Analysis 1. Torsten Wedhorn. f(x) f( x) x x. (2) Die Funktion f heißt auf D differenzierbar, falls f in jedem Punkt x D differenzierbar ist.

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1 Analysis Torsten Wedorn 8 Differentiation (A) Differenzierbare Funktionen (B) Recenregeln für die Ableitung (C) Lokale Extrema und Mittelwertsatz (D) Ableitung und Monotonie (E) Der Satz von l Hospital Notation: Es bezeicne D immer einer Teilmenge von R. (A) Differenzierbare Funktionen Definition 8.. Sei f : D R eine Funktion. () Die Funktion f eißt in x D differenzierbar, falls der Grenzwert f ( x) := f(x) f( x) = x x x x x D\{ x} existiert. Insbesondere muss eine Folge (x n ) n existieren, so dass x n D \ { x} für alle n und x n x. f ( x) eißt Ableitung von f bei x. Man screibt auc df dx ( x) statt f ( x). (2) Die Funktion f eißt auf D differenzierbar, falls f in jedem Punkt x D differenzierbar ist. Bemerkung 8.2. Sei D R, sei f : D R eine Funktion, und sei x D. Dann ist f genau dann in x differenzierbar mit Ableitung f ( x), wenn existiert. f f( x + ) f( x) ( x) = 0 0 Beispiel 8.3. () Für c R sei f : R R, f(x) := c, die konstante Funktion mit Wert c. Für x x gilt dann f(x) f( x) x x = c c x x = 0. Also existiert f (x) in jedem Punkt x, und f ( x) = 0 für alle x R.

2 (2) Sei n N und betracte f : R R, f(x) := x n. Für y x ist dann f(y) f(x) y x = yn x n y n = (y x) n k=0 (y x) y k x n k n = y k x n k. k=0 Also f (x) = y x y x n n y k x n k = x n = nx n. k=0 (3) Der Absolutbetrag R R, x x ist in 0 nict differenzierbar (Übung). (4) Betracte die Exponentialfunktion exp: R R. Für 0 gilt k=0 exp(x + ) exp(x) = exp(x) exp() exp(x) = exp(x) exp() Es ist exp() 0 = (6.2) (2). Also gilt: exp (x) = exp(x) f ür alle x R. Bemerkung: Wir werden in 8.9 seen, dass exp die einzige Funktion f : R R ist, so dass f = f und f(0) = gilt. (5) Für alle x R gilt: cos (x) = sin(x), sin (x) = cos(x) (Übung). Satz 8.4. Sei f : D R in x D differenzierbar. Dann ist f in x stetig. Beweis. Sei (x n ) Folge in D mit x n x für alle n N und x n = x. n Dann existiert N N, so dass für alle n N gilt: f(x n ) f( x) f ( x) x n x < f(x n ) f( x) x n x < + f ( x) =: c f(x n ) f( x) c x n x Also gilt n f(x n) = f( x), also ist f stetig in x. (B) Recenregeln für die Ableitung Satz 8.5. Sei D R, x D, und seien f, g : D R differenzierbar in x. Dann gelten: () f + g : D R ist in x differenzierbar, und (f + g) ( x) = f ( x) + g ( x). 2

3 (2) Für λ R ist λf : D R in x differenzierbar, und (λf) ( x) = λf ( x). (3) fg : D R ist in x differenzierbar, und (fg) ( x) = f ( x)g( x) + f( x)g ( x). (Produktregel) (4) Sei g( x) 0. Dann ist f g : {x D g(x) 0} R differenzierbar in x, und es gilt ( ) f ( x) = g( x)f ( x) g ( x)f( x) g g 2 ( x) (Quotientenregel). (5) Sei g( x) 0. Dann ist g : {x D g(x) 0} R differenzierbar, und es gilt ( ) ( x) = g ( x) g g 2 ( x). Beweis. () und (2). (3). Es gilt klar f( x + )g( x + ) f( x)g( x) 0 = (f( x + )g( x + ) f( x)g( x + ) + f( x)g( x + ) f( x)g( x)) f( x + ) f( x) g( x + ) g( x) = (g( x + ) + f( x) ) 0 = g( x)f ( x) + f( x)g ( x), 0 wobei die letzte Gleiceit gilt, da g nac Satz 8.4 in x stetig sind. (5). Es gilt ( 0 g( x + ) g( x) g( x) g( x + ) = 0 g( x)g( x + ) (4). (3) + (5) g( x + ) g( x) = 0 =g ( x) g( x) 2. g( x)g( x + ) Beispiel 8.6. Wir aben bereits in Beispiel 8.3 geseen, dass für n N die Ableitung von x n gerade nx n ist und dass die Ableitung einer konstanten Funktion 0 ist. 3

