Skript zur Vorlesung. Lineare Algebra. Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf. 29. April 2011

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1 Skript zur Vorlesung Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf 29. April 2011 erstellt von Sindy Engel erweitert von Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf

2 Inhaltsverzeichnis 1 Vektoren Grundbegriffe Darstellung im Koordinatensystem Rechenoperationen mit Vektoren Skalarprodukt Vektorprodukt Vektorraum Der Basisbegriff Matrizen Einführung Rechenoperationen Addition und Subtraktion Multiplikation mit einem Skalar Multiplikation von Matrizen Determinanten Zweireihige Determinanten Dreireihige Determinanten Eigenschaften von Determinanten Determinanten höherer Ordnung Laplace scher Entwicklungssatz Ergänzungen zu Matrizen und Determinanten Rang einer Matrix Rangbestimmung durch elementare Umformungen Lineare Gleichungssysteme Darstellung linearer Gleichungssysteme mittels Matrizen Kriterien für die Lösbarkeit eines LGS Berechnung der inversen Matrix durch Zeilenumformungen Eigenwerte und Eigenvektoren Die Multiplikation von Matrix und Vektor Das Eigenwertproblem Eigenschaften von EW und EV EW und EV von speziellen Matrizen Diagonalisierung einer Matrix

3 6 Quadratische Form und Hauptachsentransformation Quadratische Form Standardlagen von Kegelschnitten Rolle der gemischten Terme Hauptachsentransformation Koordinatentransformation - Darstellung eines Vektors im gedrehten KS 27 HS München 3 Fakultät 03

4 1 Vektoren 1.1 Grundbegriffe Definition: Vektor Vektoren sind Größen, die durch Angabe von ihrer Maßzahl (Betrag) und ihrer Richtung vollständig beschrieben sind. Beispiele für Vektoren: Beispiele für Skalare: F, s, M, v, a W, ρ, t, m, T Spezielle Vektoren: Nullvektor: 0 mit 0 = 0 Einheitsvektor: e mit e = 1 Ortsvektor: p = OP 1.2 Darstellung im Koordinatensystem Komponentendarstellung Koordinatendarstellung a = a x + a y + a z = a x e x + a y e y + a z e z a x, a y, a z heißen Koordinaten von a. a = a y a z a x 4

5 Berechnung des Vektors aus zwei Punkten mit: P 1 (x 1, y 1, z 1 ), P 2 (x 2, y 2, z 2 ) x 2 x 1 a = y 2 y 1 z 2 z 1 Betrag eines Vektors a = = a 2 x + a 2 y + a 2 z (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 Winkeldarstellung α = ( e x ; a) cos α = a x a β = ( e y ; a) cos β = a y a γ = ( e z ; a) cos γ = a z a a = a cos α cos β cos γ α, β, γ heißen Richtungswinkel. Folgender Zusammenhang gilt: (cos α) 2 + (cos β) 2 + (cos γ) 2 = 1. HS München 5 Fakultät 03

6 1.3 Rechenoperationen mit Vektoren Skalarprodukt Operationszeichen definiert als: Definition: Skalarprodukt Das Skalarprodukt von zwei Vektoren a, b ist das Produkt aus den Beträgen von a, b und dem cos des eingeschlossenen Winkels ϕ. a b = a b cos ϕ ˆ Zur Berechnung der Winkel zwischen Vektoren ˆ a b = 0 Bedingung für Rechtwinkligkeit Gesetze: ˆ Kommutativgesetz: a b = b a ˆ Assoziativgesetz: λ( a b) = (λ a) b = a (λ b), mit λ R ˆ Distributivgesetz: a ( b + c) = a b + a c Berechnung aus den Koordinaten: a x b x a b = a y a z b y b z = a x b x + a y b y + a z b z Vektorprodukt Operationszeichen definiert als: Definition: Vektorprodukt Das Vektorprodukt a b zweier vom Nullvektor verschiedener Vektoren des Raumes ist ein Vektor v mit folgenden Eigenschaften: ˆ v = a b steht senkrecht auf a, b. HS München 6 Fakultät 03

