x, y R n + x, y, z R n + x y y z x z

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1 x, y R n + x y x, y, z R n + x y y z x z

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9 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 5 / 51 Nachfragefunktion bei Cobb Douglas Präferenzen n = 2 Güter: u(x 1, x 2 ) = x c 1 x d 2 (c, d > 0) ( c c + d m d, p 1 c + d m ) p 2 x(p 1, p 2, m) = n Güter: u(x) = x α 1 1 x α xn αn (α i > 0, i = 1,..., n) x(p, m) = ( α1 n i=1 α i m α, 2 p n 1 i=1 α i m p 2..., α n n i=1 α i m ) p n

10 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 13 / 51 Cobb Douglas Präferenzen: normal oder inferior? (Ohne Einschränkung der Allgemeinheit: α 1 + α α n = 1) x(p, m) = ( α 1 m, α 2 m,..., α n m ) p 1 p 2 p n

11 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 17 / 51 Einkommenskonsumkurve für u(x 1, x 2 ) = x c 1 x d 2 Bildet alle optimalen Güterbündel bei variierendem Einkommen ab. Gut 2 c d x2 x 1 = p 1 p 2 Gut 1

12 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 28 / 51 Quasilineare Präferenzen Gut 1 u(x 1, x 2) = v(x 1) + x 2 (hier: v(x 1) = ln(x 1)) m Engelkurve ˆm p 2 m ˆm x 1 ( ˆm) = ˆm/ p 2 p 1 > p 1 m x 1 ( m) = p 1 m p 1 p 2 p 1 Gut 1

13 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 29 / 51 normale und inferiore Güter Einkommens-Konsumkurve und Engelkurve Luxusgüter und notwendige Güter gewöhnliche und Gien Güter Preis-Konsum-Kurve und partielle Nachfragekurve Substitute und Komplemente Inverse Nachfragefunktion

14 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 36 / 51 Preis-Konsum-Kurve bei Cobb-Douglas Präferenzen u(x) = x α xn αn (α i > 0, i = 1,..., n o.b.d.a n i=1 α i = 1) x(p, m) = ( α 1 m, α 2 m,..., α n m ) p 1 p 2 p n Es gilt x i (p, m) p j = 0 für alle i j daher ist die Preis-Konsum-Kurve eine Gerade (parallel zur Achse von Gut i).

15 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 39 / 51 Partielle Nachfragekurve x 1 (p 1 ) bei u(x 1, x 2) = v(x 1) + x 2 für v(x 1) = ln(x 1) und m > p 2 Bildet alle optimalen Mengen von Gut 1 bei variierendem Preis p 1. p 1 x 1 (p 1, p 2, m) = p 2 p 1 x 1 (p 1 ) p 1 < 0: Gewöhnliches Gut Gut 1

16 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 44 / 51 Substitute oder Komplemente? u(x 1, x 2) = x c 1 x d 2 x 1 (p 1, p 2, m) = c c + d m p 1 x 1(p 1, p 2, m) p 2 = 0

17 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 48 / 51 Inverse Nachfragefunktion Bei u(x 1, x 2) = v(x 1) + x 2 partielle Nachfragefunktion erfüllt: v(x 1 ) x 1 = p 1 p 2 v(x 1 ) x 1 = P(x 1) p 2 P(x 1 ) = v (x 1 ) p 2

18 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 50 / 51 Die Ableitung der inversen Nachfragefunktion Denitionsgleichung der inversen Nachfragefunktion P(x 1 ): Dierenzierung nach p i : P(x 1 ) x 1 P i (x i (p i )) = p i. x1 =x 1 (p 1 ) Division durch x 1 (p 1): P (x 1 ) = 1 x 1 (p 1) x 1(p 1 ) p 1 = 1 Die Ableitung der inversen Nachfragefunktion entspricht der Inversen der Ableitung der Nachfragefunktion.