4 () Nac Satz 8.5 folgt daraus: Sei p: R R, p(x) = a n x n a x + a 0 eine reelle Polynomfunktion (a 0,..., a n R, n N 0 ). Dann gilt: p (x) = na n x n + (n )a n x n a (2) Sei n Z mit n < 0, und sei f : R \ {0} R, f(x) := x n. Dann gilt f (x) = nx n für alle x R \ {0}. Beweis. Sei p: R \ {0} R, p(x) := x n. Dann ist also p (x) = nx n, da n N. Also gilt nac Satz 8.5 (5) für x R \ {0}: ( ) f (x) = (x) = p (x) p p(x) 2 = nx n x 2n = nx n. (3) Für x R \ { π 2 + kπ ; k Z } gilt tan (x) = ( sin ) (x) cos(x) sin (x) sin(x) cos (x) = cos (cos x) 2 cos(x) cos(x) + sin(x) sin(x) = (cos x) 2 = + (tan x) 2 = (cos x) 2. Satz 8.7 (Kettenregel). Seien D, E R und seien f : D R, g : E R Funktionen mit f(d) E. Sei f differenzierbar in x D und g differenzierbar in f( x). Dann ist g f : D R in x differenzierbar, und es gilt: Beweis. Sei ỹ := f( x) und definiere (g f) ( x) = g (f( x))f ( x). g : E R, g (y) := Da g in ỹ differenzierbar ist, gilt (8.0.) y ỹ g (y) = g (ỹ). { g(y) g(ỹ) y ỹ, falls y ỹ; g (ỹ), falls y = ỹ. Ferner gilt nac Definition g(y) g(ỹ) = (y ỹ)g (y) für alle y E. Insbesondere gilt g(f(x)) g(f( x)) = (f(x) f( x))g (f(x)) für alle x D. Also gilt für x D mit x x: g(f(x)) g(f( x)) x x f(x) f( x) x x g (f(x)) x x x x (g f) ( x) f ( x)g (f( x)), da x x f(x) = f( x) (f stetig in x) und nac (8.0.). 4

5 Beispiel 8.8. Sei a R >0, und sei f : R R, f(x) := a x = exp(x log a). Dann gilt für x R: f (x) = exp (x log a) log a (9.4)(3) = exp(x log a) log a = log(a)a x. Also: (a x ) = log(a)a x. Satz 8.9 (Ableitung der Umkerfunktion). Seien I ein Intervall, sei f : I R eine stetige, streng monoton wacsende (oder fallende) Funktion, setze J := f(i) (ein Intervall nac Korollar (6.26)). Sei x I, ỹ := f( x) J, und sei f in x differenzierbar mit f ( x) 0. Dann ist die Umkerfunktion g := f : J I R in ỹ differenzierbar, und es gilt g (ỹ) = f (g(ỹ)). Beweis. Sei (y n ) n N Folge in J mit y n ỹ für alle n N und n y n = ỹ. Setze x n := g(y n ) I. Nac Satz (6.30) ist g stetig. Also gilt x n = g(y n) = g(ỹ) = x. n n Da g injektiv ist, ist x n x für alle n N, und es gilt: g(y n) g(ỹ) y n ỹ n x n x f(x n) f( x) f(xn) f( x) xn x n g (ỹ) f ( x) = f (g(ỹ)) Beispiel 8.0. () log : R >0 R ist Umkerfunktion von exp und exp (x) = exp(x) 0 für alle x R. Also gilt nac Satz 8.9: log (x) = 8.3(3) exp = (log(x)) exp(log x) = x. (2) Für r R betracte f : R >0 R, f(x) := x r = exp(r log x). Dann gilt: f (x) Kettenregel = r log (x) exp (r log x) () = r x xr = rx r. (3) Betracte arcsin: [, ] [ π/2, π/2], d.. die Umkerfunktion der streng monoton wacsenden Funktion sin: [ π/2, π/2] [, ] R. Für x ( π/2, π/2) ist sin (x) = cos(x) > 0. Also ist arcsin nac Satz 8.9 auf dem offenen Intervall (, ) differenzierbar, und für x (, ) gilt: arcsin (x) = ( ) = sin (arcsin(x)) = cos(arcsin(x)) =. sin(arcsin(x)) 2 x 2 5