7 ˆ ( a; ) b; v bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. ˆ v = a b = a ( b sin a; ) b (Fläche des durch a und b aufgespannten Parallelogramms) Gesetze: ˆ Alternativgesetz: a b = b a ˆ Assoziativgesetz: λ( a b) = (λ a) b = a (λ b), mit λ R ˆ Distributivgesetz: a ( b + c) = a b + a c Berechnung aus Koordinaten a a y b z a z b y v x b = a z b x a x b z = v y a x b y a y b x v z Merkregel: a b = a x a y a z a x a y b x b y b z b x b y HS München 7 Fakultät 03

8 1.4 Vektorraum Definition: Vektorraum a 1 Die Menge V n =. a ; a k V heißt n-dimensionaler Vektorraum, falls für alle n a, b V n und λ R stets a + b V n mit λ a V n ist und folgende Gesetze gelten: 1. Kommutativgesetz b + a = a + b 2. Assoziativgesetz ( ) a + b + c = ( a + ) b + c 3. Es existiert 0 0 V n, a + 0 = a 4. Es existiert der Gegenvektor a V n, a V n a + ( a) = 0 5. Distributivgesetz λ (µ a) = (λµ) a 6. 1 a = a ( 7. λ a + ) b = λ a + λ b 8. (λ + µ) a = λ a + µ a HS München 8 Fakultät 03

9 1.5 Der Basisbegriff Definition: Linearkombination Ein Vektor a V n heißt Linearkombination der Vektoren a 1, a 2,..., a m, wenn a = λ 1 a 1 + λ 2 a λ m a m, mit λ 1... λ m R Definition: Lineare Abhängigkeit/ Unabhängigkeit Die Vektoren a 1... a m heißen linear unabhängig, wenn 0 = λ 1 a 1 + λ 2 a λ m a m nur für λ 1 = λ 2 = = λ n = 0 erfüllt wird. Ist mindestens ein λ 0 heißen sie linear abhängig. Ferner gilt: Im n-dimensionalen Vektorraum existieren maximal n linear unabhängige Vektoren. Definition: Basis n linear unabhängige Vektoren in V n heißen Basis von V n. Satz: Sind die Vektoren a 1, a 2,..., a n eine Basis des V n, dann hat der Vektor a V n bezüglich dieser Basis eine eindeutige Darstellung der Form: a = n λ i a i = λ 1 a 1 + λ 2 a λ n a n i=1 HS München 9 Fakultät 03

10 2 Matrizen 2.1 Einführung Definition: Matrix Unter einer Matrix vom Typ (m, n) versteht man ein rechteckiges Schema mit m Zeilen und n Spalten: a 11 a a 1n a 21 a a 2n A =. a m1 a m2... a mn a ik : Matrixelement, i - Zeilenindex, k - Spaltenindex Definition: Transponierte einer Matrix Werden in einer Matrix A Zeilen und Spalten vertauscht, so erhält man die Transponierte der Matrix A, A T. Definition: Quadratische Matrix Gestalt: Zeilenzahl = Spaltenzahl a 11 a a 1n a 21 a a 2n A =... a n1 a n2... a nn Hauptdiagonale Nebendiagonale 10

11 Definition: Diagonalmatrix Eine quadratische Matrix heißt Diagonalmatrix, wenn alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen zu 0 werden. a D = 0 a a 33 Stehen in einer Diagonalmatrix auf der Hauptdiagonalen nur 1 so handelt es sich um die Einheitsmatrix Jede Spalte der E = Einheitsmatrix ist ein Einheitsvektor Definition: Dreiecksmatrix Eine quadratische Matrix (m, m) heißt Dreiecksmatrix, wenn die Elemente ober- oder unterhalb der Hauptdiagonalen Null sind. Definition: Symmetrische Matrix Eine quadratische Matrix A (m, m) heißt symmetrisch, wenn a ik = a ki für i k = 1... m ist. Das entspricht einer Spiegelung an der Hauptdiagonalen. 2.2 Rechenoperationen Addition und Subtraktion Definition: Addition und Subtraktion 2 Matrizen A = (a ik ) und B = (b ik ) vom gleichen Typ, werden addiert/subtrahiert, indem die entsprechenden Elemente (gleiche Indizes) addiert/subtrahiert werden. C = A ± B = (a ik ± b ik ) HS München 11 Fakultät 03

