Was bisher geschah: Formale Sprachen

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Jasper Kästner
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1 Was isher geschah: Formale Sprachen Alphaet, Wort, Sprache Operationen und Relationen auf Wörtern und Sprachen reguläre Ausdrücke: Syntax, Semantik, Äquivalenz Wortersetzungssysteme Wortersetzungsregeln und -systeme Aleitungen, Aleitungsgraph durch Wortersetzungssysteme definierte Sprachen Wortprolem in Wortersetzungssystemen im Allgemeinen nicht algorithmisch lösar, aer algorithmisch lösar für nichtverlängernde Systeme nichtverkürzende Systeme Grammatiken Terminal-, Nichtterminalsymole Aleitungen in Grammatiken durch Grammatiken definierte Sprachen Äquivalenz von Grammatiken Chomsky-Hierarchie für Grammatiken und Sprachen 70

Wortersetzungssystemen im Allgemeinen nicht algorithmisch lösar, aer algorithmisch lösar für nichtverlängernde Systeme nichtverkürzende Systeme Grammatiken

2 Wortprolem für Typ-1-Sprachen gegeen : Grammatik G = (N, T, P, S) vom Chomsky-Typ 1, Wort w T Frage : Gilt w L(G)? Satz Es existiert ein Algorithmus, welcher für jede elieige Eingae (G, w), woei T ein endliches Alphaet, w T und G eine monotone Grammatik (Chomsky-Typ 1) üer T sind die Wahrheit der Aussage w L(G) korrekt eantwortet. (folgt aus entsprechendem Satz für nichtverkürzende Wortersetzungssysteme) demnächst spezielle (effizientere) Verfahren für Grammatiken vom Chomsky-Typ 2 und 3 71

monotone Grammatik (Chomsky-Typ 1) üer T sind die Wahrheit der Aussage w L(G) korrekt eantwortet.

3 Dyck-Sprache Klammerpaar ( und ) Dyck-Sprache: Menge aller korrekt geklammerten Ausdrücke erzeugt durch Grammatik Beispiele: ()(()()) L(G) ())( L(G) ε L(G) Achtung: G hat Chomsky-Typ 0 G = ({S}, {(, )}, P, S) mit S ε P = S SS S (S) Dyck-Sprache hat Chomsky-Typ 2 72

L(G) ())( L(G) ε L(G) Achtung: G hat Chomsky-Typ 0 G = ({S}, {(,

4 Allgemeine Dyck-Sprachen Menge aller korrekt geklammerten Ausdrücke mit n Paaren von Klammern: ( i, ) i für i {1,..., n} erzeugt durch Grammatik G = ({S}, {( i, ) i i {1,..., n}}, P, S) mit { } S ε P = {S ( S SS i S) i i {1,..., n}} Symole müssen nicht notwendig Klammern sein, z.b. aacdacaadcad Dyck-Sprache mit a statt ( 1, statt ) 1, c statt ( 2 und d statt ) 2 73

.., n}}, P, S) mit { } S ε P = {S ( S SS i S) i i {1,.

5 Beispiel HTML mehrere Paare öffnender und schließender Klammern (Tags) <html> <head> <title> Theoretische Informatik </title> </head> <ody> <h1> Theoretische Informatik </h1>... </ody> </html> 74

6 Wiederholung: azählare Mengen (Mathematik 1. Semester) Eine Menge M heißt genau dann azählar, wenn sie höchstens so mächtig wie N ist. (also eine surjektive Funktion f : N M existiert) Mit dem ersten Diagonalverfahren von Cantor lässt sich z.b. zeigen: Z und Q sind azählar. Für jedes endliche Alphaet A ist die Menge A aller Wörter üer A azählar. Für jedes endliche Alphaet A ist jede Sprache L A azählar. Mengen, die nicht azählar sind, heißen üerazählar. 75

(also eine surjektive Funktion f : N M existiert) Mit dem ersten Diagonalverfahren von Cantor lässt sich z.b.

7 Beispiele üerazählarer Mengen Mit dem zweiten Diagonalverfahren von Cantor lässt sich zeigen: R ist üerazählar (mächtiger als N). (Es git üerazählar viele reelle Zahlen.) [0, 1] R ist üerazählar. (Intervall [0, 1] enthält üerazählar viele reelle Zahlen.) 2 N (Menge aller Mengen natürlicher Zahlen) ist mächtiger als N. (Üerazählarkeit der Menge 2 N ) Es git üerazählar viele Mengen natürlicher Zahlen. 2 {0,1} Menge aller Sprachen L {0, 1} ist mächtiger als {0, 1}. (Es git üerazählar viele Sprachen üer dem Alphaet {0, 1}.) 2 (A ) ist für elieiges endliches Alphaet A mächtiger als A (Für jedes endliche Alphaet A ist die Menge aller Sprachen üer A üerazählar. ) 76

) 2 N (Menge aller Mengen natürlicher Zahlen) ist mächtiger als N. (Üerazählarkeit der Menge 2 N ) Es git üerazählar viele Mengen natürlicher Zahlen.

