Tngenten n die folgenden Peln: ) p: = 3 P( 6 15) ) p: = 4 P( 1)