12 Gesetze: ˆ Kommutativgesetz: A + B = B + A. ˆ Assoziativgesetz: (A + B) + C = A + (B + C) Multiplikation mit einem Skalar Definition: Multiplikation mit einem Skalar Eine Matrix A wird mit einem Skalar λ multipliziert, indem jedes Element der Matrix mit λ multipliziert wird. Gesetze: ˆ Assoziativgesetz: λ(µa) = (λµ)a. ˆ Distributivgesetze: (λ + µ)a = λa + µa und λ(a + B) = λa + λb Multiplikation von Matrizen Multiplikation von 2 Matrizen ist nur möglich, wenn die Spaltenzahl von A mit der Zeilenzahl von B übereinstimmt! 2 1 A B = ( ) = Eine Zeile von A wird elementweise mit einer Spalte von B multipliziert. Durch Addition der Produkte erhält man die Elemente der Ergebnis-Matrix. Hierbei liefert der jeweilige Zeilenindex von A den Zeilenindex des Ergebniselementes, während der Spaltenindex von B den zugehörigen Spaltenindex des Ergebniselementes liefert. HS München 12 Fakultät 03

13 Beispiel: bzw.: c 11 = a 11 b 11 + a 12 b 21 c 23 = a 21 b 13 + a 22 b 23 Falk-Schema Zur Vereinfachung der Rechnung dient das Falk-Schema. Hierbei werden die Elemente der Matrizen wie folgt in einer Tabelle angeordnet Gesetze: ˆ Assoziativgesetz A (B C) = (A B) C ˆ Distributivgesetz A (B + C) = A B + A C (A + B) C = A C + B C ˆ Ferner A E = E A = A (A B) T = B T A T E ist die Einheitsmatrix, mit den zugehörigen Einheitsvektoren ˆ Das Kommutativgesetz gilt im Allgemeinen nicht! A B B A HS München 13 Fakultät 03

14 3 Determinanten Determinanten existieren nur für quadratische Matrizen. Anwendungen: ˆ das Spatprodukt ˆ Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme bzw. Aussagen zu linearer Abhängigkeit /Unabhängigkeit von Vektoren 3.1 Zweireihige Determinanten Unter der Determinante einer zweireihigen Matrix versteht man folgende Zahl: D = det A = a 11 a 12 a 21 a 22 = + a 11 a 22 a 12 a 21 Das Produkt aus den Elementen der Hauptdiagonale wird addiert, das Produkt der Elemente der Nebendiagonalen wird subtrahiert. 3.2 Dreireihige Determinanten D = det A = a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 multiplizieren und addieren: multiplizieren und subtrahieren: = +a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 a 13 a 22 a 31 14

15 3.3 Eigenschaften von Determinanten 1. Eine Determinante ändert ihren Wert nicht, wenn man in ihr die Zeilen mit den Spalten vertauscht und umgekehrt. (Deshalb gelten alle folgenden Eigenschaften, die sich auf Zeilen beziehen analog für Spalten.) 2. Eine Determinante ändert ihr Vorzeichen, wenn man zwei Zeilen (Spalten) vertauscht und die übrigen Zeilen (Spalten) fest lässt. 3. Multiplikation mit einem Skalar λ: a) Eine Determinante wird mit einem Faktor λ multipliziert, indem alle Elemente einer Zeile (Spalte) mit λ multipliziert werden. b) Ein Faktor λ, der allen Elementen irgendeiner Zeile (Spalte) gemeinsam ist, kann vor die Determinante gezogen werden. c) Werden die Elemente einer beliebigen Zeile (Spalte) mit einem Faktor λ multipliziert, so multipliziert sich die Determinante mit λ. 4. Eine Determinante hat den Wert Null, wenn a) alle Elemente einer Zeile (Spalte) gleich Null sind. b) zwei Zeilen (Spalten) gleich sind. c) zwei Zeilen (Spalten) zueinander proportional sind. d) eine Zeile (Spalte) als Linearkombination der übrigen darstellbar ist. 5. Eine Determinante ändert ihren Wert nicht, wenn man zu einer beliebigen Zeile (Spalte) ein beliebiges Vielfaches einer anderen Zeile (Spalte) oder eine Linearkombination von mehreren Zeilen (Spalten) addiert. 6. Für zwei n-reihige quadratische Matrizen gilt stets det(a B) = det(a) det(b) 7. Die Determinante einer n-reihigen Dreiecksmatrix besitzt den Wert det A = a 11 a a nn. 3.4 Determinanten höherer Ordnung Definition: Entwicklungsformel für Determinanten höherer Ordnung Der Wert einer (n, n) Determinanten D = det(a) wird rekursiv nach folgender Entwicklungsformel berechnet: a a 1n D = det A =.. a n1... a nn HS München 15 Fakultät 03

