α i e i. v = α i σ(e i )+µ

Transkript

1 Beweis: Der Einfachheit halber wollen wir annehmen, dass V ein endlich-dimensionaler Vektorraum mit Dimension n ist. Wir nehmen als Basis B {e 1,e 2,...e n }. Für beliebige Elemente v V gilt dann v α i e i. Wir definieren nun für beliebige v V die Abbildung ϕ(v) ϕ( α i e i ) : α i σ(e i ) und zeigen, dass diese Abbildung linear ist und dass sie die einzige lineare Abbildung darstellt, die auf die Basis B eingeschränkt mit σ überein stimmt. Es gilt nämlich ϕ(e i ) σ(e i ), i 1,2,...,n. Für v n α ie i, w n β ie i und λ,µ K gilt: ( ) ( ) ϕ(λv +µw) ϕ λ α i e i +µ β i e i ϕ (λα i +µβ i )e i (λα i +µβ i )σ(e i ) λ λϕ(v)+µϕ(w). α i σ(e i )+µ β i σ(e i ) Linearität ist damit gezeigt. Nehmen wir nun an, dass es eine weitere lineare Abbildung ψ : V W gibt, mit ψ(e i ) σ(e i ), für i 1,2,...,n. Es gilt dann ( ) ψ(v) ψ α i e i α i ψ(e i ) α i σ(e i ) ϕ(v), Linearität womit auch die Eindeutigkeit der linearen Fortsetzung ϕ bewiesen wäre. q.e.d. Beispiel 4.5 V,W beliebig, B {e 1,e 2,...,e n } Basis von V. } σ : B W ϕ ϕ : v (Nullabbildung) e i, i 1,2,...,n 61

2 Beispiel 4.6 V W beliebig, B {e 1,e 2,...,e n } Basis von V. } σ 1 : B V ϕ id : v v (Identität) e i e i, i 1,2,...,n Beispiel 4.7 ϕ : R 3 R 2 E 3 { e 1, e 2, e 3 } sei die kanonische Basis von R 3, d.h. 1 e 1, e 2 1, e 3. 1 Für beliebige v R n (geschrieben als n-komponentige Spaltenvektoren) stimmt v mit seinem Koordinatenvektor bezüglich der kanonischen Basis überein, d.h. v v E3 und wir können das E 3 weglassen. Nehmen wir nun an, dass ( ) ( ) ( ) 1 2 σ( e 1 ), σ( e 2 ), σ( e 3 ). 1 2 Für einen beliebigen Vektor v v 1 e 1 +v 2 e 2 +v 3 e 3 ist dann die lineare Fortsetzung durch ϕ( v) ϕ(v 1 e 1 +v 2 e 2 +v 3 e 3 ) v 1 σ e 1 +v 2 σ e 2 +v 3 σ e ( ( ( ) ( ) v 1 )+v 2 )+v 3 (v 2 +2v 3 ) gegeben. Nimmt man auch in R 2 die kanonische Basis, so ist die Wirkung von ϕ auf die Koordinatenvektoren durch ϕ : v v v 1 ( v 2 v 3 v 1 v 2 ) ( ) v 2 +2v 3 v 2 +2v 3 gegeben. Wir können diesen Zusammenhang durch eine (2 3-)Matrix  ϕ beschreiben: v Âϕ v bzw. ( v 1 v 2 ) ( ) ( ) v 1 v 2 +2v v 2. v 2 +2v Die i-te Spalte dieser Matrix ist nichts anderes als der Koordinatenvektor des Bildes von e i bzgl. der kanonischen Basis von R v 3

3 Der Vollständigkeit halber seien hier noch 2 Begriffe erwähnt, die im Zusammenhang mit linearen Abbildungen manchmal auftauchen, das sind der Kern und das Bild einer lienaren Abbildung. Definition 4.2 V und W seien K-Vektorräume und ϕ : V W eine lineare Abbildung. Die Menge Ker(ϕ) : {v V ϕ(v) W} heißt Kern der linearen Abbildung ϕ. Die Menge Im(ϕ) : {ϕ(v) W v V} heißt Bild (engl. Image) der linearen Abbildung ϕ. ϕ V W ϕ(v) ϕ 1 () Der Kern ist die Urbildmenge des Nullvektors von W. Das Bild ist die Menge aller Vektoren von W, die durch die Abbildung ϕ erreicht werden. Da für jede lineare Abbildung ϕ() gilt, ist weder Kern noch Bild leer. Man hat {} ϕ 1 () V und {} ϕ(v) W, wobei hier mit ϕ 1 () das Urbild des Nullvektors von W bezüglich der Abbildung ϕ gemeint ist. Mit Hilfe des Kerns lässt sich etwa feststellen, ob eine lineare Abbildung injektiv ist: Satz 4.4 V und W seien K-Vektorräume, ϕ : V W eine lineare Abbildung. Dann gilt: ϕ ist injektiv Ker(ϕ) {}. 63