6 Dabei gilt (*) nac der Gleicung cos(y) = ± sin(y) 2 mit positivem Vorzeicen, da aus y = arcsin(x) ( π/2, π/2) folgt, dass cos(y) > 0 ist. Es ist einfac zu seen, dass arcsin in und in nict differenzierbar ist. Korollar 8.. Beweis. Also: n ( + n )n = e. = log log( + n () = ) log() n n = n log( + (6.33) () ) = n n log( ( + n n )n). ( e = exp() = exp log( ( + n n )n)) exp stetig = exp log( ( + n n )n) = n ( + n )n. (C) Lokale Extrema und Mittelwertsatz Definition 8.2. Sei D R eine Teilmenge, f : D R, x D. Man sagt: f at in x ein lokales Minimum (bzw. ein lokales Maximum), wenn es ein ε > 0 gibt, so dass für alle x D mit x x < ε gilt: f(x) f( x) (bzw. f(x) f( x)). Zum Beispiel aben konstante Funktionen (d.. Funktionen, die überall denselben Wert annemen) in jedem Punkt ires Definitionsbereics ein lokales Minimum und ein lokales Maximum. Satz 8.3. Seien D R offen, f : D R eine Funktion, und x D. Sei f in x differenzierbar. Wenn f in x ein lokales Maximium oder ein lokales Minimum besitzt, dann ist f ( x) = 0. Warnung : Die Umkerung gilt nict: Für f : R R, x x 3 ist f (0) = 0, aber 0 ist weder lokales Minimum noc lokales Maximum. Warnung 2 : Auf der Votingfolie wurde die Voraussetzung D offen vergessen. Dann ist die Aussage im Allgemeinen falsc: Betracte f : [0, ] R, f(x) := x. Dann besitzt f in 0 ein lokales Minimum und in ein lokales Maximum, aber f (0) = f () =. Beweis von Satz 8.3. One Einscränkung abe f in x ein lokales Maximum (ansonsten betracte f). 6

7 Dann existiert also ein ε > 0, so dass ( x ε, x + ε) D (da D offen) und f(x) f( x) für x ( x ε, x + ε). Also ist f( x + ) f( x) 0 für R mit < ε. Für > 0 mit < ε gilt dann f( x+) f( x) 0. Also: f f( x + ) f( x) ( x) = 0. 0 Für < 0 mit < ε gilt andrerseits f( x+) f( x 0. Also: Somit folgt, dass f ( x) = 0. f f( x + ) f( x) ( x) = 0. 0 Lemma 8.4 (Satz von Rolle). Seien a < b reelle Zalen, und sei f : [a, b] R stetig und auf (a, b) differenzierbar. Sei f(a) = f(b). Dann gibt es ein x (a, b) mit f ( x) = 0. Beweis. Ist f konstant, so ist f (x) = 0 für alle x (a, b), und das Lemma ist bewiesen. Ansonsten existiert x (a, b) mit f(x) f(a) = f(b). One Einscränkung sei f(x) > f(a) = f(b) (sonst betracte f). Nac Satz (6.28) nimmt die Funktion f auf [a, b] ir Maximum an, etwa in x. Da f( x) f(x) > f(a) = f(b), gilt x (a, b). Damit ist x ein lokales Maximum, also f ( x) = 0 nac Satz 8.3. Der Satz von Rolle ist nur ein Spezialfall des folgenden wictigen Satzes. Satz 8.5 (Mittelwertsatz (MWS)). Seien a < b reelle Zalen, und sei f : [a, b] R stetig und auf (a, b) differenzierbar. Dann gibt es ein x (a, b) mit f f(b) f(a) ( x) =. b a Der Satz besagt also, dass es einen Punkt x (a, b) gibt, in dem die Steigung von f (also f ( x)) gerade die Steigung der Gerade durc die Punkte (a, f(a)) und (b, f(b)) ist. Der Mittelwertsatz folgt sofort aus der folgenden Verallgemeinerung, indem man dort g : [a, b] R, g(x) = x wält. Satz 8.6 (Allgemeiner Mittelwertsatz). Seien a < b reelle Zalen, und seien f, g : [a, b] R stetig und beide auf (a, b) differenzierbar. Dann gibt es ein x (a, b) mit (g(b) g(a))f ( x) = (f(b) f(a))g ( x). 7