16 n mit: k=1 a 1k A 1k = a 11 A 11 + a 12 A a 1n A 1n A 1k = ( 1) 1+k D 1k D 1 k : (n 1, n 1)-Unterdeterminante von D. D 1 k entsteht durch Streichen der 1. Zeile und k-te Spalte von D. 3.5 Laplace scher Entwicklungssatz Definition: Laplace scher Entwicklungssatz Eine (n,n)-determinante lässt sich nach jeder beliebigen Zeile oder Spalte entwickeln. Nach i-ter Zeile: D = n a ik A ik = a i1 A i1 + a i2 A i2 + + a in A 1n k=1 Nach k-ter Spalte: D = n a ik A ik = a 1k A 1k + a 2k A 2k + + a nk A nk i=1 A ik = ( 1) i+k D ik D ik : (n-1,n-1)-unterdeterminante von D ergibt sich durch Streichen der i-ten Zeile und der k-ten Spalte von D. HS München 16 Fakultät 03

17 4 Ergänzungen zu Matrizen und Determinanten Definition: Reguläre Matrix Eine (n,n)-matrix heißt regulär, wenn det A 0. Andernfalls heißt sie singulär. Definition: Inverse Matrix Gibt es zu einer (n,n)-matrix A eine zweite (n,n)-matrix mit folgender Eigenschaft A X = X A = E so heißt X die zu A inverse Matrix und wird A 1 bezeichnet. Definition: Orthogonale Matrix Eine (n,n)-matrix A heißt orthogonal falls A A T = A T A = E Eigenschaften einer orthogonalen Matrix: 1. Zeilen- bzw. Spaltenvektoren bilden ein orthonormiertes System. ( A ist orthogonal) 2. det A = 1 oder 1 3. A T = A 1 4. Das Produkt orthogonaler Matrizen ist wieder orthogonal. 17

18 4.1 Rang einer Matrix Definition: Unterdeterminante einer nicht-quadratischen Matrix Werden in einer (n,m)-matrix A n p Zeilen und m p Spalten gestrichen, so heißt die Determinante der (p;p)-restmatrix Unterdeterminante p-ter Ordnung von A. Definition: Rang einer Matrix Unter dem Rang einer Matrix wird die höchste Ordnung r aller von 0 verschiedenen Unterdeterminante verstanden Rangbestimmung durch elementare Umformungen Folgende Aktionen haben keinen Einfluss auf den Rang einer Matrix: ˆ Vertauschung von 2 Zeilen ˆ Multiplikation einer Zeile mit λ 0 ˆ Zeilen addieren und subtrahieren Die o.g. Mittel können genutzt werden, um die Matrix zu vereinfachen, um so die Rangbestimmung zu erleichtern. Hierbei wird eine Dreiecks- oder Trapezform angestrebt bzw. möglichst viele Nullzeilen und -spalten. Der Rang von A ist dann die Anzahl der von Null verschiedenen Zeilen. b 11 b b 1r b 1,r+1 b 1,r+2... b 1n 0 b b 2r b 2,r+1 b 2,r+2... b 2n b rr b r,r+1 b r,r+2... b rn = RgA = r HS München 18 Fakultät 03

