Grundlagen 1: Modelle & Mengen

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1 Angewandte Mathematik am Rechner 1 SOMMERSEMESTER 2018 << class Apples extends Fruits >> b c a de set S Kapitel 2 Grundlagen 1: Modelle & Mengen Frank Fischer Institut für Informatik frank.fscher@uni-mainz.de

2 2.1 Modelle

3 Was ist ein (formales) Modell? Modell Information Beobachtung Analyse Regeln Vorhersage

4 Grundlagen der Modellierung Modelle in verschiedenen Fachgebiete Mathematische Modelle Schwerpunkt: Deduktion Empirische Modelle Schwerpunkt: Induktion z.b. Naturwissenschaften (Bsp: Physik) z.b. Lebens- und Kulturwissenschaften (Bsp: Ökonomie) (Praktische) Informatik Schwerpunkt: Engineering Lösungen für Probleme Konkrete Berechnung

5 Philosophie allgeme ine Regeln logisch zwingend spezielle Folgerung en Deduktion wahrschein spezielle lich Beobachtun gen allgeme ine Regel Induktion Achtung! Nicht verwechseln mit vollständiger Induktion

6 Modellierung Was ist Mathematik? Formale Modelle Informationen: Zahlen, Symbole Regeln, denen die Informationen gehorchen Formal: Positiv Klar defniert, ob etwas richtig oder falsch ist Werkzeuge, um..modelle auszudrücken..modelle zu verstehen {true, false}

7 Grundlagen der Modellierung Mathematische Modelle Fokus auf Deduktion Start mit Annahmen: Axiom 1 Axiom 3 Axiom 2 Axiom 4 Axiome des Modells Axiome Studium von Schluß- folgerungen (Beweise) Oft anwendungsneutral Satz 1 Satz 2 Satz 3 mathematisches Modell

8 Mathematische Modelle Natürliche Zahlen 1,2,3,4, Operationen: +,,*, / ℕ Modell für diskrete Objekte Reelle Zahlen Modell: Kontinuierliche Gerade ℝ Reelle Vektorräume Modell eines Euklidischen Raumes ℝ 3

9 Grundlagen der Modellierung Empirische Modelle Fokus auf Induktion Achtung: Nicht verwechseln mit vollständiger Induktion Start mit Beobachtungen (Experimente) Hypothesen für Modelle (Erklärungen) Validierung Vorhersage neuer Beobachtungen Sinnvolles Modell? (relative Stärke der Vorhersagen)

10 Das Problem mit der Induktion Gegenstände fallen zu Boden

11 Prinzip (H. Hertz, 1894) Folgen der Bilder Beobachtung Bilder (Modelle) Gegenstand (Natur) denknotwendige Folgen (Vorhersagen) Beobachtung Ideelle Welt Modelle, Vorstellungen naturnotwendige Folgen Reale, objektive Welt (unbekannt) Gegenstand (Folgezustand)

12 Induktive Schlüsse Frage Wann darf man verallgemeinern? Grundsätzlich: Verallgemeinerung zweifelhaft Warum soll ein Modell allgemein gelten? Überprüfung von Modellen Voraussagen machen Voraussagen überprüfen Wiederholbares Experiment Unter gleichen Bedingungen Verallgemeinerung gilt nur für diese Bedingungen

13 Beispiel Wirkt ein Medikament gegen eine Krankheit? Versuche an 2 x 100 Personen Jeder unabhängig (keine gegenseitiger Einfuu) Zufällig ausgewählt (kein Einfuu von z.b. Alter o.ä.) Gleiche Bedingungen! Experiment 100 Patienten mit Medikament: 95 Patienten geheilt, 5 weiter krank 100 Patienten ohne Medikament: 20 Patienten geheilt, 80 weiter krank Medikament wirkt höchstwahrscheinlich

14 Beispiel

15 Empirische Modelle Drei Konzepte aus dem statistischen Lernen No-Free-Lunch Theorem Induktion erfordert Vorwissen / Vorabannahmen Overftting: Das Problem der Überanpassung Komplizierte Modelle sind riskant Bias-Variance Trade-Off / Occam s Razor Komplexe Modelle erfordern viele Daten (Beobachtungen)

16 No Free Lunch

17 Vorhersagen aus Modellen Wohnungspreise in Mainz 600 K 500 K 400 K 300 K 200 K 100 K disclaimer: numbers are made up this is no investment advice

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19 Vorhersagen aus Modellen Wohnungspreise in Mainz 600 K Annahme: Alle Werte gleich wahrscheinlich 500 K 400 K 300 K 200 K 100 K disclaimer: numbers are made up this is no investment advice

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21 Vorhersagen aus Modellen Wohnungspreise in Mainz 600 K 500 K 400 K 300 K 200 K 100 K disclaimer: numbers are made up this is no investment advice

22 Occam s Razor: Das Problem der Überanpassung

23 Vorhersagen aus Modellen Wohnungspreise in Mainz 600 K 500 K 400 K 300 K 200 K 100 K disclaimer: numbers are made up this is no investment advice

24 Vorhersagen aus Modellen Wohnungspreise in Mainz 600 K 500 K 400 K 300 K 200 K 100 K disclaimer: numbers are made up this is no investment advice

25 Vorhersagen aus Modellen Wohnungspreise in Mainz 600 K 500 K 400 K 300 K 200 K 100 K disclaimer: numbers are made up this is no investment advice

26 Overftting

27 Bias Variance Tradeoff

28 Modelle: Zusammenfassung

29 Modelle

30 Bezüge Empirische Wissenschaft Deduktives (mathematisches) Vorgehen um Modelle zu bauen Modelle zu verstehen Vorhersagen zu machen Experimente zu analysieren Informatik Beide Ansätze relevant Automatische empirische Wissenschaft heißt maschinelles Lernen Zusätzlich: Praktikabilität (Berechenbarkeit) von Modellen