8 Beweis. Definiere F : [a, b] R, F (x) := f(x)(g(b) g(a)) g(x)(f(b) f(a)). Dann ist F stetig auf [a, b] und differenzierbar auf (a, b), und es gilt F (a) = f(a)(g(b) g(a)) g(a)(f(b) f(a)) = f(a)g(b) g(a)f(b) = F (b). Nac dem Satz von Rolle existiert also x (a, b) mit 0 = F ( x) = f ( x)(g(b) g(a)) g ( x)(f(b) f(a)). Korollar 8.7. Seien a < b reelle Zalen, und sei f : [a, b] R stetig und differenzierbar auf (a, b). Es gelte m f (x) M für alle x (a, b) und für m, M R. Dann gilt für alle x, x 2 R mit a x x 2 b: m(x 2 x ) f(x 2 ) f(x ) M(x 2 x ). Beweis. One Einscränkung sei x < x 2 (der Fall x = x 2 ist klar). Wende den Mittelwertsatz (Satz 8.5) auf f : [x, x 2 ] R an. Korollar 8.8. Seien a < b reelle Zalen, und sei f : [a, b] R stetig und auf (a, b) differenzierbar mit f (x) = 0 für alle x (a, b). Dann existiert c R, so dass f(x) = c für alle x [a, b]. Beweis. Benutze Korollar 8.7 mit m = M = 0. Korollar 8.9. Sei f : R R eine differenzierbare Funktion mit f = f. Dann gilt f(x) = f(0) exp(x) für alle x R. Beweis. Betracte g := f exp : R R. Dann: g (x) = f (x) exp(x) f(x) exp (x) exp(x) 2 (8.8) g(x) = g(0) x R f(x) = f(0) exp(x) x R. exp(0) f =f,exp =exp = 0 x R (D) Ableitung und Monotonie Satz Seien a < b reelle Zalen, und sei f : [a, b] R stetig und auf (a, b) differenzierbar. Dann gilt: f (x) 0 f monoton wacsend f x (a, b) : (x) > 0 f streng monoton wacsend f. (x) 0 f monoton fallend f (x) < 0 f streng monoton fallend 8

9 Beweis. Zum Beispiel sei f (x) 0 für alle x (a, b). Seien a x < y b. Nac dem Mittelwertsatz (Satz 8.5) existiert x (x, y) mit f(y) f(x) y x = f ( x) 0. Dies impliziert f(y) f(x) 0, da ja y x > 0. Die Beweise der anderen Fälle sind analog. Definition 8.2 (Höere Ableitungen). Seien D R eine offene Menge, sei f : D R eine Funktion, und sei x D. () Für k definiere induktiv die Aussage f ist k-mal differenzierbar in x und die Bezeicnung f (k) ( x): Die Aussage f ist -mal differenzierbar in x bedeute, dass f in x differenzierbar, und f () ( x) := f ( x). Sei nun k > und seien die Aussage f ist (k )-mal differenzierbar in x und f (k ) ( x) bereits definiert. Dann eißt f k-mal differenzierbar in x, wenn ein ε > 0 existiert, so dass f in jedem Punkt x ( x ε, x+ε) (k )-mal differenzierbar ist und wenn die Funktion f (k ) : ( x ε, x + ε) R in x differenzierbar ist. Setze dann f (k) ( x) := ( f (k )) ( x). Statt f (2) screibt man auc f und statt f (3) screibt man auc f. (2) f eißt k-mal stetig differenzierbar auf D, wenn f in allen Punkten von D k-mal differenzierbar ist, und wenn die k-te Ableitung f (k) : D R eine stetige Funktion ist. Man setzt C k (D) := {f : D R f ist k-mal stetig differenzierbar auf D} Setze auc: C 0 (D) := C(D) := {f : D R f ist auf D stetig} Satz Seien a < b reelle Zalen. Sei f : (a, b) R differenzierbar, und sei f zweimal differenzierbar in x (a, b). Sei f ( x) = 0 und f ( x) > 0 (bzw. f ( x) < 0). Dann besitzt f in x ein lokales Minimum (bzw. ein lokales Maximum). Warnung: Die Umkerung gilt nict: Die Funktion f : R R, x x 4, besitzt in 0 ein lokales Minimum, aber f (0) = 0. Wir werden sogar Funktionen f : R R kennenlernen, die beliebig äufig differenzierbar sind, so dass f (k) (0) = 0 für alle k N und so dass 0 trotzdem ein lokales Minimum von f ist. Beweis. Sei f ( x) > 0 (ansonsten betracte f). Dann existiert δ > 0, so dass aus 0 < x x < δ folgt, dass x (a, b) und f (x) f ( x) x x > 0. Da f ( x) = 0, gilt: x < x < x + δ f (x) > 0, x δ < x < x f (x) < 0. Also ist f nac Satz 8.20 in ( x, x+δ) streng monoton steigend und in ( x δ, x) streng monoton fallend. Also besitzt f in x ein lokales Minimum. 9