19 4.2 Lineare Gleichungssysteme Darstellung linearer Gleichungssysteme mittels Matrizen Ein LGS mit m Gleichungen und n Unbekannte vom Typ a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = c 1.. =. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = c m lässt sich mit Matrizen wie folgt darstellen bzw. A x = c a a 1n x 1 c 1 A =... =. a m1... a mn x n c m }{{} Koeffizientenmatrix (A c) = a 11 a a 1n c 1... } a m1 a m1... {{ a mn c m } erweiterte Koeffizientenmatrix Kriterien für die Lösbarkeit eines LGS In Abbildung 4.1, auf Seite 19 ist der Zusammenhang zwischen Rang und Lösbarkeit von Linearen Gleichungssystemen schematisch dargestellt. Abbildung 4.1: Schema der Kriterien für die Lösbarkeit eines LGS HS München 19 Fakultät 03

20 4.3 Berechnung der inversen Matrix durch Zeilenumformungen A Sei vom Typ (n,n) und regulär. Dann erfolgt die Berechnung der Inversen von A (A 1 ) aus dem Zusammenhang: A A 1 = E a 11 a a 1n a 21 a a 2n (A E) = a n1 a n2... a nn Durch Zeilenumformungen muss nun links die Einheitsmatrix erzeugt werden b 11 b b 1n b 21 b b 2n (E B) = b n1 b n2... b nn Die rechts entstandene Matrix B ist die Inverse zu A. HS München 20 Fakultät 03

21 5 Eigenwerte und Eigenvektoren 5.1 Die Multiplikation von Matrix und Vektor y = A x, mit x = ( x1 x 2 ) A kann eine Drehung und Längenänderung von x verursachen. 5.2 Das Eigenwertproblem Frage: Gibt es einen Vektor x zu der Matrix A vom Typ (n,n) der die Gleichung A x = λ x erfüllt? Definition: Eigenwert und Eigenvektor A sei eine quadratische Matrix vom Typ (n,n). Eine Zahl λ C heißt Eigenwert von A und x heißt Eigenvektor von A, wenn gilt: A x = λ x, x 0 Die Menge aller Eigenwerte von A, heißt Spektrum von A. Der Eigenvektor einer Matrix ist nur bis auf den Faktor c 0 eindeutig bestimmt x ist EV c x ist EV weshalb EV normiert angegeben werden sollte. Berechnung der Eigenwerte Umformung: A x = λ x, x = E x A x = λ E x A x λ E x = 0 ( A λ E ) x = 0 }{{} (n, n) Matrix 21

22 Der hergeleitete Ausdruck stellt ein homogenes, lineares Gleichungssystem dar. Gesucht sind nun die Lösungen dieses Gleichungssystems, da x 0 = Rg(A λe) < n muss gelten: det(a λe) = 0 Dieser Ausdruck wird als Eigengleichung oder charakteristische Gleichung von A bezeichnet. Für die Berechnung der Eigenwerte müssen also die Nullstellen des charakteristischen Polynoms det(a λe) berechnet werden. Berechnung der Eigenvektoren Lösen des LGS für jeden Eigenwert λ i einzeln (A λ i E) x = 0 Anmerkung: Hat ein EW die Vielfachheit m, so hat er maximal m zugehörige EV. 5.3 Eigenschaften von EW und EV 1. n i=1 a ii = Sp(A) = n i=1 λ i Die Summe der Hauptdiagonalelemente ist gleich der Summe der EW. Sie heißt Spur der Matrix A. 2. det A = λ 1 λ 2 λ n Doppelte Eigenwerte gehen doppelt ein 3. Tritt ein EW k-fach auf, so hat er maximal k EV. 4. Die zu verschiedenen EW gehörenden EV sind stets linear unabhängig. 5. Hat ein EW mehrere EV, so ist auch jede Linearkombination wieder ein EV zu dem EW. = Jede Kombination von EV spannt dieselbe Ebene auf. 5.4 EW und EV von speziellen Matrizen Diagonal- bzw Dreiecksmatrix a 11 λ a 12 a 13 det(a λe) = 0 a 22 λ a 23 = 0 = (a 11 λ)( a 22 λ) (a 33 λ) 0 0 a 33 λ λ 1 = a 11, λ 2 = a 22, λ 3 = a 33 HS München 22 Fakultät 03