8 Lässt sich jede Sprache durch eine Grammatik erzeugen? Existiert für jedes endliche Alphaet A zu jeder Sprache L A eine Grammatik G mit L = L(G)? Nein (Gegeneispiel später) Begründung: 1. Wieviele Sprachen L A git es? (Mächtigkeit von 2 (A ) ) üerazählar viele 2. Wieviele Grammatiken üer dem endlichen Alphaet A git es? azählar viele, weil Alphaet A = A {(, ),,, {, },, ε} endlich Menge (A ) aller Wörter üer A azählar jede Grammatik üer A ist ein Wort aus (A ) (endliche Beschreiung) Menge aller Grammatiken üer A ist Teilmenge der azählaren Menge (A ), also selst azählar Damit existieren sogar sehr viel mehr (üerazählar viele) Sprachen, die nicht durch Grammatiken eschrieen werden können. 77

azählar viele, weil Alphaet A = A {(, ),,, {, },, ε} endlich Menge (A ) aller Wörter üer A azählar jede Grammatik üer A ist ein Wort aus (A ) (endliche Beschreiung) Menge

9 Zustandsüergangssystem Münzschließfach fg S O Z A S G fo o g O Aktionen: A aufschließen Z zuschließen O Tür öffnen S Tür schließen G Geld einwerfen Zustände : fg frei, Tür zu fo frei, Tür offen o ezahlt, Tür offen g ezahlt, Tür zu elegt 78

Tür schließen G Geld einwerfen Zustände : fg frei, Tür zu

10 Endliche Automaten Definition NFA (nondeterministic finite automaton) A = (X, Q, δ, I, F ) mit X endliches Alphaet, Q endliche Menge von Zuständen, δ Üergangsrelationen δ : X (Q Q), I Q Startzustände, F Q akzeptierende Zustände. 79

11 NFA: Beispiel A = (X, Q, δ, {0, 3}, {2, 3, 4}) mit X = {a,, c} Q = {0, 1, 2, 3, 4} δ(a) = {(0, 0), (0, 1), (1, 3)} δ() = {(0, 0), (1, 2)} δ(c) = {(0, 3), (3, 3), (4, 1)} a, 0 3 c a a 1 2 c c 4 80

12 Eigenschaften endlicher Automaten NFA A = (X, Q, δ, I, F ) heißt vollständig, falls a X p Q : {q (p, q) δ(a)} 1 deterministisch (DFA), falls 1. I = 1 und 2. a X p Q : {q (p, q) δ(a)} 1 Beispiele: a, 0 1 a a 0 1 a 0 1 vollständig nicht vollständig vollständig nicht deterministisch deterministisch deterministisch a 81

a X p Q : {q (p, q) δ(a)} 1 Beispiele: a, 0 1 a a 0 1 a 0 1 vollständig nicht

13 Wiederholung: zweistellige Relationen Verkettung der Relationen R M M und S M M: R S = {(a, ) c M : (a, c) R (c, ) S} Beispiel: M = {a,, c} R = {(a, a), (, c)} S = {(a, c), (c, )} R S = {(a, c), (, )} S R = {(c, c)} 82

14 Darstellung als Graph als gerichteter Graph G = (V, E) mit V = M und E = R M = {a,, c} R = {(a, a), (, c)} S = {(a, c), (c, )} a Verkettung als Wege mit passender Markierung c R S = {(a, c), (, )} S R = {(c, c)} a c 83

15 Darstellung als Matrix mit Booleschen Einträgen M = {a,, c} R = {(a, a), (, c)} S = {(a, c), (c, )} Verkettung als Matrixmultiplikation mit Booleschen Operationen R S = S R = = =

16 Üergangsrelation auf Wörtern Fortsetzung der Üergangsrelationen δ : X (Q Q) auf Wörter δ : X (Q Q): δ(ε) = {(q, q) q Q} = I Q (Identität auf Q) δ(wa) = δ(w) δ(a) für alle w X, a X = {(p, q) r Q : (p, r) δ(w) (r, q) δ(a)} Für w = w 1 w n X n gilt also δ(w) = δ(w 1 ) δ(w n ) (Multiplikation der Matrizen δ(w 1 ),..., δ(w n )) 85

für alle w X, a X = {(p, q) r Q : (p, r) δ(w) (r, q) δ(a)} Für w = w 1 w n X n

17 Beispiel a, A = ({a, }, {0, 1}, δ, I, F ) mit δ(a) = {(0, 0)} und δ() = {(0, 0), (0, 1), (1, 1)} 0 1 δ(a) = δ(a) = δ()δ(a) = ( ) ( δ() = ) ( ( ) = ) ( ) δ(a) = δ(a)δ()δ() = ( ) ( ) ( ) = ( ) 86

0 ) ( 1 1 0 1 δ() = ) ( 1 0 0 0 ( 1 1 0 1 ) = ) ( 1 0 0 0 ) δ(a) =

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