10 (E) Der Satz von l Hospital Satz 8.23 (Regel von l Hospital). Seien a, b R, a < b, und es seien f, g : (a, b) R differenzierbare Funktionen mit g(x) 0 für alle x (a, b). Ferner sei entweder (a) f(x) = g(x) = 0 x a x a oder (b) x a g(x) =, oder (b ) x a g(x) =. Dann gilt: f(x) x a g(x) = f (x) x a g (x), falls der zweite Grenzwert in R existiert. Eine entsprecende Aussage (mit einem analogen Beweis) gilt auc für linksseitige Grenzwerte x b. Beweis. Wir zeigen die Aussage, wenn (a) oder (b) erfüllt sind (der Fall (b ) kann dann analog bewiesen werden). Setze α := f (x)/g (x) R. Sei zuerst α <. Zu α 0 > α > α gibt x a es x (a, b), so dass f (x)/g (x) < α < α 0 für alle a < x < x. Für x, y (a, x ) mit x < y existiert nac dem allgemeinen MWS (Satz 8.6) ein ξ (x, y) mit Da ξ < y < x, folgt f(y) f(x) g(y) g(x) = f (ξ) g (ξ). (*) f(y) f(x) g(y) g(x) < α < α 0 für alle x, y (a, x ) mit x < y. Wenn (a) erfüllt ist, so folgt aus (*) durc Übergang zum Limes für x a: (**(a)) f(y) g(y) α < α 0 für alle y (a, x ). Wenn (b) erfüllt ist, dann gibt es für all y (a, x ) ein x 2 (a, y), so dass g(x) > max{, g(y)} für alle a < x < x 2 gilt. As (*) folgt dann für x (a, x 2 ): f(x) < α (g(x) g(y)) + f(y) f(x) g(x) < α α g(y) g(x) + f(y) g(x). 0

11 Für x a konvergiert die recte Seite der letzten Ungleicung gegen α. Also existiert x 3 (a, x 2 ) mit (**(b)) f(x) g(x) < α 0 für alle x (a, x 3 ). Für α 0 α folgt dann aus (**(a)) im Fall (a) und aus (**(b)) im Fall (b), dass in jedem Fall für jede Folge (x n ) n in (a, b) mit x n a gilt: sup n f(x n ) g(x n ) α. Ist α >, so eralten wir durc eine analoge Betractung (diesmal mit α 0 < α < α), dass für jede Folge (x n ) n in (a, b) mit x n a gilt: inf n f(x n ) g(x n ) α. Also gilt für alle möglicen Werte von α = f (x)/g (x) R und für x a jede Folge (x n ) n in (a, b) mit x n a, dass n f(x n )/g(x n ) = α. Mit anderen Worten f(x) x a g(x) = α. Die folgende Folgerung wird auc äufig als Regel von l Hospital bezeicnet. Korollar 8.24 (Regel von l Hospital). Seien a, b R, a < b, und sei x (a, b). Es seien f, g : (a, b) \ { x} R differenzierbare Funktionen mit g(x) 0 für alle x (a, b) \ { x}. Ferner sei entweder (a) f(x) = g(x) = 0 x x x x oder (b) x x g(x) =, oder (b ) x x g(x) =. Dann gilt: f(x) x x g(x) = f (x) x x g (x), falls der zweite Grenzwert in R existiert. Beispiel () Seien f, g : R R, f(x) = sin x, g(x) = x. Dann gilt: sin x x 0 x 8.24 f (x) = x 0 g (x) = cos x = cos 0 = x 0 (2) e x 8.24 e x = x 0 x x 0 = e0 =

12 (3) Seien f, g : (0, ) R, wobei f(x) = x α für α R, α > 0, und g(x) = log(x). Dann g(x) =. Ferner gilt x f (x) x g (x) = αx α x x = x αxα =. Also nac Satz 8.23: x x α log(x) =. 2