23 Inverse Matrix Hat A die EW λ 1... λ n so hat A 1 die EW 1 λ λ n Symmetrische Matrix Satz: 1. Alle EW sind reell. 2. Es gibt genau n linear unabh. EV. 3. Zu jedem einfachen EW gibt es genau einen, zu jedem k-fachen genau k EV. 4. EV, die zu verschiedenen EW gehören, sind orthogonal Ordnet man die normierten EV einer symmetrischen Matrix in einer Matrix P an, so ist P orthogonal. D.h. P 1 = P T. 5.5 Diagonalisierung einer Matrix Definition: Diagonalisierbarkeit Eine Matrix A heißt diagonalisierbar oder diagonalähnlich, wenn eine invertierbare Matrix P existiert, so dass P 1 A P = D berechnet werden kann und D eine Diagonalmatrix ist. Satz: Folgende Aussagen sind äquivalent: 1. A ist diagonalisierbar 2. A hat n linear unabh. EV = Symmetrische Matrizen sind immer diagonalisierbar! Verfahren zur Bestimmung von P und D 1. Bestimmung der n linear. unabh. EV der (n,n)-matrix A. x E1 = P 1,..., x En = P n 2. Bildung der Matrix P aus den Spaltenvektoren P 1... P n 3. Bildung der Matrix D: D = P 1 A P ist die Diagonalmatrix mit den EW auf der Hauptdiagonalen. HS München 23 Fakultät 03

24 6 Quadratische Form und Hauptachsentransformation 6.1 Quadratische Form Definition: Quadratische Form Unter einer quadratischen Form versteht man den folgenden Ausdruck Q = x T A x in dem A vom Typ (n,n) und symmetrisch ist und für x =. W = x T A x + a T x + a 0, mit a 0 R heißt erweiterte quadratische Form. x 1 x n gilt. Für n = 2 ergibt sich die erweiterte quadratische Form zu: ( ) ( ) ( ) a11 a W = (x 1, x 2 ) 12 x1 x1 + (a a 21 a 22 x 1, a 2 ) + a 2 x 0 2 Ausmultiplizieren führt auf: W = a 11 x a 22 x a 12 x 1 x 2 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a }{{} 0 Fläche im Raum Definition: Hyperfläche Die Menge aller Punkte die folgende Gleichung erfüllt x T A x + a T x + a 0 = 0 heißt Hyperfläche n-ter Ordnung. Für n = 2 ergeben sich Kurven, die als Kegelschnitte gedeutet werden können. 24

25 6.2 Standardlagen von Kegelschnitten Ellipse x 2 1 a 2 + x2 2 b 2 = 1 mit Hauptachsen a,b Hyperbel x 2 1 a 2 x2 2 b 2 = 1 x 2 2 b 2 x2 1 a 2 = 1 Parabel x 2 = c x 2 1 x 1 = c x 2 2 stehend liegend 6.3 Rolle der gemischten Terme ˆ Standardlagen von Kegelschnitten enthalten keine gemischten Terme. ˆ Existiert ein gemischter Term, so bedeutet das eine Drehung in der x 1, x 2 -Ebene im Vergleich zur Standardlage. HS München 25 Fakultät 03