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20 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 3 / 31 Quasilineare Präferenzen: u(x 1, x 2 ) = v(x 1 ) + x 2 Geld Indifferenzkurve Kaffee

21 1 Ein Tropfen = h Tassen Kaffe Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 19 / 31 Reservationspreise für Tropfen Kaffee 1 Angenommen, die Konsumentin könnte nur Tropfen h Kaffee kaufen und würde sich für sechs Tassen entscheiden. Dann: v (6) v (6 h) h p v (6 + h) v (6) h

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26 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 11 / 41 Überschussnachfrage (bei Preisobergrenze p) Preis S(p) p D(p) S( p) Menge

27 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 13 / 41 Bestimmung des Marktgleichgewichtes im linearen Fall { a D(p) = max{a b p, 0} P D (q) = max b 1 } b q, 0 S(p) = max{c + d p, 0} P S (q) = max { cd + 1d } q, 0 mit a, b, d > 0, c < a und a d + b c > 0

28 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 15 / 41 Inverse lineare Angebots- und Nachfragefunktionen (mit a, b, d > 0, c < a und a d + b c > 0) Preis a b P D (q) = max { a b 1 b q, 0} P S (q) = max { c d + 1 d q, 0} Steigung: 1 d p Steigung: 1 b c d 0 q a Angebot, Nachfrage

29 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 16 / 41 Lineare Angebots- und Nachfragefunktionen (mit a, b, d > 0, c < a und a d + b c > 0) D(p) = max{a b p, 0} S(p) = max{c + d p, 0} Gleichgewichtsbedingung: (falls Menge > 0) D(p ) = a b p = c + d p = S(p ) Gleichgewichtspreis: Gleichgewichtsmenge: p = a c b + d D(p ) = S(p ) = a d + b c b + d

30 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 18 / 41 Subventionen durch Kaufprämien (Mengensubventionen) Die wirtschaftspolitische Maÿnahme der Mengensubvention sieht einen staatlichen Zuschuss in Höhe von σ (Prämie) an den Käufer vor. Wir untersuchen die Auswirkungen der Prämie in der langen und kurzen Frist auf Käufer und Verkäufer auf die gesamtgesellschaftliche Wohlfahrt

31 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 20 / 41 Die Prämie σ und die maximale Zahlungsbereitschaft Preis σ + P(q) Wenn ich für den Kauf σ geschenkt bekomme, bin ich bereit P(q) + σ zu bezahlen. P(q) σ q Menge

32 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 21 / 41 Verschiebung des Gleichgewichts durch die Prämie σ Preis P S (q) q p σ p p σ σ p σ P D (q) q q σ Menge

33 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 22 / 41 Aufspaltung des Preises in p σ D und pσ S bei Prämie σ Angenommen, E-Autos werden zum Preis p gehandelt. die Anbieter erhalten p = p σ S die Käufer bezahlen p σ = p σ D Allgemein gilt p σ D = pσ S σ bzw. pσ D + σ = pσ S.

34 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 24 / 41 Beispiel: sehr kurzfristig konstantes Angebot Es sei in der sehr kurzen Frist das Angebot konstant: S(p) = S für alle p 0

35 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 28 / 41 Lineare Angebots- und Nachfragefunktionen a, b, d > 0, a > c, a d + b c > 0 D(p σ D ) = a b pσ D und S(p σ S ) = c + d pσ S Gleichgewichtsbedingung: D(p σ D ) = S(pσ S ) Mit pd σ = pσ S σ gilt im Gleichgewicht Also: p σ D = a c d σ b + d p σ S = a c + b σ b + d a b (p σ S σ) = c + d pσ S = p d b + d σ = p + b b + d σ q σ = q + b d b + d σ

36 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 29 / 41 Die Prämie in der kurzen Frist (Das Angebot ist im Gleichgewichtspunkt unelastischer als die Nachfrage) Preis S Subventionslast σ q σ p σ S Wohlfahrtsverlust KR PR p p σ D = pσ S σ KR σ D σ PR D q q σ Menge

37 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 30 / 41 Die Prämie σ in der längeren Frist (Das Angebot ist im Gleichgewichtspunkt elastischer als die Nachfrage) Preis p S q D Menge

38 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 31 / 41 Zusammenfassung der Beobachtungen sehr kurze Frist (vollständig unelastisches Angebot): q σ = q, pd σ = p < ps σ, KR = 0, PR = σ qσ kurze Frist (unelastisches Angebot): q σ > q, pd σ < p < ps σ, KR < PR, KR + PR < σ q σ (Wohlfahrtsverlust) längere Frist (elastisches Angebot): q σ > q, pd σ < p < ps σ, KR > PR, KR + PR < σ q σ (Wohlfahrtsverlust) lange Frist (vollständig elastisches Angebot): q σ > q, pd σ < p = ps σ, KR > 0 = PR, KR + PR < σ q σ (Wohlfahrtsverlust)

39 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 37 / Hauptsatz der Wohlfahrtsökonomie Wettbewerbsgleichgewichte sind Pareto-ezient! Begründung: Im Marktgleichgewicht haben bereits alle, die sich durch einen Handel besser stellen könnten, gehandelt. Gäbe es noch einen Konsumenten, dessen Reservationspreis für eine zusätzliche Einheit höher wäre als der Gleichgewichtspreis, so wäre die Nachfrage zum Gleichgewichtspreis höher als das Angebot. Das wäre dann aber kein Gleichgewicht. Analog: Produzentinnen mit niedrigem Reservationspreis.