4 Bemerkung Sei f eine Abbildung einer Menge A in eine Menge B. f injektiv : f(a) f(b) a b, f surjektiv : Im(f) B, f bijektiv : f injektiv und surjektiv. Beweis: : ϕ injektiv und ϕ() Ker(ϕ) {}. : Wir haben Ker(ϕ) {}. ϕ(v 1 ) ϕ(v 2 ) ϕ(v 2 ) ϕ(v 1 ) ϕ(v 2 v 1 ) (v 2 v 1 ) Ker(ϕ) v 2 v 1 v 2 v 1 ϕ ist injektiv. q.e.d. Nachdem wir gesehen haben, dass n m-matrizen lineare Abbildungen erzeugen, wollen wir uns nun die Frage stellen, ob umgekehrt lineare Abbildungen durch geeignete Matrizen beschrieben werden können. Diese Frage soll zuerst für lineare Abbildungen ϕ : K m K n beantwortet werden. Satz 4.5 Zu jeder linearen Abbildung ϕ : K m K n (K ein Körper) existiert eine n m-matrix  mit Matrixelementen aus K und ϕ ϕ A. Wählt man sowohl in K m als auch in K n die kanonische Basis E m bzw. E n, so ist diese Matrix durch  (ϕ( e 1 ),ϕ( e 2 ),...,ϕ( e m )) gegeben, d.h. die i-te Spalte von  ist das Bild des i-ten Basisvektors. Beweis: E m { e 1, e 2,..., e m } mit e i. 1 i-te Stelle. }{{} m dimensional 64

5 sei die kanonische Basis von K m und E n { e 1, e 2,..., e n} mit e i die kanonische Basis von K n. Für v K m gilt: und damit wegen der Linearität von ϕ. 1 i-te Stelle. }{{} n dimensional v 1 v m v v v 1 e 1 +v 2 e 2 + +v m e m 2. ϕ( v) v 1 ϕ( e 1 )+v 2 ϕ( e 2 )+ +v m ϕ( e m ). Spannen wir nun ϕ( e i ), i 1,2,...,m, auf die Basis E n auf a 1i a ϕ( e i ) a 1i e 1 +a 2i e 2 + +a ni e n 2i., a ni 65

6 so ergibt sich ϕ( v) v 1 (a 11 e 1 +a 21 e 2 + +a n1 e n) +v 2 (a 12 e 1 +a 22 e 2 + +a n2 e n) v m (a 1m e 1 +a 2m e 2 + +a nm e n) (a 11 v 1 +a 12 v 2 + +a 1m v m ) e 1 +(a 21 v 1 +a 22 v 2 + +a 2m v m ) e (a n1 v 1 +a n2 v 2 + +a nm v m ) e n a 11 v 1 +a 12 v 2 + +a 1m v m a 21 v 1 +a 22 v 2 + +a 2m v m. a n1 v 1 +a n2 v 2 + +a nm v m a 11 a a 1m v 1 a 21 a a 2m v 2,... a n1 a n2... a nm v m ϕ( e 1 ) ϕ( e 2 ) ϕ( e m) v oder kurz ϕ( v) ( ) ϕ( e 1 )ϕ( e 2 )... ϕ( e m ) v  v. q.e.d. Beispiel 4.8 ϕ : R 3 R 2 sodass ( ) x 1 +x 2. x 2 x 1 x 2 x 3 Wir sehen sofort, dass der Zusammenhang zwischen Bild und Urbild durch ( ) ( ) x 1 x 1 +x x 2 x 2 1 }{{} x 3  66

7 gegeben ist. Wir können nun leicht verifizieren, dass die Spalten von  durch die Bilder der e i gegeben sind: 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 ϕ( ), ϕ( 1 ), ϕ( ). 1 1 e 1 e 2 e 3 Dass sich lineare Abbildungen zwischen beliebigen (endlichdimensionalen) K-Vektorräumen durch Matrizen (mit Elementen aus K) darstellen lassen, beruht auf dem folgenden Satz: Satz 4.6 Jeder n-dimensionale K-Vektorraum V ist zu K n isomorph. Das bedeutet, dass es eine bijektive, lineare Abbildung ϕ : V K n gibt. Konkret besteht der Isomorphismus in der bijektiven linearen Abbildung ϕ : V K n v v B, wobei v B der Koordinatenvektor von v V bezüglich einer vorgegebenen Basis B ist. Bemerkung Die n-dimensionalen K-Vektorräume V und K n haben dieselbe Struktur, nur die Bezeichnung ihrer Elemente und der Verknüpfungen unterscheidet sich. Diesen Isomporphismus können wir nun schließlich dazu benutzen, um eine lineare Abbildung ϕ : V W als lineare Abbildung der isomorphen Vektorräume K m K n zu verstehen. Letztere kann aber, wie schon gezeigt, durch eine Matrix dargestellt werden. Satz 4.7 V und W seien K-Vektorräume mit geordneten Basen B {b 1,b 2,...,b m } V und C {c 1,c 2,...,c n } W. ϕ : V W sei eine lineare Abbildung. Die Koordinatenvektoren von v bzw. ϕ(v) hängen dann über ϕ(v) C C ˆMϕB v B, 67