26 ˆ Wenn die Terme x 2 1 und x 1 bzw. x 2 2 und x 2 vorhanden sind aber a 12 = 0, so bedeutet das eine Verschiebung im Vergleich zur Standardlage. 6.4 Hauptachsentransformation Die Gleichung einer Hyperfläche 2. Ordnung W = x T A x + a T x + a 0 = 0, A reell und symmetrisch (6.1) lässt sich durch die Transformation (Drehung des Koordinatensystems) y = P T x in die Form ( x = P y) W = y T D y + b T y + a 0 = 0 (6.2) überführen. Dabei ist P die Matrix, die A diagonalisiert (also die Eigenvektoren von A enthält) und deren Derminante det P = +1 ist, D ist die zu P gehörige Diagonalmatrix (sie enthält also die Eigenwerte λ i, i = 1... n von A) λ λ 2 0 D =....., und b = P T a ( b T = a T P ). 0 0 λ n Die Form (6.2) der Hyperfläche enthält keine gemischten Glieder mehr und es gilt W = λ 1 y λ 2 y λ n y 2 n + b 1 y 1 + b 2 y b n y n + a 0 = 0 (6.3) Befindet sich (6.3) nicht in Standardlage (enthält z.b. y i noch in quadratischer und linearer Form), so muss eine neue Variable z i eingeführt werden (im Normalfall durch quadratische Ergänzung), die die entsprechende Verschiebung des Koordinatensystems (Translation) durchführt. Die neue quadratische Form W enthält z i nur quadratisch oder nur linear. Vorgehensweise: 1. Enthält die Hyperfläche (6.1) gemischte Glieder: a) Bestimme die Eigenwerte λ i und die normierten Eigenvektoren p i der Matrix A. b) Bilde die Matrix P = ( p 1, p 2,..., p n ). Falls det P = 1, ersetze einen Eigenvektor p i durch p i. c) Überführe die Hyperfläche durch die Drehung des Koordinatensystems in (6.2) bzw. (6.3). 2. Befindet sich die gedrehte Hyperfläche noch nicht in Standardlage, verschiebe das Koordinatensystem (im Normalfall durch quadratische Ergänzung). HS München 26 Fakultät 03

27 7 Koordinatentransformation - Darstellung eines Vektors im gedrehten KS Gegeben sei ein fester Vektor a im Ausgangskoordinatensystem x 1, x 2, x 3. Wird dieses KS um eine der Achsen gedreht, so ergibt sich ein neues KS x 1, x 2, x 3. Die Koordinaten des Vektors a bezogen auf das KS x 1, x 2, x 3 sollen berechnet werden. Diesen Vektor nennen wir a. Mithilfe einer Transformationsmatrix Q ergibt sich: a = Q a Folgende Formeln gelten für Q: 1. Drehung um x 1 -Achse: Q1(ϕ) = 0 cos ϕ sin ϕ 0 sinϕ cos ϕ 2. Drehung um x 2 -Achse: cos ϕ 0 sinϕ Q2(ϕ) = sin ϕ 0 cos ϕ 3. Drehung um x 3 -Achse: cos ϕ sin ϕ 0 Q3(ϕ) = sinϕ cos ϕ Da es sich bei diesen Matrizen um orthogonale Matrizen handelt, gilt Q 1 i Vektor a kann man bei gegebenen a also wie folgt berechnen: = Q T i. Den a = Q 1 i a = Q T i a Werden mehrere Drehungen des Koordinatensystems hintereinander ausgeführt, so kann man eine Gesamttransformationsmatrix berechnen: Die erste Transformationsmatrix wird aufgestellt, an diese wird von links die Zweite multipliziert, an das Ergebnis wird 27

28 von links die Dritte multipliziert usw. Beispiel: Ein Koordinatensystem x 1 ; x 2 ; x 3 wird zuerst um die x 3 -Achse um α gedreht. Es entsteht das Koordinatensystem x 1; x 2; x 3. Danach wird x 1; x 2; x 3 um die x 1-Achse um β gedreht, es entsteht das Koordinatensystem x 1; x 2; x 3. Transformationsmatrix: Q = Q 1 (β) Q 3 (α) Berechnung von a : a = Q 1 (β) a = Q 1 (β) Q 3 (α) a = Q a a ist der Vektor a im Koordinatensystem x 1; x 2; x 3. a ist der Vektor a im Koordinatensystem x 1; x 2; x 3. Da das Produkt von orthogonalen Matrizen wieder eine orthogonale Matrix ergibt, gilt auch hier Q 1 = Q T. HS München 28 Fakultät 03