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41 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 2 / 53 Outline Technologie mit konstanten Proportionen Produktionsfunktion Annahmen: bel. Teilbarkeit, Monotonie, Konvexität Isoquanten Leontief Produktionsfunktion Kombination zweier Technologien Cobb Douglas Produktionsfunktion Unterschiede zw. Technologie und Nutzenkonzept Grenzprodukt Technische Rate der Substitution Skalenerträge

42 Zwei lineare Aktivitäten und Konvexität Rezept 1: vier Eier und 500g Mehl für einen Kuchen Rezept 2: sechs Eier und 300g Mehl für einen Kuchen Mehl g 1000g 900g 600g 500g 300g 1 Kuchen 2 Kuchen 3 Kuchen Eier Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 27 / 53

43 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 30 / 53 Viele verschiedene lineare Aktivitäten Mehl 2000g 1900g 1800g 1700g 1600g 1500g 1400g 1300g 1200g 1100g 1000g 900g 800g 700g 600g 500g 400g 300g 200g 100g Verschwendung von Mehl Aktivität 1 Kombination aus 1 & 2 Aktivität 2 Kombination aus 2 & 3 Aktivität 3 Kombination aus 3 & 4 Aktivität 4 Verschwendung von Eiern Eier

44 TRS und Konvexität Technologien sind konvex. Deshalb muss die Isoquante flacher werden, wenn der Input 1 erhöht wird. Input 2 x 1 2 x y y Input 1 Der Absolutwert der TRS nimmt ab, wenn x 1 zunimmt. Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 44 / 53

45 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 50 / 53 f (x 1, x 2 ) = x c 1 x d 2 Beispiel: digitale Vervielfältigung mit c + d > 1 (steigende Skalenerträge) f (x 1, x 2 ) = x 2 1 x 2 2 f (2 x 1, 2 x 2 ) x 2 Input 2 2 f (x 1, x 2 ) 2 x 2 f (x 1, x 2 ) x 1 2 x 1 Input 1

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51 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 34 / 43 Langfristige Kostenfunktionen Kapitel 21: Konstante Skalenerträge langfristige Kostenfunktion ist linear: c(y, ω) = y c(1, ω) Cobb-Douglas: Leontief: c(1, ω) = ( ) αi n ωi i=1 α i c(1, ω) = n ω i i=1 a i Perfekte Substitute: c(1, ω) = min { ωi a i } n i=1

52 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 39 / 43 Die optimale Kapazität k(y) minimiert c s (y, x i )! ( c s (y, x i ) = ω i MP ) j! + ω j = 0 x j MP i Tangentialbedingung: c s (y, x i ) x j = 0 ω i ω j = MP i MP j

53 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 3 / 24 Das Angebot im Wettbewerbsmarkt Was bedeutet die Annahme der vollständigen Konkurrenz für die Firma? Unternehmen sind Preisnehmer. Der Marktpreis ist exogen, d.h. er wird durch die Mengenentscheidung y nicht beeinusst. Optimierungsproblem einer Firma mit Kostenfunktion c s (y): Maximiere die Dierenz aus Erlös und Kosten! max y 0 p y c }{{} s (y) }{{} Erlös Kosten

54 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 4 / 24 Die optimale Ausbringungsmenge Die preisnehmende Firma wählt in der kurzen Frist die Outputmenge y so, dass die Grenzkosten MC s gleich dem Marktpreis p sind: MC s (y ) = p Wir begründen diese Aussage zunächst grasch und dann formal.

55 Wirtschaftstheorie I: Mikroökonomie SoSe 2018, Lars Metzger & Michael Kramm 17 / 24 Kurzfristige Verluste Die Firma kann auch bei kurzfristig optimaler Ausbringungsmenge Verluste generieren. Kosten MC s (y) Interpretation der Flächen: AC s (y) p = MC s (y) B A c v AC s (y) A + B: Fixkosten c v : variable Kosten A + B + c v : Kosten y AC s (y) = c s (y) B + c v : Erlös y MC s (y) = y p A: Verlust y Menge In der kurzen Frist können hohe Fixkosten zu Verlusten führen.